Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Размерность и базис линейного пространства

Размерность и базис линейного пространства


Определения размерности и базиса


Линейное пространство V называется n-мерным, если в нем существует система из n линейно независимых векторов, а любая система из большего количества векторов линейно зависима. Число n называется размерностью (числом измерений) линейного пространства V и обозначается \operatorname{dim}V. Другими словами, размерность пространства — это максимальное число линейно независимых векторов этого пространства. Если такое число существует, то пространство называется конечномерным. Если же для любого натурального числа п в пространстве V найдется система, состоящая из n линейно независимых векторов, то такое пространство называют бесконечномерным (записывают: \operatorname{dim}V=\infty). Далее, если не оговорено противное, будут рассматриваться конечномерные пространства.


Базисом n-мерного линейного пространства называется упорядоченная совокупность n линейно независимых векторов (базисных векторов).


Теорема 8.1 о разложении вектора по базису. Если \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_n — базис n-мерного линейного пространства V, то любой вектор \mathbf{v}\in V может быть представлен в виде линейной комбинации базисных векторов:


\mathbf{v}=\mathbf{v}_1\cdot \mathbf{e}_1+\mathbf{v}_2\cdot \mathbf{e}_2+\ldots+\mathbf{v}_n\cdot \mathbf{e}_n
(8.4)

и притом единственным образом, т.е. коэффициенты \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2,\ldots, \mathbf{v}_n определяются однозначно. Другими словами, любой вектор пространства может быть разложен по базису и притом единственным образом.


Действительно, размерность пространства V равна n. Система векторов \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_n линейно независима (это базис). После присоединения к базису любого вектора \mathbf{v}, получаем линейно зависимую систему \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_n, \mathbf{v} (так как это система состоит из (n+1) векторов n-мерного пространства). По свойству 7 линейно зависимых и линейно независимых векторов получаем заключение теоремы.


Следствие 1. Если \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_n — базис пространства V, то V=\operatorname{Lin} (\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2, \ldots,\mathbf{e}_n), т.е. линейное пространство является линейной оболочкой базисных векторов.


В самом деле, для доказательства равенства V=\operatorname{Lin} (\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2, \ldots, \mathbf{e}_n) двух множеств достаточно показать, что включения V\subset \operatorname{Lin}(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2, \ldots,\mathbf{e}_n) и \operatorname{Lin}(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_n)\subset V выполняются одновременно. Действительно, с одной стороны, любая линейная комбинация векторов линейного пространства принадлежит самому линейному пространству, т.е. \operatorname{Lin}(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_n)\subset V. С другой стороны, любой вектор пространства по теореме 8.1 можно представить в виде линейной комбинации базисных векторов, т.е. V\subset \operatorname{Lin}(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_n). Отсюда следует равенство рассматриваемых множеств.


Следствие 2. Если \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_n — линейно независимая система векторов линейного пространства V и любой вектор \mathbf{v}\in V может быть представлен в виде линейной комбинации (8.4): \mathbf{v}=v_1\mathbf{e}_1+ v_2\mathbf{e}_2+\ldots+v_n\mathbf{e}_n, то пространство V имеет размерность n, а система \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2, \ldots,\mathbf{e}_n является его базисом.


В самом деле, в пространстве V имеется система n линейно независимых векторов, а любая система \mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\ldots,\mathbf{u}_n из большего количества векторов (k>n) линейно зависима, поскольку каждый вектор из этой системы линейно выражается через векторы \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_n. Значит, \operatorname{dim} V=n и \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_n — базис V.




Теорема 8.2 о дополнении системы векторов до базиса. Всякую линейно независимую систему k векторов n-мерного линейного пространства (1\leqslant k<n) можно дополнить до базиса пространства.


В самом деле, пусть \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_k — линейно независимая система векторов n-мерного пространства V~(1\leqslant k<n). Рассмотрим линейную оболочку этих векторов: L_k=\operatorname{Lin}(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots, \mathbf{e}_k). Любой вектор \mathbf{v}\in L_k образует с векторами \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots, \mathbf{e}_k линейно зависимую систему \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_k,\mathbf{v}, так как вектор \mathbf{v} линейно выражается через остальные. Поскольку в n-мерном пространстве существует n линейно независимых векторов, то L_k\ne V и существует вектор \mathbf{e}_{k+1}\in V, который не принадлежит L_k. Дополняя этим вектором линейно независимую систему \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_k, получаем систему векторов \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_k,\mathbf{e}_{k+1}, которая также линейно независимая. Действительно, если бы она оказалась линейно зависимой, то из пункта 1 замечаний 8.3 следовало, что \mathbf{e}_{k+1}\in \operatorname{Lin}(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \ldots,\mathbf{e}_k)=L_k, а это противоречит условию \mathbf{e}_{k+1}\notin L_k. Итак, система векторов \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots, \mathbf{e}_k, \mathbf{e}_{k+1} линейно независимая. Значит, первоначальную систему векторов удалось дополнить одним вектором без нарушения линейной независимости. Продолжаем аналогично. Рассмотрим линейную оболочку этих векторов: L_{k+1}=\operatorname{Lin} (\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2,\ldots, \mathbf{e}_k, \mathbf{e}_{k+1}). Если L_{k+1}=V, то \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2, \ldots,\mathbf{e}_k, \mathbf{e}_{k+1} — базис и теорема доказана. Если L_{k+1}\ne V, то дополняем систему \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2, \ldots,\mathbf{e}_k,\mathbf{e}_{k+1} вектором \mathbf{e}_{k+2}\notin L_{k+1} и т.д. Процесс дополнения обязательно закончится, так как пространство V конечномерное. В результате получим равенство V=L_n=\operatorname{Lin} (\mathbf{e}_1,\ldots,\mathbf{e}_k,\ldots,\mathbf{e}_n), из которого следует, что \mathbf{e}_1,\ldots,\mathbf{e}_k,\ldots,\mathbf{e}_n — базис пространства V. Теорема доказана.




Замечания 8.4


1. Базис линейного пространства определяется неоднозначно. Например, если \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2, \ldots, \mathbf{e}_n — базис пространства V, то система векторов \lambda \mathbf{e}_1,\lambda \mathbf{e}_2,\ldots,\lambda \mathbf{e}_n при любом \lambda\ne0 также является базисом V. Количество базисных векторов в разных базисах одного и того же конечномерного пространства, разумеется, одно и то же, так как это количество равно размерности пространства.


2. В некоторых пространствах, часто встречающихся в приложениях, один из возможных базисов, наиболее удобный с практической точки зрения, называют стандартным.


3. Теорема 8.1 позволяет говорить, что базис — это полная система элементов линейного пространства, в том смысле, что любой вектор пространства линейно выражается через базисные векторы.


4. Если множество \mathbb{L} является линейной оболочкой \operatorname{Lin}(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_k), то векторы \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_k называют образующими множества \mathbb{L}. Следствие 1 теоремы 8.1 в силу равенства V=\operatorname{Lin} (\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_n) позволяет говорить, что базис — это минимальная система образующих линейного пространства V, так как нельзя уменьшить количество образующих (удалить хотя бы один вектор из набора \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_n) без нарушения равенства V=\operatorname{Lin}( \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_n).


5. Теорема 8.2 позволяет говорить, что базис — это максимальная линейно независимая система векторов линейного пространства, так как базис — это линейно независимая система векторов, и ее нельзя дополнить каким-либо вектором без потери линейной независимости.


6. Следствие 2 теоремы 8.1 удобно применять для нахождения базиса и размерности линейного пространства. В некоторых учебниках оно берется за определение базиса, а именно: линейно независимая система \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_n векторов линейного пространства называется базисом, если любой вектор пространства линейно выражается через векторы \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_n. Количество базисных векторов определяет размерность пространства. Разумеется, что эти определения эквивалентны приведенным выше.




Примеры базисов линейных пространств


Укажем размерность и базис для примеров линейных пространств, рассмотренных выше.


1. Нулевое линейное пространство \{\mathbf{o}\} не содержит линейно независимых векторов. Поэтому размерность этого пространства полагают равной нулю: \dim\{\mathbf{o}\}=0. Это пространство не имеет базиса.


2. Пространства V_1,\,V_2,\,V_3 имеют размерности 1, 2, 3 соответственно. Действительно, любой ненулевой вектор пространства V_1, образует линейно независимую систему (см. пункт 1. замечаний 8.2), а любые два ненулевых век тора пространства V_1 коллинеарны, т.е. линейно зависимы (см. пример 8.1). Следовательно, \dim{V_1}=1, а базисом пространства V_1 является любой ненулевой вектор. Аналогично доказывается, что \dim{V_2}=2 и \dim{V_3}=3. Базисом пространства V_2 служат любые два неколлинеарных вектора, взятые в определенном порядке (один из них считается первым базисным вектором, другой — вторым). Базисом пространства V_3 являются любые три некомпланарных (не лежащих в одной или параллельных плоскостях) вектора, взятые в определенном порядке. Стандартным базисом в V_1 является единичный вектор \vec{i} на прямой. Стандартным базисом в V_2 считается базис \vec{i},\,\vec{j}, со стоящий из двух взаимно перпендикулярных единичных векторов плоскости. Стандартным базисом в пространстве V_3 считается базис \vec{i},\,\vec{j},\,\vec{k}, составленный из трех единичных попарно перпендикулярных векторов, образующих правую тройку.


3. Пространство \mathbb{R}^n содержит не более, чем n, линейно независимых векторов. В самом деле, возьмем k столбцов из \mathbb{R}^n и составим из них матрицу размеров n\times k. Если k>n, то столбцы линейно зависимы по теореме 3.4 о ранге матрицы. Следовательно, \dim{\mathbb{R}^n}\leqslant n. В пространстве \mathbb{R}^n не трудно найти п линейно независимых столбцов. Например, столбцы единичной матрицы


\mathbf{e}_1=\begin{pmatrix}1\\0\\\vdots\\0\end{pmatrix}\!,\quad \mathbf{e}_2= \begin{pmatrix}0\\1\\\vdots\\0\end{pmatrix}\!,\quad \ldots,\quad \mathbf{e}_n= \begin{pmatrix} 0\\0\\\vdots\\1 \end{pmatrix}\!.

линейно независимы. Следовательно, \dim{\mathbb{R}^n}=n. Пространство \mathbb{R}^n называется n-мерным вещественным арифметическим пространством. Указанный набор векторов считается стандартным базисом пространства \mathbb{R}^n. Аналогично доказывается, что \dim{\mathbb{C}^n}=n, поэтому пространство \mathbb{C}^n называют n-мерным комплексным арифметическим пространством.


4. Напомним, что любое решение однородной системы Ax=o можно представить в виде x=C_1\varphi_1+C_2\varphi_2+\ldots+C_{n-r}\varphi_{n-r}, где r=\operatorname{rg}A, a \varphi_1,\varphi_2,\ldots,\varphi_{n-r} — фундаментальная система решений. Следовательно, \{Ax=o\}=\operatorname{Lin} (\varphi_1,\varphi_2,\ldots,\varphi_{n-r}), т.е. базисом пространства \{Ax=0\} решений однородной системы служит ее фундаментальная система решений, а размерность пространства \dim\{Ax=o\}=n-r, где n — количество неизвестных, а r — ранг матрицы системы.


5. В пространстве M_{2\times3} матриц размеров 2\times3 можно выбрать 6 матриц:


\begin{gathered}\mathbf{e}_1= \begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\!,\quad \mathbf{e}_2= \begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}\!,\quad \mathbf{e}_3= \begin{pmatrix} 0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}\!,\hfill\\[5pt] \mathbf{e}_4= \begin{pmatrix} 0&0&0\\1&0&0 \end{pmatrix}\!,\quad \mathbf{e}_5= \begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}\!,\quad \mathbf{e}_6= \begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}\!,\hfill \end{gathered}

которые линейно независимы. Действительно, их линейная комбинация


\alpha_1\cdot \mathbf{e}_1+\alpha_2\cdot \mathbf{e}_2+\alpha_3\cdot \mathbf{e}_3+ \alpha_4\cdot \mathbf{e}_4+\alpha_5\cdot \mathbf{e}_5+\alpha_6\cdot \mathbf{e}_6= \begin{pmatrix}\alpha_1&\alpha_2&\alpha_3\\ \alpha_4&\alpha_5&\alpha_6\end{pmatrix}
(8.5)

равна нулевой матрице только в тривиальном случае \alpha_1=\alpha_2= \ldots= \alpha_6=0. Прочитав равенство (8.5) справа налево, заключаем, что любая матрица из M_{2\times3} линейным образом выражается через выбранные 6 матриц, т.е. M_{2\times}= \operatorname{Lin} (\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_6). Следовательно, \dim{M_{2\times3}}=2\cdot3=6, а матрицы \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_6 являются базисом (стандартным) этого пространства. Аналогично доказывается, что \dim{M_{m\times n}}=m\cdot n.


6. Для любого натурального n в пространстве P(\mathbb{C}) многочленов с комплексными коэффициентами можно найти п линейно независимых элементов. Например, многочлены \mathbf{e}_1=1, \mathbf{e}_2=z, \mathbf{e}_3=z^2,\,\ldots, \mathbf{e}_n=z^{n-1} линейно независимы, так как их линейная комбинация


a_1\cdot \mathbf{e}_1+a_2\cdot \mathbf{e}_2+\ldots+a_n\cdot \mathbf{e}_n= a_1+a_2z+\ldots+a_nz^{n-1}

равна нулевому многочлену (o(z)\equiv0) только в тривиальном случае a_1=a_2=\ldots=a_n=0. Поскольку эта система многочленов линейно независима при любом натуральном л, пространство P(\mathbb{C}) бесконечномерное. Аналогично делаем вывод о бесконечной размерности пространства P(\mathbb{R}) многочленов с действительными коэффициентами. Пространство P_n(\mathbb{R}) многочленов степени не выше, чем n, конечномерное. Действительно, векторы \mathbf{e}_1=1, \mathbf{e}_2=x, \mathbf{e}_3=x^2,\,\ldots, \mathbf{e}_{n+1}=x^n образуют базис (стандартный) это го пространства, так как они линейно независимы и любой многочлен из P_n(\mathbb{R}) можно представить в виде линейной комбинации этих векторов:


a_nx^n+\ldots+a_1x+a_0=a_0\cdot \mathbf{e}_1+a_1 \mathbf{e}_2+\ldots+a_n\cdot \mathbf{e}_{n+1}. Следовательно, \dim{P_n(\mathbb{R})}=n+1.

7. Пространство C(\mathbb{R}) непрерывных функций является бесконечно мерным. Действительно, для любого натурального n многочлены 1,x,x^2,\ldots, x^{n-1}, рассматриваемые как непрерывные функции, образуют линейно независимые системы (см. предыдущий пример).


В пространстве T_{\omega}(\mathbb{R}) тригонометрических двучленов (частоты \omega\ne0) с действительными коэффициентами базис образуют одночлены \mathbf{e}_1(t)=\sin\omega t,~\mathbf{e}_2(t)=\cos\omega t. Они линейно независимы, так как тождественное равенство a\sin\omega t+b\cos\omega t\equiv0 возможно только в тривиальном случае (a=b=0). Любая функция вида f(t)=a\sin\omega t+b\cos\omega t линейно выражается через базисные: f(t)=a\,\mathbf{e}_1(t)+b\,\mathbf{e}_2(t).


8. Пространство \mathbb{R}^X действительных функций, определенных на множестве X, в зависимости от области определения X может быть конечномерным или бесконечномерным. Если X — конечное множество, то пространство \mathbb{R}^X конечномерное (например, X=\{1,2,\ldots,n\}). Если X — бесконечное множество, то пространство \mathbb{R}^X бесконечномерное (например, пространство \mathbb{R}^N последовательностей).


9. В пространстве \mathbb{R}^{+} любое положительное число \mathbf{e}_1, не равное единице, может служить базисом. Возьмем, например, число \mathbf{e}_1=2. Любое положительное число r можно выразить через \mathbf{e}_1, т.е. представить в виде \alpha_1\cdot \mathbf{e}_1\colon~ r=2^{\log_2r}=\log_2r\ast2=\alpha_1\ast \mathbf{e}_1, где \alpha_1=\log_2r. Следовательно, размерность этого пространства равна 1, а число \mathbf{e}_1=2 является базисом.


10. Пусть \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_n — базис вещественного линейного пространства V. Определим на V линейные скалярные функции \mathcal{E}_1, \mathcal{E}_2,\ldots, \mathcal{E}_n, положив:


\mathcal{E}_i(\mathbf{e}_j)=\begin{cases}1,&i=j,\\ 0,&i\ne j.\end{cases}

При этом, в силу линейности функции \mathcal{E}_i, для произвольного вектора \mathbf{v}=v_1 \mathbf{e}_1+v_2 \mathbf{e}_2+\ldots+v_n \mathbf{e}_n получаем \mathcal{E}(\mathbf{v})=\sum_{j=1}^{n}v_j \mathcal{E}(\mathbf{e}_j)=v_i.


Итак, определены n элементов (ковекторов) \mathcal{E}_1, \mathcal{E}_2, \ldots, \mathcal{E}_n сопряженного пространства V^{\ast}. Докажем, что \mathcal{E}_1, \mathcal{E}_2,\ldots, \mathcal{E}_n — базис V^{\ast}.


Во-первых, покажем, что система \mathcal{E}_1, \mathcal{E}_2,\ldots, \mathcal{E}_n линейно независима. В самом деле, возьмем линейную комбинацию этих ковекторов (\alpha_1 \mathcal{E}_1+\ldots+\alpha_n\mathcal{E}_n)(\mathbf{v})= и приравняем ее нулевой функции


\mathbf{o}(\mathbf{v})~~ (\mathbf{o}(\mathbf{v})=0~ \forall \mathbf{v}\in V)\colon~ \alpha_1\mathcal{E}_1(\mathbf{v})+\ldots+\alpha_n\mathcal{E}_n(\mathbf{v})= \mathbf{o}(\mathbf{v})=0~~\forall \mathbf{v}\in V.

Подставляя в это равенство \mathbf{v}=\mathbf{e}_i,~ i=1,\ldots,n, получаем \alpha_1=\alpha_2\cdot= \alpha_n=0. Следовательно, система элементов \mathcal{E}_1,\mathcal{E}_2,\ldots,\mathcal{E}_n пространства V^{\ast} линейно независима, так как равенство \alpha_1\mathcal{E}_1+\ldots+ \alpha_n\mathcal{E}_n =\mathbf{o} возможно только в тривиальном случае.


Во-вторых, докажем, что любую линейную функцию f\in V^{\ast} можно представить в виде линейной комбинации ковекторов \mathcal{E}_1, \mathcal{E}_2,\ldots, \mathcal{E}_n. Действительно, для любого вектора \mathbf{v}=v_1 \mathbf{e}_1+v_2 \mathbf{e}_2+\ldots+v_n \mathbf{e}_n в силу линейности функции f получаем:


\begin{aligned}f(\mathbf{v})&= f(v_1 \mathbf{e}_1+\ldots+v_n \mathbf{e}_n)= v_1 f(\mathbf{e}_1)+\ldots+v_n f(\mathbf{e}_n)= f(\mathbf{e}_1)\mathcal{E}_1(\mathbf{v})+ \ldots+ f(\mathbf{e}_n)\mathcal{E}_n(\mathbf{v})=\\[2pt] &=(f(\mathbf{e}_1)\mathcal{E}_1+\ldots+ f(\mathbf{e}_n)\mathcal{E}_n)(\mathbf{v})=  (\beta_1\mathcal{E}_1+ \ldots+\beta_n\mathcal{E}_n) (\mathbf{v}),\end{aligned}

т.е. функция f представлена в виде линейной комбинации f=\beta_1 \mathcal{E}_1+\ldots+\beta_n\mathcal{E}_n функций \mathcal{E}_1,\mathcal{E}_2,\ldots, \mathcal{E}_n (числа \beta_i=f(\mathbf{e}_i) — коэффициенты линейной комбинации). Следовательно, система ковекторов \mathcal{E}_1, \mathcal{E}_2,\ldots, \mathcal{E}_n является базисом сопряженного пространства V^{\ast} и \dim{V^{\ast}}=\dim{V} (для конечномерного пространства V).

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2021 MathHelpPlanet.com. All rights reserved