Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Собственные векторы и собственные значения матрицы
ОглавлениеЛинейная алгебра

Собственные векторы и собственные значения матрицы


Пусть [math]A[/math] — числовая квадратная матрица n-го порядка. Матрица [math]A-\lambda E[/math] называется характеристической для [math]A[/math], а ее определитель [math]\Delta_{A}(\lambda)=\det(A-\lambda E)[/math] характеристическим многочленом матрицы [math]A:[/math]


[math]A-\lambda E=\begin{pmatrix}a_{11}-\lambda&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\ddots& \vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{nn}-\lambda\end{pmatrix}\!,\quad \Delta_{A}(\lambda)=\det(A-\lambda E)= \begin{vmatrix} a_{11}-\lambda&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{nn}-\lambda\end{vmatrix}\!.[/math]
(7.12)

Характеристическая матрица — это λ-матрица. Ее можно представить в виде регулярного многочлена первой степени с матричными коэффициентами. Нетрудно заметить, что степень характеристического многочлена равна порядку [math]n[/math] характеристической матрицы.


Пусть [math]A[/math] — числовая квадратная матрица n-го порядка. Ненулевой столбец [math]x=\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}[/math], удовлетворяющий условию


[math]A\cdot x=\lambda\cdot x,[/math]
(7.13)

называется собственным вектором матрицы [math]A[/math]. Число [math]\lambda[/math] в равенстве (7.13) называется собственным значением матрицы [math]A[/math]. Говорят, что собственный вектор [math]x[/math] соответствует {принадлежит) собственному значению [math]\lambda[/math].

Поставим задачу нахождения собственных значений и собственных векторов матрицы. Определение (7.13) можно записать в виде [math](A-\lambda E)x=o[/math], где [math]E[/math]единичная матрица n-го порядка. Таким образом, условие (7.13) представляет собой однородную систему [math]n[/math] линейных алгебраических уравнений с [math]n[/math] неизвестными [math]x_1,x_2,\ldots,x_n:[/math]


[math]\begin{cases}(a_{11}-\lambda)x_1+a_{12}x_2+\ldots+a_{1n}x_n=0,\\ a_{21}x_1+(a_{22}-\lambda)x_2+\ldots+a_{2n}x_n=0,\\ \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\ a_{n1}x_1+a_{2n}x_2+\ldots+(a_{nn}-\lambda)x_n=0. \end{cases}[/math]
(7.14)

Поскольку нас интересуют только нетривиальные решения [math](x\ne o)[/math] однородной системы, то определитель матрицы системы должен быть равен нулю:


[math]\det(A-\lambda E)=\begin{vmatrix}a_{11}-\lambda&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}-\lambda&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}& \cdots&a_{nn}-\lambda \end{vmatrix}=0.[/math]
(7.15)

В противном случае по теореме 5.1 система имеет единственное тривиальное решение. Таким образом, задача нахождения собственных значений матрицы свелась к решению уравнения (7.15), т.е. к отысканию корней характеристического многочлена [math]\Delta_{A}(\lambda)=\det(A-\lambda E)[/math] матрицы [math]A[/math]. Уравнение [math]\Delta_{A}(\lambda)=0[/math] называется характеристическим уравнением матрицы [math]A[/math]. Так как характеристический многочлен имеет n-ю степень, то характеристическое уравнение — это алгебраическое уравнение n-го порядка. Согласно следствию 1 основной теоремы алгебры, характеристический многочлен можно представить в виде


[math]\Delta_{A}(\lambda)= \det(A-\lambda E)= a_{n}(\lambda-\lambda_1)^{n_1}\cdot (\lambda-\lambda_2)^{n_2}\cdot\ldots\cdot(\lambda-\lambda_k)^{n_k},[/math]

где [math]\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_k[/math] — корни многочлена кратности [math]n_1,n_2,\ldots,n_k[/math] соответственно, причем [math]n_1+n_2+\ldots+n_k=n[/math]. Другими словами, характеристический многочлен имеет п корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность.




Теорема 7.4 о собственных значениях матрицы. Все корни характеристического многочлена (характеристического уравнения (7-15)) и только они являются собственными значениями матрицы.


Действительно, если число [math]\lambda[/math] — собственное значение матрицы [math]A[/math], которому соответствует собственный вектор [math]x\ne o[/math], то однородная система (7.14) имеет нетривиальное решение, следовательно, матрица системы вырожденная, т.е. число [math]\lambda[/math] удовлетворяет характеристическому уравнению (7.15). Наоборот, если [math]\lambda[/math] — корень характеристического многочлена, то определитель (7.15) матрицы однородной системы (7.14) равен нулю, т.е. [math]\operatorname{rg}(A-\lambda E)<n[/math].В этом случае система имеет бесконечное множество решений, включая ненулевые решения. Поэтому найдется столбец [math]x\ne o[/math], удовлетворяющий условию (7.14). Значит, [math]\lambda[/math] — собственное значение матрицы [math]A[/math].




Свойства собственных векторов


Пусть [math]A[/math] — квадратная матрица n-го порядка.


1. Собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, линейно независимы.


В самом деле, пусть [math]s_1[/math] и [math]s_2[/math] — собственные векторы, соответствующие собственным значениям [math]\lambda_1[/math] и [math]\lambda_2[/math], причем [math]\lambda_1\ne \lambda_2[/math]. Составим произвольную линейную комбинацию этих векторов и приравняем ее нулевому столбцу:


[math]\alpha_1\cdot s_1+\alpha_2\cdot s_2=o.[/math]
(7.16)

Надо показать, что это равенство возможно только в тривиальном случае, когда [math]\alpha_1=\alpha_2=0[/math]. Действительно, умножая обе части на матрицу [math]A[/math] и подставляя [math]As_1=\lambda_1s_1[/math] и [math]As_2=\lambda_2s_2[/math] имеем


[math]A(\alpha_1s_1+\alpha_2s_2)=o\quad \Leftrightarrow\quad \alpha_1As_1+ \alpha_2As_2= o\quad \Leftrightarrow\quad \alpha_1 \lambda_1s_1+\alpha_2 \lambda_2s_2=o.[/math]

Прибавляя к последнему равенству равенство (7.16), умноженное на [math](-\lambda_2)[/math], получаем


[math]\alpha_1\cdot\lambda_1\cdot s_1-\alpha_2\cdot\lambda_2\cdot s_2=o\quad \Leftrightarrow\quad \alpha_1\cdot(\lambda_1-\lambda_2)\cdot s_1=o.[/math]

Так как [math]s_1\ne o[/math] и [math]\lambda_1\ne \lambda_2[/math], делаем вывод, что [math]\alpha_1=0[/math]. Тогда из (7.16) следует, что и [math]\alpha_2=0[/math] (поскольку [math]s_2\ne o[/math]). Таким образом, собственные векторы [math]s_1[/math] и [math]s_2[/math] линейно независимы. Доказательство для любого конечного числа собственных векторов проводится по индукции.


2. Ненулевая линейная комбинация собственных векторов, соответствующих одному собственному значению, является собственным вектором, соответствующим тому же собственному значению.


Действительно, если собственному значению [math]\lambda[/math] соответствуют собственные векторы [math]s_1,\ldots,s_k[/math], то из равенств [math]S_i=\lambda s_i,[/math] [math]i=1,\ldots,k[/math], следует, что вектор [math]s=\alpha_1s_1+\ldots+\alpha_ks_k[/math] также собственный, поскольку:


[math]As=A(\alpha_1s_1+\ldots+\alpha_ks_k)= \alpha_1\lambda s_1+\ldots+\alpha_k\lambda s_k=\lambda(\alpha_1s_1+\ldots+\alpha_ks_k)=\lambda s.[/math]

3. Пусть [math](A-\lambda E)^{+}[/math] — присоединенная матрица для характеристической матрицы [math](A-\lambda E)[/math]. Если [math]\lambda_0[/math] — собственное значение матрицы [math]A[/math], то любой ненулевой столбец матрицы [math](A-\lambda E)^{+}[/math] является собственным вектором, соответствующим собственному значению [math]\lambda_0[/math].


В самом деле, применяя формулу (7.7) имеем [math](A-\lambda E)(A-\lambda E)^{+}=\Delta_k(\lambda)\cdot E[/math]. Подставляя корень [math]\lambda_0[/math], получаем [math](A-\lambda_0E)(A-\lambda_0E)^{+}=O[/math]. Если [math]s[/math] — ненулевой столбец матрицы [math](A-\lambda_0E)^{+}[/math], то [math](A-\lambda_0E)s=o\Leftrightarrow As=\lambda_0s[/math]. Значит, [math]s[/math] — собственный вектор матрицы [math]A[/math].




Замечания 7.5


1. По основной теореме алгебры характеристическое уравнение имеет п в общем случае комплексных корней (с учетом их кратностей). Поэтому собственные значения и собственные векторы имеются у любой квадратной матрицы. Причем собственные значения матрицы определяются однозначно (с учетом их кратности), а собственные векторы — неоднозначно.


2. Чтобы из множества собственных векторов выделить максимальную линейно независимую систему собственных векторов, нужно для всех раз личных собственных значений [math]\lambda_1,\lambda_2, \ldots,\lambda_k[/math] записать одну за другой системы линейно независимых собственных векторов, в частности, одну за другой фундаментальные системы решений однородных систем


[math](A-\lambda_1E)\cdot x=o,\quad (A-\lambda_2E)\cdot x=o,\quad \ldots,\quad (A-\lambda_kE)\cdot x=o.[/math]

Полученная система собственных векторов будет линейно независимой в силу свойства 1 собственных векторов.


3. Совокупность всех собственных значений матрицы (с учетом их кратностей) называют ее спектром.


4. Спектр матрицы называется простым, если собственные значения матрицы попарно различные (все корни характеристического уравнения простые).


5. Для простого корня [math]\lambda=\lambda_0[/math] характеристического уравнения соответствующий собственный вектор можно найти, раскладывая определитель матрицы [math](A-\lambda_0E)[/math] по одной из строк. Тогда ненулевой вектор, компоненты которого равны алгебраическим дополнениям элементов одной из строк матрицы [math](A-\lambda_0E)[/math], является собственным вектором.




Нахождение собственных векторов и собственных значений матрицы


Для нахождения собственных векторов и собственных значений квадратной матрицы [math]A[/math] n-го порядка надо выполнить следующие действия.


1. Составить характеристический многочлен матрицы [math]\Delta_A(\lambda)=\det(A-\lambda E)[/math].


2. Найти все различные корни [math]\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_k[/math] характеристического уравнения [math]\Delta_A(\lambda)=0[/math] (кратности [math]n_1,n_2,\ldots,n_k[/math] [math](n_1+n_2+\ldots+n_k=n)[/math] корней определять не нужно).


3. Для корня [math]\lambda-\lambda_1[/math] найти фундаментальную систему [math]\varphi_1,\varphi_2,\ldots,\varphi_{n-r}[/math] решений однородной системы уравнений


[math](A-\lambda_1E)\cdot x=o[/math], где [math]r=\operatorname{rg}(A-\lambda_1E)[/math]

Для этого можно использовать либо алгоритм решения однородной системы, либо один из способов нахождения фундаментальной матрицы (см. пункт 3 замечаний 5.3, пункт 1 замечаний 5.5).


4. Записать линейно независимые собственные векторы матрицы [math]A[/math], отвечающие собственному значению [math]\lambda_1:[/math]


[math]s_1=C_1\varphi_1,\quad s_2=C_2\varphi_2,\quad \ldots,\quad s_{n-r}=C_{n-r}\varphi_{n-r},[/math]
(7.17)

где [math]C_1,C_2,\ldots,C_{n-r}[/math] — отличные от нуля произвольные постоянные. Совокупность всех собственных векторов, отвечающих собственному значению [math]\lambda_1[/math], образуют ненулевые столбцы вида [math]s=C_1\varphi_1+C_2\varphi_2+\ldots+C_{n-r}\varphi_{n-r}[/math]. Здесь и далее собственные векторы матрицы будем обозначать буквой [math]s[/math].


Повторить пункты 3,4 для остальных собственных значений [math]\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_k[/math].




Пример 7.8. Найти собственные значения и собственные векторы матриц:


[math]A=\begin{pmatrix}1&-2\\3&8\end{pmatrix}\!,\quad B=\begin{pmatrix}1&-4\\ 1&1 \end{pmatrix}\!,\quad C=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}\!.[/math]

Решение. Матрица [math]A[/math]. 1. Составляем характеристический многочлен матрицы


[math]\Delta_{A}(\lambda)=\begin{vmatrix}1-\lambda&-2\\3&8-\lambda\end{vmatrix}= (1-\lambda)(8-\lambda)+6=\lambda^2-9 \lambda+8+6= \lambda^2-9 \lambda+14.[/math]

2. Решаем характеристическое уравнение: [math]\lambda^2-9 \lambda+14=0~\Rightarrow~\! \left[\!\begin{gathered}\lambda_1=2,\\ \lambda_2=7.\end{gathered}\right.[/math].


3(1). Для корня [math]\lambda_1=2[/math] составляем однородную систему уравнений [math](A-\lambda_1E)x=o:[/math]


[math]\begin{pmatrix}1-2&-2\\ 3&8-2 \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}x_1\\x_2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\quad \Leftrightarrow\quad \begin{pmatrix}-1&-2\\ 3&6 \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}x_1\\x_2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0\\0 \end{pmatrix}\!.[/math]

Решаем эту систему методом Гаусса, приводя расширенную матрицу системы к упрощенному виду

[math]\begin{pmatrix}-1&-2\!\!&\vline\!\!&0\\ 3&6\!\!&\vline\!\!&0\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&2\!\!&\vline\!\!&0\\ 3&6\!\!&\vline\!\!&0\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&2\!\!& \vline\!\!&0\\ 0&0\!\!&\vline\!\!&0\end{pmatrix}\!.[/math]

Ранг матрицы системы равен 1 [math](r=1)[/math], число неизвестных [math]n=2[/math], следовательно, фундаментальная система решений состоит из [math]n-r=1[/math] решения. Выражаем базисную переменную [math]x_1[/math] через свободную: [math]x_1=-2x_2[/math]. Полагая [math]x_2=1[/math], получаем решение [math]\varphi_1= \begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}[/math].


4(1). Записываем собственные векторы, соответствующие собственному значению [math]\lambda_1=2\colon~ s_1=C_1\cdot\varphi_1[/math], где [math]C_1[/math] — отличная от нуля произвольная постоянная.


Заметим, что, согласно пункту 5 замечаний 7.5, в качестве собственного вектора можно выбрать вектор, составленный из алгебраических дополнений элементов второй строки матрицы [math]\begin{pmatrix}-1&-2\\3&6\end{pmatrix}[/math], то есть [math]\begin{pmatrix}2\\-1 \end{pmatrix}[/math]. Умножив этот столбец на (-1), получим [math]\varphi_1[/math].


3(2). Для корня [math]\lambda_2=7[/math] составляем однородную систему уравнений [math](A-\lambda_2E)x=o:[/math]


[math]\begin{pmatrix}1-7&-2\\ 3&8-7 \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}x_1\\x_2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\quad \Leftrightarrow\quad \begin{pmatrix}-6&-2\\ 3&1 \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}x_1\\x_2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0\\0 \end{pmatrix}\!.[/math]

Решаем эту систему методом Гаусса, приводя расширенную матрицу системы к упрощенному виду

[math]\begin{pmatrix}-6&-2\!\!&\vline\!\!&0\\ 3&1\!\!&\vline\!\!&0\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}3&1\!\!&\vline\!\!&0\\ -6&-2\!\!&\vline\!\!&0\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&1/3\!\!& \vline\!\!&0\\ -6&-2\!\!&\vline\!\!&0\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&1/3\!\!& \vline\!\!&0\\ 0&0\!\!&\vline\!\!&0\end{pmatrix}\!.[/math]

Ранг матрицы системы равен 1 [math](r=1)[/math], число неизвестных [math]n=2[/math], следовательно, фундаментальная система решений состоит из [math]n-r=1[/math] решения. Выражаем базисную переменную [math]x_1[/math] через свободную: [math]x_1=-\frac{1}{3}x_2[/math]. Полагая [math]x_2=1[/math], получаем решение [math]\varphi_2=\begin{pmatrix}-1/3\\1\end{pmatrix}[/math].


4(2). Записываем собственные векторы, соответствующие собственному значению [math]\lambda_2=7\colon~ s_2=C_2\cdot\varphi_2[/math], где [math]C_2[/math] — отличная от нуля произвольная постоянная.


Заметим, что, согласно пункту 5 замечаний 7.5, в качестве собственного вектора можно выбрать вектор, составленный из алгебраических дополнений элементов первой строки матрицы [math]\begin{pmatrix}-6&-2\\3&1\end{pmatrix}[/math], т.е. [math]\begin{pmatrix}1\\-3 \end{pmatrix}[/math]. Поделив его на (- 3), получим [math]\varphi_2[/math].


Матрица [math]B[/math]. 1. Составляем характеристический многочлен матрицы


[math]\Delta_{B}(\lambda)= \begin{vmatrix}1-\lambda&-4\\1&1-\lambda\end{vmatrix}= (1-\lambda)^2+4=\lambda^2-2 \lambda+1+4= \lambda^2-2 \lambda+5.[/math]

2. Решаем характеристическое уравнение: [math]\lambda^2-2 \lambda+5=0~\Rightarrow~\! \left[\! \begin{gathered}\lambda_1=1+2i,\\ \lambda_2=1-2i.\end{gathered}\right.[/math].


3(1). Для корня [math]\lambda_1=1+2i[/math] составляем однородную систему уравнений [math](B-\lambda_1E)x=o[/math]


[math]\begin{pmatrix}1-(1+2i)&-4\\ 1&8-1-(1+2i) \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}x_1\\x_2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\quad \Leftrightarrow\quad \begin{pmatrix}-2i&-4\\ 1&-2i \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}x_1\\x_2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0\\0 \end{pmatrix}\!.[/math]

Решаем эту систему методом Гаусса, приводя расширенную матрицу системы к упрощенному виду

[math]\begin{pmatrix}-2i&-4\!\!&\vline\!\!&0\\ 1&-2i\!\!&\vline\!\!&0\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&-2i\!\!&\vline\!\!&0\\ -2i&-4\!\!&\vline\!\!&0\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&-2i\!\!& \vline\!\!&0\\ 0&0\!\!&\vline\!\!&0\end{pmatrix}.[/math]

Ранг матрицы системы равен 1 [math](r=1)[/math], число неизвестных [math]n=2[/math], следовательно, фундаментальная система решений состоит из [math]n-r=1[/math] решения. Выражаем базисную переменную [math]x_1[/math] через свободную: [math]x_1=2i\,x_2[/math]. Полагая [math]x_2=1[/math], получаем решение [math]\varphi_1= \begin{pmatrix}2i\\1 \end{pmatrix}[/math].


4(1). Записываем собственные векторы, соответствующие собственному значению [math]\lambda_1= 1+2i\colon~ s_1=C_1\cdot\varphi_1[/math], где [math]C_1[/math] — отличная от нуля произвольная постоянная.


Заметим, что, согласно пункту 5 замечаний 7.5, в качестве собственного вектора можно выбрать вектор, составленный из алгебраических дополнений элементов первой строки матрицы [math]\begin{pmatrix}-2i&-4\\1&-2i\end{pmatrix}[/math], то есть [math]\begin{pmatrix}-2i\\ -1 \end{pmatrix}[/math]. Умножив этот столбец на (-1), получим [math]\varphi_1[/math].


3(2). Для корня [math]\lambda_2=1-2i[/math] составляем однородную систему уравнений [math](B-\lambda_2E)x=o:[/math]


[math]\begin{pmatrix}1-(1-2i)&-4\\ 1&8-1-(1-2i) \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}x_1\\x_2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\quad \Leftrightarrow\quad \begin{pmatrix}2i&-4\\ 1&2i \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}x_1\\x_2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0\\0 \end{pmatrix}\!.[/math]

Решаем эту систему методом Гаусса, приводя расширенную матрицу системы к упрощенному виду

[math]\begin{pmatrix}2i&-4\!\!&\vline\!\!&0\\ 1&2i\!\!&\vline\!\!&0\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&2i\!\!&\vline\!\!&0\\ 2i&-4\!\!&\vline\!\!&0\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&2i\!\!& \vline\!\!&0\\ 0&0\!\!&\vline\!\!&0\end{pmatrix}.[/math]

Ранг матрицы системы равен 1 [math](r=1)[/math], число неизвестных [math]n=2[/math], следовательно, фундаментальная система решений состоит из [math]n-r=1[/math] решения. Выражаем базисную переменную [math]x_1[/math] через свободную: [math]x_1=-2i\,x_2[/math]. Полагая [math]x_2=1[/math], получаем решение [math]\varphi_2= \begin{pmatrix}-2i\\1 \end{pmatrix}[/math].


4(2). Записываем собственные векторы, соответствующие собственному значению [math]\lambda_2=1-2i\colon~ s_2=C_2\cdot\varphi_2[/math], где [math]C_2[/math] — отличная от нуля произвольная постоянная.


Заметим, что, согласно пункту 5 замечаний 7.5, в качестве собственного вектора можно выбрать вектор, составленный из алгебраических дополнений элементов первой строки матрицы [math]\begin{pmatrix}2i&-4\\1&2i\end{pmatrix}[/math], т.е. [math]\begin{pmatrix}2i\\-1 \end{pmatrix}[/math]. Умножив его на (-1), получим [math]\varphi_2[/math].


Матрица [math]C[/math] 1. Составляем характеристический многочлен матрицы


[math]\Delta_{C}(\lambda)= \det(C-\lambda E)= \begin{vmatrix}1-\lambda&1&1\\1&1-\lambda&1\\ 1&1&1-\lambda \end{vmatrix}= (1-\lambda)^3+2-3(1-\lambda)= -\lambda^3+3 \lambda^2.[/math]

2. Решаем характеристическое уравнение: [math]-\lambda^3+3 \lambda^2=0~\Rightarrow~\! \left[\! \begin{gathered}\lambda_1=3,\\ \lambda_2=0\end{gathered}\right.[/math].


3(1). Для корня [math]\lambda_1=3[/math] составляем однородную систему уравнений [math](C-\lambda_1E)x=o:[/math]


[math]\begin{pmatrix}1-3&1&1\\ 1&1-3&1\\ 1&1&1-3\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\quad \Leftrightarrow\quad \begin{cases}-2x_1+x_2+x_3=0,\\ x_1-2x_2+x_3=0,\\ x_1+x_2-2x_3=0.\end{cases}[/math]

Решаем эту систему методом Гаусса, приводя расширенную матрицу системы к упрощенному виду (ведущие элементы выделены полужирным курсивом):

[math]\begin{gathered}\begin{pmatrix}C-\lambda_1E\mid o\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -2&1&1\!\!&\vline\!\!&0\\ 1&-2&1\!\!&\vline\!\!&0\\ 1&1&-2\!\!&\vline\!\!&0 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&1&-2\!\!&\vline\!\!&0\\ -2&1&1\!\!&\vline\!\!&0\\ 1&-2&1\!\!&\vline\!\!&0 \end{pmatrix}\sim\\[2pt] \sim\begin{pmatrix} 1&1&-2\!\!&\vline\!\!&0\\ 0&3&-3\!\!&\vline\!\!&0\\ 0&-3&3\!\!&\vline\!\!&0 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&1&-2\!\!&\vline\!\!&0\\ 0&1&-1\!\!&\vline\!\!&0\\ 0&0&0\!\!&\vline\!\!&0 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&0&-1\!\!&\vline\!\!&0\\ 0&1&-1\!\!&\vline\!\!&0\\ 0&0&0\!\!&\vline\!\!&0 \end{pmatrix}\!.\end{gathered}[/math]

Ранг матрицы системы равен 2 [math](r=2)[/math], число неизвестных [math]n=3[/math], следовательно, фундаментальная система решений состоит из [math]n-r=1[/math] решения. Выражаем базисные переменные [math]x_1,x_2[/math] через свободную [math]x_3\colon \begin{cases}x_1=x_3,\\x_2=x_3,\end{cases}[/math] и, полагая [math]x_3=1[/math], получаем решение [math]\varphi=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}[/math].


4(1). Все собственные векторы, соответствующие собственному значению [math]\lambda_1=3[/math], вычисляются по формуле [math]s=C_1\cdot\varphi[/math], где [math]C_1[/math] — отличная от нуля произвольная постоянная.


Заметим, что, согласно пункту 5 замечаний 7.5, в качестве собственного вектора можно выбрать вектор, составленный из алгебраических дополнений элементов первой строки матрицы [math]\begin{pmatrix}-2&1&1\\1&-2&1\\1&1&-2\end{pmatrix}[/math], то есть [math]\begin{pmatrix}3\\3\\3\end{pmatrix}[/math], так как


[math]A_{11}=(-1)^{1+1}\begin{vmatrix} -2&1\\1&-2 \end{vmatrix} =3;\quad A_{12}=(-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 1&1\\1&-2 \end{vmatrix}= 3;\quad A_{13}=(-1)^{1+3}\begin{vmatrix}1&-2\\ 1&1 \end{vmatrix}=3.[/math]

Разделив его на 3, получим [math]\varphi[/math].

3(2). Для собственного значения [math]\lambda_2=0[/math] имеем однородную систему [math]Cx=o[/math]. Решаем ее методом Гаусса:


[math]\begin{pmatrix}C\mid o\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&1&1\!\!&\vline\!\!&0\\ 1&1&1\!\!&\vline\!\!&0\\ 1&1&1\!\!&\vline\!\!&0 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&1&1\!\!& \vline\!\!&0\\ 0&0&0\!\!&\vline\!\!&0\\ 0&0&0\!\!&\vline\!\!&0 \end{pmatrix}\!.[/math]

Ранг матрицы системы равен единице [math](r=1)[/math], следовательно, фундаментальная система решений состоит из двух решений [math](n-r=2)[/math]. Базисную переменную [math]x_1[/math], выражаем через свободные: [math]x_1=-x_2-x_3[/math]. Задавая стандартные наборы свободных переменных [math]x_2=1,~x_3=0[/math] и [math]x_2=0,~ x_3=1[/math], получаем два решения


[math]\varphi_1=\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}\!,\qquad \varphi_2=\begin{pmatrix}-1\\0\\1 \end{pmatrix}\!.[/math]

4(2). Записываем множество собственных векторов, соответствующих собственному значению [math]\lambda_2=0\colon~ s=C_1\varphi_1+C_2\varphi_2[/math], где [math]C_1,C_2[/math] — произвольные постоянные, не равные нулю одновременно. В частности, при [math]C_1=0,[/math] [math]C_2=-1[/math] получаем [math]s_1=\begin{pmatrix}1&0&-1\end{pmatrix}^T[/math]; при [math]C_1=0,~C_2=-1\colon[/math] [math]s_2=\begin{pmatrix}1&-1&0\end{pmatrix}^T[/math]. Присоединяя к этим собственным векторам собственный вектор [math]s_3=\begin{pmatrix}1&1&1 \end{pmatrix}^T[/math], соответствующий собственному значению [math]\lambda_1=3[/math] (см. пункт 4(1) при [math]C_1=1[/math]), находим три линейно независимых собственных вектора матрицы [math]C:[/math]


[math]s_1=\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\!,\qquad s_2=\begin{pmatrix}1\\-1\\0 \end{pmatrix}\!,\qquad s_3=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\!.[/math]

Заметим, что для корня [math]\lambda_2=0[/math] собственный вектор нельзя найти, применяя пункт 5 замечаний 7.5, так как алгебраическое дополнение каждого элемента матрицы [math]A[/math] равно нулю.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved