Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Семейства множеств

Семейства множеств


Пусть [math]U[/math] — универсальное множество. Если каждому натуральному числу [math]n[/math] взаимно однозначно сопоставлено некоторое подмножество [math]A_n \subseteq U[/math], то тем самым определена последовательность множеств [math]A_1,\ldots,A_n,\ldots[/math], или, в короткой записи, [math](A_n)_{n\in\mathbb{N}}[/math]. Предположим теперь, что вместо множества [math]N[/math] натуральных чисел задано произвольное множество [math]I[/math] и каждому элементу [math]i\in I[/math] взаимно однозначно сопоставлено подмножество [math]A_i \subseteq U[/math]. Тогда говорят, что задано (индексированное) семейство множеств [math](A_i)_{i\in I}[/math]. Множество J называют множеством индексов, а множества [math]A_i[/math] — элементами семейства [math](A_i)_{i\in I}[/math].


В случае [math]I\in\mathbb{N}[/math] получаем последовательность множеств, или счетное семейство множеств; если множество [math]I[/math] конечно, получаем конечное семейство множеств. Таким образом, семейство [math](A_i)_{i\in I}[/math] определено, если задано отображение [math]\nu\colon I\to2^U[/math].


Отметим, что любое множество, элементы которого есть некоторые подмножества универсального множества [math]U[/math], т.е. любое множество [math]A \subseteq 2^U[/math], можно считать семейством [math](A_i)_{i\in I}[/math], где [math]I=A[/math], a [math]\nu[/math] — тождественное отображение множества [math]A[/math] на себя.


Множество точек гладкой плоской кривой

Пример 1.11. Рассмотрим в качестве множества индексов множество точек некоторой гладкой плоской кривой (рис. 1.6) и каждой точке сопоставим касательную, проведенную к кривой в этой точке (которая будет единственной в силу гладкости). Тогда получаем семейство множеств, элементами которого служат множества точек различных касательных.


Операции объединения и пересечения множеств можно распространить на произвольные семейства множеств.


1. Объединение семейства множеств:

[math]\bigcup\limits_{i\in I}A_i= \bigl\{x\colon\, (\exists i)(x\in A_i)\bigr\}.[/math]

2. Пересечение семейства множеств:

[math]\bigcap\limits_{i\in I}A_i= \bigl\{x\colon\, (\forall i)(x\in A_i)\bigr\}.[/math]

Методом двух включений можно доказать следующие тождества:


[math]A\cup \Bigl(\;\bigcup\limits_{i\in I}B_i\;\Bigr)= \bigcup\limits_{i\in I}(A\cup B_i),\qquad A\cap \Bigl(\;\bigcap\limits_{i\in I}B_i\;\Bigr)= \bigcap\limits_{i\in I}(A\cap B_i).[/math]

Аналогично можно доказать тождества


[math]A\cap \Bigl(\;\bigcup\limits_{i\in I}B_i\;\Bigr)= \bigcup\limits_{i\in I}(A\cap B_i),\qquad A\cup \Bigl(\;\bigcap\limits_{i\in I}B_i\;\Bigr)= \bigcap\limits_{i\in I}(A\cup B_i),[/math]
(1.5)

[math]\overline{\bigcup\limits_{i\in I}A_i}= \bigcap\limits_{i\in I}\overline{A}_i,\qquad \overline{\bigcap\limits_{i\in I}A_i}= \bigcup\limits_{i\in I}\overline{A}_i[/math]
(1.6)

Тождества (1.5) выражают свойство бесконечной дистрибутивности операций пересечения и объединения, а тождества (1.6) называют бесконечными законами де Моргана.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved