Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Системы линейных алгебраических уравнений
ОглавлениеЛинейная алгебра

Системы линейных алгебраических уравнений


Системой [math]m[/math] линейных алгебраических уравнений с [math]n[/math] неизвестными называется система уравнений вида


[math]\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\ldots+a_{1n}x_n=b_1,\\ a_{21}x_1+a_{22}x_{2}+\ldots+a_{2n}x_n=b_2,\\ \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots,\\ a_{m1}x_1+x_{m2}x_2+\ldots+a_{mn}x_n=b_m.\end{cases}[/math]
(5.1)

Числа [math]a_{ij},~i=1,\ldots,m,~j=1,\ldots,n[/math] называются коэффициентами системы; [math]b_1,b_2,\ldots,b_m[/math]свободными членами, [math]x_1,x_2,\ldots,x_n[/math]неизвестными. Количество [math]m[/math] уравнений в системе может быть меньше, больше или равно числу [math]n[/math] неизвестных.


Решением системы называется упорядоченная совокупность [math]n[/math] чисел [math](\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n)[/math] такая, что после замены неизвестных [math]x_1,x_2,\ldots,x_n[/math] соответственно числами [math]\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n[/math] каждое уравнение системы превращается в верное числовое равенство. Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Если система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной.


Система (5.1) называется однородной, если все свободные члены равны нулю:


[math]\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\ldots+a_{1n}x_n=0,\\ a_{21}x_1+a_{22}x_{2}+\ldots+a_{2n}x_n=0,\\ \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots,\\ a_{m1}x_1+x_{m2}x_2+\ldots+a_{mn}x_n=0.\end{cases}[/math]
(5.2)

В отличие от однородной, систему общего вида (5.1) называют неоднородной.


Систему (5.1) принято записывать в матричной форме. Для этого из коэффициентов системы составляем матрицу системы


[math]A=\begin{pmatrix}a_{11}&\ldots&a_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}&\cdots&a_{mn}\end{pmatrix}\!,[/math]

свободные члены записываем в столбец свободных членов

[math]b=\begin{pmatrix}b_1\\\vdots\\b_m\end{pmatrix}\!,[/math]

а неизвестные — в столбец неизвестных

[math]x=\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}\!.[/math]

Матричная запись неоднородной системы уравнений (5.1) имеет вид


[math]Ax=b,[/math]
(5.3)
а однородной:
[math]Ax=o,[/math]
(5.4)

где символ [math]o[/math] в правой части обозначает нулевой столбец размеров [math]m\times1[/math].

Матричную запись (5.3) системы уравнений можно представить в эквивалентной форме


[math]\begin{pmatrix}a_{11}\\\vdots\\a_{m1}\end{pmatrix}\!\cdot x_1+\begin{pmatrix}a_{12}\\\vdots\\a_{m2}\end{pmatrix}\!\cdot x_2+\ldots +\begin{pmatrix}a_{1n}\\\vdots\\a_{mn}\end{pmatrix}\!\cdot x_n=\begin{pmatrix}b_1\\\vdots\\b_m\end{pmatrix}\!.[/math]

Тогда решение системы представляется столбцом [math]x=\begin{pmatrix}\alpha_1\\\vdots\\\alpha_n\end{pmatrix}[/math] и удовлетворяет равенству


[math]\begin{pmatrix}a_{11}\\\vdots\\a_{m1}\end{pmatrix}\!\cdot\alpha_1+\begin{pmatrix}a_{12}\\\vdots\\a_{m2}\end{pmatrix}\!\cdot\alpha_2+\ldots +\begin{pmatrix}a_{1n}\\\vdots\\ a_{mn} \end{pmatrix}\!\cdot\alpha_n =\begin{pmatrix}b_1\\\vdots\\b_m\end{pmatrix}\!,[/math]
(5.5)

т.е. столбец свободных членов является линейной комбинацией столбцов матрицы системы.

Относительно системы уравнений нас интересуют ответы на следующие вопросы:


1. Совместна система или нет?

2. Если система совместна, то имеет ли она единственное решение или нет?

3. Если решение единственное, то как его найти?

4. Если система имеет бесконечно много решений, то какова структура множества решений?

5. Как в бесконечном множестве решений системы определить одно решение, наилучшее с практической точки зрения?

6. Если система несовместна, то как определить ее приближенное решение?




Правило Крамера



Рассмотрим случай, когда число [math]m[/math] уравнений равно числу [math]n[/math] неизвестных [math](m=n)[/math], т.е. систему


[math]\begin{cases}a_{11}x_1+\ldots+a_{1n}x_n=b_1,\\\cdots\cdots\cdots\cdots\\ a_{n1}x_1+\ldots+a_{nn}x_{n}=b_n,\end{cases}[/math]
(5.6)

где матрица системы — квадратная n-го порядка:

[math]A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix}\!.[/math]

Ее определитель обозначим
[math]\Delta=\det{A}= \begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}\!.[/math]

Теорема 5.1 (правило Крамера). Если определитель [math]\Delta[/math] матрицы системы [math]n[/math] линейных уравнений с [math]n[/math] неизвестными отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое находится по формулам


[math]x_i=\frac{\Delta_i}{\Delta},\quad i=1,2,\ldots,n,[/math]

где [math]\Delta_i[/math] — определитель матрицы, полученной из матрицы системы заменой i-го столбца столбцом свободных членов, т.е.

[math]\Delta_i= \begin{vmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1\,i-1}&b_1&a_{1\,i+1}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&\cdots&a_{2\,i-1}&b_2&a_{2\,i+1}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\ddots&\vdots& \vdots&\vdots& \ddots&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{n\,i-1}&b_n&a_{n\,i+1}&\cdots&a_{nn} \end{vmatrix}.[/math]

В самом деле, рассмотрим систему (5.6) как матричное уравнение [math]Ax=b[/math]. Так как определитель [math]\Delta[/math] матрицы [math]A[/math] отличен от нуля, по теореме 4.2 заключаем, что матричное уравнение [math]Ax=b[/math] имеет единственное решение:


[math]x=A^{-1}b,[/math]

где [math]A^{-1}=\frac{1}{\Delta}A^{+}[/math] — обратная матрица. Запишем i-й элемент столбца [math]x[/math], учитывая, что в i-й строке присоединенной матрицы [math]A^{+}[/math] стоят алгебраические дополнения i-го столбца матрицы [math]A:[/math]


[math]x_i=\frac{1}{\Delta}\Bigl(A_{1i}b_1+A_{2i}b_2+\ldots+a_{ni}b_n\Bigr).[/math]

Заметим, что в скобках записано разложение определителя [math]\Delta_i[/math] по i-му столбцу, т.е. [math]x_i=\frac{\Delta_i}{\Delta}[/math], что и требовалось доказать.


Замечания 5.1


1. На практике при больших [math]n[/math] правило Крамера не применяется, так как вычисление [math](n+1)[/math] определителя n-го порядка требует большого числа арифметических операций. Поэтому применяются более экономичные алгоритмы. Обычно, правило Крамера используется, когда нужно найти только несколько неизвестных (например, одну) среди многих. В теоретических исследованиях правило Крамера незаменимо и используется весьма продуктивно.


2. Если [math]\Delta=0[/math] и хотя бы один определитель [math]\Delta_i\ne0[/math], то система несовместна. Если [math]\Delta=\Delta_1=\ldots=\Delta_n=0[/math], то возможны два случая: либо система несовместна, либо имеет бесконечно много решений.




Пример 5.1. Решить систему линейных уравнений с помощью правила Крамера


[math]\begin{cases}2x_1+2x_2+x_3=9,\\x_1+x_2=3,\\2x_2+x_3=7.\end{cases}[/math]

Решение. Составим матрицу системы [math]A=\begin{pmatrix}2&2&1\\1&1&0\\0&2&1\end{pmatrix}[/math]. Вычислим ее определитель


[math]\Delta= \begin{vmatrix}2&2&1\\ 1&1&0\\ 0&2&1 \end{vmatrix}=2+2-2=2.[/math]

Так как определитель отличен от нуля, система имеет единственное решение (см. теорему 5.1). Находим определители [math]\Delta_i[/math] и неизвестные [math]x_i[/math] [math](i=1,2,3):[/math]


[math]\begin{aligned}\Delta_1&=\begin{vmatrix}9&2&1\\3&1&0\\7&2&1\end{vmatrix}= 9+6-7-6=2,\quad x_1=\frac{\Delta_1}{\Delta}=\frac{2}{2}=1;\\[5pt] \Delta_2&=\begin{vmatrix}2&9&1\\1&3&0\\0&7&1\end{vmatrix}= 6+7-9=4,\quad x_2=\frac{\Delta_2}{\Delta}=\frac{4}{2}=2;\\[5pt] \Delta_3&=\begin{vmatrix}2&2&9\\1&1&3\\0&2&7\end{vmatrix}= 6+7-9=4,\quad x_3=\frac{\Delta_3}{\Delta}=\frac{6}{2}=3.\end{aligned}[/math]



Условие совместности системы линейных уравнений


Рассмотрим систему (5.3) [math]m[/math] линейных уравнений с [math]n[/math] неизвестными. Составим блочную матрицу, приписав к матрице [math]A[/math] справа столбец свободных членов. Получим расширенную матрицу системы:


[math]\begin{pmatrix}A\mid b\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a_{11}&\cdots&a_{1n}\!\!& \vline\!\!&b_1\\ a_{21}&\cdots&a_{2n}\!\!&\vline\!\!&b_2\\ \vdots&\ddots&\vdots\!\!&\vline\!\!&\vdots\\ a_{m1}&\cdots&a_{mn}\!\!&\vline\!\!&b_m \end{pmatrix}_{m\times(n+1)}[/math]
(5.7)

Эта матрица содержит всю информацию о системе уравнений, за исключением обозначений неизвестных.

Теорема 5.2 Кронекера-Капелли. Система [math]Ax=b[/math] совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы: [math]\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}(A\mid b)[/math].


Необходимость следует из равенства (5.5) и следствия 1 теоремы 3.3. Если система имеет решение, то столбец свободных членов есть линейная комбинация столбцов матрицы системы. Поэтому при вычеркивании столбца Ь из расширенной матрицы [math]\begin{pmatrix}A\mid b\end{pmatrix}[/math] ее ранг не изменяется. Следовательно, [math]\operatorname{rg}(A\mid b)=\operatorname{rg}A[/math].


Для доказательства достаточности нужно использовать теорему о базисном миноре. Из равенства [math]\operatorname{rg}A= \operatorname{rg}(A\mid b)[/math] следует, что базисный минор матрицы [math]A[/math] является базисным минором расширенной матрицы [math]\begin{pmatrix}A\mid b\end{pmatrix}[/math]. Поэтому столбец [math]b[/math] является линейной комбинацией столбцов базисного минора матрицы [math]A[/math], а, значит, и всех столбцов матрицы [math]A[/math]. Следовательно, существуют числа [math]\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n[/math], удовлетворяющие условию (5.5), т.е. система совместна.


Замечание 5.2. Теорема Кронекера-Капелли дает лишь критерий существования решения системы, но не указывает способа отыскания этого решения.




Пример 5.2. Определить, имеет ли система уравнений решения


[math]\begin{cases}x_1+2x_3+x_4=1, \\2x_1+x_2+x_4=0,\\ 3x_1+x_2+2x_3+2x_4=2.\end{cases}[/math]

Решение. Составим матрицу системы и расширенную матрицу системы


[math]A= \begin{pmatrix}1&0&2&1\\ 2&1&0&1\\ 3&1&2&2\end{pmatrix}\!,\quad \begin{pmatrix}A\mid b\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&0&2&1\!\!&\vline\!\!&1\\ 2&1&0&1\!\!&\vline\!\!&0\\ 3&1&2&2\!\!&\vline\!\!&2\end{pmatrix}\!.[/math]

Ранг матрицы [math]A[/math] равен 2, так как она имеет не равные нулю миноры второго порядка и третья строка этой матрицы равна сумме первых двух строк. Следовательно, третью строку можно вычеркнуть, при этом ранг матрицы не изменится. Ранг расширенной матрицы равен трем, так как она имеет не равный нулю минор третьего порядка, например, минор, составленный из первого, второго и последнего столбцов расширенной матрицы


[math]M_{{}_{1\,2\,5}}^{{}^{1\,2\,3}}= \begin{vmatrix}1&0&1\\2&1&0\\3&1&2\end{vmatrix}= 2+2-3=1\ne0.[/math]

Следовательно, [math]\operatorname{rg}A\ne\operatorname{rg}(A\mid b)[/math]. Поэтому система несовместна (не имеет решений).


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved