Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Смешанное произведение векторов и его свойства

Смешанное произведение векторов и его свойства


Смешанным произведением векторов [math]\vec{a},\vec{b},\vec{c}[/math] называется число [math]\bigl\langle\vec{a},[\vec{b},\vec{c}]\bigl\rangle[/math], равное скалярному произведению вектора [math]\vec{a}[/math] на векторное произведение векторов [math]\vec{b}[/math] и [math]\vec{c}[/math]. Смешанное произведение обозначается [math](\vec{a},\vec{b},\vec{c})[/math].


Геометрические свойства смешанного произведения


1. Модуль смешанного произведения некомпланарных векторов [math]\vec{a},\vec{b},\vec{c}[/math] равен объему [math]V_{*\vec{a},\vec{b},\vec{c}}[/math] параллелепипеда, построенного на этих векторах. Произведение [math](\vec{a},\vec{b},\vec{c})[/math] положительно, если тройка векторов [math]\vec{a},\vec{b},\vec{c}[/math] — правая, и отрицательно, если тройка [math]\vec{a},\vec{b},\vec{c}[/math] — левая, и наоборот.


2. Смешанное произведение [math](\vec{a},\vec{b},\vec{c})[/math] равно нулю тогда и только тогда, когда векторы [math]\vec{a},\vec{b},\vec{c}[/math] компланарны:


[math](\vec{a},\vec{b},\vec{c})=0~\Leftrightarrow[/math] векторы [math]\vec{a},\vec{b},\vec{c}[/math] компланарны.

Докажем первое свойство. Найдем по определению смешанное произведение: [math](\vec{a},\vec{b},\vec{c})=|\vec{a}|\cdot\bigl|[\vec{b},\vec{c}]\bigl|\cos\psi[/math], где [math]\psi[/math] — угол между векторами [math]\vec{a}[/math] и [math][\vec{b},\vec{c}][/math]. Модуль векторного произведения (по геометрическому свойству 1) равен площади [math]S_{*\vec{b}\vec{c}}[/math] параллелограмма, построенного на векторах [math]\vec{b}[/math] и [math]\vec{c}[/math]: [math]\bigl|[\vec{b},\vec{c}]\bigl|\,=|\vec{b}|\cdot|\vec{c}|\cdot\sin\varphi=S_{*\vec{b}\vec{c}}[/math]. Поэтому [math](\vec{a},\vec{b},\vec{c})=S_{*\vec{b}\vec{c}}|\vec{a}|\cos\psi[/math]. Алгебраическое значение [math]|\vec{a}|\cos\psi[/math] длины проекции вектора [math]\vec{a}[/math] на ось, задаваемую вектором [math][\vec{b},\vec{c}][/math], равно по модулю высоте [math]h=|\vec{a}|\cdot|\cos\psi|[/math] параллелепипеда, построенного на векторах [math]\vec{a},\vec{b},\vec{c}[/math] (рис. 1.47). Поэтому модуль смешанного произведения равен объему [math]V_{*\vec{a}\vec{b}\vec{c}}[/math] этого параллелепипеда:

Параллелепипед, построенный на векторах
[math]\bigl|\vec{a},\vec{b},\vec{c}\bigl|\,=S_{*\vec{b}\vec{c}}\cdot|\vec{a}|\cdot|\cos\psi|=S_{*\vec{b}\vec{c}}\cdot h=V_{*\vec{a}\vec{b}\vec{c}}.[/math]

Знак смешанного произведения определяется знаком косинуса угла [math]\psi[/math]. Если тройка [math]\vec{a},\vec{b},\vec{c}[/math] правая, то [math]\psi<\frac{\pi}{2}[/math] и смешанное произведение [math](\vec{a},\vec{b},\vec{c})[/math] положительно. Если же тройка [math]\vec{a},\vec{b},\vec{c}[/math] левая, то [math]\psi>\frac{\pi}{2}[/math] и смешанное произведение [math](\vec{a},\vec{b},\vec{c})[/math] отрицательно.


Докажем второе свойство. Равенство [math](\vec{a},\vec{b},\vec{c})=|\vec{a}|\cdot\bigl|[\vec{b},\vec{c}]\bigl|\cos\psi=0[/math] возможно в трех случаях: [math]\vec{a}=\vec{o}[/math] или [math][\vec{b},\vec{c}]=\vec{o}[/math] (т.е. [math]\vec{b}\parallel\vec{c}[/math]),или [math]\cos\psi=0[/math] (т.е. вектор [math]\vec{a}[/math] принадлежит плоскости векторов [math]\vec{b}[/math] и [math]\vec{c}[/math]). В каждом случае векторы [math]\vec{a},\vec{b},\vec{c}[/math] компланарны (см. разд. 1.1).




Алгебраические свойства смешанного произведения


1. При перестановке двух множителей смешанное произведение изменяет знак на противоположный:


[math](\vec{a},\vec{b},\vec{c})=-(\vec{b},\vec{a},\vec{c}),\qquad (\vec{a},\vec{b},\vec{c})=-(\vec{c},\vec{a},\vec{a}),\qquad (\vec{a},\vec{b},\vec{c})=-(\vec{a},\vec{c},\vec{b}).[/math]

При циклической (круговой) перестановке множителей смешанное произведение не изменяется:


[math](\vec{a},\vec{b},\vec{c})=(\vec{b},\vec{c},\vec{a})=(\vec{c},\vec{a},\vec{b}).[/math]

2. Смешанное произведение линейно по любому множителю.


Первое свойство следует из геометрического свойства 1 и свойств ориентации троек векторов (см. разд. 1.9), поскольку от перестановки двух множителей модуль смешанного произведения не изменяется, а меняется только ориентация тройки. При циклической перестановке векторов ориентация тройки не изменяется.


Второе свойство следует из линейности скалярного произведения и свойства 1.




Пример 1.21. Объем параллелепипеда, построенного на векторах [math]\vec{a},\vec{b},\vec{c}[/math], равен [math]V[/math]. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах

[math]\vec{p}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c},\qquad \vec{q}=\vec{a}+\vec{b}-\vec{c},\qquad \vec{r}=\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}\,.[/math]

Решение. Используя алгебраические и геометрические свойства, найдем смешанное произведение


[math]\begin{aligned} (\vec{p},\vec{q},\vec{r})=\,&(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c},\vec{a}+\vec{b}-\vec{c},\vec{a}-\vec{b}+\vec{c})=\\[3pt] =\,&(\vec{a},\vec{a}+\vec{b}-\vec{c},\vec{a}-\vec{b}+\vec{c})+(\vec{b},\vec{a}+\vec{b}-\vec{c},\vec{a}-\vec{b}+\vec{c})+(\vec{c},\vec{a}+\vec{b}-\vec{c},\vec{a}-\vec{b}+\vec{c})=\\[3pt] =\,&\underbrace{(\vec{a},\vec{a},\vec{a}-\vec{b}+\vec{c})}_0+(\vec{a},\vec{b},\vec{a}-\vec{b}+\vec{c})-(\vec{a},\vec{c},\vec{a}-\vec{b}+\vec{c})+\\[3pt] \phantom{=\,}&+(\vec{b},\vec{a},\vec{a}-\vec{b}+\vec{c})+\underbrace{(\vec{b},\vec{b},\vec{a}-\vec{b}+\vec{c})}_0-(\vec{b},\vec{c},\vec{a}-\vec{b}+\vec{c})+\\[3pt] \phantom{=\,}&+(\vec{c},\vec{a},\vec{a}-\vec{b}+\vec{c})+(\vec{c},\vec{b},\vec{a}-\vec{b}+\vec{c})-\underbrace{(\vec{c},\vec{c},\vec{a}-\vec{b}+\vec{c})}_0=\\[3pt] =\,&\underbrace{(\vec{a},\vec{b},\vec{a})}_0-\underbrace{(\vec{a},\vec{b},\vec{b})}_0+(\vec{a},\vec{b},\vec{c})-\underbrace{(\vec{a},\vec{b},\vec{a})}_0+(\vec{a},\vec{c},\vec{b})-\underbrace{(\vec{a},\vec{c},\vec{c})}_0+\\[3pt] \phantom{=
,}&+\underbrace{(\vec{b},\vec{a},\vec{a})}_0-\underbrace{(\vec{b},\vec{a},b)}_0+(\vec{b},\vec{a},\vec{c})-(\vec{b},\vec{c},\vec{a})+\underbrace{(\vec{b},\vec{c},\vec{b})}_0-\underbrace{(\vec{b},\vec{c},\vec{c})}_0+\\[3pt] \phantom{=\,}&+\underbrace{(\vec{c},\vec{a},\vec{a})}_0-(\vec{c},\vec{a},\vec{b})+\underbrace{(\vec{c},\vec{a},\vec{c})}_0-(\vec{c},\vec{b},\vec{a})+\underbrace{(\vec{c},\vec{b},\vec{b})}_0-\underbrace{(\vec{c},\vec{b},\vec{c})}_0=\\[3pt] =\,&(\vec{a},\vec{b},\vec{c})+\underbrace{(\vec{a},\vec{c},\vec{b})}_{-(\vec{a},\vec{b},c)}+\underbrace{(\vec{b},\vec{a},\vec{c})}_{-(\vec{a},\vec{b},c)}-\underbrace{(\vec{b},\vec{c},a)}_{(\vec{a},\vec{b},c)}-\underbrace{(\vec{c},\vec{a},\vec{b})}_{(\vec{a},\vec{b},c)}+\underbrace{(\vec{c},\vec{b},\vec{a})}_{-(\vec{a},\vec{b},c)}=-4\cdot(\vec{a},\vec{b},\vec{c}), \end{aligned}[/math]

а затем его модуль [math]|(\vec{p},\vec{q},\vec{r})|=|-4|{\cdot}|(\vec{a},\vec{b},\vec{c})|=4V[/math]. По первому геометрическому свойству смешанного произведения искомый объем равен [math]4V[/math].




Формула вычисления смешанного произведения


Теорема 1.9 (формула вычисления смешанного произведения). Если векторы [math]\vec{a},\vec{b},\vec{c}[/math] в правом ортонормированном базисе [math]\vec{i},\vec{j},\vec{k}[/math] имеют координаты [math]x_a,y_a,z_a[/math]; [math]x_b,y_b,z_b[/math]; [math]x_c,y_c,z_c[/math] соответственно, то смешанное произведение этих векторов находится по формуле


[math](\vec{a},\vec{b},\vec{c})= \begin{vmatrix} x_a&y_a&z_a\\ x_b&y_b&z_b\\ x_c&y_c&z_c \end{vmatrix}.[/math]
(1.17)

В самом деле, учитывая (1.10) и (1.15), по определению находим:


[math]\begin{gathered}\left(x_a\,\vec{i}+y_a\,\vec{j}+z_a\,\vec{k},~\begin{vmatrix}y_b&z_b\\y_c&z_c\end{vmatrix}\vec{i}-\begin{vmatrix}x_b&z_b\\x_c&z_c\end{vmatrix}\vec{j}+\begin{vmatrix}x_b&y_b\\x_c&y_c\end{vmatrix}\vec{k}\right)=\\=x_a\begin{vmatrix}y_b&z_b\\y_c&z_c\end{vmatrix}-y_a\begin{vmatrix}x_b&z_b\\x_c&z_c\end{vmatrix}+z_a\begin{vmatrix}x_b&y_b\\x_c&y_c\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}x_a&y_a&z_a\\x_b&y_b&z_b\\x_c&y_c&z_c\end{vmatrix},\end{gathered}[/math]
что и требовалось доказать.



Замечания 1.13


1. Используя свойства смешанного произведения, можно доказать линейность векторного произведения по первому множителю (см. п.1 замечаний 1.12 в разд.1.15):


[math]\bigl[\alpha\cdot\vec{a}+\beta\cdot\vec{b},\,\vec{c}\bigl]\,=\alpha\cdot[\vec{a},\vec{c}]+\beta\cdot[\vec{b},\vec{c}].[/math]

Для этого найдем скалярное произведение вектора в левой части равенства и единичного вектора [math]\vec{i}[/math] стандартного базиса. Учитывая линейность смешанного произведения по второму множителю, получаем


[math]\begin{gathered}\bigl(\vec{i},[\alpha\cdot\vec{a}+\beta\cdot\vec{b},\vec{c}]\bigr)\,=\bigl(\vec{i},\alpha\cdot\vec{a}+\beta\cdot\vec{b},\vec{c}\bigr)\,=\alpha\cdot\bigl(\vec{i},\vec{a},\vec{c}\bigr)+\beta\cdot\bigl(\vec{i},\vec{b},\vec{c}\bigr)\,=\\[3pt]=\alpha\cdot\bigl(\vec{i},[\vec{a},\vec{c}]\bigr)+\beta\cdot\bigl(\vec{i},[\vec{b},\vec{c}]\bigr)\,=\bigl(\vec{i},\alpha\cdot[\vec{a},\vec{c}]+\beta\cdot[\vec{b},\vec{c}]\bigr),\end{gathered}[/math]

т.е. абсцисса вектора, стоящего в левой части доказываемого равенства равна абсциссе вектора в правой его части (см. пункт З замечаний 1.10). Аналогично доказываем, что ординаты, а также и аппликаты, векторов в обеих частях равенства соответственно равны. Следовательно, это равные векторы, так как их координаты относительно стандартного базиса совпадают.

2. Из первого алгебраического свойства смешанного произведения и коммутативности скалярного произведения следует, что


[math]\bigl(\vec{a},[\vec{b},\vec{c}]\bigr)\,=\bigl(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\bigr)\,=\bigl(\vec{c},\vec{a},\vec{b}\bigr)\,=\bigl(\vec{c},[\vec{a},\vec{b}]\bigr)\,=\bigl([\vec{a},\vec{b}],\vec{c}\bigr)[/math]

т.е. [math]\bigl(\vec{a}, \vec{b},\vec{c} \bigr)\,=\bigl([\vec{a},\vec{b}],\vec{c}\bigr)[/math]. Последнее равенство можно взять в качестве эквивалентного определения смешанного произведения.

3. Если тройка векторов [math]\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3[/math] является базисом пространства, то тройка векторов


[math]\vec{e}_1\,\!\!^*=\frac{[\vec{e}_2,\vec{e}_3]}{(\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3)};\qquad \vec{e}_2\,\!\!^*=\frac{[\vec{e}_3,\vec{e}_1]}{(\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3)};\qquad \vec{e}_3\,\!\!^*=\frac{[\vec{e}_1,\vec{e}_2]}{(\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3)}[/math]
образует взаимный базис.

В самом деле, указанный вектор [math]\vec{e}_1\,\!\!^*[/math] по определению векторного произведения ортогонален векторам [math]\vec{e}_2[/math] и [math]\vec{e}_3[/math],т.е. [math]\bigl(\vec{e}_2,\vec{e}_1\,\!\!^*\bigr)=0[/math] и [math]\bigl(\vec{e}_3,\vec{e}_1\,\!\!^*\bigr)=0[/math], а скалярное произведение [math]\bigl(\vec{e}_1,\vec{e}_1\,\!\!^*\bigr)[/math] равно единице, так как [math]\bigl(\vec{e}_1,\vec{e}_1\,\!\!^*\bigr)=\frac{(\vec{e}_1,[\vec{e}_2,\vec{e}_3])}{(\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3)}=\frac{(\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3)}{(\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3)}=1[/math]. Поэтому вектор [math]\vec{e}_1\,\!\!^*[/math] содержится во взаимном базисе. Аналогичные рассуждения проводятся относительно векторов [math]\vec{e}_2\,\!\!^*[/math] и [math]\vec{e}_3\,\!\!^*[/math]. Поэтому базисы [math]\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3[/math] и [math]\vec{e}_1\,\!\!^*,\vec{e}_2\,\!\!^*,\vec{e}_3\,\!\!^*[/math] взаимные.


4. Если [math]a=\begin{pmatrix} x_a&y_a&z_a \end{pmatrix}^T,~ b=\begin{pmatrix}x_b&y_b&z_b\end{pmatrix}^T,~ c=\begin{pmatrix} x_c&y_c&z_c \end{pmatrix}^T[/math] — координатные столбцы векторов [math]\vec{a},\vec{b},\vec{c}[/math] в стандартном базисе, то их смешанное произведение находится по формуле


[math]\bigl(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\bigr)\,=\begin{pmatrix}x_a&y_a&z_a\end{pmatrix}\!\cdot\!\begin{pmatrix}0&-z_b&y_b\\z_b&0&-x_b\\-y_b&x_b&0\end{pmatrix}\!\cdot\!\begin{pmatrix}x_c\\y_c\\z_c\end{pmatrix}.[/math]



Пример 1.22. Параллелепипед [math]ABCDA_1B_1C_1D_1[/math] построен на векторах [math]\overrightarrow{AB}=\vec{i}+2\vec{j}+2\vec{k},[/math] [math]\overrightarrow{AD}=3\vec{i}-2\vec{j}+\vec{k},[/math] [math]\overrightarrow{AA_1}=2\vec{i}-\vec{j}+3\vec{k}[/math] (рис.1.48). Требуется найти:

Треугольная пирамида, вписанная в параллелепипед

а) смешанное произведение [math]\bigl(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AA_1}\bigr)[/math], а также ориентацию тройки [math]\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AA_1}[/math];

б) объем треугольной пирамиды [math]ABDA_1[/math];

в) высоту [math]h[/math] параллелепипеда (расстояние между плоскостями оснований [math]ABCD[/math] и [math]A_1B_1C_1D_1[/math]).


Решение. а) Смешанное произведение [math]\bigl(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AA_1}\bigr)[/math] находим по формуле (1.17):


[math]\bigl(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AA_1}\bigr)=\begin{vmatrix}1&2&2\\3&-2&1\\2&-1&3\end{vmatrix}=-17[/math].

Поскольку произведение отрицательно, то тройка векторов [math]\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AA_1}[/math] — левая (см. первое геометрическое свойство смешанного произведения).


Для нахождения смешанного произведения можно использовать матричную запись формулы (1.17) (см. пункт 4 замечаний 1.13). Векторам [math]\vec{a}=\overrightarrow{AB}[/math], [math]\vec{c}=\overrightarrow{AA_1}[/math], [math]\vec{a}=\overrightarrow{AB}[/math] соответствуют координатные столбцы


[math]a=\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\!,\qquad b=\begin{pmatrix}3\\-2\\1\end{pmatrix}\!,\qquad c=\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}[/math]

По формуле пункт 4 замечаний 1.13 получаем


[math]\bigl(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\bigr)=\begin{pmatrix}1&2&2\end{pmatrix}\!\cdot\!\begin{pmatrix}0&-1&-2\\1&0&-3\\2&3&0\end{pmatrix}\!\cdot\!\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2&2\end{pmatrix}\!\cdot\!\begin{pmatrix}-5\\-7\\1\end{pmatrix}[/math]

Результаты совпадают.


б) Объем [math]V[/math] треугольной пирамиды [math]ABDA_1[/math] составляет шестую часть объема [math]V_{*}[/math] параллелепипеда. Действительно, их высоты совпадают, а площадь [math]S_{\text{osn}}[/math] основания пирамиды составляет половину площади [math]S_{*}[/math] параллелограмма [math]ABCD[/math].


Поэтому [math]V=\frac{h}{3}\cdot S_{\text{osn}}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot S_{*}\cdot h=\frac{1}{6}\cdot V_{*}[/math]. Поскольку [math]V_{*}=\Bigl|\bigl(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AA_1}\bigr)\Bigl|\,=17[/math], то [math]V=\frac{1}{6}\cdot V_{*}=\frac{17}{6}.[/math]


в) Высоту [math]h[/math] параллелепипеда найдем по формуле [math]h=\frac{V_{*}}{S_{*}}[/math], где [math]S_{*}[/math] — площадь параллелограмма [math]ABCD[/math]. Поскольку [math]V_{*}=17[/math] и [math]S_{*}=5\sqrt{5}[/math] (см. пример 1.20), то [math]h=\frac{17}{5\sqrt{5}}[/math].


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved