Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]

Системы линейных неравенств с двумя неизвестными
Онлайн-сервисы Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики Онлайн число, сумма и дата прописью Алгоритмы JavaScript Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки Уникальные элементы массива Объединение, пересечение и разность массивов НОД и НОК Операции над матрицами Дата прописью Введение в анализ Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика Теория множеств Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия Математическая логика Алгебра высказываний Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции Булевы функции Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций Теория формального Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний Логика предикатов Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов Неформальные и формаль- ные аксиоматические теории Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории Теория алгоритмов Интуитивное представление об алгоритмах Машины Тьюринга и тезис Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики Математическая логика и компьютеры Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект Дискретная математика Множества и отношения Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций Группы и кольца Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов Полукольца и булевы алгебры Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки Алгебраические системы Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры Теория графов Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов Булева алгебра и функции Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов Конечные автоматы и регулярные языки Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга Контекстно-свободные языки Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов Интегральное исчисление Неопределённый и определённый Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции Приложения интегралов Вычисление площадей плоских фигур Площади фигур в различных координатах Вычисление объемов тел с помощью интегралов Объём тела вращения Вычисление длин дуг кривых Формулы длины дуги регулярной кривой Кривизна плоской кривой Площадь поверхности вращения тела Интегралы в физике Статические моменты и координаты центра тяжести Теоремы Гульдина–Паппа Вычисление моментов инерции Другие приложения интегралов в физике Основные интегралы Интеграл Ньютона-Лейбница Интеграл Римана Интеграл Лебега Вариационное исчисление Примеры вариационных задач Дифференциальное уравнение Эйлера Функционалы, зависящие от нескольких функций Задача о минимуме кратного интеграла Финансовый анализ Анализ эффективности Критерии и показатели эффективности предприятия Методы анализа эффективности деятельности Факторный анализ прибыли от операционной деятельности Анализ безубыточности предприятия Операционный рычаг и эффект финансового рычага Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала Анализ распределения прибыли предприятия Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности Анализ устойчивости Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность Характеристика типов финансовой устойчивости Рыночная активность Финансовый анализ рыночной активности Методика анализа рыночной активности Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию Инвестиционная деятельность Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование Анализ инвестиций Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия Задачи финансового анализа инвестиций предприятия Учет фактора времени в инвестиционной деятельности Аннуитет и финансовая рента в инвестициях Учет фактора инфляции при инвестировании Оценка фактора риска инвестиционного проекта Методы оценки эффективности инвестиций Показатели эффективности инвестиционного проекта Стоимость компании Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций Форвардные контракты Форвардный контракт и цена Форвардная цена акции на бирже Цена форвардного контракта инвестора Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда Форвардная цена валюты на рынке форекс Форвардный валютный курс и инфляция на рынке Форвардная цена товара и спотовый рынок Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам Синтетический форвардный контракт на акции и валюту Теория вероятностей Основные понятия теории вероятностей Зависимые и независимые случайные события Повторные независимые испытания Формула Бернулли Одномерные случайные величины Многомерные случайные величины Функции случайных величин Законы распределения целочисленных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и предельные теоремы Вероятностные закономерности Математическая статистика Элементы математической статистики Выборочный метод Оценки параметров генеральной совокупности Статистические гипотезы Критерии согласия Теоретические и эмпирические частоты Теория очередей (СМО) Определение системы массового обслуживания Уравнения Колмогорова Предельные вероятности состояний Определение СМО с отказами Определение СМО с ожиданием (очередью) Аналитическая геометрия Векторная алгебра Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике Системы координат Прямоугольные координаты Преобразования прямоугольных координат Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферические координаты Аффинные координаты Аффинные преобразования координат Аффинные преобразования плоскости Примеры аффинных преобразований плоскости Аффинные преобразования пространства Многомерное координатное пространство Линейные и аффинные подпространства Скалярное произведение n-мерных векторов Преобразования систем координат Геометрия на плоскости Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными Линии 2-го порядка Канонические уравнения линий второго порядка Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду Эллипс Гипербола Парабола Квадратичные неравенства с двумя неизвестными Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций Инварианты линий Классификация линий 2-го порядка по инвариантам Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам Геометрия в пространстве Способы задания ГМТ в пространстве Алгебраические уравнения поверхностей Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам Уравнения плоскости, проходящей через три точки Взаимное расположение плоскостей Типовые задачи с плоскостями Уравнения прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Типовые задачи с прямыми в пространстве Поверхности 2-го порядка Канонические уравнения поверхностей Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду Поверхности второго порядка Эллипсоиды Гиперболоиды Конусы Параболоиды Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций Инварианты поверхностей Классификация поверхностей 2-го порядка по инвариантам Квадратичные неравенства с тремя неизвестными Приведение уравнения поверхности к канониче-скому виду по инвариантам Линейная алгебра Матрицы и операции Линейные операции над матрицами Умножение матриц Возведение матриц в степень Многочлены от матриц Транспонирование и сопряжение матриц Блочные матрицы Произведение и сумма матриц Кронекера Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду Элементарные преобразования матриц Определители Определители матриц и их основные свойства Формула полного разложения определителя Формула Лапласа полного разложения определителя Определитель произведения матриц Методы вычисления определителей Ранг матрицы Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы Ранг матрицы и базисный минор матрицы Методы вычисления ранга матрицы Ранг системы столбцов (строк) Обратная матрица Обратные матрицы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы Способы нахождения обратной матрицы Матричные уравнения Односторонние обратные матрицы Скелетное разложение матрицы Полуобратная матрица Псевдообратная матрица Системы уравнений Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Структура общего решения системы уравнений Решение систем с помощью полуобратных матриц Псевдорешения системы линейных уравнений Функциональные матрицы Функциональные матрицы скалярного аргумента Производные матриц по векторному аргументу Линейные и квадратичные формы и их преобразования Приведение форм к каноническому виду Закон инерции вещественных квадратичных форм Знакоопределенность форм вещественных квадратичных Формы и исследование функций на экстремум Многочленные матрицы Многочленные матрицы (лямбда-матрицы) Операции над лямбда-матрицами Простые преобразования многочленных матриц Инвариантные множители многочленной матрицы Функции от матриц Собственные векторы и значения матрицы Подобие числовых матриц Характеристический многочлен матрицы Минимальный многочлен матрицы Теорема Гамильтона-Кэли Жорданова форма матрицы Приведение матрицы к жордановой форме Многочлены от матриц Применение многочленов от матриц Функции от матриц Линейные пространства Линейные пространства: определение и примеры Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов Размерность и базис линейного пространства Преобразования координат в линейном пространстве Изоморфизм линейных пространств Подпространства Подпространства линейного пространства Пересечение и сумма подпространств Способы описания подпространств Нахождение дополнения и суммы подпространств Нахождение пересечения подпространств Линейные отображения Линейные многообразия Линейные отображения Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения Линейные операторы Линейные операторы (преобразования) Инвариантные подпространства Собственные векторы и значения оператора Свойства собственных векторов операторов Канонический вид линейного оператора Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду Евклидовы пространства Евклидовы пространства Ортогональные векторы евклидова пространства Ортогональный базис евклидова пространства Ортонормированный базис евклидова пространства Ортогональные дополнения в евклидовом пространстве Задача о перпендикуляре Матрица и определитель Грама и его свойства Линейные преобразования евклидовых пространств Канонический вид ортогонального оператора евклидова пространства Сопряженные операторы евклидова пространства Самосопряженные операторы евклидова пространства Приведение квадратичной формы к главным осям Унитарные пространства и их линейные преобразования Комплексный анализ Комплексные числа Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Множества на комплексной плоскости Последовательности и ряды комплексных чисел Комплексные функции Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная Элементарные функции комплексного переменного Дифференцирование функций комплексного переменного Аналитические функции и их свойства Конформные отображения и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного Функциональные ряды в комплексной области Функциональные ряды и последовательности Степенные ряды и их свойства Разложение функций в степенные ряды Нули аналитических функций Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням Особые точки, Вычеты Изолированные особые точки функций и полюсы Вычеты и их применение Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычеты и расположение нулей многочлена Операционное исчисление Преобразование Лапласа и его свойства Решение ДУ операционным методом Анализ выходных процессов линейных стационарных систем Z-преобразование и его свойства Дифференциальные уравнения ДУ первого порядка Основные понятия и определения ДУ Метод изоклин для ДУ 1-го порядка Метод последовательных приближений ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ 1-го порядка Дифференциальное уравнение Бернулли ДУ в полных дифференциалах Интегрирующий множитель ДУ, не разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение Риккати Составление ДУ семейств линий Задачи на траектории Особые решения ДУ ДУ высших порядков Понятия и определения ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка Линейная независимость функций Определители Вронского и Грама Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения Задача Коши и Уравнение Эйлера Линейные ДУ с переменными коэффициентами Метод Лагранжа решения ДУ Краевые задачи для ДУ высших порядков Разложение решения ДУ в степенной ряд Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд Нахождение периодических решений ДУ Асимптотическое интегрирование ДУ Системы ДУ Системы ДУ: понятия и определения Сведение системы ДУ к одному уравнению Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование однородных линейных систем ДУ Методы интегрирования неоднородных систем ДУ Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем Теория устойчивости Устойчивость решений ДУ по Ляпунову Простейшие типы точек покоя Метод функций Ляпунова Устойчивость решений ДУ по первому приближению Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова ДУ с малым параметром при производной Численные методы Методы алгебры Численные методы линейной алгебры Численные методы решения СЛАУ Итерационный метод Шульца обратной матрицы Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы Методы решения нелинейных уравнений Методы решения систем нелинейных уравнений Методы теории приближений Методы приближения сеточных функций Методы функциональной интерполяции Методы интегрально-дифференциальной интерполяции Методы интегрального сглаживания Методы интерполяции и сглаживания сплайнами Методы численного дифференцирования и интегрирования Методы численного дифференцирования Методы численного интегрирования Методы решения обыкновенных ДУ Численные методы решения задачи Коши Разностные схемы для решения задачи Коши Составные схемы для решения задачи Коши Экстраполяционные методы решения задачи Коши Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши Численные методы решения краевых задач Методы решения ДУ в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Численные методы решения уравнений в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными	Системы линейных неравенств с двумя неизвестными Системой $m$ линейных алгебраических нестрогих неравенств с двумя неизвестными называется система неравенств вида $\begin{cases} a_{11}\cdot x_1+a_{12}\cdot x_2\geqslant b_1,\\ a_{21}\cdot x_1+a_{22}\cdot x_2\geqslant b_2,\\ \ldots\ldots \ldots \ldots \ldots\ldots \ldots\\ a_{m1}\cdot x_1+a_{m2}\cdot x_2\geqslant b_m. \end{cases}$ (3.30) Числа $a_{ij},~i=1,\ldots,m,~j=1,2$ называются коэффициентами системы; $b_1,b_2,\ldots,b_m$ – свободными членами; $x_1,x_2$ — неизвестными. Решением системы неравенств называется упорядоченная пара чисел $(\alpha_1,\alpha_2)$ такая, что после замены неизвестных $x_1,x_2$ соответственно числами $\alpha_1, \alpha_2$ каждое неравенство системы превращается в верное числовое неравенство. Система неравенств называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Если система неравенств не имеет ни одного решения, то она называется несовместной. Система неравенств (3.30) называется однородной, если все свободные члены равны нулю: $\begin{cases} a_{11}\cdot x_1+a_{12}\cdot x_2 \geqslant0,\\ a_{21}\cdot x_1+a_{22}\cdot x_2\geqslant0,\\ \ldots \ldots \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\\ a_{m1}\cdot x_1+a_{m2}\cdot x_2\geqslant0. \end{cases}$ (3.31) В отличие от однородной, систему неравенств общего вида (3.30) называют неоднородной. Систему (3.30) принято записывать в матричной форме. Для этого из коэффициентов системы составляем матрицу системы неравенств $A=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}\\ \vdots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}\end{pmatrix}.$ свободные члены записываем в столбец свободных членов $b=\begin{pmatrix}b_1\\\vdots\\b_m\end{pmatrix}$ , а неизвестные — в столбец неизвестных $x=\begin{pmatrix} x_1\\x_2\end{pmatrix}$ . Матричная запись неоднородной системы неравенств (3.30) имеет $Ax\geqslant b\,,$ (3.32) а однородной: $Ax\geqslant o\,,$ (3.33) где символ $o$ в правой части обозначает нулевой столбец размеров $m\times1$ . Сравнение левой и правой частей неравенств (3.32), (3.33) выполняется покомпонентно: два столбца $\alpha= \begin{pmatrix} \alpha_1&\cdots&\alpha_m\end{pmatrix}^T$ и $\beta= \begin{pmatrix} \beta_1&\cdots& \beta_m \end{pmatrix}^T$ одинаковых размеров удовлетворяют неравенству $\alpha\geqslant\beta$ тогда и только тогда, когда все неравенства $\alpha_1\geqslant\beta_1,\ldots,\alpha_m\geqslant\beta_m$ выполняются одновременно. Блочная матрица $(A\mid b)=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\!\!\vline\!\!&b_1\\ \vdots&\vdots&\!\!\vline\!\!&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\!\!\vline\!\!&b_m\end{pmatrix}$ , называется расширенной матрицей системы неравенств (3.30). Рассматривается случай, когда все неравенства системы первой степени, т.е. коэффициенты при неизвестных каждого неравенства не равны нулю одновременно. Поэтому матрица $A$ системы ненулевая, более того, все ее строки ненулевые. В соответствии с матричной записью решением системы (3.32) называется столбец $x=\begin{pmatrix}\alpha_1\\\alpha_2\end{pmatrix}$ , при подстановке которого в (3.32) получаем верное неравенство для столбцов в левой и правой частях. В частности, нулевой столбец о является решением однородной системы (3.33), т.е. любая однородная система неравенств совместна. Рангом системы неравенств (3.30) называется ранг матрицы $A$ системы: $r=\operatorname{rang}A$ , т.е. максимальное число линейно независимых строк матрицы $A$ (максимальное число линейно независимых неравенств системы). Поскольку матрица системы (3.30) ненулевая, то ее ранг может быть равен либо единице ( $r=1$ , если все строки матрицы $A$ пропорциональны), либо двум ( $r=2$ , если имеются хотя бы две непропорциональные строки). Выясним геометрический смысл и свойства решений системы неравенств (3.30). Напомним, что множество точек (на плоскости или в пространстве) называется выпуклым, если вместе с любыми двумя своими точками оно содержит и весь отрезок, соединяющий эти точки (рис.3.32,а). Пустое множество и множество, состоящее из одной точки, по определению считаются выпуклыми. Отрезок, луч, прямая, треугольник (вместе с внутренними его точками), круг, плоскость, полуплоскость, треугольная пирамида, шар и т.п. являются выпуклыми множествами. Фигура, изображенная на рис.3.32,б, не является выпуклой, поскольку отрезок (штриховая линия), соединяющий две точки фигуры, не принадлежит целиком этой фигуре. Примерами невыпуклых множеств являются также ломаная, окружность, сфера и т.п. Отметим важное свойство выпуклых множеств: пересечение любого числа выпуклых множеств является выпуклым множеством. Действительно, пусть две точки принадлежат пересечению $\Phi=\Phi_1\cap\Phi_2$ двух выпуклых множеств $\Phi_1$ и $\Phi$ (рис.3.32,в), т.е. обе точки принадлежат каждому из множеств $\Phi_1$ и $\Phi$ . Тогда весь отрезок, соединяющий выбранные точки, принадлежит каждому из множеств $\Phi_1$ и $\Phi$ , поскольку они выпуклые. Следовательно, весь отрезок принадлежит пересечению $\Phi=\Phi_1\cap\Phi_2$ . Это рассуждение распространяется на любое количество выпуклых множеств. Пусть на плоскости задана аффинная система координат $Ox_1x_2$ . Как показано в разд.3.2.1, множество точек $X(x_1,x_2)$ , координаты которых удовлетворяют линейному неравенству с двумя неизвестными $a_{i1}x_1+a_{i2}x_2\geqslant b_i$ , представляет собой полуплоскость, ограниченную прямой $a_{i1}x_1+a_{i2}x_2=b_i$ . Поэтому множество $M$ решений системы неравенств является пересечением полуплоскостей $a_{i1}x_1+a_{i2}x_2\geqslant b_i$ , $i=1,\ldots,m$ . Поскольку полуплоскость является выпуклым множеством, пересечение конечного числа полуплоскостей также является выпуклым множеством, которое называется выпуклым многоугольным множеством. Таким образом, множество решений системы неравенств (3.30) — это выпуклое многоугольное множество. Примеры пересечения полуплоскостей Если ранг системы (3.30) равен 1, то коэффициенты при неизвестных всех неравенств пропорциональны. В этом случае все прямые, ограничивающие полуплоскости, параллельны. Пересечение $M$ таких полуплоскостей может быть либо пустым множеством (система неравенств несовместна), либо прямой (рис.3.33,а), либо полосой (рис.3.33,6), либо полупространством (рис.3.33,в). Здесь и далее на рисунках прямая, ограничивающая полуплоскость, изображается со стрелками, указывающими на выбранную полуплоскость, а также, как правило, штриховкой, которой отмечается другая полуплоскость, не удовлетворяющая неравенству. При пересечении полуплоскостей заштрихованное множество не удовлетворяет системе неравенств. Если ранг равен 2, то не все прямые $a_{i1}x_1+a_{i2}x_2=b_i,~i=1,\ldots,m$ , параллельны. В этом случае пересечение полуплоскостей может быть либо пустым множеством, либо точкой (рис.3.34,а), либо полупрямой (рис.3.34,б), либо отрезком (рис.3.34,в), либо многоугольником (рис.3.34,г), либо выпуклым многоугольным множеством (рис.3.34,д). Метод исключения неизвестных Для решения системы (3.30) можно применить метод исключения неизвестных. При этом нужно учитывать, что в отличие от уравнений линейная комбинация неравенств является следствием системы неравенств только при положительных коэффициентах, т.е. $\begin{cases}f_1(x)\geqslant0,\\f_m(x)\geqslant0\end{cases} \Rightarrow \quad \lambda_1\cdot f_1(x)+\cdots+\lambda_m\cdot f_m(x)\geqslant0$ при $\lambda_1\geqslant0,\ldots,\lambda_m\geqslant0$ , за исключением случая $\lambda_1=\ldots=\lambda_m=0$ . Такие линейные комбинации называются положительными. Поэтому метод Гаусса, где используются линейные комбинации с положительными и отрицательными коэффициентами, для систем неравенств неприменим. Рассмотрим метод исключения неизвестных, применяемый для решения системы (3.30). 1. Выбираем в матрице $A$ системы неравенств (3.32) столбец, в котором имеются нулевые элементы или элементы противоположных знаков (такой столбец называется ведущим, его элементы – ведущими, а неизвестная, соответствующая ведущему столбцу, — ведущей). По ведущему столбцу формируется новая система неравенств $A'x\geqslant b'$ , в которой ведущая неизвестная отсутствует (исключается ведущая неизвестная). Например, если первый столбец матрицы $A$ ведущий, то в новую систему $A'x\geqslant b'$ записываем: – все неравенства исходной системы, в которых неизвестная $x_1$ входит с нулевым коэффициентом; – положительную линейную комбинацию $i$ -го и $j$ -го неравенств, если $a_{i1}>0$ и $a_{j1}<0$ : $a_{i1}\cdot(a_{j1}\cdot x+a_{j2}\cdot x_2)-a_{j1}\cdot(a_{i1}\cdot x+a_{i2}\cdot x_2)\geqslant a_{i1}\cdot b_j-a_{j1}\cdot b_i$ то есть к j-му неравенству $a_{j1}\cdot x+a_{j2}\cdot x_2\geqslant b_j$ , умноженному на $a_{i1}>0$ , прибавляем i-е неравенство $a_{i1}\cdot x+a_{i2}\cdot x_2\geqslant b_i$ , умноженное на $-a_{j1}>0$ . В этой комбинации неравенств коэффициент при неизвестной $x_1$ получается равным нулю. Другими словами (при исключении неизвестной $x_1$ ), расширенная матрица $(A'\mid b')$ новой системы составляется из строк расширенной матрицы $(A\mid b)$ системы (3.32) с нулевыми ведущими элементами, и положительных комбинаций строк матрицы $(A\mid b)$ с ведущими элементами противоположных знаков (коэффициенты положительной комбинации выбираются так, чтобы ведущие элементы взаимно уничтожались). После процедуры исключения неизвестной $x_1$ в матрице $A$ первый столбец оказывается нулевым. Если в матрице $A$ нет ведущего столбца (элементы каждого столбца матрицы отличны от нуля и имеют одинаковые знаки), то исключить неизвестную в этой системе нельзя. 2. Если в системе исключена неизвестная $x_1$ , то решаем систему $A'x\geqslant b'$ с одной неизвестной $x_2$ , преобразуя ее к системе $\widetilde{A}\,'x \geqslant \widetilde{b}\,'$ .состоящей из одного или двух неравенств. В результате получаем один из пяти частных случаев: $\begin{array}{*{20}{l}}\mathsf{1)}~0 \cdot x_2 \geqslant \widetilde{b}'_1 > 0; &\quad \mathsf{2)}~0 \cdot x_2 \geqslant \widetilde{b}'_1 \leqslant 0;\\[6pt] \mathsf{3)}~x_2 \geqslant \widetilde{b}'_1; &\quad \mathsf{4)}~- x_2 \geqslant \widetilde{b}'_1,\end{array}\qquad\mathsf{5)}~\begin{cases} x_2 \geqslant \widetilde{b}'_1,\\ -x_2 \geqslant \widetilde{b}'_2\\ \widetilde{b}'_1 \geqslant - \widetilde{b}'_2.\end{cases}$ В случае "а" неравенство не имеет решений, следовательно, исходная система неравенств $Ax\geqslant b$ несовместна (процесс решения заканчивается). В остальных случаях исходная система совместна. Если в исходной системе нельзя исключить одну неизвестную, то полагаем формально $0\cdot x_2\geqslant0$ $(A'=0,~b'=0)$ . Этому неравенству удовлетворяют любые значения неизвестной $x_2$ , т.е. $x_2\in(-\infty,+\infty)$ . 3. Преобразуем исходную систему неравенств $Ax\geqslant b$ , выражая неизвестную $x_1$ через $x_2$ . Получим систему $\widetilde{A}x\geqslant \widetilde{b}$ , разрешенную относительно $x_1$ . 4. Записываем "цепочку" систем: $\widetilde{A}\cdot x\geqslant \widetilde{b} \quad \Rightarrow \quad \widetilde{A}\,'\cdot x\geqslant \widetilde{b}\,',$ полученных в пунктах 2,3. Эти системы задают полное описание множества $M$ решений исходной системы (считаются ее полным решением). Чтобы получить какое-либо одно решение исходной системы, нужно взять фиксированное решение $x_2=x_{20}$ системы $\widetilde{A}\,'x\geqslant \widetilde{b}\,'$ , подставить его в систему $\widetilde{A}x\geqslant \widetilde{b}$ и найти какое-либо ее решение $x_1=x_{10}$ . Столбец $\begin{pmatrix}x_{10}&x_{20}\end{pmatrix}^T$ будет решением исходной системы (3.32). Первые два пункта алгоритма составляют прямой ход метода исключения, третий и четвертый – обратный ход. Замечания 3.7 1. При исключении неизвестной (прямой ход) получаем следствие исходной системы: $A\cdot x\geqslant b \quad \Rightarrow \quad A'\cdot x\geqslant b'.$ 2. Множество решений системы неравенств $A'\cdot x\geqslant b'$ после исключения неизвестной $x_1$ представляет собой проекцию на ось $Ox_2$ (вдоль оси $Ox_1$ ) множества $M$ решений исходной системы неравенств. Поскольку $M$ — выпуклое многоугольное множество, то его проекция на ось представляет собой либо пустое множество (см. пункт 2,"а"), либо ось $Ox_2$ (см. пункт 2,"б"), либо луч (см. пункт 2,"в","г"), либо отрезок (см. пункт 2,"д" при $\widetilde{b}\,'_1<-\widetilde{b}\,'_2$ ), либо точку (см. пункт 2,"д" при $\widetilde{b}\,'_1=-\widetilde{b}\,'_2$ ). 3. При исключении неизвестной из линейно зависимых неравенств получается неравенство вида $0\cdot x_1+0\cdot x_2\geqslant\beta$ , которое либо выполняется при всех значениях неизвестных (если $\beta\leqslant0$ ), либо не имеет решений (если $\beta\geqslant0$ ). В первом случае его можно удалить из системы, не изменив при этом множества ее решения. Во втором случае новая система, а также исходная система не имеют решений. Пример 3.18. Упростить системы неравенств: $\mathsf{1)}~\begin{cases}x_1+2x_2\geqslant3,\\2x_1+4x_2\geqslant6,\\2x_1+x_2\geqslant3;\end{cases} \mathsf{2)}~\begin{cases}-x_1+2x_2\geqslant-1,\\2x_1-4x_2\geqslant2,\\x_1+2x_2\geqslant1;\end{cases} \mathsf{3)}~\begin{cases}x_1+2x_2\geqslant3,\\x_1-4x_2\geqslant-3,\\-x_1+2x_2\geqslant1;\end{cases} \mathsf{4)}~\begin{cases}-x_1-x_2\geqslant-5,\\x_1-x_2\geqslant-1,\\2x_1+5x_2\geqslant-1\\-x_1+2x_2\geqslant-1.\end{cases}$ Найти какое-либо решение. Изобразить множество решений на координатной плоскости $Ox_1x_2$ . Решение. 1) Прямой ход. 1,2. Элементы каждого столбца матрицы $A=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\\2&1\end{pmatrix}$ системы неравенств имеют одинаковые знаки. Такую систему упростить нельзя. Прямой ход метода исключения завершается составлением неравенства $0\cdot x_2\geqslant0$ , которому удовлетворяют любые значения неизвестной $x_2$ . Обратный ход. 3. Выражаем неизвестную $x_1$ из каждого неравенства исходной системы: $\begin{cases}x_1+2x_2\geqslant3,\\2x_1+4x_2\geqslant6,\\2x_1+x_2\geqslant3;\end{cases} \Leftrightarrow \quad \begin{cases}x_1\geqslant3-2x_2,\\x_1\geqslant3-2x_2,\\x_1\geqslant3/2-x_2/2.\end{cases}$ Первые два неравенства совпадают, поэтому одно из них можно удалить. 4. Записываем "цепочку" систем, полученных в результате прямого и обратного хода: $\begin{cases}x_1\geqslant3-2x_2,\\[5pt]x_1\geqslant\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}\,x_2\end{cases}\Rightarrow \quad 0\cdot x_2\geqslant0.$ Эта "цепочка" систем дает полное описание множества $M$ решений исходной системы (см. рис.3.35,а). Проекция множества $M$ на ось $Ox_2$ (вдоль оси $Ox_1$ ) совпадает со всей осью $Ox_2$ (см. пункт 2 замечаний 3.7). Найдем какое-либо решение системы. Выбирая любое решение второй системы в "цепочке", например $x_2=3$ , подставляем это значение в первую систему "цепочки" и решаем ее: $\begin{cases}x_1\geqslant3-2\cdot3,\\[5pt]x_1\geqslant\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}\cdot3, \end{cases}\Leftrightarrow \quad \begin{cases}x_1\geqslant-3,\\[2pt]x_1\geqslant0,\end{cases}\Leftrightarrow \quad x_1\geqslant0.$ Следовательно, любое неотрицательное значение $x_1$ является решением исходной системы при $x_2=3$ , например, пара $(1, 3)$ — решение исходной системы. 2) Прямой ход. 1. Составляем расширенную матрицу системы $(A\mid b)=\begin{pmatrix}-1&2&\!\!\vline\!\!&-1\\2&-4&\!\!\vline\!\!&2\\1&2&\!\!\vline\!\!&1\end{pmatrix}$ и выбираем первый столбец матрицы $A$ в качестве ведущего (поскольку он содержит элементы противоположных знаков). Исключаем ведущую неизвестную $x_1$ . Прибавляем к третьей строке первую, а ко второй — первую, умноженную на 2. Полученные строки записываем в матрицу $(A'\mid b')$ (индексы комбинируемых строк указаны справа в скобках): $(A\mid b)=\begin{pmatrix} -1&2&\!\!\vline\!\!&-1\\ 2&-4&\!\!\vline\!\!&2\\ 1&2&\!\!\vline\!\!&1\end{pmatrix}~\to~\,(A'\mid b')=\begin{pmatrix}0&0&\!\!\vline\!\!&0\\0&4&\!\!\vline\!\!&0\end{pmatrix}\begin{gathered}(1;2)\\(1;3)\end{gathered}~\Leftrightarrow~\begin{pmatrix}0&0\\0&4\end{pmatrix}{\cdot}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}\geqslant\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}.$ 2. Первое неравенство справедливо при любых $x_1$ и $x_2$ (его можно удалить из системы $(A'\mid b')$ (см. пункт замечаний 3.7)). Второе неравенство $4x_2\geqslant0$ справедливо для неотрицательных значений $x_2$ . Следовательно, исходная система совместна. Обратный ход. 3. Выражаем неизвестную $x_1$ из каждого неравенства исходной системы: $\begin{cases}-x_1+2x_2\geqslant-1,\\2x_1-4x_2\geqslant2,\\x_1+2x_2\geqslant1;\end{cases} \Leftrightarrow \quad \begin{cases}x_1\leqslant1+2x_2,\\x_1\geqslant1+2x_2,\\x_1\geqslant1-2x_2.\end{cases}$ Первые два неравенства можно заменить уравнением $x_1=1+2x_2$ . 4. Записываем "цепочку" систем, полученных в результате прямого и обратного хода: $\begin{cases}x_1=1+2x_2,\\[2pt]x_1\geqslant1-2x_2,\end{cases}\Rightarrow \quad x_2\geqslant0.$ Эта "цепочка" систем дает полное описание множества $M$ решений исходной системы (см. рис.3.35,6). Проекция множества $M$ на ось $Ox_2$ (вдоль оси $Ox_1$ ) совпадает с неотрицательной частью оси $Ox_2$ (см. пункт 2 замечаний 3.7). Найдем какое-либо решение системы. Выбирая любое решение второй системы в "цепочке", например $x_2=3$ , подставляем это значение в первую систему "цепочки" и решаем ее: $\begin{cases}x_1=3+2\cdot3,\\[2pt]x_1\geqslant1-2\cdot3,\end{cases}\Leftrightarrow \quad \begin{cases}x_1=9,\\x_1\geqslant=-5,\end{cases}\Leftrightarrow \quad x_1=9.$ Получили решение (9,3) исходной системы. 3) Прямой ход. 1. Составляем расширенную матрицу системы $(A\mid b)=\begin{pmatrix}1&2&\!\!\vline\!\!&3\\1&-4&\!\!\vline\!\!&-3\\-1&2&\!\!\vline\!\!&1\end{pmatrix}$ и выбираем первый столбец матрицы $A$ в качестве ведущего (поскольку он содержит элементы противоположных знаков). Исключаем ведущую неизвестную $x_1$ . Прибавляем к первой и ко второй строкам третью. Полученные строки записываем в матрицу $(A'\mid b')$ (индексы комбинируемых строк указаны справа в скобках): $(A\mid b)=\begin{pmatrix} 1&2&\!\!\vline\!\!&3\\ 1&-4&\!\!\vline\!\!&-3\\ -1&2&\!\!\vline\!\!&1\end{pmatrix}~\to~ \,(A\mid b)=\begin{pmatrix}0&4&\!\!\vline\!\!&4\\0&-2&\!\!\vline\!\!&-2\end{pmatrix} \begin{gathered}(1;3)\\(2;3)\end{gathered}$ 2. Решаем полученную систему неравенств: $\begin{cases}\phantom{-}4\cdot x_2\geqslant4,\\[2pt] -2\cdot x_2\geqslant-2,\end{cases} \Leftrightarrow \quad \begin{cases}\phantom{-}x_2\geqslant1,\\[2pt] -x_2\geqslant-1,\end{cases} \Leftrightarrow \quad x_2=1.$ Получили единственное решение, следовательно, исходная система неравенств совместна. Обратный ход. 3. Выражаем неизвестную $x_1$ из каждого неравенства исходной системы: $\begin{cases}x_1+2x_2\geqslant3,\\x_1-4x_2\geqslant-3,\\-x_1+2x+2\geqslant1,\end{cases} \Leftrightarrow \quad \begin{cases}x_1\geqslant3-2x_2,\\ x_1\geqslant-3+4x_2,\\ -x_1\geqslant1-2x_2.\end{cases}$ 4. Записываем "цепочку" систем, полученных в результате прямого в обратного хода: $\begin{cases}x_1\geqslant3-2x_2,\\ x_1\geqslant-3+4x_2,\\ -x_1\geqslant1-2x_2.\end{cases} \Rightarrow \quad x_2=1.$ Эта "цепочка" систем дает полное описание множества $M$ решений исходной системы (см. рис.3.35,в). Подставим $x_2=1$ в первую систему "цепочки": $\begin{cases}x_1\geqslant3-2\cdot2,\\ x_1\geqslant-3+4\cdot2,\\ -x_1\geqslant1-2\cdot2,\end{cases} \Leftrightarrow \quad \begin{cases}\phantom{-}x_1\geqslant1,\\ \phantom{-}x_1\geqslant1,\\ -x_1\geqslant-1.\end{cases} \Leftrightarrow \quad x_1=1.$ Следовательно, исходная система имеет единственное решение (1,1), отмеченное на рис.3.35,в точкой $M$ . 4) Прямой ход. 1. Составляем расширенную матрицу системы $(A\mid b)=\begin{pmatrix}-1&-1&\!\!\vline\!\!&-5\\1&-1&\!\!\vline\!\!&-1\\ 2&5&\!\!\vline\!\!&11\\-1&2&\!\!\vline\!\!&-1\end{pmatrix}$ и выбираем первый столбец матрицы $A$ в качестве ведущего (поскольку он содержит элементы противоположных знаков). Исключаем ведущую неизвестную $x_1$ , комбинируя строки с ведущими элементами противоположных знаков. Прибавляем ко второй строке первую, а к третьей строке — первую, умноженную на 2; затем прибавляем ко второй строке четвертую, а к третьей строке — четвертую, умноженную на 2. Полученные строки записываем в матрицу $(A'\mid b')$ (индексы комбинируемых строк указаны справа в скобках): $(A\mid b)=\begin{pmatrix} -1&-1&\!\!\vline\!\!&-5\\ 1&-1&\!\!\vline\!\!&-1\\ 2&5&\!\!\vline\!\!&11\\ -1&2&\!\!\vline\!\!&-1 \end{pmatrix}~\to~\,(A'\mid b')= \begin{pmatrix} 0&-2&\!\!\vline\!\!&-6\\ 0&3&\!\!\vline\!\!&1\\ 0&1&\!\!\vline\!\!&-2\\ 0&9&\!\!\vline\!\!&9\end{pmatrix} \begin{gathered}(1;2)\\(1;3)\\(2;4)\\(3;4)\end{gathered}$ 2. Решаем полученную систему неравенств: $\begin{cases}-2\cdot x_2\geqslant-6,\\3\cdot x_2\geqslant1,\\x_2\geqslant-2,\\9\cdot x_2\geqslant9,\end{cases} \Leftrightarrow \quad \begin{cases}-x_2\geqslant-3,\\\phantom{-}x_2\geqslant1.\end{cases}$ Получили отрезок $1\leqslant x_2\leqslant3$ оси $Ox_1$ — проекцию множества $M$ решений исходной системы неравенств. Следовательно, исходная система неравенств совместна. Обратный ход. 3. Выражаем неизвестную $x_1$ из каждого неравенства исходной системы: $\begin{cases} -x_1-x_2\geqslant-5,\\ x_1-x_2\geqslant-1,\\ 2x_1+5x_2\geqslant11,\\ -x_1+2x_2\geqslant-1. \end{cases} \Leftrightarrow \quad \begin{cases} -x_1\geqslant-5+x_2,\\ x_1\geqslant-1+x_2,\\ x_1\geqslant11/2-5x_2/2,\\ -x_1\geqslant-1-2x_2,\end{cases}\Rightarrow \quad \begin{cases}-x_2\geqslant-3,\\\phantom{-}x_2\geqslant1.\end{cases}$ Эта "цепочка" систем дает полное описание множества $M$ решений исходной системы, которое представляет собой незаштрихованный четырехугольник $M$ на рис.3.35,2. Найдем какое-либо решение исходной системы. Подставим, например, решение $x_2=2$ второй системы "цепочки" в первую систему "цепочки": $\begin{cases}-x_1\geqslant-5+2,\\ \phantom{-}x_1\geqslant-1+2,\\ \phantom{-}x_1\geqslant11/2-5/2\cdot2,\\ -x_1\geqslant-1-2\cdot2, \end{cases} \Leftrightarrow \quad \begin{cases}-x_1\geqslant-3,\\ \phantom{-}x_1\geqslant1,\\ \phantom{-}x_1\geqslant1/2,\\ -x_1\geqslant-5, \end{cases} \Leftrightarrow \quad \begin{cases}-x_1\geqslant-3,\\\phantom{-}x_1\geqslant1.\end{cases}$ Следовательно, при $x_2=2$ любое число $x_1$ из промежутка $[1;3]$ удовлетворяет исходной системе. Например, пара $(2;2)$ является решением системы. Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике). Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Системы линейных неравенств с двумя неизвестными

Онлайн-сервисы

Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики Онлайн число, сумма и дата прописью

Алгоритмы JavaScript

Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки Уникальные элементы массива Объединение, пересечение и разность массивов НОД и НОК Операции над матрицами Дата прописью

Введение в анализ

Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика

Теория множеств

Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия

Математическая логика

Алгебра высказываний

Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции

Булевы функции

Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций

Теория формального

Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний

Логика предикатов

Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов

Неформальные и формаль-
ные аксиоматические теории

Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории

Теория алгоритмов

Интуитивное представление об алгоритмах Машины Тьюринга и тезис Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики

Математическая логика и компьютеры

Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект

Дискретная математика

Множества и отношения

Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций

Группы и кольца

Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов

Полукольца и булевы алгебры

Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки

Алгебраические системы

Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры

Теория графов

Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов

Булева алгебра и функции

Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов

Конечные автоматы и регулярные языки

Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга

Контекстно-свободные языки

Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов

Интегральное исчисление

Неопределённый и определённый

Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции

Приложения интегралов

Вычисление площадей плоских фигур Площади фигур в различных координатах Вычисление объемов тел с помощью интегралов Объём тела вращения Вычисление длин дуг кривых Формулы длины дуги регулярной кривой Кривизна плоской кривой Площадь поверхности вращения тела

Интегралы в физике

Статические моменты и координаты центра тяжести Теоремы Гульдина–Паппа Вычисление моментов инерции Другие приложения интегралов в физике

Основные интегралы

Интеграл Ньютона-Лейбница Интеграл Римана Интеграл Лебега

Вариационное исчисление

Примеры вариационных задач Дифференциальное уравнение Эйлера Функционалы, зависящие от нескольких функций Задача о минимуме кратного интеграла

Финансовый анализ

Анализ эффективности

Критерии и показатели эффективности предприятия Методы анализа эффективности деятельности Факторный анализ прибыли от операционной деятельности Анализ безубыточности предприятия Операционный рычаг и эффект финансового рычага Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала Анализ распределения прибыли предприятия Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности

Анализ устойчивости

Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность Характеристика типов финансовой устойчивости

Рыночная активность

Финансовый анализ рыночной активности Методика анализа рыночной активности Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию

Инвестиционная деятельность

Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование

Анализ инвестиций

Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия Задачи финансового анализа инвестиций предприятия Учет фактора времени в инвестиционной деятельности Аннуитет и финансовая рента в инвестициях Учет фактора инфляции при инвестировании Оценка фактора риска инвестиционного проекта Методы оценки эффективности инвестиций Показатели эффективности инвестиционного проекта

Стоимость компании

Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций

Форвардные контракты

Форвардный контракт и цена Форвардная цена акции на бирже Цена форвардного контракта инвестора Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда Форвардная цена валюты на рынке форекс Форвардный валютный курс и инфляция на рынке Форвардная цена товара и спотовый рынок Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам Синтетический форвардный контракт на акции и валюту

Теория вероятностей

Основные понятия теории вероятностей Зависимые и независимые случайные события Повторные независимые испытания Формула Бернулли Одномерные случайные величины Многомерные случайные величины Функции случайных величин Законы распределения целочисленных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и предельные теоремы Вероятностные закономерности

Математическая статистика

Элементы математической статистики Выборочный метод Оценки параметров генеральной совокупности Статистические гипотезы Критерии согласия Теоретические и эмпирические частоты

Теория очередей (СМО)

Определение системы массового обслуживания Уравнения Колмогорова Предельные вероятности состояний Определение СМО с отказами Определение СМО с ожиданием (очередью)

Аналитическая геометрия

Векторная алгебра

Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике

Системы координат

Прямоугольные координаты Преобразования прямоугольных координат Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферические координаты Аффинные координаты Аффинные преобразования координат Аффинные преобразования плоскости Примеры аффинных преобразований плоскости Аффинные преобразования пространства Многомерное координатное пространство Линейные и аффинные подпространства Скалярное произведение n-мерных векторов Преобразования систем координат

Геометрия на плоскости

Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными

Линии 2-го порядка

Канонические уравнения линий второго порядка Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду Эллипс Гипербола Парабола Квадратичные неравенства с двумя неизвестными Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций

Инварианты линий

Классификация линий 2-го порядка по инвариантам Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам

Геометрия в пространстве

Способы задания ГМТ в пространстве Алгебраические уравнения поверхностей Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам Уравнения плоскости, проходящей через три точки Взаимное расположение плоскостей Типовые задачи с плоскостями Уравнения прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Типовые задачи с прямыми в пространстве

Поверхности 2-го порядка

Канонические уравнения поверхностей Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду Поверхности второго порядка Эллипсоиды Гиперболоиды Конусы Параболоиды Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций

Инварианты поверхностей

Классификация поверхностей 2-го порядка по инвариантам Квадратичные неравенства с тремя неизвестными Приведение уравнения поверхности к канониче-скому виду по инвариантам

Линейная алгебра

Матрицы и операции

Линейные операции над матрицами Умножение матриц Возведение матриц в степень Многочлены от матриц Транспонирование и сопряжение матриц Блочные матрицы Произведение и сумма матриц Кронекера Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду Элементарные преобразования матриц

Определители

Определители матриц и их основные свойства Формула полного разложения определителя Формула Лапласа полного разложения определителя Определитель произведения матриц Методы вычисления определителей

Ранг матрицы

Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы Ранг матрицы и базисный минор матрицы Методы вычисления ранга матрицы Ранг системы столбцов (строк)

Обратная матрица

Обратные матрицы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы Способы нахождения обратной матрицы Матричные уравнения Односторонние обратные матрицы Скелетное разложение матрицы Полуобратная матрица Псевдообратная матрица

Системы уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Структура общего решения системы уравнений Решение систем с помощью полуобратных матриц Псевдорешения системы линейных уравнений

Функциональные матрицы

Функциональные матрицы скалярного аргумента Производные матриц по векторному аргументу Линейные и квадратичные формы и их преобразования Приведение форм к каноническому виду Закон инерции вещественных квадратичных форм Знакоопределенность форм вещественных квадратичных Формы и исследование функций на экстремум

Многочленные матрицы

Многочленные матрицы (лямбда-матрицы) Операции над лямбда-матрицами Простые преобразования многочленных матриц Инвариантные множители многочленной матрицы

Функции от матриц

Собственные векторы и значения матрицы Подобие числовых матриц Характеристический многочлен матрицы Минимальный многочлен матрицы Теорема Гамильтона-Кэли Жорданова форма матрицы Приведение матрицы к жордановой форме Многочлены от матриц Применение многочленов от матриц Функции от матриц

Линейные пространства

Линейные пространства: определение и примеры Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов Размерность и базис линейного пространства Преобразования координат в линейном пространстве Изоморфизм линейных пространств

Подпространства

Подпространства линейного пространства Пересечение и сумма подпространств Способы описания подпространств Нахождение дополнения и суммы подпространств Нахождение пересечения подпространств

Линейные отображения

Линейные многообразия Линейные отображения Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения

Линейные операторы

Линейные операторы (преобразования) Инвариантные подпространства Собственные векторы и значения оператора Свойства собственных векторов операторов Канонический вид линейного оператора Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду

Евклидовы пространства

Комплексный анализ

Комплексные числа

Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Множества на комплексной плоскости Последовательности и ряды комплексных чисел

Комплексные функции

Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная Элементарные функции комплексного переменного Дифференцирование функций комплексного переменного Аналитические функции и их свойства Конформные отображения
и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного

Функциональные ряды в комплексной области

Функциональные ряды и последовательности Степенные ряды и их свойства Разложение функций в степенные ряды Нули аналитических функций Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням

Особые точки, Вычеты

Изолированные особые точки функций и полюсы Вычеты и их применение Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычеты и расположение нулей многочлена

Операционное исчисление

Преобразование Лапласа и его свойства Решение ДУ операционным методом Анализ выходных процессов линейных стационарных систем Z-преобразование и его свойства

Дифференциальные уравнения

ДУ первого порядка

Основные понятия и определения ДУ Метод изоклин для ДУ 1-го порядка Метод последовательных приближений ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ 1-го порядка Дифференциальное уравнение Бернулли ДУ в полных дифференциалах Интегрирующий множитель ДУ, не разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение Риккати Составление ДУ семейств линий Задачи на траектории Особые решения ДУ

ДУ высших порядков

Понятия и определения ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка Линейная независимость функций Определители Вронского и Грама Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения Задача Коши и Уравнение Эйлера Линейные ДУ с переменными коэффициентами Метод Лагранжа решения ДУ Краевые задачи для ДУ высших порядков Разложение решения ДУ в степенной ряд Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд Нахождение периодических решений ДУ Асимптотическое интегрирование ДУ

Системы ДУ

Системы ДУ: понятия и определения Сведение системы ДУ к одному уравнению Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование однородных линейных систем ДУ Методы интегрирования неоднородных систем ДУ Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем

Теория устойчивости

Устойчивость решений ДУ по Ляпунову Простейшие типы точек покоя Метод функций Ляпунова Устойчивость решений ДУ по первому приближению Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова ДУ с малым параметром при производной

Численные методы

Методы алгебры

Численные методы линейной алгебры Численные методы решения СЛАУ Итерационный метод Шульца обратной матрицы Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы Методы решения нелинейных уравнений Методы решения систем нелинейных уравнений

Методы теории приближений

Методы приближения сеточных функций Методы функциональной интерполяции Методы интегрально-дифференциальной интерполяции Методы интегрального сглаживания Методы интерполяции и сглаживания сплайнами Методы численного дифференцирования и интегрирования Методы численного дифференцирования Методы численного интегрирования

Методы решения обыкновенных ДУ

Численные методы решения задачи Коши Разностные схемы для решения задачи Коши Составные схемы для решения задачи Коши Экстраполяционные методы решения задачи Коши Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши Численные методы решения краевых задач

Методы решения ДУ в частных производных

Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Численные методы решения уравнений в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными

Системы линейных неравенств с двумя неизвестными

Системой $m$ линейных алгебраических нестрогих неравенств с двумя неизвестными называется система неравенств вида

$\begin{cases} a_{11}\cdot x_1+a_{12}\cdot x_2\geqslant b_1,\\ a_{21}\cdot x_1+a_{22}\cdot x_2\geqslant b_2,\\ \ldots\ldots \ldots \ldots \ldots\ldots \ldots\\ a_{m1}\cdot x_1+a_{m2}\cdot x_2\geqslant b_m. \end{cases}$

(3.30)

Числа $a_{ij},~i=1,\ldots,m,~j=1,2$ называются коэффициентами системы; $b_1,b_2,\ldots,b_m$ – свободными членами; $x_1,x_2$ — неизвестными.

Решением системы неравенств называется упорядоченная пара чисел $(\alpha_1,\alpha_2)$ такая, что после замены неизвестных $x_1,x_2$ соответственно числами $\alpha_1, \alpha_2$ каждое неравенство системы превращается в верное числовое неравенство. Система неравенств называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Если система неравенств не имеет ни одного решения, то она называется несовместной.

Система неравенств (3.30) называется однородной, если все свободные члены равны нулю:

$\begin{cases} a_{11}\cdot x_1+a_{12}\cdot x_2 \geqslant0,\\ a_{21}\cdot x_1+a_{22}\cdot x_2\geqslant0,\\ \ldots \ldots \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\\ a_{m1}\cdot x_1+a_{m2}\cdot x_2\geqslant0. \end{cases}$

(3.31)

В отличие от однородной, систему неравенств общего вида (3.30) называют неоднородной.

Систему (3.30) принято записывать в матричной форме. Для этого из коэффициентов системы составляем матрицу системы неравенств

$A=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}\\ \vdots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}\end{pmatrix}.$

свободные члены записываем в столбец свободных членов $b=\begin{pmatrix}b_1\\\vdots\\b_m\end{pmatrix}$ , а неизвестные — в столбец неизвестных $x=\begin{pmatrix} x_1\\x_2\end{pmatrix}$ .

Матричная запись неоднородной системы неравенств (3.30) имеет

$Ax\geqslant b\,,$

(3.32)

а однородной:

$Ax\geqslant o\,,$

(3.33)

где символ $o$ в правой части обозначает нулевой столбец размеров $m\times1$ .

Сравнение левой и правой частей неравенств (3.32), (3.33) выполняется покомпонентно: два столбца $\alpha= \begin{pmatrix} \alpha_1&\cdots&\alpha_m\end{pmatrix}^T$ и $\beta= \begin{pmatrix} \beta_1&\cdots& \beta_m \end{pmatrix}^T$ одинаковых размеров удовлетворяют неравенству $\alpha\geqslant\beta$ тогда и только тогда, когда все неравенства $\alpha_1\geqslant\beta_1,\ldots,\alpha_m\geqslant\beta_m$ выполняются одновременно.

Блочная матрица $(A\mid b)=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\!\!\vline\!\!&b_1\\ \vdots&\vdots&\!\!\vline\!\!&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\!\!\vline\!\!&b_m\end{pmatrix}$ , называется расширенной матрицей системы неравенств (3.30).

Рассматривается случай, когда все неравенства системы первой степени, т.е. коэффициенты при неизвестных каждого неравенства не равны нулю одновременно. Поэтому матрица $A$ системы ненулевая, более того, все ее строки ненулевые.

В соответствии с матричной записью решением системы (3.32) называется столбец $x=\begin{pmatrix}\alpha_1\\\alpha_2\end{pmatrix}$ , при подстановке которого в (3.32) получаем верное неравенство для столбцов в левой и правой частях. В частности, нулевой столбец о является решением однородной системы (3.33), т.е. любая однородная система неравенств совместна.

Рангом системы неравенств (3.30) называется ранг матрицы $A$ системы: $r=\operatorname{rang}A$ , т.е. максимальное число линейно независимых строк матрицы $A$ (максимальное число линейно независимых неравенств системы). Поскольку матрица системы (3.30) ненулевая, то ее ранг может быть равен либо единице ( $r=1$ , если все строки матрицы $A$ пропорциональны), либо двум ( $r=2$ , если имеются хотя бы две непропорциональные строки).

Выясним геометрический смысл и свойства решений системы неравенств (3.30). Напомним, что множество точек (на плоскости или в пространстве) называется выпуклым, если вместе с любыми двумя своими точками оно содержит и весь отрезок, соединяющий эти точки (рис.3.32,а). Пустое множество и множество, состоящее из одной точки, по определению считаются выпуклыми. Отрезок, луч, прямая, треугольник (вместе с внутренними его точками), круг, плоскость, полуплоскость, треугольная пирамида, шар и т.п. являются выпуклыми множествами. Фигура, изображенная на рис.3.32,б, не является выпуклой, поскольку отрезок (штриховая линия), соединяющий две точки фигуры, не принадлежит целиком этой фигуре. Примерами невыпуклых множеств являются также ломаная, окружность, сфера и т.п.

Примеры выпуклых и невыпуклых множеств на плоскости

Отметим важное свойство выпуклых множеств: пересечение любого числа выпуклых множеств является выпуклым множеством.

Действительно, пусть две точки принадлежат пересечению $\Phi=\Phi_1\cap\Phi_2$ двух выпуклых множеств $\Phi_1$ и $\Phi$ (рис.3.32,в), т.е. обе точки принадлежат каждому из множеств $\Phi_1$ и $\Phi$ . Тогда весь отрезок, соединяющий выбранные точки, принадлежит каждому из множеств $\Phi_1$ и $\Phi$ , поскольку они выпуклые. Следовательно, весь отрезок принадлежит пересечению $\Phi=\Phi_1\cap\Phi_2$ . Это рассуждение распространяется на любое количество выпуклых множеств.

Пусть на плоскости задана аффинная система координат $Ox_1x_2$ . Как показано в разд.3.2.1, множество точек $X(x_1,x_2)$ , координаты которых удовлетворяют линейному неравенству с двумя неизвестными $a_{i1}x_1+a_{i2}x_2\geqslant b_i$ , представляет собой полуплоскость, ограниченную прямой $a_{i1}x_1+a_{i2}x_2=b_i$ . Поэтому множество $M$ решений системы неравенств является пересечением полуплоскостей $a_{i1}x_1+a_{i2}x_2\geqslant b_i$ , $i=1,\ldots,m$ . Поскольку полуплоскость является выпуклым множеством, пересечение конечного числа полуплоскостей также является выпуклым множеством, которое называется выпуклым многоугольным множеством. Таким образом, множество решений системы неравенств (3.30) — это выпуклое многоугольное множество.

Примеры пересечения полуплоскостей

Если ранг системы (3.30) равен 1, то коэффициенты при неизвестных всех неравенств пропорциональны. В этом случае все прямые, ограничивающие полуплоскости, параллельны. Пересечение $M$ таких полуплоскостей может быть либо пустым множеством (система неравенств несовместна), либо прямой (рис.3.33,а), либо полосой (рис.3.33,6), либо полупространством (рис.3.33,в). Здесь и далее на рисунках прямая, ограничивающая полуплоскость, изображается со стрелками, указывающими на выбранную полуплоскость, а также, как правило, штриховкой, которой отмечается другая полуплоскость, не удовлетворяющая неравенству. При пересечении полуплоскостей заштрихованное множество не удовлетворяет системе неравенств.

Если ранг равен 2, то не все прямые $a_{i1}x_1+a_{i2}x_2=b_i,~i=1,\ldots,m$ , параллельны. В этом случае пересечение полуплоскостей может быть либо пустым множеством, либо точкой (рис.3.34,а), либо полупрямой (рис.3.34,б), либо отрезком (рис.3.34,в), либо многоугольником (рис.3.34,г), либо выпуклым многоугольным множеством (рис.3.34,д).

Пересечения полуплоскостей и выпуклые многоугольные множества

Метод исключения неизвестных

Для решения системы (3.30) можно применить метод исключения неизвестных. При этом нужно учитывать, что в отличие от уравнений линейная комбинация неравенств является следствием системы неравенств только при положительных коэффициентах, т.е.

$\begin{cases}f_1(x)\geqslant0,\\f_m(x)\geqslant0\end{cases} \Rightarrow \quad \lambda_1\cdot f_1(x)+\cdots+\lambda_m\cdot f_m(x)\geqslant0$

при $\lambda_1\geqslant0,\ldots,\lambda_m\geqslant0$ , за исключением случая $\lambda_1=\ldots=\lambda_m=0$ . Такие линейные комбинации называются положительными. Поэтому метод Гаусса, где используются линейные комбинации с положительными и отрицательными коэффициентами, для систем неравенств неприменим.

Рассмотрим метод исключения неизвестных, применяемый для решения системы (3.30).

1. Выбираем в матрице $A$ системы неравенств (3.32) столбец, в котором имеются нулевые элементы или элементы противоположных знаков (такой столбец называется ведущим, его элементы – ведущими, а неизвестная, соответствующая ведущему столбцу, — ведущей). По ведущему столбцу формируется новая система неравенств $A'x\geqslant b'$ , в которой ведущая неизвестная отсутствует (исключается ведущая неизвестная).

Например, если первый столбец матрицы $A$ ведущий, то в новую систему $A'x\geqslant b'$ записываем:

– все неравенства исходной системы, в которых неизвестная $x_1$ входит с нулевым коэффициентом;

– положительную линейную комбинацию $i$ -го и $j$ -го неравенств, если $a_{i1}>0$ и $a_{j1}<0$ :

$a_{i1}\cdot(a_{j1}\cdot x+a_{j2}\cdot x_2)-a_{j1}\cdot(a_{i1}\cdot x+a_{i2}\cdot x_2)\geqslant a_{i1}\cdot b_j-a_{j1}\cdot b_i$

то есть к j-му неравенству $a_{j1}\cdot x+a_{j2}\cdot x_2\geqslant b_j$ , умноженному на $a_{i1}>0$ , прибавляем i-е неравенство $a_{i1}\cdot x+a_{i2}\cdot x_2\geqslant b_i$ , умноженное на $-a_{j1}>0$ . В этой комбинации неравенств коэффициент при неизвестной $x_1$ получается равным нулю. Другими словами (при исключении неизвестной $x_1$ ), расширенная матрица $(A'\mid b')$ новой системы составляется из строк расширенной матрицы $(A\mid b)$ системы (3.32) с нулевыми ведущими элементами, и положительных комбинаций строк матрицы $(A\mid b)$ с ведущими элементами противоположных знаков (коэффициенты положительной комбинации выбираются так, чтобы ведущие элементы взаимно уничтожались). После процедуры исключения неизвестной $x_1$ в матрице $A$ первый столбец оказывается нулевым.

Если в матрице $A$ нет ведущего столбца (элементы каждого столбца матрицы отличны от нуля и имеют одинаковые знаки), то исключить неизвестную в этой системе нельзя.

2. Если в системе исключена неизвестная $x_1$ , то решаем систему $A'x\geqslant b'$ с одной неизвестной $x_2$ , преобразуя ее к системе $\widetilde{A}\,'x \geqslant \widetilde{b}\,'$ .состоящей из одного или двух неравенств. В результате получаем один из пяти частных случаев:

$\begin{array}{*{20}{l}}\mathsf{1)}~0 \cdot x_2 \geqslant \widetilde{b}'_1 > 0; &\quad \mathsf{2)}~0 \cdot x_2 \geqslant \widetilde{b}'_1 \leqslant 0;\\[6pt] \mathsf{3)}~x_2 \geqslant \widetilde{b}'_1; &\quad \mathsf{4)}~- x_2 \geqslant \widetilde{b}'_1,\end{array}\qquad\mathsf{5)}~\begin{cases} x_2 \geqslant \widetilde{b}'_1,\\ -x_2 \geqslant \widetilde{b}'_2\\ \widetilde{b}'_1 \geqslant - \widetilde{b}'_2.\end{cases}$

В случае "а" неравенство не имеет решений, следовательно, исходная система неравенств $Ax\geqslant b$ несовместна (процесс решения заканчивается). В остальных случаях исходная система совместна.

Если в исходной системе нельзя исключить одну неизвестную, то полагаем формально $0\cdot x_2\geqslant0$ $(A'=0,~b'=0)$ . Этому неравенству удовлетворяют любые значения неизвестной $x_2$ , т.е. $x_2\in(-\infty,+\infty)$ .

3. Преобразуем исходную систему неравенств $Ax\geqslant b$ , выражая неизвестную $x_1$ через $x_2$ . Получим систему $\widetilde{A}x\geqslant \widetilde{b}$ , разрешенную относительно $x_1$ .

4. Записываем "цепочку" систем:

$\widetilde{A}\cdot x\geqslant \widetilde{b} \quad \Rightarrow \quad \widetilde{A}\,'\cdot x\geqslant \widetilde{b}\,',$

полученных в пунктах 2,3. Эти системы задают полное описание множества $M$ решений исходной системы (считаются ее полным решением). Чтобы получить какое-либо одно решение исходной системы, нужно взять фиксированное решение $x_2=x_{20}$ системы $\widetilde{A}\,'x\geqslant \widetilde{b}\,'$ , подставить его в систему $\widetilde{A}x\geqslant \widetilde{b}$ и найти какое-либо ее решение $x_1=x_{10}$ . Столбец $\begin{pmatrix}x_{10}&x_{20}\end{pmatrix}^T$ будет решением исходной системы (3.32).

Первые два пункта алгоритма составляют прямой ход метода исключения, третий и четвертый – обратный ход.

Замечания 3.7

1. При исключении неизвестной (прямой ход) получаем следствие исходной системы:

$A\cdot x\geqslant b \quad \Rightarrow \quad A'\cdot x\geqslant b'.$

2. Множество решений системы неравенств $A'\cdot x\geqslant b'$ после исключения неизвестной $x_1$ представляет собой проекцию на ось $Ox_2$ (вдоль оси $Ox_1$ ) множества $M$ решений исходной системы неравенств. Поскольку $M$ — выпуклое многоугольное множество, то его проекция на ось представляет собой либо пустое множество (см. пункт 2,"а"), либо ось $Ox_2$ (см. пункт 2,"б"), либо луч (см. пункт 2,"в","г"), либо отрезок (см. пункт 2,"д" при $\widetilde{b}\,'_1<-\widetilde{b}\,'_2$ ), либо точку (см. пункт 2,"д" при $\widetilde{b}\,'_1=-\widetilde{b}\,'_2$ ).

3. При исключении неизвестной из линейно зависимых неравенств получается неравенство вида $0\cdot x_1+0\cdot x_2\geqslant\beta$ , которое либо выполняется при всех значениях неизвестных (если $\beta\leqslant0$ ), либо не имеет решений (если $\beta\geqslant0$ ). В первом случае его можно удалить из системы, не изменив при этом множества ее решения. Во втором случае новая система, а также исходная система не имеют решений.

Пример 3.18. Упростить системы неравенств:

$\mathsf{1)}~\begin{cases}x_1+2x_2\geqslant3,\\2x_1+4x_2\geqslant6,\\2x_1+x_2\geqslant3;\end{cases} \mathsf{2)}~\begin{cases}-x_1+2x_2\geqslant-1,\\2x_1-4x_2\geqslant2,\\x_1+2x_2\geqslant1;\end{cases} \mathsf{3)}~\begin{cases}x_1+2x_2\geqslant3,\\x_1-4x_2\geqslant-3,\\-x_1+2x_2\geqslant1;\end{cases} \mathsf{4)}~\begin{cases}-x_1-x_2\geqslant-5,\\x_1-x_2\geqslant-1,\\2x_1+5x_2\geqslant-1\\-x_1+2x_2\geqslant-1.\end{cases}$

Найти какое-либо решение. Изобразить множество решений на координатной плоскости $Ox_1x_2$ .

Решение.

1) Прямой ход. 1,2. Элементы каждого столбца матрицы $A=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\\2&1\end{pmatrix}$ системы неравенств имеют одинаковые знаки. Такую систему упростить нельзя. Прямой ход метода исключения завершается составлением неравенства $0\cdot x_2\geqslant0$ , которому удовлетворяют любые значения неизвестной $x_2$ .

Обратный ход. 3. Выражаем неизвестную $x_1$ из каждого неравенства исходной системы:

$\begin{cases}x_1+2x_2\geqslant3,\\2x_1+4x_2\geqslant6,\\2x_1+x_2\geqslant3;\end{cases} \Leftrightarrow \quad \begin{cases}x_1\geqslant3-2x_2,\\x_1\geqslant3-2x_2,\\x_1\geqslant3/2-x_2/2.\end{cases}$

Первые два неравенства совпадают, поэтому одно из них можно удалить.

4. Записываем "цепочку" систем, полученных в результате прямого и обратного хода:

$\begin{cases}x_1\geqslant3-2x_2,\\[5pt]x_1\geqslant\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}\,x_2\end{cases}\Rightarrow \quad 0\cdot x_2\geqslant0.$

Эта "цепочка" систем дает полное описание множества $M$ решений исходной системы (см. рис.3.35,а). Проекция множества $M$ на ось $Ox_2$ (вдоль оси $Ox_1$ ) совпадает со всей осью $Ox_2$ (см. пункт 2 замечаний 3.7).

Найдем какое-либо решение системы. Выбирая любое решение второй системы в "цепочке", например $x_2=3$ , подставляем это значение в первую систему "цепочки" и решаем ее:

$\begin{cases}x_1\geqslant3-2\cdot3,\\[5pt]x_1\geqslant\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}\cdot3, \end{cases}\Leftrightarrow \quad \begin{cases}x_1\geqslant-3,\\[2pt]x_1\geqslant0,\end{cases}\Leftrightarrow \quad x_1\geqslant0.$

Следовательно, любое неотрицательное значение $x_1$ является решением исходной системы при $x_2=3$ , например, пара $(1, 3)$ — решение исходной системы.

Геометрическая интерпретация решения линейных систем неравенств с двумя переменными

2) Прямой ход. 1. Составляем расширенную матрицу системы

$(A\mid b)=\begin{pmatrix}-1&2&\!\!\vline\!\!&-1\\2&-4&\!\!\vline\!\!&2\\1&2&\!\!\vline\!\!&1\end{pmatrix}$

и выбираем первый столбец матрицы $A$ в качестве ведущего (поскольку он содержит элементы противоположных знаков). Исключаем ведущую неизвестную $x_1$ . Прибавляем к третьей строке первую, а ко второй — первую, умноженную на 2. Полученные строки записываем в матрицу $(A'\mid b')$ (индексы комбинируемых строк указаны справа в скобках):

$(A\mid b)=\begin{pmatrix} -1&2&\!\!\vline\!\!&-1\\ 2&-4&\!\!\vline\!\!&2\\ 1&2&\!\!\vline\!\!&1\end{pmatrix}~\to~\,(A'\mid b')=\begin{pmatrix}0&0&\!\!\vline\!\!&0\\0&4&\!\!\vline\!\!&0\end{pmatrix}\begin{gathered}(1;2)\\(1;3)\end{gathered}~\Leftrightarrow~\begin{pmatrix}0&0\\0&4\end{pmatrix}{\cdot}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}\geqslant\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}.$

2. Первое неравенство справедливо при любых $x_1$ и $x_2$ (его можно удалить из системы $(A'\mid b')$ (см. пункт замечаний 3.7)). Второе неравенство $4x_2\geqslant0$ справедливо для неотрицательных значений $x_2$ . Следовательно, исходная система совместна.

Обратный ход. 3. Выражаем неизвестную $x_1$ из каждого неравенства исходной системы:

$\begin{cases}-x_1+2x_2\geqslant-1,\\2x_1-4x_2\geqslant2,\\x_1+2x_2\geqslant1;\end{cases} \Leftrightarrow \quad \begin{cases}x_1\leqslant1+2x_2,\\x_1\geqslant1+2x_2,\\x_1\geqslant1-2x_2.\end{cases}$

Первые два неравенства можно заменить уравнением $x_1=1+2x_2$ .

4. Записываем "цепочку" систем, полученных в результате прямого и обратного хода:

$\begin{cases}x_1=1+2x_2,\\[2pt]x_1\geqslant1-2x_2,\end{cases}\Rightarrow \quad x_2\geqslant0.$

Эта "цепочка" систем дает полное описание множества $M$ решений исходной системы (см. рис.3.35,6). Проекция множества $M$ на ось $Ox_2$ (вдоль оси $Ox_1$ ) совпадает с неотрицательной частью оси $Ox_2$ (см. пункт 2 замечаний 3.7).

$\begin{cases}x_1=3+2\cdot3,\\[2pt]x_1\geqslant1-2\cdot3,\end{cases}\Leftrightarrow \quad \begin{cases}x_1=9,\\x_1\geqslant=-5,\end{cases}\Leftrightarrow \quad x_1=9.$

Получили решение (9,3) исходной системы.

3) Прямой ход. 1. Составляем расширенную матрицу системы

$(A\mid b)=\begin{pmatrix}1&2&\!\!\vline\!\!&3\\1&-4&\!\!\vline\!\!&-3\\-1&2&\!\!\vline\!\!&1\end{pmatrix}$

и выбираем первый столбец матрицы $A$ в качестве ведущего (поскольку он содержит элементы противоположных знаков). Исключаем ведущую неизвестную $x_1$ . Прибавляем к первой и ко второй строкам третью. Полученные строки записываем в матрицу $(A'\mid b')$ (индексы комбинируемых строк указаны справа в скобках):

$(A\mid b)=\begin{pmatrix} 1&2&\!\!\vline\!\!&3\\ 1&-4&\!\!\vline\!\!&-3\\ -1&2&\!\!\vline\!\!&1\end{pmatrix}~\to~ \,(A\mid b)=\begin{pmatrix}0&4&\!\!\vline\!\!&4\\0&-2&\!\!\vline\!\!&-2\end{pmatrix} \begin{gathered}(1;3)\\(2;3)\end{gathered}$

2. Решаем полученную систему неравенств:

$\begin{cases}\phantom{-}4\cdot x_2\geqslant4,\\[2pt] -2\cdot x_2\geqslant-2,\end{cases} \Leftrightarrow \quad \begin{cases}\phantom{-}x_2\geqslant1,\\[2pt] -x_2\geqslant-1,\end{cases} \Leftrightarrow \quad x_2=1.$

Получили единственное решение, следовательно, исходная система неравенств совместна.

Обратный ход. 3. Выражаем неизвестную $x_1$ из каждого неравенства исходной системы:

$\begin{cases}x_1+2x_2\geqslant3,\\x_1-4x_2\geqslant-3,\\-x_1+2x+2\geqslant1,\end{cases} \Leftrightarrow \quad \begin{cases}x_1\geqslant3-2x_2,\\ x_1\geqslant-3+4x_2,\\ -x_1\geqslant1-2x_2.\end{cases}$

4. Записываем "цепочку" систем, полученных в результате прямого в обратного хода:

$\begin{cases}x_1\geqslant3-2x_2,\\ x_1\geqslant-3+4x_2,\\ -x_1\geqslant1-2x_2.\end{cases} \Rightarrow \quad x_2=1.$

Эта "цепочка" систем дает полное описание множества $M$ решений исходной системы (см. рис.3.35,в). Подставим $x_2=1$ в первую систему "цепочки":

$\begin{cases}x_1\geqslant3-2\cdot2,\\ x_1\geqslant-3+4\cdot2,\\ -x_1\geqslant1-2\cdot2,\end{cases} \Leftrightarrow \quad \begin{cases}\phantom{-}x_1\geqslant1,\\ \phantom{-}x_1\geqslant1,\\ -x_1\geqslant-1.\end{cases} \Leftrightarrow \quad x_1=1.$

Следовательно, исходная система имеет единственное решение (1,1), отмеченное на рис.3.35,в точкой $M$ .

4) Прямой ход. 1. Составляем расширенную матрицу системы

$(A\mid b)=\begin{pmatrix}-1&-1&\!\!\vline\!\!&-5\\1&-1&\!\!\vline\!\!&-1\\ 2&5&\!\!\vline\!\!&11\\-1&2&\!\!\vline\!\!&-1\end{pmatrix}$

и выбираем первый столбец матрицы $A$ в качестве ведущего (поскольку он содержит элементы противоположных знаков). Исключаем ведущую неизвестную $x_1$ , комбинируя строки с ведущими элементами противоположных знаков. Прибавляем ко второй строке первую, а к третьей строке — первую, умноженную на 2; затем прибавляем ко второй строке четвертую, а к третьей строке — четвертую, умноженную на 2. Полученные строки записываем в матрицу $(A'\mid b')$ (индексы комбинируемых строк указаны справа в скобках):

$(A\mid b)=\begin{pmatrix} -1&-1&\!\!\vline\!\!&-5\\ 1&-1&\!\!\vline\!\!&-1\\ 2&5&\!\!\vline\!\!&11\\ -1&2&\!\!\vline\!\!&-1 \end{pmatrix}~\to~\,(A'\mid b')= \begin{pmatrix} 0&-2&\!\!\vline\!\!&-6\\ 0&3&\!\!\vline\!\!&1\\ 0&1&\!\!\vline\!\!&-2\\ 0&9&\!\!\vline\!\!&9\end{pmatrix} \begin{gathered}(1;2)\\(1;3)\\(2;4)\\(3;4)\end{gathered}$

2. Решаем полученную систему неравенств:

$\begin{cases}-2\cdot x_2\geqslant-6,\\3\cdot x_2\geqslant1,\\x_2\geqslant-2,\\9\cdot x_2\geqslant9,\end{cases} \Leftrightarrow \quad \begin{cases}-x_2\geqslant-3,\\\phantom{-}x_2\geqslant1.\end{cases}$

Получили отрезок $1\leqslant x_2\leqslant3$ оси $Ox_1$ — проекцию множества $M$ решений исходной системы неравенств. Следовательно, исходная система неравенств совместна.

Обратный ход. 3. Выражаем неизвестную $x_1$ из каждого неравенства исходной системы:

$\begin{cases} -x_1-x_2\geqslant-5,\\ x_1-x_2\geqslant-1,\\ 2x_1+5x_2\geqslant11,\\ -x_1+2x_2\geqslant-1. \end{cases} \Leftrightarrow \quad \begin{cases} -x_1\geqslant-5+x_2,\\ x_1\geqslant-1+x_2,\\ x_1\geqslant11/2-5x_2/2,\\ -x_1\geqslant-1-2x_2,\end{cases}\Rightarrow \quad \begin{cases}-x_2\geqslant-3,\\\phantom{-}x_2\geqslant1.\end{cases}$

Эта "цепочка" систем дает полное описание множества $M$ решений исходной системы, которое представляет собой незаштрихованный четырехугольник $M$ на рис.3.35,2.

Найдем какое-либо решение исходной системы. Подставим, например, решение $x_2=2$ второй системы "цепочки" в первую систему "цепочки":

$\begin{cases}-x_1\geqslant-5+2,\\ \phantom{-}x_1\geqslant-1+2,\\ \phantom{-}x_1\geqslant11/2-5/2\cdot2,\\ -x_1\geqslant-1-2\cdot2, \end{cases} \Leftrightarrow \quad \begin{cases}-x_1\geqslant-3,\\ \phantom{-}x_1\geqslant1,\\ \phantom{-}x_1\geqslant1/2,\\ -x_1\geqslant-5, \end{cases} \Leftrightarrow \quad \begin{cases}-x_1\geqslant-3,\\\phantom{-}x_1\geqslant1.\end{cases}$

Следовательно, при $x_2=2$ любое число $x_1$ из промежутка $[1;3]$ удовлетворяет исходной системе. Например, пара $(2;2)$ является решением системы.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Список статей » Список форумов

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]