Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Скелетное разложение матрицы и односторонние обратные
ОглавлениеЛинейная алгебра

Скелетное разложение матрицы и односторонние обратные


Как следует из теоремы о существовании и единственности обратной матрицы, невырожденная квадратная матрица имеет обратную матрицу и притом только одну. Рассмотрим проблему "обращения" вырожденных и неквадратных матриц.


Односторонние обратные матрицы


Пусть [math]A[/math] произвольная матрица размеров [math]m\times n[/math]. Матрица [math]A_{np}^{-1}[/math] размеров [math]n\times m[/math] называется правой обратной матрицей для матрицы [math]A[/math], если [math]AA_{np}^{-1}[/math]. Матрица [math]A_{\ell}^{-1}[/math] размеров [math]n\times m[/math] называется левой обратной для матрицы [math]A[/math], если [math]A_{\ell}^{-1}A=E_{n}[/math]. Каждую из этих матриц называют односторонней обратной.


Обратная матрица [math]A^{-1}[/math] согласно определению [math]AA^{-1}=E=A^{-1}A[/math] является левой и правой обратной одновременно. Наоборот, если для матрицы [math]A[/math] существуют левая обратная и правая обратная матрицы, то из равенств


[math]A_{\ell}^{-1}=A_{\ell}^{-1}\cdot\underbrace{AA_{np}^{-1}}_{E_m}= A_{\ell}^{-1}\cdot A\cdot A_{np}^{-1}= \underbrace{A_{\ell}^{-1}}_{E_n}\cdot A_{np}^{-1}= A_{np}^{-1}[/math]

следует, что они совпадают между собой и с обратной матрицей:

[math]A_{\ell}^{-1}=A_{np}^{-1}=A^{-1}.[/math]

Непосредственное применение односторонних обратных матриц затруднительно, так как произвольная матрица может не иметь ни левой, ни правой обратной. Поэтому эти матрицы не решают полностью проблему "обращения" вырожденных и неквадратных матриц.


Рассмотрим другой подход к "обращению" матриц, связанный с элементарными преобразованиями матриц.




Скелетное разложение матрицы


При помощи элементарных преобразований (см. теорему 1.2 в конце лекции) любую ненулевую матрицу [math]A[/math] размеров [math]m\times n[/math] можно привести к простейшему виду (1.7):


[math]\Lambda=S\cdot A\cdot T[/math]
(4.7)

где [math]S[/math] и [math]T[/math] — элементарные преобразующие матрицы порядков [math]m[/math] и [math]n[/math] соответственно, а [math]\Lambda[/math] — матрица размеров [math]m\times n[/math] простейшего вида (см. рис. 1.6):


[math]\Lambda=\begin{pmatrix}E_r\!\!&\vline\!\!&O\\\hline O\!\!&\vline\!\!&O \end{pmatrix}\!.[/math]
(4.8)

В (4.8) матрица [math]E_r[/math] — единичная r-го порядка [math](r=\operatorname{rg}A,~1\leqslant r\leqslant\min\{m;n\})[/math], [math]O[/math] — нулевые матрицы соответствующих размеров.


Матрицы [math]S[/math] и [math]T[/math] получены из единичных матриц [math]E_m[/math] и [math]E_n[/math] при помощи элементарных преобразований над строками или столбцами соответственно. Согласно пeyrne 4 замечаний 4.1, элементарные матрицы имеют обратные, которые также являются элементарными. Следовательно, обратные матрицы [math]S^{-1}[/math] и [math]T^{-1}[/math] существуют и являются элементарными.


Поэтому равенство (4.7) можно записать так:


[math]A=S^{-1}\cdot\Lambda\cdot T^{-1}.[/math]
(4.9)

Используя представление (4.8), получаем


[math]A=S^{-1}\cdot\! \begin{pmatrix}E_r\!\!&\vline\!\!&O\\\hline O\!\!& \vline\!\!&O \end{pmatrix}\!\cdot T^{-1}= \underbrace{S^{-1}\cdot\! \begin{pmatrix} \dfrac{E_r}{O} \end{pmatrix}}_{B}\cdot \underbrace{\begin{pmatrix}E_r\mid O\end{pmatrix}\!\cdot T^{-1}}_{C}= B\cdot C.[/math]

Таким образом, любую ненулевую матрицу [math]A[/math] размеров [math]m\times n[/math] можно представить в виде произведения


[math]A=BC;\quad B=S^{-1}\cdot\! \begin{pmatrix}\dfrac{E_r}{O}\end{pmatrix}\!,\quad C=\begin{pmatrix}E_r\mid O\end{pmatrix}\!\cdot T^{-1},[/math]
(4.10)

где [math]B[/math] и [math]C[/math] — матрицы размеров [math]m\times r[/math] и [math]r\times n[/math] соответственно, причем [math]r=\operatorname{rg}A[/math]. Представление ненулевой матрицы в виде произведения матриц (4.10) называется скелетным разложением матрицы. Матрицы [math]B[/math] и [math]C[/math] в разложении определяются неоднозначно. Они зависят от выбранной последовательности элементарных преобразований.


Нетрудно показать, что матрицы [math]B[/math] и [math]C[/math] в (4.10) имеют левую обратную и правую обратную соответственно:


[math]B_{\ell}^{-1}=\begin{pmatrix}E_r\mid V\end{pmatrix}\!S;\qquad C_{np}^{-1}=T\! \begin{pmatrix}\dfrac{E_r}{U}\end{pmatrix}\!.[/math]
(4.11)

где [math]U[/math] и [math]V[/math] произвольные матрицы размеров [math](n-r)\times r[/math] и [math]r\times(m-r)[/math].


В самом деле, вычисляя произведения


[math]\begin{gathered}C\cdot C_{np}^{-1}= \begin{pmatrix}E_r\mid O\end{pmatrix}\!\underbrace{T^{-1}\cdot T}_{E_n}\cdot\! \begin{pmatrix} \dfrac{E_r}{U}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}E_r\mid O\end{pmatrix} \!\cdot\! \begin{pmatrix}\dfrac{E_r}{U}\end{pmatrix}=E_r;\\[5pt] B_{\ell}^{-1}\cdot B= \begin{pmatrix}E_r\mid V\end{pmatrix}\!\cdot \underbrace{S\cdot S^{-1}}_{E_m}\cdot\! \begin{pmatrix}\dfrac{E_r}{O}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}E_r\mid V\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}\dfrac{E_r}{O}\end{pmatrix}=E_r, \end{gathered}[/math]

получаем единичные матрицы.

Таким образом, любую ненулевую матрицу можно представить в виде произведения (4.10) двух матриц, каждая из которых имеет одностороннюю обратную (4.11).


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved