Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Решетки и полурешетки

Решетки и полурешетки


Напомним, что полурешеткой называют полугруппу, операция которой коммутативна и идемпотентна.


Таким образом, полурешетка — это алгебра [math]\mathcal{L}=(L,\lor)[/math], в которой для любых [math]a,b,c\in L[/math] выполнены равенства


[math]a\lor (b\lor c)=(a\lor b)\lor c,\qquad a\lor b=b\lor a,\qquad a\lor a=a.[/math]

В каждой полурешетке может быть определено естественное отношение порядка аналогично тому, как это определялось для (идемпотентного) полукольца. По определению полагаем для произвольных [math]a,b\in L[/math]


[math]a \leqslant b\quad \Leftrightarrow\quad a\lor b=b.[/math]
(3.32)

Из определения (3.32) отношения порядка в полурешетке следует, что элемент [math]a\lor b[/math] есть точная верхняя грань двухэлементного множества [math]\{a,b\}[/math]. Действительно,


[math]a\lor (a\lor b)= (a\lor a)\lor b=a\lor b[/math]

(в силу ассоциативности и идемпотентности операции [math]\lor[/math]). Аналогично [math]b\lor (a\lor b)=a\lor b[/math] (с использованием и коммутативности операции [math]\lor[/math]). Итак, [math]a\lor b[/math] есть верхняя грань множества [math]\{a,b\}[/math]. Полагая, что [math]c[/math] есть какая-то верхняя грань данного множества, вычислим [math](a\lor b)\lor c[/math]. Используя ассоциативность и то, что в силу [math]b\leqslant c[/math] выполняется равенство [math]b\lor c=c[/math], получим


[math](a\lor b)\lor c=a\lor (b\lor c)=a\lor c\,.[/math]

Но так как [math]a\leqslant c[/math], то [math]a\lor c=c[/math]. Итак, [math](a\lor b)\lor c=c[/math], то есть [math]a\lor b\leqslant c[/math], и поэтому элемент [math]a\lor b[/math] есть точная верхняя грань множества [math]\{a,b\}[/math].


Отношение порядка, определенное в произвольной полурешетке согласно условию (3.32), будем называть естественным порядком данной полурешетки.


Таким образом, в полурешетке любое двухэлементное (и, следовательно, любое конечное) подмножество имеет точную верхнюю грань (по естественному порядку полурешетки).


Можно доказать, что имеет место и обратное.




Теорема 3.10. Любое упорядоченное множество [math]\mathcal{L}=(L,\leqslant)[/math], в котором всякое двухэлементное подмножество имеет точную верхнюю грань, является полурешеткой, естественный порядок которой совпадает с отношением [math]\leqslant[/math].


Определим операцию [math]\lor[/math] так: [math]a\lor b=\sup\{a,b\}[/math]. Коммутативность и идемпотентность операции [math]\lor[/math] следует сразу из определения точной верхней грани множества. Действительно,


[math]a\lor a=\sup\{a,a\}=\sup\{a\}=a[/math]

и так как [math]\{a,b\}=\{b,a\}[/math], то [math]a\lor b=\sup\{a,b\}=\sup\{b,a\}=b\lor a[/math].


Докажем ассоциативность операции [math]\lor[/math]. Для этого нужно показать, что для произвольных [math]a,b\in L[/math] имеет место равенство


[math]\sup\bigl\{\sup\{a,b\},c\bigr\}= \sup\bigl\{a,\sup\{b,c\}\bigr\}.[/math]
(3.33)

Обозначим левую часть равенства (3.33) через [math]d_1[/math], а правую — через [math]d_2[/math]. Элемент [math]d_1[/math] является точной верхней гранью множества, элементы которого суть [math]\sup\{a,b\}[/math] и [math]c[/math]. Поэтому [math]d_1\geqslant \sup\{a,b\}[/math] и [math]d_1\geqslant c[/math]. Из первого неравенства следует, что [math]d_1\geqslant a[/math] и [math]d_1\geqslant b[/math]. Тогда, поскольку [math]d_1\geqslant b[/math] и [math]d_1\geqslant c[/math], то [math]d_1[/math] есть верхняя грань множества [math]\{b,c\}[/math], то есть [math]d_1\geqslant \sup\{b,c\}[/math]. Так как [math]d_1\geqslant a[/math], то [math]d_1\geqslant \sup\{a,\sup\{b,c\}\}=d_2[/math]. Аналогично доказывается, что [math]d_2\geqslant d_1[/math], то есть [math]d_1=d_2[/math], что и требовалось доказать.


Поскольку для любых элементов [math]a,b[/math] упорядоченного множества [math](L,\leqslant)[/math] согласно условию теоремы соотношение [math]a\leqslant b[/math] эквивалентно тому, что [math]\sup\{a,b\}=b[/math], то исходное отношение порядка [math]\leqslant[/math] совпадает с естественным порядком полурешетки [math](L,\sup)[/math].




Из принципа двойственности для упорядоченных множеств следует, что точная верхняя (нижняя) грань любого подмножества упорядоченного множества [math](L,\sup)[/math] является одновременно точной нижней (верхней) гранью этого подмножества в смысле двойственного порядка [math]\geqslant[/math]. Отсюда получаем утверждение, двойственное теореме 3.10.


Теорема 3.11. Любое упорядоченное множество [math]\mathcal{L}=(L,\sup)[/math], в котором всякое двухэлементное подмножество имеет точную нижнюю грань, является полурешеткой, причем естественный порядок этой полурешетки является порядком, двойственным к исходному порядку [math]\leqslant[/math].


Доказательство дословно повторяет доказательство теоремы 3.10, но операция [math]\land[/math] полурешетки определяется так:


[math]a\land b=\inf\{a,b\}.[/math]



Верхняя и нижняя полурешетки


Полурешетку [math](L,\sup)[/math], определенную теоремой 3.10, называют верхней полурешеткой, а полурешетку [math](L,\inf)[/math], определяемую теоремой 3.11, — нижней полурешеткой.


Замечание 3.3. Обратим внимание на то, что понятия "верхний" и "нижний" имеют смысл относительно фиксированного отношения порядка и при переходе к двойственному порядку "верх" превращается в "низ" и наоборот.


Пример 3.14. а. Отрезок [math][a,b][/math] числовой прямой (с естественным числовым порядком), согласно теоремам 3.10 и 3.11, является и верхней и нижней полурешеткой. Более того, поскольку на числовой прямой любое двухэлементное подмножество имеет как точную верхнюю, так и точную нижнюю грань, то любое подмножество множества действительных чисел [math]\mathbb{R}[/math] (в частности, само [math]\mathbb{R}[/math]) является и верхней и нижней полурешеткой.


б. Если на множестве точек плоскости (на которой задана некоторая декартова система координат и точка рассматривается как упорядоченная пара действительных чисел) определить отношение порядка так, что [math](x,y)\leqslant (u,v)[/math] тогда и только тогда, когда [math]x\leqslant u[/math] и [math]y\leqslant v[/math] (см. пример 1.17 и рис. 1.11), то множество точек любого прямоугольника [math][a,b]\times[c,d][/math] (с указанным отношением порядка), согласно теоремам 3.10 и 3.11, есть и верхняя и нижняя полурешетка (рис. 3.1). Если же мы "срежем" у этого прямоугольника углы и рассмотрим, например, множество точек многоугольника [math]ABCDEF[/math] на рис. 3.2, то это множество не будет ни верхней, ни нижней полурешеткой, так как, скажем, множество [math]\{A,F\}[/math] не имеет [math]\inf[/math], а множество [math]\{C,D\}[/math] не имеет sup. Если мы "срежем" только один угол, левый нижний или правый верхний, то получим верхнюю или нижнюю полурешетку соответственно.


Верхняя и нижняя полурешетка и множество точек многоугольника

Диаграмма Хассе множества, не являющегося ни верхней, ни нижней полурешеткой

в. На рис. 3.3 изображена диаграмма Хассе множества, не являющегося ни верхней, ни нижней полурешеткой. Действительно, множество [math]\{d,e\}[/math] не имеет точной верхней грани, хотя имеет точную нижнюю грань: [math]\inf\{d,e\}=c[/math]. Аналогично множество [math]\{a,b\}[/math] не имеет точной нижней грани, хотя имеет точную верхнюю грань: [math]\sup\{a,b\}=c[/math].




Нейтральный элемент полурешетки


Полурешетка, как полугруппа, может быть моноидом, т.е. может иметь нейтральный элемент. Нейтральный элемент верхней полурешетки [math](L,\lor)[/math] называют нулем полурешетки и обозначают 0, называя при этом саму полу решетку верхней полурешеткой с нулем. Двойственным образом нейтральный элемент нижней полурешетки [math](L,\land)[/math] называют единицей полурешетки, используя обозначение 1 и называя эту полурешетку нижней полурешеткой с единицей.


Для нуля полурешетки [math](L,\lor,\bold{0})[/math] имеем [math]a\lor \bold{0}=a[/math] для всякого [math]a\in L[/math], т.е. нуль полурешетки есть ее наименьший элемент. Двойственным образом единица полурешетки [math](L,\land,\bold{1})[/math] есть её наибольший элемент.


Пример 3.15. а. Прямоугольник [math][a,b]\times[c,d][/math] (см. пример 3.14.6 и рис. 3.1) — одновременно и нижняя полурешетка с единицей, которой служит точка [math](b,d)[/math], и верхняя полурешетка с нулем, которым является точка [math](a,c)[/math]. Прямоугольник со "срезанным" правым верхним углом — нижняя полурешетка, но без единицы полурешетки.


б. Отрезок [math][a,b]\subset\mathbb{R}[/math] (при любых его границах) есть одновременно и нижняя полурешетка с единицей, которой является число [math]b[/math], и верхняя полурешетка с нулем. Им служит число [math]a[/math].


Полуинтервалы [math](a,b][/math] и [math][a,b)[/math] суть соответственно нижняя полурешетка с единицей и верхняя полурешетка с нулем. Заметим, что одновременно первый полуинтервал есть верхняя полурешетка, не имеющая нуля, а второй полуинтервал — нижняя полурешетка без единицы.


Интервал [math](a,b)[/math] есть одновременно и нижняя и верхняя полурешетка, но ни та, ни другая не имеет нейтральных элементов.


в. Индуктивное упорядоченное множество в общем случае не является верхней полурешеткой с нулем, хотя и имеет наименьший элемент. Дело в том, что двухэлементное подмножество этого множества, состоящее из несравнимых элементов, может и не иметь точной верхней грани, поскольку точную верхнюю грань имеет в этом множестве любая неубывающая последовательность и, как можно показать, любая конечная или счетная цепь.


Индуктивное линейно упорядоченное множество является верхней полурешеткой с нулем. Обратное неверно. Так, множество всех неотрицательных вещественных чисел (с естественным числовым порядком) есть верхняя полурешетка с нулем, но ни одна возрастающая последовательность в этом множестве не имеет точной верхней грани.




Решётки: понятие, определение и примеры


Рассмотренные выше примеры показывают, что существуют упорядоченные множества, являющиеся нижней и верхней полурешетками одновременно. Если такая "связка" полурешеток имеет определенные дополнительные свойства, то она называется решеткой.


Определение 3.5. Решетка — это алгебра [math]\mathcal{L}=(L,\lor,\land)[/math] с двумя бинарными операциями, такая, что каждая из алгебр [math](L,\lor)[/math] и [math](L,\land)[/math] является полурешеткой и выполняются следующие тождества поглощения:


[math]a\lor (a\land b)=a,\qquad a\land (a\lor b)=a\,.[/math]

Операции решетки [math]\lor[/math] и [math]\land[/math] называют решеточным объединением и решеточным пересечением соответственно. Операции решетки называют также решеточными операциями.


Другими словами, решетка — это алгебра с двумя бинарными операциями, обозначаемыми [math]\lor[/math] и [math]\land[/math], такими, что выполняются тождества


[math]\begin{array}{ll}\mathsf{\scriptstyle{1)}}\quad a\lor (b\lor c)=(a\lor b)\lor c;&\qquad \mathsf{\scriptstyle{5)}}\quad a\lor a=a;\\[2pt] \mathsf{\scriptstyle{2)}}\quad a\land (b\land c)=(a\land b)\land c;&\qquad \mathsf{\scriptstyle{6)}}\quad a\land a=a;\\[2pt] \mathsf{\scriptstyle{3)}}\quad a\lor b=b\lor a;&\qquad \mathsf{\scriptstyle{7)}}\quad a\lor (a\land b)=a;\\[2pt] \mathsf{\scriptstyle{4)}}\quad a\land b=b\land a;&\qquad \mathsf{\scriptstyle{8)}}\quad a\land (a\lor b)=a. \end{array}[/math]


Из определения решетки следует, что всякое симметричное полукольцо и, значит, любая булева алгебра являются решетками, т.е. сложение и умножение симметричного полукольца, равно как и булево объединение и булево пересечение, есть примеры решеточных операций. Тогда и булева алгебра [math]\mathcal{S}_A[/math] всех подмножеств некоторого множества [math]A[/math], и полукольцо [math]\mathcal{D}_n[/math] всех делителей натурального числа [math]n[/math] — примеры решеток.


Приведем пример решетки, не являющейся полукольцом.


Пример 3.16. Алгебра [math]\bigl((a,b),\max,\min\bigr)[/math], носитель которой — открытый интервал на числовой прямой, а операции — взятие наибольшего и наименьшего из двух чисел (относительно естественного числового порядка), есть решетка. Однако отсутствие нейтральных элементов по данным операциям не позволяет считать данную алгебру полукольцом.


Заметим, что решеточные операции в общем случае и не дистрибутивны (хотя в только что рассмотренном примере 3.16 дистрибутивность каждой операции относительно другой имеет место). Конкретные примеры недистрибутивных решеток будут приведены ниже.


Выясним теперь связь между понятием решетки и понятием упорядоченного множества. Каждая решетка, как следует из определения, есть "связка" двух полурешеток, но априори совсем не очевидно, что естественные порядки этих полурешеток суть взаимно двойственные порядки, т.е. для любых [math]a,b\in L[/math] неравенство [math]a\leqslant b[/math], равносильное равенству [math]a\lor b=b[/math], имеет место если и только если [math]a\land b=a[/math]. Такую связь между решеточными операциями устанавливает следующая теорема.




Теорема 3.12. В любой решетке [math]\mathcal{L}=(L,\lor,\land)[/math] естественный порядок [math]\leqslant[/math] полурешетки [math](L,\lor)[/math] есть порядок, двойственный к естественному порядку полурешетки [math](L,\land)[/math], т.е. для любых [math]a,b\in L[/math] имеет место равенство


[math]a\lor b=b \Leftrightarrow a\land b=a[/math], то есть [math]a\lor b=\sup\{a,b\}[/math] и [math]a\land b=\inf\{a,b\}[/math].

Согласно определению естественного порядка полурешетки, для любых [math]a,b\in L[/math] выполняется условие [math]a\leqslant b\Leftrightarrow a\lor b=b[/math]. Мы должны доказать, что двойственный порядок [math]\geqslant[/math] совпадает с естественным порядком полурешетки [math](L,\land)[/math], т.е. нужно доказать, что [math]a\geqslant b\Leftrightarrow a\land b=b[/math] или, что равносильно, [math]a\leqslant b\Leftrightarrow a\land b=a[/math]. Для этого достаточно показать, что [math]a\lor b=b \Leftrightarrow a\land b=a[/math].


Имеем: если [math]a\lor b=b[/math], то [math]a\land b=a\lor (a\lor b)[/math]. Согласно второму тождеству поглощения, [math]a\land (a\lor b)=a[/math], и поэтому [math]a\land b=a[/math]; если же [math]a\land b=a[/math], то с учетом первого тождества поглощения будем иметь


[math]a\lor b=(a\land b)\lor b=b.[/math]

Итак, естественные порядки полурешеток [math](L,\land)[/math] и [math](L,\lor)[/math] взаимно двойственные. Так как в силу теоремы 3.10 [math]\sup\{a,b\}=a\lor b[/math] для любых [math]a,b\in L[/math], то, согласно принципу двойственности, [math]\inf\{a,b\}=a\land b[/math].




Обратим внимание на использование тождеств поглощения при доказательстве теоремы 3.12. Именно они делают естественные порядки полурешеток [math](L,\land)[/math] и [math](L,\lor)[/math] взаимно двойственными.


Таким образом, любая решетка [math]\mathcal{L}=(L,\lor,\land)[/math] есть в то же время упорядоченное множество [math](L,\leqslant)[/math], где отношение порядка [math]\leqslant[/math] совпадает с естественным порядком полурешетки [math](L,\lor)[/math], которая тогда будет верхней полурешеткой. Полурешетка же [math](L,\land)[/math] оказывается (относительно этого же отношения порядка) нижней полурешеткой. Первую полурешетку поэтому часто называют верхней полурешеткой решетки [math]\mathcal{L}[/math], а вторую полурешетку — нижней полурешеткой той же самой решетки. Само же отношение порядка [math]\leqslant[/math] называют естественным порядком решетки [math]\mathcal{L}[/math].


Можно доказать утверждение, обратное к теореме 3.12.


Теорема 3.13. Любое упорядоченное множество [math]\mathcal{L}=(L,\leqslant)[/math], в котором всякое двухэлементное подмножество имеет точную верхнюю и точную нижнюю грани, т.е. для любых [math]a,b\in L[/math] существуют [math]\sup\{a,b\}[/math] и [math]\inf\{a,b\}[/math], является решеткой в смысле определения 3.5, в которой решеточные операции определяются так:


[math]a\lor b=\sup\{a,b\},\qquad a\land b=\inf\{a,b\}.[/math]

При этом естественный порядок решетки [math](L,\sup,\inf)[/math] совпадает с исходным порядком [math]\leqslant[/math].


То, что каждая из алгебр [math](L,\sup)[/math] и [math](L,\inf)[/math] является полурешеткой, равно как и то, что естественный порядок первой полурешетки совпадает с исходным порядком [math]\leqslant[/math], а естественный порядок второй полурешетки двойствен к порядку [math]\leqslant[/math], следует из теорем 3.10 и 3.11. Остается доказать тождества поглощения. Достаточно доказать одно из них, так как второе будет выполняться в силу принципа двойственности (для упорядоченных множеств).


Итак, докажем, что для любых [math]a,b\in L[/math] выполняется равенство


[math]\inf\bigl\{a,\sup\{a,b\}\bigr\}=a\,.[/math]
(3.34)

Равенство (3.34) следует из того, что для любых элементов [math]c,d\in L[/math] из того, что [math]c\leqslant d[/math], следует, что [math]c=\inf\{c,d\}[/math]. Тогда в силу неравенства [math]a\leqslant\sup\{a,b\}[/math] имеем (3.34).


Важность последнего результата состоит в том, что полурешетку можно задавать как упорядоченное множество с точными верхними и точными нижними гранями для любой пары элементов. Иными словами, для того чтобы убедиться, что перед нами решетка, достаточно проверить это свойство.




Пример 3.17. а. Рассмотренный в примере 3.14.6 прямоугольник [math][a,b]\times [c,d][/math] есть решетка (см. рис. 3.1), но если мы "срежем" у этого прямоугольника углы и рассмотрим, например, множество точек многоугольника [math]ABCDEF[/math] на рис. 3.2, то это множество уже не будет решеткой, так как, скажем, множество [math]\{A,F\}[/math] не имеет [math]\inf[/math], а множество [math]\{C,D\}[/math] не имеет [math]\sup[/math].


Декартов квадрат множества целых чисел

б. Не является решеткой и конечное упорядоченное множество, диаграмма Хассе которого изображена на рис. 3.3. Здесь [math]\sup\{a,b\}=c[/math], но [math]\inf\{a,b\}[/math] не существует. Аналогично [math]\inf\{d,e\}=c[/math], но [math]\sup\{d,e\}[/math] не существует.


в. Декартов квадрат множества целых чисел [math]\mathbb{Z}^2[/math] — решетка, где упорядоченные пары целых чисел упорядочиваются аналогично точкам плоскости (см. пример 3.17.а). Относительно этого же отношения порядка решеткой будет и любой "целочисленный прямоугольник" [math][a\ldots b]\times [c\ldots d][/math], где [math][m\times n][/math] обозначает множество всех целых чисел [math]p[/math], таких, что [math]m\leqslant p\leqslant n[/math]. Этот "прямоугольник" и графически выглядит как "решетка", что видно на рис. 3.4, на котором изображено множество [math][1\ldots5]\times[1\ldots4][/math].




Наименьший и наибольший элементы решётки


Если верхняя полурешетка решетки [math]\mathcal{L}=(L,\lor,\land)[/math] есть полурешетка с нулем, то этот нуль является наименьшим элементом решетки [math]\mathcal{L}[/math]. Тогда ее называют решеткой с нулем, а нуль полурешетки [math](L,\lor)[/math] — нулем решетки [math]\mathcal{L}[/math]. Двойственным образом единица нижней полурешетки [math](L,\land)[/math], если она существует, является наибольшим элементом решетки [math]\mathcal{L}[/math]. Эту единицу тогда называют единицей решетки [math]\mathcal{L}[/math], а саму решетку — решеткой с единицей.


Таким образом, решетка с нулем имеет нейтральный элемент по операции решеточного объединения (и ее верхняя полурешетка превращается в моноид), а решетка с единицей имеет нейтральный элемент по операции решеточного пересечения (и моноидом становится уже ее нижняя полурешетка). Кроме того, из теоремы 3.12 следует, что [math]a\land\bold{0}=\bold{0}[/math] для любого [math]a\in L[/math] (соответственно [math]a\lor\bold{1}=\bold{1}[/math] для любого [math]a\in L[/math]), т.е. выполняются аналоги аннулирующих свойств в симметричных полукольцах. Симметричное полукольцо является примером решетки с нулем и единицей.


Пример 3.18. На рис. 3.1 прямоугольник [math][a,b]\times [c,d][/math] является решеткой с нулем и единицей, причем [math]\bold{0}=(a,c),~ \bold{1}=(b,d)[/math].


Рассмотрим теперь вместо отрезка [math][a,b][/math] промежуток [math]A=\{x\colon\, x\leqslant b\}[/math] ([math]\leqslant[/math] означает здесь естественный числовой порядок). Тогда множество [math]A\times[c,d][/math] при сохранении того же отношения порядка на [math]\mathbb{R}^2[/math], что и в примере 3.17, будет решеткой с единицей, равной [math](b,d)[/math]. Нуля у этой решетки не будет (если рассматривать, конечно, нерасширенную числовую прямую, точнее, не включать в нее [math]-\infty[/math]). Если же вместо отрезка [math][a,b][/math] взять также неограниченный промежуток [math]B=\{x\colon\, x\geqslant a\}[/math], то [math]B\times[c,d][/math] будет решеткой с нулем, равным [math](a,c)[/math]. Если опять-таки считать, что элемент [math]+\infty[/math] не принадлежит [math]\mathbb{R}[/math], то эта решетка не будет иметь единицу.




В общем случае в решетке не имеет места дистрибутивность одной из операций относительно другой. На рис. 3.5 и 3.6 приведены диаграммы Хассе решеток, называемых соответственно Пентагоном и диамантом. В каждой из них ни одна из операций не является дистрибутивной относительно другой. Так, например, в первой из них


[math]a\land (b\lor c)=a\land \bold{1}=a[/math], но [math](a\land b)\lor (a\land c)=b\lor \bold{0}=b[/math].

Для второй решетки [math]a\land (b\lor c)=a\land \bold{1}=a[/math], тогда как [math](a\land b)\lor (a\land c)=\bold{0}\lor \bold{0}=\bold{0}[/math].


Диаграммы Хассе решеток - пентагон и диамант

Определение 3.6. Решетку [math]\mathcal{L}=(L,\lor,\land))[/math] называют дистрибутивной, если для любых [math]a,b,c\in L[/math] имеют место равенства


[math]a\lor (b\land c)= (a\lor b)\land (a\lor c),\qquad a\land (b\lor c)= (a\land b)\lor (a\land c).[/math]

Теперь мы можем дать в терминах решеток характеристику симметричных полуколец и булевых алгебр.


Теорема 3.14. Симметричное полукольцо — это дистрибутивная решетка с нулем и единицей.


Булева алгебра — это дистрибутивная решетка с нулем и единицей, в которой для каждого элемента х существует дополнение, т.е. такой элемент [math]\overline{x}[/math], что [math]x\lor \overline{x}=\bold{1}[/math] и [math]x\land\overline{x}=\bold{0}[/math].


Доказательство теоремы 3.14 мы не приводим, так как оно является непосредственным следствием определении 3.3, 3.4 и 3.6.


Теория решеток находит многочисленные применения в теории графов и теоретическом программировании. В специальной литературе на базе теории решеток развиты стройная концепция типов данных в языках программирования и теория типов данных, хорошо изложены общая теория решеток и ее приложения к теории графов.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved