Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]

Системы булевых функций
Онлайн-сервисы Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики Онлайн число, сумма и дата прописью Алгоритмы JavaScript Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки Уникальные элементы массива Объединение, пересечение и разность массивов НОД и НОК Операции над матрицами Дата прописью Введение в анализ Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика Теория множеств Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия Математическая логика Алгебра высказываний Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции Булевы функции Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций Теория формального Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний Логика предикатов Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов Неформальные и формаль- ные аксиоматические теории Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории Теория алгоритмов Интуитивное представление об алгоритмах Машины Тьюринга и тезис Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики Математическая логика и компьютеры Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект Дискретная математика Множества и отношения Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций Группы и кольца Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов Полукольца и булевы алгебры Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки Алгебраические системы Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры Теория графов Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов Булева алгебра и функции Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов Конечные автоматы и регулярные языки Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга Контекстно-свободные языки Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов Интегральное исчисление Неопределённый и определённый Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции Приложения интегралов Вычисление площадей плоских фигур Площади фигур в различных координатах Вычисление объемов тел с помощью интегралов Объём тела вращения Вычисление длин дуг кривых Формулы длины дуги регулярной кривой Кривизна плоской кривой Площадь поверхности вращения тела Интегралы в физике Статические моменты и координаты центра тяжести Теоремы Гульдина–Паппа Вычисление моментов инерции Другие приложения интегралов в физике Основные интегралы Интеграл Ньютона-Лейбница Интеграл Римана Интеграл Лебега Вариационное исчисление Примеры вариационных задач Дифференциальное уравнение Эйлера Функционалы, зависящие от нескольких функций Задача о минимуме кратного интеграла Финансовый анализ Анализ эффективности Критерии и показатели эффективности предприятия Методы анализа эффективности деятельности Факторный анализ прибыли от операционной деятельности Анализ безубыточности предприятия Операционный рычаг и эффект финансового рычага Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала Анализ распределения прибыли предприятия Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности Анализ устойчивости Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность Характеристика типов финансовой устойчивости Рыночная активность Финансовый анализ рыночной активности Методика анализа рыночной активности Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию Инвестиционная деятельность Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование Анализ инвестиций Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия Задачи финансового анализа инвестиций предприятия Учет фактора времени в инвестиционной деятельности Аннуитет и финансовая рента в инвестициях Учет фактора инфляции при инвестировании Оценка фактора риска инвестиционного проекта Методы оценки эффективности инвестиций Показатели эффективности инвестиционного проекта Стоимость компании Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций Форвардные контракты Форвардный контракт и цена Форвардная цена акции на бирже Цена форвардного контракта инвестора Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда Форвардная цена валюты на рынке форекс Форвардный валютный курс и инфляция на рынке Форвардная цена товара и спотовый рынок Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам Синтетический форвардный контракт на акции и валюту Теория вероятностей Основные понятия теории вероятностей Зависимые и независимые случайные события Повторные независимые испытания Формула Бернулли Одномерные случайные величины Многомерные случайные величины Функции случайных величин Законы распределения целочисленных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и предельные теоремы Вероятностные закономерности Математическая статистика Элементы математической статистики Выборочный метод Оценки параметров генеральной совокупности Статистические гипотезы Критерии согласия Теоретические и эмпирические частоты Теория очередей (СМО) Определение системы массового обслуживания Уравнения Колмогорова Предельные вероятности состояний Определение СМО с отказами Определение СМО с ожиданием (очередью) Аналитическая геометрия Векторная алгебра Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике Системы координат Прямоугольные координаты Преобразования прямоугольных координат Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферические координаты Аффинные координаты Аффинные преобразования координат Аффинные преобразования плоскости Примеры аффинных преобразований плоскости Аффинные преобразования пространства Многомерное координатное пространство Линейные и аффинные подпространства Скалярное произведение n-мерных векторов Преобразования систем координат Геометрия на плоскости Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными Линии 2-го порядка Канонические уравнения линий второго порядка Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду Эллипс Гипербола Парабола Квадратичные неравенства с двумя неизвестными Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций Инварианты линий Классификация линий 2-го порядка по инвариантам Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам Геометрия в пространстве Способы задания ГМТ в пространстве Алгебраические уравнения поверхностей Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам Уравнения плоскости, проходящей через три точки Взаимное расположение плоскостей Типовые задачи с плоскостями Уравнения прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Типовые задачи с прямыми в пространстве Поверхности 2-го порядка Канонические уравнения поверхностей Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду Поверхности второго порядка Эллипсоиды Гиперболоиды Конусы Параболоиды Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций Инварианты поверхностей Классификация поверхностей 2-го порядка по инвариантам Квадратичные неравенства с тремя неизвестными Приведение уравнения поверхности к канониче-скому виду по инвариантам Линейная алгебра Матрицы и операции Линейные операции над матрицами Умножение матриц Возведение матриц в степень Многочлены от матриц Транспонирование и сопряжение матриц Блочные матрицы Произведение и сумма матриц Кронекера Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду Элементарные преобразования матриц Определители Определители матриц и их основные свойства Формула полного разложения определителя Формула Лапласа полного разложения определителя Определитель произведения матриц Методы вычисления определителей Ранг матрицы Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы Ранг матрицы и базисный минор матрицы Методы вычисления ранга матрицы Ранг системы столбцов (строк) Обратная матрица Обратные матрицы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы Способы нахождения обратной матрицы Матричные уравнения Односторонние обратные матрицы Скелетное разложение матрицы Полуобратная матрица Псевдообратная матрица Системы уравнений Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Структура общего решения системы уравнений Решение систем с помощью полуобратных матриц Псевдорешения системы линейных уравнений Функциональные матрицы Функциональные матрицы скалярного аргумента Производные матриц по векторному аргументу Линейные и квадратичные формы и их преобразования Приведение форм к каноническому виду Закон инерции вещественных квадратичных форм Знакоопределенность форм вещественных квадратичных Формы и исследование функций на экстремум Многочленные матрицы Многочленные матрицы (лямбда-матрицы) Операции над лямбда-матрицами Простые преобразования многочленных матриц Инвариантные множители многочленной матрицы Функции от матриц Собственные векторы и значения матрицы Подобие числовых матриц Характеристический многочлен матрицы Минимальный многочлен матрицы Теорема Гамильтона-Кэли Жорданова форма матрицы Приведение матрицы к жордановой форме Многочлены от матриц Применение многочленов от матриц Функции от матриц Линейные пространства Линейные пространства: определение и примеры Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов Размерность и базис линейного пространства Преобразования координат в линейном пространстве Изоморфизм линейных пространств Подпространства Подпространства линейного пространства Пересечение и сумма подпространств Способы описания подпространств Нахождение дополнения и суммы подпространств Нахождение пересечения подпространств Линейные отображения Линейные многообразия Линейные отображения Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения Линейные операторы Линейные операторы (преобразования) Инвариантные подпространства Собственные векторы и значения оператора Свойства собственных векторов операторов Канонический вид линейного оператора Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду Евклидовы пространства Евклидовы пространства Ортогональные векторы евклидова пространства Ортогональный базис евклидова пространства Ортонормированный базис евклидова пространства Ортогональные дополнения в евклидовом пространстве Задача о перпендикуляре Матрица и определитель Грама и его свойства Линейные преобразования евклидовых пространств Канонический вид ортогонального оператора евклидова пространства Сопряженные операторы евклидова пространства Самосопряженные операторы евклидова пространства Приведение квадратичной формы к главным осям Унитарные пространства и их линейные преобразования Комплексный анализ Комплексные числа Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Множества на комплексной плоскости Последовательности и ряды комплексных чисел Комплексные функции Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная Элементарные функции комплексного переменного Дифференцирование функций комплексного переменного Аналитические функции и их свойства Конформные отображения и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного Функциональные ряды в комплексной области Функциональные ряды и последовательности Степенные ряды и их свойства Разложение функций в степенные ряды Нули аналитических функций Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням Особые точки, Вычеты Изолированные особые точки функций и полюсы Вычеты и их применение Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычеты и расположение нулей многочлена Операционное исчисление Преобразование Лапласа и его свойства Решение ДУ операционным методом Анализ выходных процессов линейных стационарных систем Z-преобразование и его свойства Дифференциальные уравнения ДУ первого порядка Основные понятия и определения ДУ Метод изоклин для ДУ 1-го порядка Метод последовательных приближений ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ 1-го порядка Дифференциальное уравнение Бернулли ДУ в полных дифференциалах Интегрирующий множитель ДУ, не разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение Риккати Составление ДУ семейств линий Задачи на траектории Особые решения ДУ ДУ высших порядков Понятия и определения ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка Линейная независимость функций Определители Вронского и Грама Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения Задача Коши и Уравнение Эйлера Линейные ДУ с переменными коэффициентами Метод Лагранжа решения ДУ Краевые задачи для ДУ высших порядков Разложение решения ДУ в степенной ряд Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд Нахождение периодических решений ДУ Асимптотическое интегрирование ДУ Системы ДУ Системы ДУ: понятия и определения Сведение системы ДУ к одному уравнению Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование однородных линейных систем ДУ Методы интегрирования неоднородных систем ДУ Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем Теория устойчивости Устойчивость решений ДУ по Ляпунову Простейшие типы точек покоя Метод функций Ляпунова Устойчивость решений ДУ по первому приближению Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова ДУ с малым параметром при производной Численные методы Методы алгебры Численные методы линейной алгебры Численные методы решения СЛАУ Итерационный метод Шульца обратной матрицы Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы Методы решения нелинейных уравнений Методы решения систем нелинейных уравнений Методы теории приближений Методы приближения сеточных функций Методы функциональной интерполяции Методы интегрально-дифференциальной интерполяции Методы интегрального сглаживания Методы интерполяции и сглаживания сплайнами Методы численного дифференцирования и интегрирования Методы численного дифференцирования Методы численного интегрирования Методы решения обыкновенных ДУ Численные методы решения задачи Коши Разностные схемы для решения задачи Коши Составные схемы для решения задачи Коши Экстраполяционные методы решения задачи Коши Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши Численные методы решения краевых задач Методы решения ДУ в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Численные методы решения уравнений в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными	Системы булевых функций В теореме 10.5 доказано, что всякая булева функция может быть представлена в виде суперпозиции трех булевых функций: дизъюнкции, конъюнкции и отрицания. В настоящем параграфе тема представления булевых функций в виде суперпозиций функций из некоторой системы развивается и доводится до определенного конца: приводятся необходимые и достаточные условия (теорема 11.4 Поста), которым должна удовлетворять система булевых функций для того, чтобы всякая булева функция могла быть представлена в виде суперпозиции функций из этой системы. Полные системы булевых функций Напомним, что понятие суперпозиции булевых функций обсуждалось в предыдущей лекции (определение 10.2). Определение 11.1. Система булевых функций называется полной, если всякая булева функция является суперпозицией функций из этой системы. Теорема 11.2. Следующие системы булевых функций являются полными: $\mathsf{1)}~ \{\lor,\cdot,'\};\quad \mathsf{2)}~ \{+,\cdot,'\};\quad \mathsf{3)}~ \{\lor,'\};\quad \mathsf{4)}~ \{\cdot,'\};\quad \mathsf{5)}~ \{\to,'\};\quad \mathsf{6)}~ \{ \mid \};\quad \mathsf{7)}~ \{ \downarrow \}.$ Доказательство. Полнота первой системы доказана в теореме 10.5. Это можно использовать для доказательства полноты остальных систем, приведенных в теореме. В силу полноты системы $\{\lor,\cdot,'\}$ каждая булева функция является суперпозицией дизъюнкции, конъюнкции и отрицания. Если мы сможем выразить дизъюнкцию через функции $+,\cdot$ и ${}'$ , то тем самым докажем, что всякую функцию можно выразить через эти функции, т.е. докажем полноту системы функций $\{+,\cdot,'\}$ . Это можно сделать так: $x\lor y=x+y+x\cdot y$ . Предлагается самостоятельно проверить справедливость приведенного тождества. Аналогично, для проверки полноты системы $\{\lor,'\}$ нужно выразить конъюнкцию через дизъюнкцию и отрицание. Соответствующее тождество известно (см. теорему 9.5, пункт а). Полнота системы $\{\cdot,'\}$ вытекает из полноты системы $\{\lor,\cdot,'\}$ и тождества теоремы 9.5, пункт б, выражающего дизъюнкцию через конъюнкцию и отрицание, а полнота системы $\{\to,'\}$ — из полноты системы $\{\lor,'\}$ и тождества теоремы 9.5, пункт в, выражающего дизъюнкцию через импликацию. Наконец система $\{ \mid \}$ полна, потому что каждая функция есть суперпозиция функций $\lor$ и ${}'$ , а обе эти функции могут быть выражены через функцию штрих Шеффера (см. теорему 9.5, пункты ж, и). Аналогично, система $\{\downarrow\}$ полна, так как полна система $\{\cdot,'\}$ и справедливы тождества теоремы 9.5, пункты к, м, выражающие функции $\cdot$ и ${}'$ через стрелку Пирса $\downarrow$ . Итак, теорема доказана. Теперь от разрозненных и случайных примеров полных систем булевых функций перейдем к их исчерпывающему описанию. Прежде чем получить такое описание, в следующем пункте рассмотрим необходимые предварительные понятия. Специальные классы булевых функций Говорят, что булева функция $f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ сохраняет 0, если $f(0,0,\ldots,0)=0$ . Обозначим $P_0$ — класс всех булевых функций, сохраняющих 0. Говорят, что булева функция $f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ сохраняет 1, если $f(1,1,\ldots,1)=1$ . Обозначим $P_1$ — класс всех булевых функций, сохраняющих 1. Булева функция $f^{\ast}(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ называется двойственной функцией для булевой функции $f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ , если $f^{\ast}(x_1,x_2,\ldots,x_n)= f'(x'_1,x'_2,\ldots,x'_n)$ для любых $x_1,x_2,\ldots,x_n$ . Булева функция $f$ называется самодвойственной, если $f^{\ast}=f$ . Класс всех самодвойственных булевых функций обозначим $S$ . Введем на множестве $\{0;1\}$ отношение порядка, полагая, что $0 \leqslant 0,~ 0 \leqslant 1,~ 1 \leqslant 1$ . Булева функция $f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ называется монотонной, если для любых $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n,~ \beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_n\in \{0;1\}$ из неравенств $\alpha_1 \leqslant \beta_1,\alpha_2 \leqslant \beta_2,\ldots,\alpha_n \leqslant \beta_n$ немедленно следует, что $f(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n)= f(\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_n)$ . Класс всех монотонных функций обозначим $M$ . Наконец, булева функция $f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ называется линейной, если ее можно представить в виде следующего выражения (называемого полиномом Жегалкина степени не выше первой): $f(x_1,x_2,\ldots,x_n)= a_0+ a_1x_1+a_2x_2+\ldots+ a_nx_n$ где $a_0,a_1,a_2,\ldots,a_n$ — постоянные, равные либо 0, либо 1. Символом $L$ обозначим класс всех линейных булевых функций. Введенные классы булевых функций $P_0,P_1,S,M,L$ играют главную роль при описании полных систем булевых функций. В следующей теореме устанавливаются два важных свойства этих классов и одновременно рассматриваются примеры функций, принадлежащих и не принадлежащих каждому из них. Класс булевых функций называется собственным, если он не пуст и не совпадает с классом всех булевых функций. Класс булевых функций называется замкнутым или классом Поста, если он вместе со всякими своими функциями содержит любую их суперпозицию. Теорема 11.3. Классы $P_0,P_1,S,M,L$ являются собственными замкнутыми классами булевых функций. Доказательство. Проверим сначала, что все эти классы являются собственными. Укажем функции, которые принадлежат и не принадлежат каждому из рассматриваемых классов, предоставляя читателю проверить самостоятельно данные утверждения. Как классу $P_0$ , так и классу $P_1$ принадлежит, например, конъюнкция и не принадлежит отрицание. Далее, конъюнкция не является самодвойственной функцией, а отрицание есть функция самодвойственная. (Проверим последнее утверждение. Пусть $f(x)=x'$ . Тогда $f^{\ast}(x)= f'(x')= \bigl(f(x')\bigr)'= (x'')'= x'= f(x)$ , то есть $f^{\ast}=f$ , а значит, $f(x)=x'$ — самодвойственная функция.) Наконец, к классу монотонных функций принадлежит конъюнкция и не принадлежит импликация, а к классу $L$ линейных функций принадлежит сложение по модулю два (сумма Жегалкина) и не принадлежит конъюнкция. Покажем теперь замкнутость этих классов. Пусть $f_1,f_2,f_3\in P_0$ , то есть $f(0;0)=f_2(0;0)= f_3(0;0)=0$ и $g(x_1,x_2)= f_1\bigl(f_2(x_1,x_2), f_3(x_1,x_2)\bigr)$ . Тогда $g(0;0)= f_1\bigl(f_2(0;0), f_3(0;0)\bigr)= f_1(0;0)=0$ , то есть $g\in P_0$ . Аналогично проверяется замкнутость класса $P_1$ . Пусть теперь $f_1,f_2,f_3\in S$ , то есть $\begin{gathered}f'_1(u,v)= f_1(u',v'),~~ f'_2(x'_1,x'_2)= f_2(x_1,x_2),~~ f'_3(x'_1,x'_2)= f_3(x_1,x_2),\\ g(x_1,x_2)= f_1\bigl(f_2(x_1,x_2), f_3(x_1,x_2)\bigr) \end{gathered}$ Тогда $\begin{aligned}g^{\ast}(x_1,x_2)&= g'(x'_1,x'_2)= f'_1\bigl(f_2(x'_1,x'_2), f_3(x'_1,x'_2)\bigr)= f_1\bigl(f'_2(x'_1,x'_2), f'_3(x'_1,x'_2)\bigr)=\\ &= f_1\bigl(f_2(x_1,x_2), f_3(x_1,x_2)\bigr)= g(x_1,x_2),\end{aligned}$ то есть $g^{\ast}=g$ , и значит $g\in S$ . Пусть далее $f_1,f_2,f_3\in M$ и $\alpha_1 \leqslant \beta_1,~ \alpha_2 \leqslant \beta_2$ и $g(x_1,x_2)= f_1\bigl(f_2(x_1,x_2), f_3(x_1,x_2)\bigr)$ . Тогда $\begin{gathered} f_2(\alpha_1,\alpha_2) \leqslant f_2(\beta_1,\beta_2),\quad f_3(\alpha_1,\alpha_2) \leqslant f_3(\beta_1,\beta_2),\\ g(\alpha_1,\alpha_2)= f_1\bigl(f_2(\alpha_1,\alpha_2), f_3(\alpha_1,\alpha_2)\bigr) \leqslant f_1\bigl(f_2(\beta_1,\beta_2), f_3(\beta_1,\beta_2)\bigr)= g(\beta_1,\beta_2).\end{gathered}$ Следовательно, $g\in M$ . Наконец, пусть $f_1,f_2,f_3\in L$ , то есть, например, $f_1(x_1,x_2)= a_0+a_1x_1+a_2x_2,\quad f_2(x_1,x_2)= b_0+b_1x_1+b_2x_2,\quad f_3(x_1,x_2)= c_0+c_1x_1+c_2x_2.$ Тогда $\begin{aligned}g(x_1,x_2)&= f_1\bigl(f_2(x_1,x_2), f_3(x_1,x_2)\bigr)=\\ &= a_0+a_1\cdot f_2(x_1,x_2)+ a_2\cdot f_3(x_1,x_2)=\\ &= a_0+a_1\cdot (b_0+b_1x_1+b_2x_2)+a_2\cdot (c_0+c_1x_1+c_2x_2)=\\ & = (a_0+a_1b_0+a_2c_0)+ (a_1b_1+a_2c_1)\cdot x_1+ (a_1b_2+a_2c_2)\cdot x_2=\\ &= d_0+d_1x_1+d_2x_2, \end{aligned}$ то есть $g\in L$ .Теорема доказана. Заметим, что, например, функция $f(x)=x$ принадлежит каждому из пяти классов $P_0,P_1,S,M,L$ . Теорема Поста о полноте системы булевых функций Эта теорема доказана американским математиком Э. Постом в 1921 г. Теорема 11.4 (о полноте системы булевых функций). Система булевых функций $\{f_0,f_1,\ldots,f_s,\ldots\}$ является полной тогда и только тогда, когда в этой системе имеется функция, не принадлежащая классу $P_0$ , имеется функция, не принадлежащая классу $P_1$ , имеется функция, не принадлежащая классу $S$ , имеется функция, не принадлежащая классу $M$ , имеется функция, не принадлежащая классу $L$ . Доказательство. Необходимость. Пусть система булевых функций $\{f_0,f_1,\ldots,f_s,\ldots\}$ полна. Допустим, что все функции этой системы входят в класс $P_0$ . Поскольку на основании предыдущей теоремы класс $P_0$ замкнут, то всякая суперпозиция любых функций из данной системы есть функция из класса $P_0$ . Но также по предыдущей теореме класс $P_0$ не исчерпывает всех булевых функций. Поэтому найдется булева функция (не принадлежащая классу $P_0$ ), которая не является суперпозицией функций из системы $\{f_0,f_1,\ldots,f_s,\ldots\}$ , что противоречит полноте этой системы. Следовательно, в системе имеется функция, не принадлежащая классу $P_0$ . Совершенно аналогично доказываются утверждения о наличии в системе $\{f_0,f_1,\ldots, f_s,\ldots\}$ функций, не принадлежащих классам $P_1,S,M,L$ . Достаточность. Предположим, что среди функций системы $\{f_0,f_1,\ldots,f_s,\ldots\}$ имеются такие функции $f_0,f_1,f_2,f_3,f_4$ , что $f_0\notin P_0,\quad f_1\notin P_1,\quad f_2\notin S,\quad f_3\notin M,\quad f_4\notin L\,.$ Покажем, что из этих пяти функций с помощью суперпозиций можно сконструировать такие функции, которые заведомо образуют полную систему. Начнем с $f_0$ , для которой $f_0(0,0,\ldots,0)=1$ . Введем функцию $\widetilde{f}_0(x)= f_0(x,x,\ldots,x)$ . Для нее имеем: $\widetilde{f}_0(0)=1,$ $\widetilde{f}_0(1)=0$ или 1. Следовательно, $\widetilde{f}_0(x)=x'$ или $\widetilde{f}_0(x)=1$ . Аналогично, из $f_1$ , для которой $f_1(1,1,\ldots,1)=0$ , строим функцию $\widetilde{f}_1(x)= f_1(x,x,\ldots,x)$ . Для нее имеем: $\widetilde{f}_1(1)=0,$ $\widetilde{f}_1(0)=0$ или 0. Следовательно, $\widetilde{f}_1(x)=x'$ или $\widetilde{f}_1(x)=0$ . Таким образом, получаем одну из следующих четырех пар функций: $x'$ и $x'$ (1); $x'$ и 0 (2); $x'$ и 1 (3); 0 и 1 (4). В каждом из случаев (2) и (3) имеем тогда по три функции $x',~0,~1$ (например, если есть функции $x'$ и $0$ , то константа $1$ получается как $0'$ ). Рассмотрим случай (1). Покажем, что и здесь можно получить обе константы 0 и 1. Для этого привлечем несамодвойственную функцию $f_2$ (то есть $f_2\notin S$ ). Для нее $f_2\ne f_2^{\ast}$ , то есть $f_2\bigl(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n\bigr)\ne f'_2\bigl(\alpha'_1,\alpha'_2,\ldots,\alpha'_n \bigr)$ для некоторого набора $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n$ из нулей и единиц. Следовательно, для этого набора $f_2\bigl(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n\bigr)= f_2\bigl(\alpha'_1,\alpha'_2,\ldots,\alpha'_n \bigr).$ Построим теперь функцию $f_2(x)$ по следующему правилу: $\widetilde{f}_2(x)= f_2(x^{\alpha_1}, x^{\alpha_2},\ldots, x^{\alpha_n})$ , где $x^{\alpha_i}= \begin{cases}x,& \text{if}\quad \alpha_i=0,\\ x',& \text{if}\quad \alpha_i=1,\end{cases}$ для $1 \leqslant i \leqslant n$ . Для функции имеем: $\widetilde{f}_2(0)= f_2\bigl(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n\bigr)= f_2\bigl(\alpha'_1,\alpha'_2,\ldots,\alpha'_n\bigr)= \widetilde{f}_2(1).$ (1) Следовательно, $\widetilde{f}_2(x)$ — константа. Поскольку в нашем распоряжении имеется отрицание $x'$ , то из этой константы (0 или 1) можно получить и другую константу (1 или О соответственно). Итак, в случае (1) имеем функции $x',0,1$ . Рассмотрим случай (4). Здесь к константам 0 и 1 необходимо получить функцию $x'$ . Для этого привлечем немонотонную функцию $f_3$ (то есть $f_3\notin M$ ). Ее немонотонность означает: найдутся такие наборы из нулей и единиц $(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n)$ и $(\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_n)$ , что $(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n) \leqslant (\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_n)$ , но $f(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n) > f(\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_n)$ . Построим функцию $\widetilde{f}_3(x)$ по следующему правилу: $\widetilde{f}_3(x)= f_3(x^{\gamma_1}, x^{\gamma_2}, \ldots, x^{\gamma_n})$ , где $x^{\gamma_i}= \begin{cases}0, &\text{if}\quad \alpha_i=\beta_i=0,\\ 1, &\text{if}\quad \alpha_i=\beta_i=1,\\ x, &\text{if}\quad \alpha_i=0,\, \beta_i=1,\end{cases}$ для $1 \leqslant i \leqslant n$ . Тогда ясно, что $\widetilde{f}_3(0)> \widetilde{f}_3(1)$ . Следовательно, должно быть $\widetilde{f}_3(0)=1,$ $\widetilde{f}_3(1)=0$ . Значит, $\widetilde{f}_3(x)=x'$ . Итак, из данной системы функций с помощью суперпозиций нами сконструированы функции $x',0,1$ . Рассмотрим теперь еще не использованную нами нелинейную функцию $f_4$ (то есть $f_4\notin L$ ). Предположим, что $x_1$ — тот ее аргумент, который в разложение в полином Жегалкина функции $f_4$ входит нелинейно. Это означает, что $f_4$ может быть представлена в виде $f_4(x_1,x_2,\ldots,x_n)= x_1\cdot \varphi(x_2,\ldots,x_n)+ \psi(x_2,\ldots,x_n),$ где $\varphi\ne0,~ \varphi\ne1$ (в противном случае функция $f_4$ имела бы два различных представления полиномами Жегалкина, что невозможно). Поэтому, если $\varphi(0,\ldots,0)=a$ , то найдется такой набор $\alpha_2,\ldots,\alpha_n$ , что $\varphi(\alpha_2,\ldots,\alpha_n)=a'$ . Построим функцию $\widetilde{f}_4(x,y)$ по следующему правилу: $\widetilde{f}_4(x,y)= x\cdot \widetilde{\varphi}(y)+ \widetilde{\psi}(y)$ , где $x=x_1,~ \widetilde{\varphi}(y)= \varphi(y^{\alpha_2},\ldots,y^{\alpha_n}),~ \widetilde{\psi}(y)= \psi(y^{\alpha_2},\ldots,y^{\alpha_n}),$ $y^{\alpha_i}= \begin{cases} 0,& \text{if}\quad \alpha_i=0,\\ y,& \text{if}\quad \alpha_i=1, \end{cases}$ для $2\leqslant i\leqslant n$ . Заметим, что мы можем подставлять 0 вместо $x_i$ , так как функция 0 нами уже получена. Тогда ясно, что $\widetilde{\varphi}(0)= \varphi(0,\ldots,0)= a,\qquad \widetilde{\varphi}(1)= \varphi(\alpha_2,\ldots,\alpha_n)=a'.$ Следовательно, $\widetilde{\varphi}(y)=y$ или $\widetilde{\varphi}(y)=y'$ . Заметим, что $y'=y+1$ . Значит, $\widetilde{\varphi}(y)$ можно представить в виде $\widetilde{\varphi}(y)=y+b_0$ , где $b_0=0$ или 1. Кроме того, ясно, что функцию одного аргумента $\widetilde{\psi}(y)$ можно представить в виде линейного полинома Жегалкина: $\widetilde{\psi}(y)=b_1y+b_2$ . Таким образом, $\widetilde{f}_4(x,y)$ имеет вид: $\widetilde{f}_4(x,y)= x(y+b_0)+ (b_1y+b_2)= xy+bx+cy+d\,.$ Рассмотрим всевозможные случаи для коэффициентов $b,~c,~d$ . Если $b=c=d=0$ , то $\widetilde{f}_4(x,y)=x\cdot y$ . Если $b=1$ , то рассмотрим функцию $\begin{aligned}\widetilde{f}'_4(x,y)&= \widetilde{f}_4(x,y')= xy'+x+cy'+d= x(y+1)+x+c(y+1)+d=\\ &=xy+x+x+cy+c+d=xy+cy+c_1\,.\end{aligned}$ (Заметим, что мы можем подставлять $y'$ вместо $y$ , так как функция "отрицание" нами уже получена.) Если $c=c_1=0$ , то $\widetilde{f}'_4(x,y)=x\cdot y$ . Если $c=1$ , то рассмотрим функцию $\begin{aligned}\widetilde{f}''_4(x,y)&= \widetilde{f}'_4(x',y)= x'y+y+c_1= (x+1)y+y+c_1=\\ &=xy+y+y+c_1= xy+c_1\,.\end{aligned}$ Если в ней $c_1=0$ , то $\widetilde{f}''_4(x,y)=x\cdot y$ . Если же $c_1=1$ , то $\widetilde{f}''_4(x,y)=xy+1= (x\cdot y)'= x\mid y$ (штрих Шеффера). Итак, из функций $f_0,f_1,f_2,f_3,f_4$ , имеющихся в данной системе функций, мы получаем с помощью суперпозиций функции $x'$ и $x\cdot y$ или же функцию $x\mid y$ . Поскольку на основании теоремы 11.2 каждая из систем булевых функций $\{',\cdot\}$ и $\{\phantom{\|} \vline \phantom{\|}\}$ полна, то и данная система булевых функций $\{f_0,f_1,\ldots,f_s,\ldots\}$ полна. Теорема полностью доказана. Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике). Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Системы булевых функций

Онлайн-сервисы

Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики Онлайн число, сумма и дата прописью

Алгоритмы JavaScript

Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки Уникальные элементы массива Объединение, пересечение и разность массивов НОД и НОК Операции над матрицами Дата прописью

Введение в анализ

Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика

Теория множеств

Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия

Математическая логика

Алгебра высказываний

Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции

Булевы функции

Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций

Теория формального

Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний

Логика предикатов

Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов

Неформальные и формаль-
ные аксиоматические теории

Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории

Теория алгоритмов

Интуитивное представление об алгоритмах Машины Тьюринга и тезис Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики

Математическая логика и компьютеры

Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект

Дискретная математика

Множества и отношения

Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций

Группы и кольца

Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов

Полукольца и булевы алгебры

Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки

Алгебраические системы

Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры

Теория графов

Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов

Булева алгебра и функции

Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов

Конечные автоматы и регулярные языки

Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга

Контекстно-свободные языки

Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов

Интегральное исчисление

Неопределённый и определённый

Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции

Приложения интегралов

Вычисление площадей плоских фигур Площади фигур в различных координатах Вычисление объемов тел с помощью интегралов Объём тела вращения Вычисление длин дуг кривых Формулы длины дуги регулярной кривой Кривизна плоской кривой Площадь поверхности вращения тела

Интегралы в физике

Статические моменты и координаты центра тяжести Теоремы Гульдина–Паппа Вычисление моментов инерции Другие приложения интегралов в физике

Основные интегралы

Интеграл Ньютона-Лейбница Интеграл Римана Интеграл Лебега

Вариационное исчисление

Примеры вариационных задач Дифференциальное уравнение Эйлера Функционалы, зависящие от нескольких функций Задача о минимуме кратного интеграла

Финансовый анализ

Анализ эффективности

Критерии и показатели эффективности предприятия Методы анализа эффективности деятельности Факторный анализ прибыли от операционной деятельности Анализ безубыточности предприятия Операционный рычаг и эффект финансового рычага Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала Анализ распределения прибыли предприятия Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности

Анализ устойчивости

Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность Характеристика типов финансовой устойчивости

Рыночная активность

Финансовый анализ рыночной активности Методика анализа рыночной активности Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию

Инвестиционная деятельность

Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование

Анализ инвестиций

Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия Задачи финансового анализа инвестиций предприятия Учет фактора времени в инвестиционной деятельности Аннуитет и финансовая рента в инвестициях Учет фактора инфляции при инвестировании Оценка фактора риска инвестиционного проекта Методы оценки эффективности инвестиций Показатели эффективности инвестиционного проекта

Стоимость компании

Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций

Форвардные контракты

Форвардный контракт и цена Форвардная цена акции на бирже Цена форвардного контракта инвестора Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда Форвардная цена валюты на рынке форекс Форвардный валютный курс и инфляция на рынке Форвардная цена товара и спотовый рынок Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам Синтетический форвардный контракт на акции и валюту

Теория вероятностей

Основные понятия теории вероятностей Зависимые и независимые случайные события Повторные независимые испытания Формула Бернулли Одномерные случайные величины Многомерные случайные величины Функции случайных величин Законы распределения целочисленных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и предельные теоремы Вероятностные закономерности

Математическая статистика

Элементы математической статистики Выборочный метод Оценки параметров генеральной совокупности Статистические гипотезы Критерии согласия Теоретические и эмпирические частоты

Теория очередей (СМО)

Определение системы массового обслуживания Уравнения Колмогорова Предельные вероятности состояний Определение СМО с отказами Определение СМО с ожиданием (очередью)

Аналитическая геометрия

Векторная алгебра

Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике

Системы координат

Прямоугольные координаты Преобразования прямоугольных координат Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферические координаты Аффинные координаты Аффинные преобразования координат Аффинные преобразования плоскости Примеры аффинных преобразований плоскости Аффинные преобразования пространства Многомерное координатное пространство Линейные и аффинные подпространства Скалярное произведение n-мерных векторов Преобразования систем координат

Геометрия на плоскости

Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными

Линии 2-го порядка

Канонические уравнения линий второго порядка Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду Эллипс Гипербола Парабола Квадратичные неравенства с двумя неизвестными Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций

Инварианты линий

Классификация линий 2-го порядка по инвариантам Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам

Геометрия в пространстве

Способы задания ГМТ в пространстве Алгебраические уравнения поверхностей Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам Уравнения плоскости, проходящей через три точки Взаимное расположение плоскостей Типовые задачи с плоскостями Уравнения прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Типовые задачи с прямыми в пространстве

Поверхности 2-го порядка

Канонические уравнения поверхностей Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду Поверхности второго порядка Эллипсоиды Гиперболоиды Конусы Параболоиды Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций

Инварианты поверхностей

Классификация поверхностей 2-го порядка по инвариантам Квадратичные неравенства с тремя неизвестными Приведение уравнения поверхности к канониче-скому виду по инвариантам

Линейная алгебра

Матрицы и операции

Линейные операции над матрицами Умножение матриц Возведение матриц в степень Многочлены от матриц Транспонирование и сопряжение матриц Блочные матрицы Произведение и сумма матриц Кронекера Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду Элементарные преобразования матриц

Определители

Определители матриц и их основные свойства Формула полного разложения определителя Формула Лапласа полного разложения определителя Определитель произведения матриц Методы вычисления определителей

Ранг матрицы

Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы Ранг матрицы и базисный минор матрицы Методы вычисления ранга матрицы Ранг системы столбцов (строк)

Обратная матрица

Обратные матрицы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы Способы нахождения обратной матрицы Матричные уравнения Односторонние обратные матрицы Скелетное разложение матрицы Полуобратная матрица Псевдообратная матрица

Системы уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Структура общего решения системы уравнений Решение систем с помощью полуобратных матриц Псевдорешения системы линейных уравнений

Функциональные матрицы

Функциональные матрицы скалярного аргумента Производные матриц по векторному аргументу Линейные и квадратичные формы и их преобразования Приведение форм к каноническому виду Закон инерции вещественных квадратичных форм Знакоопределенность форм вещественных квадратичных Формы и исследование функций на экстремум

Многочленные матрицы

Многочленные матрицы (лямбда-матрицы) Операции над лямбда-матрицами Простые преобразования многочленных матриц Инвариантные множители многочленной матрицы

Функции от матриц

Собственные векторы и значения матрицы Подобие числовых матриц Характеристический многочлен матрицы Минимальный многочлен матрицы Теорема Гамильтона-Кэли Жорданова форма матрицы Приведение матрицы к жордановой форме Многочлены от матриц Применение многочленов от матриц Функции от матриц

Линейные пространства

Линейные пространства: определение и примеры Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов Размерность и базис линейного пространства Преобразования координат в линейном пространстве Изоморфизм линейных пространств

Подпространства

Подпространства линейного пространства Пересечение и сумма подпространств Способы описания подпространств Нахождение дополнения и суммы подпространств Нахождение пересечения подпространств

Линейные отображения

Линейные многообразия Линейные отображения Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения

Линейные операторы

Линейные операторы (преобразования) Инвариантные подпространства Собственные векторы и значения оператора Свойства собственных векторов операторов Канонический вид линейного оператора Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду

Евклидовы пространства

Комплексный анализ

Комплексные числа

Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Множества на комплексной плоскости Последовательности и ряды комплексных чисел

Комплексные функции

Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная Элементарные функции комплексного переменного Дифференцирование функций комплексного переменного Аналитические функции и их свойства Конформные отображения
и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного

Функциональные ряды в комплексной области

Функциональные ряды и последовательности Степенные ряды и их свойства Разложение функций в степенные ряды Нули аналитических функций Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням

Особые точки, Вычеты

Изолированные особые точки функций и полюсы Вычеты и их применение Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычеты и расположение нулей многочлена

Операционное исчисление

Преобразование Лапласа и его свойства Решение ДУ операционным методом Анализ выходных процессов линейных стационарных систем Z-преобразование и его свойства

Дифференциальные уравнения

ДУ первого порядка

Основные понятия и определения ДУ Метод изоклин для ДУ 1-го порядка Метод последовательных приближений ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ 1-го порядка Дифференциальное уравнение Бернулли ДУ в полных дифференциалах Интегрирующий множитель ДУ, не разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение Риккати Составление ДУ семейств линий Задачи на траектории Особые решения ДУ

ДУ высших порядков

Понятия и определения ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка Линейная независимость функций Определители Вронского и Грама Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения Задача Коши и Уравнение Эйлера Линейные ДУ с переменными коэффициентами Метод Лагранжа решения ДУ Краевые задачи для ДУ высших порядков Разложение решения ДУ в степенной ряд Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд Нахождение периодических решений ДУ Асимптотическое интегрирование ДУ

Системы ДУ

Системы ДУ: понятия и определения Сведение системы ДУ к одному уравнению Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование однородных линейных систем ДУ Методы интегрирования неоднородных систем ДУ Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем

Теория устойчивости

Устойчивость решений ДУ по Ляпунову Простейшие типы точек покоя Метод функций Ляпунова Устойчивость решений ДУ по первому приближению Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова ДУ с малым параметром при производной

Численные методы

Методы алгебры

Численные методы линейной алгебры Численные методы решения СЛАУ Итерационный метод Шульца обратной матрицы Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы Методы решения нелинейных уравнений Методы решения систем нелинейных уравнений

Методы теории приближений

Методы приближения сеточных функций Методы функциональной интерполяции Методы интегрально-дифференциальной интерполяции Методы интегрального сглаживания Методы интерполяции и сглаживания сплайнами Методы численного дифференцирования и интегрирования Методы численного дифференцирования Методы численного интегрирования

Методы решения обыкновенных ДУ

Численные методы решения задачи Коши Разностные схемы для решения задачи Коши Составные схемы для решения задачи Коши Экстраполяционные методы решения задачи Коши Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши Численные методы решения краевых задач

Методы решения ДУ в частных производных

Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Численные методы решения уравнений в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными

Системы булевых функций

В теореме 10.5 доказано, что всякая булева функция может быть представлена в виде суперпозиции трех булевых функций: дизъюнкции, конъюнкции и отрицания. В настоящем параграфе тема представления булевых функций в виде суперпозиций функций из некоторой системы развивается и доводится до определенного конца: приводятся необходимые и достаточные условия (теорема 11.4 Поста), которым должна удовлетворять система булевых функций для того, чтобы всякая булева функция могла быть представлена в виде суперпозиции функций из этой системы.

Полные системы булевых функций

Напомним, что понятие суперпозиции булевых функций обсуждалось в предыдущей лекции (определение 10.2).

Определение 11.1. Система булевых функций называется полной, если всякая булева функция является суперпозицией функций из этой системы.

Теорема 11.2. Следующие системы булевых функций являются полными:

$\mathsf{1)}~ \{\lor,\cdot,'\};\quad \mathsf{2)}~ \{+,\cdot,'\};\quad \mathsf{3)}~ \{\lor,'\};\quad \mathsf{4)}~ \{\cdot,'\};\quad \mathsf{5)}~ \{\to,'\};\quad \mathsf{6)}~ \{ \mid \};\quad \mathsf{7)}~ \{ \downarrow \}.$

Доказательство. Полнота первой системы доказана в теореме 10.5. Это можно использовать для доказательства полноты остальных систем, приведенных в теореме.

В силу полноты системы $\{\lor,\cdot,'\}$ каждая булева функция является суперпозицией дизъюнкции, конъюнкции и отрицания. Если мы сможем выразить дизъюнкцию через функции $+,\cdot$ и ${}'$ , то тем самым докажем, что всякую функцию можно выразить через эти функции, т.е. докажем полноту системы функций $\{+,\cdot,'\}$ . Это можно сделать так: $x\lor y=x+y+x\cdot y$ . Предлагается самостоятельно проверить справедливость приведенного тождества.

Аналогично, для проверки полноты системы $\{\lor,'\}$ нужно выразить конъюнкцию через дизъюнкцию и отрицание. Соответствующее тождество известно (см. теорему 9.5, пункт а).

Полнота системы $\{\cdot,'\}$ вытекает из полноты системы $\{\lor,\cdot,'\}$ и тождества теоремы 9.5, пункт б, выражающего дизъюнкцию через конъюнкцию и отрицание, а полнота системы $\{\to,'\}$ — из полноты системы $\{\lor,'\}$ и тождества теоремы 9.5, пункт в, выражающего дизъюнкцию через импликацию.

Наконец система $\{ \mid \}$ полна, потому что каждая функция есть суперпозиция функций $\lor$ и ${}'$ , а обе эти функции могут быть выражены через функцию штрих Шеффера (см. теорему 9.5, пункты ж, и). Аналогично, система $\{\downarrow\}$ полна, так как полна система $\{\cdot,'\}$ и справедливы тождества теоремы 9.5, пункты к, м, выражающие функции $\cdot$ и ${}'$ через стрелку Пирса $\downarrow$ .

Итак, теорема доказана.

Теперь от разрозненных и случайных примеров полных систем булевых функций перейдем к их исчерпывающему описанию. Прежде чем получить такое описание, в следующем пункте рассмотрим необходимые предварительные понятия.

Специальные классы булевых функций

Говорят, что булева функция $f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ сохраняет 0, если $f(0,0,\ldots,0)=0$ . Обозначим $P_0$ — класс всех булевых функций, сохраняющих 0.

Говорят, что булева функция $f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ сохраняет 1, если $f(1,1,\ldots,1)=1$ . Обозначим $P_1$ — класс всех булевых функций, сохраняющих 1.

Булева функция $f^{\ast}(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ называется двойственной функцией для булевой функции $f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ , если $f^{\ast}(x_1,x_2,\ldots,x_n)= f'(x'_1,x'_2,\ldots,x'_n)$ для любых $x_1,x_2,\ldots,x_n$ . Булева функция $f$ называется самодвойственной, если $f^{\ast}=f$ . Класс всех самодвойственных булевых функций обозначим $S$ .

Введем на множестве $\{0;1\}$ отношение порядка, полагая, что $0 \leqslant 0,~ 0 \leqslant 1,~ 1 \leqslant 1$ . Булева функция $f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ называется монотонной, если для любых

$\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n,~ \beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_n\in \{0;1\}$ из неравенств $\alpha_1 \leqslant \beta_1,\alpha_2 \leqslant \beta_2,\ldots,\alpha_n \leqslant \beta_n$

немедленно следует, что $f(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n)= f(\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_n)$ . Класс всех монотонных функций обозначим $M$ .

Наконец, булева функция $f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ называется линейной, если ее можно представить в виде следующего выражения (называемого полиномом Жегалкина степени не выше первой):

$f(x_1,x_2,\ldots,x_n)= a_0+ a_1x_1+a_2x_2+\ldots+ a_nx_n$

где $a_0,a_1,a_2,\ldots,a_n$ — постоянные, равные либо 0, либо 1. Символом $L$ обозначим класс всех линейных булевых функций.

Введенные классы булевых функций $P_0,P_1,S,M,L$ играют главную роль при описании полных систем булевых функций. В следующей теореме устанавливаются два важных свойства этих классов и одновременно рассматриваются примеры функций, принадлежащих и не принадлежащих каждому из них.

Класс булевых функций называется собственным, если он не пуст и не совпадает с классом всех булевых функций. Класс булевых функций называется замкнутым или классом Поста, если он вместе со всякими своими функциями содержит любую их суперпозицию.

Теорема 11.3. Классы $P_0,P_1,S,M,L$ являются собственными замкнутыми классами булевых функций.

Доказательство. Проверим сначала, что все эти классы являются собственными. Укажем функции, которые принадлежат и не принадлежат каждому из рассматриваемых классов, предоставляя читателю проверить самостоятельно данные утверждения. Как классу $P_0$ , так и классу $P_1$ принадлежит, например, конъюнкция и не принадлежит отрицание. Далее, конъюнкция не является самодвойственной функцией, а отрицание есть функция самодвойственная. (Проверим последнее утверждение. Пусть $f(x)=x'$ . Тогда

$f^{\ast}(x)= f'(x')= \bigl(f(x')\bigr)'= (x'')'= x'= f(x)$ , то есть $f^{\ast}=f$ ,

а значит, $f(x)=x'$ — самодвойственная функция.) Наконец, к классу монотонных функций принадлежит конъюнкция и не принадлежит импликация, а к классу $L$ линейных функций принадлежит сложение по модулю два (сумма Жегалкина) и не принадлежит конъюнкция.

Покажем теперь замкнутость этих классов. Пусть $f_1,f_2,f_3\in P_0$ , то есть

$f(0;0)=f_2(0;0)= f_3(0;0)=0$ и $g(x_1,x_2)= f_1\bigl(f_2(x_1,x_2), f_3(x_1,x_2)\bigr)$ .

Тогда $g(0;0)= f_1\bigl(f_2(0;0), f_3(0;0)\bigr)= f_1(0;0)=0$ , то есть $g\in P_0$ .

Аналогично проверяется замкнутость класса $P_1$ .

Пусть теперь $f_1,f_2,f_3\in S$ , то есть

$\begin{gathered}f'_1(u,v)= f_1(u',v'),~~ f'_2(x'_1,x'_2)= f_2(x_1,x_2),~~ f'_3(x'_1,x'_2)= f_3(x_1,x_2),\\ g(x_1,x_2)= f_1\bigl(f_2(x_1,x_2), f_3(x_1,x_2)\bigr) \end{gathered}$

Тогда

$\begin{aligned}g^{\ast}(x_1,x_2)&= g'(x'_1,x'_2)= f'_1\bigl(f_2(x'_1,x'_2), f_3(x'_1,x'_2)\bigr)= f_1\bigl(f'_2(x'_1,x'_2), f'_3(x'_1,x'_2)\bigr)=\\ &= f_1\bigl(f_2(x_1,x_2), f_3(x_1,x_2)\bigr)= g(x_1,x_2),\end{aligned}$

то есть $g^{\ast}=g$ , и значит $g\in S$ .

Пусть далее $f_1,f_2,f_3\in M$ и $\alpha_1 \leqslant \beta_1,~ \alpha_2 \leqslant \beta_2$ и $g(x_1,x_2)= f_1\bigl(f_2(x_1,x_2), f_3(x_1,x_2)\bigr)$ . Тогда

$\begin{gathered} f_2(\alpha_1,\alpha_2) \leqslant f_2(\beta_1,\beta_2),\quad f_3(\alpha_1,\alpha_2) \leqslant f_3(\beta_1,\beta_2),\\ g(\alpha_1,\alpha_2)= f_1\bigl(f_2(\alpha_1,\alpha_2), f_3(\alpha_1,\alpha_2)\bigr) \leqslant f_1\bigl(f_2(\beta_1,\beta_2), f_3(\beta_1,\beta_2)\bigr)= g(\beta_1,\beta_2).\end{gathered}$

Следовательно, $g\in M$ .

Наконец, пусть $f_1,f_2,f_3\in L$ , то есть, например,

$f_1(x_1,x_2)= a_0+a_1x_1+a_2x_2,\quad f_2(x_1,x_2)= b_0+b_1x_1+b_2x_2,\quad f_3(x_1,x_2)= c_0+c_1x_1+c_2x_2.$

Тогда

$\begin{aligned}g(x_1,x_2)&= f_1\bigl(f_2(x_1,x_2), f_3(x_1,x_2)\bigr)=\\ &= a_0+a_1\cdot f_2(x_1,x_2)+ a_2\cdot f_3(x_1,x_2)=\\ &= a_0+a_1\cdot (b_0+b_1x_1+b_2x_2)+a_2\cdot (c_0+c_1x_1+c_2x_2)=\\ & = (a_0+a_1b_0+a_2c_0)+ (a_1b_1+a_2c_1)\cdot x_1+ (a_1b_2+a_2c_2)\cdot x_2=\\ &= d_0+d_1x_1+d_2x_2, \end{aligned}$

то есть $g\in L$ .Теорема доказана.

Заметим, что, например, функция $f(x)=x$ принадлежит каждому из пяти классов $P_0,P_1,S,M,L$ .

Теорема Поста о полноте системы булевых функций

Эта теорема доказана американским математиком Э. Постом в 1921 г.

Теорема 11.4 (о полноте системы булевых функций). Система булевых функций $\{f_0,f_1,\ldots,f_s,\ldots\}$ является полной тогда и только тогда, когда в этой системе имеется функция, не принадлежащая классу $P_0$ , имеется функция, не принадлежащая классу $P_1$ , имеется функция, не принадлежащая классу $S$ , имеется функция, не принадлежащая классу $M$ , имеется функция, не принадлежащая классу $L$ .

Доказательство. Необходимость. Пусть система булевых функций $\{f_0,f_1,\ldots,f_s,\ldots\}$ полна. Допустим, что все функции этой системы входят в класс $P_0$ . Поскольку на основании предыдущей теоремы класс $P_0$ замкнут, то всякая суперпозиция любых функций из данной системы есть функция из класса $P_0$ . Но также по предыдущей теореме класс $P_0$ не исчерпывает всех булевых функций. Поэтому найдется булева функция (не принадлежащая классу $P_0$ ), которая не является суперпозицией функций из системы $\{f_0,f_1,\ldots,f_s,\ldots\}$ , что противоречит полноте этой системы. Следовательно, в системе имеется функция, не принадлежащая классу $P_0$ .

Совершенно аналогично доказываются утверждения о наличии в системе $\{f_0,f_1,\ldots, f_s,\ldots\}$ функций, не принадлежащих классам $P_1,S,M,L$ .

Достаточность. Предположим, что среди функций системы $\{f_0,f_1,\ldots,f_s,\ldots\}$ имеются такие функции $f_0,f_1,f_2,f_3,f_4$ , что

$f_0\notin P_0,\quad f_1\notin P_1,\quad f_2\notin S,\quad f_3\notin M,\quad f_4\notin L\,.$

Покажем, что из этих пяти функций с помощью суперпозиций можно сконструировать такие функции, которые заведомо образуют полную систему.

Начнем с $f_0$ , для которой $f_0(0,0,\ldots,0)=1$ . Введем функцию $\widetilde{f}_0(x)= f_0(x,x,\ldots,x)$ . Для нее имеем: $\widetilde{f}_0(0)=1,$ $\widetilde{f}_0(1)=0$ или 1. Следовательно, $\widetilde{f}_0(x)=x'$ или $\widetilde{f}_0(x)=1$ .

Аналогично, из $f_1$ , для которой $f_1(1,1,\ldots,1)=0$ , строим функцию $\widetilde{f}_1(x)= f_1(x,x,\ldots,x)$ . Для нее имеем: $\widetilde{f}_1(1)=0,$ $\widetilde{f}_1(0)=0$ или 0. Следовательно, $\widetilde{f}_1(x)=x'$ или $\widetilde{f}_1(x)=0$ .

Таким образом, получаем одну из следующих четырех пар функций: $x'$ и $x'$ (1); $x'$ и 0 (2); $x'$ и 1 (3); 0 и 1 (4).

В каждом из случаев (2) и (3) имеем тогда по три функции $x',~0,~1$ (например, если есть функции $x'$ и $0$ , то константа $1$ получается как $0'$ ).

Рассмотрим случай (1). Покажем, что и здесь можно получить обе константы 0 и 1. Для этого привлечем несамодвойственную функцию $f_2$ (то есть $f_2\notin S$ ). Для нее $f_2\ne f_2^{\ast}$ , то есть

$f_2\bigl(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n\bigr)\ne f'_2\bigl(\alpha'_1,\alpha'_2,\ldots,\alpha'_n \bigr)$

для некоторого набора $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n$ из нулей и единиц. Следовательно, для этого набора

$f_2\bigl(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n\bigr)= f_2\bigl(\alpha'_1,\alpha'_2,\ldots,\alpha'_n \bigr).$

Построим теперь функцию $f_2(x)$ по следующему правилу: $\widetilde{f}_2(x)= f_2(x^{\alpha_1}, x^{\alpha_2},\ldots, x^{\alpha_n})$ , где

$x^{\alpha_i}= \begin{cases}x,& \text{if}\quad \alpha_i=0,\\ x',& \text{if}\quad \alpha_i=1,\end{cases}$ для $1 \leqslant i \leqslant n$ .

Для функции имеем:

$\widetilde{f}_2(0)= f_2\bigl(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n\bigr)= f_2\bigl(\alpha'_1,\alpha'_2,\ldots,\alpha'_n\bigr)= \widetilde{f}_2(1).$

(1)

Следовательно, $\widetilde{f}_2(x)$ — константа. Поскольку в нашем распоряжении имеется отрицание $x'$ , то из этой константы (0 или 1) можно получить и другую константу (1 или О соответственно). Итак, в случае (1) имеем функции $x',0,1$ .

Рассмотрим случай (4). Здесь к константам 0 и 1 необходимо получить функцию $x'$ . Для этого привлечем немонотонную функцию $f_3$ (то есть $f_3\notin M$ ). Ее немонотонность означает: найдутся такие наборы из нулей и единиц $(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n)$ и $(\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_n)$ , что

$(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n) \leqslant (\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_n)$ , но $f(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n) > f(\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_n)$ .

Построим функцию $\widetilde{f}_3(x)$ по следующему правилу:

$\widetilde{f}_3(x)= f_3(x^{\gamma_1}, x^{\gamma_2}, \ldots, x^{\gamma_n})$ , где $x^{\gamma_i}= \begin{cases}0, &\text{if}\quad \alpha_i=\beta_i=0,\\ 1, &\text{if}\quad \alpha_i=\beta_i=1,\\ x, &\text{if}\quad \alpha_i=0,\, \beta_i=1,\end{cases}$ для $1 \leqslant i \leqslant n$ .

Тогда ясно, что $\widetilde{f}_3(0)> \widetilde{f}_3(1)$ . Следовательно, должно быть $\widetilde{f}_3(0)=1,$ $\widetilde{f}_3(1)=0$ . Значит, $\widetilde{f}_3(x)=x'$ .

Итак, из данной системы функций с помощью суперпозиций нами сконструированы функции $x',0,1$ .

Рассмотрим теперь еще не использованную нами нелинейную функцию $f_4$ (то есть $f_4\notin L$ ). Предположим, что $x_1$ — тот ее аргумент, который в разложение в полином Жегалкина функции $f_4$ входит нелинейно. Это означает, что $f_4$ может быть представлена в виде

$f_4(x_1,x_2,\ldots,x_n)= x_1\cdot \varphi(x_2,\ldots,x_n)+ \psi(x_2,\ldots,x_n),$

где $\varphi\ne0,~ \varphi\ne1$ (в противном случае функция $f_4$ имела бы два различных представления полиномами Жегалкина, что невозможно). Поэтому, если $\varphi(0,\ldots,0)=a$ , то найдется такой набор $\alpha_2,\ldots,\alpha_n$ , что $\varphi(\alpha_2,\ldots,\alpha_n)=a'$ . Построим функцию $\widetilde{f}_4(x,y)$ по следующему правилу:

$\widetilde{f}_4(x,y)= x\cdot \widetilde{\varphi}(y)+ \widetilde{\psi}(y)$ , где $x=x_1,~ \widetilde{\varphi}(y)= \varphi(y^{\alpha_2},\ldots,y^{\alpha_n}),~ \widetilde{\psi}(y)= \psi(y^{\alpha_2},\ldots,y^{\alpha_n}),$

$y^{\alpha_i}= \begin{cases} 0,& \text{if}\quad \alpha_i=0,\\ y,& \text{if}\quad \alpha_i=1, \end{cases}$ для $2\leqslant i\leqslant n$ .

Заметим, что мы можем подставлять 0 вместо $x_i$ , так как функция 0 нами уже получена. Тогда ясно, что

$\widetilde{\varphi}(0)= \varphi(0,\ldots,0)= a,\qquad \widetilde{\varphi}(1)= \varphi(\alpha_2,\ldots,\alpha_n)=a'.$

Следовательно, $\widetilde{\varphi}(y)=y$ или $\widetilde{\varphi}(y)=y'$ . Заметим, что $y'=y+1$ . Значит, $\widetilde{\varphi}(y)$ можно представить в виде $\widetilde{\varphi}(y)=y+b_0$ , где $b_0=0$ или 1. Кроме того, ясно, что функцию одного аргумента $\widetilde{\psi}(y)$ можно представить в виде линейного полинома Жегалкина: $\widetilde{\psi}(y)=b_1y+b_2$ . Таким образом, $\widetilde{f}_4(x,y)$ имеет вид:

$\widetilde{f}_4(x,y)= x(y+b_0)+ (b_1y+b_2)= xy+bx+cy+d\,.$

Рассмотрим всевозможные случаи для коэффициентов $b,~c,~d$ .

Если $b=c=d=0$ , то $\widetilde{f}_4(x,y)=x\cdot y$ .

Если $b=1$ , то рассмотрим функцию

$\begin{aligned}\widetilde{f}'_4(x,y)&= \widetilde{f}_4(x,y')= xy'+x+cy'+d= x(y+1)+x+c(y+1)+d=\\ &=xy+x+x+cy+c+d=xy+cy+c_1\,.\end{aligned}$

(Заметим, что мы можем подставлять $y'$ вместо $y$ , так как функция "отрицание" нами уже получена.)

Если $c=c_1=0$ , то $\widetilde{f}'_4(x,y)=x\cdot y$ .

Если $c=1$ , то рассмотрим функцию

$\begin{aligned}\widetilde{f}''_4(x,y)&= \widetilde{f}'_4(x',y)= x'y+y+c_1= (x+1)y+y+c_1=\\ &=xy+y+y+c_1= xy+c_1\,.\end{aligned}$

Если в ней $c_1=0$ , то $\widetilde{f}''_4(x,y)=x\cdot y$ .

Если же $c_1=1$ , то $\widetilde{f}''_4(x,y)=xy+1= (x\cdot y)'= x\mid y$ (штрих Шеффера).

Итак, из функций $f_0,f_1,f_2,f_3,f_4$ , имеющихся в данной системе функций, мы получаем с помощью суперпозиций функции $x'$ и $x\cdot y$ или же функцию $x\mid y$ . Поскольку на основании теоремы 11.2 каждая из систем булевых функций $\{',\cdot\}$ и $\{\phantom{|} \vline \phantom{|}\}$ полна, то и данная система булевых функций $\{f_0,f_1,\ldots,f_s,\ldots\}$ полна.

Теорема полностью доказана.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Список статей » Список форумов

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]