Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


СМО с отказами: определения и формулы
Теория массового обслуживания

СМО с отказами: определения и формулы


В качестве показателей эффективности СМО с отказами будем рассматривать:


1) [math]A[/math]абсолютную пропускную способность СМО, т.е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени;

2) [math]Q[/math]относительную пропускную способность, т.е. среднюю долю пришедших заявок, обслуживаемых системой;

3) [math]P_{\text{otk}}[/math]вероятность отказа, т.е. того, что заявка покинет СМО необслуженной;

4) [math]\overline{k}[/math]среднее число занятых каналов (для многоканальной системы).




Одноканальная система (СМО) с отказами


Рассмотрим задачу. Имеется один канал, на который поступает поток заявок с интенсивностью [math]\lambda[/math]. Поток обслуживании имеет интенсивность [math]\mu[/math]. Найти предельные вероятности состояний системы и показатели ее эффективности.


Размеченный граф состояний одноканальной системы с отказами

Примечание. Здесь и в дальнейшем предполагается, что все потоки событий, переводящие СМО из состояния в состояние, будут простейшими. К ним относится и поток обслуживании — поток заявок, обслуживаемых одним непрерывно занятым каналом. Среднее время обслуживания [math]\overline{t}_{\text{ob.}}[/math] обратно по величине интенсивности [math]\mu[/math], т.е. [math]\overline{t}_{\text{ob.}}=1/\mu[/math].


Система [math]S[/math] (СМО) имеет два состояния: [math]S_0[/math] — канал свободен, [math]S_1[/math] — канал занят. Размеченный граф состояний представлен на рис. 6.


В предельном, стационарном режиме система алгебраических уравнений для вероятностей состояний имеет вид (см. выше правило составления таких уравнений)


[math]\begin{cases}\lambda\cdot p_0=\mu\cdot p_1,\\\mu\cdot p_1=\lambda\cdot p_0,\end{cases}[/math]
(18)

т.е. система вырождается в одно уравнение. Учитывая нормировочное условие [math]p_0+p_1=1[/math], найдем из (18) предельные вероятности состояний

[math]p_0=\frac{\mu}{\lambda+\mu},\quad p_1=\frac{\lambda}{\lambda+\mu}\,,[/math]
(19)

которые выражают среднее относительное время пребывания системы в состоянии [math]S_0[/math] (когда канал свободен) и [math]S_1[/math] (когда канал занят), т.е. определяют соответственно относительную пропускную способность [math]Q[/math] системы и вероятность отказа [math]P_{\text{otk}}:[/math]

[math]Q=\frac{\mu}{\lambda+\mu}\,,[/math]
(20)

[math]P_{\text{otk}}=\frac{\lambda}{\lambda+\mu}\,.[/math]
(21)

Абсолютную пропускную способность найдем, умножив относительную пропускную способность [math]Q[/math] на интенсивность потока отказов


[math]A=\frac{\lambda\mu}{\lambda+\mu}\,.[/math]
(22)



Пример 5. Известно, что заявки на телефонные переговоры в телевизионном ателье поступают с интенсивностью [math]\lambda[/math], равной 90 заявок в час, а средняя продолжительность разговора по телефону [math]\overline{t}_{\text{ob.}}=2[/math] мин. Определить показатели эффективности работы СМО (телефонной связи) при наличии одного телефонного номера.


Решение. Имеем [math]\lambda=90[/math] (1/ч), [math]\overline{t}_{\text{ob.}}=2[/math] мин. Интенсивность потока обслуживании [math]\mu=\frac{1}{\overline{t}_{\text{ob.}}}=\frac{1}{2}=0,\!5[/math] (1/мин) [math]=30[/math] (1/ч). По (20) относительная пропускная способность СМО [math]Q=\frac{30}{90+30}=0,\!25[/math], т.е. в среднем только 25% поступающих заявок осуществят переговоры по телефону. Соответственно вероятность отказа в обслуживании составит [math]P_{\text{otk}}=0,\!75[/math] (см. (21)). Абсолютная пропускная способность СМО по (29) [math]A=90\cdot0.\!25=22,\!5[/math], т.е. в среднем в час будут обслужены 22,5 заявки на переговоры. Очевидно, что при наличии только одного телефонного номера СМО будет плохо справляться с потоком заявок.




Многоканальная система (СМО) с отказами.


Рассмотрим классическую задачу Эрланга. Имеется [math]n[/math] каналов, на которые поступает поток заявок с интенсивностью [math]\lambda[/math]. Поток обслуживании имеет интенсивность [math]\mu[/math]. Найти предельные вероятности состояний системы и показатели ее эффективности.


Система [math]S[/math] (СМО) имеет следующие состояния (нумеруем их по числу заявок, находящихся в системе): [math]S_0,S_1,S_2,\ldots,S_k,\ldots,S_n[/math], где [math]S_k[/math] — состояние системы, когда в ней находится [math]k[/math] заявок, т.е. занято [math]k[/math] каналов.


Граф состояний СМО соответствует процессу гибели и размножения и показан на рис. 7.


Граф состояний СМО, соответствующий процессу гибели и размножения

Поток заявок последовательно переводит систему из любого левого состояния в соседнее правое с одной и той же интенсивностью [math]\lambda[/math]. Интенсивность же потока обслуживании, переводящих систему из любого правого состояния в соседнее левое состояние, постоянно меняется в зависимости от состояния. Действительно, если СМО находится в состоянии [math]S_2[/math] (два канала заняты), то она может перейти в состояние [math]S_1[/math] (один канал занят), когда закончит обслуживание либо первый, либо второй канал, т.е. суммарная интенсивность их потоков обслуживании будет [math]2\mu[/math]. Аналогично суммарный поток обслуживании, переводящий СМО из состояния [math]S_3[/math] (три канала заняты) в [math]S_2[/math], будет иметь интенсивность [math]3\mu[/math], т.е. может освободиться любой из трех каналов и т.д.


В формуле (16) для схемы гибели и размножения получим для предельной вероятности состояния


[math]p_0={\left(1+ \frac{\lambda}{\mu}+ \frac{\lambda^2}{2!\mu^2}+\ldots+\frac{\lambda^k}{k!\mu^k}+\ldots+ \frac{\lambda^n}{n!\mu^n}\right)\!}^{-1},[/math]
(23)

где члены разложения [math]\frac{\lambda}{\mu},\,\frac{\lambda^2}{2!\mu^2},\,\ldots,\,\frac{\lambda^k}{k!\mu^k},\,\ldots,\, \frac{\lambda^n}{n!\mu^n}[/math], будут представлять собой коэффициенты при [math]p_0[/math] в выражениях для предельных вероятностей [math]p_1,p_2,\ldots,p_k,\ldots,p_n[/math]. Величина


[math]\rho=\frac{\lambda}{\mu}[/math]
(24)

называется приведенной интенсивностью потока заявок или интенсивностью нагрузки канала. Она выражает среднее число заявок, приходящее за среднее время обслуживания одной заявки. Теперь

[math]p_0={\left(1+\rho+\frac{\rho^2}{2!}+\ldots+\frac{\rho^k}{k!}+\ldots+\frac{\rho^n}{n!}\right)\!}^{-1},[/math]
(25)

[math]p_1=\rho\cdot p,\quad p_2=\frac{\rho^2}{2!}\cdot p_0,\quad \ldots,\quad p_k=\frac{\rho^k}{k!}\cdot p_0,\quad \ldots,\quad p_n=\frac{\rho^n}{n!}\cdot p_0.[/math]
(26)

Формулы (25) и (26) для предельных вероятностей получили названия формул Эрланга в честь основателя теории массового обслуживания.


Вероятность отказа СМО есть предельная вероятность того, что все я каналов системы будут заняты, т.е.


[math]P_{\text{otk}}= \frac{\rho^n}{n!}\cdot p_0.[/math]
(27)

Относительная пропускная способность — вероятность того, что заявка будет обслужена:


[math]Q=1- P_{\text{otk}}=1-\frac{\rho^n}{n!}\cdot p_0.[/math]
(28)

Абсолютная пропускная способность:


[math]A=\lambda\cdot Q=\lambda\cdot\left(1-\frac{\rho^n}{n!}\cdot p_0\right)\!.[/math]
(29)

Среднее число занятых каналов [math]\overline{k}[/math] есть математическое ожидание числа занятых каналов:


[math]\overline{k}=\sum_{k=0}^{n}(k\cdot p_k),[/math]

где [math]p_k[/math] — предельные вероятности состояний, определяемых по формулам (25), (26).

Однако среднее число занятых каналов можно найти проще, если учесть, что абсолютная пропускная способность системы [math]A[/math] есть не что иное, как интенсивность потока обслуженных системой заявок (в единицу времени). Так как каждый занятый канал обслуживает в среднем [math]\mu[/math] заявок (в единицу времени), то среднее число занятых каналов


[math]\overline{k}=\frac{A}{\mu}[/math]
(30)
или, учитывая (29), (24):
[math]\overline{k}=\rho\cdot\left(1-\frac{\rho^n}{n!}\cdot p_0\right)\!.[/math]
(31)



Пример 6. В условиях примера 5 определить оптимальное число телефонных номеров в телевизионном ателье, если условием оптимальности считать удовлетворение в среднем из каждых 100 заявок не менее 90 заявок на переговоры.


Решение. Интенсивность нагрузки канала по формуле (25) [math]\rho=\frac{90}{30}=3[/math], т.е. за время среднего (по продолжительности) телефонного разговора [math]\overline{t}_{\text{ob.}}=2[/math] мин. поступает в среднем 3 заявки на переговоры.


Будем постепенно увеличивать число каналов (телефонных номеров) [math]n=2,3,4,\ldots[/math] и определим по формулам (25), (28), (29) для получаемой n-канальной СМО характеристики обслуживания. Например, при [math]n=2[/math] имеем


[math]з_0={\left(1+3+ \frac{3^2}{2!}\right)\!}^{-1}=0,\!118\approx0,\!12;\quad Q=1-\frac{3^2}{2!}\cdot0,\!118=0,\!471\approx0,\!47;\quad A=90\cdot0,\!471=42,\!4[/math] и т.д.

Расчёт значений характеристик СМО

Значение характеристик СМО сведем в табл. 1.


По условию оптимальности [math]Q\geqslant0,\!9[/math], следовательно, в телевизионном ателье необходимо установить 5 телефонных номеров (в этом случае [math]Q=0,\!9[/math] — см. табл. 1). При этом в час будут обслуживаться в среднем 80 заявок [math](A=80,\!1)[/math], а среднее число занятых телефонных номеров (каналов) по формуле (30) [math]\overline{k}=\frac{80,\!1}{30}=2,\!67[/math].




Пример 7. В вычислительный центр коллективного пользования с тремя ЭВМ поступают заказы от предприятий на вычислительные работы. Если работают все три ЭВМ, то вновь поступающий заказ не принимается, и предприятие вынуждено обратиться в другой вычислительный центр. Среднее время работы с одним заказом составляет 3 ч. Интенсивность потока заявок 0,25 (1/ч). Найти предельные вероятности состояний и показатели эффективности работы вычислительного центра.


Решение. По условию [math]n=3,~\lambda=0,\!25[/math] (1/ч), [math]\overline{t}_{\text{ob.}}[/math]=3 (ч). Интенсивность потока обслуживании [math]\mu=\frac{1}{\overline{t}_{\text{ob.}}}=\frac{1}{3}=0,\!33[/math]. Интенсивность нагрузки ЭВМ по формуле (24) [math]\rho=\frac{0,\!25}{0,\!33}=0,\!75[/math]. Найдем предельные вероятности состояний:


– по формуле (25) [math]p_0={\left(1+0,\!75+ \frac{0,\!75^2}{2!}+ \frac{0,\!75^3}{3!}\right)\!}^{-1}=0,\!476[/math];


– по формуле (26) [math]p_1=0,!75\cdot0,\!476=0,\!357;~p_2=\frac{0,\!75^2}{2!}\cdot0,\!476=0,\!134;~p_3=\frac{0,\!75^3}{3!}\cdot0,\!476=0,\!033[/math];


т.е. в стационарном режиме работы вычислительного центра в среднем 47,6% времени нет ни одной заявки, 35,7% — имеется одна заявка (занята одна ЭВМ), 13,4% — две заявки (две ЭВМ), 3,3% времени — три заявки (заняты три ЭВМ).

Вероятность отказа (когда заняты все три ЭВМ), таким образом, [math]P_{\text{otk}}=p_3=0,\!033[/math].


По формуле (28) относительная пропускная способность центра [math]Q=1-0,\!033=0,\!967[/math], т.е. в среднем из каждых 100 заявок вычислительный центр обслуживает 96,7 заявок.


По формуле (29) абсолютная пропускная способность центра [math]A=0,\!25\cdot0,\!967=0,\!242[/math], т.е. в один час в среднем обслуживается. 0,242 заявки.


По формуле (30) среднее число занятых ЭВМ [math]\overline{k}=\frac{0,\!242}{0,\!33}=0,\!725[/math], т.е. каждая из трех ЭВМ будет занята обслуживанием заявок в среднем лишь на [math]\frac{72,\!5}{3}= 24,\!2%.[/math].


При оценке эффективности работы вычислительного центра необходимо сопоставить доходы от выполнения заявок с потерями от простоя дорогостоящих ЭВМ (с одной стороны, у нас высокая пропускная способность СМО, а с другой стороны — значительный простой каналов обслуживания) и выбрать компромиссное решение.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved