Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Системы линейных неравенств с двумя неизвестными

Системы линейных неравенств с двумя неизвестными


Системой [math]m[/math] линейных алгебраических нестрогих неравенств с двумя неизвестными называется система неравенств вида


[math]\begin{cases} a_{11}\cdot x_1+a_{12}\cdot x_2\geqslant b_1,\\ a_{21}\cdot x_1+a_{22}\cdot x_2\geqslant b_2,\\ \ldots\ldots \ldots \ldots \ldots\ldots \ldots\\ a_{m1}\cdot x_1+a_{m2}\cdot x_2\geqslant b_m. \end{cases}[/math]
(3.30)

Числа [math]a_{ij},~i=1,\ldots,m,~j=1,2[/math] называются коэффициентами системы; [math]b_1,b_2,\ldots,b_m[/math] – свободными членами; [math]x_1,x_2[/math] — неизвестными.


Решением системы неравенств называется упорядоченная пара чисел [math](\alpha_1,\alpha_2)[/math] такая, что после замены неизвестных [math]x_1,x_2[/math] соответственно числами [math]\alpha_1, \alpha_2[/math] каждое неравенство системы превращается в верное числовое неравенство. Система неравенств называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Если система неравенств не имеет ни одного решения, то она называется несовместной.


Система неравенств (3.30) называется однородной, если все свободные члены равны нулю:


[math]\begin{cases} a_{11}\cdot x_1+a_{12}\cdot x_2 \geqslant0,\\ a_{21}\cdot x_1+a_{22}\cdot x_2\geqslant0,\\ \ldots \ldots \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\\ a_{m1}\cdot x_1+a_{m2}\cdot x_2\geqslant0. \end{cases}[/math]
(3.31)

В отличие от однородной, систему неравенств общего вида (3.30) называют неоднородной.


Систему (3.30) принято записывать в матричной форме. Для этого из коэффициентов системы составляем матрицу системы неравенств


[math]A=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}\\ \vdots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}\end{pmatrix}.[/math]

свободные члены записываем в столбец свободных членов [math]b=\begin{pmatrix}b_1\\\vdots\\b_m\end{pmatrix}[/math], а неизвестные — в столбец неизвестных [math]x=\begin{pmatrix} x_1\\x_2\end{pmatrix}[/math].


Матричная запись неоднородной системы неравенств (3.30) имеет


[math]Ax\geqslant b\,,[/math]
(3.32)
а однородной:
[math]Ax\geqslant o\,,[/math]
(3.33)

где символ [math]o[/math] в правой части обозначает нулевой столбец размеров [math]m\times1[/math].


Сравнение левой и правой частей неравенств (3.32), (3.33) выполняется покомпонентно: два столбца [math]\alpha= \begin{pmatrix} \alpha_1&\cdots&\alpha_m\end{pmatrix}^T[/math] и [math]\beta= \begin{pmatrix} \beta_1&\cdots& \beta_m \end{pmatrix}^T[/math] одинаковых размеров удовлетворяют неравенству [math]\alpha\geqslant\beta[/math] тогда и только тогда, когда все неравенства [math]\alpha_1\geqslant\beta_1,\ldots,\alpha_m\geqslant\beta_m[/math] выполняются одновременно.


Блочная матрица [math](A\mid b)=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\!\!\vline\!\!&b_1\\ \vdots&\vdots&\!\!\vline\!\!&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\!\!\vline\!\!&b_m\end{pmatrix}[/math], называется расширенной матрицей системы неравенств (3.30).


Рассматривается случай, когда все неравенства системы первой степени, т.е. коэффициенты при неизвестных каждого неравенства не равны нулю одновременно. Поэтому матрица [math]A[/math] системы ненулевая, более того, все ее строки ненулевые.


В соответствии с матричной записью решением системы (3.32) называется столбец [math]x=\begin{pmatrix}\alpha_1\\\alpha_2\end{pmatrix}[/math], при подстановке которого в (3.32) получаем верное неравенство для столбцов в левой и правой частях. В частности, нулевой столбец о является решением однородной системы (3.33), т.е. любая однородная система неравенств совместна.


Рангом системы неравенств (3.30) называется ранг матрицы [math]A[/math] системы: [math]r=\operatorname{rang}A[/math], т.е. максимальное число линейно независимых строк матрицы [math]A[/math] (максимальное число линейно независимых неравенств системы). Поскольку матрица системы (3.30) ненулевая, то ее ранг может быть равен либо единице ([math]r=1[/math], если все строки матрицы [math]A[/math] пропорциональны), либо двум ([math]r=2[/math], если имеются хотя бы две непропорциональные строки).


Выясним геометрический смысл и свойства решений системы неравенств (3.30). Напомним, что множество точек (на плоскости или в пространстве) называется выпуклым, если вместе с любыми двумя своими точками оно содержит и весь отрезок, соединяющий эти точки (рис.3.32,а). Пустое множество и множество, состоящее из одной точки, по определению считаются выпуклыми. Отрезок, луч, прямая, треугольник (вместе с внутренними его точками), круг, плоскость, полуплоскость, треугольная пирамида, шар и т.п. являются выпуклыми множествами. Фигура, изображенная на рис.3.32,б, не является выпуклой, поскольку отрезок (штриховая линия), соединяющий две точки фигуры, не принадлежит целиком этой фигуре. Примерами невыпуклых множеств являются также ломаная, окружность, сфера и т.п.


Примеры выпуклых и невыпуклых множеств на плоскости

Отметим важное свойство выпуклых множеств: пересечение любого числа выпуклых множеств является выпуклым множеством.


Действительно, пусть две точки принадлежат пересечению [math]\Phi=\Phi_1\cap\Phi_2[/math] двух выпуклых множеств [math]\Phi_1[/math] и [math]\Phi[/math] (рис.3.32,в), т.е. обе точки принадлежат каждому из множеств [math]\Phi_1[/math] и [math]\Phi[/math]. Тогда весь отрезок, соединяющий выбранные точки, принадлежит каждому из множеств [math]\Phi_1[/math] и [math]\Phi[/math], поскольку они выпуклые. Следовательно, весь отрезок принадлежит пересечению [math]\Phi=\Phi_1\cap\Phi_2[/math]. Это рассуждение распространяется на любое количество выпуклых множеств.


Пусть на плоскости задана аффинная система координат [math]Ox_1x_2[/math]. Как показано в разд.3.2.1, множество точек [math]X(x_1,x_2)[/math], координаты которых удовлетворяют линейному неравенству с двумя неизвестными [math]a_{i1}x_1+a_{i2}x_2\geqslant b_i[/math], представляет собой полуплоскость, ограниченную прямой [math]a_{i1}x_1+a_{i2}x_2=b_i[/math]. Поэтому множество [math]M[/math] решений системы неравенств является пересечением полуплоскостей [math]a_{i1}x_1+a_{i2}x_2\geqslant b_i[/math], [math]i=1,\ldots,m[/math]. Поскольку полуплоскость является выпуклым множеством, пересечение конечного числа полуплоскостей также является выпуклым множеством, которое называется выпуклым многоугольным множеством. Таким образом, множество решений системы неравенств (3.30) — это выпуклое многоугольное множество.




Примеры пересечения полуплоскостей


Если ранг системы (3.30) равен 1, то коэффициенты при неизвестных всех неравенств пропорциональны. В этом случае все прямые, ограничивающие полуплоскости, параллельны. Пересечение [math]M[/math] таких полуплоскостей может быть либо пустым множеством (система неравенств несовместна), либо прямой (рис.3.33,а), либо полосой (рис.3.33,6), либо полупространством (рис.3.33,в). Здесь и далее на рисунках прямая, ограничивающая полуплоскость, изображается со стрелками, указывающими на выбранную полуплоскость, а также, как правило, штриховкой, которой отмечается другая полуплоскость, не удовлетворяющая неравенству. При пересечении полуплоскостей заштрихованное множество не удовлетворяет системе неравенств.


Примеры пересечения полуплоскостей

Если ранг равен 2, то не все прямые [math]a_{i1}x_1+a_{i2}x_2=b_i,~i=1,\ldots,m[/math], параллельны. В этом случае пересечение полуплоскостей может быть либо пустым множеством, либо точкой (рис.3.34,а), либо полупрямой (рис.3.34,б), либо отрезком (рис.3.34,в), либо многоугольником (рис.3.34,г), либо выпуклым многоугольным множеством (рис.3.34,д).


Пересечения полуплоскостей и выпуклые многоугольные множества



Метод исключения неизвестных


Для решения системы (3.30) можно применить метод исключения неизвестных. При этом нужно учитывать, что в отличие от уравнений линейная комбинация неравенств является следствием системы неравенств только при положительных коэффициентах, т.е.


[math]\begin{cases}f_1(x)\geqslant0,\\f_m(x)\geqslant0\end{cases} \Rightarrow \quad \lambda_1\cdot f_1(x)+\cdots+\lambda_m\cdot f_m(x)\geqslant0[/math]

при [math]\lambda_1\geqslant0,\ldots,\lambda_m\geqslant0[/math], за исключением случая [math]\lambda_1=\ldots=\lambda_m=0[/math]. Такие линейные комбинации называются положительными. Поэтому метод Гаусса, где используются линейные комбинации с положительными и отрицательными коэффициентами, для систем неравенств неприменим.


Рассмотрим метод исключения неизвестных, применяемый для решения системы (3.30).


1. Выбираем в матрице [math]A[/math] системы неравенств (3.32) столбец, в котором имеются нулевые элементы или элементы противоположных знаков (такой столбец называется ведущим, его элементы – ведущими, а неизвестная, соответствующая ведущему столбцу, — ведущей). По ведущему столбцу формируется новая система неравенств [math]A'x\geqslant b'[/math], в которой ведущая неизвестная отсутствует (исключается ведущая неизвестная).


Например, если первый столбец матрицы [math]A[/math] ведущий, то в новую систему [math]A'x\geqslant b'[/math] записываем:


– все неравенства исходной системы, в которых неизвестная [math]x_1[/math] входит с нулевым коэффициентом;

– положительную линейную комбинацию [math]i[/math]-го и [math]j[/math]-го неравенств, если [math]a_{i1}>0[/math] и [math]a_{j1}<0[/math]:


[math]a_{i1}\cdot(a_{j1}\cdot x+a_{j2}\cdot x_2)-a_{j1}\cdot(a_{i1}\cdot x+a_{i2}\cdot x_2)\geqslant a_{i1}\cdot b_j-a_{j1}\cdot b_i[/math]

то есть к j-му неравенству [math]a_{j1}\cdot x+a_{j2}\cdot x_2\geqslant b_j[/math], умноженному на [math]a_{i1}>0[/math], прибавляем i-е неравенство [math]a_{i1}\cdot x+a_{i2}\cdot x_2\geqslant b_i[/math], умноженное на [math]-a_{j1}>0[/math]. В этой комбинации неравенств коэффициент при неизвестной [math]x_1[/math] получается равным нулю. Другими словами (при исключении неизвестной [math]x_1[/math]), расширенная матрица [math](A'\mid b')[/math] новой системы составляется из строк расширенной матрицы [math](A\mid b)[/math] системы (3.32) с нулевыми ведущими элементами, и положительных комбинаций строк матрицы [math](A\mid b)[/math] с ведущими элементами противоположных знаков (коэффициенты положительной комбинации выбираются так, чтобы ведущие элементы взаимно уничтожались). После процедуры исключения неизвестной [math]x_1[/math] в матрице [math]A[/math] первый столбец оказывается нулевым.


Если в матрице [math]A[/math] нет ведущего столбца (элементы каждого столбца матрицы отличны от нуля и имеют одинаковые знаки), то исключить неизвестную в этой системе нельзя.


2. Если в системе исключена неизвестная [math]x_1[/math], то решаем систему [math]A'x\geqslant b'[/math] с одной неизвестной [math]x_2[/math], преобразуя ее к системе [math]\widetilde{A}\,'x \geqslant \widetilde{b}\,'[/math].состоящей из одного или двух неравенств. В результате получаем один из пяти частных случаев:


[math]\begin{array}{*{20}{l}}\mathsf{1)}~0 \cdot x_2 \geqslant \widetilde{b}'_1 > 0; &\quad \mathsf{2)}~0 \cdot x_2 \geqslant \widetilde{b}'_1 \leqslant 0;\\[6pt] \mathsf{3)}~x_2 \geqslant \widetilde{b}'_1; &\quad \mathsf{4)}~- x_2 \geqslant \widetilde{b}'_1,\end{array}\qquad\mathsf{5)}~\begin{cases} x_2 \geqslant \widetilde{b}'_1,\\ -x_2 \geqslant \widetilde{b}'_2\\ \widetilde{b}'_1 \geqslant - \widetilde{b}'_2.\end{cases}[/math]

В случае "а" неравенство не имеет решений, следовательно, исходная система неравенств [math]Ax\geqslant b[/math] несовместна (процесс решения заканчивается). В остальных случаях исходная система совместна.


Если в исходной системе нельзя исключить одну неизвестную, то полагаем формально [math]0\cdot x_2\geqslant0[/math] [math](A'=0,~b'=0)[/math]. Этому неравенству удовлетворяют любые значения неизвестной [math]x_2[/math], т.е. [math]x_2\in(-\infty,+\infty)[/math].


3. Преобразуем исходную систему неравенств [math]Ax\geqslant b[/math], выражая неизвестную [math]x_1[/math] через [math]x_2[/math]. Получим систему [math]\widetilde{A}x\geqslant \widetilde{b}[/math], разрешенную относительно [math]x_1[/math].


4. Записываем "цепочку" систем:


[math]\widetilde{A}\cdot x\geqslant \widetilde{b} \quad \Rightarrow \quad \widetilde{A}\,'\cdot x\geqslant \widetilde{b}\,',[/math]

полученных в пунктах 2,3. Эти системы задают полное описание множества [math]M[/math] решений исходной системы (считаются ее полным решением). Чтобы получить какое-либо одно решение исходной системы, нужно взять фиксированное решение [math]x_2=x_{20}[/math] системы [math]\widetilde{A}\,'x\geqslant \widetilde{b}\,'[/math], подставить его в систему [math]\widetilde{A}x\geqslant \widetilde{b}[/math] и найти какое-либо ее решение [math]x_1=x_{10}[/math]. Столбец [math]\begin{pmatrix}x_{10}&x_{20}\end{pmatrix}^T[/math] будет решением исходной системы (3.32).


Первые два пункта алгоритма составляют прямой ход метода исключения, третий и четвертый – обратный ход.




Замечания 3.7


1. При исключении неизвестной (прямой ход) получаем следствие исходной системы:


[math]A\cdot x\geqslant b \quad \Rightarrow \quad A'\cdot x\geqslant b'.[/math]

2. Множество решений системы неравенств [math]A'\cdot x\geqslant b'[/math] после исключения неизвестной [math]x_1[/math] представляет собой проекцию на ось [math]Ox_2[/math] (вдоль оси [math]Ox_1[/math]) множества [math]M[/math] решений исходной системы неравенств. Поскольку [math]M[/math] — выпуклое многоугольное множество, то его проекция на ось представляет собой либо пустое множество (см. пункт 2,"а"), либо ось [math]Ox_2[/math] (см. пункт 2,"б"), либо луч (см. пункт 2,"в","г"), либо отрезок (см. пункт 2,"д" при [math]\widetilde{b}\,'_1<-\widetilde{b}\,'_2[/math]), либо точку (см. пункт 2,"д" при [math]\widetilde{b}\,'_1=-\widetilde{b}\,'_2[/math]).


3. При исключении неизвестной из линейно зависимых неравенств получается неравенство вида [math]0\cdot x_1+0\cdot x_2\geqslant\beta[/math], которое либо выполняется при всех значениях неизвестных (если [math]\beta\leqslant0[/math]), либо не имеет решений (если [math]\beta\geqslant0[/math]). В первом случае его можно удалить из системы, не изменив при этом множества ее решения. Во втором случае новая система, а также исходная система не имеют решений.




Пример 3.18. Упростить системы неравенств:


[math]\mathsf{1)}~\begin{cases}x_1+2x_2\geqslant3,\\2x_1+4x_2\geqslant6,\\2x_1+x_2\geqslant3;\end{cases} \mathsf{2)}~\begin{cases}-x_1+2x_2\geqslant-1,\\2x_1-4x_2\geqslant2,\\x_1+2x_2\geqslant1;\end{cases} \mathsf{3)}~\begin{cases}x_1+2x_2\geqslant3,\\x_1-4x_2\geqslant-3,\\-x_1+2x_2\geqslant1;\end{cases} \mathsf{4)}~\begin{cases}-x_1-x_2\geqslant-5,\\x_1-x_2\geqslant-1,\\2x_1+5x_2\geqslant-1\\-x_1+2x_2\geqslant-1.\end{cases}[/math]

Найти какое-либо решение. Изобразить множество решений на координатной плоскости [math]Ox_1x_2[/math].


Решение.


1) Прямой ход. 1,2. Элементы каждого столбца матрицы [math]A=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\\2&1\end{pmatrix}[/math] системы неравенств имеют одинаковые знаки. Такую систему упростить нельзя. Прямой ход метода исключения завершается составлением неравенства [math]0\cdot x_2\geqslant0[/math], которому удовлетворяют любые значения неизвестной [math]x_2[/math].


Обратный ход. 3. Выражаем неизвестную [math]x_1[/math] из каждого неравенства исходной системы:


[math]\begin{cases}x_1+2x_2\geqslant3,\\2x_1+4x_2\geqslant6,\\2x_1+x_2\geqslant3;\end{cases} \Leftrightarrow \quad \begin{cases}x_1\geqslant3-2x_2,\\x_1\geqslant3-2x_2,\\x_1\geqslant3/2-x_2/2.\end{cases}[/math]

Первые два неравенства совпадают, поэтому одно из них можно удалить.

4. Записываем "цепочку" систем, полученных в результате прямого и обратного хода:


[math]\begin{cases}x_1\geqslant3-2x_2,\\[5pt]x_1\geqslant\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}\,x_2\end{cases}\Rightarrow \quad 0\cdot x_2\geqslant0.[/math]

Эта "цепочка" систем дает полное описание множества [math]M[/math] решений исходной системы (см. рис.3.35,а). Проекция множества [math]M[/math] на ось [math]Ox_2[/math] (вдоль оси [math]Ox_1[/math]) совпадает со всей осью [math]Ox_2[/math] (см. пункт 2 замечаний 3.7).


Найдем какое-либо решение системы. Выбирая любое решение второй системы в "цепочке", например [math]x_2=3[/math], подставляем это значение в первую систему "цепочки" и решаем ее:


[math]\begin{cases}x_1\geqslant3-2\cdot3,\\[5pt]x_1\geqslant\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}\cdot3, \end{cases}\Leftrightarrow \quad \begin{cases}x_1\geqslant-3,\\[2pt]x_1\geqslant0,\end{cases}\Leftrightarrow \quad x_1\geqslant0.[/math]

Следовательно, любое неотрицательное значение [math]x_1[/math] является решением исходной системы при [math]x_2=3[/math], например, пара [math](1, 3)[/math] — решение исходной системы.


Геометрическая интерпретация решения линейных систем неравенств с двумя переменными

2) Прямой ход. 1. Составляем расширенную матрицу системы


[math](A\mid b)=\begin{pmatrix}-1&2&\!\!\vline\!\!&-1\\2&-4&\!\!\vline\!\!&2\\1&2&\!\!\vline\!\!&1\end{pmatrix}[/math]

и выбираем первый столбец матрицы [math]A[/math] в качестве ведущего (поскольку он содержит элементы противоположных знаков). Исключаем ведущую неизвестную [math]x_1[/math]. Прибавляем к третьей строке первую, а ко второй — первую, умноженную на 2. Полученные строки записываем в матрицу [math](A'\mid b')[/math] (индексы комбинируемых строк указаны справа в скобках):


[math](A\mid b)=\begin{pmatrix} -1&2&\!\!\vline\!\!&-1\\ 2&-4&\!\!\vline\!\!&2\\ 1&2&\!\!\vline\!\!&1\end{pmatrix}~\to~\,(A'\mid b')=\begin{pmatrix}0&0&\!\!\vline\!\!&0\\0&4&\!\!\vline\!\!&0\end{pmatrix}\begin{gathered}(1;2)\\(1;3)\end{gathered}~\Leftrightarrow~\begin{pmatrix}0&0\\0&4\end{pmatrix}{\cdot}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}\geqslant\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}.[/math]

2. Первое неравенство справедливо при любых [math]x_1[/math] и [math]x_2[/math] (его можно удалить из системы [math](A'\mid b')[/math] (см. пункт замечаний 3.7)). Второе неравенство [math]4x_2\geqslant0[/math] справедливо для неотрицательных значений [math]x_2[/math]. Следовательно, исходная система совместна.


Обратный ход. 3. Выражаем неизвестную [math]x_1[/math] из каждого неравенства исходной системы:


[math]\begin{cases}-x_1+2x_2\geqslant-1,\\2x_1-4x_2\geqslant2,\\x_1+2x_2\geqslant1;\end{cases} \Leftrightarrow \quad \begin{cases}x_1\leqslant1+2x_2,\\x_1\geqslant1+2x_2,\\x_1\geqslant1-2x_2.\end{cases}[/math]

Первые два неравенства можно заменить уравнением [math]x_1=1+2x_2[/math].


4. Записываем "цепочку" систем, полученных в результате прямого и обратного хода:


[math]\begin{cases}x_1=1+2x_2,\\[2pt]x_1\geqslant1-2x_2,\end{cases}\Rightarrow \quad x_2\geqslant0.[/math]

Эта "цепочка" систем дает полное описание множества [math]M[/math] решений исходной системы (см. рис.3.35,6). Проекция множества [math]M[/math] на ось [math]Ox_2[/math] (вдоль оси [math]Ox_1[/math]) совпадает с неотрицательной частью оси [math]Ox_2[/math] (см. пункт 2 замечаний 3.7).


Найдем какое-либо решение системы. Выбирая любое решение второй системы в "цепочке", например [math]x_2=3[/math], подставляем это значение в первую систему "цепочки" и решаем ее:


[math]\begin{cases}x_1=3+2\cdot3,\\[2pt]x_1\geqslant1-2\cdot3,\end{cases}\Leftrightarrow \quad \begin{cases}x_1=9,\\x_1\geqslant=-5,\end{cases}\Leftrightarrow \quad x_1=9.[/math]

Получили решение (9,3) исходной системы.


3) Прямой ход. 1. Составляем расширенную матрицу системы


[math](A\mid b)=\begin{pmatrix}1&2&\!\!\vline\!\!&3\\1&-4&\!\!\vline\!\!&-3\\-1&2&\!\!\vline\!\!&1\end{pmatrix}[/math]

и выбираем первый столбец матрицы [math]A[/math] в качестве ведущего (поскольку он содержит элементы противоположных знаков). Исключаем ведущую неизвестную [math]x_1[/math]. Прибавляем к первой и ко второй строкам третью. Полученные строки записываем в матрицу [math](A'\mid b')[/math] (индексы комбинируемых строк указаны справа в скобках):



[math](A\mid b)=\begin{pmatrix} 1&2&\!\!\vline\!\!&3\\ 1&-4&\!\!\vline\!\!&-3\\ -1&2&\!\!\vline\!\!&1\end{pmatrix}~\to~ \,(A\mid b)=\begin{pmatrix}0&4&\!\!\vline\!\!&4\\0&-2&\!\!\vline\!\!&-2\end{pmatrix} \begin{gathered}(1;3)\\(2;3)\end{gathered}[/math]

2. Решаем полученную систему неравенств:


[math]\begin{cases}\phantom{-}4\cdot x_2\geqslant4,\\[2pt] -2\cdot x_2\geqslant-2,\end{cases} \Leftrightarrow \quad \begin{cases}\phantom{-}x_2\geqslant1,\\[2pt] -x_2\geqslant-1,\end{cases} \Leftrightarrow \quad x_2=1.[/math]

Получили единственное решение, следовательно, исходная система неравенств совместна.


Обратный ход. 3. Выражаем неизвестную [math]x_1[/math] из каждого неравенства исходной системы:


[math]\begin{cases}x_1+2x_2\geqslant3,\\x_1-4x_2\geqslant-3,\\-x_1+2x+2\geqslant1,\end{cases} \Leftrightarrow \quad \begin{cases}x_1\geqslant3-2x_2,\\ x_1\geqslant-3+4x_2,\\ -x_1\geqslant1-2x_2.\end{cases}[/math]

4. Записываем "цепочку" систем, полученных в результате прямого в обратного хода:


[math]\begin{cases}x_1\geqslant3-2x_2,\\ x_1\geqslant-3+4x_2,\\ -x_1\geqslant1-2x_2.\end{cases} \Rightarrow \quad x_2=1.[/math]

Эта "цепочка" систем дает полное описание множества [math]M[/math] решений исходной системы (см. рис.3.35,в). Подставим [math]x_2=1[/math] в первую систему "цепочки":


[math]\begin{cases}x_1\geqslant3-2\cdot2,\\ x_1\geqslant-3+4\cdot2,\\ -x_1\geqslant1-2\cdot2,\end{cases} \Leftrightarrow \quad \begin{cases}\phantom{-}x_1\geqslant1,\\ \phantom{-}x_1\geqslant1,\\ -x_1\geqslant-1.\end{cases} \Leftrightarrow \quad x_1=1.[/math]

Следовательно, исходная система имеет единственное решение (1,1), отмеченное на рис.3.35,в точкой [math]M[/math].


4) Прямой ход. 1. Составляем расширенную матрицу системы


[math](A\mid b)=\begin{pmatrix}-1&-1&\!\!\vline\!\!&-5\\1&-1&\!\!\vline\!\!&-1\\ 2&5&\!\!\vline\!\!&11\\-1&2&\!\!\vline\!\!&-1\end{pmatrix}[/math]

и выбираем первый столбец матрицы [math]A[/math] в качестве ведущего (поскольку он содержит элементы противоположных знаков). Исключаем ведущую неизвестную [math]x_1[/math], комбинируя строки с ведущими элементами противоположных знаков. Прибавляем ко второй строке первую, а к третьей строке — первую, умноженную на 2; затем прибавляем ко второй строке четвертую, а к третьей строке — четвертую, умноженную на 2. Полученные строки записываем в матрицу [math](A'\mid b')[/math] (индексы комбинируемых строк указаны справа в скобках):


[math](A\mid b)=\begin{pmatrix} -1&-1&\!\!\vline\!\!&-5\\ 1&-1&\!\!\vline\!\!&-1\\ 2&5&\!\!\vline\!\!&11\\ -1&2&\!\!\vline\!\!&-1 \end{pmatrix}~\to~\,(A'\mid b')= \begin{pmatrix} 0&-2&\!\!\vline\!\!&-6\\ 0&3&\!\!\vline\!\!&1\\ 0&1&\!\!\vline\!\!&-2\\ 0&9&\!\!\vline\!\!&9\end{pmatrix} \begin{gathered}(1;2)\\(1;3)\\(2;4)\\(3;4)\end{gathered}[/math]

2. Решаем полученную систему неравенств:


[math]\begin{cases}-2\cdot x_2\geqslant-6,\\3\cdot x_2\geqslant1,\\x_2\geqslant-2,\\9\cdot x_2\geqslant9,\end{cases} \Leftrightarrow \quad \begin{cases}-x_2\geqslant-3,\\\phantom{-}x_2\geqslant1.\end{cases}[/math]

Получили отрезок [math]1\leqslant x_2\leqslant3[/math] оси [math]Ox_1[/math] — проекцию множества [math]M[/math] решений исходной системы неравенств. Следовательно, исходная система неравенств совместна.


Обратный ход. 3. Выражаем неизвестную [math]x_1[/math] из каждого неравенства исходной системы:


[math]\begin{cases} -x_1-x_2\geqslant-5,\\ x_1-x_2\geqslant-1,\\ 2x_1+5x_2\geqslant11,\\ -x_1+2x_2\geqslant-1. \end{cases} \Leftrightarrow \quad \begin{cases} -x_1\geqslant-5+x_2,\\ x_1\geqslant-1+x_2,\\ x_1\geqslant11/2-5x_2/2,\\ -x_1\geqslant-1-2x_2,\end{cases}\Rightarrow \quad \begin{cases}-x_2\geqslant-3,\\\phantom{-}x_2\geqslant1.\end{cases}[/math]

Эта "цепочка" систем дает полное описание множества [math]M[/math] решений исходной системы, которое представляет собой незаштрихованный четырехугольник [math]M[/math] на рис.3.35,2.


Найдем какое-либо решение исходной системы. Подставим, например, решение [math]x_2=2[/math] второй системы "цепочки" в первую систему "цепочки":


[math]\begin{cases}-x_1\geqslant-5+2,\\ \phantom{-}x_1\geqslant-1+2,\\ \phantom{-}x_1\geqslant11/2-5/2\cdot2,\\ -x_1\geqslant-1-2\cdot2, \end{cases} \Leftrightarrow \quad \begin{cases}-x_1\geqslant-3,\\ \phantom{-}x_1\geqslant1,\\ \phantom{-}x_1\geqslant1/2,\\ -x_1\geqslant-5, \end{cases} \Leftrightarrow \quad \begin{cases}-x_1\geqslant-3,\\\phantom{-}x_1\geqslant1.\end{cases}[/math]

Следовательно, при [math]x_2=2[/math] любое число [math]x_1[/math] из промежутка [math][1;3][/math] удовлетворяет исходной системе. Например, пара [math](2;2)[/math] является решением системы.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved