Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Семейства множеств

Семейства множеств


Пусть U — универсальное множество. Если каждому натуральному числу n взаимно однозначно сопоставлено некоторое подмножество A_n \subseteq U, то тем самым определена последовательность множеств A_1,\ldots,A_n,\ldots, или, в короткой записи, (A_n)_{n\in\mathbb{N}}. Предположим теперь, что вместо множества N натуральных чисел задано произвольное множество I и каждому элементу i\in I взаимно однозначно сопоставлено подмножество A_i \subseteq U. Тогда говорят, что задано (индексированное) семейство множеств (A_i)_{i\in I}. Множество J называют множеством индексов, а множества A_i — элементами семейства (A_i)_{i\in I}.


В случае I\in\mathbb{N} получаем последовательность множеств, или счетное семейство множеств; если множество I конечно, получаем конечное семейство множеств. Таким образом, семейство (A_i)_{i\in I} определено, если задано отображение \nu\colon I\to2^U.


Отметим, что любое множество, элементы которого есть некоторые подмножества универсального множества U, т.е. любое множество A \subseteq 2^U, можно считать семейством (A_i)_{i\in I}, где I=A, a \nu — тождественное отображение множества A на себя.


Пример 1.11. Рассмотрим в качестве множества индексов множество точек некоторой гладкой плоской кривой (рис. 1.6) и каждой точке сопоставим касательную, проведенную к кривой в этой точке (которая будет единственной в силу гладкости). Тогда получаем семейство множеств, элементами которого служат множества точек различных касательных.


Множество точек гладкой плоской кривой

Операции объединения и пересечения множеств можно распространить на произвольные семейства множеств.


1. Объединение семейства множеств:

\bigcup\limits_{i\in I}A_i= \bigl\{x\colon\, (\exists i)(x\in A_i)\bigr\}.

2. Пересечение семейства множеств:

\bigcap\limits_{i\in I}A_i= \bigl\{x\colon\, (\forall i)(x\in A_i)\bigr\}.

Методом двух включений можно доказать следующие тождества:


A\cup \Bigl(\;\bigcup\limits_{i\in I}B_i\;\Bigr)= \bigcup\limits_{i\in I}(A\cup B_i),\qquad A\cap \Bigl(\;\bigcap\limits_{i\in I}B_i\;\Bigr)= \bigcap\limits_{i\in I}(A\cap B_i).

Аналогично можно доказать тождества


A\cap \Bigl(\;\bigcup\limits_{i\in I}B_i\;\Bigr)= \bigcup\limits_{i\in I}(A\cap B_i),\qquad A\cup \Bigl(\;\bigcap\limits_{i\in I}B_i\;\Bigr)= \bigcap\limits_{i\in I}(A\cup B_i),
(1.5)

\overline{\bigcup\limits_{i\in I}A_i}= \bigcap\limits_{i\in I}\overline{A}_i,\qquad \overline{\bigcap\limits_{i\in I}A_i}= \bigcup\limits_{i\in I}\overline{A}_i
(1.6)

Тождества (1.5) выражают свойство бесконечной дистрибутивности операций пересечения и объединения, а тождества (1.6) называют бесконечными законами де Моргана.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved