Системы дифференциальных уравнений: понятия и определения
Система обыкновенных дифференциальных уравнений
(1)
разрешенная относительно старших производных , называется канонической системой. Она имеет вид
(2)
Порядком системы (1) называется число , равное .
Пример 1. Привести к каноническому виду систему дифференциальных уравнений
Решение. Данная система имеет третий порядок, так как и, значит, . Разрешая первое уравнение относительно , а второе относительно , получим каноническую систему
Система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка вида
(3)
где — независимая переменная; — неизвестные функции от , называется нормальной системой.
Число называется порядком нормальной системы (3). Две системы дифференциальных уравнений называются эквивалентными, если они обладают одними и теми же решениями.
Любую каноническую систему (2) можно привести к эквивалентной ей нормальной системе (3), причем порядок этих систем будет одним и тем же.
Пример 2. Привести к нормальной системе следующую систему дифференциальных уравнений:
Решение. Положим . Тогда будем иметь , и данная система приведется к следующей нормальной системе третьего порядка:
Пример 3. Привести дифференциальное уравнение к нормальной системе.
Решение. Положим , тогда Подставляя эти выражения в данное уравнение, получим
Нормальная система будет иметь вид
Решением системы (3) в интервале называется совокупность любых функций
определенных и непрерывно дифференцируемых в интервале , если они обращают уравнения системы (3) в тождества, справедливые для всех значений .
Пример 4. Показать, что система функций , определенных в интервале , является решением системы дифференциальных уравнений
Решение. Имеем . Подставляя в уравнение данной системы вместо и их выражения через , получим тождества
Задачей Коши для системы (3) называется задача нахождения решения
этой системы, удовлетворяющего начальным условиям
(4)
где — заданные числа.
Теорема существования и единственности решения задачи Коши.
Пусть имеем нормальную систему дифференциальных уравнений (3) и пусть функции , определены в некоторой n+1-мерной области изменения переменных . Если существует окрестность точки , в которой функции а) непрерывны, 6) имеют ограниченные частные производные по переменным , то найдется интервал изменения , в котором существует единственное решение нормальной системы (3), удовлетворяющее начальным условиям (4).
Система дифференцируемых функций
(5)
независимой переменной и произвольных постоянных называется общим решением нормальной системы (3), если: 1) при любых допустимых значениях система функций (5) обращает уравнения (3) в тождества, 2) в области, где выполняются условия теоремы Коши, функции (5) решают любую задачу Коши.
Пример 5. Показать, что система функций (6) является общим решением системы уравнений (7)
Решение. В данном примере область есть
(8)
Подставляя функции и из (6) в систему уравнений (7), получаем тождества по , справедливые при любых значениях постоянных . Таким образом, условие 1), определяющее общее решение, выполнено.
Проверим выполнение условия 2). Заметим, что для системы уравнений (7) условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши выполняются во всей области , определяемой соотношениями (8). Поэтому в качестве начальных условий можно взять любую тройку чисел . Тогда соотношения (6) дадут для определения систему
Определитель этой системы ; следовательно, она однозначно разрешима относительно при любых и . Это равносильно тому, что разрешима любая задача Коши. Итак, система функций (6) является общим решением системы уравнений (7).
Решения, получающиеся из общего при конкретных значениях постоянных , называются частными решениями.
Пример 6. Имея общее решение (6) системы (7), найти частное решение этой системы, удовлетворяющее начальным условиям .
Решение. Задача сводится к нахождению таких значений постоянных и , чтобы выполнялись соотношения
Решая эту систему, находим . Искомое частное решение
Замечание 1. Не всякую систему дифференциальных уравнений можно свести к одному уравнению. Например, система
распадается на два независимых уравнения. Общее решение в этом случае получается интегрированием каждого уравнения в отдельности:
Замечание 2. Если число уравнений в системе равно , а число искомых функций , причем , то такая система является неопределенной. В этом случае можно выбирать произвольно искомых функций (лишь бы они были нужное число раз дифференцируемыми) и в зависимости от них находить остальные функций.
Замечание 3. Если система состоит из уравнений, а число искомых функций , причем , то эта система может оказаться несовместной, т.е. не имеющий ни одного решения.
Пусть дана (для простоты) нормальная система двух дифференциальных уравнений
(9)
Будем рассматривать систему значений как прямоугольные декартовы координаты точки трехмерного пространства, отнесенного к системе координат . Решение принимающее при значение , изображает в этом пространстве некоторую линию, проходящую через точку . Эта линия называется интегральной кривой (линией) нормальной системы (9).
Задача Коши для системы (9) получает следующую геометрическую формулировку: в пространстве переменных найти интегральную кривую, проходящую через данную точку . Теорема Коши устанавливает существование и единственность такой линии.
Нормальной системе (9) и ее решению можно дать еще такое истолкование. Будем независимую переменную рассматривать как время, а систему значений функций как прямоугольные декартовы координаты точки плоскости . Эту плоскость переменных называют фазовой плоскостью. В фазовой плоскости решение системы (9), принимающее при начальные значения , изображается линией (рис.28), проходящей через точку . Эту линию называют траекторией системы (фазовой траекторией). Очевидно, что траектория системы (9) есть проекция интегральной кривой на фазовую плоскость.
Система (9) определяет в каждый момент времени в данной точке фазовой плоскости координаты скорости движущейся точки.
Пример 7. Решить систему уравнений
(10) при начальных условиях
(11)
Решение. Дифференцируя один раз по первое уравнение системы (10) и подставляя в полученное уравнение , сведем систему (10) к одному уравнению второго порядка , образующее решение которого
Так как , то ; итак, общее решение системы (10):
(12)
Частным решением системы (10), удовлетворяющим начальным условиям (11), будет
(13)
Исключая из уравнений (13) (путем возведения в квадрат и почленного сложения), получаем фазовую траекторию
(14)
где . Это окружность, проходящая через точку . Представив уравнения (13) в виде
(15)
где , замечаем, что уравнения (15) выражают зависимость от времени текущих координат точки , или коротко , которая начинает свое движение при от точки и движется по окружности (14) (рис.29,а).
Направление движения точки определим с помощью заданной системы (10). При , согласно уравнению , величина убывает (как, например, в точке ), а при величина возрастает (как, например, в точке ). Таким образом, точка движется по кривой (14) по ходу часовой стрелки. Изменяя произвольно начальные условия (11) (оставаясь, однако, в физически допустимых пределах), т. е. изменяя как угодно положение начальной точки , получаем всевозможные фазовые траектории (14).
Дадим теперь другое истолкование уравнений (15) (или, что то же, уравнений (13)). В трехмерном пространстве возьмем правую декартову систему координат . Легко убедиться, что точка (или коротко ) с координатами (рис. 29,б)
(16) начинает свое движение при от начальной точки и с возрастанием поднимается по винтовой линии (16), расположенной на цилиндре с окружностью (14) в основании и образующими, параллельными оси .
Очевидно, что точка совпадает с точкой и что при любом точка проектируется в точку на фазовой траектории. Так как точка движется по ходу часовой стрелки, то интегральная кривая, описываемая точкой , есть левая винтовая линия на цилиндре с окружностью (14) в основании и образующими, параллельными оси . При различных положениях точки интегральные кривые системы (10), соответствующие различным значением , проектируются на плоскость в раз личные кривые (14), а интегральные кривые, соответствующие одному и тому же значению , проектируются в одну и ту же кривую (14).
Интегралом нормальной системы (3) называется функция , определенная и непрерывная вместе со своими частными производными первого порядка , в области , если при подстановке в нее произвольного решения системы (3) она принимает постоянное значение, т.е. функция зависит только от выбора решения , но не от переменной .
Первым интегралом нормальной системы (3) называется равенство
где — интеграл системы (3), а — произвольная постоянная. Иногда первым интегралом системы (3) называют интеграл этой системы.
Пример 8. Показать, что функция
(17)
определенная в области , является интегралом системы уравнений
(18) если общее решение этой системы есть
(19)
Решение. Подставляя (19) в (17), получаем
в области . Следовательно, функция (17) является в области интегралом системы уравнений (18), а значит первый интеграл этой системы будет , где — произвольная постоянная.
Теорема. Для того чтобы функция была интегралом системы (3), необходимо и достаточно выполнения условия (20) в области .
Пример 9. Показать, что функция (21) является интегралом системы уравнений (22)
Решение. В данном случае
(23)
Находим частные производные данной функции . Имеем
(24)
Подставляя (23) и (24) в левую часть (20), получаем
в области .
Итак, функция (21) есть интеграл системы уравнений (22) и, следовательно, первый интеграл системы (22) будет
где — произвольная постоянная.
Нормальная система (3) имеет бесконечное множество систем первых интегралов.
Интегралы системы (3) называются независимыми относительно искомых функций , если между функциями не существует соотношения вида ни при каком выборе функции , не зависящей явно от .
Теорема. Для того чтобы функции , имеющие частные производные , были независимыми относительно в некоторой области , необходимо и достаточно, чтобы якобиан этих функций был отличен от нуля в области ,
Общим интегралом нормальной системы (3) называется совокупность независимых первых интегралов этой системы.
Если известны , где , независимых первых интегралов системы (3), то ее порядок можно понизить на единиц.
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
|