Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Системы дифференциальных уравнений: понятия и определения

Системы дифференциальных уравнений: понятия и определения


Система обыкновенных дифференциальных уравнений


[math]F_k(x,y_1,y'_1,\ldots,y_1^{(k_2)},y_2,y'_2,\ldots,y_2^{(k_2)},\ldots,y_n,y'_n,\ldots,y^{(k_n)})=0,~k=1,2,\ldots,n,[/math]
(1)

разрешенная относительно старших производных [math]y_1^{(k_1)},y_2^{(k_2)},\ldots,y_n^{(k_n)}[/math], называется канонической системой. Она имеет вид


[math]\begin{cases} y_1^{(k_1)}= f_1\Bigl(x,y_1,y'_1,\ldots,y_1^{(k_1-1)},y_2,y'_2,\ldots,y_2^{(k_2-1)},\ldots,y_n,y'_n,\ldots,y_n^{(k_n-1)}\Bigr),\\[3pt] y_2^{(k_2)}= f_2\Bigl(x,y_1,y'_1,\ldots,y_1^{(k_1-1)},y_2,y'_2,\ldots,y_2^{(k_2-1)},\ldots,y_n,y'_n,\ldots,y_n^{(k_n-1)}\Bigr),\\[3pt] \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\ y_n^{(k_n)}=f_n\Bigl(x,y_1,y'_1,\ldots,y_1^{(k_1-1)},y_2,y'_2,\ldots,y_2^{(k_2-1)},\ldots,y_n,y'_n,\ldots,y_n^{(k_n-1)}\Bigr). \end{cases}[/math]
(2)

Порядком системы (1) называется число [math]p[/math], равное [math]p=k_1+k_2+\ldots+k_n[/math].




Пример 1. Привести к каноническому виду систему дифференциальных уравнений


[math]\left\{\!\begin{aligned}y_2y'_1-\ln(y''_1-y_1)&=0,\\ e^{y'_2}-y_1-y_2&=0.\end{aligned}\right.[/math]

Решение. Данная система имеет третий порядок, так как [math]k_1=2,~k_2=1[/math] и, значит, [math]p=3[/math]. Разрешая первое уравнение относительно [math]y''_1[/math], а второе относительно [math]y'_2[/math], получим каноническую систему


[math]y''_1=y_1+e^{y_2y'_1}, \quad y'_2=\ln(y_1+y_2).[/math]

Система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка вида


[math]\frac{dx_k}{dt}= f_k(t,x_1,x_2,\ldots,x_n), \quad k=1,2,\ldots,n,[/math]
(3)

где [math]t[/math] — независимая переменная; [math]x_1,x_2,\ldots,x_n[/math] — неизвестные функции от [math]t[/math], называется нормальной системой.


Число [math]n[/math] называется порядком нормальной системы (3). Две системы дифференциальных уравнений называются эквивалентными, если они обладают одними и теми же решениями.


Любую каноническую систему (2) можно привести к эквивалентной ей нормальной системе (3), причем порядок этих систем будет одним и тем же.




Пример 2. Привести к нормальной системе следующую систему дифференциальных уравнений:


[math]\left\{\!\begin{aligned}\frac{d^2x}{dt^2}-y&=0,\\ t^3\frac{dy}{dt}-2x&=0.\end{aligned}[/math]

Решение. Положим [math]x=x_1,~\frac{dx}{dt}=x_2,~y=x_3[/math]. Тогда будем иметь [math]\frac{dx_1}{dt}=x_2,~\frac{dy}{dt}=\frac{dx_3}{dt}[/math], и данная система приведется к следующей нормальной системе третьего порядка:


[math]\frac{dx_1}{dt}=x_2, \quad \frac{dx_2}{dt}=x_3, \quad \frac{dx_3}{dt}=\frac{2x_1}{t^3}.[/math]



Пример 3. Привести дифференциальное уравнение [math]\frac{d^2x}{dt^2}+p(t)\frac{dx}{dt}+q(x)x=0[/math] к нормальной системе.


Решение. Положим [math]x=x_1,~\frac{dx}{dt}=x_2[/math], тогда [math]\frac{dx_1}{dt}=x_2,~\frac{d^2x}{dt^2}=\frac{dx_2}{dt}\,.[/math] Подставляя эти выражения в данное уравнение, получим


[math]\frac{dx_2}{dt}+p(t)x_2+q(x)x_1=0.[/math]

Нормальная система будет иметь вид


[math]\frac{dx_1}{dt}=x_2,\quad \frac{dx_2}{dt}=-p(t)x_2-q(t)x_1\,.[/math]

Решением системы (3) в интервале [math](a,b)[/math] называется совокупность любых [math]n[/math] функций


[math]x_1=\varphi_1(t),\quad x_2=\varphi_2(t),\quad \ldots,\quad x_n=\varphi_n(t),[/math]

определенных и непрерывно дифференцируемых в интервале [math](a,b)[/math], если они обращают уравнения системы (3) в тождества, справедливые для всех значений [math]t\in(a,b)[/math].




Пример 4. Показать, что система функций [math]x_1=-\frac{1}{t^2},~x_2=-t\ln{t}[/math], определенных в интервале [math]0<t<+\infty[/math], является решением системы дифференциальных уравнений


[math]\begin{cases}\dfrac{dx_1}{dt}=2tx_1^2,\\[9pt] \dfrac{dx_2}{dt}=\frac{x_2}{t}-1.\end{cases}[/math]

Решение. Имеем [math]\frac{dx_1}{dt}=\frac{2}{t^3},~\frac{dx_2}{dt}=-1-\ln{t}[/math]. Подставляя в уравнение данной системы вместо [math]x_1,\,x_2[/math] [math]\frac{dx_1}{dt}[/math] и [math]\frac{dx_2}{dt}[/math] их выражения через [math]t[/math], получим тождества


[math]\frac{2}{t^3}\equiv\frac{2t}{t^4}\equiv\frac{2}{t^3},\quad -\ln{t}-1\equiv-\ln{t}-1,\quad 0<t<+\infty.[/math]



Задачей Коши для системы (3) называется задача нахождения решения


[math]x_1=x_1(t),\quad x_2=x_2(t),\quad \ldots,\quad x_n=x_n(t)[/math]

этой системы, удовлетворяющего начальным условиям


[math]x_1(t_0)=x_1^0,\quad x_2(t_0)=x_2^0,\quad \ldots,\quad x_n(t_0)=x_n^0,[/math]
(4)

где [math]t_0,\,x_1^0,\,x_2^0,\,\ldots,\,x_n^0[/math] — заданные числа.


Теорема существования и единственности решения задачи Коши.


Пусть имеем нормальную систему дифференциальных уравнений (3) и пусть функции [math]f_i(t,x_1,x_2,\ldots,x_n),[/math] [math]i=1,2,\ldots,n[/math], определены в некоторой n+1-мерной области [math]D[/math] изменения переменных [math]t,x_1,x_2,\ldots,x_n[/math]. Если существует окрестность [math]\Omega[/math] точки [math]M_0(t,x_1^0,x_2^0,\ldots,x_n^0)[/math], в которой функции [math]f_i[/math] а) непрерывны, 6) имеют ограниченные частные производные по переменным [math]x_1,x_2,\ldots,x_n[/math], то найдется интервал [math]t_0-h<t<t_0+h[/math] изменения [math]t[/math], в котором существует единственное решение нормальной системы (3), удовлетворяющее начальным условиям (4).


Система [math]n[/math] дифференцируемых функций


[math]x_i=x_i(t,C_1,C_2,\ldots,C_n),\quad i=1,2,\ldots,n,[/math]
(5)

независимой переменной [math]t[/math] и [math]n[/math] произвольных постоянных [math]C_1,C_2,\ldots,C_n[/math] называется общим решением нормальной системы (3), если: 1) при любых допустимых значениях [math]C_1,C_2,\ldots,C_n[/math] система функций (5) обращает уравнения (3) в тождества, 2) в области, где выполняются условия теоремы Коши, функции (5) решают любую задачу Коши.




Пример 5. Показать, что система функций

[math]\begin{cases}x_1(t)=C_1e^{-t}+C_2e^{3t},\\[3pt] x_2(t)=2C_1e^{-t}-2C_2e^{3t}\end{cases}[/math]
(6)

является общим решением системы уравнений

[math]\begin{cases}\dfrac{dx_1}{dt}=x_1-x_2,\\[9pt] \dfrac{dx_2}{dt}=x_2-4x_1.\end{cases}[/math]
(7)

Решение. В данном примере область [math]D[/math] есть


[math]-\infty<t<+\infty,\quad -\infty<x_1,x_2<+\infty.[/math]
(8)

Подставляя функции [math]x_1(t)[/math] и [math]x_2(t)[/math] из (6) в систему уравнений (7), получаем тождества по [math]t[/math], справедливые при любых значениях постоянных [math]C_1,\,C_2[/math]. Таким образом, условие 1), определяющее общее решение, выполнено.


Проверим выполнение условия 2). Заметим, что для системы уравнений (7) условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши выполняются во всей области [math]D[/math], определяемой соотношениями (8). Поэтому в качестве начальных условий можно взять любую тройку чисел [math]t_0,\,x_1^0,\,x_2^0[/math]. Тогда соотношения (6) дадут для определения [math]C_1,\,C_2[/math] систему


[math]\begin{cases}x_1^0=C-e^{-t_0}+C_2e^{3t_0},\\[3pt] x_2^0=2Ce^{-t_0}-2C_2e^{3t_0}.\end{cases}[/math]

Определитель этой системы [math]\Delta=-4e^{2t_0}\ne0[/math]; следовательно, она однозначно разрешима относительно [math]C_1,\,C_2[/math] при любых [math]x_1^0,\,x_2^0[/math] и [math]t_0[/math]. Это равносильно тому, что разрешима любая задача Коши. Итак, система функций (6) является общим решением системы уравнений (7).




Решения, получающиеся из общего при конкретных значениях постоянных [math]C_1,C_2,\ldots,C_n[/math], называются частными решениями.


Пример 6. Имея общее решение (6) системы (7), найти частное решение этой системы, удовлетворяющее начальным условиям [math]x_1(0)=0,[/math] [math]x_2(0)=-4[/math].


Решение. Задача сводится к нахождению таких значений постоянных [math]C_1[/math] и [math]C_2[/math], чтобы выполнялись соотношения


[math]0=C_1+C_2,\quad -4=2C_1-2C_2.[/math]

Решая эту систему, находим [math]C_1=-1,~C_2=1[/math]. Искомое частное решение


[math]x_1(t)=-e^{-t}+e^{3t},\quad x_2(t)=-2e^{-t}-2e^{3t}.[/math]



Замечание 1. Не всякую систему дифференциальных уравнений можно свести к одному уравнению. Например, система


[math]\begin{cases}\dfrac{dx_1}{dt}=-x_1,\\[10pt] \dfrac{dx_2}{dt}=x_2\end{cases}[/math]

распадается на два независимых уравнения. Общее решение в этом случае получается интегрированием каждого уравнения в отдельности:


[math]x_1=C_1\,e^{-t},\quad x_2=C_2\,e^t.[/math]

Замечание 2. Если число уравнений в системе равно [math]n[/math], а число искомых функций [math]N[/math], причем [math]N>n[/math], то такая система является неопределенной. В этом случае можно выбирать произвольно [math]N-n[/math] искомых функций (лишь бы они были нужное число раз дифференцируемыми) и в зависимости от них находить остальные [math]n[/math] функций.


Замечание 3. Если система состоит из [math]n[/math] уравнений, а число искомых функций [math]N[/math], причем [math]N<n[/math], то эта система может оказаться несовместной, т.е. не имеющий ни одного решения.




Пусть дана (для простоты) нормальная система двух дифференциальных уравнений


[math]\begin{cases}\dfrac{dx_1}{dt}=f_1(t,x_1,x_2),,\\[10pt] \dfrac{dx_2}{dt}=f_2(t,x_1,x_2).\end{cases}[/math]
(9)

Будем рассматривать систему значений [math]t,\,x_1,\,x_2[/math] как прямоугольные декартовы координаты точки трехмерного пространства, отнесенного к системе координат [math]Otx_1x_2[/math]. Решение [math]x_1=x_1(t),[/math] [math]x_2=x_2(t)[/math] принимающее при [math]t=t_0[/math] значение [math]x_1^0,x_2^0[/math], изображает в этом пространстве некоторую линию, проходящую через точку [math]M_0(t_0,x_1^0,x_2^0)[/math]. Эта линия называется интегральной кривой (линией) нормальной системы (9).


Решение дифференциального уравнения в фазовой плоскости

Задача Коши для системы (9) получает следующую геометрическую формулировку: в пространстве переменных [math](t,x_1,x_2)[/math] найти интегральную кривую, проходящую через данную точку [math](t_0,x_1^0,x_2^0)[/math]. Теорема Коши устанавливает существование и единственность такой линии.


Нормальной системе (9) и ее решению можно дать еще такое истолкование. Будем независимую переменную [math]t[/math] рассматривать как время, а систему значений функций [math]x_1,x_2[/math] как прямоугольные декартовы координаты точки плоскости [math]x_1Ox_2[/math]. Эту плоскость переменных [math]x_1Ox_2[/math] называют фазовой плоскостью. В фазовой плоскости решение [math]x_1=x_1(t),[/math] [math]x_2=x_2(t)[/math] системы (9), принимающее при [math]t=t_0[/math] начальные значения [math]x_1^0,x_2^0[/math], изображается линией [math]AB[/math] (рис.28), проходящей через точку [math]M_0(x_1^0,x_2^0)[/math]. Эту линию называют траекторией системы (фазовой траекторией). Очевидно, что траектория системы (9) есть проекция интегральной кривой на фазовую плоскость.


Система (9) определяет в каждый момент времени [math]t[/math] в данной точке [math]x_1,x_2[/math] фазовой плоскости координаты скорости [math]\{f_1,f_2\}[/math] движущейся точки.




Пример 7. Решить систему уравнений


[math]\frac{dx}{dt}=y,\quad \frac{dy}{dt}=-x[/math]
(10)

при начальных условиях
[math]x(0)=x_0,\quad y(0)=y_0.[/math]
(11)

Решение. Дифференцируя один раз по [math]t[/math] первое уравнение системы (10) и подставляя в полученное уравнение [math]\frac{dy}{dt}=-x[/math], сведем систему (10) к одному уравнению второго порядка [math]\frac{d^2x}{dt^2}+x=0[/math], образующее решение которого


[math]x=C_1\,\cos{t}+C_2\,\sin{t}\,.[/math]

Так как [math]y=\frac{dx}{dt}[/math], то [math]y=-C_1\,\sin{t}+C_2\,\cos{t}[/math]; итак, общее решение системы (10):


[math]\begin{cases}x=C_1\,\cos{t}+C_2\,\sin{t}\,,\\ y=-C_1\,\sin{t}+C_2\,\cos{t}\,.\end{cases}[/math]
(12)

Частным решением системы (10), удовлетворяющим начальным условиям (11), будет


[math]\begin{cases}x=x_0\,\cos{t}+y_0\,\sin{t}\,,\\ y=-x_0\,\sin{t}+y_0\,\cos{t}\,.\end{cases}[/math]
(13)

Исключая [math]t[/math] из уравнений (13) (путем возведения в квадрат и почленного сложения), получаем фазовую траекторию


[math]x^2+y^2=R^2,[/math]
(14)

где [math]R=\sqrt{x_0^2+y_0^2}[/math]. Это окружность, проходящая через точку [math]M_0(x_0,y_0)[/math]. Представив уравнения (13) в виде


[math]x=R\sin(t+\alpha),\quad y=R\cos(t+\alpha),[/math]
(15)

где [math]R=\sqrt{x_0^2+y_0^2},~ \sin\alpha=\frac{x_0}{\alpha},~ \cos\alpha=\frac{y_0}{R}[/math], замечаем, что уравнения (15) выражают зависимость от времени текущих координат точки [math]M(x(t),y(t))[/math], или коротко [math]M(t)[/math], которая начинает свое движение при [math]t=0[/math] от точки [math]M_0(x_0,y_0)[/math] и движется по окружности (14) (рис.29,а).


Движение точки по кривой

Направление движения точки [math]M(t)[/math] определим с помощью заданной системы (10). При [math]x>0[/math], согласно уравнению [math]\frac{dy}{dt}=-x[/math], величина [math]y[/math] убывает (как, например, в точке [math]M_1(t)[/math]), а при [math]x<0[/math] величина [math]y[/math] возрастает (как, например, в точке [math]M_2(t)[/math]). Таким образом, точка [math]M(t)[/math] движется по кривой (14) по ходу часовой стрелки. Изменяя произвольно начальные условия (11) (оставаясь, однако, в физически допустимых пределах), т. е. изменяя как угодно положение начальной точки [math]M_0(x_0,y_0)[/math], получаем всевозможные фазовые траектории (14).


Дадим теперь другое истолкование уравнений (15) (или, что то же, уравнений (13)). В трехмерном пространстве возьмем правую декартову систему координат [math]Oxyz[/math]. Легко убедиться, что точка [math]N(x(t),y(t),z(t))[/math] (или коротко [math]N(t)[/math]) с координатами (рис. 29,б)


[math]x(t)=R\sin(t+\alpha),\quad y(t)=R\cos(t+\alpha),\quad z(t)=t[/math]
(16)

начинает свое движение при [math]t=0[/math] от начальной точки [math]N_0(x_0,y_0,0)[/math] и с возрастанием [math]t[/math] поднимается по винтовой линии (16), расположенной на цилиндре с окружностью (14) в основании и образующими, параллельными оси [math]Oz[/math].

Очевидно, что точка [math]N_0[/math] совпадает с точкой [math]M_0[/math] и что при любом [math]t[/math] точка [math]N(t)[/math] проектируется в точку [math]M(t)[/math] на фазовой траектории. Так как точка [math]M(t)[/math] движется по ходу часовой стрелки, то интегральная кривая, описываемая точкой [math]N(t)[/math], есть левая винтовая линия на цилиндре с окружностью (14) в основании и образующими, параллельными оси [math]Oz[/math]. При различных положениях точки [math]N_0(x_0,y_0,0)[/math] интегральные кривые системы (10), соответствующие различным значением [math]R=\sqrt{x_0^2+y_0^2}[/math], проектируются на плоскость [math]xOy[/math] в раз личные кривые (14), а интегральные кривые, соответствующие одному и тому же значению [math]R[/math], проектируются в одну и ту же кривую (14).




Интегралом нормальной системы (3) называется функция [math]\psi(t,x_1,x_2,\ldots,x_n)[/math], определенная и непрерывная вместе со своими частными производными первого порядка [math]\frac{\partial\psi}{\partial t},~\frac{\partial\psi}{\partial x_k},[/math] [math]k=1,2,\ldots,n[/math], в области [math]D[/math], если при подстановке в нее произвольного решения [math]x_1(t),x_2(t),\ldots,x_n(t)[/math] системы (3) она принимает постоянное значение, т.е. функция [math]\psi(t,x_1,x_2,\ldots,x_n)[/math] зависит только от выбора решения [math]x_1(t),x_2(t),\ldots,x_n(t)[/math], но не от переменной [math]t[/math].


Первым интегралом нормальной системы (3) называется равенство


[math]\psi(t,x_1,x_2,\ldots,x_n)=C,[/math]

где [math]\psi(t,x_1,x_2,\ldots,x_n)[/math] — интеграл системы (3), а [math]C[/math] — произвольная постоянная. Иногда первым интегралом системы (3) называют интеграл этой системы.




Пример 8. Показать, что функция


[math]\psi(t,x_1,x_2)=\frac{x_2}{t}-x_1,[/math]
(17)

определенная в области [math]D\colon t\ne0,\,-\infty<x_1,x_2<+\infty[/math], является интегралом системы уравнений


[math]\begin{cases}\dfrac{dx_1}{dt}=\dfrac{x_1}{t}\,,\\[10pt] \dfrac{dx_2}{dt}=x_1+\dfrac{x_2}{t}\,,\end{cases}[/math]
(18)

если общее решение этой системы есть
[math]x_1=C_1\,t,\quad x_2=C_1\,t^2+C_2\,t.[/math]
(19)

Решение. Подставляя (19) в (17), получаем


[math]\psi(t,x_1,x_2)= \psi(t,C_1t,C_1t^2+C_2t)= \frac{C_1t^2+C_2t}{t}-C_1t=C_2[/math]

в области [math]D[/math]. Следовательно, функция (17) является в области [math]D[/math] интегралом системы уравнений (18), а значит первый интеграл этой системы будет [math]\frac{x_2}{t}-x_1=C[/math], где [math]C[/math] — произвольная постоянная.




Теорема. Для того чтобы функция [math]\psi(t,x_1,x_2,\ldots,x_n)[/math] была интегралом системы (3), необходимо и достаточно выполнения условия

[math]\frac{\partial\psi}{\partial t}+ \sum_{k=1}^{n}f_k(t,x_1,x_2,\ldots,x_n)\frac{\partial\psi}{\partial x_k}=0[/math]
(20)

в области [math]D[/math].




Пример 9. Показать, что функция

[math]\psi(t,x_1,x_2)=\operatorname{arctg}\frac{x_1}{x_2}-t[/math]
(21)

является интегралом системы уравнений

[math]\frac{dx_1}{dt}=\frac{x_1^2}{x_2},\quad \frac{dx_2}{dt}=-\frac{x_2^2}{x_1}\,.[/math]
(22)

Решение. В данном случае


[math]f_1(t,x_1,x_2)=\frac{x_1^2}{x_2}\,,\quad f_2(t,x_1,x_2)=-\frac{x_2^2}{x_1}\,.[/math]
(23)

Находим частные производные данной функции [math]\psi(t,x_1,x_2)[/math]. Имеем


[math]\frac{\partial\psi}{\partial t}=-1,\quad \frac{\partial\psi}{\partial x_1}=\frac{x_2}{x_1^2+x_2^2},\quad \frac{\partial\psi}{\partial x_2}=\frac{x_1}{x_1^2+x_2^2}\,.[/math]
(24)

Подставляя (23) и (24) в левую часть (20), получаем


[math]\frac{\partial\psi}{\partial t}+f_1(t,x_1,x_2)\frac{\partial\psi}{\partial x_1}+ f_2(t,x_1,x_2)\frac{\partial\psi}{\partial x_2}=-1+ \frac{x_1^2}{x_2}\frac{x_2}{x_1^2+x_2^2}+ \frac{x_2^2}{x_1}\frac{x_1}{x_1^2+x_2^2}=-1+1=0[/math]

в области [math]D\colon\,-\infty<t<+\infty,~x_1\ne0,~x_2\ne0[/math].


Итак, функция (21) есть интеграл системы уравнений (22) и, следовательно, первый интеграл системы (22) будет


[math]\operatorname{arctg}\frac{x_1}{x_2}-t=C,[/math] где [math]C[/math] — произвольная постоянная.



Нормальная система (3) имеет бесконечное множество систем первых интегралов.


Интегралы [math]\psi_1,\psi_2,\ldots,\psi_n[/math] системы (3) называются независимыми относительно искомых функций [math]x_1,x_2,\ldots,x_n[/math], если между функциями [math]\psi_1,\psi_2,\ldots,\psi_n[/math] не существует соотношения вида [math]F(\psi_1,\psi_2,\ldots,\psi_n)=0[/math] ни при каком выборе функции [math]F[/math], не зависящей явно от [math]x_1,x_2,\ldots,x_n[/math].


Теорема. Для того чтобы функции [math]\psi_1,\psi_2,\ldots,\psi_n[/math], имеющие частные производные [math]\frac{\partial\psi_i}{\partial x_k}[/math] [math](i,k=1,2,\ldots,n)[/math], были независимыми относительно [math]x_1,x_2,\ldots,x_n[/math] в некоторой области [math]D[/math], необходимо и достаточно, чтобы якобиан этих функций был отличен от нуля в области [math]D[/math],


[math]\frac{D(\psi_1,\psi_2,\ldots,\psi_n)}{D(x_1,x_2,\ldots,x_n)}= \begin{vmatrix}\dfrac{\partial\psi_1}{\partial x_1}& \dfrac{\partial\psi_1}{\partial x_2} &\cdots& \dfrac{\partial\psi_1}{\partial x_n}\\[10pt] \dfrac{\partial\psi_2}{\partial x_1}& \dfrac{\partial\psi_2}{\partial x_2} &\cdots& \dfrac{\partial\psi_2}{\partial x_n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\[2pt] \dfrac{\partial\psi_n}{\partial x_1}& \dfrac{\partial\psi_n}{\partial x_2} &\cdots& \dfrac{\partial\psi_n}{\partial x_n}\end{vmatrix}\ne0.[/math]

Общим интегралом нормальной системы (3) называется совокупность [math]n[/math] независимых первых интегралов этой системы.


Если известны [math]k[/math], где [math]k<n[/math], независимых первых интегралов системы (3), то ее порядок можно понизить на [math]k[/math] единиц.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved