Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Скалярное произведение n-мерных векторов

Скалярное произведение n-мерных векторов


Стандартным скалярным произведением векторов \vec{x}=\begin{pmatrix}x_1&\cdots&x_n\end{pmatrix}^T и \vec{y}=\begin{pmatrix}y_1&\cdots&y_n\end{pmatrix}^T в многомерном пространстве называется число


\langle\vec{x},\vec{y}\rangle=\vec{x}^T\cdot\vec{y}=x_1\cdot y_1+x_2\cdot y_2+\cdots+x_n\cdot y_n.~~~~~~~~(2.26)

Скалярным квадратом n-мерного вектора \vec{x}=\begin{pmatrix}x_1&\cdots&x_n\end{pmatrix}^T называется скалярное произведение вектора на себя:


\langle\vec{x},\vec{x}\rangle=\vec{x}^T\cdot\vec{x}=x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2.

Скалярное произведение (2.26) обладает свойствами 1-4 (перечисленными в разделе Свойства скалярного произведения), из которых следует неравенство Коши – Буняковского (см. пункт 3 замечаний 1.9):


\langle\vec{a},\vec{b}\rangle^2=\langle\vec{a},\vec{a}\rangle\cdot\langle\vec{b},\vec{b}\rangle,

справедливое для любых векторов \vec{a}=\begin{pmatrix}a_1&\cdots&a_n\end{pmatrix}^T и \vec{b}=\begin{pmatrix}b_1&\cdots&b_n\end{pmatrix}^T.


Используя скалярное произведение, можно определить основные метрические понятия: длину вектора и величину угла между векторами (см. геометрические свойства скалярного произведения).


Длиной n-мерного вектора \vec{x}=\begin{pmatrix}x_1&\cdots&x_n\end{pmatrix}^T называется квадратный корень из скалярного квадрата:


|\vec{x}|=\sqrt{\langle\vec{x},\vec{x}\rangle}=\sqrt{\vec{x}^T\cdot\vec{x}}=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}.

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным.


Расстояние между точками в многомерном пространстве A(a_1,\ldots,a_n) и B(b_1,\ldots,b_n) находится как длина вектора \overrightarrow{AB}=\vec{b}-\vec{a}:


\left|\overrightarrow{AB}\right|=|\vec{b}-\vec{a}|=\sqrt{\langle\vec{b}-\vec{a},\,\vec{b}-\vec{a}\rangle}=\sqrt{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2+\cdots+(a_n-b_n)^2},

где \vec{a}=\begin{pmatrix}a_1&\cdots&a_n\end{pmatrix}^T и \vec{b}=\begin{pmatrix}b_1&\cdots&b_n\end{pmatrix}^T — радиус-векторы точек A и B соответственно (см. Многомерное координатное пространство).


Величиной \varphi угла между ненулевыми n-мерными векторами \vec{a}=\begin{pmatrix}a_1&\cdots&a_n\end{pmatrix}^T и \vec{b}=\begin{pmatrix}b_1&\cdots&b_n\end{pmatrix}^T называется число 0\leqslant\varphi\leqslant\pi:


\cos\varphi=\frac{\langle\vec{a},\vec{b}\rangle}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}=\frac{\vec{a}^T\cdot\vec{b}}{\sqrt{\vec{a}^T\vec{a}}\cdot\sqrt{\vec{b}^T\cdot\vec{b}}}=\frac{a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2+\cdots+a_n\cdot b_n}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2}\sqrt{b_1^2+b_2^2+\cdots+b_n^2}}.

n-мерные векторы называются ортогональными (перпендикулярными), если их скалярное произведение равно нулю.


Система n-мерных векторов называется ортогональной, если все векторы системы попарно ортогональны.


Система n-мерных векторов называется ортонормированной, если все векторы системы попарно ортогональны и их длины равны единице.


Покажем, например, что стандартный базис (2.23) — ортонормированный. Действительно, длина каждого вектора стандартного базиса равна единице, например,


|\vec{e}_1|=\sqrt{\langle\vec{e}_1,\vec{e}_1\rangle}=\sqrt{1\cdot1+0\cdot0+\cdots+0\cdot0}=1,

а угол между разными векторами стандартного базиса равен \pi\slash2, например, угол \varphi между векторами \vec{e}_1 и \vec{e}_2:


\cos\varphi=\frac{\langle\vec{e}_1,\vec{e}_2\rangle }{|\vec{e}_1|\cdot|\vec{e}_2|}=\frac{1\cdot0+0\cdot1+0\cdot0+\cdots+0\cdot0}{1\cdot1}=0, то есть \varphi=\frac{\pi}{2}.

Поэтому стандартную систему координат Ox_1\ldots x_n называют прямоугольной.




n-мерный ориентированный объем


Введем по индукции понятие ориентированных объемов параллелепипедов в пространствах \mathbb{R},\mathbb{R}^2,\mathbb{R}^3,\ldots,\mathbb{R}^n.


Пусть \vec{a}_1,\vec{a}_2,\ldots,\vec{a}_n — линейно независимая система векторов n-мерного пространства \mathbb{R}^n. Множество точек P, радиус-вектор \overrightarrow{OP} которых удовлетворяет условиям


\overrightarrow{OP}=x_1\cdot\vec{a}_1+x_2\cdot\vec{a}_2+\cdots+x_n\cdot\vec{a}_n,~0\leqslant x_1\leqslant1,~ 0\leqslant x_2\leqslant1,~\ldots,~ 0\leqslant x_n\leqslant1,

называется n-мерным параллелепипедом, построенным на векторах \vec{a}_1,\vec{a}_2,\ldots,\vec{a}_n, и обозначается \ast\vec{a}_1,\vec{a}_2,\ldots,\vec{a}_n. Например, одномерный параллелепипед \ast\vec{a}_1 в пространстве \mathbb{R} — это отрезок числовой оси Ox; двумерный параллелепипед \ast\vec{a}_1,\vec{a}_2 в пространстве \mathbb{R}^2 — это параллелограмм на координатной плоскости Ox_1x_2, трехмерный параллелепипед \ast\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3 в пространстве \mathbb{R}^3 — это параллелепипед в координатном пространстве Ox_1x_2x_3.


Обозначим:


V_{\ast\vec{a}_1}^{\land}=\vec{a}_1 — одномерный ориентированный объем, определяемый вектором (числом) \vec{a}_1 из пространства \mathbb{R};


V_{\ast\vec{a}_1,\vec{a}_2}^{\land}=\vec{a}_1\land\vec{a}_2=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix} — двумерный ориентированный объем, определяемый ориентированной площадью параллелограмма \ast\vec{a}_1,\vec{a}_2, построенного на векторах \vec{a}_1=\begin{pmatrix}a_{11}\\a_{21}\end{pmatrix} и \vec{a}_2=\begin{pmatrix}a_{12}\\a_{22}\end{pmatrix} пространства \mathbb{R}^2 (см. [url]разд. 1.5.3[/url]);


V_{\ast\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3}^{\land}=\vec{a}_1\land\vec{a}_2\land\vec{a}_3=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix} — трехмерный ориентированный объем, т.е. ориентированный объем параллелепипеда \ast\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3, построенного на векторах \vec{a}_1=\begin{pmatrix}a_{11}\\a_{21}\\a_{31}\end{pmatrix}, \vec{a}_2=\begin{pmatrix}a_{12}\\a_{22}\\a_{32}\end{pmatrix} и \vec{a}_3=\begin{pmatrix}a_{13}\\a_{23}\\a_{33}\end{pmatrix} пространства \mathbb{R}^3 (см. [url]разд. 1.5.3[/url]);


V_{\ast\vec{a}_1,\ldots,\vec{a}_n}^{\land}=\vec{a}_1\land\ldots\land\vec{a}_n=\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}n-мерный ориентированный объем параллелепипеда \ast\vec{a}_1,\ldots,\vec{a}_n, построенного на векторах \vec{a}_1= \begin{pmatrix}a_{11}\\\vdots\\a_{n1}\end{pmatrix}\!,~\vec{a}_2 =\begin{pmatrix}a_{12}\\\vdots\\a_{n2}\end{pmatrix}\!,~\ldots,~\vec{a}_n= \begin{pmatrix}a_{1n}\\\vdots\\a_{nn}\end{pmatrix} пространства \mathbb{R}^n.


Заметим, что n-мерный объем параллелепипеда (неориентированный) равен \vline\,V_{\ast\vec{a}_1,\ldots,\vec{a}_n}^{\land}\,\vline.




Замечания 2.12.


1. Скалярное произведение векторов пространства \mathbb{R}^n можно определить следующим образом:


\langle\vec{x},\vec{y}\rangle=\vec{x}^T\cdot\mathbf{G}\cdot\vec{y},

где \mathbf{G} — любая симметрическая положительно определенная матрица n-го порядка.


2. Ориентированный объем n-мерного симплекса OA_1A_2\ldots A_n в \mathbb{R}^n находится по формуле:


V_{OA_1A_2\ldots A_n}^{\land}=\frac{1}{n!}\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \end{vmatrix}

а неориентированный — равен \vline\,V_{OA_1A_2\ldots A_n}^{\land}\,\vline.




Пример 2.14. В пространстве \mathbb{R}^4 даны радиус-векторы


\vec{a}_1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}\!,\quad \vec{a}_2=\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\end{pmatrix}\!,\quad \vec{a}_3=\begin{pmatrix}1\\1\\2\\0\end{pmatrix}\!,\quad \vec{a}_4=\begin{pmatrix}1\\1\\1\\-1\end{pmatrix}

точек A_1,A_2,A_3,A_4 соответственно. Требуется найти:


а) длину диагонали \overrightarrow{OA}=\vec{a}=\vec{a}_1+\vec{a}_2+\vec{a}_3+\vec{a}_4 параллелепипеда \ast\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3,\vec{a}_4, построенного на векторах \vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3,\vec{a}_4;

б) четырехмерный объем параллелепипеда \ast\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3,\vec{a}_4;

в) объем четырехмерного симплекса OA_1A_2A_3A_4;


Решение.


а) Находим вектор


\overrightarrow{OA}= \vec{a}= \vec{a}_1+\vec{a}_2+\vec{a}_3+\vec{a}_4= \begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}1\\1\\1\\0\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}1\\1\\1\\-1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}4\\3\\2\\-1\end{pmatrix},

а затем его длину |\vec{a}|=\sqrt{4^2+3^2+2^2+(-1)^2}=\sqrt{30}.


б) По определению находим четырехмерный ориентированный объем параллелепипеда \ast\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3,\vec{a}_4:


V_{\ast\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3,\vec{a}_4}^{\land}= \vec{a}_1\land\vec{a}_2\land\vec{a}_3\land\vec{a}_4= \begin{vmatrix}1&1&1&1\\0&1&1&1\\0&0&1&1\\0&0&0&1\end{vmatrix}=-1.

Следовательно, четырехмерный объем равен \vline\,V_{\ast\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3,\vec{a}_4}^{\land}\,\vline=|-1|=1.


в) Согласно пункту 2 замечаний 2.12, находим ориентированный объем симплекса OA_1A_2A_3A_4:


V_{OA_1A_2A_3A_4}^{\land}=\frac{1}{4!} V_{\ast\overrightarrow{OA_1}\overrightarrow{OA_2}\overrightarrow{OA_3}\overrightarrow{OA_4}}^{\land}= \frac{1}{4!}V_{\ast\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3,\vec{a}_4}^{\land}=-\frac{1}{24}.

Поскольку искомый объем (неориентированный) есть величина неотрицательная, то V_{OA_1A_2A_3A_4}=\frac{1}{24}.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved