Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Системы линейных уравнений с двумя неизвестными

Системы линейных уравнений с двумя неизвестными


Системой [math]m[/math] линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными называется система уравнений вида


[math]\begin{cases} a_{11}\cdot x_1+a_{12}\cdot x_2=b_1,\\ a_{21}\cdot x_1+a_{22}\cdot x_2=b_2,\\ \cdots\cdots \cdots\cdots \cdots\cdots \cdots\\ a_{m1}\cdot x_1+a_{m2}\cdot x_2=b_m. \end{cases}[/math]
(3.26)

Числа [math]a_{ij},~i=1,\ldots,m,~j=1,2[/math] называются коэффициентами системы; [math]b_1,b_2,\ldots,b_m[/math] — свободными членами, [math]x_1,x_2[/math] — неизвестными.


Решением системы называется упорядоченная пара чисел [math](\alpha_1,\alpha_2)[/math] такая, что после замены неизвестных [math]x_1,x_2[/math] соответственно числами [math]\alpha_1,\alpha_2[/math] каждое уравнение системы превращается в верное числовое равенство. Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Если система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной.


Система (3.26) называется однородной, если все свободные члены равны нулю:


[math]\begin{cases} a_{11}\cdot x_1+a_{12}\cdot x_2=0,\\ a_{21}\cdot x_1+a_{22}\cdot x_2=0,\\ \cdots\cdots\cdots \cdots\cdots \cdots\cdots\\ a_{m1}\cdot x_1+a_{m2}\cdot x_2=0. \end{cases}[/math]
(3.27)

В отличие от однородной, систему общего вида (3.26) называют неоднородной.


Систему (3.26) принято записывать в матричной форме. Для этого из коэффициентов системы составляем матрицу системы


[math]A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\\vdots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}\end{pmatrix}\!.[/math]

свободные члены записываем в столбец свободных членов [math]b=\begin{pmatrix}b_1\\\vdots\\b_m\end{pmatrix}[/math], а неизвестные — в столбец неизвестных [math]x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}[/math]


Матричная запись неоднородной системы уравнений (3.26) имеет вид


[math]Ax=b,[/math]
(3.28)
а однородной:
[math]Ax=o,[/math]
(3.29)

где символ [math]o[/math] в правой части обозначает нулевой столбец размеров [math]m\times1\colon\, o=\begin{pmatrix} 0\\\vdots\\0 \end{pmatrix}[/math].


Блочная матрица [math](A\mid b)=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}& \!\!\vline\!\!&b_1\\\vdots&\vdots&\!\!\vline\!\!&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\!\!\vline\!\!&b_m\end{pmatrix}[/math] называется расширенной матрицей системы (3.26).


Рассматривается случай, когда все уравнения системы первой степени, т.е. коэффициенты при неизвестных каждого уравнения не равны нулю одновременно. Поэтому матрица [math]A[/math] системы ненулевая, более того, все ее строки ненулевые.


В соответствии с матричной записью решением системы (3.28) называется столбец [math]x=\begin{pmatrix}\alpha_1\\\alpha_2\end{pmatrix}[/math], при подстановке которого в (3.28) получаем верное равенство для столбцов в левой и правой частях. В частности, нулевой столбец [math]o[/math] является решением однородной системы (3.29), т.е. любая однородная система уравнений совместна.


Рангом системы уравнений (3.26) называется ранг матрицы [math]A[/math] системы: [math]r=\operatorname{rang}A[/math], т.е. максимальное число линейно независимых строк матрицы [math]A[/math] (максимальное число линейно независимых уравнений системы). Поскольку матрица системы (3.26) ненулевая и содержит два столбца, то ее ранг [math]r=\operatorname{rang}A\leqslant2[/math]. Ранг может быть равен либо единице ([math]r=1[/math], если все строки матрицы [math]A[/math] пропорциональны), либо двум ([math]r=2[/math], если имеются две линейно независимые строки).


Выясним геометрический смысл и свойства решений системы уравнений (3.26).


Пусть на плоскости задана аффинная система координат [math]Ox_1x_2[/math]. Как показано ранее, множество точек [math]X(x_1,x_2)[/math], координаты которых удовлетворяют линейному уравнению с двумя неизвестными [math]a_{i1}x_1+a_{i2}x_2=b_i[/math], или [math]a_{i1}x_1+a_{i2}x_2-b_i=0[/math], представляет собой прямую. Поэтому множество решений системы уравнений является пересечением прямых [math]a_{i1}x_1+a_{i2}x_2-b_i=0,~i=1,\ldots,m[/math].




Примеры пересечения прямых


Если ранг системы (3.26) равен 1, то коэффициенты при неизвестных всех уравнений пропорциональны. В этом случае любые две прямые параллельны (система уравнений несовместна (рис.3.31,а)) или совпадают (в этом случае вся система (3.26) равносильна одному, например, первому ее уравнению (рис.3.31,6)).


Если ранг системы равен 2, то в системе имеются хотя бы два линейно независимых уравнения. Прямые, соответствующие этим уравнениям, пересекаются, например, в точке [math]X_0(x_{10},x_{20})[/math]. Поэтому множество решений системы (3.26) либо одна точка (система совместна, все прямые проходят через точку [math]X_0[/math], т.е. все прямые принадлежат собственному пучку прямых (рис.3.31,в)), либо пусто (система несовместна (рис.3.31,г)).


Примеры пересечения прямых

Для решения системы (3.26) обычно применяется метод Гаусса исключения неизвестных, при котором уравнения системы заменяются линейными комбинациями уравнений, содержащими меньшее количество неизвестных, при этом расширенная матрица системы приводится к ступенчатому виду. Продемонстрируем этот метод на примере.




Пример 3.17. Решить системы уравнений:


[math]\mathsf{1)}\begin{cases}x_1-2x_2=1,\\2x_1-4x_2=2,\\x_1-2x_2=-1;\end{cases} \mathsf{2)}\begin{cases}x_1-2x_2=1,\\2x_1-4x_2=2,\\-x_1+2x_2=-1;\end{cases} \mathsf{3)}\begin{cases}x_1+2x_2=3,\\x_1-4x_2=-3,\\x_1-2x_2=-1;\end{cases} \mathsf{4)}\begin{cases}x_1+2x_2=3,\\x_1-4x_2=-2,\\x_1-2x_2=-1;\end{cases}[/math]

Изобразить множество решений на координатной плоскости [math]Ox_1x_2[/math].


Решение.


1) Составляем расширенную матрицу системы [math](A\mid b)=\begin{pmatrix}1&-2&\!\!\vline\!\!&1\\2&-4&\!\!\vline\!\!&2\\1&-2&\!\!\vline\!\!&-1\end{pmatrix}.[/math]


Поскольку [math]a_{11}=1\ne0[/math] (элемент [math]a_{11}[/math] — ведущий), прибавим ко второй и к третьей строкам первую, умноженную на [math](-2)[/math] и на [math](-1)[/math] соответственно:


[math](A\mid b)= \begin{pmatrix}1&-1&\!\!\vline\!\!&1\\2&-4&\!\!\vline\!\!&2\\1&-2&\!\!\vline\!\!&-1\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&-2&\!\!\vline\!\!&1\\0&0&\!\!\vline\!\!&0\\0&0&\!\!\vline\!\!&-2\end{pmatrix}.[/math]

Последняя строка соответствует уравнению [math]0\cdot x_1+0\cdot x_2=-2[/math], которое не имеет решений. Следовательно, множество решений системы пустое (прямые, задаваемые уравнениями системы, изображены на рис.3.31,а).


2) Составляем расширенную матрицу системы [math](A\mid b)=\begin{pmatrix}1&-2&\!\!\vline\!\!&1\\2&-4&\!\!\vline\!\!&2\\-1&2&\!\!\vline\!\!&-1\end{pmatrix}.[/math]


Поскольку [math]a_{11}=1\ne0[/math] (элемент [math]a_{11}[/math] — ведущий), прибавим к третьей строке первую, а ко второй — первую, умноженную на [math](-2):[/math]


[math](A\mid b)=\!\begin{pmatrix}1&-2&\!\!\vline\!\!&1\\2&-4&\!\!\vline\!\!&2\\-1&2&\!\!\vline\!\!&-1\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&-2&\!\!\vline\!\!&1\\0&0&\!\!\vline\!\!&0\\0&0&\!\!\vline\!\!&0\end{pmatrix} ~\Leftrightarrow~ \begin{pmatrix}1&-2\\0&0\\0&0\end{pmatrix}{\cdot} \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}.[/math]

Система равносильна одному уравнению [math]x_1-2x_2=1[/math]. Множество ее решений представляет собой прямую на координатной плоскости [math]Ox_1x_2[/math]. Координаты любой точки этой прямой удовлетворяют системе уравнений, следовательно, система имеет бесконечно много решений (рис.3.31,6).


3) Составляем расширенную матрицу системы [math](A\mid b)=\begin{pmatrix}1&2&\!\!\vline\!\!&3\\1&-4&\!\!\vline\!\!&-3\\1&-2&\!\!\vline\!\!&-1\end{pmatrix}.[/math]


Поскольку [math]a_{11}=1\ne0[/math] (элемент [math]a_{11}[/math] — ведущий), прибавим ко второй и к третьей строкам первую строку, умноженную на (-1):


[math](A\mid b)= \begin{pmatrix} 1&2&\!\!\vline\!\!& 3\\ 1&-4& \!\!\vline\!\!&-3\\ 1&-2&\!\!\vline\!\!&-1\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&2&\!\!\vline\!\!&3\\0&-6&\!\!\vline\!\!&-6\\0&-4&\!\!\vline\!\!&-4\end{pmatrix}.[/math]

Разделим вторую строку на (-6), а затем к первой и третьей строкам прибавим вторую, умноженную на (-2) и на 4 соответственно:


[math](A\mid b)\,\sim \begin{pmatrix}1&2&\!\!\vline\!\!&3\\0&-6&\!\!\vline\!\!&-6\\0&-4&\!\!\vline\!\!&-4\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&2&\!\!\vline\!\!&3\\ 0&1&\!\!\vline\!\!&1\\0&-4&\!\!\vline\!\!&-4\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&0&\!\!\vline\!\!&1\\0&1&\!\!\vline\!\!&1\\0&0&\!\!\vline\!\!&0\end{pmatrix} ~\Leftrightarrow~ \begin{pmatrix}1&0\\0&1\\0&0\end{pmatrix}{\cdot} \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1\\1\\0\end{pmatrix}.[/math]

Получили единственное решение [math]x_1=1,~x_2=1[/math], которому соответствует точка [math]X_0(1;1)[/math] на координатной плоскости (рис.3.31,в).


4) Составляем расширенную матрицу системы [math](A\mid b)=\begin{pmatrix}1&2&\!\!\vline\!\!&3\\1&-4&\!\!\vline\!\!&-2\\1&-2&\!\!\vline\!\!&-1\end{pmatrix}.[/math]


Поскольку [math]a_{11}=1\ne0[/math] (элемент [math]a_{11}[/math] — ведущий), прибавим ко второй и к третьей строкам первую строку, умноженную на (-1):


[math](A\mid b)= \begin{pmatrix} 1&2&\!\!\vline\!\!&3\\ 1&-4&\!\!\vline\!\!&-2\\1&-2&\!\!\vline\!\!&-1\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&2&\!\!\vline\!\!&3\\0&-6&\!\!\vline\!\!&-5\\0&-4&\!\!\vline\!\!&-4\end{pmatrix}.[/math]

Разделим третью строку на (-4), а затем ко второй строке прибавим третью, умноженную на 6:


[math](A\mid b)\,\sim \begin{pmatrix} 1&2&\!\!\vline\!\!&3\\ 0&-6&\!\!\vline\!\!&-5\\0&-4&\!\!\vline\!\!&-4\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&2&\!\!\vline\!\!&3\\ 0&-6&\!\!\vline\!\!&-5\\ 0&1& \!\!\vline\!\!&1 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&2&\!\!\vline\!\!&3\\ 0&0&\!\!\vline\!\!&1\\0&1&\!\!\vline\!\!&1\end{pmatrix}.[/math]

Вторая строка соответствует уравнению [math]0\cdot x_1+0\cdot x_2=1[/math], которое не имеет решений. Следовательно, система несовместна (прямые, задаваемые уравнениями системы, изображены на рис.3.31,2).


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved