Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Решение систем уравнений с помощью полуобратных матриц
ОглавлениеЛинейная алгебра

Решение систем уравнений с помощью полуобратных матриц


Получим решение системы линейных уравнений при помощи полуобратной матрицы.


Требуется решить неоднородную систему линейных уравнений

[math]Ax=b,[/math]
(5.17)

где [math]A[/math] — произвольная матрица размеров [math]m\times n[/math]. Если матрица системы нулевая [math](A=O)[/math], то система либо несовместна (при [math]b\ne o[/math]), либо имеет бесконечное множество решений (при [math]b=o[/math] любой подходящий по размерам столбец [math]x[/math] является решением). Далее рассматриваем случай ненулевой матрицы [math]A[/math].


Пусть [math]A^{\neg1}[/math] — матрица, полуобратная к матрице системы. Используя определение (4.12) полуобратной матрицы, запишем (5.17) в виде


[math]A\cdot A^{\neg1}\cdot A\cdot x=b[/math]
(5.18)

Если [math]x[/math] — решение системы (5.17), то подставляя [math]Ax=b[/math] в левую часть (5.18), приходим к равенству


[math]A\cdot A^{\neg1}\cdot b=b.[/math]
(5.19)

Преобразуем (5.19) следующим образом:


[math]\begin{pmatrix}E_m-A\cdot A^{\neg1}\end{pmatrix}\!\cdot b=o.[/math]
(5.20)

Следовательно, условие (5.20) — необходимое для совместности системы уравнений (5.17). Из равенств (5.17), (5.19) также следует, что столбец


[math]x=A^{\neg1}\cdot b[/math]
(5.21)

является решением системы (5.17). Значит, условие (5.20) — это необходимое и достаточное условие совместности системы (5.17).

Поскольку полуобратная матрица определена неоднозначно (см. п.3 замечаний 4.5), то формула (5.21) фактически задает множество решений системы (5.17). Преобразуем (5.21) так, чтобы была видна структура этого множества, в частности, выясним количество независимых параметров, входящих в (5.15).


Возьмем фиксированную полуобратную матрицу (4.16):


[math]A_0^{\neg1}= T\cdot \Lambda^T\cdot S=T\cdot\! \begin{pmatrix}E_r\!\!&\vline\!\!&O\\\hline O\!\!&\vline\!\!&O\end{pmatrix}\!\cdot S,[/math]
(5.22)

где [math]T,\,S[/math] — элементарные матрицы порядков [math]n[/math] и [math]m[/math] соответственно, [math]\Lambda[/math] -матрица простейшего вида, эквивалентная матрице [math]A[/math] ([math]\Lambda=SAT[/math] и [math]A=S^{-1}\Lambda T^{-1}[/math]), [math]r=\operatorname{rg}A[/math].


Преобразуем матрицу [math]E_m-AA^{\neg1}[/math] в левой части (5.20), подставив выражение (5.22) и [math]A=S^{-1}\Lambda T^{-1}:[/math]


[math]E_m-AA^{\neg1}= E_m-S^{-1}\Lambda\underbrace{T^{-1}\cdot T}_{E_m} \Lambda^TS= S^{-1}\cdot\! \begin{pmatrix}E_m-\begin{pmatrix}E_r\!\!&\vline\!\!&O\\\hline O\!\!&\vline\!\!&O \end{pmatrix}\end{pmatrix}\!\cdot S=S^{-1}\cdot\! \begin{pmatrix} O\!\!&\vline\!\!&O\\\hline O\!\!&\vline\!\!&E_{m-r}\end{pmatrix}\!\cdot S.[/math]

Образуем матрицу [math]\Psi[/math] размеров [math](m-r)\times m[/math] из последних [math](m-r)[/math] строк матрицы [math]S:[/math]


[math]\Psi= \begin{pmatrix}O\mid E_{m-r}\end{pmatrix}\!\cdot S.[/math]
(5.23)

При помощи этой матрицы равенство (5.20) принимает вид [math]S^{-1}\Psi b=o[/math]. Умножая обе его части слева на невырожденную матрицу [math]S[/math], получаем


[math]\Psi b=o,[/math]
(5.24)

Условие (5.24) необходимо и достаточно для совместности системы (5.17). Система (5.24) содержит [math](m-r[/math] числовых равенств. При [math]r=m[/math] матрица [math]\Psi[/math] нулевая и система (5.17) совместна.


Используя полуобратную матрицу (5.22), по формуле (5.21) получаем частное решение неоднородной системы


[math]x^H=A_{0}^{\neg1}\cdot b=T\cdot\! \begin{pmatrix}E_r\!\!&\vline\!\!&O\\\hline O\!\!&\vline\!\!&O \end{pmatrix}\!\cdot S\cdot b.[/math]

Найдем теперь общее решение однородной системы. Составим матрицу [math]\Phi[/math] размера [math]n\times(n-r)[/math] из последних [math](n-r)[/math] столбцов матрицы [math]T:[/math]


[math]\Phi=T\cdot\! \begin{pmatrix}\dfrac{O}{E_{n-r}}\end{pmatrix}\!.[/math]
(5.25)

Заметим, что эти столбцы линейно независимы, так как матрица [math]T[/math] невырожденная [math](\operatorname{rg}T=n)[/math]. Кроме того, они являются решениями однородной системы, так как справедливо:


[math]A\cdot\Phi= S^{-1}\cdot\Lambda\cdot T^{-1}\cdot T\cdot\! \begin{pmatrix}\dfrac{O}{E_{n-r}}\end{pmatrix}= S^{-1}\cdot\! \begin{pmatrix} E_r\!\!&\vline\!\!&O\\\hline O\!\!&\vline\!\!&O \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}\dfrac{O}{E_{n-r}}\end{pmatrix}=O.[/math]

Следовательно, матрица [math]\Phi=\begin{pmatrix} \varphi_1& \cdots&\varphi_{n-r}\end{pmatrix}[/math] — фундаментальная, ее столбцы образуют фундаментальную систему решений однородной системы. По теореме 5.4 общее решение системы (5.17) можно представить в виде


[math]x=x^H+x^O= A_{0}^{\neg1}b+\Phi\cdot c= T\cdot\! \begin{pmatrix} E_r\!\!&\vline\!\!&O\\\hline O\!\!&\vline\!\!&O \end{pmatrix}\!\cdot S\cdot b+T\cdot\! \begin{pmatrix}\dfrac{O}{E_{n-r}}\end{pmatrix}\!\cdot c,[/math]
(5.26)

где [math]c=\begin{pmatrix}C_1&\cdots&C_{n-r}\end{pmatrix}^T[/math] — столбец произвольных постоянных.


Таким образом, справедливы следующие утверждения.


Теорема 5.5 о совместности неоднородной системы и о структуре ее общего решения. Неоднородная система (5.17) совместна тогда и только тогда, когда столбец свободных членов является решением однородной системы (5.24). Если система (5.17) совместна, то ее общее решение имеет вид (5.26).




Алгоритм применения полуобратной матрицы


Нахождение решения системы (5.17) в виде (5.26) сводится к следующим действиям (рассматривается случай, когда матрица системы ненулевая).


1. Привести матрицу [math]A[/math] системы (5.17) к простейшему виду: [math]\Lambda=SAT[/math]. При этом находятся элементарные преобразующие матрицы [math]S[/math] и [math]T[/math], а также ранг [math]r=\operatorname{rg}A \geqslant1[/math].


2. Проверить условие (5.24) совместности системы. При [math]r=m[/math] система совместна. Если [math]r<m[/math], то составить матрицу [math]\Psi=\begin{pmatrix}O\mid E_{m-r}\end{pmatrix}\!\cdot S[/math] и проверить условие [math]\Psi b=o[/math]. Если условие выполняется, то система совместна. В противном случае система несовместна и процесс решения заканчивается.


3. Найти частное решение неоднородной системы по формуле


[math]x^H=A_0^{\neg1}\cdot b=T\cdot\! \begin{pmatrix} E_r\!\!&\vline\!\!&O\\\hline O\!\!&\vline\!\!&O \end{pmatrix}\!\cdot S\cdot b.[/math]

4. Составить фундаментальную матрицу [math]\Phi=T\cdot\! \begin{pmatrix}\dfrac{O}{E_{n-r}}\end{pmatrix}[/math].


5. Записать общее решение системы (5.17) в виде (5.26)


[math]x=x^H+\Phi\cdot c[/math], где [math]c=\begin{pmatrix}C_1&\cdots&C_{n-r}\end{pmatrix}^{T}[/math] — столбец произвольных постоянных.

Замечания 5.5


1. Формула (5.25) определяет третий способ нахождения фундаментальной матрицы.


2. Положив [math]x^H=o[/math] в формуле (5.26), получаем структуру общего решения однородной системы


[math]x=\Phi\cdot c=T\cdot\! \begin{pmatrix}\dfrac{O}{E_{n-r}}\end{pmatrix}\!\cdot c[/math], где [math]c=\begin{pmatrix}C_1&\cdots&C_{n-r}\end{pmatrix}^{T}[/math] — столбец произвольных постоянных.

3. Теорема 5.5 равносильна альтернативе Фредгольма.




Пример 5.6. Решить систему уравнений с помощью полуобратной матрицы


[math]\begin{cases}x_1+ x_2+2x_3+x_4=1,\\2x_1+3x_2+x_4=0,\\ 3x_1+4x_2+2x_3+2x_4=1,\end{cases}[/math] представив ее решения в виде (5.26).

Решение. 1. К матрице [math]A[/math] системы приписываем справа и снизу единичные матрицы порядков [math]m=3[/math] и [math]n=4[/math] соответственно:


[math]\begin{pmatrix}A\!\!&\vline\!\!&E_3\\\hline E_4\!\!&\vline\!\!&{}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&1&2&1\!\!&\vline\!\!&1&0&0\\ 2&3&0&1\!\!&\vline\!\!&0&1&0\\ 3&4&2&2\!\!&\vline\!\!&0&0&1\\\hline 1&0&0&0\!\!&\vline\!\!&{}&{}&{}\\ 0&1&0&0\!\!&\vline\!\!&{}&{}&{}\\ 0&0&1&0\!\!&\vline\!\!&{}&{}&{}\\ 0&0&0&1\!\!&\vline\!\!&{}&{}&{} \end{pmatrix}\!.[/math]

Элементарными преобразованиями приводим матрицу [math]A[/math] к простейшему виду. Взяв ведущий элемент [math]a_{11}=1[/math], делаем равными нулю остальные элементы в первой строке и в первом столбце блока [math]A:[/math]


[math]\begin{pmatrix}A\!\!&\vline\!\!&E_3\\\hline E_4\!\!&\vline\!\!&{}\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&1&2&1\!\!&\vline\!\!&1&0&0\\ 0&1&-4&-1\!\!&\vline\!\!&-2&1&0\\ 0&1&-4&-1\!\!&\vline\!\!&-3&0&1\\\hline 1&0&0&0\!\!&\vline\!\!&{}&{}&{}\\ 0&1&0&0\!\!& \vline\!\!&{}& {}&{}\\ 0&0&1&0\!\!&\vline\!\!&{}&{}&{}\\ 0&0&0&1\!\!&\vline\!\!&{}&{}&{} \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&0&0&0\!\!& \vline\!\!&1&0&0\\ 0&1&-4&-1\!\!&\vline\!\!&-2&1&0\\ 0&1&-4&-1\!\!&\vline\!\!&-3&0&1\\\hline 1&-1&-2&-1\!\!&\vline\!\!&{}&{}&{}\\ 0&1&0&0\!\!&\vline\!\!& {}&{}&{}\\ 0&0&1&0\!\!&\vline\!\!&{}&{}&{}\\ 0&0&0&1\!\!&\vline\!\!&{}&{}&{} \end{pmatrix}\!.[/math]

Взяв в полученной матрице ведущий элемент [math]a_{22}=1[/math], делаем равными нулю остальные элементы во второй строке и во втором столбце блока [math]A:[/math]


[math]\begin{pmatrix}A\!\!&\vline\!\!&E_3\\\hline E_4\!\!&\vline\!\!&{}\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&0&0&0\!\!& \vline\!\!&1&0&0\\ 0&1&-4&-1\!\!&\vline\!\!&-2&1&0\\ 0&1&-4&-1\!\!&\vline\!\!&-3&0&1\\\hline 1&-1&-2&-1\!\!&\vline\!\!&{}&{}&{}\\ 0&1&0&0\!\!&\vline\!\!& {}&{}&{}\\ 0&0&1&0\!\!&\vline\!\!&{}&{}&{}\\ 0&0&0&1\!\!&\vline\!\!&{}&{}&{} \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&0&0&0\!\!&\vline\!\!&1&0&0\\ 0&1&0&0\!\!&\vline\!\!&-2&1&0\\ 0&0&0&0\!\!&\vline\!\!&-1&-1&1\\\hline 1&-1&-6&-2\!\!&\vline\!\!&{}&{}&{}\\ 0&1&4&1\!\!& \vline\!\!&{}& {}&{}\\ 0&0&1&0\!\!&\vline\!\!&{}&{}&{}\\ 0&0&0&1\!\!&\vline\!\!&{}&{}&{} \end{pmatrix}\!.[/math]

Простейший вид матрицы [math]A[/math] получен, следовательно,


[math]\Lambda=SAT=\begin{pmatrix}1&0\!\!&\vline\!\!&0&0\\ 0&1\!\!&\vline\!\!&0&0\\\hline 0&0\!\!&\vline\!\!&0&0\end{pmatrix}\!,\quad S=\begin{pmatrix}1&0&0\\-2&1&0\\-1&-1&1\end{pmatrix}\!,\quad T=\begin{pmatrix}1&-1&-6&-2\\ 0&1&4&1\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix}\!,\quad r=2.[/math]

2. Проверяем условие совместности (5.24). Так как [math]r=2<3=m[/math] , то составляем матрицу [math]\Psi=\begin{pmatrix}O\mid E_{m-r}\end{pmatrix}\!\cdot S[/math], выделяя последнюю строку матрицы [math]S:[/math]


[math]\Psi=\begin{pmatrix}0&0\mid 1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&0&0\\-2&1&0\\ -1&-1&1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-1&-1&1\end{pmatrix}\!.[/math]

Записываем условие [math]\Psi b=o\colon\, \begin{pmatrix}-1&-1&1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}=0[/math]. Условие выполняется, значит, система совместна.


3. Находим частное решение неоднородной системы


[math]\begin{aligned}x^H&=T\cdot\! \begin{pmatrix}E_r\!\!&\vline\!\!&O\\\hline O\!\!&\vline\!\!& O\end{pmatrix}\!\cdot S\cdot b= \begin{pmatrix}1&-1&-6&-2\\0&1&4&1\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&0\!\!&\vline\!\!&0\\ 0&1\!\!&\vline\!\!&0\\\hline 0&0\!\!& \vline\!\!&0\\ 0&0\!\!&\vline\!\!&0\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&0&0\\-2&1&0\\-1&-1&1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}=\\[2pt] &=\begin{pmatrix}1&-1&0\\0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&0&0\\-2&1&0\\-1&-1&1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&-1&0\\0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1\\-2\\0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}3\\-2\\0\\0\end{pmatrix}\!.\end{aligned}[/math]

4. Записываем фундаментальную матрицу [math]\Phi=T\cdot\! \begin{pmatrix}\dfrac{O}{E_{n-r}}\end{pmatrix}[/math], составляя ее из последних [math]n-r=4-2=2[/math] столбцов матрицы [math]T[/math]


[math]\Phi=T\cdot\! \begin{pmatrix}\dfrac{O}{E_{n-r}}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&-1&-6&-2\\0&1&4&1\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}0&0\\0&0\\\hline 1&0\\0&1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -6&-2\\4&1\\1&0\\0&1\end{pmatrix}\!.[/math]

Столбцы этой матрицы образуют фундаментальную систему решений однородной системы.


5. Записываем общее решение системы в виде (5.26)


[math]x=x^H+\Phi\cdot c= \begin{pmatrix}3\\-2\\0\\0\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}-6&-2\\4&1\\1&0\\0&1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}C_1\\C_2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}3\\-2\\0\\0\end{pmatrix}+ C_1\cdot\! \begin{pmatrix}-6\\4\\1\\0\end{pmatrix}+ C_2\cdot\! \begin{pmatrix}-2\\1\\0\\1\end{pmatrix}\!.[/math]

Результат совпадает с решением примера 5.5.




Пример 5.7. Проверить совместность системы уравнений с помощью полуобратной матрицы


[math]\begin{cases}x_1+x_2+2x_3+x_4=1,\\2x_1+3x_2+x_4=0,\\3x_1+4x_2+2x_3+2x_4=2,\end{cases}[/math] используя условие (5.24).

Решение. Данная система отличается от решаемой в примере 5.6 свободным членом третьего уравнения. При решении примера 5.6 были получены матрица


[math]S=\begin{pmatrix}1&0&0\\-2&1&0\\-1&-1&1\end{pmatrix}[/math]

и ранг [math]r=2[/math] матрицы системы. Так как [math]m-r=3-2=1[/math], то в матрицу [math]\Psi[/math] следует включить только одну последнюю строку матрицы [math]S[/math], т.е. [math]\Psi=\begin{pmatrix}-1&-1&1\end{pmatrix}[/math]. Вычислим левую часть (5.24):


[math]\Psi\cdot b=\begin{pmatrix}-1&-1&1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1\\0\\1 \end{pmatrix}=1.[/math]

Следовательно, условие [math]\Psi b=o[/math] не выполняется, т.е. система несовместна. Тот же вывод получен в примере 5.2 по теореме 5.2 Кронекера-Капелли.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved