Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Сферические координаты

Сферические координаты (сферическая система координат)


Для введения сферической системы координат в пространстве выбирается плоскость (основная плоскость) и на ней задается полярная система координат с полюсом O (начало сферической системы координат) и полярной осью Ox. Через точку O перпендикулярно основной плоскости проведем ось Oz (ось аппликат) и выберем ее направление так, чтобы возрастание полярного угла со стороны положительного направления оси Oz происходило против часовой стрелки (рис.2.36,а).


В сферической системе координат положение точки M, не лежащей на оси аппликат, характеризуется расстоянием \rho=|\overrightarrow{OM}| до начала координат, полярным углом \varphi точки M_0 - ортогональной проекции точки M на основную плоскость, и углом \theta между вектором \overrightarrow{OM} и положительным направлением оси аппликат. Таким образом, сферические координаты точки M - это упорядоченная тройка чисел \rho,\varphi,\thetaрадиус (\rho\geqslant0), долгота (-\pi<\varphi\leqslant\pi) и широта (0\leqslant\theta\leqslant\pi). У точек, принадлежащих оси аппликат, не определена долгота, их положение задается радиусом \rho и широтой \theta=0 для положительной части оси Oz и \theta=\pi для отрицательной ее части. Начало координат задается нулевым значением радиуса \rho. Иногда вместо угла \theta широтой называют угол \psi=\frac{\pi}{2}-\theta, принимающий значения -\frac{\pi}{2}\leqslant\psi\leqslant\frac{\pi}{2}.


Сферическая система координат и её связь с прямоугольными координатами

Со сферической системой координат O\rho\varphi\theta можно связать прямоугольную систему координат O\vec{i}\vec{j}\vec{k} (рис.2.36,б), у которой начало и базисные векторы \vec{i},\vec{k} совпадают с началом сферической системы координат и единичными векторами на полярной оси Ox и оси аппликат Oz соответственно, а базисный вектор \vec{j} выбирается так, чтобы тройка \vec{i},\vec{j},\vec{k} была правой (при этом базис оказывается стандартным).


Наоборот, если в пространстве задана правая прямоугольная система координат, то, приняв положительную полуось абсцисс за полярную ось, получим сферическую систему координат (связанную с данной прямоугольной).




Переход от сферических координат к декартовым (прямоугольным)


Получим формулы, связывающие между собой прямоугольные координаты x,y,z точки M и её сферические координаты \rho,\varphi,\theta. По рис.2.36,б получаем


\begin{cases}x=\rho\cdot\cos\varphi\cdot\sin\theta,\\y=\rho\cdot\sin\varphi\cdot\sin\theta,\\z=\rho\cdot\cos\theta.\end{cases}
(2.21)

Эти формулы перехода позволяют найти прямоугольные координаты по известным сферическим координатам. Обратный переход выполняется по формулам


\left\{\!\begin{aligned} \rho&=\sqrt{x^2+y^2+z^2},\\ \cos\varphi&=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},\\ \sin\varphi&=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}},\\ \theta&=\arccos\frac{z}{\rho}=\arccos\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}. \end{aligned}\right.
(2.22)

Формулы (2.22) определяют долготу \varphi с точностью до слагаемых 2\pi n, где n\in\mathbb{Z}. При x\ne0 из них следует, что \operatorname{tg}\varphi=\frac{y}{x}. Главное значение долготы \varphi~(-\pi<\varphi\leqslant\pi) находится по формулам (см. рис.2.29).




Пример 2.13. В сферической системе координат O\rho\varphi\theta:


а) построить координатные поверхности \rho=R,~\varphi=\varphi_0,~z=z_0;


б) найти сферические координаты \rho,\varphi,\theta точки A, если известны её прямоугольные координаты A(4,-3,12);


в) найти прямоугольные координаты x,y,z точки B, если известны её сферические координаты: \rho=4,~\varphi=\frac{2\pi}{3},~\theta=\frac{3\pi}{4}.


Построение поверхностей в сферической системе координат

Решение. а) Координатной поверхностью \rho=R, т.е. геометрическим местом точек M(R,\varphi,\theta) при фиксированном значении радиуса \rho=R, является сфера с центром в начале координат (рис.2.37). Этим объясняется название сферической системы координат. Координатной поверхностью \varphi=\varphi_0, т.е. геометрическим местом точек M(\rho,\varphi_0,\theta) при фиксированном значении долготы \varphi=\varphi_0, является полуплоскость, ограниченная осью аппликат (на рис.2.37 изображена полуплоскость \varphi=0). Координатной поверхностью \theta=\theta_0, т.е. геометрическим местом точек M(\rho,\varphi,\theta_0) при фиксированном значении широты \theta=\theta\ne\frac{\pi}{2}, является конус, ось которого совпадает с осью аппликат, а вершина - с началом координат. При \theta=\frac{\pi}{2} получаем основную плоскость. На рис.2.37 изображены конус \theta=\theta\ne\frac{\pi}{2} и основная плоскость \theta=\frac{\pi}{2}.


б) Найдем сферические координаты точки A(4,-3,12). По формулам (2.22), учитывая рис.2.29 (см. пример 2.12), получаем


\rho=\sqrt{4^2+(-3)^2+12^2}=13;\quad \varphi=-\operatorname{arctg}\frac{3}{4};\quad \theta=\arccos\frac{12}{13}.

в) По формулам (2.21) получаем


\begin{gathered} x=\rho\cdot\cos\varphi\cdot\sin\varphi=4\cdot\!\left(-\frac{1}{2}\right)\!\cdot\!\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-\sqrt{2};\\[2pt] y=\rho\cdot\sin\varphi\cdot\sin\varphi=4\cdot\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\!\cdot\!\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\sqrt{6};\\[2pt] z=\rho\cdot\cos\theta=4\cdot\!\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-2\sqrt{2}. \end{gathered}
Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved