Смешанное произведение векторов и его свойства
Смешанным произведением векторов называется число , равное скалярному произведению вектора на векторное произведение векторов и . Смешанное произведение обозначается .
Геометрические свойства смешанного произведения
1. Модуль смешанного произведения некомпланарных векторов равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Произведение положительно, если тройка векторов — правая, и отрицательно, если тройка — левая, и наоборот.
2. Смешанное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда векторы компланарны:
векторы компланарны.
Докажем первое свойство. Найдем по определению смешанное произведение: , где — угол между векторами и . Модуль векторного произведения (по геометрическому свойству 1) равен площади параллелограмма, построенного на векторах и : . Поэтому . Алгебраическое значение длины проекции вектора на ось, задаваемую вектором , равно по модулю высоте параллелепипеда, построенного на векторах (рис. 1.47). Поэтому модуль смешанного произведения равен объему этого параллелепипеда:
Знак смешанного произведения определяется знаком косинуса угла . Если тройка правая, то и смешанное произведение положительно. Если же тройка левая, то и смешанное произведение отрицательно.
Докажем второе свойство. Равенство возможно в трех случаях: или (т.е. ),или (т.е. вектор принадлежит плоскости векторов и ). В каждом случае векторы компланарны (см. разд. 1.1).
Алгебраические свойства смешанного произведения
1. При перестановке двух множителей смешанное произведение изменяет знак на противоположный:
При циклической (круговой) перестановке множителей смешанное произведение не изменяется:
2. Смешанное произведение линейно по любому множителю.
Первое свойство следует из геометрического свойства 1 и свойств ориентации троек векторов (см. разд. 1.9), поскольку от перестановки двух множителей модуль смешанного произведения не изменяется, а меняется только ориентация тройки. При циклической перестановке векторов ориентация тройки не изменяется.
Второе свойство следует из линейности скалярного произведения и свойства 1.
Пример 1.21. Объем параллелепипеда, построенного на векторах , равен . Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах
Решение. Используя алгебраические и геометрические свойства, найдем смешанное произведение
а затем его модуль . По первому геометрическому свойству смешанного произведения искомый объем равен .
Формула вычисления смешанного произведения
Теорема 1.9 (формула вычисления смешанного произведения). Если векторы в правом ортонормированном базисе имеют координаты ; ; соответственно, то смешанное произведение этих векторов находится по формуле
(1.17)
В самом деле, учитывая (1.10) и (1.15), по определению находим:
что и требовалось доказать.
Замечания 1.13
1. Используя свойства смешанного произведения, можно доказать линейность векторного произведения по первому множителю (см. п.1 замечаний 1.12 в разд.1.15):
Для этого найдем скалярное произведение вектора в левой части равенства и единичного вектора стандартного базиса. Учитывая линейность смешанного произведения по второму множителю, получаем
т.е. абсцисса вектора, стоящего в левой части доказываемого равенства равна абсциссе вектора в правой его части (см. пункт З замечаний 1.10). Аналогично доказываем, что ординаты, а также и аппликаты, векторов в обеих частях равенства соответственно равны. Следовательно, это равные векторы, так как их координаты относительно стандартного базиса совпадают.
2. Из первого алгебраического свойства смешанного произведения и коммутативности скалярного произведения следует, что
т.е. . Последнее равенство можно взять в качестве эквивалентного определения смешанного произведения.
3. Если тройка векторов является базисом пространства, то тройка векторов
образует взаимный базис. В самом деле, указанный вектор по определению векторного произведения ортогонален векторам и ,т.е. и , а скалярное произведение равно единице, так как . Поэтому вектор содержится во взаимном базисе. Аналогичные рассуждения проводятся относительно векторов и . Поэтому базисы и взаимные.
4. Если — координатные столбцы векторов в стандартном базисе, то их смешанное произведение находится по формуле
Пример 1.22. Параллелепипед построен на векторах (рис.1.48). Требуется найти:
а) смешанное произведение , а также ориентацию тройки ; б) объем треугольной пирамиды ; в) высоту параллелепипеда (расстояние между плоскостями оснований и ).
Решение. а) Смешанное произведение находим по формуле (1.17):
.
Поскольку произведение отрицательно, то тройка векторов — левая (см. первое геометрическое свойство смешанного произведения).
Для нахождения смешанного произведения можно использовать матричную запись формулы (1.17) (см. пункт 4 замечаний 1.13). Векторам , , соответствуют координатные столбцы
По формуле пункт 4 замечаний 1.13 получаем
Результаты совпадают.
б) Объем треугольной пирамиды составляет шестую часть объема параллелепипеда. Действительно, их высоты совпадают, а площадь основания пирамиды составляет половину площади параллелограмма .
Поэтому . Поскольку , то
в) Высоту параллелепипеда найдем по формуле , где — площадь параллелограмма . Поскольку и (см. пример 1.20), то .
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
|