Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Размерность и базис линейного пространства
ОглавлениеЛинейная алгебра

Размерность и базис линейного пространства


Определения размерности и базиса


Линейное пространство [math]V[/math] называется n-мерным, если в нем существует система из [math]n[/math] линейно независимых векторов, а любая система из большего количества векторов линейно зависима. Число [math]n[/math] называется размерностью (числом измерений) линейного пространства [math]V[/math] и обозначается [math]\operatorname{dim}V[/math]. Другими словами, размерность пространства — это максимальное число линейно независимых векторов этого пространства. Если такое число существует, то пространство называется конечномерным. Если же для любого натурального числа п в пространстве [math]V[/math] найдется система, состоящая из [math]n[/math] линейно независимых векторов, то такое пространство называют бесконечномерным (записывают: [math]\operatorname{dim}V=\infty[/math]). Далее, если не оговорено противное, будут рассматриваться конечномерные пространства.


Базисом n-мерного линейного пространства называется упорядоченная совокупность [math]n[/math] линейно независимых векторов (базисных векторов).


Теорема 8.1 о разложении вектора по базису. Если [math]\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_n[/math] — базис n-мерного линейного пространства [math]V[/math], то любой вектор [math]\mathbf{v}\in V[/math] может быть представлен в виде линейной комбинации базисных векторов:


[math]\mathbf{v}=\mathbf{v}_1\cdot \mathbf{e}_1+\mathbf{v}_2\cdot \mathbf{e}_2+\ldots+\mathbf{v}_n\cdot \mathbf{e}_n[/math]
(8.4)

и притом единственным образом, т.е. коэффициенты [math]\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2,\ldots, \mathbf{v}_n[/math] определяются однозначно. Другими словами, любой вектор пространства может быть разложен по базису и притом единственным образом.


Действительно, размерность пространства [math]V[/math] равна [math]n[/math]. Система векторов [math]\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_n[/math] линейно независима (это базис). После присоединения к базису любого вектора [math]\mathbf{v}[/math], получаем линейно зависимую систему [math]\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_n, \mathbf{v}[/math] (так как это система состоит из [math](n+1)[/math] векторов n-мерного пространства). По свойству 7 линейно зависимых и линейно независимых векторов получаем заключение теоремы.


Следствие 1. Если [math]\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_n[/math] — базис пространства [math]V[/math], то [math]V=\operatorname{Lin} (\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2, \ldots,\mathbf{e}_n)[/math], т.е. линейное пространство является линейной оболочкой базисных векторов.


В самом деле, для доказательства равенства [math]V=\operatorname{Lin} (\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2, \ldots, \mathbf{e}_n)[/math] двух множеств достаточно показать, что включения [math]V\subset \operatorname{Lin}(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2, \ldots,\mathbf{e}_n)[/math] и [math]\operatorname{Lin}(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_n)\subset V[/math] выполняются одновременно. Действительно, с одной стороны, любая линейная комбинация векторов линейного пространства принадлежит самому линейному пространству, т.е. [math]\operatorname{Lin}(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_n)\subset V[/math]. С другой стороны, любой вектор пространства по теореме 8.1 можно представить в виде линейной комбинации базисных векторов, т.е. [math]V\subset \operatorname{Lin}(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_n)[/math]. Отсюда следует равенство рассматриваемых множеств.


Следствие 2. Если [math]\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_n[/math] — линейно независимая система векторов линейного пространства [math]V[/math] и любой вектор [math]\mathbf{v}\in V[/math] может быть представлен в виде линейной комбинации (8.4): [math]\mathbf{v}=v_1\mathbf{e}_1+ v_2\mathbf{e}_2+\ldots+v_n\mathbf{e}_n[/math], то пространство [math]V[/math] имеет размерность [math]n[/math], а система [math]\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2, \ldots,\mathbf{e}_n[/math] является его базисом.


В самом деле, в пространстве [math]V[/math] имеется система [math]n[/math] линейно независимых векторов, а любая система [math]\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\ldots,\mathbf{u}_n[/math] из большего количества векторов [math](k>n)[/math] линейно зависима, поскольку каждый вектор из этой системы линейно выражается через векторы [math]\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_n[/math]. Значит, [math]\operatorname{dim} V=n[/math] и [math]\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_n[/math] — базис [math]V[/math].




Теорема 8.2 о дополнении системы векторов до базиса. Всякую линейно независимую систему [math]k[/math] векторов n-мерного линейного пространства [math](1\leqslant k<n)[/math] можно дополнить до базиса пространства.


В самом деле, пусть [math]\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_k[/math] — линейно независимая система векторов n-мерного пространства [math]V~(1\leqslant k<n)[/math]. Рассмотрим линейную оболочку этих векторов: [math]L_k=\operatorname{Lin}(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots, \mathbf{e}_k)[/math]. Любой вектор [math]\mathbf{v}\in L_k[/math] образует с векторами [math]\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots, \mathbf{e}_k[/math] линейно зависимую систему [math]\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_k,\mathbf{v}[/math], так как вектор [math]\mathbf{v}[/math] линейно выражается через остальные. Поскольку в n-мерном пространстве существует [math]n[/math] линейно независимых векторов, то [math]L_k\ne V[/math] и существует вектор [math]\mathbf{e}_{k+1}\in V[/math], который не принадлежит [math]L_k[/math]. Дополняя этим вектором линейно независимую систему [math]\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_k[/math], получаем систему векторов [math]\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_k,\mathbf{e}_{k+1}[/math], которая также линейно независимая. Действительно, если бы она оказалась линейно зависимой, то из пункта 1 замечаний 8.3 следовало, что [math]\mathbf{e}_{k+1}\in \operatorname{Lin}(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \ldots,\mathbf{e}_k)=L_k[/math], а это противоречит условию [math]\mathbf{e}_{k+1}\notin L_k[/math]. Итак, система векторов [math]\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots, \mathbf{e}_k, \mathbf{e}_{k+1}[/math] линейно независимая. Значит, первоначальную систему векторов удалось дополнить одним вектором без нарушения линейной независимости. Продолжаем аналогично. Рассмотрим линейную оболочку этих векторов: [math]L_{k+1}=\operatorname{Lin} (\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2,\ldots, \mathbf{e}_k, \mathbf{e}_{k+1})[/math]. Если [math]L_{k+1}=V[/math], то [math]\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2, \ldots,\mathbf{e}_k, \mathbf{e}_{k+1}[/math] — базис и теорема доказана. Если [math]L_{k+1}\ne V[/math], то дополняем систему [math]\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2, \ldots,\mathbf{e}_k,\mathbf{e}_{k+1}[/math] вектором [math]\mathbf{e}_{k+2}\notin L_{k+1}[/math] и т.д. Процесс дополнения обязательно закончится, так как пространство [math]V[/math] конечномерное. В результате получим равенство [math]V=L_n=\operatorname{Lin} (\mathbf{e}_1,\ldots,\mathbf{e}_k,\ldots,\mathbf{e}_n)[/math], из которого следует, что [math]\mathbf{e}_1,\ldots,\mathbf{e}_k,\ldots,\mathbf{e}_n[/math] — базис пространства [math]V[/math]. Теорема доказана.




Замечания 8.4


1. Базис линейного пространства определяется неоднозначно. Например, если [math]\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2, \ldots, \mathbf{e}_n[/math] — базис пространства [math]V[/math], то система векторов [math]\lambda \mathbf{e}_1,\lambda \mathbf{e}_2,\ldots,\lambda \mathbf{e}_n[/math] при любом [math]\lambda\ne0[/math] также является базисом [math]V[/math]. Количество базисных векторов в разных базисах одного и того же конечномерного пространства, разумеется, одно и то же, так как это количество равно размерности пространства.


2. В некоторых пространствах, часто встречающихся в приложениях, один из возможных базисов, наиболее удобный с практической точки зрения, называют стандартным.


3. Теорема 8.1 позволяет говорить, что базис — это полная система элементов линейного пространства, в том смысле, что любой вектор пространства линейно выражается через базисные векторы.


4. Если множество [math]\mathbb{L}[/math] является линейной оболочкой [math]\operatorname{Lin}(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_k)[/math], то векторы [math]\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_k[/math] называют образующими множества [math]\mathbb{L}[/math]. Следствие 1 теоремы 8.1 в силу равенства [math]V=\operatorname{Lin} (\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_n)[/math] позволяет говорить, что базис — это минимальная система образующих линейного пространства [math]V[/math], так как нельзя уменьшить количество образующих (удалить хотя бы один вектор из набора [math]\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_n[/math]) без нарушения равенства [math]V=\operatorname{Lin}( \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_n)[/math].


5. Теорема 8.2 позволяет говорить, что базис — это максимальная линейно независимая система векторов линейного пространства, так как базис — это линейно независимая система векторов, и ее нельзя дополнить каким-либо вектором без потери линейной независимости.


6. Следствие 2 теоремы 8.1 удобно применять для нахождения базиса и размерности линейного пространства. В некоторых учебниках оно берется за определение базиса, а именно: линейно независимая система [math]\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_n[/math] векторов линейного пространства называется базисом, если любой вектор пространства линейно выражается через векторы [math]\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_n[/math]. Количество базисных векторов определяет размерность пространства. Разумеется, что эти определения эквивалентны приведенным выше.




Примеры базисов линейных пространств


Укажем размерность и базис для примеров линейных пространств, рассмотренных выше.


1. Нулевое линейное пространство [math]\{\mathbf{o}\}[/math] не содержит линейно независимых векторов. Поэтому размерность этого пространства полагают равной нулю: [math]\dim\{\mathbf{o}\}=0[/math]. Это пространство не имеет базиса.


2. Пространства [math]V_1,\,V_2,\,V_3[/math] имеют размерности 1, 2, 3 соответственно. Действительно, любой ненулевой вектор пространства [math]V_1[/math], образует линейно независимую систему (см. пункт 1. замечаний 8.2), а любые два ненулевых век тора пространства [math]V_1[/math] коллинеарны, т.е. линейно зависимы (см. пример 8.1). Следовательно, [math]\dim{V_1}=1[/math], а базисом пространства [math]V_1[/math] является любой ненулевой вектор. Аналогично доказывается, что [math]\dim{V_2}=2[/math] и [math]\dim{V_3}=3[/math]. Базисом пространства [math]V_2[/math] служат любые два неколлинеарных вектора, взятые в определенном порядке (один из них считается первым базисным вектором, другой — вторым). Базисом пространства [math]V_3[/math] являются любые три некомпланарных (не лежащих в одной или параллельных плоскостях) вектора, взятые в определенном порядке. Стандартным базисом в [math]V_1[/math] является единичный вектор [math]\vec{i}[/math] на прямой. Стандартным базисом в [math]V_2[/math] считается базис [math]\vec{i},\,\vec{j}[/math], со стоящий из двух взаимно перпендикулярных единичных векторов плоскости. Стандартным базисом в пространстве [math]V_3[/math] считается базис [math]\vec{i},\,\vec{j},\,\vec{k}[/math], составленный из трех единичных попарно перпендикулярных векторов, образующих правую тройку.


3. Пространство [math]\mathbb{R}^n[/math] содержит не более, чем [math]n[/math], линейно независимых векторов. В самом деле, возьмем [math]k[/math] столбцов из [math]\mathbb{R}^n[/math] и составим из них матрицу размеров [math]n\times k[/math]. Если [math]k>n[/math], то столбцы линейно зависимы по теореме 3.4 о ранге матрицы. Следовательно, [math]\dim{\mathbb{R}^n}\leqslant n[/math]. В пространстве [math]\mathbb{R}^n[/math] не трудно найти п линейно независимых столбцов. Например, столбцы единичной матрицы


[math]\mathbf{e}_1=\begin{pmatrix}1\\0\\\vdots\\0\end{pmatrix}\!,\quad \mathbf{e}_2= \begin{pmatrix}0\\1\\\vdots\\0\end{pmatrix}\!,\quad \ldots,\quad \mathbf{e}_n= \begin{pmatrix} 0\\0\\\vdots\\1 \end{pmatrix}\!.[/math]

линейно независимы. Следовательно, [math]\dim{\mathbb{R}^n}=n[/math]. Пространство [math]\mathbb{R}^n[/math] называется n-мерным вещественным арифметическим пространством. Указанный набор векторов считается стандартным базисом пространства [math]\mathbb{R}^n[/math]. Аналогично доказывается, что [math]\dim{\mathbb{C}^n}=n[/math], поэтому пространство [math]\mathbb{C}^n[/math] называют n-мерным комплексным арифметическим пространством.


4. Напомним, что любое решение однородной системы [math]Ax=o[/math] можно представить в виде [math]x=C_1\varphi_1+C_2\varphi_2+\ldots+C_{n-r}\varphi_{n-r}[/math], где [math]r=\operatorname{rg}A[/math], a [math]\varphi_1,\varphi_2,\ldots,\varphi_{n-r}[/math] — фундаментальная система решений. Следовательно, [math]\{Ax=o\}=\operatorname{Lin} (\varphi_1,\varphi_2,\ldots,\varphi_{n-r})[/math], т.е. базисом пространства [math]\{Ax=0\}[/math] решений однородной системы служит ее фундаментальная система решений, а размерность пространства [math]\dim\{Ax=o\}=n-r[/math], где [math]n[/math] — количество неизвестных, а [math]r[/math] — ранг матрицы системы.


5. В пространстве [math]M_{2\times3}[/math] матриц размеров [math]2\times3[/math] можно выбрать 6 матриц:


[math]\begin{gathered}\mathbf{e}_1= \begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\!,\quad \mathbf{e}_2= \begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}\!,\quad \mathbf{e}_3= \begin{pmatrix} 0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}\!,\hfill\\[5pt] \mathbf{e}_4= \begin{pmatrix} 0&0&0\\1&0&0 \end{pmatrix}\!,\quad \mathbf{e}_5= \begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}\!,\quad \mathbf{e}_6= \begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}\!,\hfill \end{gathered}[/math]

которые линейно независимы. Действительно, их линейная комбинация

[math]\alpha_1\cdot \mathbf{e}_1+\alpha_2\cdot \mathbf{e}_2+\alpha_3\cdot \mathbf{e}_3+ \alpha_4\cdot \mathbf{e}_4+\alpha_5\cdot \mathbf{e}_5+\alpha_6\cdot \mathbf{e}_6= \begin{pmatrix}\alpha_1&\alpha_2&\alpha_3\\ \alpha_4&\alpha_5&\alpha_6\end{pmatrix}[/math]
(8.5)

равна нулевой матрице только в тривиальном случае [math]\alpha_1=\alpha_2= \ldots= \alpha_6=0[/math]. Прочитав равенство (8.5) справа налево, заключаем, что любая матрица из [math]M_{2\times3}[/math] линейным образом выражается через выбранные 6 матриц, т.е. [math]M_{2\times}= \operatorname{Lin} (\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_6)[/math]. Следовательно, [math]\dim{M_{2\times3}}=2\cdot3=6[/math], а матрицы [math]\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_6[/math] являются базисом (стандартным) этого пространства. Аналогично доказывается, что [math]\dim{M_{m\times n}}=m\cdot n[/math].


6. Для любого натурального [math]n[/math] в пространстве [math]P(\mathbb{C})[/math] многочленов с комплексными коэффициентами можно найти п линейно независимых элементов. Например, многочлены [math]\mathbf{e}_1=1,[/math] [math]\mathbf{e}_2=z,[/math] [math]\mathbf{e}_3=z^2,\,\ldots,[/math] [math]\mathbf{e}_n=z^{n-1}[/math] линейно независимы, так как их линейная комбинация


[math]a_1\cdot \mathbf{e}_1+a_2\cdot \mathbf{e}_2+\ldots+a_n\cdot \mathbf{e}_n= a_1+a_2z+\ldots+a_nz^{n-1}[/math]

равна нулевому многочлену [math](o(z)\equiv0)[/math] только в тривиальном случае [math]a_1=a_2=\ldots=a_n=0[/math]. Поскольку эта система многочленов линейно независима при любом натуральном л, пространство [math]P(\mathbb{C})[/math] бесконечномерное. Аналогично делаем вывод о бесконечной размерности пространства [math]P(\mathbb{R})[/math] многочленов с действительными коэффициентами. Пространство [math]P_n(\mathbb{R})[/math] многочленов степени не выше, чем [math]n[/math], конечномерное. Действительно, векторы [math]\mathbf{e}_1=1,[/math] [math]\mathbf{e}_2=x,[/math] [math]\mathbf{e}_3=x^2,\,\ldots,[/math] [math]\mathbf{e}_{n+1}=x^n[/math] образуют базис (стандартный) это го пространства, так как они линейно независимы и любой многочлен из [math]P_n(\mathbb{R})[/math] можно представить в виде линейной комбинации этих векторов:


[math]a_nx^n+\ldots+a_1x+a_0=a_0\cdot \mathbf{e}_1+a_1 \mathbf{e}_2+\ldots+a_n\cdot \mathbf{e}_{n+1}[/math]. Следовательно, [math]\dim{P_n(\mathbb{R})}=n+1[/math].

7. Пространство [math]C(\mathbb{R})[/math] непрерывных функций является бесконечно мерным. Действительно, для любого натурального [math]n[/math] многочлены [math]1,x,x^2,\ldots, x^{n-1}[/math], рассматриваемые как непрерывные функции, образуют линейно независимые системы (см. предыдущий пример).


В пространстве [math]T_{\omega}(\mathbb{R})[/math] тригонометрических двучленов (частоты [math]\omega\ne0[/math]) с действительными коэффициентами базис образуют одночлены [math]\mathbf{e}_1(t)=\sin\omega t,~\mathbf{e}_2(t)=\cos\omega t[/math]. Они линейно независимы, так как тождественное равенство [math]a\sin\omega t+b\cos\omega t\equiv0[/math] возможно только в тривиальном случае [math](a=b=0)[/math]. Любая функция вида [math]f(t)=a\sin\omega t+b\cos\omega t[/math] линейно выражается через базисные: [math]f(t)=a\,\mathbf{e}_1(t)+b\,\mathbf{e}_2(t)[/math].


8. Пространство [math]\mathbb{R}^X[/math] действительных функций, определенных на множестве [math]X[/math], в зависимости от области определения [math]X[/math] может быть конечномерным или бесконечномерным. Если [math]X[/math] — конечное множество, то пространство [math]\mathbb{R}^X[/math] конечномерное (например, [math]X=\{1,2,\ldots,n\}[/math]). Если [math]X[/math] — бесконечное множество, то пространство [math]\mathbb{R}^X[/math] бесконечномерное (например, пространство [math]\mathbb{R}^N[/math] последовательностей).


9. В пространстве [math]\mathbb{R}^{+}[/math] любое положительное число [math]\mathbf{e}_1[/math], не равное единице, может служить базисом. Возьмем, например, число [math]\mathbf{e}_1=2[/math]. Любое положительное число [math]r[/math] можно выразить через [math]\mathbf{e}_1[/math], т.е. представить в виде [math]\alpha\cdot \mathbf{e}_1\colon[/math] [math]r=2^{\log_2r}=\log_2r\ast2=\alpha_1\ast \mathbf{e}_1[/math], где [math]\alpha_1=\log_2r[/math]. Следовательно, размерность этого пространства равна 1, а число [math]\mathbf{e}_1=2[/math] является базисом.


10. Пусть [math]\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_n[/math] — базис вещественного линейного пространства [math]V[/math]. Определим на [math]V[/math] линейные скалярные функции [math]\mathcal{E}_1, \mathcal{E}_2,\ldots, \mathcal{E}_n[/math], положив:


[math]\mathcal{E}_i(\mathbf{e}_j)=\begin{cases}1,&i=j,\\ 0,&i\ne j.\end{cases}[/math]

При этом, в силу линейности функции [math]\mathcal{E}_i[/math], для произвольного вектора [math]\mathbf{v}=v_1 \mathbf{e}_1+v_2 \mathbf{e}_2+\ldots+v_n \mathbf{e}_n[/math] получаем [math]\mathcal{E}(\mathbf{v})=\sum_{j=1}^{n}v_j \mathcal{E}(\mathbf{e}_j)=v_i[/math].


Итак, определены [math]n[/math] элементов (ковекторов) [math]\mathcal{E}_1, \mathcal{E}_2, \ldots, \mathcal{E}_n[/math] сопряженного пространства [math]V^{\ast}[/math]. Докажем, что [math]\mathcal{E}_1, \mathcal{E}_2,\ldots, \mathcal{E}_n[/math] — базис [math]V^{\ast}[/math].


Во-первых, покажем, что система [math]\mathcal{E}_1, \mathcal{E}_2,\ldots, \mathcal{E}_n[/math] линейно независима. В самом деле, возьмем линейную комбинацию этих ковекторов [math](\alpha_1 \mathcal{E}_1+\ldots+\alpha_n\mathcal{E}_n)(\mathbf{v})=[/math] и приравняем ее нулевой функции


[math]\mathbf{o}(\mathbf{v})~~ (\mathbf{o}(\mathbf{v})=0~ \forall \mathbf{v}\in V)\colon~ \alpha_1\mathcal{E}_1(\mathbf{v})+\ldots+\alpha_n\mathcal{E}_n(\mathbf{v})= \mathbf{o}(\mathbf{v})=0~~\forall \mathbf{v}\in V.[/math]

Подставляя в это равенство [math]\mathbf{v}=\mathbf{e}_i,~ i=1,\ldots,n[/math], получаем [math]\alpha_1=\alpha_2\cdot= \alpha_n=0[/math]. Следовательно, система элементов [math]\mathcal{E}_1,\mathcal{E}_2,\ldots,\mathcal{E}_n[/math] пространства [math]V^{\ast}[/math] линейно независима, так как равенство [math]\alpha_1\mathcal{E}_1+\ldots+ \alpha_n\mathcal{E}_n =\mathbf{o}[/math] возможно только в тривиальном случае.


Во-вторых, докажем, что любую линейную функцию [math]f\in V^{\ast}[/math] можно представить в виде линейной комбинации ковекторов [math]\mathcal{E}_1, \mathcal{E}_2,\ldots, \mathcal{E}_n[/math]. Действительно, для любого вектора [math]\mathbf{v}=v_1 \mathbf{e}_1+v_2 \mathbf{e}_2+\ldots+v_n \mathbf{e}_n[/math] в силу линейности функции [math]f[/math] получаем:


[math]\begin{aligned}f(\mathbf{v})&= f(v_1 \mathbf{e}_1+\ldots+v_n \mathbf{e}_n)= v_1 f(\mathbf{e}_1)+\ldots+v_n f(\mathbf{e}_n)= f(\mathbf{e}_1)\mathcal{E}_1(\mathbf{v})+ \ldots+ f(\mathbf{e}_n)\mathcal{E}_n(\mathbf{v})=\\[2pt] &=(f(\mathbf{e}_1)\mathcal{E}_1+\ldots+ f(\mathbf{e}_n)\mathcal{E}_n)(\mathbf{v})= (\beta_1\mathcal{E}_1+ \ldots+\beta_n\mathcal{E}_n) (\mathbf{v}),\end{aligned}[/math]

т.е. функция [math]f[/math] представлена в виде линейной комбинации [math]f=\beta_1 \mathcal{E}_1+\ldots+\beta_n\mathcal{E}_n[/math] функций [math]\mathcal{E}_1,\mathcal{E}_2,\ldots, \mathcal{E}_n[/math] (числа [math]\beta_i=f(\mathbf{e}_i)[/math] — коэффициенты линейной комбинации). Следовательно, система ковекторов [math]\mathcal{E}_1, \mathcal{E}_2,\ldots, \mathcal{E}_n[/math] является базисом сопряженного пространства [math]V^{\ast}[/math] и [math]\dim{V^{\ast}}=\dim{V}[/math] (для конечномерного пространства [math]V[/math]).


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved