Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]

Семантика формальных языков
Онлайн-сервисы Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики Онлайн число, сумма и дата прописью Алгоритмы JavaScript Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки Уникальные элементы массива Объединение, пересечение и разность массивов НОД и НОК Операции над матрицами Дата прописью Введение в анализ Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика Теория множеств Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия Математическая логика Алгебра высказываний Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции Булевы функции Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций Теория формального Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний Логика предикатов Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов Неформальные и формаль- ные аксиоматические теории Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории Теория алгоритмов Интуитивное представление об алгоритмах Машины Тьюринга и тезис Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики Математическая логика и компьютеры Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект Дискретная математика Множества и отношения Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций Группы и кольца Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов Полукольца и булевы алгебры Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки Алгебраические системы Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры Теория графов Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов Булева алгебра и функции Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов Конечные автоматы и регулярные языки Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга Контекстно-свободные языки Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов Интегральное исчисление Неопределённый и определённый Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции Приложения интегралов Вычисление площадей плоских фигур Площади фигур в различных координатах Вычисление объемов тел с помощью интегралов Объём тела вращения Вычисление длин дуг кривых Формулы длины дуги регулярной кривой Кривизна плоской кривой Площадь поверхности вращения тела Интегралы в физике Статические моменты и координаты центра тяжести Теоремы Гульдина–Паппа Вычисление моментов инерции Другие приложения интегралов в физике Основные интегралы Интеграл Ньютона-Лейбница Интеграл Римана Интеграл Лебега Вариационное исчисление Примеры вариационных задач Дифференциальное уравнение Эйлера Функционалы, зависящие от нескольких функций Задача о минимуме кратного интеграла Финансовый анализ Анализ эффективности Критерии и показатели эффективности предприятия Методы анализа эффективности деятельности Факторный анализ прибыли от операционной деятельности Анализ безубыточности предприятия Операционный рычаг и эффект финансового рычага Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала Анализ распределения прибыли предприятия Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности Анализ устойчивости Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность Характеристика типов финансовой устойчивости Рыночная активность Финансовый анализ рыночной активности Методика анализа рыночной активности Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию Инвестиционная деятельность Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование Анализ инвестиций Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия Задачи финансового анализа инвестиций предприятия Учет фактора времени в инвестиционной деятельности Аннуитет и финансовая рента в инвестициях Учет фактора инфляции при инвестировании Оценка фактора риска инвестиционного проекта Методы оценки эффективности инвестиций Показатели эффективности инвестиционного проекта Стоимость компании Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций Форвардные контракты Форвардный контракт и цена Форвардная цена акции на бирже Цена форвардного контракта инвестора Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда Форвардная цена валюты на рынке форекс Форвардный валютный курс и инфляция на рынке Форвардная цена товара и спотовый рынок Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам Синтетический форвардный контракт на акции и валюту Теория вероятностей Основные понятия теории вероятностей Зависимые и независимые случайные события Повторные независимые испытания Формула Бернулли Одномерные случайные величины Многомерные случайные величины Функции случайных величин Законы распределения целочисленных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и предельные теоремы Вероятностные закономерности Математическая статистика Элементы математической статистики Выборочный метод Оценки параметров генеральной совокупности Статистические гипотезы Критерии согласия Теоретические и эмпирические частоты Теория очередей (СМО) Определение системы массового обслуживания Уравнения Колмогорова Предельные вероятности состояний Определение СМО с отказами Определение СМО с ожиданием (очередью) Аналитическая геометрия Векторная алгебра Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике Системы координат Прямоугольные координаты Преобразования прямоугольных координат Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферические координаты Аффинные координаты Аффинные преобразования координат Аффинные преобразования плоскости Примеры аффинных преобразований плоскости Аффинные преобразования пространства Многомерное координатное пространство Линейные и аффинные подпространства Скалярное произведение n-мерных векторов Преобразования систем координат Геометрия на плоскости Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными Линии 2-го порядка Канонические уравнения линий второго порядка Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду Эллипс Гипербола Парабола Квадратичные неравенства с двумя неизвестными Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций Инварианты линий Классификация линий 2-го порядка по инвариантам Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам Геометрия в пространстве Способы задания ГМТ в пространстве Алгебраические уравнения поверхностей Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам Уравнения плоскости, проходящей через три точки Взаимное расположение плоскостей Типовые задачи с плоскостями Уравнения прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Типовые задачи с прямыми в пространстве Поверхности 2-го порядка Канонические уравнения поверхностей Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду Поверхности второго порядка Эллипсоиды Гиперболоиды Конусы Параболоиды Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций Инварианты поверхностей Классификация поверхностей 2-го порядка по инвариантам Квадратичные неравенства с тремя неизвестными Приведение уравнения поверхности к канониче-скому виду по инвариантам Линейная алгебра Матрицы и операции Линейные операции над матрицами Умножение матриц Возведение матриц в степень Многочлены от матриц Транспонирование и сопряжение матриц Блочные матрицы Произведение и сумма матриц Кронекера Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду Элементарные преобразования матриц Определители Определители матриц и их основные свойства Формула полного разложения определителя Формула Лапласа полного разложения определителя Определитель произведения матриц Методы вычисления определителей Ранг матрицы Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы Ранг матрицы и базисный минор матрицы Методы вычисления ранга матрицы Ранг системы столбцов (строк) Обратная матрица Обратные матрицы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы Способы нахождения обратной матрицы Матричные уравнения Односторонние обратные матрицы Скелетное разложение матрицы Полуобратная матрица Псевдообратная матрица Системы уравнений Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Структура общего решения системы уравнений Решение систем с помощью полуобратных матриц Псевдорешения системы линейных уравнений Функциональные матрицы Функциональные матрицы скалярного аргумента Производные матриц по векторному аргументу Линейные и квадратичные формы и их преобразования Приведение форм к каноническому виду Закон инерции вещественных квадратичных форм Знакоопределенность форм вещественных квадратичных Формы и исследование функций на экстремум Многочленные матрицы Многочленные матрицы (лямбда-матрицы) Операции над лямбда-матрицами Простые преобразования многочленных матриц Инвариантные множители многочленной матрицы Функции от матриц Собственные векторы и значения матрицы Подобие числовых матриц Характеристический многочлен матрицы Минимальный многочлен матрицы Теорема Гамильтона-Кэли Жорданова форма матрицы Приведение матрицы к жордановой форме Многочлены от матриц Применение многочленов от матриц Функции от матриц Линейные пространства Линейные пространства: определение и примеры Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов Размерность и базис линейного пространства Преобразования координат в линейном пространстве Изоморфизм линейных пространств Подпространства Подпространства линейного пространства Пересечение и сумма подпространств Способы описания подпространств Нахождение дополнения и суммы подпространств Нахождение пересечения подпространств Линейные отображения Линейные многообразия Линейные отображения Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения Линейные операторы Линейные операторы (преобразования) Инвариантные подпространства Собственные векторы и значения оператора Свойства собственных векторов операторов Канонический вид линейного оператора Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду Евклидовы пространства Евклидовы пространства Ортогональные векторы евклидова пространства Ортогональный базис евклидова пространства Ортонормированный базис евклидова пространства Ортогональные дополнения в евклидовом пространстве Задача о перпендикуляре Матрица и определитель Грама и его свойства Линейные преобразования евклидовых пространств Канонический вид ортогонального оператора евклидова пространства Сопряженные операторы евклидова пространства Самосопряженные операторы евклидова пространства Приведение квадратичной формы к главным осям Унитарные пространства и их линейные преобразования Комплексный анализ Комплексные числа Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Множества на комплексной плоскости Последовательности и ряды комплексных чисел Комплексные функции Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная Элементарные функции комплексного переменного Дифференцирование функций комплексного переменного Аналитические функции и их свойства Конформные отображения и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного Функциональные ряды в комплексной области Функциональные ряды и последовательности Степенные ряды и их свойства Разложение функций в степенные ряды Нули аналитических функций Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням Особые точки, Вычеты Изолированные особые точки функций и полюсы Вычеты и их применение Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычеты и расположение нулей многочлена Операционное исчисление Преобразование Лапласа и его свойства Решение ДУ операционным методом Анализ выходных процессов линейных стационарных систем Z-преобразование и его свойства Дифференциальные уравнения ДУ первого порядка Основные понятия и определения ДУ Метод изоклин для ДУ 1-го порядка Метод последовательных приближений ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ 1-го порядка Дифференциальное уравнение Бернулли ДУ в полных дифференциалах Интегрирующий множитель ДУ, не разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение Риккати Составление ДУ семейств линий Задачи на траектории Особые решения ДУ ДУ высших порядков Понятия и определения ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка Линейная независимость функций Определители Вронского и Грама Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения Задача Коши и Уравнение Эйлера Линейные ДУ с переменными коэффициентами Метод Лагранжа решения ДУ Краевые задачи для ДУ высших порядков Разложение решения ДУ в степенной ряд Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд Нахождение периодических решений ДУ Асимптотическое интегрирование ДУ Системы ДУ Системы ДУ: понятия и определения Сведение системы ДУ к одному уравнению Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование однородных линейных систем ДУ Методы интегрирования неоднородных систем ДУ Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем Теория устойчивости Устойчивость решений ДУ по Ляпунову Простейшие типы точек покоя Метод функций Ляпунова Устойчивость решений ДУ по первому приближению Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова ДУ с малым параметром при производной Численные методы Методы алгебры Численные методы линейной алгебры Численные методы решения СЛАУ Итерационный метод Шульца обратной матрицы Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы Методы решения нелинейных уравнений Методы решения систем нелинейных уравнений Методы теории приближений Методы приближения сеточных функций Методы функциональной интерполяции Методы интегрально-дифференциальной интерполяции Методы интегрального сглаживания Методы интерполяции и сглаживания сплайнами Методы численного дифференцирования и интегрирования Методы численного дифференцирования Методы численного интегрирования Методы решения обыкновенных ДУ Численные методы решения задачи Коши Разностные схемы для решения задачи Коши Составные схемы для решения задачи Коши Экстраполяционные методы решения задачи Коши Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши Численные методы решения краевых задач Методы решения ДУ в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Численные методы решения уравнений в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными	Семантика формальных языков Классическая теория формальных языков, как уже отмечалось, занималась исключительно синтаксисом языков, изучая методы порождения и распознавания множеств слов. Семантика формальных языков, сравнительно молодая ветвь теории, занимается способами сопоставления некоего "смысла" словам (цепочкам) языка. Необходимость в построении точного математического понятия "смысла" диктуется развитием информационных технологий, прежде всего технологии проектирования компиляторов. Рассмотренные выше языковые модели определенным образом связаны с этапами этой технологии. Текст входной программы, как известно, анализируется в несколько проходов. На первом проходе производится лексический анализ, а именно проверяется правильность простейших элементов текста, называемых лексемами. Примерами лексем могут служить идентификаторы и константы, разрешенные синтаксисом входного языка программирования. В процессе лексического анализа не проверяется синтаксическая правильность всей программы в целом, а проверяется только синтаксическая правильность лексем (в частности, правильность написания идентификаторов и констант). Так как лексемы обычно являются элементами некоторого регулярного языка, то базовой моделью для лексического анализатора является модель конечного автомата. Если текст программы успешно прошел этап лексического анализа, то тогда проверяется его глобальная синтаксическая правильность. При этом каждая лексема рассматривается как буква. Здесь применяются методы синтаксического анализа, в частности рассмотренные ранее. В предположении, что синтаксис языка программирования описан КС-грамматикой, основой для построения синтаксических анализаторов, как мы уже видели, выбирается модель МП-автомата. По завершении синтаксического анализа строится дерево вывода входной программы. После этого переходят к этапу генерации объектного кода, т.е. внутреннего машинного представления входного текста. Это значит, что выполняется перевод с некоторого языка программирования на язык машинных кодов. Но чтобы выполнить перевод текста на другой язык, необходимо каким-то образом понять его "смысл". Следовательно, анализ уже синтаксически проверенной программы с точки зрения ее "смысла" (семантический анализ) необходимо предшествует самой генерации объектного кода. И прежде всего необходимо уточнить математически, что такое "смысл" (как раньше мы математически определяли синтаксис в терминах грамматик и автоматов). В этом дополнении мы рассмотрим некоторые методы формального (математического) определения семантики для КС-языков. Тем самым мы всюду в дальнейшем предполагаем, что язык, семантика которого определяется, может быть задан некоторой КС-грамматикой. Сразу же необходимо сделать уточнение. Как мы уже заметили ранее, исследуя явление неоднозначности в КС-языках, "смысл" следует сопоставлять не самим словам языка, а деревьям их вывода: меняя дерево вывода данной цепочки, мы меняем и ее "смысл", понимаем ее по-другому. Далее, можно сопоставлять "смысл" не только словам языка, точнее, деревьям вывода этих слов из аксиомы грамматики, но и так называемым фразам языка — терминальным цепочкам, выводимым из разных нетерминалов грамматики. Например, фраза "...а так как мне бумаги не хватило" не является законченным предложением русского языка, но имеет, очевидно, какой-то "смысл". Точно так же оператор присваивания, "вынутый" из какой-то программы на каком-то языке программирования, не является "программой", не может рассматриваться как элемент данного языка, но мы в состоянии сопоставить ему тот или иной "смысл". Тем самым возникает идея определить "смысл" через отображение множества "синтаксических объектов" — деревьев выводов фраз языка в некоторое "предметное множество", множество "семантических объектов". Здесь мы ограничимся крайне элементарным введением в формальное описание семантики КС-языков и опишем некоторый простейший "кирпичик" формальной семантики языков программирования. Формальное определение фразы КС-языка Начнем с формального определения фразы КС-языка. Определение 8.15. Пусть $G=(V,N,S,P)$ — КС-грамматика. Терминальную цепочку $x$ называют фразой языка $L(G)$ , если $A\vdash^{\ast}x$ для некоторого нетерминала $A\in N$ . Пусть $T(x)$ — дерево вывода фразы $x$ с корневым нетерминалом $A$ . Возьмем в $T(x)$ некоторое поддерево с корневым нетерминалом $B$ . Выводимую из этого вхождения $B$ терминальную цепочку называют подфразой фразы $x$ . Если вершина дерева $T(x)$ , соответствующая данному вхождению $B$ , имеет глубину 1 (или, что равносильно, уровень, на единицу меньший уровня корня $A$ ), то данная подфраза называется подфразой первого уровня фразы $x$ . Рассмотрим в качестве примера следующую грамматику арифметических выражений: $\begin{aligned}&Expr\to Atom\mid (Expr+Expr)\mid (Expr\ast Expr),\\ &Atom\to a_1\mid a_2\mid\ldots\mid a_n. \end{aligned}$ Предполагается, что вместо вхождения нетерминала $Atom$ может быть подставлен любой символ некоторого алфавита $V=\{a_1,a_2,\ldots,a_n\}$ (атом в арифметическом выражении может быть либо переменным, либо константой). Нарисуем дерево вывода выражения $(a+(b\ast(c+(d\ast(e+g)))))$ , где $a,b,c,d,e,g$ — некоторые атомы из $V$ (рис. 8.39). Это выражение в качестве подфраз первого уровня имеет цепочки $a$ и $(b\ast(c+(d\ast(e+g))))$ . Вторая фраза имеет подфразы первого уровня $b$ и $(c+(d\ast(e+g)))$ и т.д. Заметим, что фраза $a$ , выводимая из самого левого узла $Expr$ глубины 1 имеет в качестве подфразы первого уровня ту же цепочку $a$ , т.е. подфраза первого уровня может совпадать с самой исходной фразой. Множество всех фраз языка $L$ обозначим через $PH(L)$ , а множество всех деревьев вывода фраз $L$ — через $TPH(L)$ . Для однозначного языка $L$ эти множества эквивалентны. Семантическая функция языка L Определение 8.16. Семантическая функция языка $L$ есть отображение $SEM(L)\colon\, TPH(L)\to \mathbb{U}(L)$ множества всех деревьев вывода фраз $L$ в некоторое множество $\mathbb{U}(L)$ , называемое универсумом (предметной областью, семантической областью, областью интерпретации) языка $L$ . Замечание 8.14. Ради общности следовало бы определить семантическую функцию как частичное отображение, но мы не будем этого делать, вводя для "бессмысленных" фраз специальный "неопределенный" элемент в универсум ("нуль" предметной области, "неопределенный смысл"). Заметим также, что для однозначного языка семантическая функция может быть определена как отображение из множества фраз языка. Способы определения семантической функции могут быть различными. Нас будет интересовать важный частный случай, когда значение семантической функции на некоторой фразе (под фразой здесь и далее понимается дерево ее вывода, причем разные деревья для одной и той же цепочки рассматриваются как разные фразы) определяется однозначно через значение этой функции на подфразах первого уровня. Более формально: представим фразу $x$ синтаксически как wсоединение" своих подфраз первого уровня: $x=\varphi(y_1,y_2,\ldots,y_m)= u_1y_1u_2y_2\ldots u_my_mu_{m+1},$ (8.28) где $u_1,u_2,\ldots,u_{m+1}$ — некоторые терминальные цепочки. Например, для определенного выше языка арифметических выражений фраза, дерево вывода которой изображено на рис. 8.39 раскладывается следующим образом: $(a+(b\ast(c+(d\ast(e+g)))))= u_1au_2(b\ast(c+(d\ast(e+g))))u_3,$ где $u_1$ есть цепочка (, $u_2$ — цепочка +, а $u_3$ — цепочка ). Таким образом, любая фраза представляется, вообще говоря, не как простое соединение своих подфраз первого уровня, а как соединение с "прослойками" в виде определенных терминальных цепочек. Операцию $\varphi$ в (8.28), задающую такие прослойки, называют часто конкатенарной операцией. Эта операция определяется грамматикой языка. Тогда предполагается, что если фраза $x$ представлена в виде (8.28), то определено отображнение $\psi\colon \mathbb{U}(L)^m\to\mathbb{U}(L)$ (т.е. некоторая операция на предметной области), такое, что $SEM(L)(x)= \psi\bigl(SEM(L)(y_1),\ldots,SEM(L)(y_m)\bigr).$ (8.29) Это ограничение, накладываемое на семантическую функцию, назовем принципом гомоморфной интерпретации. Примем теперь некоторые соглашения об обозначениях. Семантическую функцию языка $L$ будем обозначать $[\kern-0.15em[\,\cdot\,]\kern-0.15em]_L$ , опуская индекс, указывающий на язык, если это не ведет к недоразумению. Тогда равенство (8.29) можно переписать в виде $[\kern-0.15em[x]\kern-0.15em]= [\kern-0.15em[\varphi(y_1,\ldots,y_m)]\kern-0.15em]= \psi\bigl([\kern-0.15em[y_1]\kern-0.15em],\ldots, [\kern-0.15em[y_m]\kern-0.15em]\bigr).$ Подобные определения семантики фразы через семантику ее подфраз первого уровня назьшают семантическими правилами языка. Семантические правила соответствуют синтаксическим правилам — правилам исходной КС-грамматики. Так, для приведенной выше грамматики арифметических выражений, полагая $\mathbb{U}=\mathbb{R}$ , можно записать следующие семантические правила: $[\kern-0.15em[Expr]\kern-0.15em]= [\kern-0.15em[Expr]\kern-0.15em]+ [\kern-0.15em[Expr]\kern-0.15em].$ (для синтаксического правила $Expr\to(Expr+Expr)$ ), т.е. здесь конкатенарной операции $\varphi$ , такой, что $\varphi(u,v)=(u+v)$ для любых двух фраз $u$ и ${v}$ , сопоставляется обычное арифметическое сложение; $[\kern-0.15em[Expr]\kern-0.15em]= [\kern-0.15em[Expr]\kern-0.15em]\ast [\kern-0.15em[Expr]\kern-0.15em].$ (для синтаксического правила $Expr\to(Expr\ast Expr)$ ) операция на универсуме — арифметическое умножение; $[\kern-0.15em[Expr]\kern-0.15em]= [\kern-0.15em[Atom]\kern-0.15em]$ (для синтаксического правила $Expr\to Atom$ ); $[\kern-0.15em[Atom]\kern-0.15em]= [\kern-0.15em[a_i]\kern-0.15em]$ (для синтаксического правила $Atom\to a_i,~i=\overline{1,n}$ ). Строго говоря, в первых двух правилах мы должны различать три разных вхождения одного и того же нетерминала $Expr$ , так как они соответствуют разным деревьям. Семантическая функция языка арифметических выражений будет определена, если мы зададим значение этой функции на атомах: это естественно ассоциируется с хорошо знакомой процедурой вычисления значения арифметического выражения при подстановке вместо входящих в него переменных конкретных числовых значений (при этом не исключается, что атом может быть константой — обозначением конкретного числа; в таком случае само синтаксическое правило задает сразу значение семантической функции на данном атоме). Так, для приведенного выше выражения, полагая $[\kern-0.15em[ a ]\kern-0.15em]=1,~ [\kern-0.15em[ b ]\kern-0.15em]=2,~ [\kern-0.15em[ c ]\kern-0.15em]=3,$ $[\kern-0.15em[ d ]\kern-0.15em]=4,~ [\kern-0.15em[ e ]\kern-0.15em]=5,~ [\kern-0.15em[ g ]\kern-0.15em]=6$ , получим значение всего выражения, равное 95. Таким образом, в этом конкретном случае семантика фразы есть числовое значение представленного данной фразой арифметического выражения. Мы рассмотрели в качестве универсума множество вещественных чисел и получили одну семантику. Задав универсум как-нибудь иначе (например, как множество комплексных чисел или множество функций некоторого класса), получим совсем другую семантику. Для одного и того же синтаксиса, следовательно, могут быть определены различные семантики (семантические функции). Разобранный выше на примере языка арифметических выражений подход к определению семантики называют иногда экстенсиональным подходом. Суть его состоит в том, что явно определяется универсум как множество "внеязыковых" объектов (экстенсионалов) и каждой языковой фразе сопоставляется некоторый экстенсионал. Для разобранного выше примера экстенсионал — это вещественное число. Слово "внеязыковых" взято в кавычки потому, что универсум сам может быть некоторым языком (выступающим тогда по отношению к исходному языку как метаязык). Не исключено даже, что метаязык совпадает с самим определяемым языком — примером могут служить всевозможные толковые словари. Существует и другой подход к определению семантики, называемый интенсиональным, одной из разновидностей которого является аксиоматический метод определения семантики языка. Аксиоматический метод предполагает рассмотрение исходного, "объектного" языка, семантика которого определяется, как формальной теории (или формальной системы). Не давая строгого определения формальной теории в его общности, поясним его суть и рассмотрим пример. Формальная теория задается как некоторый язык, цепочки которого называются в этом случае утверждениями (или предложениями). В этом языке определяется подъязык так называемых доказуемых утверждений: задается некоторое начальное множество утверждений, которые считаются априори доказанными (множество аксиом теории), и задается некоторое множество правил вывода, применяя которые к некоторым утверждениям (в частности, уже доказанным), можно получать новые утверждения. Если мы применяем правило вывода к доказанному утверждению, то получаем новое доказанное утверждение. Утверждение, которое таким образом может быть выведено из аксиом, называют теоремой данной теории. Утверждение считается имеющим смысл, если оно есть либо аксиома, либо теорема данной теории. В отличие от экстенсионального подхода при интенсиональном подходе априори не определяется никакой универсум, и при таком подходе к определению семантики "иметь смысл" означает "быть теоремой или аксиомой данной теории". Вернемся к рассмотренному выше языку арифметических выражений. Зададим его в виде формальной теории следующего вида: 1) аксиома — любой атом $a_1,\ldots,a_n$ ; 2) правила вывода: $e_1,e_2\Rightarrow (e_1+e_2),\quad (1)\quad\qquad e_1,e_2\Rightarrow (e_1\ast e_2),\quad (2)$ т.е. если $e_1$ и $e_2$ доказаны, то доказано утверждение $(e_1+e_2)$ и утверждение $(e_1\ast e_2)$ . Построим, например, доказательство записанного выше выражения: $\begin{array}{ll}a,b,c,d,e,g&\quad -\text{aksiomy};\\ (e+g)&\quad - \text{pravilo vyvoda}~(1);\\ (d\ast (e+g))&\quad - (2);\\ (c+(d\ast (e+g)))&\quad - (1);\\ (b\ast(c+(d\ast (e+g))))&\quad - (2);\\ (a+(b\ast(c+(d\ast (e+g)))))&\quad - (1).\\ \end{array}$ Нетрудно видеть, что мы определили тот же язык другим способом. Множество доказуемых утверждений совпадает здесь с множеством всех утверждений, и, таким образом, семантика в данном случае совпала с синтаксисом: утверждение имеет смысл тогда и только тогда, когда может быть доказано, т.е. тогда и только тогда, когда является арифметическим выражением, порождаемым приведенной выше грамматикой. Замечание 8.15. В этой связи полезно заметить, что и правила вывода формальной теории следует трактовать как просто "правила замены" (в полной аналогии с порождающими грамматиками), согласно которым разрешается от определенных цепочек (в левой части правила) переходить к новым цепочкам (в правой его части). Тогда по правилам вывода можно получать из цепочек, не обязательно теорем или аксиом, какие-то другие цепочки, т.е. строить выводы, не являющиеся доказательствами. Это опять-таки аналогично грамматикам, в которых применение продукций, вообще говоря, не обязано быть выводом из аксиомы. Такая широкая и чисто синтаксическая трактовка правил вывода позволяет в теории формальных систем и в связанной с нею теории доказательств строить выводы из "гипотез" — цепочек, которые предполагаются доказанными. Если затем удается действительно доказать их, то построенное первоначально "относительное" доказательство превратится в "абсолютное" (т.е. начинающееся с аксиом). Построив аксиоматическую семантику языка, мы можем на этой базе определить семантику уже экстенсионально, положив, что экстенсионал утверждения есть множество всех его доказательств (если утверждение не имеет доказательства, то его экстенсионал считается не определенным — формально мы включаем тогда в предметную область специальный "неопределенный элемент" с тем, как уже отмечалось, чтобы можно было вводимую семантическую функцию считать отображением). В заключение рассмотрим экстенсиональное определение семантики простейшего языка программирования, который будем называть MILAN (MIniLANguage). Синтаксис языка определим посредством форм Бэкуса-Наура: (программа) ::= (последовательность_операторов) (последовательность_операторов) ::= (оператор) \| (оператор) (последовательность_операторов) (оператор) ::= (присваивание) \| (условный лереход) \| (цикл) (присваивание) ::= (переменное) := (терм) (условный_переход) ::= if (условие) then (последовательность_операторов) else (последовательность-операторов) \| if (условие) then (последовательность_операторов) (цикл) ::= while (условие) do (последовательность_операторов) end (переменное) ::= £i\|...\|zn (терм) ::= (функциональный_символ) ((последовательность_термов)) \| (переменное) \| (константа) (последовательность_термов) ::= (терм) \| (терм) (последовательность_термов) (функциональный_символ) ::= $f_1\mid \ldots\mid f_m$ (константа) ::= $c_1\mid \ldots\mid c_k$ (условие) ::= (предикатный_символ) ((последовательность_термов)) (предикатный_символ) ::= $p_1\mid \ldots\mid p_s$ Заданная таким образом КС-грамматика определяет так называемый абстрактный синтаксис MILANa: мы игнорируем некоторые синтаксические детали, такие, как слова begin, end, обрамляющие последовательность операторов, а также то, что операторы разделяются точкой с запятой, что между термами в последовательности термов ставится запятая и т.п. Мы также не уточняем структуру переменных (идентификаторов), констант, функциональных и предикатных символов, считая, что эти нетерминалы "пробегают" каждый свой алфавит. Чтобы формально описать экстенсиональную семантику введенного посредством написанных выше синтаксических правил языка, нужно определить универсум. В зависимости от того, какой универсум рассматривается, в рамках экстенсионального подхода различают: 1) денотационную семантику; 2) операциональную семантику; 3) трансформационную семантику (семантику смешанных вычислений). Здесь мы рассмотрим только денотационную семантику. В денотационной семантике языка, подобного MILANy, универсум определяется как множество преобразователей состояний памяти. К построению этого множества и переходим. Определение 8.17. Состояние памяти — это произвольное отображение множества переменных $I$ языка программирования в множество $D$ данных (значений). В силу сформулированного определения мы отождествляем память с множеством переменных (идентификаторов, "ячеек", имен) данного языка программирования (конкретно — языка MILAN), а состояние памяти $\sigma$ есть отображение вида $\sigma\colon I\to D$ , сопоставляющее каждой переменной значение, принадлежащее некоторому множеству значений (данных) $D$ . Последнее можно рассматривать как объединение некоторого семейства множеств, служащих носителями многосортной алгебры данных языка. Их можно отождествить с типами данных, используемыми в рассматриваемом языке: числами, массивами, строками, стуктурами и т.п. В множество $D$ включен также неопределенный элемент $\mathbb{O}$ (неопределенное значение). Множество всех состояний памяти обозначим $\Sigma$ . Определение 8.18. Преобразователь состояний памяти — это произвольное отображение множества $\Sigma$ состояний памяти в себя. Множество всех преобразователей состояний памяти обозначим $(\Sigma\to\Sigma)$ . На множестве $\Sigma$ определяется структура индуктивного упорядоченного множества. Область определенности состояния памяти $\sigma$ — это множество, обозначаемое $D(\sigma)$ , всех переменных $x$ , таких, что $\sigma(x)\ne \mathbb{O}$ . Тогда положим для двух произвольных состояний $\sigma$ и $\rho$ $\sigma\leqslant~\rho~ \Leftrightarrow \bigl(D(\sigma)\subseteq D(\rho)\bigr)\And \bigl((\forall x\in D(\sigma))(\sigma(x)=\rho(x))\bigr).$ Очевидно, что отношение $\leqslant$ есть отношение порядка. Далее, множество $\Sigma$ имеет по отношению $\leqslant$ наименьший элемент, а именно такое состояние $\mathbb{O}$ , что $(\forall x\in I)(\mathbb{O}(x)= \mathbb{O})$ . Его называют всюду неопределенным состоянием памяти; ясно, что $D(\mathbb{O})=\varnothing$ . Кроме того, для любой неубывающей последовательности состояний памяти $\sigma_1\leqslant \sigma_2\leqslant \ldots\leqslant \sigma_n\leqslant\ldots$ состояние $\sigma_0$ , такое, что $\sigma_0(x)= \sigma_n(x)\Leftrightarrow x\in D(\sigma_n)$ , есть точная верхняя грань этой последовательности, причем $\textstyle{\mathop{D(\sigma_0)= \bigcup\limits_{n\geqslant1} D(\sigma_n)}\limits^{\phantom{A}^{{}^{.}}}}$ . Таким образом, множество состояний памяти $\Sigma$ , снабженное отношением порядка $\leqslant$ , является индуктивным упорядоченным множеством. С учетом результатов, полученных в 4.5 (см. теорему 4.11), отсюда следует, что и множество преобразователей состояний $(\Sigma\to\Sigma)$ есть индуктивное упорядоченное множество. В этом множестве отношение порядка $\leqslant$ определяется условием $f\leqslant g\quad \Leftrightarrow\quad (\forall\sigma\in\Sigma)(f(\sigma)\leqslant g(\sigma)),$ наименьшим элементом является стирающий преобразователь $\bold{0}$ , такой, что $\bold{0}(\sigma)=\mathbb{O}$ для всякого $\sigma\in\Sigma$ , а точной верхней гранью неубывающей последовательности преобразователей состояний $f_1\leqslant f_2\leqslant \ldots\leqslant f_n\leqslant\ldots$ является преобразователь $f_0$ , определяемый следующим образом: $(\forall\sigma\in\Sigma)(\forall x\in I)\bigl(f_0(\sigma)(x)= f_n(\sigma)(x)~ \Leftrightarrow~ x\in D(f_n(\sigma))\bigr)$ , причем $D(f_0(\sigma))= \bigcup\limits_{n\geqslant1} D(f_n(\sigma))$ . Более того, оказывается, что композиция преобразователей состояний (как отображений) непрерывна в смысле сохранения точных верхних граней (см. 1.8), точнее, для любой неубывающей последовательности преобразователей состояний $f_1\leqslant f_2\leqslant \ldots\leqslant f_n\leqslant\ldots$ и произвольного преобразователя состояний $g$ имеем $g\circ\sup f_n=\sup(g\circ f_n),\qquad \sup f_n\circ g=\sup(f_n\circ g).$ Докажем первое из этих равенств. Для произвольного $\sigma\in\Sigma$ имеем $g\circ\sup f_n(\sigma)=\sup f_n(g(\sigma))$ . Тогда для всякого $x\in D(g\circ f_n(\sigma))$ имеем $g\circ\sup f_n(\sigma)(x)= \sup f_n(g(\sigma))(x)= f_n(g(\sigma))(x)= g\circ f_n(\sigma)(x),$ т.е. поскольку, как можно показать, композиция монотонна в смысле определения, данного ранее, то $D(g\circ\sup f_n(\sigma))= \bigcup\limits_{n\geqslant1}D(g\circ f_n)(\sigma)$ и $g\circ\sup f_n=\sup(g\circ f_n)$ . Имея в виду все рассмотренные выше свойства множества $(\Sigma\to\Sigma)$ , определим денотационную семантику языка MILAN. Семантическая функция есть отображение $[\kern-0.15em[\,\circ\,]\kern-0.15em]$ множества фраз в множество $(\Sigma\to\Sigma)$ преобразователей состояний памяти. 1. Семантика оператора присваивания: $[\kern-0.15em[x^=t]\kern-0.15em](\sigma)(y)=\begin{cases}\sigma(y),&\text{if}\quad y\ne x;\\ t^{\sigma},&\text{if}\quad y=x.\end{cases}$ где через $t^{\sigma}$ обозначено значение терма $t$ в состоянии $\sigma$ , равное $\mathbb{O}$ , если хотя бы для одного переменного, входящего в терм, его значение не определено, и равное значению терма при подстановке на место каждого его переменного $x$ его значения $\sigma(x)$ . Суть записанного выше семантического правила очень проста: оператору присваивания $x:=t$ сопоставляется преобразователь состояний, меняющий состояние таким образом, что все переменные, кроме $x$ , сохраняют свои значения, а новое значение переменного $x$ есть значение правой части оператора присваивания (терма $t$ ) в состоянии $\sigma$ . 2. Семантика оператора условного перехода: $\bigl[\kern-0.15em\bigl[\text{if}~ p(t_1,\ldots,t_n)~ \text{then}~ S_1~\text{else}~ S_2\bigr]\kern-0.15em\bigr]= \begin{cases}[\kern-0.15em[S_1]\kern-0.15em](\sigma),&\text{if}\quad p(t_1^{\sigma},\ldots, t_n^{\sigma})=1;\\ [\kern-0.15em[S_2]\kern-0.15em](\sigma),&\text{if}\quad p(t_1^{\sigma},\ldots, t_n^{\sigma})=0. \end{cases}$ Это правило написано в предположении, что значения всех термов в состоянии $\sigma$ определены. В противном случае оператору условного перехода сопоставляется стирающий преобразователь $\bold{0}$ . Подобное же соглашение принимается и далее в аналогичных ситуациях. Семантика условного перехода без e/se-альтернативы записывается аналогично, но при условии ложности предиката $p$ в состоянии $\sigma$ берется тождественный преобразователь состояний $ID$ . 3. Семантика цикла: $\bigl[\kern-0.15em\bigl[\text{while}~ p(t_1,\ldots,t_n)~ \text{do}~ S~ \text{end}\bigr]\kern-0.15em\bigr](\sigma)= \begin{cases}[\kern-0.15em[S]\kern-0.15em]\circ [\kern-0.15em[\text{while}~ p(t_1,\ldots,t_n)~ \text{do}~ S~ \text{end}]\kern-0.15em] (\sigma),&\text{if}\quad p(t_1^{\sigma},\ldots, t_n^{\sigma})=1;\\ ID(\sigma),&\text{if}\quad p(t_1^{\sigma},\ldots, t_n^{\sigma})=0. \end{cases}$ Таким образом, семантика цикла определяется как решение уравнения. Это определение корректно, так как правая часть уравнения есть непрерывное отображение множества $(\Sigma\to \Sigma)$ в себя (что следует из доказанной выше непрерывности композиции преобразователей состояний и очевидной непрерывности тождественного отображения). 4. Семантика последовательности операторов: $[\kern-0.15em[S_1;S_2]\kern-0.15em]= [\kern-0.15em[S_1]\kern-0.15em]\circ [\kern-0.15em[S_2]\kern-0.15em].$ . Определенная таким образом формальная семантика языка MILAN становится базой для семантического анализа программ, т.е. для строгого математического доказательства утверждений о программах. Этот анализ, проводимый технологически после синтаксического анализа программы и получения ее дерева вывода, основан на результате, известном под названием принципа индукции по неподвижной точке. Приведем формулировку этого принципа без доказательства. Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике). Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Семантика формальных языков

Онлайн-сервисы

Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики Онлайн число, сумма и дата прописью

Алгоритмы JavaScript

Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки Уникальные элементы массива Объединение, пересечение и разность массивов НОД и НОК Операции над матрицами Дата прописью

Введение в анализ

Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика

Теория множеств

Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия

Математическая логика

Алгебра высказываний

Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции

Булевы функции

Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций

Теория формального

Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний

Логика предикатов

Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов

Неформальные и формаль-
ные аксиоматические теории

Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории

Теория алгоритмов

Интуитивное представление об алгоритмах Машины Тьюринга и тезис Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики

Математическая логика и компьютеры

Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект

Дискретная математика

Множества и отношения

Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций

Группы и кольца

Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов

Полукольца и булевы алгебры

Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки

Алгебраические системы

Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры

Теория графов

Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов

Булева алгебра и функции

Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов

Конечные автоматы и регулярные языки

Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга

Контекстно-свободные языки

Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов

Интегральное исчисление

Неопределённый и определённый

Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции

Приложения интегралов

Вычисление площадей плоских фигур Площади фигур в различных координатах Вычисление объемов тел с помощью интегралов Объём тела вращения Вычисление длин дуг кривых Формулы длины дуги регулярной кривой Кривизна плоской кривой Площадь поверхности вращения тела

Интегралы в физике

Статические моменты и координаты центра тяжести Теоремы Гульдина–Паппа Вычисление моментов инерции Другие приложения интегралов в физике

Основные интегралы

Интеграл Ньютона-Лейбница Интеграл Римана Интеграл Лебега

Вариационное исчисление

Примеры вариационных задач Дифференциальное уравнение Эйлера Функционалы, зависящие от нескольких функций Задача о минимуме кратного интеграла

Финансовый анализ

Анализ эффективности

Критерии и показатели эффективности предприятия Методы анализа эффективности деятельности Факторный анализ прибыли от операционной деятельности Анализ безубыточности предприятия Операционный рычаг и эффект финансового рычага Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала Анализ распределения прибыли предприятия Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности

Анализ устойчивости

Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность Характеристика типов финансовой устойчивости

Рыночная активность

Финансовый анализ рыночной активности Методика анализа рыночной активности Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию

Инвестиционная деятельность

Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование

Анализ инвестиций

Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия Задачи финансового анализа инвестиций предприятия Учет фактора времени в инвестиционной деятельности Аннуитет и финансовая рента в инвестициях Учет фактора инфляции при инвестировании Оценка фактора риска инвестиционного проекта Методы оценки эффективности инвестиций Показатели эффективности инвестиционного проекта

Стоимость компании

Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций

Форвардные контракты

Форвардный контракт и цена Форвардная цена акции на бирже Цена форвардного контракта инвестора Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда Форвардная цена валюты на рынке форекс Форвардный валютный курс и инфляция на рынке Форвардная цена товара и спотовый рынок Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам Синтетический форвардный контракт на акции и валюту

Теория вероятностей

Основные понятия теории вероятностей Зависимые и независимые случайные события Повторные независимые испытания Формула Бернулли Одномерные случайные величины Многомерные случайные величины Функции случайных величин Законы распределения целочисленных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и предельные теоремы Вероятностные закономерности

Математическая статистика

Элементы математической статистики Выборочный метод Оценки параметров генеральной совокупности Статистические гипотезы Критерии согласия Теоретические и эмпирические частоты

Теория очередей (СМО)

Определение системы массового обслуживания Уравнения Колмогорова Предельные вероятности состояний Определение СМО с отказами Определение СМО с ожиданием (очередью)

Аналитическая геометрия

Векторная алгебра

Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике

Системы координат

Прямоугольные координаты Преобразования прямоугольных координат Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферические координаты Аффинные координаты Аффинные преобразования координат Аффинные преобразования плоскости Примеры аффинных преобразований плоскости Аффинные преобразования пространства Многомерное координатное пространство Линейные и аффинные подпространства Скалярное произведение n-мерных векторов Преобразования систем координат

Геометрия на плоскости

Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными

Линии 2-го порядка

Канонические уравнения линий второго порядка Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду Эллипс Гипербола Парабола Квадратичные неравенства с двумя неизвестными Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций

Инварианты линий

Классификация линий 2-го порядка по инвариантам Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам

Геометрия в пространстве

Способы задания ГМТ в пространстве Алгебраические уравнения поверхностей Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам Уравнения плоскости, проходящей через три точки Взаимное расположение плоскостей Типовые задачи с плоскостями Уравнения прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Типовые задачи с прямыми в пространстве

Поверхности 2-го порядка

Канонические уравнения поверхностей Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду Поверхности второго порядка Эллипсоиды Гиперболоиды Конусы Параболоиды Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций

Инварианты поверхностей

Классификация поверхностей 2-го порядка по инвариантам Квадратичные неравенства с тремя неизвестными Приведение уравнения поверхности к канониче-скому виду по инвариантам

Линейная алгебра

Матрицы и операции

Линейные операции над матрицами Умножение матриц Возведение матриц в степень Многочлены от матриц Транспонирование и сопряжение матриц Блочные матрицы Произведение и сумма матриц Кронекера Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду Элементарные преобразования матриц

Определители

Определители матриц и их основные свойства Формула полного разложения определителя Формула Лапласа полного разложения определителя Определитель произведения матриц Методы вычисления определителей

Ранг матрицы

Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы Ранг матрицы и базисный минор матрицы Методы вычисления ранга матрицы Ранг системы столбцов (строк)

Обратная матрица

Обратные матрицы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы Способы нахождения обратной матрицы Матричные уравнения Односторонние обратные матрицы Скелетное разложение матрицы Полуобратная матрица Псевдообратная матрица

Системы уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Структура общего решения системы уравнений Решение систем с помощью полуобратных матриц Псевдорешения системы линейных уравнений

Функциональные матрицы

Функциональные матрицы скалярного аргумента Производные матриц по векторному аргументу Линейные и квадратичные формы и их преобразования Приведение форм к каноническому виду Закон инерции вещественных квадратичных форм Знакоопределенность форм вещественных квадратичных Формы и исследование функций на экстремум

Многочленные матрицы

Многочленные матрицы (лямбда-матрицы) Операции над лямбда-матрицами Простые преобразования многочленных матриц Инвариантные множители многочленной матрицы

Функции от матриц

Собственные векторы и значения матрицы Подобие числовых матриц Характеристический многочлен матрицы Минимальный многочлен матрицы Теорема Гамильтона-Кэли Жорданова форма матрицы Приведение матрицы к жордановой форме Многочлены от матриц Применение многочленов от матриц Функции от матриц

Линейные пространства

Линейные пространства: определение и примеры Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов Размерность и базис линейного пространства Преобразования координат в линейном пространстве Изоморфизм линейных пространств

Подпространства

Подпространства линейного пространства Пересечение и сумма подпространств Способы описания подпространств Нахождение дополнения и суммы подпространств Нахождение пересечения подпространств

Линейные отображения

Линейные многообразия Линейные отображения Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения

Линейные операторы

Линейные операторы (преобразования) Инвариантные подпространства Собственные векторы и значения оператора Свойства собственных векторов операторов Канонический вид линейного оператора Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду

Евклидовы пространства

Комплексный анализ

Комплексные числа

Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Множества на комплексной плоскости Последовательности и ряды комплексных чисел

Комплексные функции

Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная Элементарные функции комплексного переменного Дифференцирование функций комплексного переменного Аналитические функции и их свойства Конформные отображения
и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного

Функциональные ряды в комплексной области

Функциональные ряды и последовательности Степенные ряды и их свойства Разложение функций в степенные ряды Нули аналитических функций Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням

Особые точки, Вычеты

Изолированные особые точки функций и полюсы Вычеты и их применение Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычеты и расположение нулей многочлена

Операционное исчисление

Преобразование Лапласа и его свойства Решение ДУ операционным методом Анализ выходных процессов линейных стационарных систем Z-преобразование и его свойства

Дифференциальные уравнения

ДУ первого порядка

Основные понятия и определения ДУ Метод изоклин для ДУ 1-го порядка Метод последовательных приближений ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ 1-го порядка Дифференциальное уравнение Бернулли ДУ в полных дифференциалах Интегрирующий множитель ДУ, не разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение Риккати Составление ДУ семейств линий Задачи на траектории Особые решения ДУ

ДУ высших порядков

Понятия и определения ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка Линейная независимость функций Определители Вронского и Грама Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения Задача Коши и Уравнение Эйлера Линейные ДУ с переменными коэффициентами Метод Лагранжа решения ДУ Краевые задачи для ДУ высших порядков Разложение решения ДУ в степенной ряд Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд Нахождение периодических решений ДУ Асимптотическое интегрирование ДУ

Системы ДУ

Системы ДУ: понятия и определения Сведение системы ДУ к одному уравнению Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование однородных линейных систем ДУ Методы интегрирования неоднородных систем ДУ Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем

Теория устойчивости

Устойчивость решений ДУ по Ляпунову Простейшие типы точек покоя Метод функций Ляпунова Устойчивость решений ДУ по первому приближению Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова ДУ с малым параметром при производной

Численные методы

Методы алгебры

Численные методы линейной алгебры Численные методы решения СЛАУ Итерационный метод Шульца обратной матрицы Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы Методы решения нелинейных уравнений Методы решения систем нелинейных уравнений

Методы теории приближений

Методы приближения сеточных функций Методы функциональной интерполяции Методы интегрально-дифференциальной интерполяции Методы интегрального сглаживания Методы интерполяции и сглаживания сплайнами Методы численного дифференцирования и интегрирования Методы численного дифференцирования Методы численного интегрирования

Методы решения обыкновенных ДУ

Численные методы решения задачи Коши Разностные схемы для решения задачи Коши Составные схемы для решения задачи Коши Экстраполяционные методы решения задачи Коши Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши Численные методы решения краевых задач

Методы решения ДУ в частных производных

Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Численные методы решения уравнений в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными

Семантика формальных языков

Классическая теория формальных языков, как уже отмечалось, занималась исключительно синтаксисом языков, изучая методы порождения и распознавания множеств слов. Семантика формальных языков, сравнительно молодая ветвь теории, занимается способами сопоставления некоего "смысла" словам (цепочкам) языка.

Необходимость в построении точного математического понятия "смысла" диктуется развитием информационных технологий, прежде всего технологии проектирования компиляторов.

Рассмотренные выше языковые модели определенным образом связаны с этапами этой технологии.

Текст входной программы, как известно, анализируется в несколько проходов. На первом проходе производится лексический анализ, а именно проверяется правильность простейших элементов текста, называемых лексемами. Примерами лексем могут служить идентификаторы и константы, разрешенные синтаксисом входного языка программирования. В процессе лексического анализа не проверяется синтаксическая правильность всей программы в целом, а проверяется только синтаксическая правильность лексем (в частности, правильность написания идентификаторов и констант). Так как лексемы обычно являются элементами некоторого регулярного языка, то базовой моделью для лексического анализатора является модель конечного автомата.

Если текст программы успешно прошел этап лексического анализа, то тогда проверяется его глобальная синтаксическая правильность. При этом каждая лексема рассматривается как буква. Здесь применяются методы синтаксического анализа, в частности рассмотренные ранее. В предположении, что синтаксис языка программирования описан КС-грамматикой, основой для построения синтаксических анализаторов, как мы уже видели, выбирается модель МП-автомата.

По завершении синтаксического анализа строится дерево вывода входной программы. После этого переходят к этапу генерации объектного кода, т.е. внутреннего машинного представления входного текста. Это значит, что выполняется перевод с некоторого языка программирования на язык машинных кодов. Но чтобы выполнить перевод текста на другой язык, необходимо каким-то образом понять его "смысл". Следовательно, анализ уже синтаксически проверенной программы с точки зрения ее "смысла" (семантический анализ) необходимо предшествует самой генерации объектного кода. И прежде всего необходимо уточнить математически, что такое "смысл" (как раньше мы математически определяли синтаксис в терминах грамматик и автоматов).

В этом дополнении мы рассмотрим некоторые методы формального (математического) определения семантики для КС-языков. Тем самым мы всюду в дальнейшем предполагаем, что язык, семантика которого определяется, может быть задан некоторой КС-грамматикой.

Сразу же необходимо сделать уточнение. Как мы уже заметили ранее, исследуя явление неоднозначности в КС-языках, "смысл" следует сопоставлять не самим словам языка, а деревьям их вывода: меняя дерево вывода данной цепочки, мы меняем и ее "смысл", понимаем ее по-другому. Далее, можно сопоставлять "смысл" не только словам языка, точнее, деревьям вывода этих слов из аксиомы грамматики, но и так называемым фразам языка — терминальным цепочкам, выводимым из разных нетерминалов грамматики.

Например, фраза "...а так как мне бумаги не хватило" не является законченным предложением русского языка, но имеет, очевидно, какой-то "смысл". Точно так же оператор присваивания, "вынутый" из какой-то программы на каком-то языке программирования, не является "программой", не может рассматриваться как элемент данного языка, но мы в состоянии сопоставить ему тот или иной "смысл". Тем самым возникает идея определить "смысл" через отображение множества "синтаксических объектов" — деревьев выводов фраз языка в некоторое "предметное множество", множество "семантических объектов".

Здесь мы ограничимся крайне элементарным введением в формальное описание семантики КС-языков и опишем некоторый простейший "кирпичик" формальной семантики языков программирования.

Формальное определение фразы КС-языка

Начнем с формального определения фразы КС-языка.

Определение 8.15. Пусть $G=(V,N,S,P)$ — КС-грамматика. Терминальную цепочку $x$ называют фразой языка $L(G)$ , если $A\vdash^{\ast}x$ для некоторого нетерминала $A\in N$ .

Пусть $T(x)$ — дерево вывода фразы $x$ с корневым нетерминалом $A$ . Возьмем в $T(x)$ некоторое поддерево с корневым нетерминалом $B$ . Выводимую из этого вхождения $B$ терминальную цепочку называют подфразой фразы $x$ . Если вершина дерева $T(x)$ , соответствующая данному вхождению $B$ , имеет глубину 1 (или, что равносильно, уровень, на единицу меньший уровня корня $A$ ), то данная подфраза называется подфразой первого уровня фразы $x$ .

Рассмотрим в качестве примера следующую грамматику арифметических выражений:

$\begin{aligned}&Expr\to Atom\mid (Expr+Expr)\mid (Expr\ast Expr),\\ &Atom\to a_1\mid a_2\mid\ldots\mid a_n. \end{aligned}$

Предполагается, что вместо вхождения нетерминала $Atom$ может быть подставлен любой символ некоторого алфавита $V=\{a_1,a_2,\ldots,a_n\}$ (атом в арифметическом выражении может быть либо переменным, либо константой). Нарисуем дерево вывода выражения

$(a+(b\ast(c+(d\ast(e+g)))))$ , где $a,b,c,d,e,g$ — некоторые атомы из $V$ (рис. 8.39).

Это выражение в качестве подфраз первого уровня имеет цепочки $a$ и $(b\ast(c+(d\ast(e+g))))$ . Вторая фраза имеет подфразы первого уровня $b$ и $(c+(d\ast(e+g)))$ и т.д. Заметим, что фраза $a$ , выводимая из самого левого узла $Expr$ глубины 1 имеет в качестве подфразы первого уровня ту же цепочку $a$ , т.е. подфраза первого уровня может совпадать с самой исходной фразой.

Множество всех фраз языка $L$ обозначим через $PH(L)$ , а множество всех деревьев вывода фраз $L$ — через $TPH(L)$ . Для однозначного языка $L$ эти множества эквивалентны.

Семантическая функция языка L

Определение 8.16. Семантическая функция языка $L$ есть отображение

$SEM(L)\colon\, TPH(L)\to \mathbb{U}(L)$

множества всех деревьев вывода фраз $L$ в некоторое множество $\mathbb{U}(L)$ , называемое универсумом (предметной областью, семантической областью, областью интерпретации) языка $L$ .

Замечание 8.14. Ради общности следовало бы определить семантическую функцию как частичное отображение, но мы не будем этого делать, вводя для "бессмысленных" фраз специальный "неопределенный" элемент в универсум ("нуль" предметной области, "неопределенный смысл"). Заметим также, что для однозначного языка семантическая функция может быть определена как отображение из множества фраз языка.

Способы определения семантической функции могут быть различными. Нас будет интересовать важный частный случай, когда значение семантической функции на некоторой фразе (под фразой здесь и далее понимается дерево ее вывода, причем разные деревья для одной и той же цепочки рассматриваются как разные фразы) определяется однозначно через значение этой функции на подфразах первого уровня. Более формально: представим фразу $x$ синтаксически как wсоединение" своих подфраз первого уровня:

$x=\varphi(y_1,y_2,\ldots,y_m)= u_1y_1u_2y_2\ldots u_my_mu_{m+1},$

(8.28)

где $u_1,u_2,\ldots,u_{m+1}$ — некоторые терминальные цепочки. Например, для определенного выше языка арифметических выражений фраза, дерево вывода которой изображено на рис. 8.39 раскладывается следующим образом:

$(a+(b\ast(c+(d\ast(e+g)))))= u_1au_2(b\ast(c+(d\ast(e+g))))u_3,$

где $u_1$ есть цепочка (, $u_2$ — цепочка +, а $u_3$ — цепочка ).

Таким образом, любая фраза представляется, вообще говоря, не как простое соединение своих подфраз первого уровня, а как соединение с "прослойками" в виде определенных терминальных цепочек. Операцию $\varphi$ в (8.28), задающую такие прослойки, называют часто конкатенарной операцией. Эта операция определяется грамматикой языка.

Тогда предполагается, что если фраза $x$ представлена в виде (8.28), то определено отображнение $\psi\colon \mathbb{U}(L)^m\to\mathbb{U}(L)$ (т.е. некоторая операция на предметной области), такое, что

$SEM(L)(x)= \psi\bigl(SEM(L)(y_1),\ldots,SEM(L)(y_m)\bigr).$

(8.29)

Это ограничение, накладываемое на семантическую функцию, назовем принципом гомоморфной интерпретации.

Примем теперь некоторые соглашения об обозначениях. Семантическую функцию языка $L$ будем обозначать $[\kern-0.15em[\,\cdot\,]\kern-0.15em]_L$ , опуская индекс, указывающий на язык, если это не ведет к недоразумению. Тогда равенство (8.29) можно переписать в виде

$[\kern-0.15em[x]\kern-0.15em]= [\kern-0.15em[\varphi(y_1,\ldots,y_m)]\kern-0.15em]= \psi\bigl([\kern-0.15em[y_1]\kern-0.15em],\ldots, [\kern-0.15em[y_m]\kern-0.15em]\bigr).$

Подобные определения семантики фразы через семантику ее подфраз первого уровня назьшают семантическими правилами языка. Семантические правила соответствуют синтаксическим правилам — правилам исходной КС-грамматики. Так, для приведенной выше грамматики арифметических выражений, полагая $\mathbb{U}=\mathbb{R}$ , можно записать следующие семантические правила:

$[\kern-0.15em[Expr]\kern-0.15em]= [\kern-0.15em[Expr]\kern-0.15em]+ [\kern-0.15em[Expr]\kern-0.15em].$

(для синтаксического правила $Expr\to(Expr+Expr)$ ), т.е. здесь конкатенарной операции $\varphi$ , такой, что $\varphi(u,v)=(u+v)$ для любых двух фраз $u$ и ${v}$ , сопоставляется обычное арифметическое сложение;

$[\kern-0.15em[Expr]\kern-0.15em]= [\kern-0.15em[Expr]\kern-0.15em]\ast [\kern-0.15em[Expr]\kern-0.15em].$

(для синтаксического правила $Expr\to(Expr\ast Expr)$ ) операция на универсуме — арифметическое умножение;

$[\kern-0.15em[Expr]\kern-0.15em]= [\kern-0.15em[Atom]\kern-0.15em]$

(для синтаксического правила $Expr\to Atom$ );

$[\kern-0.15em[Atom]\kern-0.15em]= [\kern-0.15em[a_i]\kern-0.15em]$ (для синтаксического правила $Atom\to a_i,~i=\overline{1,n}$ ).

Строго говоря, в первых двух правилах мы должны различать три разных вхождения одного и того же нетерминала $Expr$ , так как они соответствуют разным деревьям.

Семантическая функция языка арифметических выражений будет определена, если мы зададим значение этой функции на атомах: это естественно ассоциируется с хорошо знакомой процедурой вычисления значения арифметического выражения при подстановке вместо входящих в него переменных конкретных числовых значений (при этом не исключается, что атом может быть константой — обозначением конкретного числа; в таком случае само синтаксическое правило задает сразу значение семантической функции на данном атоме).

Так, для приведенного выше выражения, полагая $[\kern-0.15em[ a ]\kern-0.15em]=1,~ [\kern-0.15em[ b ]\kern-0.15em]=2,~ [\kern-0.15em[ c ]\kern-0.15em]=3,$ $[\kern-0.15em[ d ]\kern-0.15em]=4,~ [\kern-0.15em[ e ]\kern-0.15em]=5,~ [\kern-0.15em[ g ]\kern-0.15em]=6$ , получим значение всего выражения, равное 95.

Таким образом, в этом конкретном случае семантика фразы есть числовое значение представленного данной фразой арифметического выражения. Мы рассмотрели в качестве универсума множество вещественных чисел и получили одну семантику. Задав универсум как-нибудь иначе (например, как множество комплексных чисел или множество функций некоторого класса), получим совсем другую семантику. Для одного и того же синтаксиса, следовательно, могут быть определены различные семантики (семантические функции).

Разобранный выше на примере языка арифметических выражений подход к определению семантики называют иногда экстенсиональным подходом. Суть его состоит в том, что явно определяется универсум как множество "внеязыковых" объектов (экстенсионалов) и каждой языковой фразе сопоставляется некоторый экстенсионал. Для разобранного выше примера экстенсионал — это вещественное число. Слово "внеязыковых" взято в кавычки потому, что универсум сам может быть некоторым языком (выступающим тогда по отношению к исходному языку как метаязык). Не исключено даже, что метаязык совпадает с самим определяемым языком — примером могут служить всевозможные толковые словари.

Существует и другой подход к определению семантики, называемый интенсиональным, одной из разновидностей которого является аксиоматический метод определения семантики языка.

Аксиоматический метод предполагает рассмотрение исходного, "объектного" языка, семантика которого определяется, как формальной теории (или формальной системы). Не давая строгого определения формальной теории в его общности, поясним его суть и рассмотрим пример.

Формальная теория задается как некоторый язык, цепочки которого называются в этом случае утверждениями (или предложениями). В этом языке определяется подъязык так называемых доказуемых утверждений: задается некоторое начальное множество утверждений, которые считаются априори доказанными (множество аксиом теории), и задается некоторое множество правил вывода, применяя которые к некоторым утверждениям (в частности, уже доказанным), можно получать новые утверждения. Если мы применяем правило вывода к доказанному утверждению, то получаем новое доказанное утверждение. Утверждение, которое таким образом может быть выведено из аксиом, называют теоремой данной теории. Утверждение считается имеющим смысл, если оно есть либо аксиома, либо теорема данной теории. В отличие от экстенсионального подхода при интенсиональном подходе априори не определяется никакой универсум, и при таком подходе к определению семантики "иметь смысл" означает "быть теоремой или аксиомой данной теории".

Вернемся к рассмотренному выше языку арифметических выражений. Зададим его в виде формальной теории следующего вида:

1) аксиома — любой атом $a_1,\ldots,a_n$ ;

2) правила вывода:

$e_1,e_2\Rightarrow (e_1+e_2),\quad (1)\quad\qquad e_1,e_2\Rightarrow (e_1\ast e_2),\quad (2)$

т.е. если $e_1$ и $e_2$ доказаны, то доказано утверждение $(e_1+e_2)$ и утверждение $(e_1\ast e_2)$ .

Построим, например, доказательство записанного выше выражения:

$\begin{array}{ll}a,b,c,d,e,g&\quad -\text{aksiomy};\\ (e+g)&\quad - \text{pravilo vyvoda}~(1);\\ (d\ast (e+g))&\quad - (2);\\ (c+(d\ast (e+g)))&\quad - (1);\\ (b\ast(c+(d\ast (e+g))))&\quad - (2);\\ (a+(b\ast(c+(d\ast (e+g)))))&\quad - (1).\\ \end{array}$

Нетрудно видеть, что мы определили тот же язык другим способом. Множество доказуемых утверждений совпадает здесь с множеством всех утверждений, и, таким образом, семантика в данном случае совпала с синтаксисом: утверждение имеет смысл тогда и только тогда, когда может быть доказано, т.е. тогда и только тогда, когда является арифметическим выражением, порождаемым приведенной выше грамматикой.

Замечание 8.15. В этой связи полезно заметить, что и правила вывода формальной теории следует трактовать как просто "правила замены" (в полной аналогии с порождающими грамматиками), согласно которым разрешается от определенных цепочек (в левой части правила) переходить к новым цепочкам (в правой его части).

Тогда по правилам вывода можно получать из цепочек, не обязательно теорем или аксиом, какие-то другие цепочки, т.е. строить выводы, не являющиеся доказательствами. Это опять-таки аналогично грамматикам, в которых применение продукций, вообще говоря, не обязано быть выводом из аксиомы.

Такая широкая и чисто синтаксическая трактовка правил вывода позволяет в теории формальных систем и в связанной с нею теории доказательств строить выводы из "гипотез" — цепочек, которые предполагаются доказанными. Если затем удается действительно доказать их, то построенное первоначально "относительное" доказательство превратится в "абсолютное" (т.е. начинающееся с аксиом).

Построив аксиоматическую семантику языка, мы можем на этой базе определить семантику уже экстенсионально, положив, что экстенсионал утверждения есть множество всех его доказательств (если утверждение не имеет доказательства, то его экстенсионал считается не определенным — формально мы включаем тогда в предметную область специальный "неопределенный элемент" с тем, как уже отмечалось, чтобы можно было вводимую семантическую функцию считать отображением).

В заключение рассмотрим экстенсиональное определение семантики простейшего языка программирования, который будем называть MILAN (MIniLANguage). Синтаксис языка определим посредством форм Бэкуса-Наура:

(программа) ::= (последовательность_операторов) (последовательность_операторов) ::= (оператор) |
(оператор) (последовательность_операторов) (оператор) ::= (присваивание) | (условный лереход) | (цикл) (присваивание) ::= (переменное) := (терм) (условный_переход) ::= if (условие) then
(последовательность_операторов) else (последовательность-операторов) | if (условие) then (последовательность_операторов) (цикл) ::= while (условие) do
(последовательность_операторов) end (переменное) ::= £i|...|zn (терм) ::= (функциональный_символ)
((последовательность_термов)) |
(переменное) | (константа) (последовательность_термов) ::= (терм) |
(терм) (последовательность_термов) (функциональный_символ) ::= $f_1\mid \ldots\mid f_m$
(константа) ::= $c_1\mid \ldots\mid c_k$
(условие) ::= (предикатный_символ)
((последовательность_термов))
(предикатный_символ) ::= $p_1\mid \ldots\mid p_s$

Заданная таким образом КС-грамматика определяет так называемый абстрактный синтаксис MILANa: мы игнорируем некоторые синтаксические детали, такие, как слова begin, end, обрамляющие последовательность операторов, а также то, что операторы разделяются точкой с запятой, что между термами в последовательности термов ставится запятая и т.п. Мы также не уточняем структуру переменных (идентификаторов), констант, функциональных и предикатных символов, считая, что эти нетерминалы "пробегают" каждый свой алфавит.

Чтобы формально описать экстенсиональную семантику введенного посредством написанных выше синтаксических правил языка, нужно определить универсум. В зависимости от того, какой универсум рассматривается, в рамках экстенсионального подхода различают:

1) денотационную семантику;
2) операциональную семантику;
3) трансформационную семантику (семантику смешанных вычислений).
Здесь мы рассмотрим только денотационную семантику.

В денотационной семантике языка, подобного MILANy, универсум определяется как множество преобразователей состояний памяти. К построению этого множества и переходим.

Определение 8.17. Состояние памяти — это произвольное отображение множества переменных $I$ языка программирования в множество $D$ данных (значений).

В силу сформулированного определения мы отождествляем память с множеством переменных (идентификаторов, "ячеек", имен) данного языка программирования (конкретно — языка MILAN), а состояние памяти $\sigma$ есть отображение вида $\sigma\colon I\to D$ , сопоставляющее каждой переменной значение, принадлежащее некоторому множеству значений (данных) $D$ . Последнее можно рассматривать как объединение некоторого семейства множеств, служащих носителями многосортной алгебры данных языка. Их можно отождествить с типами данных, используемыми в рассматриваемом языке: числами, массивами, строками, стуктурами и т.п. В множество $D$ включен также неопределенный элемент $\mathbb{O}$ (неопределенное значение). Множество всех состояний памяти обозначим $\Sigma$ .

Определение 8.18. Преобразователь состояний памяти — это произвольное отображение множества $\Sigma$ состояний памяти в себя.

Множество всех преобразователей состояний памяти обозначим $(\Sigma\to\Sigma)$ .

На множестве $\Sigma$ определяется структура индуктивного упорядоченного множества.

Область определенности состояния памяти $\sigma$ — это множество, обозначаемое $D(\sigma)$ , всех переменных $x$ , таких, что $\sigma(x)\ne \mathbb{O}$ .

Тогда положим для двух произвольных состояний $\sigma$ и $\rho$

$\sigma\leqslant~\rho~ \Leftrightarrow \bigl(D(\sigma)\subseteq D(\rho)\bigr)\And \bigl((\forall x\in D(\sigma))(\sigma(x)=\rho(x))\bigr).$

Очевидно, что отношение $\leqslant$ есть отношение порядка. Далее, множество $\Sigma$ имеет по отношению $\leqslant$ наименьший элемент, а именно такое состояние $\mathbb{O}$ , что $(\forall x\in I)(\mathbb{O}(x)= \mathbb{O})$ . Его называют всюду неопределенным состоянием памяти; ясно, что $D(\mathbb{O})=\varnothing$ . Кроме того, для любой неубывающей последовательности состояний памяти $\sigma_1\leqslant \sigma_2\leqslant \ldots\leqslant \sigma_n\leqslant\ldots$ состояние $\sigma_0$ , такое, что $\sigma_0(x)= \sigma_n(x)\Leftrightarrow x\in D(\sigma_n)$ , есть точная верхняя грань этой последовательности, причем $\textstyle{\mathop{D(\sigma_0)= \bigcup\limits_{n\geqslant1} D(\sigma_n)}\limits^{\phantom{A}^{{}^{.}}}}$ .

Таким образом, множество состояний памяти $\Sigma$ , снабженное отношением порядка $\leqslant$ , является индуктивным упорядоченным множеством.

С учетом результатов, полученных в 4.5 (см. теорему 4.11), отсюда следует, что и множество преобразователей состояний $(\Sigma\to\Sigma)$ есть индуктивное упорядоченное множество. В этом множестве отношение порядка $\leqslant$ определяется условием

$f\leqslant g\quad \Leftrightarrow\quad (\forall\sigma\in\Sigma)(f(\sigma)\leqslant g(\sigma)),$

наименьшим элементом является стирающий преобразователь $\bold{0}$ , такой, что $\bold{0}(\sigma)=\mathbb{O}$ для всякого $\sigma\in\Sigma$ , а точной верхней гранью неубывающей последовательности преобразователей состояний $f_1\leqslant f_2\leqslant \ldots\leqslant f_n\leqslant\ldots$ является преобразователь $f_0$ , определяемый следующим образом:

$(\forall\sigma\in\Sigma)(\forall x\in I)\bigl(f_0(\sigma)(x)= f_n(\sigma)(x)~ \Leftrightarrow~ x\in D(f_n(\sigma))\bigr)$ , причем $D(f_0(\sigma))= \bigcup\limits_{n\geqslant1} D(f_n(\sigma))$ .

Более того, оказывается, что композиция преобразователей состояний (как отображений) непрерывна в смысле сохранения точных верхних граней (см. 1.8), точнее, для любой неубывающей последовательности преобразователей состояний $f_1\leqslant f_2\leqslant \ldots\leqslant f_n\leqslant\ldots$ и произвольного преобразователя состояний $g$ имеем

$g\circ\sup f_n=\sup(g\circ f_n),\qquad \sup f_n\circ g=\sup(f_n\circ g).$

Докажем первое из этих равенств. Для произвольного $\sigma\in\Sigma$ имеем $g\circ\sup f_n(\sigma)=\sup f_n(g(\sigma))$ . Тогда для всякого $x\in D(g\circ f_n(\sigma))$ имеем

$g\circ\sup f_n(\sigma)(x)= \sup f_n(g(\sigma))(x)= f_n(g(\sigma))(x)= g\circ f_n(\sigma)(x),$

т.е. поскольку, как можно показать, композиция монотонна в смысле определения, данного ранее, то

$D(g\circ\sup f_n(\sigma))= \bigcup\limits_{n\geqslant1}D(g\circ f_n)(\sigma)$ и $g\circ\sup f_n=\sup(g\circ f_n)$ .

Имея в виду все рассмотренные выше свойства множества $(\Sigma\to\Sigma)$ , определим денотационную семантику языка MILAN.

Семантическая функция есть отображение $[\kern-0.15em[\,\circ\,]\kern-0.15em]$ множества фраз в множество $(\Sigma\to\Sigma)$ преобразователей состояний памяти.

1. Семантика оператора присваивания:

$[\kern-0.15em[x^=t]\kern-0.15em](\sigma)(y)=\begin{cases}\sigma(y),&\text{if}\quad y\ne x;\\ t^{\sigma},&\text{if}\quad y=x.\end{cases}$

где через $t^{\sigma}$ обозначено значение терма $t$ в состоянии $\sigma$ , равное $\mathbb{O}$ , если хотя бы для одного переменного, входящего в терм, его значение не определено, и равное значению терма при подстановке на место каждого его переменного $x$ его значения $\sigma(x)$ .

Суть записанного выше семантического правила очень проста: оператору присваивания $x:=t$ сопоставляется преобразователь состояний, меняющий состояние таким образом, что все переменные, кроме $x$ , сохраняют свои значения, а новое значение переменного $x$ есть значение правой части оператора присваивания (терма $t$ ) в состоянии $\sigma$ .

2. Семантика оператора условного перехода:

$\bigl[\kern-0.15em\bigl[\text{if}~ p(t_1,\ldots,t_n)~ \text{then}~ S_1~\text{else}~ S_2\bigr]\kern-0.15em\bigr]= \begin{cases}[\kern-0.15em[S_1]\kern-0.15em](\sigma),&\text{if}\quad p(t_1^{\sigma},\ldots, t_n^{\sigma})=1;\\ [\kern-0.15em[S_2]\kern-0.15em](\sigma),&\text{if}\quad p(t_1^{\sigma},\ldots, t_n^{\sigma})=0. \end{cases}$

Это правило написано в предположении, что значения всех термов в состоянии $\sigma$ определены. В противном случае оператору условного перехода сопоставляется стирающий преобразователь $\bold{0}$ . Подобное же соглашение принимается и далее в аналогичных ситуациях.

Семантика условного перехода без e/se-альтернативы записывается аналогично, но при условии ложности предиката $p$ в состоянии $\sigma$ берется тождественный преобразователь состояний $ID$ .

3. Семантика цикла:

$\bigl[\kern-0.15em\bigl[\text{while}~ p(t_1,\ldots,t_n)~ \text{do}~ S~ \text{end}\bigr]\kern-0.15em\bigr](\sigma)= \begin{cases}[\kern-0.15em[S]\kern-0.15em]\circ [\kern-0.15em[\text{while}~ p(t_1,\ldots,t_n)~ \text{do}~ S~ \text{end}]\kern-0.15em] (\sigma),&\text{if}\quad p(t_1^{\sigma},\ldots, t_n^{\sigma})=1;\\ ID(\sigma),&\text{if}\quad p(t_1^{\sigma},\ldots, t_n^{\sigma})=0. \end{cases}$

Таким образом, семантика цикла определяется как решение уравнения. Это определение корректно, так как правая часть уравнения есть непрерывное отображение множества $(\Sigma\to \Sigma)$ в себя (что следует из доказанной выше непрерывности композиции преобразователей состояний и очевидной непрерывности тождественного отображения).

4. Семантика последовательности операторов: $[\kern-0.15em[S_1;S_2]\kern-0.15em]= [\kern-0.15em[S_1]\kern-0.15em]\circ [\kern-0.15em[S_2]\kern-0.15em].$ .

Определенная таким образом формальная семантика языка MILAN становится базой для семантического анализа программ, т.е. для строгого математического доказательства утверждений о программах. Этот анализ, проводимый технологически после синтаксического анализа программы и получения ее дерева вывода, основан на результате, известном под названием принципа индукции по неподвижной точке. Приведем формулировку этого принципа без доказательства.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Список статей » Список форумов

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]