Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Системы дифференциальных уравнений: понятия и определения

Системы дифференциальных уравнений: понятия и определения


Система обыкновенных дифференциальных уравнений


F_k(x,y_1,y'_1,\ldots,y_1^{(k_2)},y_2,y'_2,\ldots,y_2^{(k_2)},\ldots,y_n,y'_n,\ldots,y^{(k_n)})=0,~k=1,2,\ldots,n,
(1)

разрешенная относительно старших производных y_1^{(k_1)},y_2^{(k_2)},\ldots,y_n^{(k_n)}, называется канонической системой. Она имеет вид


\begin{cases} y_1^{(k_1)}= f_1\Bigl(x,y_1,y'_1,\ldots,y_1^{(k_1-1)},y_2,y'_2,\ldots,y_2^{(k_2-1)},\ldots,y_n,y'_n,\ldots,y_n^{(k_n-1)}\Bigr),\\[3pt] y_2^{(k_2)}= f_2\Bigl(x,y_1,y'_1,\ldots,y_1^{(k_1-1)},y_2,y'_2,\ldots,y_2^{(k_2-1)},\ldots,y_n,y'_n,\ldots,y_n^{(k_n-1)}\Bigr),\\[3pt] \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\ y_n^{(k_n)}=f_n\Bigl(x,y_1,y'_1,\ldots,y_1^{(k_1-1)},y_2,y'_2,\ldots,y_2^{(k_2-1)},\ldots,y_n,y'_n,\ldots,y_n^{(k_n-1)}\Bigr). \end{cases}
(2)

Порядком системы (1) называется число p, равное p=k_1+k_2+\ldots+k_n.




Пример 1. Привести к каноническому виду систему дифференциальных уравнений


\left\{\!\begin{aligned}y_2y'_1-\ln(y''_1-y_1)&=0,\\ e^{y'_2}-y_1-y_2&=0.\end{aligned}\right.

Решение. Данная система имеет третий порядок, так как k_1=2,~k_2=1 и, значит, p=3. Разрешая первое уравнение относительно y''_1, а второе относительно y'_2, получим каноническую систему


y''_1=y_1+e^{y_2y'_1}, \quad y'_2=\ln(y_1+y_2).

Система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка вида


\frac{dx_k}{dt}= f_k(t,x_1,x_2,\ldots,x_n), \quad k=1,2,\ldots,n,
(3)

где t — независимая переменная; x_1,x_2,\ldots,x_n — неизвестные функции от t, называется нормальной системой.


Число n называется порядком нормальной системы (3). Две системы дифференциальных уравнений называются эквивалентными, если они обладают одними и теми же решениями.


Любую каноническую систему (2) можно привести к эквивалентной ей нормальной системе (3), причем порядок этих систем будет одним и тем же.




Пример 2. Привести к нормальной системе следующую систему дифференциальных уравнений:


\left\{\!\begin{aligned}\frac{d^2x}{dt^2}-y&=0,\\ t^3\frac{dy}{dt}-2x&=0.\end{aligned}\right.

Решение. Положим x=x_1,~\frac{dx}{dt}=x_2,~y=x_3. Тогда будем иметь \frac{dx_1}{dt}=x_2,~\frac{dy}{dt}=\frac{dx_3}{dt}, и данная система приведется к следующей нормальной системе третьего порядка:


\frac{dx_1}{dt}=x_2, \quad \frac{dx_2}{dt}=x_3, \quad \frac{dx_3}{dt}=\frac{2x_1}{t^3}.



Пример 3. Привести дифференциальное уравнение \frac{d^2x}{dt^2}+p(t)\frac{dx}{dt}+q(x)x=0 к нормальной системе.


Решение. Положим x=x_1,~\frac{dx}{dt}=x_2, тогда \frac{dx_1}{dt}=x_2,~\frac{d^2x}{dt^2}=\frac{dx_2}{dt}\,. Подставляя эти выражения в данное уравнение, получим


\frac{dx_2}{dt}+p(t)x_2+q(x)x_1=0.

Нормальная система будет иметь вид


\frac{dx_1}{dt}=x_2,\quad \frac{dx_2}{dt}=-p(t)x_2-q(t)x_1\,.

Решением системы (3) в интервале (a,b) называется совокупность любых n функций


x_1=\varphi_1(t),\quad x_2=\varphi_2(t),\quad \ldots,\quad x_n=\varphi_n(t),

определенных и непрерывно дифференцируемых в интервале (a,b), если они обращают уравнения системы (3) в тождества, справедливые для всех значений t\in(a,b).




Пример 4. Показать, что система функций x_1=-\frac{1}{t^2},~x_2=-t\ln{t}, определенных в интервале 0<t<+\infty, является решением системы дифференциальных уравнений


\begin{cases}\dfrac{dx_1}{dt}=2tx_1^2,\\[9pt] \dfrac{dx_2}{dt}=\frac{x_2}{t}-1.\end{cases}

Решение. Имеем \frac{dx_1}{dt}=\frac{2}{t^3},~\frac{dx_2}{dt}=-1-\ln{t}. Подставляя в уравнение данной системы вместо x_1,\,x_2 \frac{dx_1}{dt} и \frac{dx_2}{dt} их выражения через t, получим тождества


\frac{2}{t^3}\equiv\frac{2t}{t^4}\equiv\frac{2}{t^3},\quad -\ln{t}-1\equiv-\ln{t}-1,\quad 0<t<+\infty.



Задачей Коши для системы (3) называется задача нахождения решения


x_1=x_1(t),\quad x_2=x_2(t),\quad \ldots,\quad x_n=x_n(t)

этой системы, удовлетворяющего начальным условиям


x_1(t_0)=x_1^0,\quad x_2(t_0)=x_2^0,\quad \ldots,\quad x_n(t_0)=x_n^0,
(4)

где t_0,\,x_1^0,\,x_2^0,\,\ldots,\,x_n^0 — заданные числа.


Теорема существования и единственности решения задачи Коши.


Пусть имеем нормальную систему дифференциальных уравнений (3) и пусть функции f_i(t,x_1,x_2,\ldots,x_n), i=1,2,\ldots,n, определены в некоторой n+1-мерной области D изменения переменных t,x_1,x_2,\ldots,x_n. Если существует окрестность \Omega точки M_0(t,x_1^0,x_2^0,\ldots,x_n^0), в которой функции f_i а) непрерывны, 6) имеют ограниченные частные производные по переменным x_1,x_2,\ldots,x_n, то найдется интервал t_0-h<t<t_0+h изменения t, в котором существует единственное решение нормальной системы (3), удовлетворяющее начальным условиям (4).


Система n дифференцируемых функций


x_i=x_i(t,C_1,C_2,\ldots,C_n),\quad i=1,2,\ldots,n,
(5)

независимой переменной t и n произвольных постоянных C_1,C_2,\ldots,C_n называется общим решением нормальной системы (3), если: 1) при любых допустимых значениях C_1,C_2,\ldots,C_n система функций (5) обращает уравнения (3) в тождества, 2) в области, где выполняются условия теоремы Коши, функции (5) решают любую задачу Коши.




Пример 5. Показать, что система функций

\begin{cases}x_1(t)=C_1e^{-t}+C_2e^{3t},\\[3pt] x_2(t)=2C_1e^{-t}-2C_2e^{3t}\end{cases}
(6)

является общим решением системы уравнений

\begin{cases}\dfrac{dx_1}{dt}=x_1-x_2,\\[9pt] \dfrac{dx_2}{dt}=x_2-4x_1.\end{cases}
(7)

Решение. В данном примере область D есть


-\infty<t<+\infty,\quad -\infty<x_1,x_2<+\infty.
(8)

Подставляя функции x_1(t) и x_2(t) из (6) в систему уравнений (7), получаем тождества по t, справедливые при любых значениях постоянных C_1,\,C_2. Таким образом, условие 1), определяющее общее решение, выполнено.


Проверим выполнение условия 2). Заметим, что для системы уравнений (7) условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши выполняются во всей области D, определяемой соотношениями (8). Поэтому в качестве начальных условий можно взять любую тройку чисел t_0,\,x_1^0,\,x_2^0. Тогда соотношения (6) дадут для определения C_1,\,C_2 систему


\begin{cases}x_1^0=C-e^{-t_0}+C_2e^{3t_0},\\[3pt] x_2^0=2Ce^{-t_0}-2C_2e^{3t_0}.\end{cases}

Определитель этой системы \Delta=-4e^{2t_0}\ne0; следовательно, она однозначно разрешима относительно C_1,\,C_2 при любых x_1^0,\,x_2^0 и t_0. Это равносильно тому, что разрешима любая задача Коши. Итак, система функций (6) является общим решением системы уравнений (7).




Решения, получающиеся из общего при конкретных значениях постоянных C_1,C_2,\ldots,C_n, называются частными решениями.


Пример 6. Имея общее решение (6) системы (7), найти частное решение этой системы, удовлетворяющее начальным условиям x_1(0)=0, x_2(0)=-4.


Решение. Задача сводится к нахождению таких значений постоянных C_1 и C_2, чтобы выполнялись соотношения


0=C_1+C_2,\quad -4=2C_1-2C_2.

Решая эту систему, находим C_1=-1,~C_2=1. Искомое частное решение


x_1(t)=-e^{-t}+e^{3t},\quad x_2(t)=-2e^{-t}-2e^{3t}.



Замечание 1. Не всякую систему дифференциальных уравнений можно свести к одному уравнению. Например, система


\begin{cases}\dfrac{dx_1}{dt}=-x_1,\\[10pt] \dfrac{dx_2}{dt}=x_2\end{cases}

распадается на два независимых уравнения. Общее решение в этом случае получается интегрированием каждого уравнения в отдельности:


x_1=C_1\,e^{-t},\quad x_2=C_2\,e^t.

Замечание 2. Если число уравнений в системе равно n, а число искомых функций N, причем N>n, то такая система является неопределенной. В этом случае можно выбирать произвольно N-n искомых функций (лишь бы они были нужное число раз дифференцируемыми) и в зависимости от них находить остальные n функций.


Замечание 3. Если система состоит из n уравнений, а число искомых функций N, причем N<n, то эта система может оказаться несовместной, т.е. не имеющий ни одного решения.




Пусть дана (для простоты) нормальная система двух дифференциальных уравнений


\begin{cases}\dfrac{dx_1}{dt}=f_1(t,x_1,x_2),,\\[10pt] \dfrac{dx_2}{dt}=f_2(t,x_1,x_2).\end{cases}
(9)

Будем рассматривать систему значений t,\,x_1,\,x_2 как прямоугольные декартовы координаты точки трехмерного пространства, отнесенного к системе координат Otx_1x_2. Решение x_1=x_1(t), x_2=x_2(t) принимающее при t=t_0 значение x_1^0,x_2^0, изображает в этом пространстве некоторую линию, проходящую через точку M_0(t_0,x_1^0,x_2^0). Эта линия называется интегральной кривой (линией) нормальной системы (9).


Решение дифференциального уравнения в фазовой плоскости

Задача Коши для системы (9) получает следующую геометрическую формулировку: в пространстве переменных (t,x_1,x_2) найти интегральную кривую, проходящую через данную точку (t_0,x_1^0,x_2^0). Теорема Коши устанавливает существование и единственность такой линии.


Нормальной системе (9) и ее решению можно дать еще такое истолкование. Будем независимую переменную t рассматривать как время, а систему значений функций x_1,x_2 как прямоугольные декартовы координаты точки плоскости x_1Ox_2. Эту плоскость переменных x_1Ox_2 называют фазовой плоскостью. В фазовой плоскости решение x_1=x_1(t), x_2=x_2(t) системы (9), принимающее при t=t_0 начальные значения x_1^0,x_2^0, изображается линией AB (рис.28), проходящей через точку M_0(x_1^0,x_2^0). Эту линию называют траекторией системы (фазовой траекторией). Очевидно, что траектория системы (9) есть проекция интегральной кривой на фазовую плоскость.


Система (9) определяет в каждый момент времени t в данной точке x_1,x_2 фазовой плоскости координаты скорости \{f_1,f_2\} движущейся точки.




Пример 7. Решить систему уравнений


\frac{dx}{dt}=y,\quad \frac{dy}{dt}=-x
(10)

при начальных условиях
x(0)=x_0,\quad y(0)=y_0.
(11)

Решение. Дифференцируя один раз по t первое уравнение системы (10) и подставляя в полученное уравнение \frac{dy}{dt}=-x, сведем систему (10) к одному уравнению второго порядка \frac{d^2x}{dt^2}+x=0, образующее решение которого


x=C_1\,\cos{t}+C_2\,\sin{t}\,.

Так как y=\frac{dx}{dt}, то y=-C_1\,\sin{t}+C_2\,\cos{t}; итак, общее решение системы (10):


\begin{cases}x=C_1\,\cos{t}+C_2\,\sin{t}\,,\\ y=-C_1\,\sin{t}+C_2\,\cos{t}\,.\end{cases}
(12)

Частным решением системы (10), удовлетворяющим начальным условиям (11), будет


\begin{cases}x=x_0\,\cos{t}+y_0\,\sin{t}\,,\\ y=-x_0\,\sin{t}+y_0\,\cos{t}\,.\end{cases}
(13)

Исключая t из уравнений (13) (путем возведения в квадрат и почленного сложения), получаем фазовую траекторию


x^2+y^2=R^2,
(14)

где R=\sqrt{x_0^2+y_0^2}. Это окружность, проходящая через точку M_0(x_0,y_0). Представив уравнения (13) в виде


x=R\sin(t+\alpha),\quad y=R\cos(t+\alpha),
(15)

где R=\sqrt{x_0^2+y_0^2},~ \sin\alpha=\frac{x_0}{\alpha},~ \cos\alpha=\frac{y_0}{R}, замечаем, что уравнения (15) выражают зависимость от времени текущих координат точки M(x(t),y(t)), или коротко M(t), которая начинает свое движение при t=0 от точки M_0(x_0,y_0) и движется по окружности (14) (рис.29,а).


Движение точки по кривой

Направление движения точки M(t) определим с помощью заданной системы (10). При x>0, согласно уравнению \frac{dy}{dt}=-x, величина y убывает (как, например, в точке M_1(t)), а при x<0 величина y возрастает (как, например, в точке M_2(t)). Таким образом, точка M(t) движется по кривой (14) по ходу часовой стрелки. Изменяя произвольно начальные условия (11) (оставаясь, однако, в физически допустимых пределах), т. е. изменяя как угодно положение начальной точки M_0(x_0,y_0), получаем всевозможные фазовые траектории (14).


Дадим теперь другое истолкование уравнений (15) (или, что то же, уравнений (13)). В трехмерном пространстве возьмем правую декартову систему координат Oxyz. Легко убедиться, что точка N(x(t),y(t),z(t)) (или коротко N(t)) с координатами (рис. 29,б)


x(t)=R\sin(t+\alpha),\quad y(t)=R\cos(t+\alpha),\quad z(t)=t
(16)

начинает свое движение при t=0 от начальной точки N_0(x_0,y_0,0) и с возрастанием t поднимается по винтовой линии (16), расположенной на цилиндре с окружностью (14) в основании и образующими, параллельными оси Oz.

Очевидно, что точка N_0 совпадает с точкой M_0 и что при любом t точка N(t) проектируется в точку M(t) на фазовой траектории. Так как точка M(t) движется по ходу часовой стрелки, то интегральная кривая, описываемая точкой N(t), есть левая винтовая линия на цилиндре с окружностью (14) в основании и образующими, параллельными оси Oz. При различных положениях точки N_0(x_0,y_0,0) интегральные кривые системы (10), соответствующие различным значением R=\sqrt{x_0^2+y_0^2}, проектируются на плоскость xOy в раз личные кривые (14), а интегральные кривые, соответствующие одному и тому же значению R, проектируются в одну и ту же кривую (14).




Интегралом нормальной системы (3) называется функция \psi(t,x_1,x_2,\ldots,x_n), определенная и непрерывная вместе со своими частными производными первого порядка \frac{\partial\psi}{\partial t},~\frac{\partial\psi}{\partial x_k}, k=1,2,\ldots,n, в области D, если при подстановке в нее произвольного решения x_1(t),x_2(t),\ldots,x_n(t) системы (3) она принимает постоянное значение, т.е. функция \psi(t,x_1,x_2,\ldots,x_n) зависит только от выбора решения x_1(t),x_2(t),\ldots,x_n(t), но не от переменной t.


Первым интегралом нормальной системы (3) называется равенство


\psi(t,x_1,x_2,\ldots,x_n)=C,

где \psi(t,x_1,x_2,\ldots,x_n) — интеграл системы (3), а C — произвольная постоянная. Иногда первым интегралом системы (3) называют интеграл этой системы.




Пример 8. Показать, что функция


\psi(t,x_1,x_2)=\frac{x_2}{t}-x_1,
(17)

определенная в области D\colon t\ne0,\,-\infty<x_1,x_2<+\infty, является интегралом системы уравнений


\begin{cases}\dfrac{dx_1}{dt}=\dfrac{x_1}{t}\,,\\[10pt] \dfrac{dx_2}{dt}=x_1+\dfrac{x_2}{t}\,,\end{cases}
(18)

если общее решение этой системы есть
x_1=C_1\,t,\quad x_2=C_1\,t^2+C_2\,t.
(19)

Решение. Подставляя (19) в (17), получаем


\psi(t,x_1,x_2)= \psi(t,C_1t,C_1t^2+C_2t)= \frac{C_1t^2+C_2t}{t}-C_1t=C_2

в области D. Следовательно, функция (17) является в области D интегралом системы уравнений (18), а значит первый интеграл этой системы будет \frac{x_2}{t}-x_1=C, где C — произвольная постоянная.




Теорема. Для того чтобы функция \psi(t,x_1,x_2,\ldots,x_n) была интегралом системы (3), необходимо и достаточно выполнения условия

\frac{\partial\psi}{\partial t}+ \sum_{k=1}^{n}f_k(t,x_1,x_2,\ldots,x_n)\frac{\partial\psi}{\partial x_k}=0
(20)

в области D.




Пример 9. Показать, что функция

\psi(t,x_1,x_2)=\operatorname{arctg}\frac{x_1}{x_2}-t
(21)

является интегралом системы уравнений

\frac{dx_1}{dt}=\frac{x_1^2}{x_2},\quad \frac{dx_2}{dt}=-\frac{x_2^2}{x_1}\,.
(22)

Решение. В данном случае


f_1(t,x_1,x_2)=\frac{x_1^2}{x_2}\,,\quad f_2(t,x_1,x_2)=-\frac{x_2^2}{x_1}\,.
(23)

Находим частные производные данной функции \psi(t,x_1,x_2). Имеем


\frac{\partial\psi}{\partial t}=-1,\quad \frac{\partial\psi}{\partial x_1}=\frac{x_2}{x_1^2+x_2^2},\quad \frac{\partial\psi}{\partial x_2}=\frac{x_1}{x_1^2+x_2^2}\,.
(24)

Подставляя (23) и (24) в левую часть (20), получаем


\frac{\partial\psi}{\partial t}+f_1(t,x_1,x_2)\frac{\partial\psi}{\partial x_1}+ f_2(t,x_1,x_2)\frac{\partial\psi}{\partial x_2}=-1+ \frac{x_1^2}{x_2}\frac{x_2}{x_1^2+x_2^2}+ \frac{x_2^2}{x_1}\frac{x_1}{x_1^2+x_2^2}=-1+1=0

в области D\colon\,-\infty<t<+\infty,~x_1\ne0,~x_2\ne0.


Итак, функция (21) есть интеграл системы уравнений (22) и, следовательно, первый интеграл системы (22) будет


\operatorname{arctg}\frac{x_1}{x_2}-t=C, где C — произвольная постоянная.



Нормальная система (3) имеет бесконечное множество систем первых интегралов.


Интегралы \psi_1,\psi_2,\ldots,\psi_n системы (3) называются независимыми относительно искомых функций x_1,x_2,\ldots,x_n, если между функциями \psi_1,\psi_2,\ldots,\psi_n не существует соотношения вида F(\psi_1,\psi_2,\ldots,\psi_n)=0 ни при каком выборе функции F, не зависящей явно от x_1,x_2,\ldots,x_n.


Теорема. Для того чтобы функции \psi_1,\psi_2,\ldots,\psi_n, имеющие частные производные \frac{\partial\psi_i}{\partial x_k} (i,k=1,2,\ldots,n), были независимыми относительно x_1,x_2,\ldots,x_n в некоторой области D, необходимо и достаточно, чтобы якобиан этих функций был отличен от нуля в области D,


\frac{D(\psi_1,\psi_2,\ldots,\psi_n)}{D(x_1,x_2,\ldots,x_n)}= \begin{vmatrix}\dfrac{\partial\psi_1}{\partial x_1}& \dfrac{\partial\psi_1}{\partial x_2} &\cdots& \dfrac{\partial\psi_1}{\partial x_n}\\[10pt] \dfrac{\partial\psi_2}{\partial x_1}& \dfrac{\partial\psi_2}{\partial x_2} &\cdots& \dfrac{\partial\psi_2}{\partial x_n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\[2pt] \dfrac{\partial\psi_n}{\partial x_1}& \dfrac{\partial\psi_n}{\partial x_2} &\cdots& \dfrac{\partial\psi_n}{\partial x_n}\end{vmatrix}\ne0.

Общим интегралом нормальной системы (3) называется совокупность n независимых первых интегралов этой системы.


Если известны k, где k<n, независимых первых интегралов системы (3), то ее порядок можно понизить на k единиц.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved