Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Cкалярное произведение векторов и его свойства

Скалярное произведение векторов и его свойства


Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Если хотя бы один из двух векторов нулевой, то угол между ними не определён, а скалярное произведение считается равным нулю. Скалярное произведение векторов [math]\vec{a}[/math] и [math]\vec{b}[/math] обозначается


[math]\bigl\langle\vec{a}, \vec{b}\bigr\rangle= \bigl|\vec{a}\bigr|\cdot \bigl|\vec{b}\bigr|\cdot\cos\varphi,[/math]
(1.7)

где [math]\varphi[/math] — величина угла между векторами [math]\vec{a}[/math] и [math]\vec{b}[/math].


Скалярное произведение вектора самого на себя [math]\langle\vec{a},\vec{a}\rangle=|\vec{a}|^2[/math] называется скалярным квадратам.


Углы между векторами

Пример 1.13. Найти скалярные произведения [math]\langle\vec{a},\vec{b}\rangle,\langle\vec{b},\vec{a}\rangle,\langle\vec{a},\vec{c}\rangle,\langle\vec{b},\vec{c}\rangle,\langle\vec{a},\vec{d}\rangle,\langle\vec{b},\vec{d}\rangle,\langle\vec{c},\vec{d}\rangle[/math], если известно, что [math]|\vec{a}|=1,~|\vec{b}|=2,|\vec{c}|=4,|\vec{d}|=1[/math], угол [math]\varphi[/math] между векторами [math]\vec{a}[/math] и [math]\vec{b}[/math] равен [math]\frac{\pi}{3}[/math], [math]\vec{c}\uparrow\downarrow\vec{b}[/math], а вектор [math]\vec{d}[/math] образует с вектором [math]\vec{a}[/math] угол [math]\delta=\frac{5\pi}{6}[/math] (рис.1.36).


Решение. По определению находим


[math]\langle\vec{a},\vec{b}\rangle=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos\varphi=1\cdot2\cdot\cos\frac{\pi}{3}=1;\qquad \langle\vec{b}, \vec{a}\rangle= |\vec{b}|\cdot|\vec{a}|\cdot\cos\varphi=2\cdot1\cdot\cos\frac{\pi}{3}=1.[/math]

Так как векторы [math]\vec{b}[/math] и [math]\vec{c}[/math]противоположно направленные, то угол [math]\psi[/math] между векторами [math]\vec{a}[/math] и [math]\vec{c}[/math] равен [math]\frac{2\pi}{3}[/math]. Поэтому


[math]\langle\vec{a},\vec{c}\rangle=|\vec{a}|\cdot|\vec{c}|\cdot\cos\psi=1\cdot4\cdot\cos\frac{2\pi}{3}=-2.[/math]

Угол между противоположно направленными векторами [math]\vec{b}[/math] и [math]\vec{c}[/math] равен [math]\pi[/math], поэтому


[math]\langle\vec{b},\vec{c}\rangle=|\vec{b}|\cdot|\vec{c}|\cdot\cos\pi=2\cdot4\cdot\cos\pi=-8.[/math]

Вектор [math]\vec{d}[/math] ортогонален вектору [math]\vec{b}[/math] (и вектору [math]\vec{c}[/math]), так как величина угла между ними равна [math]\frac{5\pi}{6}-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}[/math], а [math]\cos\frac{\pi}{2}=0[/math]. Поэтому [math]\langle\vec{b},\vec{d}\rangle=\langle\vec{c},\vec{d}\rangle=0[/math].


Угол [math]\delta[/math] между векторами [math]\vec{a}[/math] и [math]\vec{d}[/math] равен [math]\frac{5\pi}{6}[/math], поэтому [math]\langle\vec{a},\vec{d}\rangle=1\cdot1\cdot\cos\frac{5\pi}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}[/math].




Геометрический смысл скалярного произведения векторов


Рассмотрим ортогональную проекцию [math]\overrightarrow{\operatorname{pr}}_{\vec{b}}\vec{a}[/math] ненулевого вектора [math]\vec{a}[/math] на ось, задаваемую вектором [math]\vec{b}\ne\vec{o}[/math] (рис. 1.37). Согласно пункту 1 замечаний 1.4, алгебраическое значение [math]\operatorname{pr}_{\vec{b}}\vec{a}[/math] длины проекции равно произведению длины вектора [math]\vec{a}[/math] на косинус угла между векторами [math]\vec{a}[/math] и [math]\vec{b}[/math]:


[math]\operatorname{pr}_{\vec{b}}\vec{a}=|\vec{a}|\cdot\cos\varphi.[/math]

Умножив обе части этого равенства на [math]|\vec{b}|[/math], получим [math]|\vec{b}|\cdot\operatorname{pr}_{\vec{b}}\vec{a}=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos\varphi.[/math]. Сравнивая с (1.7), делаем вывод: скалярное произведение ненулевых векторов [math]\vec{a}[/math] и [math]\vec{b}[/math] равно произведению длины вектора [math]\vec{b}[/math] на алгебраическое значение длины ортогональной проекции вектора [math]\vec{a}[/math] на ось, задаваемую вектором [math]\vec{b}[/math]:


[math]\bigl\langle\vec{a}, \vec{b}\bigl\rangle\,= |\vec{b}|\cdot \operatorname{pr}_{\vec{b}}\vec{a}\,.[/math]
(1.8)

Изображение

Эта формула остается справедливой и в случае [math]\vec{a}= \vec{o}[/math], так как [math]\operatorname{pr}_{\vec{b} }\vec{o}=0[/math].


Аналогично (см. пункт 2 замечаний 1.4) доказывается формула [math]\langle\vec{a},\vec{b}\rangle=|\vec{a}|\cdot\overrightarrow{\operatorname{pr}}_{\vec{a}}\vec{b}[/math] и делается вывод о том, что скалярное произведение ненулевых векторов [math]\vec{a}[/math] и [math]\vec{b}[/math] равно произведению длины вектора [math]\vec{a}[/math] на алгебраическое значение длины ортогональной проекции вектора [math]\vec{b}[/math] на ось, задаваемую вектором [math]\vec{a}[/math].




Алгебраические свойства скалярного произведения


Для любых векторов [math]\vec{a},\vec{b},\vec{c}[/math] и любого действительного числа [math]\lambda[/math]:


1. [math]\langle\vec{a}, \vec{b}\rangle= \langle\vec{b}, \vec{a}\rangle[/math];


2. [math]\langle\vec{a}+ \vec{b},\vec{c} \rangle= \langle\vec{a}, \vec{c}\rangle+ \langle\vec{b},\vec{c}\rangle[/math];


3. [math]\langle\lambda\cdot\vec{a}, \vec{b}\rangle= \lambda\cdot\langle\vec{a},\vec{b}\rangle[/math];


4. [math]\langle\vec{a},\vec{b}\rangle\geqslant0[/math], причем из равенства [math]\langle\vec{a},\vec{b}\rangle=0[/math] следует, что [math]\vec{a}=\vec{o}[/math].


Первое свойство определяет симметричность скалярного произведения, второе и третье — аддитивность и однородность по первому множителю, четвертое свойство — неотрицательность скалярного квадрата. Эти свойства аналогичны свойствам произведения чисел: первое свойство соответствует закону коммутативности умножения чисел, второе — закону дистрибутивности умножения по отношению к сложению, третье — закону ассоциативности умножения. Поэтому рассматриваемая операция и называется произведением векторов. Поскольку ее результатом является число (скаляр), то такое произведение векторов называется скалярным.


Свойства 1 и 4 следуют непосредственно из определения. Докажем, например, аддитивность скалярного произведения по первому множителю (свойство 2): [math]\langle\vec{a}+\vec{b},\vec{c}\rangle=\langle\vec{a},\vec{c}\rangle+\langle\vec{b},\vec{c}\rangle[/math]. Если вектор [math]\vec{c}[/math] — нулевой, то все скалярные произведения равны нулю по определению, т.е. для [math]\vec{c}=\vec{o}[/math] имеем верное равенство. Пусть [math]\vec{c}\ne\vec{o}[/math]. Учитывая, что проекция суммы векторов равна сумме проекций (то же относится и к алгебраическим значениям длин ортогональных проекций), можно записать [math]\operatorname{pr}_{\vec{c}}(\vec{a}+\vec{b})=\operatorname{pr}_{\vec{c}}\vec{a}+\operatorname{pr}_{\vec{c}}\vec{b}[/math].


Умножая обе части на [math]|\vec{c}|\ne0[/math], получаем [math]|\vec{c}|\cdot\operatorname{pr}_{\vec{c}}(\vec{a}+\vec{b})=|\vec{c}|\cdot\operatorname{pr}_{\vec{c}}\vec{a}+|\vec{c}|\operatorname{pr}_{\vec{c}}\vec{b}[/math].


Учитывая (1.8), последнее равенство равносильно [math]\langle\vec{a}+\vec{b},\vec{c}\rangle=\langle\vec{a},\vec{c}\rangle+\langle\vec{b},\vec{c}\rangle[/math], что и требовалось доказать. Однородность скалярного произведения по первому множителю (свойство 3) доказывается аналогично, используя соответствующее свойство ортогональных проекций векторов.




Замечания 1.9


1. Свойства аддитивности и однородности скалярного произведения означают линейность скалярного произведения по первому множителю:


[math]\bigl\langle\alpha\cdot\vec{a}+\beta\cdot\vec{b},\vec{c}\bigl\rangle=\alpha\cdot\langle\vec{a},\vec{c}\rangle+\beta\cdot\langle\vec{b},\vec{c}\rangle[/math]

для любых векторов [math]\vec{a},\vec{b},\vec{c}[/math] и любых действительных чисел [math]\alpha[/math] и [math]\beta[/math].


2. В силу коммутативности скалярное произведение линейно и по второму множителю, т.е. линейно по любому множителю.


3. Для любых векторов [math]\vec{a},\vec{b}[/math] справедливо неравенство Коши — Буняковского


[math]\bigl\langle\vec{a},\vec{b}\bigl\rangle^2\leqslant\langle\vec{a},\vec{a}\bigl\rangle\cdot\langle\vec{b},\vec{b}\rangle.[/math]

Это неравенство выражает условие ограниченности косинуса угла между ненулевыми векторами. В самом деле, поскольку [math]|\cos\varphi|\leqslant1[/math], то из (1.7)


[math]\cos^2\varphi={\left(\frac{\langle\vec{a},\vec{b}\rangle}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}\right)\!}^2=\frac{\langle\vec{a},\vec{b}\rangle^2}{|\vec{a}|^2\cdot|\vec{b}|^2}=\frac{\langle\vec{a},\vec{b}\rangle^2}{\langle\vec{a},\vec{a}\rangle\cdot\langle\vec{b},\vec{b}\rangle}\leqslant1[/math]

и, следовательно, справедливо доказываемое неравенство. Заметим, что неравенство Коши — Буняковского выполняется как равенство только для коллинеарных векторов, т.е. при [math]\cos\varphi=\pm1[/math].

4. Из неравенства Коши — Буняковского следует неравенство треугольника (длина стороны треугольника меньше суммы длин двух других его сторон и больше модуля их разности):


[math]\bigl||\vec{a}|-|\vec{b}|\bigl|\leqslant|\vec{a}+\vec{b}|\leqslant|\vec{a}|+|\vec{b}|.[/math]

Докажем последнее неравенство [math]|\vec{a}+\vec{b}|\leqslant|\vec{a}|+|\vec{b}|[/math]. Используя неравенство [math]|\langle\vec{a},\vec{b}\rangle|\leqslant|\vec{b}|\cdot|vec{b}|[/math], которое следует из неравенства Коши — Буняковского, оценим скалярный квадрат суммы векторов:


[math]\Bigl|\vec{a}+\vec{b}\,\Bigl|^2=\langle\vec{a}+\vec{b},\vec{a}+\vec{b}\rangle=\langle\vec{a},\vec{a}\rangle+2\cdot\langle\vec{a},\vec{b}\rangle+\langle\vec{b},\vec{b}\rangle\leqslant|\vec{a}|^2+2\cdot|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|+|\vec{b}|^2=\Bigl(|\vec{a}|+|\vec{b}|\Bigl)^2,[/math]

т.е. [math]\Bigl|\vec{a}+\vec{b}\,\Bigr|^2\leqslant\Bigl(|\vec{a}|+|\vec{b}|\Bigr)^2[/math], что равносильно доказываемому неравенству.




Геометрические свойства скалярного произведения


С помощью скалярного произведения можно находить основные метрические величины: длины отрезков (или, что то же самое, длины векторов) и величины углов.


1. Длина вектора а находится по формуле: [math]|\vec{a}|=\sqrt{\langle\vec{a},\vec{a}\rangle}[/math].


2. Величина [math]\varphi[/math] угла между ненулевыми векторами находится по формуле:


[math]\cos\varphi=\frac{\langle\vec{a},\vec{b}\rangle}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}=\frac{\langle\vec{a},\vec{b}\rangle}{\sqrt{\langle\vec{a},\vec{a}\rangle}\cdot\sqrt{\langle\vec{b},\vec{b}\rangle}}[/math]

Отсюда заключаем, что:


— ненулевые векторы [math]\vec{a}[/math] и [math]\vec{b}[/math] перпендикулярны [math]\left(\varphi=\frac{\pi}{2}\right)[/math] тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю: [math]\vec{a}\perp\vec{b}~\Leftrightarrow~\langle\vec{a},\vec{b}\rangle=0[/math];


— угол между ненулевыми векторами [math]\vec{a}[/math] и [math]\vec{b}[/math] острый [math]\left(\varphi<\frac{\pi}{2}\right)[/math] тогда и только тогда, когда их скалярное произведение положительно;


— угол между ненулевыми векторами [math]\vec{a}[/math] и [math]\vec{b}[/math] тупой [math]\left(\varphi>\frac{\pi}{2}\right)[/math] тогда и только тогда, когда их скалярное произведение отрицательно.


3. Алгебраическое значение длины ортогональной проекции вектора [math]\vec{a}[/math] на ось, задаваемую вектором [math]\vec{b}\ne\vec{o}\colon\operatorname{pr}_{\vec{b}}\vec{a}=\frac{\langle\vec{a},\vec{b}\rangle}{|\vec{b}|}[/math].


4. Ортогональная проекция вектора [math]\vec{a}[/math] на ось, задаваемую вектором [math]\vec{b}\ne\vec{o}\colon\overrightarrow{\operatorname{pr}}_{\vec{b}}\vec{a}=\frac{\langle\vec{a},\vec{b}\rangle}{\langle\vec{b},\vec{b}\rangle}\cdot\vec{b}[/math].


Если ось задается единичным вектором [math]\vec{e}[/math], то [math]\overrightarrow{\operatorname{pr}}_{\vec{e}}\vec{a}=\langle\vec{a},\vec{e}\rangle\cdot\vec{e}[/math].


Свойства 1 и 2 следуют непосредственно из определения скалярного произведения. Третье и четвертое свойства вытекают из геометрического смысла скалярного произведения (см. (1.8)) и п.1 замечаний 1.4.




Пример 1.14. Доказать тождества


[math]1)~\langle\vec{a},\vec{b}\rangle=\frac{1}{4}\!\left(\Bigl|\vec{a}+\vec{b}\Bigl|^2-\Bigl|\vec{a}-\vec{b}\Bigl|^2\right);\quad 2)~\Bigl|\vec{a}+\vec{b}\Bigl|^2+\Bigl|\vec{a}-\vec{b}\Bigl|^2=2\cdot|\vec{a}|^2+2\cdot|\vec{b}|^2.[/math]

Решение. Используя коммутативность и линейность скалярного произведения, запишем равенства


[math]\langle\vec{a}+\vec{b},\vec{a}+\vec{b}\rangle=\langle\vec{a},\vec{a}\rangle+2\cdot\langle\vec{a},\vec{b}\rangle+\langle\vec{b},\vec{b}\rangle;\qquad \langle\vec{a}-\vec{b},\vec{a}-\vec{b}\rangle= \langle\vec{a}, \vec{a}\rangle-2\cdot\langle\vec{a}, \vec{b}\rangle+ \langle\vec{b},\vec{b}\rangle.[/math]

Заменяя скалярные квадраты векторов квадратами их длин (см. геометрическое свойство 1), получаем


[math]\bigl|\vec{a}+\vec{b}\bigl|^2=|\vec{a}|^2+2\cdot\langle\vec{a},\vec{b}\rangle+|\vec{b}|^2;\qquad \bigl|\vec{a}-\vec{b}\bigl|^2=|\vec{a}|^2-2\cdot\langle\vec{a},\vec{b}\rangle+|\vec{b}|^2.[/math]

Если из первого равенства вычесть второе, то придем к тождеству (а). Если же сложить оба равенства, то получим тождество (б).


Доказанные равенства выражают следующие свойства параллелограмма, построенного на векторах [math]\vec{a}[/math] и [math]\vec{b}[/math] ([math]\vec{a}+\vec{b}[/math] и [math]\vec{a}-\vec{b}[/math] — его диагонали):


а) скалярное произведение векторов равно одной четвертой от разности квадратов диагоналей параллелограмма, построенного на множителях;

б) сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.




Продолжение
Выражение скалярного произведения через координаты векторов

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved