Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Сферические координаты

Сферические координаты (сферическая система координат)


Для введения сферической системы координат в пространстве выбирается плоскость (основная плоскость) и на ней задается полярная система координат с полюсом [math]O[/math] (начало сферической системы координат) и полярной осью [math]Ox[/math]. Через точку [math]O[/math] перпендикулярно основной плоскости проведем ось [math]Oz[/math] (ось аппликат) и выберем ее направление так, чтобы возрастание полярного угла со стороны положительного направления оси [math]Oz[/math] происходило против часовой стрелки (рис.2.36,а).


В сферической системе координат положение точки [math]M[/math], не лежащей на оси аппликат, характеризуется расстоянием [math]\rho=|\overrightarrow{OM}|[/math] до начала координат, полярным углом [math]\varphi[/math] точки [math]M_0[/math] - ортогональной проекции точки [math]M[/math] на основную плоскость, и углом [math]\theta[/math] между вектором [math]\overrightarrow{OM}[/math] и положительным направлением оси аппликат. Таким образом, сферические координаты точки [math]M[/math] - это упорядоченная тройка чисел [math]\rho,\varphi,\theta[/math]радиус [math](\rho\geqslant0)[/math], долгота [math](-\pi<\varphi\leqslant\pi)[/math] и широта [math](0\leqslant\theta\leqslant\pi)[/math]. У точек, принадлежащих оси аппликат, не определена долгота, их положение задается радиусом [math]\rho[/math] и широтой [math]\theta=0[/math] для положительной части оси [math]Oz[/math] и [math]\theta=\pi[/math] для отрицательной ее части. Начало координат задается нулевым значением радиуса [math]\rho[/math]. Иногда вместо угла [math]\theta[/math] широтой называют угол [math]\psi=\frac{\pi}{2}-\theta[/math], принимающий значения [math]-\frac{\pi}{2}\leqslant\psi\leqslant\frac{\pi}{2}[/math].


Сферическая система координат и её связь с прямоугольными координатами

Со сферической системой координат [math]O\rho\varphi\theta[/math] можно связать прямоугольную систему координат [math]O\vec{i}\vec{j}\vec{k}[/math] (рис.2.36,б), у которой начало и базисные векторы [math]\vec{i},\vec{k}[/math] совпадают с началом сферической системы координат и единичными векторами на полярной оси [math]Ox[/math] и оси аппликат [math]Oz[/math] соответственно, а базисный вектор [math]\vec{j}[/math] выбирается так, чтобы тройка [math]\vec{i},\vec{j},\vec{k}[/math] была правой (при этом базис оказывается стандартным).


Наоборот, если в пространстве задана правая прямоугольная система координат, то, приняв положительную полуось абсцисс за полярную ось, получим сферическую систему координат (связанную с данной прямоугольной).




Переход от сферических координат к декартовым (прямоугольным)


Получим формулы, связывающие между собой прямоугольные координаты [math]x,y,z[/math] точки [math]M[/math] и её сферические координаты [math]\rho,\varphi,\theta[/math]. По рис.2.36,б получаем


[math]\begin{cases}x=\rho\cdot\cos\varphi\cdot\sin\theta,\\y=\rho\cdot\sin\varphi\cdot\sin\theta,\\z=\rho\cdot\cos\theta.\end{cases}[/math]
(2.21)

Эти формулы перехода позволяют найти прямоугольные координаты по известным сферическим координатам. Обратный переход выполняется по формулам


[math]\left\{\!\begin{aligned} \rho&=\sqrt{x^2+y^2+z^2},\\ \cos\varphi&=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},\\ \sin\varphi&=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}},\\ \theta&=\arccos\frac{z}{\rho}=\arccos\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}. \end{aligned}\right.[/math]
(2.22)

Формулы (2.22) определяют долготу [math]\varphi[/math] с точностью до слагаемых [math]2\pi n[/math], где [math]n\in\mathbb{Z}[/math]. При [math]x\ne0[/math] из них следует, что [math]\operatorname{tg}\varphi=\frac{y}{x}[/math]. Главное значение долготы [math]\varphi~(-\pi<\varphi\leqslant\pi)[/math] находится по формулам (см. рис.2.29).




Пример 2.13. В сферической системе координат [math]O\rho\varphi\theta[/math]:


а) построить координатные поверхности [math]\rho=R,~\varphi=\varphi_0,~z=z_0[/math];


б) найти сферические координаты [math]\rho,\varphi,\theta[/math] точки [math]A[/math], если известны её прямоугольные координаты [math]A(4,-3,12)[/math];


в) найти прямоугольные координаты [math]x,y,z[/math] точки [math]B[/math], если известны её сферические координаты: [math]\rho=4,~\varphi=\frac{2\pi}{3},~\theta=\frac{3\pi}{4}[/math].


Построение поверхностей в сферической системе координат

Решение. а) Координатной поверхностью [math]\rho=R[/math], т.е. геометрическим местом точек [math]M(R,\varphi,\theta)[/math] при фиксированном значении радиуса [math]\rho=R[/math], является сфера с центром в начале координат (рис.2.37). Этим объясняется название сферической системы координат. Координатной поверхностью [math]\varphi=\varphi_0[/math], т.е. геометрическим местом точек [math]M(\rho,\varphi_0,\theta)[/math] при фиксированном значении долготы [math]\varphi=\varphi_0[/math], является полуплоскость, ограниченная осью аппликат (на рис.2.37 изображена полуплоскость [math]\varphi=0[/math]). Координатной поверхностью [math]\theta=\theta_0[/math], т.е. геометрическим местом точек [math]M(\rho,\varphi,\theta_0)[/math] при фиксированном значении широты [math]\theta=\theta\ne\frac{\pi}{2}[/math], является конус, ось которого совпадает с осью аппликат, а вершина - с началом координат. При [math]\theta=\frac{\pi}{2}[/math] получаем основную плоскость. На рис.2.37 изображены конус [math]\theta=\theta\ne\frac{\pi}{2}[/math] и основная плоскость [math]\theta=\frac{\pi}{2}[/math].


б) Найдем сферические координаты точки [math]A(4,-3,12)[/math]. По формулам (2.22), учитывая рис.2.29 (см. пример 2.12), получаем


[math]\rho=\sqrt{4^2+(-3)^2+12^2}=13;\quad \varphi=-\operatorname{arctg}\frac{3}{4};\quad \theta=\arccos\frac{12}{13}.[/math]

в) По формулам (2.21) получаем


[math]\begin{gathered} x=\rho\cdot\cos\varphi\cdot\sin\varphi=4\cdot\!\left(-\frac{1}{2}\right)\!\cdot\!\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-\sqrt{2};\\[2pt] y=\rho\cdot\sin\varphi\cdot\sin\varphi=4\cdot\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\!\cdot\!\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\sqrt{6};\\[2pt] z=\rho\cdot\cos\theta=4\cdot\!\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-2\sqrt{2}. \end{gathered}[/math]

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved