Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Скалярное произведение n-мерных векторов

Скалярное произведение n-мерных векторов


Стандартным скалярным произведением векторов [math]\vec{x}=\begin{pmatrix}x_1&\cdots&x_n\end{pmatrix}^T[/math] и [math]\vec{y}=\begin{pmatrix}y_1&\cdots&y_n\end{pmatrix}^T[/math] в многомерном пространстве называется число


[math]\langle\vec{x},\vec{y}\rangle=\vec{x}^T\cdot\vec{y}=x_1\cdot y_1+x_2\cdot y_2+\cdots+x_n\cdot y_n.~~~~~~~~(2.26)[/math]

Скалярным квадратом n-мерного вектора [math]\vec{x}=\begin{pmatrix}x_1&\cdots&x_n\end{pmatrix}^T[/math] называется скалярное произведение вектора на себя:


[math]\langle\vec{x},\vec{x}\rangle=\vec{x}^T\cdot\vec{x}=x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2.[/math]

Скалярное произведение (2.26) обладает свойствами 1-4 (перечисленными в разделе Свойства скалярного произведения), из которых следует неравенство Коши – Буняковского (см. пункт 3 замечаний 1.9):


[math]\langle\vec{a},\vec{b}\rangle^2=\langle\vec{a},\vec{a}\rangle\cdot\langle\vec{b},\vec{b}\rangle,[/math]

справедливое для любых векторов [math]\vec{a}=\begin{pmatrix}a_1&\cdots&a_n\end{pmatrix}^T[/math] и [math]\vec{b}=\begin{pmatrix}b_1&\cdots&b_n\end{pmatrix}^T[/math].

Используя скалярное произведение, можно определить основные метрические понятия: длину вектора и величину угла между векторами (см. геометрические свойства скалярного произведения).


Длиной n-мерного вектора [math]\vec{x}=\begin{pmatrix}x_1&\cdots&x_n\end{pmatrix}^T[/math] называется квадратный корень из скалярного квадрата:


[math]|\vec{x}|=\sqrt{\langle\vec{x},\vec{x}\rangle}=\sqrt{\vec{x}^T\cdot\vec{x}}=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}.[/math]

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным.


Расстояние между точками в многомерном пространстве [math]A(a_1,\ldots,a_n)[/math] и [math]B(b_1,\ldots,b_n)[/math] находится как длина вектора [math]\overrightarrow{AB}=\vec{b}-\vec{a}[/math]:


[math]\left|\overrightarrow{AB}\right|=|\vec{b}-\vec{a}|=\sqrt{\langle\vec{b}-\vec{a},\,\vec{b}-\vec{a}\rangle}=\sqrt{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2+\cdots+(a_n-b_n)^2},[/math]

где [math]\vec{a}=\begin{pmatrix}a_1&\cdots&a_n\end{pmatrix}^T[/math] и [math]\vec{b}=\begin{pmatrix}b_1&\cdots&b_n\end{pmatrix}^T[/math] — радиус-векторы точек [math]A[/math] и [math]B[/math] соответственно (см. Многомерное координатное пространство).

Величиной [math]\varphi[/math] угла между ненулевыми n-мерными векторами [math]\vec{a}=\begin{pmatrix}a_1&\cdots&a_n\end{pmatrix}^T[/math] и [math]\vec{b}=\begin{pmatrix}b_1&\cdots&b_n\end{pmatrix}^T[/math] называется число [math]0\leqslant\varphi\leqslant\pi[/math]:


[math]\cos\varphi=\frac{\langle\vec{a},\vec{b}\rangle}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}=\frac{\vec{a}^T\cdot\vec{b}}{\sqrt{\vec{a}^T\vec{a}}\cdot\sqrt{\vec{b}^T\cdot\vec{b}}}=\frac{a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2+\cdots+a_n\cdot b_n}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2}\sqrt{b_1^2+b_2^2+\cdots+b_n^2}}.[/math]

n-мерные векторы называются ортогональными (перпендикулярными), если их скалярное произведение равно нулю.


Система n-мерных векторов называется ортогональной, если все векторы системы попарно ортогональны.


Система n-мерных векторов называется ортонормированной, если все векторы системы попарно ортогональны и их длины равны единице.


Покажем, например, что стандартный базис (2.23) — ортонормированный. Действительно, длина каждого вектора стандартного базиса равна единице, например,


[math]|\vec{e}_1|=\sqrt{\langle\vec{e}_1,\vec{e}_1\rangle}=\sqrt{1\cdot1+0\cdot0+\cdots+0\cdot0}=1,[/math]

а угол между разными векторами стандартного базиса равен [math]\frac{\pi}{2}[/math], например, угол [math]\varphi[/math] между векторами [math]\vec{e}_1[/math] и [math]\vec{e}_2[/math]:

[math]\cos\varphi=\frac{\langle\vec{e}_1,\vec{e}_2\rangle }{|\vec{e}_1|\cdot|\vec{e}_2|}=\frac{1\cdot0+0\cdot1+0\cdot0+\cdots+0\cdot0}{1\cdot1}=0,[/math] то есть [math]\varphi=\frac{\pi}{2}[/math].

Поэтому стандартную систему координат [math]Ox_1\ldots x_n[/math] называют прямоугольной.




n-мерный ориентированный объем


Введем по индукции понятие ориентированных объемов параллелепипедов в пространствах [math]\mathbb{R},\mathbb{R}^2,\mathbb{R}^3,\ldots,\mathbb{R}^n[/math].


Пусть [math]\vec{a}_1,\vec{a}_2,\ldots,\vec{a}_n[/math] — линейно независимая система векторов n-мерного пространства [math]\mathbb{R}^n[/math]. Множество точек [math]P[/math], радиус-вектор [math]\overrightarrow{OP}[/math] которых удовлетворяет условиям


[math]\overrightarrow{OP}=x_1\cdot\vec{a}_1+x_2\cdot\vec{a}_2+\cdots+x_n\cdot\vec{a}_n,~0\leqslant x_1\leqslant1,~ 0\leqslant x_2\leqslant1,~\ldots,~ 0\leqslant x_n\leqslant1,[/math]

называется n-мерным параллелепипедом, построенным на векторах [math]\vec{a}_1,\vec{a}_2,\ldots,\vec{a}_n[/math], и обозначается [math]\ast\vec{a}_1,\vec{a}_2,\ldots,\vec{a}_n[/math]. Например, одномерный параллелепипед [math]\ast\vec{a}_1[/math] в пространстве [math]\mathbb{R}[/math] — это отрезок числовой оси [math]Ox[/math]; двумерный параллелепипед [math]\ast\vec{a}_1,\vec{a}_2[/math] в пространстве [math]\mathbb{R}^2[/math] — это параллелограмм на координатной плоскости [math]Ox_1x_2[/math], трехмерный параллелепипед [math]\ast\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3[/math] в пространстве [math]\mathbb{R}^3[/math] — это параллелепипед в координатном пространстве [math]Ox_1x_2x_3[/math].

Обозначим:


[math]V_{\ast\vec{a}_1}^{\land}=\vec{a}_1[/math] — одномерный ориентированный объем, определяемый вектором (числом) [math]\vec{a}_1[/math] из пространства [math]\mathbb{R}[/math];


[math]V_{\ast\vec{a}_1,\vec{a}_2}^{\land}=\vec{a}_1\land\vec{a}_2=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}[/math] — двумерный ориентированный объем, определяемый ориентированной площадью параллелограмма [math]\ast\vec{a}_1,\vec{a}_2[/math], построенного на векторах [math]\vec{a}_1=\begin{pmatrix}a_{11}\\a_{21}\end{pmatrix}[/math] и [math]\vec{a}_2=\begin{pmatrix}a_{12}\\a_{22}\end{pmatrix}[/math] пространства [math]\mathbb{R}^2[/math] (см. [url]разд. 1.5.3[/url]);


[math]V_{\ast\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3}^{\land}=\vec{a}_1\land\vec{a}_2\land\vec{a}_3=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}[/math] — трехмерный ориентированный объем, т.е. ориентированный объем параллелепипеда [math]\ast\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3[/math], построенного на векторах [math]\vec{a}_1=\begin{pmatrix}a_{11}\\a_{21}\\a_{31}\end{pmatrix},[/math] [math]\vec{a}_2=\begin{pmatrix}a_{12}\\a_{22}\\a_{32}\end{pmatrix}[/math] и [math]\vec{a}_3=\begin{pmatrix}a_{13}\\a_{23}\\a_{33}\end{pmatrix}[/math] пространства [math]\mathbb{R}^3[/math] (см. [url]разд. 1.5.3[/url]);


[math]V_{\ast\vec{a}_1,\ldots,\vec{a}_n}^{\land}=\vec{a}_1\land\ldots\land\vec{a}_n=\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}[/math]n-мерный ориентированный объем параллелепипеда [math]\ast\vec{a}_1,\ldots,\vec{a}_n[/math], построенного на векторах [math]\vec{a}_1= \begin{pmatrix}a_{11}\\\vdots\\a_{n1}\end{pmatrix}\!,~\vec{a}_2 =\begin{pmatrix}a_{12}\\\vdots\\a_{n2}\end{pmatrix}\!,~\ldots,~\vec{a}_n= \begin{pmatrix}a_{1n}\\\vdots\\a_{nn}\end{pmatrix}[/math] пространства [math]\mathbb{R}^n[/math].


Заметим, что n-мерный объем параллелепипеда (неориентированный) равен [math]\vline\,V_{\ast\vec{a}_1,\ldots,\vec{a}_n}^{\land}\,\vline[/math].




Замечания 2.12.


1. Скалярное произведение векторов пространства [math]\mathbb{R}^n[/math] можно определить следующим образом:


[math]\langle\vec{x},\vec{y}\rangle=\vec{x}^T\cdot\mathbf{G}\cdot\vec{y},[/math]

где [math]\mathbf{G}[/math] — любая симметрическая положительно определенная матрица n-го порядка.

2. Ориентированный объем n-мерного симплекса [math]OA_1A_2\ldots A_n[/math] в [math]\mathbb{R}^n[/math] находится по формуле:


[math]V_{OA_1A_2\ldots A_n}^{\land}=\frac{1}{n!}\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \end{vmatrix}[/math]

а неориентированный — равен [math]\vline\,V_{OA_1A_2\ldots A_n}^{\land}\,\vline[/math].



Пример 2.14. В пространстве [math]\mathbb{R}^4[/math] даны радиус-векторы


[math]\vec{a}_1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}\!,\quad \vec{a}_2=\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\end{pmatrix}\!,\quad \vec{a}_3=\begin{pmatrix}1\\1\\2\\0\end{pmatrix}\!,\quad \vec{a}_4=\begin{pmatrix}1\\1\\1\\-1\end{pmatrix}[/math]

точек [math]A_1,A_2,A_3,A_4[/math] соответственно. Требуется найти:

а) длину диагонали [math]\overrightarrow{OA}=\vec{a}=\vec{a}_1+\vec{a}_2+\vec{a}_3+\vec{a}_4[/math] параллелепипеда [math]\ast\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3,\vec{a}_4[/math], построенного на векторах [math]\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3,\vec{a}_4[/math];

б) четырехмерный объем параллелепипеда [math]\ast\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3,\vec{a}_4[/math];

в) объем четырехмерного симплекса [math]OA_1A_2A_3A_4[/math];


Решение.


а) Находим вектор


[math]\overrightarrow{OA}= \vec{a}= \vec{a}_1+\vec{a}_2+\vec{a}_3+\vec{a}_4= \begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}1\\1\\1\\0\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}1\\1\\1\\-1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}4\\3\\2\\-1\end{pmatrix},[/math]

а затем его длину [math]|\vec{a}|=\sqrt{4^2+3^2+2^2+(-1)^2}=\sqrt{30}[/math].

б) По определению находим четырехмерный ориентированный объем параллелепипеда [math]\ast\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3,\vec{a}_4[/math]:


[math]V_{\ast\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3,\vec{a}_4}^{\last}= \vec{a}_1\land\vec{a}_2\land\vec{a}_3\land\vec{a}_4= \begin{vmatrix}1&1&1&1\\0&1&1&1\\0&0&1&1\\0&0&0&1\end{vmatrix}=-1.[/math]

Следовательно, четырехмерный объем равен [math]\vline\,V_{\ast\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3,\vec{a}_4}^{\last}\,\vline=|-1|=1[/math].


в) Согласно пункту 2 замечаний 2.12, находим ориентированный объем симплекса [math]OA_1A_2A_3A_4[/math]:


[math]V_{OA_1A_2A_3A_4}^{\land}=\frac{1}{4!} V_{\ast\overrightarrow{OA_1}\overrightarrow{OA_2}\overrightarrow{OA_3}\overrightarrow{OA_4}}^{\land}= \frac{1}{4!}V_{\ast\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3,\vec{a}_4}^{\last}=-\frac{1}{24}.[/math]

Поскольку искомый объем (неориентированный) есть величина неотрицательная, то [math]V_{OA_1A_2A_3A_4}=\frac{1}{24}[/math].


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved