Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Скелетное разложение матрицы и односторонние обратные

Скелетное разложение матрицы и односторонние обратные


Как следует из теоремы о существовании и единственности обратной матрицы, невырожденная квадратная матрица имеет обратную матрицу и притом только одну. Рассмотрим проблему "обращения" вырожденных и неквадратных матриц.


Односторонние обратные матрицы


Пусть A произвольная матрица размеров m\times n. Матрица A_{np}^{-1} размеров n\times m называется правой обратной матрицей для матрицы A, если AA_{np}^{-1}. Матрица A_{\ell}^{-1} размеров n\times m называется левой обратной для матрицы A, если A_{\ell}^{-1}A=E_{n}. Каждую из этих матриц называют односторонней обратной.


Обратная матрица A^{-1} согласно определению AA^{-1}=E=A^{-1}A является левой и правой обратной одновременно. Наоборот, если для матрицы A существуют левая обратная и правая обратная матрицы, то из равенств


A_{\ell}^{-1}=A_{\ell}^{-1}\cdot\underbrace{AA_{np}^{-1}}_{E_m}= A_{\ell}^{-1}\cdot A\cdot A_{np}^{-1}= \underbrace{A_{\ell}^{-1}}_{E_n}\cdot A_{np}^{-1}= A_{np}^{-1}

следует, что они совпадают между собой и с обратной матрицей:


A_{\ell}^{-1}=A_{np}^{-1}=A^{-1}.

Непосредственное применение односторонних обратных матриц затруднительно, так как произвольная матрица может не иметь ни левой, ни правой обратной. Поэтому эти матрицы не решают полностью проблему "обращения" вырожденных и неквадратных матриц.


Рассмотрим другой подход к "обращению" матриц, связанный с элементарными преобразованиями матриц.




Скелетное разложение матрицы


При помощи элементарных преобразований (см. теорему 1.2 в конце лекции) любую ненулевую матрицу A размеров m\times n можно привести к простейшему виду (1.7):


\Lambda=S\cdot A\cdot T
(4.7)

где S и T — элементарные преобразующие матрицы порядков m и n соответственно, а \Lambda — матрица размеров m\times n простейшего вида (см. рис. 1.6):


\Lambda=\begin{pmatrix}E_r\!\!&\vline\!\!&O\\\hline O\!\!&\vline\!\!&O \end{pmatrix}\!.
(4.8)

В (4.8) матрица E_r — единичная r-го порядка (r=\operatorname{rg}A,~1\leqslant r\leqslant\min\{m;n\}), O — нулевые матрицы соответствующих размеров.


Матрицы S и T получены из единичных матриц E_m и E_n при помощи элементарных преобразований над строками или столбцами соответственно. Согласно пeyrne 4 замечаний 4.1, элементарные матрицы имеют обратные, которые также являются элементарными. Следовательно, обратные матрицы S^{-1} и T^{-1} существуют и являются элементарными.


Поэтому равенство (4.7) можно записать так:


A=S^{-1}\cdot\Lambda\cdot T^{-1}.
(4.9)

Используя представление (4.8), получаем


A=S^{-1}\cdot\! \begin{pmatrix}E_r\!\!&\vline\!\!&O\\\hline O\!\!& \vline\!\!&O \end{pmatrix}\!\cdot T^{-1}= \underbrace{S^{-1}\cdot\! \begin{pmatrix} \dfrac{E_r}{O} \end{pmatrix}}_{B}\cdot \underbrace{\begin{pmatrix}E_r\mid O\end{pmatrix}\!\cdot T^{-1}}_{C}= B\cdot C.

Таким образом, любую ненулевую матрицу A размеров m\times n можно представить в виде произведения


A=BC;\quad B=S^{-1}\cdot\! \begin{pmatrix}\dfrac{E_r}{O}\end{pmatrix}\!,\quad C=\begin{pmatrix}E_r\mid O\end{pmatrix}\!\cdot T^{-1},
(4.10)

где B и C — матрицы размеров m\times r и r\times n соответственно, причем r=\operatorname{rg}A. Представление ненулевой матрицы в виде произведения матриц (4.10) называется скелетным разложением матрицы. Матрицы B и C в разложении определяются неоднозначно. Они зависят от выбранной последовательности элементарных преобразований.


Нетрудно показать, что матрицы B и C в (4.10) имеют левую обратную и правую обратную соответственно:


B_{\ell}^{-1}=\begin{pmatrix}E_r\mid V\end{pmatrix}\!S;\qquad C_{np}^{-1}=T\! \begin{pmatrix}\dfrac{E_r}{U}\end{pmatrix}\!.
(4.11)

где U и V произвольные матрицы размеров (n-r)\times r и r\times(m-r).


В самом деле, вычисляя произведения


\begin{gathered}C\cdot C_{np}^{-1}= \begin{pmatrix}E_r\mid O\end{pmatrix}\!\underbrace{T^{-1}\cdot T}_{E_n}\cdot\! \begin{pmatrix} \dfrac{E_r}{U}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}E_r\mid O\end{pmatrix} \!\cdot\! \begin{pmatrix}\dfrac{E_r}{U}\end{pmatrix}=E_r;\\[5pt] B_{\ell}^{-1}\cdot B= \begin{pmatrix}E_r\mid V\end{pmatrix}\!\cdot \underbrace{S\cdot S^{-1}}_{E_m}\cdot\! \begin{pmatrix}\dfrac{E_r}{O}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}E_r\mid V\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}\dfrac{E_r}{O}\end{pmatrix}=E_r, \end{gathered}

получаем единичные матрицы.


Таким образом, любую ненулевую матрицу можно представить в виде произведения (4.10) двух матриц, каждая из которых имеет одностороннюю обратную (4.11).

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2020 MathHelpPlanet.com. All rights reserved