Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Смешанное произведение векторов и его свойства

Смешанное произведение векторов и его свойства


Смешанным произведением векторов \vec{a},\vec{b},\vec{c} называется число \bigl\langle\vec{a},[\vec{b},\vec{c}]\bigl\rangle, равное скалярному произведению вектора \vec{a} на векторное произведение векторов \vec{b} и \vec{c}. Смешанное произведение обозначается (\vec{a},\vec{b},\vec{c}).


Геометрические свойства смешанного произведения


1. Модуль смешанного произведения некомпланарных векторов \vec{a},\vec{b},\vec{c} равен объему V_{*\vec{a},\vec{b},\vec{c}} параллелепипеда, построенного на этих векторах. Произведение (\vec{a},\vec{b},\vec{c}) положительно, если тройка векторов \vec{a},\vec{b},\vec{c} — правая, и отрицательно, если тройка \vec{a},\vec{b},\vec{c} — левая, и наоборот.


2. Смешанное произведение (\vec{a},\vec{b},\vec{c}) равно нулю тогда и только тогда, когда векторы \vec{a},\vec{b},\vec{c} компланарны:


(\vec{a},\vec{b},\vec{c})=0~\Leftrightarrow векторы \vec{a},\vec{b},\vec{c} компланарны.

Докажем первое свойство. Найдем по определению смешанное произведение: (\vec{a},\vec{b},\vec{c})=|\vec{a}|\cdot\bigl|[\vec{b},\vec{c}]\bigl|\cos\psi, где \psi — угол между векторами \vec{a} и [\vec{b},\vec{c}]. Модуль векторного произведения (по геометрическому свойству 1) равен площади S_{*\vec{b}\vec{c}} параллелограмма, построенного на векторах \vec{b} и \vec{c}: \bigl|[\vec{b},\vec{c}]\bigl|\,=|\vec{b}|\cdot|\vec{c}|\cdot\sin\varphi=S_{*\vec{b}\vec{c}}. Поэтому (\vec{a},\vec{b},\vec{c})=S_{*\vec{b}\vec{c}}|\vec{a}|\cos\psi. Алгебраическое значение |\vec{a}|\cos\psi длины проекции вектора \vec{a} на ось, задаваемую вектором [\vec{b},\vec{c}], равно по модулю высоте h=|\vec{a}|\cdot|\cos\psi| параллелепипеда, построенного на векторах \vec{a},\vec{b},\vec{c} (рис. 1.47). Поэтому модуль смешанного произведения равен объему V_{*\vec{a}\vec{b}\vec{c}} этого параллелепипеда:

Параллелепипед, построенный на векторах
\bigl|\vec{a},\vec{b},\vec{c}\bigl|\,=S_{*\vec{b}\vec{c}}\cdot|\vec{a}|\cdot|\cos\psi|=S_{*\vec{b}\vec{c}}\cdot h=V_{*\vec{a}\vec{b}\vec{c}}.

Знак смешанного произведения определяется знаком косинуса угла \psi. Если тройка \vec{a},\vec{b},\vec{c} правая, то \psi<\frac{\pi}{2} и смешанное произведение (\vec{a},\vec{b},\vec{c}) положительно. Если же тройка \vec{a},\vec{b},\vec{c} левая, то \psi>\frac{\pi}{2} и смешанное произведение (\vec{a},\vec{b},\vec{c}) отрицательно.


Докажем второе свойство. Равенство (\vec{a},\vec{b},\vec{c})=|\vec{a}|\cdot\bigl|[\vec{b},\vec{c}]\bigl|\cos\psi=0 возможно в трех случаях: \vec{a}=\vec{o} или [\vec{b},\vec{c}]=\vec{o} (т.е. \vec{b}\parallel\vec{c}),или \cos\psi=0 (т.е. вектор \vec{a} принадлежит плоскости векторов \vec{b} и \vec{c}). В каждом случае векторы \vec{a},\vec{b},\vec{c} компланарны (см. разд. 1.1).




Алгебраические свойства смешанного произведения


1. При перестановке двух множителей смешанное произведение изменяет знак на противоположный:


(\vec{a},\vec{b},\vec{c})=-(\vec{b},\vec{a},\vec{c}),\qquad (\vec{a},\vec{b},\vec{c})=-(\vec{c},\vec{a},\vec{a}),\qquad (\vec{a},\vec{b},\vec{c})=-(\vec{a},\vec{c},\vec{b}).

При циклической (круговой) перестановке множителей смешанное произведение не изменяется:


(\vec{a},\vec{b},\vec{c})=(\vec{b},\vec{c},\vec{a})=(\vec{c},\vec{a},\vec{b}).

2. Смешанное произведение линейно по любому множителю.


Первое свойство следует из геометрического свойства 1 и свойств ориентации троек векторов (см. разд. 1.9), поскольку от перестановки двух множителей модуль смешанного произведения не изменяется, а меняется только ориентация тройки. При циклической перестановке векторов ориентация тройки не изменяется.


Второе свойство следует из линейности скалярного произведения и свойства 1.




Пример 1.21. Объем параллелепипеда, построенного на векторах \vec{a},\vec{b},\vec{c}, равен V. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах

\vec{p}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c},\qquad \vec{q}=\vec{a}+\vec{b}-\vec{c},\qquad \vec{r}=\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}\,.

Решение. Используя алгебраические и геометрические свойства, найдем смешанное произведение


\begin{aligned} (\vec{p},\vec{q},\vec{r})=\,&(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c},\vec{a}+\vec{b}-\vec{c},\vec{a}-\vec{b}+\vec{c})=\\[3pt] =\,&(\vec{a},\vec{a}+\vec{b}-\vec{c},\vec{a}-\vec{b}+\vec{c})+(\vec{b},\vec{a}+\vec{b}-\vec{c},\vec{a}-\vec{b}+\vec{c})+(\vec{c},\vec{a}+\vec{b}-\vec{c},\vec{a}-\vec{b}+\vec{c})=\\[3pt] =\,&\underbrace{(\vec{a},\vec{a},\vec{a}-\vec{b}+\vec{c})}_0+(\vec{a},\vec{b},\vec{a}-\vec{b}+\vec{c})-(\vec{a},\vec{c},\vec{a}-\vec{b}+\vec{c})+\\[3pt] \phantom{=\,}&+(\vec{b},\vec{a},\vec{a}-\vec{b}+\vec{c})+\underbrace{(\vec{b},\vec{b},\vec{a}-\vec{b}+\vec{c})}_0-(\vec{b},\vec{c},\vec{a}-\vec{b}+\vec{c})+\\[3pt] \phantom{=\,}&+(\vec{c},\vec{a},\vec{a}-\vec{b}+\vec{c})+(\vec{c},\vec{b},\vec{a}-\vec{b}+\vec{c})-\underbrace{(\vec{c},\vec{c},\vec{a}-\vec{b}+\vec{c})}_0=\\[3pt] =\,&\underbrace{(\vec{a},\vec{b},\vec{a})}_0-\underbrace{(\vec{a},\vec{b},\vec{b})}_0+(\vec{a},\vec{b},\vec{c})-\underbrace{(\vec{a},\vec{b},\vec{a})}_0+(\vec{a},\vec{c},\vec{b})-\underbrace{(\vec{a},\vec{c},\vec{c})}_0+\\[3pt] \phantom{=<br />,}&+\underbrace{(\vec{b},\vec{a},\vec{a})}_0-\underbrace{(\vec{b},\vec{a},b)}_0+(\vec{b},\vec{a},\vec{c})-(\vec{b},\vec{c},\vec{a})+\underbrace{(\vec{b},\vec{c},\vec{b})}_0-\underbrace{(\vec{b},\vec{c},\vec{c})}_0+\\[3pt] \phantom{=\,}&+\underbrace{(\vec{c},\vec{a},\vec{a})}_0-(\vec{c},\vec{a},\vec{b})+\underbrace{(\vec{c},\vec{a},\vec{c})}_0-(\vec{c},\vec{b},\vec{a})+\underbrace{(\vec{c},\vec{b},\vec{b})}_0-\underbrace{(\vec{c},\vec{b},\vec{c})}_0=\\[3pt] =\,&(\vec{a},\vec{b},\vec{c})+\underbrace{(\vec{a},\vec{c},\vec{b})}_{-(\vec{a},\vec{b},c)}+\underbrace{(\vec{b},\vec{a},\vec{c})}_{-(\vec{a},\vec{b},c)}-\underbrace{(\vec{b},\vec{c},a)}_{(\vec{a},\vec{b},c)}-\underbrace{(\vec{c},\vec{a},\vec{b})}_{(\vec{a},\vec{b},c)}+\underbrace{(\vec{c},\vec{b},\vec{a})}_{-(\vec{a},\vec{b},c)}=-4\cdot(\vec{a},\vec{b},\vec{c}), \end{aligned}

а затем его модуль |(\vec{p},\vec{q},\vec{r})|=|-4|{\cdot}|(\vec{a},\vec{b},\vec{c})|=4V. По первому геометрическому свойству смешанного произведения искомый объем равен 4V.




Формула вычисления смешанного произведения


Теорема 1.9 (формула вычисления смешанного произведения). Если векторы \vec{a},\vec{b},\vec{c} в правом ортонормированном базисе \vec{i},\vec{j},\vec{k} имеют координаты x_a,y_a,z_a; x_b,y_b,z_b; x_c,y_c,z_c соответственно, то смешанное произведение этих векторов находится по формуле


(\vec{a},\vec{b},\vec{c})= \begin{vmatrix} x_a&y_a&z_a\\ x_b&y_b&z_b\\ x_c&y_c&z_c \end{vmatrix}.
(1.17)

В самом деле, учитывая (1.10) и (1.15), по определению находим:


\begin{gathered}\left(x_a\,\vec{i}+y_a\,\vec{j}+z_a\,\vec{k},~\begin{vmatrix}y_b&z_b\\y_c&z_c\end{vmatrix}\vec{i}-\begin{vmatrix}x_b&z_b\\x_c&z_c\end{vmatrix}\vec{j}+\begin{vmatrix}x_b&y_b\\x_c&y_c\end{vmatrix}\vec{k}\right)=\\=x_a\begin{vmatrix}y_b&z_b\\y_c&z_c\end{vmatrix}-y_a\begin{vmatrix}x_b&z_b\\x_c&z_c\end{vmatrix}+z_a\begin{vmatrix}x_b&y_b\\x_c&y_c\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}x_a&y_a&z_a\\x_b&y_b&z_b\\x_c&y_c&z_c\end{vmatrix},\end{gathered}

что и требовалось доказать.




Замечания 1.13


1. Используя свойства смешанного произведения, можно доказать линейность векторного произведения по первому множителю (см. п.1 замечаний 1.12 в разд.1.15):


\bigl[\alpha\cdot\vec{a}+\beta\cdot\vec{b},\,\vec{c}\bigl]\,=\alpha\cdot[\vec{a},\vec{c}]+\beta\cdot[\vec{b},\vec{c}].

Для этого найдем скалярное произведение вектора в левой части равенства и единичного вектора \vec{i} стандартного базиса. Учитывая линейность смешанного произведения по второму множителю, получаем


\begin{gathered}\bigl(\vec{i},[\alpha\cdot\vec{a}+\beta\cdot\vec{b},\vec{c}]\bigr)\,=\bigl(\vec{i},\alpha\cdot\vec{a}+\beta\cdot\vec{b},\vec{c}\bigr)\,=\alpha\cdot\bigl(\vec{i},\vec{a},\vec{c}\bigr)+\beta\cdot\bigl(\vec{i},\vec{b},\vec{c}\bigr)\,=\\[3pt]=\alpha\cdot\bigl(\vec{i},[\vec{a},\vec{c}]\bigr)+\beta\cdot\bigl(\vec{i},[\vec{b},\vec{c}]\bigr)\,=\bigl(\vec{i},\alpha\cdot[\vec{a},\vec{c}]+\beta\cdot[\vec{b},\vec{c}]\bigr),\end{gathered}

т.е. абсцисса вектора, стоящего в левой части доказываемого равенства равна абсциссе вектора в правой его части (см. пункт З замечаний 1.10). Аналогично доказываем, что ординаты, а также и аппликаты, векторов в обеих частях равенства соответственно равны. Следовательно, это равные векторы, так как их координаты относительно стандартного базиса совпадают.


2. Из первого алгебраического свойства смешанного произведения и коммутативности скалярного произведения следует, что


\bigl(\vec{a},[\vec{b},\vec{c}]\bigr)\,=\bigl(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\bigr)\,=\bigl(\vec{c},\vec{a},\vec{b}\bigr)\,=\bigl(\vec{c},[\vec{a},\vec{b}]\bigr)\,=\bigl([\vec{a},\vec{b}],\vec{c}\bigr)

т.е. \bigl(\vec{a}, \vec{b},\vec{c} \bigr)\,=\bigl([\vec{a},\vec{b}],\vec{c}\bigr). Последнее равенство можно взять в качестве эквивалентного определения смешанного произведения.


3. Если тройка векторов \vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3 является базисом пространства, то тройка векторов


\vec{e}_1\,\!\!^*=\frac{[\vec{e}_2,\vec{e}_3]}{(\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3)};\qquad \vec{e}_2\,\!\!^*=\frac{[\vec{e}_3,\vec{e}_1]}{(\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3)};\qquad \vec{e}_3\,\!\!^*=\frac{[\vec{e}_1,\vec{e}_2]}{(\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3)}

образует взаимный базис.

В самом деле, указанный вектор \vec{e}_1\,\!\!^* по определению векторного произведения ортогонален векторам \vec{e}_2 и \vec{e}_3,т.е. \bigl(\vec{e}_2,\vec{e}_1\,\!\!^*\bigr)=0 и \bigl(\vec{e}_3,\vec{e}_1\,\!\!^*\bigr)=0, а скалярное произведение \bigl(\vec{e}_1,\vec{e}_1\,\!\!^*\bigr) равно единице, так как \bigl(\vec{e}_1,\vec{e}_1\,\!\!^*\bigr)=\frac{(\vec{e}_1,[\vec{e}_2,\vec{e}_3])}{(\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3)}=\frac{(\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3)}{(\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3)}=1. Поэтому вектор \vec{e}_1\,\!\!^* содержится во взаимном базисе. Аналогичные рассуждения проводятся относительно векторов \vec{e}_2\,\!\!^* и \vec{e}_3\,\!\!^*. Поэтому базисы \vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3 и \vec{e}_1\,\!\!^*,\vec{e}_2\,\!\!^*,\vec{e}_3\,\!\!^* взаимные.


4. Если a=\begin{pmatrix} x_a&y_a&z_a \end{pmatrix}^T,~ b=\begin{pmatrix}x_b&y_b&z_b\end{pmatrix}^T,~ c=\begin{pmatrix} x_c&y_c&z_c \end{pmatrix}^T — координатные столбцы векторов \vec{a},\vec{b},\vec{c} в стандартном базисе, то их смешанное произведение находится по формуле


\bigl(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\bigr)\,=\begin{pmatrix}x_a&y_a&z_a\end{pmatrix}\!\cdot\!\begin{pmatrix}0&-z_b&y_b\\z_b&0&-x_b\\-y_b&x_b&0\end{pmatrix}\!\cdot\!\begin{pmatrix}x_c\\y_c\\z_c\end{pmatrix}.



Пример 1.22. Параллелепипед ABCDA_1B_1C_1D_1 построен на векторах \overrightarrow{AB}=\vec{i}+2\vec{j}+2\vec{k}, \overrightarrow{AD}=3\vec{i}-2\vec{j}+\vec{k}, \overrightarrow{AA_1}=2\vec{i}-\vec{j}+3\vec{k} (рис.1.48). Требуется найти:

Треугольная пирамида, вписанная в параллелепипед

а) смешанное произведение \bigl(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AA_1}\bigr), а также ориентацию тройки \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AA_1};

б) объем треугольной пирамиды ABDA_1;

в) высоту h параллелепипеда (расстояние между плоскостями оснований ABCD и A_1B_1C_1D_1).


Решение. а) Смешанное произведение \bigl(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AA_1}\bigr) находим по формуле (1.17):


\bigl(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AA_1}\bigr)=\begin{vmatrix}1&2&2\\3&-2&1\\2&-1&3\end{vmatrix}=-17.

Поскольку произведение отрицательно, то тройка векторов \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AA_1} — левая (см. первое геометрическое свойство смешанного произведения).


Для нахождения смешанного произведения можно использовать матричную запись формулы (1.17) (см. пункт 4 замечаний 1.13). Векторам \vec{a}=\overrightarrow{AB}, \vec{c}=\overrightarrow{AA_1}, \vec{a}=\overrightarrow{AB} соответствуют координатные столбцы


a=\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\!,\qquad b=\begin{pmatrix}3\\-2\\1\end{pmatrix}\!,\qquad c=\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}

По формуле пункт 4 замечаний 1.13 получаем


\bigl(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\bigr)=\begin{pmatrix}1&2&2\end{pmatrix}\!\cdot\!\begin{pmatrix}0&-1&-2\\1&0&-3\\2&3&0\end{pmatrix}\!\cdot\!\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2&2\end{pmatrix}\!\cdot\!\begin{pmatrix}-5\\-7\\1\end{pmatrix}

Результаты совпадают.


б) Объем V треугольной пирамиды ABDA_1 составляет шестую часть объема V_{*} параллелепипеда. Действительно, их высоты совпадают, а площадь S_{\text{osn}} основания пирамиды составляет половину площади S_{*} параллелограмма ABCD.


Поэтому V=\frac{h}{3}\cdot S_{\text{osn}}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot S_{*}\cdot h=\frac{1}{6}\cdot V_{*}. Поскольку V_{*}=\Bigl|\bigl(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AA_1}\bigr)\Bigl|\,=17, то V=\frac{1}{6}\cdot V_{*}=\frac{17}{6}.


в) Высоту h параллелепипеда найдем по формуле h=\frac{V_{*}}{S_{*}}, где S_{*} — площадь параллелограмма ABCD. Поскольку V_{*}=17 и S_{*}=5\sqrt{5} (см. пример 1.20), то h=\frac{17}{5\sqrt{5}}.

Перейти на форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2018 MathHelpPlanet.com. All rights reserved