Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]

Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка
Онлайн-сервисы Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики Онлайн число, сумма и дата прописью Алгоритмы JavaScript Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки Уникальные элементы массива Объединение, пересечение и разность массивов НОД и НОК Операции над матрицами Дата прописью Введение в анализ Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика Теория множеств Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия Математическая логика Алгебра высказываний Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции Булевы функции Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций Теория формального Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний Логика предикатов Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов Неформальные и формаль- ные аксиоматические теории Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории Теория алгоритмов Интуитивное представление об алгоритмах Машины Тьюринга и тезис Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики Математическая логика и компьютеры Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект Дискретная математика Множества и отношения Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций Группы и кольца Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов Полукольца и булевы алгебры Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки Алгебраические системы Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры Теория графов Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов Булева алгебра и функции Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов Конечные автоматы и регулярные языки Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга Контекстно-свободные языки Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов Интегральное исчисление Неопределённый и определённый Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции Приложения интегралов Вычисление площадей плоских фигур Площади фигур в различных координатах Вычисление объемов тел с помощью интегралов Объём тела вращения Вычисление длин дуг кривых Формулы длины дуги регулярной кривой Кривизна плоской кривой Площадь поверхности вращения тела Интегралы в физике Статические моменты и координаты центра тяжести Теоремы Гульдина–Паппа Вычисление моментов инерции Другие приложения интегралов в физике Основные интегралы Интеграл Ньютона-Лейбница Интеграл Римана Интеграл Лебега Вариационное исчисление Примеры вариационных задач Дифференциальное уравнение Эйлера Функционалы, зависящие от нескольких функций Задача о минимуме кратного интеграла Финансовый анализ Анализ эффективности Критерии и показатели эффективности предприятия Методы анализа эффективности деятельности Факторный анализ прибыли от операционной деятельности Анализ безубыточности предприятия Операционный рычаг и эффект финансового рычага Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала Анализ распределения прибыли предприятия Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности Анализ устойчивости Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность Характеристика типов финансовой устойчивости Рыночная активность Финансовый анализ рыночной активности Методика анализа рыночной активности Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию Инвестиционная деятельность Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование Анализ инвестиций Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия Задачи финансового анализа инвестиций предприятия Учет фактора времени в инвестиционной деятельности Аннуитет и финансовая рента в инвестициях Учет фактора инфляции при инвестировании Оценка фактора риска инвестиционного проекта Методы оценки эффективности инвестиций Показатели эффективности инвестиционного проекта Стоимость компании Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций Форвардные контракты Форвардный контракт и цена Форвардная цена акции на бирже Цена форвардного контракта инвестора Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда Форвардная цена валюты на рынке форекс Форвардный валютный курс и инфляция на рынке Форвардная цена товара и спотовый рынок Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам Синтетический форвардный контракт на акции и валюту Теория вероятностей Основные понятия теории вероятностей Зависимые и независимые случайные события Повторные независимые испытания Формула Бернулли Одномерные случайные величины Многомерные случайные величины Функции случайных величин Законы распределения целочисленных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и предельные теоремы Вероятностные закономерности Математическая статистика Элементы математической статистики Выборочный метод Оценки параметров генеральной совокупности Статистические гипотезы Критерии согласия Теоретические и эмпирические частоты Теория очередей (СМО) Определение системы массового обслуживания Уравнения Колмогорова Предельные вероятности состояний Определение СМО с отказами Определение СМО с ожиданием (очередью) Аналитическая геометрия Векторная алгебра Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике Системы координат Прямоугольные координаты Преобразования прямоугольных координат Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферические координаты Аффинные координаты Аффинные преобразования координат Аффинные преобразования плоскости Примеры аффинных преобразований плоскости Аффинные преобразования пространства Многомерное координатное пространство Линейные и аффинные подпространства Скалярное произведение n-мерных векторов Преобразования систем координат Геометрия на плоскости Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными Линии 2-го порядка Канонические уравнения линий второго порядка Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду Эллипс Гипербола Парабола Квадратичные неравенства с двумя неизвестными Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций Инварианты линий Классификация линий 2-го порядка по инвариантам Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам Геометрия в пространстве Способы задания ГМТ в пространстве Алгебраические уравнения поверхностей Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам Уравнения плоскости, проходящей через три точки Взаимное расположение плоскостей Типовые задачи с плоскостями Уравнения прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Типовые задачи с прямыми в пространстве Поверхности 2-го порядка Канонические уравнения поверхностей Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду Поверхности второго порядка Эллипсоиды Гиперболоиды Конусы Параболоиды Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций Инварианты поверхностей Классификация поверхностей 2-го порядка по инвариантам Квадратичные неравенства с тремя неизвестными Приведение уравнения поверхности к канониче-скому виду по инвариантам Линейная алгебра Матрицы и операции Линейные операции над матрицами Умножение матриц Возведение матриц в степень Многочлены от матриц Транспонирование и сопряжение матриц Блочные матрицы Произведение и сумма матриц Кронекера Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду Элементарные преобразования матриц Определители Определители матриц и их основные свойства Формула полного разложения определителя Формула Лапласа полного разложения определителя Определитель произведения матриц Методы вычисления определителей Ранг матрицы Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы Ранг матрицы и базисный минор матрицы Методы вычисления ранга матрицы Ранг системы столбцов (строк) Обратная матрица Обратные матрицы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы Способы нахождения обратной матрицы Матричные уравнения Односторонние обратные матрицы Скелетное разложение матрицы Полуобратная матрица Псевдообратная матрица Системы уравнений Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Структура общего решения системы уравнений Решение систем с помощью полуобратных матриц Псевдорешения системы линейных уравнений Функциональные матрицы Функциональные матрицы скалярного аргумента Производные матриц по векторному аргументу Линейные и квадратичные формы и их преобразования Приведение форм к каноническому виду Закон инерции вещественных квадратичных форм Знакоопределенность форм вещественных квадратичных Формы и исследование функций на экстремум Многочленные матрицы Многочленные матрицы (лямбда-матрицы) Операции над лямбда-матрицами Простые преобразования многочленных матриц Инвариантные множители многочленной матрицы Функции от матриц Собственные векторы и значения матрицы Подобие числовых матриц Характеристический многочлен матрицы Минимальный многочлен матрицы Теорема Гамильтона-Кэли Жорданова форма матрицы Приведение матрицы к жордановой форме Многочлены от матриц Применение многочленов от матриц Функции от матриц Линейные пространства Линейные пространства: определение и примеры Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов Размерность и базис линейного пространства Преобразования координат в линейном пространстве Изоморфизм линейных пространств Подпространства Подпространства линейного пространства Пересечение и сумма подпространств Способы описания подпространств Нахождение дополнения и суммы подпространств Нахождение пересечения подпространств Линейные отображения Линейные многообразия Линейные отображения Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения Линейные операторы Линейные операторы (преобразования) Инвариантные подпространства Собственные векторы и значения оператора Свойства собственных векторов операторов Канонический вид линейного оператора Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду Евклидовы пространства Евклидовы пространства Ортогональные векторы евклидова пространства Ортогональный базис евклидова пространства Ортонормированный базис евклидова пространства Ортогональные дополнения в евклидовом пространстве Задача о перпендикуляре Матрица и определитель Грама и его свойства Линейные преобразования евклидовых пространств Канонический вид ортогонального оператора евклидова пространства Сопряженные операторы евклидова пространства Самосопряженные операторы евклидова пространства Приведение квадратичной формы к главным осям Унитарные пространства и их линейные преобразования Комплексный анализ Комплексные числа Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Множества на комплексной плоскости Последовательности и ряды комплексных чисел Комплексные функции Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная Элементарные функции комплексного переменного Дифференцирование функций комплексного переменного Аналитические функции и их свойства Конформные отображения и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного Функциональные ряды в комплексной области Функциональные ряды и последовательности Степенные ряды и их свойства Разложение функций в степенные ряды Нули аналитических функций Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням Особые точки, Вычеты Изолированные особые точки функций и полюсы Вычеты и их применение Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычеты и расположение нулей многочлена Операционное исчисление Преобразование Лапласа и его свойства Решение ДУ операционным методом Анализ выходных процессов линейных стационарных систем Z-преобразование и его свойства Дифференциальные уравнения ДУ первого порядка Основные понятия и определения ДУ Метод изоклин для ДУ 1-го порядка Метод последовательных приближений ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ 1-го порядка Дифференциальное уравнение Бернулли ДУ в полных дифференциалах Интегрирующий множитель ДУ, не разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение Риккати Составление ДУ семейств линий Задачи на траектории Особые решения ДУ ДУ высших порядков Понятия и определения ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка Линейная независимость функций Определители Вронского и Грама Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения Задача Коши и Уравнение Эйлера Линейные ДУ с переменными коэффициентами Метод Лагранжа решения ДУ Краевые задачи для ДУ высших порядков Разложение решения ДУ в степенной ряд Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд Нахождение периодических решений ДУ Асимптотическое интегрирование ДУ Системы ДУ Системы ДУ: понятия и определения Сведение системы ДУ к одному уравнению Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование однородных линейных систем ДУ Методы интегрирования неоднородных систем ДУ Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем Теория устойчивости Устойчивость решений ДУ по Ляпунову Простейшие типы точек покоя Метод функций Ляпунова Устойчивость решений ДУ по первому приближению Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова ДУ с малым параметром при производной Численные методы Методы алгебры Численные методы линейной алгебры Численные методы решения СЛАУ Итерационный метод Шульца обратной матрицы Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы Методы решения нелинейных уравнений Методы решения систем нелинейных уравнений Методы теории приближений Методы приближения сеточных функций Методы функциональной интерполяции Методы интегрально-дифференциальной интерполяции Методы интегрального сглаживания Методы интерполяции и сглаживания сплайнами Методы численного дифференцирования и интегрирования Методы численного дифференцирования Методы численного интегрирования Методы решения обыкновенных ДУ Численные методы решения задачи Коши Разностные схемы для решения задачи Коши Составные схемы для решения задачи Коши Экстраполяционные методы решения задачи Коши Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши Численные методы решения краевых задач Методы решения ДУ в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Численные методы решения уравнений в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными	Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Разностные схемы решения уравнений параболического типа Сначала рассмотрим проблему конструирования явных разностных схем. Основная идея состоит в том, что после замены дифференциального уравнения параболического типа его конечно-разностной аппроксимацией получаются формулы, явно выражающие значения решения для одного расчетного временного слоя через значения решения на предыдущем временном слое. Таким образом, если известно решение в начальный момент времени, можно шаг за шагом (послойно) найти решение для всех последующих моментов. Чтобы проиллюстрировать общий подход, рассмотрим типичную задачу теплопроводности. Пример 8.3. Построить явную разностную схему для решения задачи теплопроводности в стержне, начальная температура которого равна нулю. Пусть температура левого конца $(x=0)$ фиксирована, а на правом конце $(x=L)$ происходит теплообмен с окружающей средой, так что тепловой поток пропорционален разности температур конца стержня и среды (определяется функцией $g(t)$ ). Решается третья начально-краевая задача: $u_t=u_{xx},~~ 0<x<L,~ 0<t<T,$ $u(x,0)=0,~~ 0 \leqslant x \leqslant L,$ (начальное условие) $u(0,t)=1,~~ 0<t<T,$ (краевое условие на левой границе) $u_x(L,t)=-\bigl[u(L,t)-g(t)\bigr],~~ 0<t \leqslant T,$ (краевое условие на правой границе). Сравнивая с общей постановкой задачи, получаем ( $L,\,T$ — заданные числа) $a^2=1,\quad \psi(x)\equiv 0,,\quad \alpha_0=0,\quad \beta=1,\quad \varphi_1(x)=1,\quad \alpha_1=1,\quad \beta_1=1,\quad \varphi_2(t)=g(t).$ Для аппроксимации производных в решаемом уравнении будем использовать (8.27),(8.26): $\frac{\widehat{u}_{i}^{n+1}-\widehat{u}_{i}^{n}}{\tau}= \frac{\widehat{u}_{i+1}^{n}-2\widehat{u}_{i}^{n}+ \widehat{u}_{i-1}^{n}}{h^2}$ . Отсюда $\widehat{u}_{i}^{n+1}= \frac{\tau}{h^2}\,\widehat{u}_{i-1}^{n}+ \left(1-\frac{2\tau}{h^2}\right)\!\widehat{u}_{i}^{n}+ \frac{\tau}{h^2}\,\widehat{u}_{i+1}^{n},\quad i=1,2,\ldots,I-1.$ (8.41) Эта формула при фиксированном значении $i$ выражает решение на (n+1)-м временном слое через решение на n-м слое. Ей соответствует четырехточечный шаблон, изображенный на рис. 8.5, в. При записи в разностной форме начальное условие $u(x,0)=0,~ 0 \leqslant x \leqslant L$ , запишется в следующем виде: $\widehat{u}_{i}^{0}=0,\quad i=0,1,2,\ldots,I$ (8.42) краевые условия на левом конце $(x=0)\colon$ $\widehat{u}_{0}^{n}=1,\quad n=1,2,\ldots,N,$ (8.43) краевые условия на правом конце $(x=L)$ определяются левой разностью по формуле (8.21): $\frac{\widehat{u}_{I}^{n}-\widehat{u}_{I-1}^{n}}{h}=-\bigl[\widehat{u}_{I}^{n}-g(n\,\tau)\bigr]$ . Отсюда $\widehat{u}_{I}^{n}= \frac{\widehat{u}_{I-1}^{n}-h\cdot g(n\cdot \tau)}{1+h},\quad n=1,2,\ldots,N.$ (8.44) Заметим, что соотношения (8.42),(8.43) точно аппроксимируют начальное и соответствующее краевое условие. Соотношения (8.41)–(8.44) образуют явную двухслойную разностную схему, имеющую первый порядок аппроксимации по $\tau$ и второй — по $h$ . Замечания 1. Данная схема условно устойчива (устойчива при выполнении условия $\frac{\tau}{h^2} \leqslant \frac{1}{2}$ , т.е. при $\tau \leqslant \frac{h^2}{2}$ ). Тем самым накладываются серьезные ограничения на выбор шага по времени. Например, если шаг сетки по переменной $x$ выбрать равным $h=0,\!1$ , то шаг сетки по времени не должен быть больше, чем $\tau=0,\!5\cdot 0,\!1^2= 0,\!005$ (это означает, что отрезок $[0;1]$ будет пройден за 200 шагов). Наилучшим с точки зрения минимизации ошибок является соотношение $\tau= \frac{h^2}{6}$ . 2. Разностная схема для уравнения $u_t= a^2(x,t)u_{xx}$ строится аналогично и является устойчивой при $\frac{\tau}{h^2} \leqslant \frac{1}{2A}$ , где $A= \max_{(x,t)\in D} a^2(x,t)$ . Методика вычислений по явной схеме 1. Задать значения шагов сетки $A,\,\tau$ так, что $l\,h=L,~ N\,\tau=T$ , где $I,\,N$ — целые положительные числа, причем значение шага по времени выбрать из условия устойчивости $\tau \leqslant \frac{h^2}{2}$ . Вычислить $\widehat{u}_{i }^{0}=0,~ i=0,1,\ldots,I;$ $\widehat{u}_{0}^{n}=1,~ n=1,\ldots,N$ . Положить $n=0$ . 2. Найти решение на (n+1)-м слое (рис. 8.7): $\widehat{u}_{i}^{n}= \frac{\tau}{h^2}\,\widehat{u}_{i-1}^{n}+ \left(1-\frac{2\tau}{h^2}\right)\!\widehat{u}_{i}^{n}+ \frac{\tau}{h^2}\,\widehat{u}_{i+1}^{n},\quad i=1,\ldots,I-1;\quad \widehat{u}_{I}^{n}= \frac{\widehat{u}_{I-1}^{n}-h\,g(n\,\tau)}{1+h}\,.$ 3. Если $n=N$ , вычисления завершить. Иначе положить $n=n+1$ и перейти к пункту 2. Пример 8.4. Пользуясь явной схемой, используемой в примере 8.3, найти приближенное решение первой начально-краевой задачи вида: $u_t=u_{xx},~ 0<x<1,~0<t<0,\!01,$ $u(x,0)= 4x(1-x),~ 0 \leqslant x \leqslant 1,$ (начальное условие) $u(0,t)=0,~ 0<t \leqslant 0,\!01,$ (краевое условие на левой границе) $u(1,t)=0,~ 0<t \leqslant 0,\!01,$ (краевое условие на правой границе). Сравнивая с общей постановкой задачи (см. разд. 8.2), получаем $a^2=1,\quad \psi(x)=4x(1-x),\quad \varphi_1(t)\equiv 0,\quad \varphi_2(t)\equiv 0,\quad L=1,\quad T=0,\!01.$ 1. Зададим шаг по пространству: $h=0,\!01$ , следовательно, $I=\frac{L}{0,\!1}= \frac{1}{0,\!1}=10$ . Выберем шаг по времени из условия обеспечения устойчивости и минимизации ошибок $\tau=\frac{h^2}{6}=\frac{0,\!01}{6}=\frac{1}{600}$ , поэтому $N= \frac{T}{\tau}= \frac{0,\!01}{1\!\!\not{\phantom{\|}}\,600}=6$ . Таким образом, получаем $x_{i}=0,\!1i,\quad i=0,1,2,\ldots,10;\qquad t^n= \frac{n}{600},\quad n=0,1,2,\ldots,6.$ Вычислим значения решения на нулевом слое: $\widehat{u}_{i}^{0}= 4x_{i}(1-x_{i})= 4\cdot 0,\!1\cdot i(1-0,\!1i),\quad i=0,1,2,\ldots,10~ (I=10).$ Краевые условия на левой и правой границах записываются в виде: $\widehat{u}_{0}^{n}=0,\quad n=1,2,\ldots,N=6;\qquad \widehat{u}_{I}^{n}=0,\quad n=1,2,\ldots,6~ (N=6).$ 2,3. Поскольку $\frac{\tau}{h^2}= \frac{1\!\!\not{\phantom{\|}}\,600}{0,\!01}= \frac{1}{6}$ решение на следующих слоях при $n=0,1,\ldots,5$ находится по формуле, следующей из (8.41): $\widehat{u}_{i}^{n+1}= \frac{1}{6}\cdot \widehat{u}_{i-1}^{n}+ \frac{2}{3}\cdot \widehat{u}_{i}^{n}+ \frac{1}{6}\cdot \widehat{u}_{i+1}^{n},\quad i=1,2,\ldots,9;$ и занесено в табл. 8.1. $\begin{aligned}\mathit{Table~8.1}~&\\ \begin{array}{\|c\|c\|c\|c\|c\|c\|c\|c\|c\|c\|c\|c\|} \hline n \setminus i& 0& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10 \\\hline 0& 0& 0,\!360& 0,\!640& 0,\!840& 0,\!960& 1,\!000& 0,\!960& 0,\!840& 0,\!640& 0,\!360& 0 \\\hline <br />1& 0& 0,\!347& 0,\!627& 0,\!827& 0,\!947& 0,\!987& 0,\!947& 0,\!827& 0,\!627& 0,\!347& 0 \\\hline 2& 0& 0,\!336& 0,\!613& 0,\!813& 0,\!933& 0,\!973& 0,\!933& 0,\!813& 0,\!613& 0,\!336& 0 \\\hline 3& 0& 0,\!326& 0,\!600& 0,\!800& 0,\!920& 0,\!960& 0,\!920& 0,\!800& 0,\!600& 0,\!326& 0 \\\hline 4& 0& 0,\!317& 0,\!588& 0,\!787& 0,\!907& 0,\!947& 0,\!907& 0,\!787& 0,\!588& 0,\!317& 0 \\\hline 5& 0& 0,\!309& 0,\!576& 0,\!774& 0,\!894& 0,\!934& 0,\!894& 0,\!774& 0,\!576& 0,\!309& 0 \\\hline 6& 0& 0,\!302& 0,\!564& 0,\!761& 0,\!881& 0,\!921& 0,\!881& 0,\!761& 0,\!564& 0,\!302& 0 \\\hline \end{array}& \end{aligned}$ Подчеркнем, что полученное решение на каждом из временных слоев является симметричным. Теперь рассмотрим проблему конструирования неявных разностных схем. Для их получения все производные, входящие в дифференциальное уравнение, заменяются конечно-разностными аппроксимациями. Однако значения решения на (n+1)-м слое уже не выражаются в явном виде через значения на предыдущих слоях. В неявных схемах для нахождения решения на следующем временном слое необходимо решать систему линейных алгебраических уравнений. Для иллюстрации общего подхода решим следующую задачу теплопроводности. Пример 8.5. Построить неявную разностную схему решения задачи теплопроводности в стержне, начальная температура которого равна 1, а температура левого и правого концов равна нулю. Данным физическим условиям соответствует первая начально-краевая задача: $u_t=u_{xx},~~ 0<x<L,~ 0<t<T,$ $u(x,0)=1,~~ 0 \leqslant x \leqslant L,$ (начальное условие) $u(0,t)=0,~~ 0<t \leqslant T,$ (краевое условие на левой границе) $u(L,t)=0,~~ 0<t \leqslant T$ (краевое условие на правой границе). Сравнивая с общей постановкой задачи, получаем $a^2=1,~ \psi(x)\equiv 1~ \varphi_1(t)= \varphi_2(t)\equiv 0;$ $L,\,T$ — заданные числа. Для аппроксимации производных в решаемом уравнении будем использовать формулу (8.27) и формулу (8.26), записанную на (n+1)-м временном слое: $\frac{\widehat{u}_{i}^{n+1}-\widehat{u}_{i}^{n}}{\tau}= \frac{\widehat{u}_{i+1}^{n+1}-2\widehat{u}_{i}^{n+1}+ \widehat{u}_{i-1}^{n+1}}{h^2}\,.$ Отсюда $-\frac{\tau}{h^2}\cdot \widehat{u}_{i-1}^{n+1}+ \left(1+\frac{2\tau}{h^2}\right)\cdot \widehat{u}_{i}^{n+1}-\frac{\tau}{h^2}\cdot \widehat{u}_{i+1}^{n+1}= \widehat{u}_{i}^{n},\quad i=1,2,\ldots,I-1.$ (8.45) Эта формула выражает решение на (n+1)-м временном слое через решение на n-м слое. Ей соответствует четырехточечный шаблон, изображенный на рис. 8.8,а. При записи в разностной форме начальное условие $u(x,0)=1,~ 0 \leqslant x \leqslant L$ , запишется в следующем виде: $\widehat{u}_{i}^{0}=1,\quad i=0,1,2,\ldots,I,$ (8.46) краевые условия: $\begin{aligned}&\widehat{u}_{0}^{n}=0, & & n=1,2,\ldots,N,\\ &\widehat{u}_{I}^{n}=0, & & n=1,2,\ldots,N. \end{aligned}$ (8.47) Соотношения (8.45)–(8.47) образуют неявную двухслойную разностную схему, имеющую первый порядок аппроксимации по $\tau$ и второй — по $h$ . Она является абсолютно устойчивой и сходящейся. Методика вычислений по неявной схеме 1. Задать значения шагов сетки $h,\,\tau$ из условия обеспечения требуемой точности решения так, что $I\,h=L,~ N\,\tau=T,$ , где $I,\,N$ — целые положительные числа. Вычислить $\widehat{u}_{i}^{0}=1,~ i=0,1,\ldots,I;$ $\widehat{u}_{0}^{n}=0,~ n=1,\ldots,N;$ $\widehat{u}_{I}^{n}=0,~ n=1,\ldots,N$ . Положить $n=0$ . 2. Сформируем систему линейных алгебраических уравнений для некоторого временного слоя, записывая уравнение (8.45) при $i=1,2,\ldots,I-1$ (рис. 8.9): $\begin{aligned}&-\frac{\tau}{h^2}\cdot \widehat{u}_{0}^{n+1}+ \left(1+ \frac{2\tau}{h^2}\right)\cdot \widehat{u}_{1}^{n+1}-\frac{\tau}{h^2}\cdot \widehat{u}_{2}^{n+1}= \widehat{u}_{1}^{n},\\[2pt] &-\frac{\tau}{h^2}\cdot \widehat{u}_{1}^{n+1}+ \left(1+ \frac{2\tau}{h^2}\right)\cdot \widehat{u}_{2}^{n+1}-\frac{\tau}{h^2}\cdot \widehat{u}_{3}^{n+1}= \widehat{u}_{2}^{n},\\[-2pt] &\quad\vdots\\[-4pt] &-\frac{\tau}{h^2}\cdot \widehat{u}_{I-2}^{n+1}+ \left(1+ \frac{2\tau}{h^2}\right)\cdot \widehat{u}_{I-1}^{n+1}-\frac{\tau}{h^2}\cdot \widehat{u}_{I}^{n+1}= \widehat{u}_{I-1}^{n}. \end{aligned}$ Согласно п.1, $\widehat{u}_{0}^{n}=1,~ n=1,\ldots,N;~ \widehat{u}_{1}^{n}=0,~ n=1,\ldots,N$ . Поэтому для нахождения решения на следующем временном слое требуется решить трехдиагональную систему $(I-1)$ линейных алгебраических уравнений с $(I-1)$ неизвестными $\widehat{u}_{1}^{n+1},\ldots,\widehat{u}_{I-1}^{n+1}\colon$ $\begin{gathered}\left(1+ \frac{2\tau}{h^2}\right)\cdot \widehat{u}_{1}^{n+1}-\frac{\tau}{h^2}\cdot \widehat{u}_{2}^{n+1}= \widehat{u}_{1}^{n},\\ -\frac{\tau}{h^2}\cdot \widehat{u}_{1}^{n+1}+ \left(1+ \frac{2\tau}{h^2}\right)\cdot \widehat{u}_{2}^{n+1}-\frac{\tau}{h^2}\cdot \widehat{u}_{3}^{n+1}= \widehat{u}_{2}^{n},\\[-2pt] \vdots\\[-4pt]-\frac{\tau}{h^2}\cdot \widehat{u}_{I-2}^{n+1}+ \left(1+ \frac{2\tau}{h^2}\right)\cdot \widehat{u}_{I-1}^{n+1}= \widehat{u}_{I-1}^{n}. \end{gathered}$ Методы решения таких систем рассматривались ранее. 3. Если $n=N$ у вычисления завершить. Иначе положить $n=n+1$ и перейти к пункту 2. Методику вычислений по неявной схеме можно проследить на рис. 8.9, где выделен используемый четырехточечный шаблон. Заметим, что в неявной схеме объем вычислений на каждом шаге больше, чем в явных, но хорошую точность можно получить при гораздо большем шаге по времени. Получим еще одну неявную схему. Для аппроксимации производной щ применим (8.27), а для аппроксимации и^ взвешенное среднее выражения (8.26), записанного для узлов $(x_{i}, t^n),\, (x_{i},t^{n+1})$ на n-м и (n+1)-м временных слоях (см. рис. 8.8,б): $\widehat{u}_{xx}= \frac{\widehat{u}_{i+1}^{n}-2\widehat{u}_{i}^{n}+ \widehat{u}_{i-1}^{n}}{h^2}\,,\qquad \widehat{u}_{xx}= \frac{\widehat{u}_{i+1}^{n+1}-2\widehat{u}_{i}^{n+1}+ \widehat{u}_{i-1}^{n+1}}{h^2}\,,$ то есть $u_{xx}= \lambda\,\frac{\widehat{u}_{i+1}^{n+1}-2\widehat{u}_{i}^{n+1}+ \widehat{u}_{i-1}^{n+1}}{h^2}+ (1-\lambda) \frac{\widehat{u}_{i+1}^{n}-2\widehat{u}_{i}^{n}+ \widehat{u}_{i-1}^{n}}{h^2}$ , где $\lambda\in [0;1]$ . При $\lambda= \frac{1}{2}$ получается обычное среднее, при $\lambda= \frac{3}{4}$ одна из разностных производных берется с весом $\frac{3}{4}$ , а другая — с весом $\frac{1}{4}$ . В результате получаем разностную схему: $\begin{gathered}\frac{\widehat{u}_{i}^{n+1}-\widehat{u}_{i}^{n}}{\tau}= \lambda\,\frac{\widehat{u}_{i+ 1}^{n+1}-2\widehat{u}_{i}^{n+1}+ \widehat{u}_{i-1}^{n+1}}{h^2}+ (1-\lambda) \frac{\widehat{u}_{i+ 1}^{n}-2\widehat{u}_{i}^{n}+ \widehat{u}_{i-1}^{n}}{h^2}\,,\quad i=1,2,\ldots,I-1,\\[2pt] \widehat{u}_{i}^{0}=1,~ i=0,1,\ldots,I;\quad \widehat{u}_{0}^{n}=1,~ n=1,2,\ldots,N;\quad \widehat{u}_{I}^{n}=0,\quad n=1,2,\ldots,N. \end{gathered}$ Перенесем в первых $(I-1)$ уравнениях все неизвестные в левую часть. Тогда получаем $\begin{gathered}-\lambda\cdot \frac{\tau}{h^2}\cdot \widehat{u}_{i-1}^{n+1}+ \left(1+2 \lambda \frac{\tau}{h^2}\right)\cdot \widehat{u}_{i}^{n+1}-\lambda\cdot \frac{\tau}{h^2}\cdot \widehat{u}_{i+1}^{n+1}=\\ =(1-\lambda)\cdot \frac{\tau}{h^2}\cdot \widehat{u}_{i-1}^{n}+ \left(1+2 (1-\lambda) \frac{\tau}{h^2}\right)\cdot \widehat{u}_{i}^{n}-(1-\lambda)\cdot \frac{\tau}{h^2}\cdot \widehat{u}_{i+1}^{n},\quad i=1,\ldots,I-1;\\[2pt] \widehat{u}_{i}^{0}=1,~ i=0,1,\ldots,I;\quad \widehat{u}_{0}^{n}=0,~ n=1,2,\ldots,N;\quad \widehat{u}_{I}^{n}=1,~ n=1,2,\ldots,N. \end{gathered}$ (8.48) Эта схема абсолютно устойчива и сходится. Для нахождения решения на следующем слое, как и ранее, требуется решать трехдиагональную систему $(I-1)$ линейных алгебраических уравнений. При $\lambda= \frac{1}{2}$ схема называется схемой Кранка-Николсон. При $\lambda=0$ из (8.48) следует явная схема (8.41), а при $\lambda=1$ — неявная схема (8.45). Шеститочечный шаблон, соответствующий схеме (8.48), изображен на рис. 8.8,б. При $\lambda= \frac{1}{2}$ схема имеет второй порядок аппроксимации по $\tau$ и по $h$ , а при $\lambda\ne \frac{1}{2}$ — первый порядок аппроксимации по $\tau$ и второй — по $h$ . Методику вычислений, совпадающую с уже описанной для схемы (8.45), продемонстрируем на примере. 1. Зададим $h= 0,\!2;~ \tau= 0,\!08;~ L= 1;~ T= 0,\!8$ . Тогда $I\,0,\!2= 1,~ N\,0,\!08 = 0,\!8$ , то есть $I=5,~ N=10$ . Тогда начальные и краевые условия примут вид: $\widehat{u}_{i}^{0}=1,~ i=0,1,\ldots,5;\quad \widehat{u}_{0}^{n}=0,~ n=1,2,\ldots,10;\quad \widehat{u}_{5}^{n}=0,~ n=1,2,\ldots,10.$ Положим $n=0,~ \lambda= \frac{1}{2}$ . Вычислим $\frac{\tau}{h^2}= \frac{0,\!08}{0,\!04}=2$ . 2. Запишем систему (8.48) , принимая $i=1,2,3,4~ (I-1=4)$ с учетом пункта 1: $\begin{aligned}&-\widehat{u}_{0}^{1}+3\widehat{u}_{1}^{1}-\widehat{u}_{2}^{1}= \widehat{u}_{0}^{0}-\widehat{u}_{1}^{0}+\widehat{u}_{2}^{0},\\[2pt] &-\widehat{u}_{1}^{1}+3\widehat{u}_{2}^{1}-\widehat{u}_{3}^{1}= \widehat{u}_{1}^{0}-\widehat{u}_{3}^{0}+\widehat{u}_{3}^{0},\\[2pt] &-\widehat{u}_{2}^{1}+3\widehat{u}_{3}^{1}-\widehat{u}_{4}^{1}= \widehat{u}_{2}^{0}-\widehat{u}_{3}^{0}+\widehat{u}_{4}^{0},\\[2pt] &-\widehat{u}_{3}^{1}+3\widehat{u}_{4}^{1}-\widehat{u}_{5}^{1}= \widehat{u}_{3}^{0}-\widehat{u}_{4}^{0}+\widehat{u}_{5}^{0};\\[4pt] &\widehat{u}_{i}^{0}=1,~ i=0,1,\ldots,5;\quad \widehat{u}_{0}^{1}=0,\quad \widehat{u}_{5}^{1}=0. \end{aligned}$ Тогда получаем $\begin{cases}3\,\widehat{u}_{1}^{1}-\widehat{u}_{2}^{1}=1,\\-\widehat{u}_{1}^{1}+ 3\,\widehat{u}_{2}^{1}-\widehat{u}_{3}^{1}=1,\\-\widehat{u}_{2}^{1}+ 3\,\widehat{u}_{3}^{1}-\widehat{u}_{4}^{1}=1,\\-\widehat{u}_{3}^{1}+ 3\,\widehat{u}_{4}^{1}=1; \end{cases}$ или в матричной форме $\begin{pmatrix}3&-1&0&0\\-1&3&-1&0\\ 0&-1&3&-1\\ 0&0&-1&3 \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}\widehat{u}_{1}^{1}\\ \widehat{u}_{2}^{1}\\ \widehat{u}_{3}^{1}\\ \widehat{u}_{4}^{1} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1\\1\\1\\1 \end{pmatrix}\!.$ В результате имеем $\begin{cases}\widehat{u}_{1}^{1}=0,\!6;\\ \widehat{u}_{2}^{1}=0,\!8;\\ \widehat{u}_{3}^{1}=0,\!8;\\ \widehat{u}_{4}^{1}=0,\!6. \end{cases}$ 3. Далее, полагая $n=1$ , можно сделать следующий шаг по времени, решая новую систему алгебраических уравнений. Аналогичный процесс продолжается до достижения значения $N=10$ . Разностные схемы решения уравнений гиперболического типа Методы сеток для решения гиперболических уравнений имеют много общего с соответствующими методами для параболических уравнений. Однако они имеют и свои особенности, связанные с типом уравнения. Сначала рассмотрим проблему конструирования явных разностных схем. Основная идея состоит в том, что после замены дифференциального уравнения гиперболического типа его конечно-разностной аппроксимацией получаются формулы, явно выражающие значения решения для одного расчетного временного слоя через значения решения на предыдущем временном слое. Таким образом, если известно решение в начальный момент времени, можно шаг за шагом (послойно) найти решение для всех последующих моментов. Чтобы проиллюстрировать общий подход, рассмотрим типичную краевую задачу для волнового уравнения. Пример 8.6. Построить явную и неявную разностные схемы для решения задачи, в которой имеется струна длиной $L$ , натянутая между двумя точками оси $Ox$ , точкой $x=0$ и точкой $x=L$ . Концы струны закреплены, начальное смещение струны описывается функцией $f(x)$ , а начальная скорость — функцией $g(x)$ . Решается первая начально-краевая задача: $u_{tt}=u_{xx},~~ 0<x<T,~ 0<t<T,$ $u(x,0)=f(x),~~ 0<x<L,$ (начальное условие) $u_t(x,0)=g(x),~~ 0<x<L,$ (начальное условие) $u(0,t)=0,~~ 0 \leqslant t \leqslant T,$ (краевое условие на левой границе) $u(L,t)=0,~~ 0 \leqslant t \leqslant T,$ (краевое условие на правой границе). Сравнивая с общей постановкой задачи, получаем $c^2=1,~ \psi_1(x)=f(x),$ $\psi_2(x)= g(x),$ $\varphi_1(t)= \varphi_2(t)\equiv 0;$ $L,\,T$ — заданные числа. Для аппроксимации производных в решаемом уравнении будем использовать (8.30) и (8.26): $\frac{\widehat{u}_{i}^{n+1}-2\widehat{u}_{i}^{n}+ \widehat{u}_{i}^{n-1}}{\tau^2}= \frac{\widehat{u}_{i+1}^{n}-2\widehat{u}_{i}^{n}+\widehat{u}_{i-1}^{n}}{h^2}\,.$ Отсюда $\widehat{u}_{i}^{n+1}= \frac{\tau^2}{h^2}\cdot \widehat{u}_{i-1}^{n}+ 2\! \left(1-\frac{\tau^2}{h^2}\right)\cdot \widehat{u}_{i}^{n}+ \frac{\tau^2}{h^2}\cdot \widehat{u}_{i+1}^{n}-\widehat{u}_{i}^{n-1},\quad i=1,2,\ldots,I-1.$ (8.49) Эта формула выражает решение на (n+1)-м временном слое через решение на n-м и (n-1)-м слоях. В отличие от схем для уравнения теплопроводности, в которых использовались только два временных слоя (n-й и (n+1)-й) , здесь требуется использовать три слоя: (n-1)-й, n-й и (n+1)-й. Ей соответствует пятиточечный шаблон, изображенный на рис. 8.10,а , называемый "крест". При записи в разностной форме начальное условие $u(x,0)= f(x),~ 0<x<L$ , запишется в следующем виде: $\widehat{u}_{i}^{0}= f(i\,h),\quad i=1,2,\ldots,I-1,$ (8.50) начальное условие $u_t(x,0)=g(x),~ 0<x<L$ , с применением (8.27) при $n=0$ в виде $\frac{\widehat{u}_{i}^{1}-\widehat{u}_{i}^{0}}{\tau}= g(i\,h),$ $i=1,2,\ldots,I-1$ , или, используя предыдущее соотношение, $\widehat{u}_{i}^{1}= f(i\,h)+\tau\cdot g(i\,h),\quad i=1,2,\ldots,I-1,$ (8.51) краевые условия представляются в форме: $\widehat{u}_{0}^{n}=0,\quad \widehat{u}_{I}^{n}=0,\quad n=0,1,\ldots,N.$ (8.52) Соотношения (8.49)–(8.52) образуют явную трехслойную разностную схему. Эта схема имеет первый порядок аппроксимации по $t$ и второй — по $x$ , так как соотношение (8.51) аппроксимирует дифференциальное начальное условие с первым порядком. Замечания 1. Данная схема условно устойчива (устойчива при выполнении условия $\frac{\tau}{h}\leqslant 1$ . 2. Разностная схема для уравнения $u_{tt}= c^2(x,t)u_{xx}$ строится аналогично и является устойчивой при $\frac{\tau^2}{h^2}< \frac{1}{C}$ , где $C= \max_{(x,t)\in D} c^2(x,t)$ . 3. Простейшая замена (8.51) имеет первый порядок аппроксимации. Поскольку разностная схема (8.49) аппроксимирует дифференциальное уравнение со вторым порядком, желательно, чтобы разностное начальное условие также имело второй порядок аппроксимации. Для этого запишем аналог формулы Тейлора (8.17) в направлении $t$ при $k=2\colon$ $u(x,t^0+\tau)= u(x,t^0)+ u_t(x,t^0)\tau+ u_{tt}(x,t^0)\frac{\tau^2}{2}+ u_{ttt}(x,\xi)\frac{\tau^3}{6}\,,\quad \xi\in (t^0,t^0+\tau),~ 0<x<L.$ Если функция $f(x)$ имеет ограниченную вторую производную, то в силу исходного дифференциального уравнения $u_{tt}= u_{xx}$ получаем $u_{tt}(x,t^0)= u_{xx}(x,t^0)= f''(x)$ . Из предыдущего соотношения получаем $u_{t}(x,t^0)= \frac{u(x,t^0+\tau)-u(x,t^0)}{\tau}+ f''(x)\frac{\tau^2}{2}-u_{ttt}(x,\xi)\frac{\tau^3}{6}$ или $u_{t}(x,t^0)\cong \frac{u(x,t^0+\tau)-u(x,t^0)}{\tau}+ f''(x)\frac{\tau^2}{2}\,,\quad \left(\frac{\tau^2}{6}\,M_3\right)\!,$ где $M_3= \max_{t\in [t^0,t^0+\tau]} \bigl\|u_{ttt}(x,t)\bigr\|$ . В результате соответствующее начальное условие в разностной форме имеет вид $\frac{\widehat{u}_{i}^{1}-\widehat{u}_{i}^{0}}{\tau}-f''(i\,h)\frac{\tau}{2}= g(i\,h)$ $i=1,\ldots,I-1$ . Так как $\widehat{u}_{i}^{0}= f(i\,h),~ i=1,\ldots,I-1$ , то $\widehat{u}_{i}^{1}= f(ih)+ \tau\cdot g(ih)+ f''(ih)\cdot \frac{\tau^2}{2}\,,\quad i=1,2,\ldots,I-1.$ (8.53) Если в разностной схеме используется (8.51), схема имеет первый порядок аппроксимации по $\tau$ и второй — по $h$ , а если (8.53), то имеет второй порядок аппроксимации по $\tau$ и по $h$ . Методика вычислений по явной схеме 1. Задать значения шагов сетки $h,\,\tau$ так, что $I\,h=L,~ N\,\tau=T$ , где $I,\,N$ — целые положительные числа, причем значение шага по времени выбрать из условия устойчивости $\tau \leqslant h$ . Вычислить $\begin{gathered}\widehat{u}_{i}^{0}= f(ih),\quad i=1,2,\ldots,I-1;\qquad \widehat{u}_{i}^{1}= f(ih)+\tau g(ih),\quad i=1,2,\ldots,I-1;\\[2pt] \widehat{u}_{i}^{0}=0,\quad \widehat{u}_{I}^{n}=0,\quad n=0,1,\ldots,N. \end{gathered}$ Приведенные выражения дают решение задачи для первых двух слоев сетки (рис. 8.8). Положить $n=1$ . 2. Найти решение на (n+1)-м слое (рис. 8.11): $\widehat{u}_{i}^{n+1}= \frac{\tau^2}{h^2}\cdot \widehat{u}_{i-1}^{n}+ 2\! \left(1-\frac{\tau^2}{h^2}\right)\cdot \widehat{u}_{i}^{n}+ \frac{\tau^2}{h^2}\cdot \widehat{u}_{i+1}^{n}-\widehat{u}_{i}^{n-1},\quad i=1,2,\ldots,I-1.$ 3. Если $n=N$ , вычисления завершить. Иначе положить $n=n+1$ и перейти к пункту 2. Теперь рассмотрим проблему конструирования неявных разностных схем. Для их получения все производные, входящие в дифференциальное уравнение, заменяются конечно-разностными аппроксимациями с использованием (n+1)-го слоя для аппроксимации $u_{xx}$ . Однако значения решения на (n+1)-м слое уже не выражаются в явном виде через значения на предыдущих слоях. В связи с этим в неявных схемах для нахождения решения на следующем временном слое необходимо решать систему линейных алгебраических уравнений. Для иллюстрации общего подхода получим неявную схему для волнового уравнения. При аппроксимации производных в уравнении будем использовать (8.30) и формулу (8.26), записанную на (n-1)-м, n-м и (n+1)-м слоях: $\begin{aligned}\frac{\widehat{u}_{i}^{n+1}-2\widehat{u}_{i}^{n}+ \widehat{u}_{i}^{n-1}}{\tau^2}&= \lambda\cdot \frac{\widehat{u}_{i+1}^{n+1}-2\widehat{u}_{i}^{n+ 1}+\widehat{u}_{i-1}^{n+1}}{h^2}+ (1-2 \lambda)\cdot \frac{\widehat{u}_{i+ 1}^{n}-2\widehat{u}_{i}^{n}+ \widehat{u}_{i-1}^{n}}{h^2}\,+\\ &\quad +\,\lambda\cdot \frac{\widehat{u}_{i+1}^{n-1}-2\widehat{u}_{i}^{n-1}+\widehat{u}_{i-1}^{n-1}}{\tau^2}\,\quad i=1,2,\ldots,I-1,\end{aligned}$ (8.54) где $\lambda$ — параметр, $0 \leqslant \lambda \leqslant \frac{1}{2}$ . Значения приближенного решения на нулевом и первом слоях вычисляются по формулам (8.50)–(8.52), как и в явной схеме. На остальных слоях схема представляет собой линейную систему алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей, в которой диагональные элементы преобладают. Решение этой системы существует, единственно и вычисляется методом прогонки. Формула (8.54) выражает три неизвестных значения решения на (n+1)-м временном слое через решения на n-м и (n-1)-м слоях. В отличие от схем для уравнения теплопроводности, в которых использовались только два временных слоя (n-й и (n+1)-й) , здесь требуется использовать три слоя: (n-1)-й, n-й и (n+1)-й. Поэтому такая схема называется неявной трехслойной. Ей соответствует девятиточечный шаблон, изображенный на рис. 8.10,б. При $\lambda=0$ схема (8.50)-(8.52),(8.54) переходит в явную схему "крест". При $\frac{1}{4} \leqslant \lambda \leqslant \frac{1}{2}$ схема абсолютно устойчива, а при $0 \leqslant \lambda \leqslant \frac{1}{4}$ схема условно устойчива (устойчива при выполнении условия $\frac{\tau}{4} \leqslant \frac{1}{\sqrt{1-4 \lambda}}$ ) При $\frac{1}{4} \leqslant \lambda \frac{1}{2}$ схема имеет второй порядок аппроксимации по $\tau$ и по $h$ . Пример 8.7. Пользуясь явной схемой, найти приближенное решение первой начально-краевой задачи: $u_{tt}=u_{xx},~~ 0<x<\pi,~ 0<t<\frac{5\pi}{18}\,,$ $u(x,0)= x(\pi-x),~~ 0<x<\pi,$ (начальное условие) $u_t(x,0)=0,~~ 0<x<\pi$ (начальное условие) $u(0,t)=0,~~ 0 \leqslant t \leqslant \frac{5\pi}{18}$ (краевое условие на левой границе) $u(\pi,t)=0,~~ 0 \leqslant t \leqslant \frac{5\pi}{18}$ (краевое условие на правой границе). Сравнивая с общей постановкой задачи, получаем $c^2=1,\quad \psi_1(x)=x(\pi-x),\quad \psi_2(x)\equiv0,\quad \varphi_1(t)= \varphi_2(t)\equiv 0;\quad L=\pi,\quad T=\frac{5\pi}{18}\,.$ 1. Зададим шаг по пространству, равным $h=\frac{\pi}{18}$ , шаг по времени выберем из условия устойчивости: $\tau \leqslant h$ . Положим $\tau=h= \frac{\pi}{18}$ . Тогда $x_{i}=\frac{\pi\,i}{18}\,,\quad t^n= \frac{\pi\,n}{18}\,,\quad i=0,1,\ldots,I=\frac{L}{h}=18;\quad n=0,1,\ldots,N=\frac{T}{\tau}=5.$ По формулам (8.50), (8.52), (8.53), учитывая, что $f(x)=x(\pi-x),$ $f''(x)=-2,~ g(x)\equiv 0$ , получаем значения приближенного решения на нулевом и первом слоях: $\begin{gathered}\widehat{u}_{i}^{0}= f(ih)= x_{i}(\pi-x_{i})= \frac{\pi\,i}{18}\! \left(\pi-\frac{\pi\,i}{18}\right)\!,\quad i=1,2,\ldots,17,\\[2pt] \widehat{u}_{0}^{n}=0,\quad \widehat{u}_{I}^{n}= 0,\quad n=0,\ldots,5,\\[2pt] \widehat{u}_{i}^{1}= f(ih)+ \tau\,g(ih)+ f''(ih)\frac{\tau^2}{2}= x_{i}(\pi-x_{i})+0-2\, \frac{\tau^2}{2}= \frac{\pi\,i}{18}\! \left(\pi-\frac{\pi\,i}{18}\right)-\left(\frac{\pi}{18} \right)^2\!,\quad i=1,2,\ldots,17. \end{gathered}$ 2,3. Поскольку $\frac{\tau^2}{h^2}=1$ , решение на последующих слоях вычисляется по И формуле, следующей из (8.49): $\widehat{u}_{i}^{n+1}= \widehat{u}_{i-1}^{n}+ \widehat{u}_{i+1}^{n}-\widehat{u}_{i}^{n-1},\quad i=1,2,\ldots,17.$ В табл. 8.2 приведены результаты расчетов при $i=0,1,\ldots,9$ , так как решение $u(x,t)$ симметрично относительно $x=\frac{\pi}{2}~(i=9)$ при фиксированном $t$ . $\begin{aligned}\mathit{Table~8.2}~&\\ \begin{array}{\|c\|c\|c\|c\|c\|c\|c\|c\|c\|c\|c\|}\hline n \setminus i& 0& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9 \\\hline 0& 0& 0,\!518& 0,\!975& 1,\!371& 1,\!706& 1,\!980& 2,\!193& 2,\!346& 2,\!437& 2,\!467 \\\hline 1& 0& 0,\!487& 0,\!944& 1,\!340& 1,\!675& 1,\!950& 2,\!163& 2,\!315& 2,\!406& 2,\!437 \\\hline 2& 0& 0,\!426& 0,\!853& 1,\!249& 1,\!584& 1,\!858& 2,\!071& 2,\!224& 2,\!315& 2,\!346 \\\hline 3& 0& 0,\!366& 0,\!731& 1,\!097& 1,\!432& 1,\!706& 1,\!919& 2,\!071& 2,\!163& 2,\!193 \\\hline 4& 0& 0,\!305& 0,\!609& 0,\!914& 1,\!218& 1,\!493& 1,\!706& 1,\!858& 1,\!950& 1,\!980 \\\hline 5& 0& 0,\!244& 0,\!487& 0,\!731& 0,\!975& 1,\!218& 1,\!432& 1,\!584& 1,\!675& 1,\!706 \\\hline \end{array}& \end{aligned}$ Замечание. В практике применения численных методов существует полезный прием, позволяющий на основе результатов расчетов судить о том, с какой точностью они получены. С этой целью используется правило Рунге, изложенное выше применительно к уточнению результатов численного дифференцирования и интегрирования. Аналогичный подход можно использовать для оценки точности решения задач математической физики. Опишем идею его реализации: а) находится численное решение с шагом $h$ по пространственной переменной $x$ и шагом $\tau$ по времени $t$ ; б) расчет повторяется с шагами $\frac{h}{2}$ и $\frac{\tau}{2}$ с тем, чтобы образовывались слои, некоторые из которых совпадали бы со слоями, полученными ранее; в) сравниваются оба численных решения в одинаковых узлах сетки (им соответствуют одни и те же значения пространственной координаты и времени). Если отклонение удовлетворяет заданным требованиям, то процесс завершается и в качестве приближенного решения задачи принимается полученное в п.б. Иначе шаги снова делятся пополам и процесс продолжается. Разностные схемы решения уравнений эллиптического типа Рассмотрим проблему решения краевых задач для уравнений эллиптического типа. Эти задачи являются стационарными, так как в них отсутствует временная переменная. В них требуется найти решение уравнения с частными производными в данной области пространства, если на границе области решение или его производная заданы. Разностные схемы получаются путем замены производных их конечно-разностными аппроксимациями. В результате приближенное решение эллиптических задач сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений для значений искомой функции во внутренних узлах сетки. Чтобы проиллюстрировать общий подход, рассмотрим задачу Дирихле для уравнения Лапласа. Пример 8.8. Построить разностную схему для решения задачи Дирихле (где $\varphi(x,y)$ — заданная функция, $L,\,M$ — заданные числа): $\begin{aligned}&u_{xx}+u_{yy}=0,~~ 0<x<L,~0<y<M,\\ &u(0,y)= \varphi(0,y),~~ 0<y<M,\\ &u(L,y)= \varphi(L,y),~~ 0<y<M,\\ &u(x,M)= \varphi(x,M),~~ 0 \leqslant x \leqslant L,\\ &u(x,0)= \varphi(x,0),~~ 0 \leqslant x \leqslant L, \end{aligned}$ В данном случае задача решается в области П прямоугольной формы, краевые условия заданы на сторонах прямоугольника. В плоскости $Oxy$ построим сетку $D_h= \bigl\{(x_{i}, y_{i})\bigr\}$ , где $x_{i}=ih_x,~ y_{j}=jh_{y},$ $i=0,1,\ldots,I;$ $j=0,1,\ldots,J;$ $h_x,\,h_y$ — величины шагов по $x$ и $y;~ I\,h_x=L,$ $J\,h_y=M,~ I$ и $J$ — целые положительные числа. Заменим дифференциальные операторы в уравнении Лапласа по формулам, следующим из (8.25) при замене переменной $t^n$ на переменную $y_{j}\colon$ $\begin{aligned}& \widehat{u}_{xx}(x_{i},y_{j})= \frac{u(x_{i}+h_x,y_{j})-2u(x_{i},y_{j})+ u(x_{i}-h_x, y_{j})}{h_x^2}\,,\\[2pt] & \widehat{u}_{yy}(x_{i},y_{j})= \frac{u(x_{i},y_{j}+h_y)-2u(x_{i},y_{j})+ u(x_{i}, y_{j}-h_y)}{h_y^2}\,. \end{aligned}$ Применяя краткую запись $u(x_{i},y_{j})= u_{i,j}$ , получаем $\frac{\widehat{u}_{i+1,j}-2\widehat{u}_{i,j}+ \widehat{u}_{i-1,j}}{h_x^2}+ \frac{\widehat{u}_{i,j+1}-2\widehat{u}_{i,j}+\widehat{u}_{i,j-1}}{h_y^2}=0,\quad i=1,\ldots,I-1;~ j=1,\ldots,J-1,$ или $\frac{h_y^2}{h_x^2}\,\widehat{u}_{i+1,j}+ \frac{h_y^2}{h_x^2}\,\widehat{u}_{i-1,j}+ \widehat{u}_{i,j+1}+ \widehat{u}_{i,j-1}-2\! \left(1+ \frac{h_y^2}{h_x^2}\right)\! \widehat{u}_{i,j}=0,\quad i=1,\ldots,I-1;~ j=1,\ldots,J-1.$ (8.55) Полагая $\varphi_{i,j}= \varphi(ih_x,jh_y)$ , краевые условия можно записать в виде: $\begin{aligned}& \widehat{u}_{0,j}= \varphi_{0,j},\quad j=1,\ldots,J-1;\\ & \widehat{u}_{I,j}= \varphi_{I,j},\quad j=1,\ldots,J-1;\\ & \widehat{u}_{i,J}= \varphi_{i,J},\quad i=0,1,\ldots,I;\\ & \widehat{u}_{i,0}= \varphi_{i,0},\quad i=0,1,\ldots,I. \end{aligned}$ (8.56) Для нахождения искомого решения требуется решить систему $(I-1)\times (J-1)$ линейных алгебраических уравнений. Схема (8.55),(8.56) имеет второй порядок аппроксимации по $\tau$ и по $h$ , является абсолютно устойчивой и сходится. Ей соответствует пятиточечный шаблон, изображенный на рис. 8.12. При $h_x= h_y$ , т.е. одинаковых шагах в горизонтальном и вертикальном направлениях, получаем $\widehat{u}_{i+1,j}+ \widehat{u}_{i-1,j}+ \widehat{u}_{i,j+1}+ \widehat{u}_{i,j-1}-4\,\widehat{u}_{i,j}=0,\quad i=1,\ldots,I-1;~ j=1,\ldots,J-1.$ (8.57) Разрешив относительно $\widehat{u}_{i,j}$ , имеем $\widehat{u}_{i,j}= \frac{1}{4}\bigl(\widehat{u}_{i+1,j}+ \widehat{u}_{i-1,j}+ \widehat{u}_{i,j+1}+ \widehat{u}_{i,j-1}\bigr),\quad i=1,\ldots,I-1;~ j=1,\ldots,J-1.$ (8.58) Это означает, что решение $\widehat{u}_{i,j}$ аппроксимируется средним значением по четырем соседним узлам. Как правило, для решения системы (8.58) применяются различные итерационные методы, например, метод простой итерации или метод Зейделя. Рассмотрим частный случай поставленной задачи при $L=1,~ M=1,~ I=J=3,$ $\varphi(x,y)= \begin{cases}\sin\pi x,& y=0,~ 0 \leqslant x \leqslant 1,\\ 0,& \text{na ostalnih granicah}~\Omega. \end{cases}$ Так как $h_x= h_y= \frac{1}{3}$ , то запишем систему (8.57) для четырех внутренних точек $(i=1,2;~ j=1,2)\colon$ $\begin{aligned}& \widehat{u}_{2,1}+ \widehat{u}_{0,1}+ \widehat{u}_{1,2}+ \widehat{u}_{1,0}-4\,\widehat{u}_{1,1}=0,\quad (i=1,~ j=1)\\[2pt] & \widehat{u}_{2,2}+ \widehat{u}_{0,2}+ \widehat{u}_{1,3}+ \widehat{u}_{1,1}-4\,\widehat{u}_{1,2}=0,\quad (i=1,~ j=2)\\[2pt] & \widehat{u}_{3,1}+ \widehat{u}_{1,1}+ \widehat{u}_{2,2}+ \widehat{u}_{2,0}-4\,\widehat{u}_{2,1}=0,\quad (i=2,~ j=1)\\[2pt] & \widehat{u}_{3,2}+ \widehat{u}_{1,2}+ \widehat{u}_{2,3}+ \widehat{u}_{2,1}-4\,\widehat{u}_{2,2}=0.\quad (i=2,~ j=2) \end{aligned}$ Краевые условия (8.56) запишутся в форме $\begin{aligned}& \widehat{u}_{0,j}=0,~~ j=1,2; &\quad & \widehat{u}_{3,j}=0,~~ j=1,2\\ & \widehat{u}_{i,3}=0,~~ i=0,1,2,3; &\quad & \widehat{u}_{i,0}= \sin(\pi\,i\,h_x)= \sin \frac{\pi\,i}{3}\,,~ i=0,1,2,3. \end{aligned}$ С учетом краевого условия система может быть записана в следующей матричной форме $\begin{pmatrix}-4&1&1&0\\ 1&-4&0&1\\ 1&0&-4&1\\ 0&1&1&-4 \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}\widehat{u}_{1,1}\\ \widehat{u}_{1,2}\\ \widehat{u}_{2,1}\\ \widehat{u}_{2,2} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-\sin \frac{\pi}{3}\\ 0\\-\sin \frac{2\pi}{3}\\0 \end{pmatrix}\!.$ В результате имеем $\widehat{u}_{1,1}= 0,\!325;~ \widehat{u}_{1,2}= 0,\!108;~ \widehat{u}_{2,1}= 0,\!325;~ \widehat{u}_{2,2}= 0,\!108$ . Методика вычислений 1. Задать сетку $D_h= \bigl\{(x_{i},y_{j})\bigr\}$ , где $x_{i}= i\,h_x,~ y_{j}= j\,h_{y},$ $i=0,1,\ldots,I;~ j=0,1,\ldots,J;$ $h_x,\,h_y$ — величины шагов по $x$ и $y;~ I\,h_x=L,$ $J\,h_y= M,~ I$ и $J$ — целые положительные числа; $\varepsilon>0$ — желаемую точность. Вычислить $\begin{aligned}& \widehat{u}_{0,j}= \varphi_{0,j}, & & j=1,\ldots,J-1; &\quad & \widehat{u}_{I,j}= \varphi_{I,j}, & & j=1,\ldots,J-1;\\[2pt] & \widehat{u}_{i,J}= \varphi_{i,J}, & & i=0,1,\ldots,I; &\quad & \widehat{u}_{i,0}= \varphi_{i,0}, & & i=0,1,\ldots,I. \end{aligned}$ Положить $k=0$ ; задать начальное приближение искомого решения во внутренних узлах: $\widehat{u}_{i,j}^{(0)},~ i=1,\ldots,I-1;$ $j=1,\ldots,J-1$ . 2. Вычислить $\widehat{u}_{i,j}^{(k+1)}$ одним из двух методов (рис. 8.13): а) методом простых итераций: $\widehat{u}_{i,j}^{(k+1)}= \frac{1}{4}\bigl(\widehat{u}_{i+1,j}^{(k)}+ \widehat{u}_{i-1,j}^{(k)}+ \widehat{u}_{i,j+1}^{(k)}+ \widehat{u}_{i,j-1}^{(k)}\bigr),\quad i=1,\ldots,I-1;\quad j=1,\ldots,J-1;$ б) методом Зейделя: Шаг 1. Положить $j=1$ . Шаг 2. Вычислить $\widehat{u}_{i,j}^{(k+1)}= \frac{1}{4}\bigl(\widehat{u}_{i+1,j}^{(k)}+ \widehat{u}_{i-1,j}^{(k+1)}+ \widehat{u}_{i,j+1}^{(k)}+ \widehat{u}_{i,j-1}^{(k+1)}\bigr),\quad i=1,\ldots,I-1.$ Шаг 3. Если $j=J-1$ , процесс завершить. Иначе положить $j=j+1$ и перейти к шагу 2. 3. Если выполняется условие окончания $\max_{i,j} \bigl\|\widehat{u}_{i,j}^{(k+1)}-\widehat{u}_{i,j}^{(k)}\bigr\| \leqslant \varepsilon$ , процесс завершить. Иначе положить $k=k+1$ и перейти к п.2. Замечания 1. Метод Зейделя обеспечивает движение по узлам слева направо, начиная с первого слоя сетки по переменной $x$ . Использование значений с (k+1)-й итерации, как правило, улучшает сходимость. 2. Вместо метода Зейделя можно использовать более эффективные релаксационные методы: $\widehat{u}_{i,j}^{(k+1)}= \omega\,\widehat{u}_{i,j}^{(k)}+ \frac{1-\omega}{4} \bigl(\widehat{u}_{i+1,j}^{(k)}+ \widehat{u}_{i-1,j}^{(k+1)}+ \widehat{u}_{i,j+1}^{(k)}+ \widehat{u}_{i,j-1}^{(k+1)}\bigr),$ где $\omega$ — параметр релаксации. Член $\omega\, \widehat{u}_{i,j}^{(k)}$ характеризует "память" алгоритма о значении решения на предыдущей итерации. При $\omega>1$ итерационный метод называется методом верхней релаксации, при $0<\omega<1$ — методом нижней релаксации, при $\omega= 0$ совпадает с методом Зейделя. Существует оптимальное значение $\omega^{\ast}$ параметра релаксации, зависящее от шагов сетки и способа получения $\widehat{u}_{i,j}^{(k+1)}$ , при котором достигается максимальная скорость сходимости метода. 3. При решении задачи Неймана или третьей краевой задачи производные, входящие в краевые условия, следует также заменить их конечно-разностными аппроксимациями. 4. Если область $\Omega$ , в которой решается задача, имеет неправильную форму, можно покрыть ее сеткой (рис. 8.14) и найти решение в ближайших к границе точках, а затем рассчитать значения искомой функции на границе, например, с помощью линейной интерполяции. 5. В данной главе рассмотрены принципы конструирования разностных схем для простейших линейных начальных, краевых и начально-краевых задач. Для нелинейных задач, которые решаются при расчетно-теоретической проработке современных технических систем, применяют те же разностные схемы, что и для линейных задач. Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике). Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка

Онлайн-сервисы

Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики Онлайн число, сумма и дата прописью

Алгоритмы JavaScript

Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки Уникальные элементы массива Объединение, пересечение и разность массивов НОД и НОК Операции над матрицами Дата прописью

Введение в анализ

Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика

Теория множеств

Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия

Математическая логика

Алгебра высказываний

Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции

Булевы функции

Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций

Теория формального

Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний

Логика предикатов

Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов

Неформальные и формаль-
ные аксиоматические теории

Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории

Теория алгоритмов

Интуитивное представление об алгоритмах Машины Тьюринга и тезис Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики

Математическая логика и компьютеры

Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект

Дискретная математика

Множества и отношения

Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций

Группы и кольца

Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов

Полукольца и булевы алгебры

Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки

Алгебраические системы

Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры

Теория графов

Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов

Булева алгебра и функции

Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов

Конечные автоматы и регулярные языки

Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга

Контекстно-свободные языки

Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов

Интегральное исчисление

Неопределённый и определённый

Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции

Приложения интегралов

Вычисление площадей плоских фигур Площади фигур в различных координатах Вычисление объемов тел с помощью интегралов Объём тела вращения Вычисление длин дуг кривых Формулы длины дуги регулярной кривой Кривизна плоской кривой Площадь поверхности вращения тела

Интегралы в физике

Статические моменты и координаты центра тяжести Теоремы Гульдина–Паппа Вычисление моментов инерции Другие приложения интегралов в физике

Основные интегралы

Интеграл Ньютона-Лейбница Интеграл Римана Интеграл Лебега

Вариационное исчисление

Примеры вариационных задач Дифференциальное уравнение Эйлера Функционалы, зависящие от нескольких функций Задача о минимуме кратного интеграла

Финансовый анализ

Анализ эффективности

Критерии и показатели эффективности предприятия Методы анализа эффективности деятельности Факторный анализ прибыли от операционной деятельности Анализ безубыточности предприятия Операционный рычаг и эффект финансового рычага Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала Анализ распределения прибыли предприятия Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности

Анализ устойчивости

Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность Характеристика типов финансовой устойчивости

Рыночная активность

Финансовый анализ рыночной активности Методика анализа рыночной активности Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию

Инвестиционная деятельность

Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование

Анализ инвестиций

Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия Задачи финансового анализа инвестиций предприятия Учет фактора времени в инвестиционной деятельности Аннуитет и финансовая рента в инвестициях Учет фактора инфляции при инвестировании Оценка фактора риска инвестиционного проекта Методы оценки эффективности инвестиций Показатели эффективности инвестиционного проекта

Стоимость компании

Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций

Форвардные контракты

Форвардный контракт и цена Форвардная цена акции на бирже Цена форвардного контракта инвестора Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда Форвардная цена валюты на рынке форекс Форвардный валютный курс и инфляция на рынке Форвардная цена товара и спотовый рынок Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам Синтетический форвардный контракт на акции и валюту

Теория вероятностей

Основные понятия теории вероятностей Зависимые и независимые случайные события Повторные независимые испытания Формула Бернулли Одномерные случайные величины Многомерные случайные величины Функции случайных величин Законы распределения целочисленных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и предельные теоремы Вероятностные закономерности

Математическая статистика

Элементы математической статистики Выборочный метод Оценки параметров генеральной совокупности Статистические гипотезы Критерии согласия Теоретические и эмпирические частоты

Теория очередей (СМО)

Определение системы массового обслуживания Уравнения Колмогорова Предельные вероятности состояний Определение СМО с отказами Определение СМО с ожиданием (очередью)

Аналитическая геометрия

Векторная алгебра

Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике

Системы координат

Прямоугольные координаты Преобразования прямоугольных координат Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферические координаты Аффинные координаты Аффинные преобразования координат Аффинные преобразования плоскости Примеры аффинных преобразований плоскости Аффинные преобразования пространства Многомерное координатное пространство Линейные и аффинные подпространства Скалярное произведение n-мерных векторов Преобразования систем координат

Геометрия на плоскости

Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными

Линии 2-го порядка

Канонические уравнения линий второго порядка Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду Эллипс Гипербола Парабола Квадратичные неравенства с двумя неизвестными Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций

Инварианты линий

Классификация линий 2-го порядка по инвариантам Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам

Геометрия в пространстве

Способы задания ГМТ в пространстве Алгебраические уравнения поверхностей Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам Уравнения плоскости, проходящей через три точки Взаимное расположение плоскостей Типовые задачи с плоскостями Уравнения прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Типовые задачи с прямыми в пространстве

Поверхности 2-го порядка

Канонические уравнения поверхностей Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду Поверхности второго порядка Эллипсоиды Гиперболоиды Конусы Параболоиды Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций

Инварианты поверхностей

Классификация поверхностей 2-го порядка по инвариантам Квадратичные неравенства с тремя неизвестными Приведение уравнения поверхности к канониче-скому виду по инвариантам

Линейная алгебра

Матрицы и операции

Линейные операции над матрицами Умножение матриц Возведение матриц в степень Многочлены от матриц Транспонирование и сопряжение матриц Блочные матрицы Произведение и сумма матриц Кронекера Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду Элементарные преобразования матриц

Определители

Определители матриц и их основные свойства Формула полного разложения определителя Формула Лапласа полного разложения определителя Определитель произведения матриц Методы вычисления определителей

Ранг матрицы

Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы Ранг матрицы и базисный минор матрицы Методы вычисления ранга матрицы Ранг системы столбцов (строк)

Обратная матрица

Обратные матрицы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы Способы нахождения обратной матрицы Матричные уравнения Односторонние обратные матрицы Скелетное разложение матрицы Полуобратная матрица Псевдообратная матрица

Системы уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Структура общего решения системы уравнений Решение систем с помощью полуобратных матриц Псевдорешения системы линейных уравнений

Функциональные матрицы

Функциональные матрицы скалярного аргумента Производные матриц по векторному аргументу Линейные и квадратичные формы и их преобразования Приведение форм к каноническому виду Закон инерции вещественных квадратичных форм Знакоопределенность форм вещественных квадратичных Формы и исследование функций на экстремум

Многочленные матрицы

Многочленные матрицы (лямбда-матрицы) Операции над лямбда-матрицами Простые преобразования многочленных матриц Инвариантные множители многочленной матрицы

Функции от матриц

Собственные векторы и значения матрицы Подобие числовых матриц Характеристический многочлен матрицы Минимальный многочлен матрицы Теорема Гамильтона-Кэли Жорданова форма матрицы Приведение матрицы к жордановой форме Многочлены от матриц Применение многочленов от матриц Функции от матриц

Линейные пространства

Линейные пространства: определение и примеры Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов Размерность и базис линейного пространства Преобразования координат в линейном пространстве Изоморфизм линейных пространств

Подпространства

Подпространства линейного пространства Пересечение и сумма подпространств Способы описания подпространств Нахождение дополнения и суммы подпространств Нахождение пересечения подпространств

Линейные отображения

Линейные многообразия Линейные отображения Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения

Линейные операторы

Линейные операторы (преобразования) Инвариантные подпространства Собственные векторы и значения оператора Свойства собственных векторов операторов Канонический вид линейного оператора Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду

Евклидовы пространства

Комплексный анализ

Комплексные числа

Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Множества на комплексной плоскости Последовательности и ряды комплексных чисел

Комплексные функции

Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная Элементарные функции комплексного переменного Дифференцирование функций комплексного переменного Аналитические функции и их свойства Конформные отображения
и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного

Функциональные ряды в комплексной области

Функциональные ряды и последовательности Степенные ряды и их свойства Разложение функций в степенные ряды Нули аналитических функций Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням

Особые точки, Вычеты

Изолированные особые точки функций и полюсы Вычеты и их применение Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычеты и расположение нулей многочлена

Операционное исчисление

Преобразование Лапласа и его свойства Решение ДУ операционным методом Анализ выходных процессов линейных стационарных систем Z-преобразование и его свойства

Дифференциальные уравнения

ДУ первого порядка

Основные понятия и определения ДУ Метод изоклин для ДУ 1-го порядка Метод последовательных приближений ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ 1-го порядка Дифференциальное уравнение Бернулли ДУ в полных дифференциалах Интегрирующий множитель ДУ, не разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение Риккати Составление ДУ семейств линий Задачи на траектории Особые решения ДУ

ДУ высших порядков

Понятия и определения ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка Линейная независимость функций Определители Вронского и Грама Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения Задача Коши и Уравнение Эйлера Линейные ДУ с переменными коэффициентами Метод Лагранжа решения ДУ Краевые задачи для ДУ высших порядков Разложение решения ДУ в степенной ряд Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд Нахождение периодических решений ДУ Асимптотическое интегрирование ДУ

Системы ДУ

Системы ДУ: понятия и определения Сведение системы ДУ к одному уравнению Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование однородных линейных систем ДУ Методы интегрирования неоднородных систем ДУ Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем

Теория устойчивости

Устойчивость решений ДУ по Ляпунову Простейшие типы точек покоя Метод функций Ляпунова Устойчивость решений ДУ по первому приближению Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова ДУ с малым параметром при производной

Численные методы

Методы алгебры

Численные методы линейной алгебры Численные методы решения СЛАУ Итерационный метод Шульца обратной матрицы Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы Методы решения нелинейных уравнений Методы решения систем нелинейных уравнений

Методы теории приближений

Методы приближения сеточных функций Методы функциональной интерполяции Методы интегрально-дифференциальной интерполяции Методы интегрального сглаживания Методы интерполяции и сглаживания сплайнами Методы численного дифференцирования и интегрирования Методы численного дифференцирования Методы численного интегрирования

Методы решения обыкновенных ДУ

Численные методы решения задачи Коши Разностные схемы для решения задачи Коши Составные схемы для решения задачи Коши Экстраполяционные методы решения задачи Коши Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши Численные методы решения краевых задач

Методы решения ДУ в частных производных

Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Численные методы решения уравнений в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными

Разностные схемы решения уравнений
в частных производных 2-го порядка

Разностные схемы решения уравнений параболического типа

Сначала рассмотрим проблему конструирования явных разностных схем. Основная идея состоит в том, что после замены дифференциального уравнения параболического типа его конечно-разностной аппроксимацией получаются формулы, явно выражающие значения решения для одного расчетного временного слоя через значения решения на предыдущем временном слое. Таким образом, если известно решение в начальный момент времени, можно шаг за шагом (послойно) найти решение для всех последующих моментов. Чтобы проиллюстрировать общий подход, рассмотрим типичную задачу теплопроводности.

Пример 8.3. Построить явную разностную схему для решения задачи теплопроводности в стержне, начальная температура которого равна нулю. Пусть температура левого конца $(x=0)$ фиксирована, а на правом конце $(x=L)$ происходит теплообмен с окружающей средой, так что тепловой поток пропорционален разности температур конца стержня и среды (определяется функцией $g(t)$ ).

Решается третья начально-краевая задача:
$u_t=u_{xx},~~ 0<x<L,~ 0<t<T,$
$u(x,0)=0,~~ 0 \leqslant x \leqslant L,$ (начальное условие)
$u(0,t)=1,~~ 0<t<T,$ (краевое условие на левой границе)
$u_x(L,t)=-\bigl[u(L,t)-g(t)\bigr],~~ 0<t \leqslant T,$ (краевое условие на правой границе).

Сравнивая с общей постановкой задачи, получаем ( $L,\,T$ — заданные числа)

$a^2=1,\quad \psi(x)\equiv 0,,\quad \alpha_0=0,\quad \beta=1,\quad \varphi_1(x)=1,\quad \alpha_1=1,\quad \beta_1=1,\quad \varphi_2(t)=g(t).$

Для аппроксимации производных в решаемом уравнении будем использовать (8.27),(8.26): $\frac{\widehat{u}_{i}^{n+1}-\widehat{u}_{i}^{n}}{\tau}= \frac{\widehat{u}_{i+1}^{n}-2\widehat{u}_{i}^{n}+ \widehat{u}_{i-1}^{n}}{h^2}$ . Отсюда

$\widehat{u}_{i}^{n+1}= \frac{\tau}{h^2}\,\widehat{u}_{i-1}^{n}+ \left(1-\frac{2\tau}{h^2}\right)\!\widehat{u}_{i}^{n}+ \frac{\tau}{h^2}\,\widehat{u}_{i+1}^{n},\quad i=1,2,\ldots,I-1.$

(8.41)

Эта формула при фиксированном значении $i$ выражает решение на (n+1)-м временном слое через решение на n-м слое. Ей соответствует четырехточечный шаблон, изображенный на рис. 8.5, в.

При записи в разностной форме начальное условие $u(x,0)=0,~ 0 \leqslant x \leqslant L$ , запишется в следующем виде:

$\widehat{u}_{i}^{0}=0,\quad i=0,1,2,\ldots,I$

(8.42)

краевые условия на левом конце $(x=0)\colon$

$\widehat{u}_{0}^{n}=1,\quad n=1,2,\ldots,N,$

(8.43)

краевые условия на правом конце $(x=L)$ определяются левой разностью по формуле (8.21): $\frac{\widehat{u}_{I}^{n}-\widehat{u}_{I-1}^{n}}{h}=-\bigl[\widehat{u}_{I}^{n}-g(n\,\tau)\bigr]$ . Отсюда

$\widehat{u}_{I}^{n}= \frac{\widehat{u}_{I-1}^{n}-h\cdot g(n\cdot \tau)}{1+h},\quad n=1,2,\ldots,N.$

(8.44)

Заметим, что соотношения (8.42),(8.43) точно аппроксимируют начальное и соответствующее краевое условие. Соотношения (8.41)–(8.44) образуют явную двухслойную разностную схему, имеющую первый порядок аппроксимации по $\tau$ и второй — по $h$ .

Замечания

1. Данная схема условно устойчива (устойчива при выполнении условия $\frac{\tau}{h^2} \leqslant \frac{1}{2}$ , т.е. при $\tau \leqslant \frac{h^2}{2}$ ). Тем самым накладываются серьезные ограничения на выбор шага по времени. Например, если шаг сетки по переменной $x$ выбрать равным $h=0,\!1$ , то шаг сетки по времени не должен быть больше, чем $\tau=0,\!5\cdot 0,\!1^2= 0,\!005$ (это означает, что отрезок $[0;1]$ будет пройден за 200 шагов). Наилучшим с точки зрения минимизации ошибок является соотношение $\tau= \frac{h^2}{6}$ .

2. Разностная схема для уравнения $u_t= a^2(x,t)u_{xx}$ строится аналогично и является устойчивой при $\frac{\tau}{h^2} \leqslant \frac{1}{2A}$ , где $A= \max_{(x,t)\in D} a^2(x,t)$ .

Методика вычислений по явной схеме

1. Задать значения шагов сетки $A,\,\tau$ так, что $l\,h=L,~ N\,\tau=T$ , где $I,\,N$ — целые положительные числа, причем значение шага по времени выбрать из условия устойчивости $\tau \leqslant \frac{h^2}{2}$ . Вычислить $\widehat{u}_{i }^{0}=0,~ i=0,1,\ldots,I;$ $\widehat{u}_{0}^{n}=1,~ n=1,\ldots,N$ . Положить $n=0$ .

2. Найти решение на (n+1)-м слое (рис. 8.7):

$\widehat{u}_{i}^{n}= \frac{\tau}{h^2}\,\widehat{u}_{i-1}^{n}+ \left(1-\frac{2\tau}{h^2}\right)\!\widehat{u}_{i}^{n}+ \frac{\tau}{h^2}\,\widehat{u}_{i+1}^{n},\quad i=1,\ldots,I-1;\quad \widehat{u}_{I}^{n}= \frac{\widehat{u}_{I-1}^{n}-h\,g(n\,\tau)}{1+h}\,.$

3. Если $n=N$ , вычисления завершить. Иначе положить $n=n+1$ и перейти к пункту 2.

Пример 8.4. Пользуясь явной схемой, используемой в примере 8.3, найти приближенное решение первой начально-краевой задачи вида:

$u_t=u_{xx},~ 0<x<1,~0<t<0,\!01,$

$u(x,0)= 4x(1-x),~ 0 \leqslant x \leqslant 1,$ (начальное условие)

$u(0,t)=0,~ 0<t \leqslant 0,\!01,$ (краевое условие на левой границе)

$u(1,t)=0,~ 0<t \leqslant 0,\!01,$ (краевое условие на правой границе).

Сравнивая с общей постановкой задачи (см. разд. 8.2), получаем

$a^2=1,\quad \psi(x)=4x(1-x),\quad \varphi_1(t)\equiv 0,\quad \varphi_2(t)\equiv 0,\quad L=1,\quad T=0,\!01.$

1. Зададим шаг по пространству: $h=0,\!01$ , следовательно, $I=\frac{L}{0,\!1}= \frac{1}{0,\!1}=10$ . Выберем шаг по времени из условия обеспечения устойчивости и минимизации ошибок $\tau=\frac{h^2}{6}=\frac{0,\!01}{6}=\frac{1}{600}$ , поэтому $N= \frac{T}{\tau}= \frac{0,\!01}{1\!\!\not{\phantom{|}}\,600}=6$ . Таким образом, получаем

$x_{i}=0,\!1i,\quad i=0,1,2,\ldots,10;\qquad t^n= \frac{n}{600},\quad n=0,1,2,\ldots,6.$

Вычислим значения решения на нулевом слое:

$\widehat{u}_{i}^{0}= 4x_{i}(1-x_{i})= 4\cdot 0,\!1\cdot i(1-0,\!1i),\quad i=0,1,2,\ldots,10~ (I=10).$

Краевые условия на левой и правой границах записываются в виде:

$\widehat{u}_{0}^{n}=0,\quad n=1,2,\ldots,N=6;\qquad \widehat{u}_{I}^{n}=0,\quad n=1,2,\ldots,6~ (N=6).$

2,3. Поскольку $\frac{\tau}{h^2}= \frac{1\!\!\not{\phantom{|}}\,600}{0,\!01}= \frac{1}{6}$ решение на следующих слоях при $n=0,1,\ldots,5$ находится по формуле, следующей из (8.41):

$\widehat{u}_{i}^{n+1}= \frac{1}{6}\cdot \widehat{u}_{i-1}^{n}+ \frac{2}{3}\cdot \widehat{u}_{i}^{n}+ \frac{1}{6}\cdot \widehat{u}_{i+1}^{n},\quad i=1,2,\ldots,9;$

и занесено в табл. 8.1.

$\begin{aligned}\mathit{Table~8.1}~&\\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline n \setminus i& 0& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10 \\\hline 0& 0& 0,\!360& 0,\!640& 0,\!840& 0,\!960& 1,\!000& 0,\!960& 0,\!840& 0,\!640& 0,\!360& 0 \\\hline <br />1& 0& 0,\!347& 0,\!627& 0,\!827& 0,\!947& 0,\!987& 0,\!947& 0,\!827& 0,\!627& 0,\!347& 0 \\\hline 2& 0& 0,\!336& 0,\!613& 0,\!813& 0,\!933& 0,\!973& 0,\!933& 0,\!813& 0,\!613& 0,\!336& 0 \\\hline 3& 0& 0,\!326& 0,\!600& 0,\!800& 0,\!920& 0,\!960& 0,\!920& 0,\!800& 0,\!600& 0,\!326& 0 \\\hline 4& 0& 0,\!317& 0,\!588& 0,\!787& 0,\!907& 0,\!947& 0,\!907& 0,\!787& 0,\!588& 0,\!317& 0 \\\hline 5& 0& 0,\!309& 0,\!576& 0,\!774& 0,\!894& 0,\!934& 0,\!894& 0,\!774& 0,\!576& 0,\!309& 0 \\\hline 6& 0& 0,\!302& 0,\!564& 0,\!761& 0,\!881& 0,\!921& 0,\!881& 0,\!761& 0,\!564& 0,\!302& 0 \\\hline \end{array}& \end{aligned}$

Подчеркнем, что полученное решение на каждом из временных слоев является симметричным.

Теперь рассмотрим проблему конструирования неявных разностных схем. Для их получения все производные, входящие в дифференциальное уравнение, заменяются конечно-разностными аппроксимациями. Однако значения решения на (n+1)-м слое уже не выражаются в явном виде через значения на предыдущих слоях. В неявных схемах для нахождения решения на следующем временном слое необходимо решать систему линейных алгебраических уравнений.

Для иллюстрации общего подхода решим следующую задачу теплопроводности.

Пример 8.5. Построить неявную разностную схему решения задачи теплопроводности в стержне, начальная температура которого равна 1, а температура левого и правого концов равна нулю.

Данным физическим условиям соответствует первая начально-краевая задача:

$u_t=u_{xx},~~ 0<x<L,~ 0<t<T,$
$u(x,0)=1,~~ 0 \leqslant x \leqslant L,$ (начальное условие)
$u(0,t)=0,~~ 0<t \leqslant T,$ (краевое условие на левой границе)
$u(L,t)=0,~~ 0<t \leqslant T$ (краевое условие на правой границе).

Сравнивая с общей постановкой задачи, получаем $a^2=1,~ \psi(x)\equiv 1~ \varphi_1(t)= \varphi_2(t)\equiv 0;$ $L,\,T$ — заданные числа.

Для аппроксимации производных в решаемом уравнении будем использовать формулу (8.27) и формулу (8.26), записанную на (n+1)-м временном слое:

$\frac{\widehat{u}_{i}^{n+1}-\widehat{u}_{i}^{n}}{\tau}= \frac{\widehat{u}_{i+1}^{n+1}-2\widehat{u}_{i}^{n+1}+ \widehat{u}_{i-1}^{n+1}}{h^2}\,.$

Отсюда

$-\frac{\tau}{h^2}\cdot \widehat{u}_{i-1}^{n+1}+ \left(1+\frac{2\tau}{h^2}\right)\cdot \widehat{u}_{i}^{n+1}-\frac{\tau}{h^2}\cdot \widehat{u}_{i+1}^{n+1}= \widehat{u}_{i}^{n},\quad i=1,2,\ldots,I-1.$

(8.45)

Эта формула выражает решение на (n+1)-м временном слое через решение на n-м слое. Ей соответствует четырехточечный шаблон, изображенный на рис. 8.8,а.

При записи в разностной форме начальное условие $u(x,0)=1,~ 0 \leqslant x \leqslant L$ , запишется в следующем виде:

$\widehat{u}_{i}^{0}=1,\quad i=0,1,2,\ldots,I,$

(8.46)

краевые условия:

$\begin{aligned}&\widehat{u}_{0}^{n}=0, & & n=1,2,\ldots,N,\\ &\widehat{u}_{I}^{n}=0, & & n=1,2,\ldots,N. \end{aligned}$

(8.47)

Соотношения (8.45)–(8.47) образуют неявную двухслойную разностную схему, имеющую первый порядок аппроксимации по $\tau$ и второй — по $h$ . Она является абсолютно устойчивой и сходящейся.

Методика вычислений по неявной схеме

1. Задать значения шагов сетки $h,\,\tau$ из условия обеспечения требуемой точности решения так, что $I\,h=L,~ N\,\tau=T,$ , где $I,\,N$ — целые положительные числа. Вычислить $\widehat{u}_{i}^{0}=1,~ i=0,1,\ldots,I;$ $\widehat{u}_{0}^{n}=0,~ n=1,\ldots,N;$ $\widehat{u}_{I}^{n}=0,~ n=1,\ldots,N$ . Положить $n=0$ .

2. Сформируем систему линейных алгебраических уравнений для некоторого временного слоя, записывая уравнение (8.45) при $i=1,2,\ldots,I-1$ (рис. 8.9):

$\begin{aligned}&-\frac{\tau}{h^2}\cdot \widehat{u}_{0}^{n+1}+ \left(1+ \frac{2\tau}{h^2}\right)\cdot \widehat{u}_{1}^{n+1}-\frac{\tau}{h^2}\cdot \widehat{u}_{2}^{n+1}= \widehat{u}_{1}^{n},\\[2pt] &-\frac{\tau}{h^2}\cdot \widehat{u}_{1}^{n+1}+ \left(1+ \frac{2\tau}{h^2}\right)\cdot \widehat{u}_{2}^{n+1}-\frac{\tau}{h^2}\cdot \widehat{u}_{3}^{n+1}= \widehat{u}_{2}^{n},\\[-2pt] &\quad\vdots\\[-4pt] &-\frac{\tau}{h^2}\cdot \widehat{u}_{I-2}^{n+1}+ \left(1+ \frac{2\tau}{h^2}\right)\cdot \widehat{u}_{I-1}^{n+1}-\frac{\tau}{h^2}\cdot \widehat{u}_{I}^{n+1}= \widehat{u}_{I-1}^{n}. \end{aligned}$

Согласно п.1, $\widehat{u}_{0}^{n}=1,~ n=1,\ldots,N;~ \widehat{u}_{1}^{n}=0,~ n=1,\ldots,N$ . Поэтому для нахождения решения на следующем временном слое требуется решить трехдиагональную систему $(I-1)$ линейных алгебраических уравнений с $(I-1)$ неизвестными $\widehat{u}_{1}^{n+1},\ldots,\widehat{u}_{I-1}^{n+1}\colon$

$\begin{gathered}\left(1+ \frac{2\tau}{h^2}\right)\cdot \widehat{u}_{1}^{n+1}-\frac{\tau}{h^2}\cdot \widehat{u}_{2}^{n+1}= \widehat{u}_{1}^{n},\\ -\frac{\tau}{h^2}\cdot \widehat{u}_{1}^{n+1}+ \left(1+ \frac{2\tau}{h^2}\right)\cdot \widehat{u}_{2}^{n+1}-\frac{\tau}{h^2}\cdot \widehat{u}_{3}^{n+1}= \widehat{u}_{2}^{n},\\[-2pt] \vdots\\[-4pt]-\frac{\tau}{h^2}\cdot \widehat{u}_{I-2}^{n+1}+ \left(1+ \frac{2\tau}{h^2}\right)\cdot \widehat{u}_{I-1}^{n+1}= \widehat{u}_{I-1}^{n}. \end{gathered}$

Методы решения таких систем рассматривались ранее.

3. Если $n=N$ у вычисления завершить. Иначе положить $n=n+1$ и перейти к пункту 2.

Методику вычислений по неявной схеме можно проследить на рис. 8.9, где выделен используемый четырехточечный шаблон. Заметим, что в неявной схеме объем вычислений на каждом шаге больше, чем в явных, но хорошую точность можно получить при гораздо большем шаге по времени.

Получим еще одну неявную схему. Для аппроксимации производной щ применим (8.27), а для аппроксимации и^ взвешенное среднее выражения (8.26), записанного для узлов $(x_{i}, t^n),\, (x_{i},t^{n+1})$ на n-м и (n+1)-м временных слоях (см. рис. 8.8,б):

$\widehat{u}_{xx}= \frac{\widehat{u}_{i+1}^{n}-2\widehat{u}_{i}^{n}+ \widehat{u}_{i-1}^{n}}{h^2}\,,\qquad \widehat{u}_{xx}= \frac{\widehat{u}_{i+1}^{n+1}-2\widehat{u}_{i}^{n+1}+ \widehat{u}_{i-1}^{n+1}}{h^2}\,,$

то есть $u_{xx}= \lambda\,\frac{\widehat{u}_{i+1}^{n+1}-2\widehat{u}_{i}^{n+1}+ \widehat{u}_{i-1}^{n+1}}{h^2}+ (1-\lambda) \frac{\widehat{u}_{i+1}^{n}-2\widehat{u}_{i}^{n}+ \widehat{u}_{i-1}^{n}}{h^2}$ , где $\lambda\in [0;1]$ . При $\lambda= \frac{1}{2}$ получается обычное среднее, при $\lambda= \frac{3}{4}$ одна из разностных производных берется с весом $\frac{3}{4}$ , а другая — с весом $\frac{1}{4}$ . В результате получаем разностную схему:

$\begin{gathered}\frac{\widehat{u}_{i}^{n+1}-\widehat{u}_{i}^{n}}{\tau}= \lambda\,\frac{\widehat{u}_{i+ 1}^{n+1}-2\widehat{u}_{i}^{n+1}+ \widehat{u}_{i-1}^{n+1}}{h^2}+ (1-\lambda) \frac{\widehat{u}_{i+ 1}^{n}-2\widehat{u}_{i}^{n}+ \widehat{u}_{i-1}^{n}}{h^2}\,,\quad i=1,2,\ldots,I-1,\\[2pt] \widehat{u}_{i}^{0}=1,~ i=0,1,\ldots,I;\quad \widehat{u}_{0}^{n}=1,~ n=1,2,\ldots,N;\quad \widehat{u}_{I}^{n}=0,\quad n=1,2,\ldots,N. \end{gathered}$

Перенесем в первых $(I-1)$ уравнениях все неизвестные в левую часть. Тогда получаем

$\begin{gathered}-\lambda\cdot \frac{\tau}{h^2}\cdot \widehat{u}_{i-1}^{n+1}+ \left(1+2 \lambda \frac{\tau}{h^2}\right)\cdot \widehat{u}_{i}^{n+1}-\lambda\cdot \frac{\tau}{h^2}\cdot \widehat{u}_{i+1}^{n+1}=\\ =(1-\lambda)\cdot \frac{\tau}{h^2}\cdot \widehat{u}_{i-1}^{n}+ \left(1+2 (1-\lambda) \frac{\tau}{h^2}\right)\cdot \widehat{u}_{i}^{n}-(1-\lambda)\cdot \frac{\tau}{h^2}\cdot \widehat{u}_{i+1}^{n},\quad i=1,\ldots,I-1;\\[2pt] \widehat{u}_{i}^{0}=1,~ i=0,1,\ldots,I;\quad \widehat{u}_{0}^{n}=0,~ n=1,2,\ldots,N;\quad \widehat{u}_{I}^{n}=1,~ n=1,2,\ldots,N. \end{gathered}$

(8.48)

Эта схема абсолютно устойчива и сходится. Для нахождения решения на следующем слое, как и ранее, требуется решать трехдиагональную систему $(I-1)$ линейных алгебраических уравнений. При $\lambda= \frac{1}{2}$ схема называется схемой Кранка-Николсон. При $\lambda=0$ из (8.48) следует явная схема (8.41), а при $\lambda=1$ — неявная схема (8.45). Шеститочечный шаблон, соответствующий схеме (8.48), изображен на рис. 8.8,б. При $\lambda= \frac{1}{2}$ схема имеет второй порядок аппроксимации по $\tau$ и по $h$ , а при $\lambda\ne \frac{1}{2}$ — первый порядок аппроксимации по $\tau$ и второй — по $h$ .

Методику вычислений, совпадающую с уже описанной для схемы (8.45), продемонстрируем на примере.

1. Зададим $h= 0,\!2;~ \tau= 0,\!08;~ L= 1;~ T= 0,\!8$ . Тогда $I\,0,\!2= 1,~ N\,0,\!08 = 0,\!8$ , то есть $I=5,~ N=10$ . Тогда начальные и краевые условия примут вид:

$\widehat{u}_{i}^{0}=1,~ i=0,1,\ldots,5;\quad \widehat{u}_{0}^{n}=0,~ n=1,2,\ldots,10;\quad \widehat{u}_{5}^{n}=0,~ n=1,2,\ldots,10.$

Положим $n=0,~ \lambda= \frac{1}{2}$ . Вычислим $\frac{\tau}{h^2}= \frac{0,\!08}{0,\!04}=2$ .

2. Запишем систему (8.48) , принимая $i=1,2,3,4~ (I-1=4)$ с учетом пункта 1:

$\begin{aligned}&-\widehat{u}_{0}^{1}+3\widehat{u}_{1}^{1}-\widehat{u}_{2}^{1}= \widehat{u}_{0}^{0}-\widehat{u}_{1}^{0}+\widehat{u}_{2}^{0},\\[2pt] &-\widehat{u}_{1}^{1}+3\widehat{u}_{2}^{1}-\widehat{u}_{3}^{1}= \widehat{u}_{1}^{0}-\widehat{u}_{3}^{0}+\widehat{u}_{3}^{0},\\[2pt] &-\widehat{u}_{2}^{1}+3\widehat{u}_{3}^{1}-\widehat{u}_{4}^{1}= \widehat{u}_{2}^{0}-\widehat{u}_{3}^{0}+\widehat{u}_{4}^{0},\\[2pt] &-\widehat{u}_{3}^{1}+3\widehat{u}_{4}^{1}-\widehat{u}_{5}^{1}= \widehat{u}_{3}^{0}-\widehat{u}_{4}^{0}+\widehat{u}_{5}^{0};\\[4pt] &\widehat{u}_{i}^{0}=1,~ i=0,1,\ldots,5;\quad \widehat{u}_{0}^{1}=0,\quad \widehat{u}_{5}^{1}=0. \end{aligned}$

Тогда получаем $\begin{cases}3\,\widehat{u}_{1}^{1}-\widehat{u}_{2}^{1}=1,\\-\widehat{u}_{1}^{1}+ 3\,\widehat{u}_{2}^{1}-\widehat{u}_{3}^{1}=1,\\-\widehat{u}_{2}^{1}+ 3\,\widehat{u}_{3}^{1}-\widehat{u}_{4}^{1}=1,\\-\widehat{u}_{3}^{1}+ 3\,\widehat{u}_{4}^{1}=1; \end{cases}$ или в матричной форме $\begin{pmatrix}3&-1&0&0\\-1&3&-1&0\\ 0&-1&3&-1\\ 0&0&-1&3 \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}\widehat{u}_{1}^{1}\\ \widehat{u}_{2}^{1}\\ \widehat{u}_{3}^{1}\\ \widehat{u}_{4}^{1} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1\\1\\1\\1 \end{pmatrix}\!.$ В результате имеем $\begin{cases}\widehat{u}_{1}^{1}=0,\!6;\\ \widehat{u}_{2}^{1}=0,\!8;\\ \widehat{u}_{3}^{1}=0,\!8;\\ \widehat{u}_{4}^{1}=0,\!6. \end{cases}$

3. Далее, полагая $n=1$ , можно сделать следующий шаг по времени, решая новую систему алгебраических уравнений. Аналогичный процесс продолжается до достижения значения $N=10$ .

Разностные схемы решения уравнений гиперболического типа

Методы сеток для решения гиперболических уравнений имеют много общего с соответствующими методами для параболических уравнений. Однако они имеют и свои особенности, связанные с типом уравнения.

Сначала рассмотрим проблему конструирования явных разностных схем. Основная идея состоит в том, что после замены дифференциального уравнения гиперболического типа его конечно-разностной аппроксимацией получаются формулы, явно выражающие значения решения для одного расчетного временного слоя через значения решения на предыдущем временном слое. Таким образом, если известно решение в начальный момент времени, можно шаг за шагом (послойно) найти решение для всех последующих моментов. Чтобы проиллюстрировать общий подход, рассмотрим типичную краевую задачу для волнового уравнения.

Пример 8.6. Построить явную и неявную разностные схемы для решения задачи, в которой имеется струна длиной $L$ , натянутая между двумя точками оси $Ox$ , точкой $x=0$ и точкой $x=L$ . Концы струны закреплены, начальное смещение струны описывается функцией $f(x)$ , а начальная скорость — функцией $g(x)$ .

Решается первая начально-краевая задача:
$u_{tt}=u_{xx},~~ 0<x<T,~ 0<t<T,$
$u(x,0)=f(x),~~ 0<x<L,$ (начальное условие)
$u_t(x,0)=g(x),~~ 0<x<L,$ (начальное условие)
$u(0,t)=0,~~ 0 \leqslant t \leqslant T,$ (краевое условие на левой границе)
$u(L,t)=0,~~ 0 \leqslant t \leqslant T,$ (краевое условие на правой границе).

Сравнивая с общей постановкой задачи, получаем $c^2=1,~ \psi_1(x)=f(x),$ $\psi_2(x)= g(x),$ $\varphi_1(t)= \varphi_2(t)\equiv 0;$ $L,\,T$ — заданные числа.

Для аппроксимации производных в решаемом уравнении будем использовать (8.30) и (8.26):

$\frac{\widehat{u}_{i}^{n+1}-2\widehat{u}_{i}^{n}+ \widehat{u}_{i}^{n-1}}{\tau^2}= \frac{\widehat{u}_{i+1}^{n}-2\widehat{u}_{i}^{n}+\widehat{u}_{i-1}^{n}}{h^2}\,.$

Отсюда

$\widehat{u}_{i}^{n+1}= \frac{\tau^2}{h^2}\cdot \widehat{u}_{i-1}^{n}+ 2\! \left(1-\frac{\tau^2}{h^2}\right)\cdot \widehat{u}_{i}^{n}+ \frac{\tau^2}{h^2}\cdot \widehat{u}_{i+1}^{n}-\widehat{u}_{i}^{n-1},\quad i=1,2,\ldots,I-1.$

(8.49)

Эта формула выражает решение на (n+1)-м временном слое через решение на n-м и (n-1)-м слоях. В отличие от схем для уравнения теплопроводности, в которых использовались только два временных слоя (n-й и (n+1)-й) , здесь требуется использовать три слоя: (n-1)-й, n-й и (n+1)-й. Ей соответствует пятиточечный шаблон, изображенный на рис. 8.10,а , называемый "крест".

При записи в разностной форме начальное условие $u(x,0)= f(x),~ 0<x<L$ , запишется в следующем виде:

$\widehat{u}_{i}^{0}= f(i\,h),\quad i=1,2,\ldots,I-1,$

(8.50)

начальное условие $u_t(x,0)=g(x),~ 0<x<L$ , с применением (8.27) при $n=0$ в виде $\frac{\widehat{u}_{i}^{1}-\widehat{u}_{i}^{0}}{\tau}= g(i\,h),$ $i=1,2,\ldots,I-1$ , или, используя предыдущее соотношение,

$\widehat{u}_{i}^{1}= f(i\,h)+\tau\cdot g(i\,h),\quad i=1,2,\ldots,I-1,$

(8.51)

краевые условия представляются в форме:

$\widehat{u}_{0}^{n}=0,\quad \widehat{u}_{I}^{n}=0,\quad n=0,1,\ldots,N.$

(8.52)

Соотношения (8.49)–(8.52) образуют явную трехслойную разностную схему. Эта схема имеет первый порядок аппроксимации по $t$ и второй — по $x$ , так как соотношение (8.51) аппроксимирует дифференциальное начальное условие с первым порядком.

Замечания

1. Данная схема условно устойчива (устойчива при выполнении условия $\frac{\tau}{h}\leqslant 1$ .

2. Разностная схема для уравнения $u_{tt}= c^2(x,t)u_{xx}$ строится аналогично и является устойчивой при $\frac{\tau^2}{h^2}< \frac{1}{C}$ , где $C= \max_{(x,t)\in D} c^2(x,t)$ .

3. Простейшая замена (8.51) имеет первый порядок аппроксимации. Поскольку разностная схема (8.49) аппроксимирует дифференциальное уравнение со вторым порядком, желательно, чтобы разностное начальное условие также имело второй порядок аппроксимации. Для этого запишем аналог формулы Тейлора (8.17) в направлении $t$ при $k=2\colon$

$u(x,t^0+\tau)= u(x,t^0)+ u_t(x,t^0)\tau+ u_{tt}(x,t^0)\frac{\tau^2}{2}+ u_{ttt}(x,\xi)\frac{\tau^3}{6}\,,\quad \xi\in (t^0,t^0+\tau),~ 0<x<L.$

Если функция $f(x)$ имеет ограниченную вторую производную, то в силу исходного дифференциального уравнения $u_{tt}= u_{xx}$ получаем $u_{tt}(x,t^0)= u_{xx}(x,t^0)= f''(x)$ . Из предыдущего соотношения получаем

$u_{t}(x,t^0)= \frac{u(x,t^0+\tau)-u(x,t^0)}{\tau}+ f''(x)\frac{\tau^2}{2}-u_{ttt}(x,\xi)\frac{\tau^3}{6}$

или

$u_{t}(x,t^0)\cong \frac{u(x,t^0+\tau)-u(x,t^0)}{\tau}+ f''(x)\frac{\tau^2}{2}\,,\quad \left(\frac{\tau^2}{6}\,M_3\right)\!,$

где $M_3= \max_{t\in [t^0,t^0+\tau]} \bigl|u_{ttt}(x,t)\bigr|$ . В результате соответствующее начальное условие в разностной форме имеет вид $\frac{\widehat{u}_{i}^{1}-\widehat{u}_{i}^{0}}{\tau}-f''(i\,h)\frac{\tau}{2}= g(i\,h)$ $i=1,\ldots,I-1$ .

Так как $\widehat{u}_{i}^{0}= f(i\,h),~ i=1,\ldots,I-1$ , то

$\widehat{u}_{i}^{1}= f(ih)+ \tau\cdot g(ih)+ f''(ih)\cdot \frac{\tau^2}{2}\,,\quad i=1,2,\ldots,I-1.$

(8.53)

Если в разностной схеме используется (8.51), схема имеет первый порядок аппроксимации по $\tau$ и второй — по $h$ , а если (8.53), то имеет второй порядок аппроксимации по $\tau$ и по $h$ .

Методика вычислений по явной схеме

1. Задать значения шагов сетки $h,\,\tau$ так, что $I\,h=L,~ N\,\tau=T$ , где $I,\,N$ — целые положительные числа, причем значение шага по времени выбрать из условия устойчивости $\tau \leqslant h$ . Вычислить

$\begin{gathered}\widehat{u}_{i}^{0}= f(ih),\quad i=1,2,\ldots,I-1;\qquad \widehat{u}_{i}^{1}= f(ih)+\tau g(ih),\quad i=1,2,\ldots,I-1;\\[2pt] \widehat{u}_{i}^{0}=0,\quad \widehat{u}_{I}^{n}=0,\quad n=0,1,\ldots,N. \end{gathered}$

Приведенные выражения дают решение задачи для первых двух слоев сетки (рис. 8.8). Положить $n=1$ .

2. Найти решение на (n+1)-м слое (рис. 8.11):

3. Если $n=N$ , вычисления завершить. Иначе положить $n=n+1$ и перейти к пункту 2.

Теперь рассмотрим проблему конструирования неявных разностных схем. Для их получения все производные, входящие в дифференциальное уравнение, заменяются конечно-разностными аппроксимациями с использованием (n+1)-го слоя для аппроксимации $u_{xx}$ . Однако значения решения на (n+1)-м слое уже не выражаются в явном виде через значения на предыдущих слоях. В связи с этим в неявных схемах для нахождения решения на следующем временном слое необходимо решать систему линейных алгебраических уравнений.

Для иллюстрации общего подхода получим неявную схему для волнового уравнения. При аппроксимации производных в уравнении будем использовать (8.30) и формулу (8.26), записанную на (n-1)-м, n-м и (n+1)-м слоях:

$\begin{aligned}\frac{\widehat{u}_{i}^{n+1}-2\widehat{u}_{i}^{n}+ \widehat{u}_{i}^{n-1}}{\tau^2}&= \lambda\cdot \frac{\widehat{u}_{i+1}^{n+1}-2\widehat{u}_{i}^{n+ 1}+\widehat{u}_{i-1}^{n+1}}{h^2}+ (1-2 \lambda)\cdot \frac{\widehat{u}_{i+ 1}^{n}-2\widehat{u}_{i}^{n}+ \widehat{u}_{i-1}^{n}}{h^2}\,+\\ &\quad +\,\lambda\cdot \frac{\widehat{u}_{i+1}^{n-1}-2\widehat{u}_{i}^{n-1}+\widehat{u}_{i-1}^{n-1}}{\tau^2}\,\quad i=1,2,\ldots,I-1,\end{aligned}$

(8.54)

где $\lambda$ — параметр, $0 \leqslant \lambda \leqslant \frac{1}{2}$ . Значения приближенного решения на нулевом и первом слоях вычисляются по формулам (8.50)–(8.52), как и в явной схеме. На остальных слоях схема представляет собой линейную систему алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей, в которой диагональные элементы преобладают. Решение этой системы существует, единственно и вычисляется методом прогонки.

Формула (8.54) выражает три неизвестных значения решения на (n+1)-м временном слое через решения на n-м и (n-1)-м слоях. В отличие от схем для уравнения теплопроводности, в которых использовались только два временных слоя (n-й и (n+1)-й) , здесь требуется использовать три слоя: (n-1)-й, n-й и (n+1)-й. Поэтому такая схема называется неявной трехслойной. Ей соответствует девятиточечный шаблон, изображенный на рис. 8.10,б. При $\lambda=0$ схема (8.50)-(8.52),(8.54) переходит в явную схему "крест".

При $\frac{1}{4} \leqslant \lambda \leqslant \frac{1}{2}$ схема абсолютно устойчива, а при $0 \leqslant \lambda \leqslant \frac{1}{4}$ схема условно устойчива (устойчива при выполнении условия $\frac{\tau}{4} \leqslant \frac{1}{\sqrt{1-4 \lambda}}$ ) При $\frac{1}{4} \leqslant \lambda \frac{1}{2}$ схема имеет второй порядок аппроксимации по $\tau$ и по $h$ .

Пример 8.7. Пользуясь явной схемой, найти приближенное решение первой начально-краевой задачи:
$u_{tt}=u_{xx},~~ 0<x<\pi,~ 0<t<\frac{5\pi}{18}\,,$
$u(x,0)= x(\pi-x),~~ 0<x<\pi,$ (начальное условие)
$u_t(x,0)=0,~~ 0<x<\pi$ (начальное условие)
$u(0,t)=0,~~ 0 \leqslant t \leqslant \frac{5\pi}{18}$ (краевое условие на левой границе)
$u(\pi,t)=0,~~ 0 \leqslant t \leqslant \frac{5\pi}{18}$ (краевое условие на правой границе).

Сравнивая с общей постановкой задачи, получаем

$c^2=1,\quad \psi_1(x)=x(\pi-x),\quad \psi_2(x)\equiv0,\quad \varphi_1(t)= \varphi_2(t)\equiv 0;\quad L=\pi,\quad T=\frac{5\pi}{18}\,.$

1. Зададим шаг по пространству, равным $h=\frac{\pi}{18}$ , шаг по времени выберем из условия устойчивости: $\tau \leqslant h$ . Положим $\tau=h= \frac{\pi}{18}$ . Тогда

$x_{i}=\frac{\pi\,i}{18}\,,\quad t^n= \frac{\pi\,n}{18}\,,\quad i=0,1,\ldots,I=\frac{L}{h}=18;\quad n=0,1,\ldots,N=\frac{T}{\tau}=5.$

По формулам (8.50), (8.52), (8.53), учитывая, что $f(x)=x(\pi-x),$ $f''(x)=-2,~ g(x)\equiv 0$ , получаем значения приближенного решения на нулевом и первом слоях:

$\begin{gathered}\widehat{u}_{i}^{0}= f(ih)= x_{i}(\pi-x_{i})= \frac{\pi\,i}{18}\! \left(\pi-\frac{\pi\,i}{18}\right)\!,\quad i=1,2,\ldots,17,\\[2pt] \widehat{u}_{0}^{n}=0,\quad \widehat{u}_{I}^{n}= 0,\quad n=0,\ldots,5,\\[2pt] \widehat{u}_{i}^{1}= f(ih)+ \tau\,g(ih)+ f''(ih)\frac{\tau^2}{2}= x_{i}(\pi-x_{i})+0-2\, \frac{\tau^2}{2}= \frac{\pi\,i}{18}\! \left(\pi-\frac{\pi\,i}{18}\right)-\left(\frac{\pi}{18} \right)^2\!,\quad i=1,2,\ldots,17. \end{gathered}$

2,3. Поскольку $\frac{\tau^2}{h^2}=1$ , решение на последующих слоях вычисляется по И формуле, следующей из (8.49):

$\widehat{u}_{i}^{n+1}= \widehat{u}_{i-1}^{n}+ \widehat{u}_{i+1}^{n}-\widehat{u}_{i}^{n-1},\quad i=1,2,\ldots,17.$

В табл. 8.2 приведены результаты расчетов при $i=0,1,\ldots,9$ , так как решение $u(x,t)$ симметрично относительно $x=\frac{\pi}{2}~(i=9)$ при фиксированном $t$ .

$\begin{aligned}\mathit{Table~8.2}~&\\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline n \setminus i& 0& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9 \\\hline 0& 0& 0,\!518& 0,\!975& 1,\!371& 1,\!706& 1,\!980& 2,\!193& 2,\!346& 2,\!437& 2,\!467 \\\hline 1& 0& 0,\!487& 0,\!944& 1,\!340& 1,\!675& 1,\!950& 2,\!163& 2,\!315& 2,\!406& 2,\!437 \\\hline 2& 0& 0,\!426& 0,\!853& 1,\!249& 1,\!584& 1,\!858& 2,\!071& 2,\!224& 2,\!315& 2,\!346 \\\hline 3& 0& 0,\!366& 0,\!731& 1,\!097& 1,\!432& 1,\!706& 1,\!919& 2,\!071& 2,\!163& 2,\!193 \\\hline 4& 0& 0,\!305& 0,\!609& 0,\!914& 1,\!218& 1,\!493& 1,\!706& 1,\!858& 1,\!950& 1,\!980 \\\hline 5& 0& 0,\!244& 0,\!487& 0,\!731& 0,\!975& 1,\!218& 1,\!432& 1,\!584& 1,\!675& 1,\!706 \\\hline \end{array}& \end{aligned}$

Замечание. В практике применения численных методов существует полезный прием, позволяющий на основе результатов расчетов судить о том, с какой точностью они получены. С этой целью используется правило Рунге, изложенное выше применительно к уточнению результатов численного дифференцирования и интегрирования. Аналогичный подход можно использовать для оценки точности решения задач математической физики. Опишем идею его реализации:

а) находится численное решение с шагом $h$ по пространственной переменной $x$ и шагом $\tau$ по времени $t$ ;

б) расчет повторяется с шагами $\frac{h}{2}$ и $\frac{\tau}{2}$ с тем, чтобы образовывались слои, некоторые из которых совпадали бы со слоями, полученными ранее;

в) сравниваются оба численных решения в одинаковых узлах сетки (им соответствуют одни и те же значения пространственной координаты и времени). Если отклонение удовлетворяет заданным требованиям, то процесс завершается и в качестве приближенного решения задачи принимается полученное в п.б. Иначе шаги снова делятся пополам и процесс продолжается.

Разностные схемы решения уравнений эллиптического типа

Рассмотрим проблему решения краевых задач для уравнений эллиптического типа. Эти задачи являются стационарными, так как в них отсутствует временная переменная. В них требуется найти решение уравнения с частными производными в данной области пространства, если на границе области решение или его производная заданы. Разностные схемы получаются путем замены производных их конечно-разностными аппроксимациями. В результате приближенное решение эллиптических задач сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений для значений искомой функции во внутренних узлах сетки.

Чтобы проиллюстрировать общий подход, рассмотрим задачу Дирихле для уравнения Лапласа.

Пример 8.8. Построить разностную схему для решения задачи Дирихле (где $\varphi(x,y)$ — заданная функция, $L,\,M$ — заданные числа):

$\begin{aligned}&u_{xx}+u_{yy}=0,~~ 0<x<L,~0<y<M,\\ &u(0,y)= \varphi(0,y),~~ 0<y<M,\\ &u(L,y)= \varphi(L,y),~~ 0<y<M,\\ &u(x,M)= \varphi(x,M),~~ 0 \leqslant x \leqslant L,\\ &u(x,0)= \varphi(x,0),~~ 0 \leqslant x \leqslant L, \end{aligned}$

В данном случае задача решается в области П прямоугольной формы, краевые условия заданы на сторонах прямоугольника. В плоскости $Oxy$ построим сетку $D_h= \bigl\{(x_{i}, y_{i})\bigr\}$ , где $x_{i}=ih_x,~ y_{j}=jh_{y},$ $i=0,1,\ldots,I;$ $j=0,1,\ldots,J;$ $h_x,\,h_y$ — величины шагов по $x$ и $y;~ I\,h_x=L,$ $J\,h_y=M,~ I$ и $J$ — целые положительные числа.

Заменим дифференциальные операторы в уравнении Лапласа по формулам, следующим из (8.25) при замене переменной $t^n$ на переменную $y_{j}\colon$

$\begin{aligned}& \widehat{u}_{xx}(x_{i},y_{j})= \frac{u(x_{i}+h_x,y_{j})-2u(x_{i},y_{j})+ u(x_{i}-h_x, y_{j})}{h_x^2}\,,\\[2pt] & \widehat{u}_{yy}(x_{i},y_{j})= \frac{u(x_{i},y_{j}+h_y)-2u(x_{i},y_{j})+ u(x_{i}, y_{j}-h_y)}{h_y^2}\,. \end{aligned}$

Применяя краткую запись $u(x_{i},y_{j})= u_{i,j}$ , получаем

$\frac{\widehat{u}_{i+1,j}-2\widehat{u}_{i,j}+ \widehat{u}_{i-1,j}}{h_x^2}+ \frac{\widehat{u}_{i,j+1}-2\widehat{u}_{i,j}+\widehat{u}_{i,j-1}}{h_y^2}=0,\quad i=1,\ldots,I-1;~ j=1,\ldots,J-1,$

или

$\frac{h_y^2}{h_x^2}\,\widehat{u}_{i+1,j}+ \frac{h_y^2}{h_x^2}\,\widehat{u}_{i-1,j}+ \widehat{u}_{i,j+1}+ \widehat{u}_{i,j-1}-2\! \left(1+ \frac{h_y^2}{h_x^2}\right)\! \widehat{u}_{i,j}=0,\quad i=1,\ldots,I-1;~ j=1,\ldots,J-1.$

(8.55)

Полагая $\varphi_{i,j}= \varphi(ih_x,jh_y)$ , краевые условия можно записать в виде:

$\begin{aligned}& \widehat{u}_{0,j}= \varphi_{0,j},\quad j=1,\ldots,J-1;\\ & \widehat{u}_{I,j}= \varphi_{I,j},\quad j=1,\ldots,J-1;\\ & \widehat{u}_{i,J}= \varphi_{i,J},\quad i=0,1,\ldots,I;\\ & \widehat{u}_{i,0}= \varphi_{i,0},\quad i=0,1,\ldots,I. \end{aligned}$

(8.56)

Для нахождения искомого решения требуется решить систему $(I-1)\times (J-1)$ линейных алгебраических уравнений. Схема (8.55),(8.56) имеет второй порядок аппроксимации по $\tau$ и по $h$ , является абсолютно устойчивой и сходится. Ей соответствует пятиточечный шаблон, изображенный на рис. 8.12. При $h_x= h_y$ , т.е. одинаковых шагах в горизонтальном и вертикальном направлениях, получаем

$\widehat{u}_{i+1,j}+ \widehat{u}_{i-1,j}+ \widehat{u}_{i,j+1}+ \widehat{u}_{i,j-1}-4\,\widehat{u}_{i,j}=0,\quad i=1,\ldots,I-1;~ j=1,\ldots,J-1.$

(8.57)

Разрешив относительно $\widehat{u}_{i,j}$ , имеем

$\widehat{u}_{i,j}= \frac{1}{4}\bigl(\widehat{u}_{i+1,j}+ \widehat{u}_{i-1,j}+ \widehat{u}_{i,j+1}+ \widehat{u}_{i,j-1}\bigr),\quad i=1,\ldots,I-1;~ j=1,\ldots,J-1.$

(8.58)

Это означает, что решение $\widehat{u}_{i,j}$ аппроксимируется средним значением по четырем соседним узлам. Как правило, для решения системы (8.58) применяются различные итерационные методы, например, метод простой итерации или метод Зейделя.

Рассмотрим частный случай поставленной задачи при $L=1,~ M=1,~ I=J=3,$ $\varphi(x,y)= \begin{cases}\sin\pi x,& y=0,~ 0 \leqslant x \leqslant 1,\\ 0,& \text{na ostalnih granicah}~\Omega. \end{cases}$ Так как $h_x= h_y= \frac{1}{3}$ , то запишем систему (8.57) для четырех внутренних точек $(i=1,2;~ j=1,2)\colon$

$\begin{aligned}& \widehat{u}_{2,1}+ \widehat{u}_{0,1}+ \widehat{u}_{1,2}+ \widehat{u}_{1,0}-4\,\widehat{u}_{1,1}=0,\quad (i=1,~ j=1)\\[2pt] & \widehat{u}_{2,2}+ \widehat{u}_{0,2}+ \widehat{u}_{1,3}+ \widehat{u}_{1,1}-4\,\widehat{u}_{1,2}=0,\quad (i=1,~ j=2)\\[2pt] & \widehat{u}_{3,1}+ \widehat{u}_{1,1}+ \widehat{u}_{2,2}+ \widehat{u}_{2,0}-4\,\widehat{u}_{2,1}=0,\quad (i=2,~ j=1)\\[2pt] & \widehat{u}_{3,2}+ \widehat{u}_{1,2}+ \widehat{u}_{2,3}+ \widehat{u}_{2,1}-4\,\widehat{u}_{2,2}=0.\quad (i=2,~ j=2) \end{aligned}$

Краевые условия (8.56) запишутся в форме

$\begin{aligned}& \widehat{u}_{0,j}=0,~~ j=1,2; &\quad & \widehat{u}_{3,j}=0,~~ j=1,2\\ & \widehat{u}_{i,3}=0,~~ i=0,1,2,3; &\quad & \widehat{u}_{i,0}= \sin(\pi\,i\,h_x)= \sin \frac{\pi\,i}{3}\,,~ i=0,1,2,3. \end{aligned}$

С учетом краевого условия система может быть записана в следующей матричной форме

$\begin{pmatrix}-4&1&1&0\\ 1&-4&0&1\\ 1&0&-4&1\\ 0&1&1&-4 \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}\widehat{u}_{1,1}\\ \widehat{u}_{1,2}\\ \widehat{u}_{2,1}\\ \widehat{u}_{2,2} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-\sin \frac{\pi}{3}\\ 0\\-\sin \frac{2\pi}{3}\\0 \end{pmatrix}\!.$

В результате имеем $\widehat{u}_{1,1}= 0,\!325;~ \widehat{u}_{1,2}= 0,\!108;~ \widehat{u}_{2,1}= 0,\!325;~ \widehat{u}_{2,2}= 0,\!108$ .

Методика вычислений

1. Задать сетку $D_h= \bigl\{(x_{i},y_{j})\bigr\}$ , где $x_{i}= i\,h_x,~ y_{j}= j\,h_{y},$ $i=0,1,\ldots,I;~ j=0,1,\ldots,J;$ $h_x,\,h_y$ — величины шагов по $x$ и $y;~ I\,h_x=L,$ $J\,h_y= M,~ I$ и $J$ — целые положительные числа; $\varepsilon>0$ — желаемую точность. Вычислить

$\begin{aligned}& \widehat{u}_{0,j}= \varphi_{0,j}, & & j=1,\ldots,J-1; &\quad & \widehat{u}_{I,j}= \varphi_{I,j}, & & j=1,\ldots,J-1;\\[2pt] & \widehat{u}_{i,J}= \varphi_{i,J}, & & i=0,1,\ldots,I; &\quad & \widehat{u}_{i,0}= \varphi_{i,0}, & & i=0,1,\ldots,I. \end{aligned}$

Положить $k=0$ ; задать начальное приближение искомого решения во внутренних узлах: $\widehat{u}_{i,j}^{(0)},~ i=1,\ldots,I-1;$ $j=1,\ldots,J-1$ .

2. Вычислить $\widehat{u}_{i,j}^{(k+1)}$ одним из двух методов (рис. 8.13):

а) методом простых итераций: $\widehat{u}_{i,j}^{(k+1)}= \frac{1}{4}\bigl(\widehat{u}_{i+1,j}^{(k)}+ \widehat{u}_{i-1,j}^{(k)}+ \widehat{u}_{i,j+1}^{(k)}+ \widehat{u}_{i,j-1}^{(k)}\bigr),\quad i=1,\ldots,I-1;\quad j=1,\ldots,J-1;$

б) методом Зейделя:

Шаг 1. Положить $j=1$ .

Шаг 2. Вычислить $\widehat{u}_{i,j}^{(k+1)}= \frac{1}{4}\bigl(\widehat{u}_{i+1,j}^{(k)}+ \widehat{u}_{i-1,j}^{(k+1)}+ \widehat{u}_{i,j+1}^{(k)}+ \widehat{u}_{i,j-1}^{(k+1)}\bigr),\quad i=1,\ldots,I-1.$

Шаг 3. Если $j=J-1$ , процесс завершить. Иначе положить $j=j+1$ и перейти к шагу 2.

3. Если выполняется условие окончания $\max_{i,j} \bigl|\widehat{u}_{i,j}^{(k+1)}-\widehat{u}_{i,j}^{(k)}\bigr| \leqslant \varepsilon$ , процесс завершить. Иначе положить $k=k+1$ и перейти к п.2.

Замечания

1. Метод Зейделя обеспечивает движение по узлам слева направо, начиная с первого слоя сетки по переменной $x$ . Использование значений с (k+1)-й итерации, как правило, улучшает сходимость.

2. Вместо метода Зейделя можно использовать более эффективные релаксационные методы:

$\widehat{u}_{i,j}^{(k+1)}= \omega\,\widehat{u}_{i,j}^{(k)}+ \frac{1-\omega}{4} \bigl(\widehat{u}_{i+1,j}^{(k)}+ \widehat{u}_{i-1,j}^{(k+1)}+ \widehat{u}_{i,j+1}^{(k)}+ \widehat{u}_{i,j-1}^{(k+1)}\bigr),$

где $\omega$ — параметр релаксации. Член $\omega\, \widehat{u}_{i,j}^{(k)}$ характеризует "память" алгоритма о значении решения на предыдущей итерации. При $\omega>1$ итерационный метод называется методом верхней релаксации, при $0<\omega<1$ — методом нижней релаксации, при $\omega= 0$ совпадает с методом Зейделя. Существует оптимальное значение $\omega^{\ast}$ параметра релаксации, зависящее от шагов сетки и способа получения $\widehat{u}_{i,j}^{(k+1)}$ , при котором достигается максимальная скорость сходимости метода.

3. При решении задачи Неймана или третьей краевой задачи производные, входящие в краевые условия, следует также заменить их конечно-разностными аппроксимациями.

4. Если область $\Omega$ , в которой решается задача, имеет неправильную форму, можно покрыть ее сеткой (рис. 8.14) и найти решение в ближайших к границе точках, а затем рассчитать значения искомой функции на границе, например, с помощью линейной интерполяции.

5. В данной главе рассмотрены принципы конструирования разностных схем для простейших линейных начальных, краевых и начально-краевых задач. Для нелинейных задач, которые решаются при расчетно-теоретической проработке современных технических систем, применяют те же разностные схемы, что и для линейных задач.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Список статей » Список форумов

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]

Разностные схемы решения уравненийв частных производных 2-го порядка

Разностные схемы решения уравнений параболического типа

Разностные схемы решения уравнений гиперболического типа

Разностные схемы решения уравнений эллиптического типа

Разностные схемы решения уравнений
в частных производных 2-го порядка