Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]

Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора
Онлайн-сервисы Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики Онлайн число, сумма и дата прописью Алгоритмы JavaScript Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки Уникальные элементы массива Объединение, пересечение и разность массивов НОД и НОК Операции над матрицами Дата прописью Введение в анализ Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика Теория множеств Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия Математическая логика Алгебра высказываний Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции Булевы функции Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций Теория формального Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний Логика предикатов Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов Неформальные и формаль- ные аксиоматические теории Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории Теория алгоритмов Интуитивное представление об алгоритмах Машины Тьюринга и тезис Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики Математическая логика и компьютеры Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект Дискретная математика Множества и отношения Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций Группы и кольца Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов Полукольца и булевы алгебры Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки Алгебраические системы Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры Теория графов Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов Булева алгебра и функции Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов Конечные автоматы и регулярные языки Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга Контекстно-свободные языки Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов Интегральное исчисление Неопределённый и определённый Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции Приложения интегралов Вычисление площадей плоских фигур Площади фигур в различных координатах Вычисление объемов тел с помощью интегралов Объём тела вращения Вычисление длин дуг кривых Формулы длины дуги регулярной кривой Кривизна плоской кривой Площадь поверхности вращения тела Интегралы в физике Статические моменты и координаты центра тяжести Теоремы Гульдина–Паппа Вычисление моментов инерции Другие приложения интегралов в физике Основные интегралы Интеграл Ньютона-Лейбница Интеграл Римана Интеграл Лебега Вариационное исчисление Примеры вариационных задач Дифференциальное уравнение Эйлера Функционалы, зависящие от нескольких функций Задача о минимуме кратного интеграла Финансовый анализ Анализ эффективности Критерии и показатели эффективности предприятия Методы анализа эффективности деятельности Факторный анализ прибыли от операционной деятельности Анализ безубыточности предприятия Операционный рычаг и эффект финансового рычага Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала Анализ распределения прибыли предприятия Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности Анализ устойчивости Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность Характеристика типов финансовой устойчивости Рыночная активность Финансовый анализ рыночной активности Методика анализа рыночной активности Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию Инвестиционная деятельность Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование Анализ инвестиций Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия Задачи финансового анализа инвестиций предприятия Учет фактора времени в инвестиционной деятельности Аннуитет и финансовая рента в инвестициях Учет фактора инфляции при инвестировании Оценка фактора риска инвестиционного проекта Методы оценки эффективности инвестиций Показатели эффективности инвестиционного проекта Стоимость компании Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций Форвардные контракты Форвардный контракт и цена Форвардная цена акции на бирже Цена форвардного контракта инвестора Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда Форвардная цена валюты на рынке форекс Форвардный валютный курс и инфляция на рынке Форвардная цена товара и спотовый рынок Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам Синтетический форвардный контракт на акции и валюту Теория вероятностей Основные понятия теории вероятностей Зависимые и независимые случайные события Повторные независимые испытания Формула Бернулли Одномерные случайные величины Многомерные случайные величины Функции случайных величин Законы распределения целочисленных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и предельные теоремы Вероятностные закономерности Математическая статистика Элементы математической статистики Выборочный метод Оценки параметров генеральной совокупности Статистические гипотезы Критерии согласия Теоретические и эмпирические частоты Теория очередей (СМО) Определение системы массового обслуживания Уравнения Колмогорова Предельные вероятности состояний Определение СМО с отказами Определение СМО с ожиданием (очередью) Аналитическая геометрия Векторная алгебра Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике Системы координат Прямоугольные координаты Преобразования прямоугольных координат Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферические координаты Аффинные координаты Аффинные преобразования координат Аффинные преобразования плоскости Примеры аффинных преобразований плоскости Аффинные преобразования пространства Многомерное координатное пространство Линейные и аффинные подпространства Скалярное произведение n-мерных векторов Преобразования систем координат Геометрия на плоскости Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными Линии 2-го порядка Канонические уравнения линий второго порядка Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду Эллипс Гипербола Парабола Квадратичные неравенства с двумя неизвестными Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций Инварианты линий Классификация линий 2-го порядка по инвариантам Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам Геометрия в пространстве Способы задания ГМТ в пространстве Алгебраические уравнения поверхностей Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам Уравнения плоскости, проходящей через три точки Взаимное расположение плоскостей Типовые задачи с плоскостями Уравнения прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Типовые задачи с прямыми в пространстве Поверхности 2-го порядка Канонические уравнения поверхностей Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду Поверхности второго порядка Эллипсоиды Гиперболоиды Конусы Параболоиды Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций Инварианты поверхностей Классификация поверхностей 2-го порядка по инвариантам Квадратичные неравенства с тремя неизвестными Приведение уравнения поверхности к канониче-скому виду по инвариантам Линейная алгебра Матрицы и операции Линейные операции над матрицами Умножение матриц Возведение матриц в степень Многочлены от матриц Транспонирование и сопряжение матриц Блочные матрицы Произведение и сумма матриц Кронекера Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду Элементарные преобразования матриц Определители Определители матриц и их основные свойства Формула полного разложения определителя Формула Лапласа полного разложения определителя Определитель произведения матриц Методы вычисления определителей Ранг матрицы Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы Ранг матрицы и базисный минор матрицы Методы вычисления ранга матрицы Ранг системы столбцов (строк) Обратная матрица Обратные матрицы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы Способы нахождения обратной матрицы Матричные уравнения Односторонние обратные матрицы Скелетное разложение матрицы Полуобратная матрица Псевдообратная матрица Системы уравнений Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Структура общего решения системы уравнений Решение систем с помощью полуобратных матриц Псевдорешения системы линейных уравнений Функциональные матрицы Функциональные матрицы скалярного аргумента Производные матриц по векторному аргументу Линейные и квадратичные формы и их преобразования Приведение форм к каноническому виду Закон инерции вещественных квадратичных форм Знакоопределенность форм вещественных квадратичных Формы и исследование функций на экстремум Многочленные матрицы Многочленные матрицы (лямбда-матрицы) Операции над лямбда-матрицами Простые преобразования многочленных матриц Инвариантные множители многочленной матрицы Функции от матриц Собственные векторы и значения матрицы Подобие числовых матриц Характеристический многочлен матрицы Минимальный многочлен матрицы Теорема Гамильтона-Кэли Жорданова форма матрицы Приведение матрицы к жордановой форме Многочлены от матриц Применение многочленов от матриц Функции от матриц Линейные пространства Линейные пространства: определение и примеры Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов Размерность и базис линейного пространства Преобразования координат в линейном пространстве Изоморфизм линейных пространств Подпространства Подпространства линейного пространства Пересечение и сумма подпространств Способы описания подпространств Нахождение дополнения и суммы подпространств Нахождение пересечения подпространств Линейные отображения Линейные многообразия Линейные отображения Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения Линейные операторы Линейные операторы (преобразования) Инвариантные подпространства Собственные векторы и значения оператора Свойства собственных векторов операторов Канонический вид линейного оператора Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду Евклидовы пространства Евклидовы пространства Ортогональные векторы евклидова пространства Ортогональный базис евклидова пространства Ортонормированный базис евклидова пространства Ортогональные дополнения в евклидовом пространстве Задача о перпендикуляре Матрица и определитель Грама и его свойства Линейные преобразования евклидовых пространств Канонический вид ортогонального оператора евклидова пространства Сопряженные операторы евклидова пространства Самосопряженные операторы евклидова пространства Приведение квадратичной формы к главным осям Унитарные пространства и их линейные преобразования Комплексный анализ Комплексные числа Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Множества на комплексной плоскости Последовательности и ряды комплексных чисел Комплексные функции Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная Элементарные функции комплексного переменного Дифференцирование функций комплексного переменного Аналитические функции и их свойства Конформные отображения и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного Функциональные ряды в комплексной области Функциональные ряды и последовательности Степенные ряды и их свойства Разложение функций в степенные ряды Нули аналитических функций Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням Особые точки, Вычеты Изолированные особые точки функций и полюсы Вычеты и их применение Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычеты и расположение нулей многочлена Операционное исчисление Преобразование Лапласа и его свойства Решение ДУ операционным методом Анализ выходных процессов линейных стационарных систем Z-преобразование и его свойства Дифференциальные уравнения ДУ первого порядка Основные понятия и определения ДУ Метод изоклин для ДУ 1-го порядка Метод последовательных приближений ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ 1-го порядка Дифференциальное уравнение Бернулли ДУ в полных дифференциалах Интегрирующий множитель ДУ, не разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение Риккати Составление ДУ семейств линий Задачи на траектории Особые решения ДУ ДУ высших порядков Понятия и определения ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка Линейная независимость функций Определители Вронского и Грама Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения Задача Коши и Уравнение Эйлера Линейные ДУ с переменными коэффициентами Метод Лагранжа решения ДУ Краевые задачи для ДУ высших порядков Разложение решения ДУ в степенной ряд Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд Нахождение периодических решений ДУ Асимптотическое интегрирование ДУ Системы ДУ Системы ДУ: понятия и определения Сведение системы ДУ к одному уравнению Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование однородных линейных систем ДУ Методы интегрирования неоднородных систем ДУ Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем Теория устойчивости Устойчивость решений ДУ по Ляпунову Простейшие типы точек покоя Метод функций Ляпунова Устойчивость решений ДУ по первому приближению Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова ДУ с малым параметром при производной Численные методы Методы алгебры Численные методы линейной алгебры Численные методы решения СЛАУ Итерационный метод Шульца обратной матрицы Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы Методы решения нелинейных уравнений Методы решения систем нелинейных уравнений Методы теории приближений Методы приближения сеточных функций Методы функциональной интерполяции Методы интегрально-дифференциальной интерполяции Методы интегрального сглаживания Методы интерполяции и сглаживания сплайнами Методы численного дифференцирования и интегрирования Методы численного дифференцирования Методы численного интегрирования Методы решения обыкновенных ДУ Численные методы решения задачи Коши Разностные схемы для решения задачи Коши Составные схемы для решения задачи Коши Экстраполяционные методы решения задачи Коши Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши Численные методы решения краевых задач Методы решения ДУ в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Численные методы решения уравнений в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными	Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора Содержание 1. Постановка задачи разложения функции в степенной ряд 2. Теорема Тейлора о разложении функции в степенной ряд 3. Алгоритм разложения аналитической функции в степенной ряд 4. Примеры разложения функций по степеням 5. Разложения основных функция в степенной ряд 6. Примеры 7. Алгоритм разложения рациональных дробей в ряд Тейлора Общая постановка задачи разложения функции в ряд в комплексной области формулируется так же, как и в действительной области. А именно, для заданной функции $f(z)$ , определенной в области $D$ и удовлетворяющий в ней него которым дополнительным условиям, требуется найти ряд вида $\sum_{n=1}^{\infty}u_n(z)$ который бы сходился в области $D$ и его сумма в этой области совпадала с $f(z)$ . Постановка задачи разложения функции в степенной ряд Для функции $f(z)$ , аналитической в области $D$ , найти ряд $\sum_{n=0}^{\infty}c_n(z-z_0)^n$ , сходящийся к $f(z)$ в круге $\|z-z_0\|<R$ , принадлежащем области $D$ , то есть $f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}c_n(z-z_0)^n,\quad \|z-z_0\|<R.$ (3.15) Равенство (3.15) означает, что $f(z)$ является суммой ряда в круге $\|z-z_0\|<R$ . Для решения задачи нужно, очевидно, найти коэффициенты ряда по заданной функции $f(z)$ ; найти круг сходимости ряда и установить сходимость ряда именно к $f(z)$ . Последнее, напомним, означает, что для точек круга выполняется неравенство $\|S_n(z)-f(z)\|<\varepsilon$ для любого $\varepsilon>0$ и $N(\varepsilon,z)$ . Все поставленные вопросы решаются с помощью следующей теоремы. Теорема Тейлора о разложении функции в степенной ряд Теорема 3.4. Функция, аналитическая в области $D$ , в окрестности каждой точки $z_0$ этой области представляется в виде степенного ряда (3.15), радиус сходимости $R$ которого не меньше, чем расстояние от точки $z_0$ до границы области $D$ . Коэффициенты ряда вычисляются по формуле $c_n=\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{\gamma}\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}\,dz,\quad n=0,1,2,\ldots,$ (3.16) где $\gamma$ — произвольный контур, принадлежащий области $D$ и охватывающий точку $z_0$ , в частности, $\gamma$ — окружность $\|z-z_0\|=\rho$ или по формуле $c_n=\frac{1}{n!}f^{(n)}(z_0),\quad n=0,1,2,\ldots$ (3.17) На основании теоремы можно сформулировать алгоритм решения поставленной выше задачи и вывод — утверждение. Алгоритм разложения аналитической функции в степенной ряд 1. Найти производные от данной функции: $f'(z),\,f''(z),\,\ldots,\,f^{(n)}(z),\,\ldots$ . 2. Вычислить значения производных в точке $z_0;$ ; записать коэффициенты по формуле (3.17). Составить ряд по степеням $z-z_0$ с этими коэффициентами, который соответствует данной функции $f(z)\sim \sum_{n=0}^{\infty}c_n(z-z_0)^n.$ 3. Найти область сходимости полученного ряда и записать разложение (3.15). Если функция не имеет конечных особых точек, то ряд сходится к ней во всей плоскости, $R=\infty$ . Утверждение 3.3 1. Функция, аналитическая в точке $z_0$ , раскладывается в окрестности этой точки в степенной ряд. 2. На границе круга сходимости ряда есть хотя бы одна особая точка функции, т.е. радиус сходимости круга равен расстоянию от центра разложения $z_0$ до ближайшей особой точки функции. 3. Степенной ряд в круге сходимости является рядом Тейлора для своей суммы, т.е. коэффициенты ряда вычисляются по формулам (3.16), (3.17). Примеры разложения функций по степеням z Пример 3.13. Записать разложения по степеням $z$ функций $e^z,\,\sin z,\,\cos z,\,\operatorname{sh}z,\,\operatorname{ch}z$ . Решение Задачу решаем по вышеприведенному алгоритму. 1. Найдем производные: $\begin{aligned}&f_1(z)=e^z,\quad f_1^{(n)}(z)=e^z;\\[2pt] &f_2(z)=\sin z,\quad f_2^{(n)}(z)=\sin\!\left(z+n\frac{\pi}{2}\right)\!;\\[2pt] &f_3(z)=\cos z,\quad f_3^{(n)}(z)=\cos\!\left(z+n\frac{\pi}{2}\right)\!;\\[2pt] &f_4(z)=\operatorname{sh}z,\quad f_4^{(n)}(z)=\begin{cases}\operatorname{sh}z,&\text{if}\quad n=2k,\\ \operatorname{ch}z,&\text{if}\quad n=2k-1;\end{cases}\\[2pt] &f_5(z)=\operatorname{ch}z,\quad f_5^{(n)}(z)=\begin{cases}\operatorname{ch}z,&\text{if}\quad n=2k,\\ \operatorname{sh}z,&\text{if}\quad n=2k-1. \end{cases}\end{aligned}$ В поставленной задаче $z_0=0$ . По формуле (3.17) имеем $\begin{aligned}f_1(z)&=e^z,\quad c_n=\frac{1}{n!};\qquad e^z\sim \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!}\,;\\[2pt] f_2(z)&=\sin z,\quad c_n=\begin{cases}0,&n=2k;\\ \dfrac{(-1)^{k+1}}{(2k-1)!},&n=2k-1;\end{cases} \sin z\sim \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{(2n-1)!}z^{2n-1};\\[2pt] f_3(z)&=\cos z,\quad c_n=\begin{cases}0,&n=2k-1;\\ \dfrac{(-1)^k}{(2k)!},& n=2k;\end{cases} \cos z\sim \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}z^{2n};\\[2pt] f_4(z)&=\operatorname{sh}z,\quad c_n= \begin{cases}0,&n=2k;\\ \dfrac{1}{n!},&n=2k-1;\end{cases} \operatorname{sh}z\sim \sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^{2n-1}}{(2n-1)!}\,;\\[2pt] f_5(z)&=\operatorname{ch}z,\quad c_n=\begin{cases}0,&n=2k-1;\\ \dfrac{1}{n!},&n=2k;\end{cases} \operatorname{ch}z\sim \sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^{2n}}{(2n)!}\,.\end{aligned}$ 3. Нетрудно убедиться, что все составленные ряды сходятся во всей комплексной плоскости, $R=\infty$ . В результате получаем формулы, которые ранее были приняты за определения соответствующих функций: $\begin{gathered}e^z= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!}\,;\qquad \sin z= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{(2n-1)!}z^{2n-1};\qquad \cos z= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}z^{2n};\\ \operatorname{sh}z= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^{2n-1}}{(2n-1)!}\,;\qquad \operatorname{ch}z\sim \sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^{2n}}{(2n)!}\,. \end{gathered}$ В результате получены так называемые основные разложения. Пример 3.14. Записать разложения по степеням $z$ функций: а) $\frac{1}{1-z}$ ; б) $\frac{z^2}{z-1}$ . Решение Задачу можно решать, пользуясь алгоритмом, а можно использовать формулы (3.13) для суммы членов геометрической профессии. Заданные функции являются аналитическими во всей комплексной плоскости за исключением одной точки $z=1$ . Для каждого случая получаем: $\mathsf{a)}~\frac{1}{1-z}=\sum_{n=0}^{\infty}z^n,\quad \|z\|<1;$ $\mathsf{b)}~\frac{z^2}{z-1}=-z^2\cdot\frac{1}{1-z}=-z^2\cdot\sum_{n=0}^{\infty}z^n= -\sum_{n=0}^{\infty}z^{n+2},\quad \|z\|<1;$ заметим, что здесь $c_0=0,~c_1=0,~c_n=-1$ для $n\geqslant2$ . Пример 3.15. Записать разложения по степеням $(z-z_0)$ функций: а) $\ln z,~z_0=1,~\ln1=0$ ; б) $\ln(1+z),~z_0=0,~\ln1=0$ . Решение Разложения записываются для однозначных ветвей многозначного выражения. Выбор ветви определяется заданием функции в точке $z_0$ . a) Функция определена во всей комплексной плоскости за исключением $z=0$ , т.е. в двусвязной области $0<\|z\|<\infty$ . Чтобы получить односвязную область из $0<\|z\|<\infty$ , проведем разрез, соединяющий точки $z=0$ и $z=\infty$ . Из условия $\ln1=0$ следует, что точка $z_0=1$ должна быть внутренней точкой области. Поэтому выбираем разрез, не проходящий через $z_0$ . например по лучу $(-\infty;0]$ . В полученной односвязной области, где $-\pi<\arg z<\pi$ , функция $\ln z$ является однозначной аналитической функцией. Далее решаем задачу по алгоритму. 1. Находим производные (формулу устанавливаем по индукции): $f'(z)=\frac{1}{z},\quad f''(z)=-\frac{1}{z^2},\quad f'''(z)=\frac{2}{z^3},\quad f^{(4)}(z)=\frac{-2\cdot3}{z^4},\quad \ldots,\quad f^{(n)}(z)=(-1)^{n+1}\frac{(n-1)!}{z^n}\,.$ 2. По формуле (3.17): $f^{(n)}(1)=(-1)^{n+1}(n-1)!,\quad c_n=\frac{(-1)^{n+1}}{n},~ n=1,2,\ldots;\qquad \ln z\sim \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}(z-1)^n}{n}\,.$ 3. Находим радиус сходимости ряда: $R=\frac{1}{\ell}$ , где $\ell=\lim_{n\to\infty} \sqrt[\LARGE{n}]{\frac{1}{n}}=1,~ R=1$ . В результате получаем $\ln z=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}(z-1)^n}{n},\quad \|z-1\|<1.$ б) Функция $\ln(1+z)$ определена всюду в $\mathbb{C}$ за исключением $z=-1$ , т.е. в двусвязной области. В односвязной области, полученной из $\mathbb{C}$ путем разреза по лучу $(-\infty;-1]$ , функция является однозначной , аналитической. Задачу можно решать, как и выше, т.е. по алгоритму, а можно использовать полученный выше результат, введя обозначение $1+z=t$ . Для $t$ , удовлетворяющих неравенству $\|t-1\|<1$ имеем разложение $\ln t=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}(t-1)^n$ . Заменяя $t$ на $(1+z)$ , получаем результат $\ln(1+z)= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\,z^n,\quad \|z\|<1.$ Разложения основных функция в степенной ряд Разложения, полученные в результате решения примеров 3.13-3.15, носят название основных (табличных) разложений. Выпишем их: $\begin{aligned} &\bold{1)}~ e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}\,; \qquad \bold{2)}~ \sin z=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}z^{2n-1}}{(2n-1)!}\,; \qquad \bold{3)}~ \cos z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}z^{2n}}{(2n)!}\,; \\[4pt] &\bold{4)}~ \operatorname{sh}z=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^{2n-1}}{(2n-1)!}\,; \qquad \bold{5)}~ \operatorname{ch}z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{2n}}{(2n)!}\,;\\[4pt] &\bold{6)}~ \frac{1}{1-z}=\sum_{n=0}^{\infty}z^n,~ \|z\|<1;\qquad \bold{7)}~\ln(1+z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\,z^n,~\|z\|<1. \end{aligned}$ Основные разложения позволяют при решении примеров на разложение функции в ряд Тейлора не пользоваться сформулированным выше алгоритмом, сложность которого связана с техникой дифференцирования и составления формулы общего члена. Утверждение 3.4. При разложении функции в ряд Тейлора используются основные (табличные) разложения и действия над рядами. Радиус сходимости ряда может быть получен по виду раскладываемой функции без использования формулы общего члена ряда и формул для нахождения радиуса. Радиус сходимости ряда, полученного при разложении данной функции в окрестности точки $z_0$ , равен расстоянию от центра разложения — точки $z_0$ до ближайшей особой точки функции. Если функция является аналитической всюду, то $R=\infty$ . Пример 3.16. Разложить по степеням $z$ функции комплексного переменного: $\bold{1)}~\operatorname{ch}3z;\qquad \bold{2)}~ e^{z+2};\qquad \bold{3)}~ \sin^2z;\qquad \bold{4)}~ \ln(3+z).$ Решение а) Обозначим $3z$ через $t$ и, используя табличное разложение для функции $\operatorname{ch}t$ , получим ответ: $\operatorname{ch}3z=\operatorname{ch}t= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^{2n}}{(2n)!}$ , то есть $\operatorname{ch}3z= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{9^nz^{2n}}{(2n)!},~~ R=\infty.$ . б) Запишем функцию в виде произведения $e^2\cdot e^z$ и, используя разложение для $e^z$ , получим ответ: $e^{z+2}= e^2\cdot \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!}$ , то есть $e^{z+2}= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{e^2}{n!}\,z^n,~~ R=\infty$ . в) Чтобы воспользоваться одним из основных разложений, применим тригонометрическую формулу — формулу "понижения". Получим: $\sin^2z= \frac{1-\cos2z}{2}= \frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos2z= \frac{1}{2}-\frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2z)^{2n}(-1)^n}{(2n)!}= \frac{1}{2}-\frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^{2n}(-1)^nz^{2n}}{(2n)!}\,.$ Заметим, что свободный член разложения в этой записи встречается дважды, поэтому нужно привести подобные члены. Для этого в записи рада отделим слагаемое при $n=0$ — свободный член: $\frac{1}{2}-\frac{1}{2}-\frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{2n}(-1)^nz^{2n}}{(2n)!}\,.$ В результате имеем $\sin^2z= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}2^{2n-1}}{(2n)!}\,z^{2n},~ R=\infty$ . Из этого разложения можно найти значение производной любого порядка функции $\sin^2z$ в точке $z_0=0$ , так как эти значения связаны формулой (3.17) с коэффициентами разложения: $f^{(n)}(z_0)=c_n\cdot n!$ . Поэтому, учитывая, что в разложении присутствуют только четные степени, заключаем, что все производные нечетных порядков от $\sin^2z$ в точке $z_0=0$ равны нулю, а производная, например, десятого порядка не равна нулю. Найдем ее, используя равенство $f^{(10)}(0)= c_{10}\cdot10!$ , где $c_{10}$ — коэффициент в разложении $f(z)=\sin^2z$ при $z^{10}$ , т.е. в записанном выше разложении нужно взять $n=5$ . Получим $c_{10}= \frac{(-1)^6\cdot2^9}{10!},\qquad \left.{\bigl(\sin^2z \bigr)^{(10)}}\right\|_{z=0}= 2^9.$ г) Функция определена всюду, кроме $z=-3$ . В односвязной области, например в плоскости с разрезом по лучу $(-\infty;-3]$ , где $-\pi<\arg z<\pi$ , возможно выделение однозначных ветвей многозначного выражения $\operatorname{Ln}(z+3)= \ln\|z+3\|+ i\bigl(\arg(z+3)+2k\pi\bigr)$ (рис. 3.1). Выбираем ту ветвь, для которой $f(0)=\ln3$ , то есть из $\operatorname{Ln}3= \ln3+i(\arg3+ 2k\pi)=\ln3$ получаем $k=0$ . Разложим аналитическую функцию $\ln(z+3)$ по степеням $z$ в круге $\|z\|<3$ ; радиус круга $R=3$ — расстояние от центра разложения $z_0=0$ до граничной точки $z=-3$ . Чтобы воспользоваться основным разложением, преобразуем функцию следующим образом: $\ln(3+z)= \ln \left[3\! \left(1+\frac{z}{3}\right)\right]= \ln3+\ln\! \left(1+ \frac{z}{3}\right)\!.$ Тогда, обозначая $\frac{z}{3}$ через $t$ и используя основное разложение для $\ln(1+t)$ , получаем $\ln(3+z)=\ln3+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n\cdot 3^n}\,z^n$ при условии $\left\|\frac{z}{3}\right\|<1$ , т.е. в круге $\|z\|<3$ . Пример 3.17. Разложить в окрестности точки $z_0=0$ ветвь функции $\ln(z^2-z-6)$ , для которой $f(0)=\ln6+i\pi$ . Решение Функция $\ln(z^2-z-6)=\ln\bigl[(z+2)(z-3)\bigr]$ определена всюду в $\mathbb{C}$ , кроме точек $z_1=-2,~z_2=3$ , т.е. в трехсвязной области — плоскости с выколотыми точками $z_1$ и $z_2$ . Чтобы получить односвязную область, проведем разрезы по лучам, выходящим из этих точек. Например, луч из точки $z_1=-2$ выберем параллельным мнимой оси, $\{\operatorname{Re}z=-2,~\operatorname{Im}z \geqslant0\}$ , а луч из точки $z_2=3$ — по действительной оси: $\operatorname{Im}z=0,~ \operatorname{Re}z\geqslant3$ . В полученной односвязной области (рис. 3.2) каждая ветвь является аналитической функцией и раскладывается в ряд в круге $\|z\|<2$ ( $R=2$ — расстояние от $z_0=0$ до границы). Здесь ветвь задается условием: $f(0)=\ln6+i\pi$ , то есть из $\operatorname{Ln}(-6)=\ln6+i(\pi+2k\pi)= \ln6+i\pi$ при $k=0$ . Далее, чтобы использовать основное разложение, преобразуем функцию: $ln \bigl[(z+2)(z-3)\bigr]= \ln \bigl[(z+2)(-1)(3-z)\bigr]= \ln(z+2)+\ln(-1)+\ln(3-z).$ Для числа $\ln(-1)$ в силу выбора ветви берем $\ln(-1)=i\pi~(k=0)$ , а функции $\ln(z+2)$ и $\ln(3-z)$ раскладываем в ряды, как в предыдущем примере: $\begin{aligned}&\ln(z+2)= \ln2+ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}z^n}{2^n\cdot n},\quad \|z\|<2;\\[2pt] &\ln(3-z)= \ln3+ \ln\! \left(1-\frac{z}{3}\right)= \ln3+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n\cdot3^n}(-z)^n= \ln3-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^n}{n\cdot3^n},\quad \|z\|<3. \end{aligned}$ В области $\|z\|<2$ , принадлежащей выбранной односвязной области, сходятся оба ряда. Используя свойство сложения рядов, получаем окончательный результат: $\ln(z^2-z-6)= \ln6+i\pi+\sum_{n=1}^{\infty}\! \left(\frac{(-1)^{n+1}}{2^n}-\frac{1}{3^n} \right)\!\cdot \frac{1}{n}\cdot z^n,\quad \|z\|<2$ При разложении функции в ряд в окрестности точки $z_0\ne0$ , т.е. по степеням $(z-z_0)$ , удобно использовать замену $(z-z_0)=t$ и полученную после замены функцию раскладывать по степеням $t$ . Пример 3.18. Разложить по степеням $(z-2)$ функции: a) $\sin z$ ; б) $e^z$ в) $\ln(1+z)$ . Решение а) Обозначим $(z-2)$ через $t$ , и, используя тригонометрическую формулу для функции $\sin(2+t)$ , получим: $\sin(2+t)= \sin2\cdot\cos t+\cos2\cdot\sin t$ . Здесь $\sin2$ и $\cos2$ — постоянные величины, а для функций $\cos t$ и $\sin t$ используем основные разложения. В результате получим $\sin z=\sin2\cdot \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n(z-2)^{2n}}{(2n)!}+ \cos2\cdot \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}(z-2)^{2n-1}}{(2n-1)!}\,,$ то есть ряд вида $\textstyle{\sum\limits_{n=0}^{\infty}c_n(z-2)^n}$ , где коэффициент $c_n$ определяется следующим образом: $c_n=\frac{(-1)^k}{k!}\sin2$ для $n=2k$ и $c_n=\frac{(-1)^k}{k!}\cos2$ для $n=2k-1$ . б) Можно, как и выше, использовать вспомогательную переменную, а можно сделать то же самое, применив простое преобразование: $e^z=e^{z-2+2}=e^2\cdot e^{z-2}$ . Здесь $e^2$ — постоянная величина, функция $e^{z-2}$ раскладывается в ряд как функция $e^t$ по степеням $t$ . Получаем ответ: $e^z=e^2\cdot \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(z-2)^n}{n!}$ , или $e^z= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{e^2}{n!}(z-2)^n,~~ R=\infty$ . в) Обозначая $(z-2)$ через $t$ , получаем функцию $\ln(t+3)$ . Разложение этой функции по степеням $t$ найдено в примере 3.16: $\ln(t+3)=\ln3+ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n\cdot3^n}\,t^n,\quad \|t\|<3.$ Возвращаясь к исходной переменной, получаем разложение исходной функции в круге $\|z-2\|<3$ (рис. 3.3): $\ln(1+z)=\ln3+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n\cdot3^n}(z-2)^n,\quad \|z-2\|<3.$ Пример 3.19. Разложить по степеням $z$ функции: $f(z)=\frac{1}{1-az};~~ f(z)=\frac{1}{a-z};~~ f(z)=\frac{1}{(1-z)^2}$ . Решение Данные функции являются простейшими рациональными (элементарными) дробями. Для их разложения используется формула суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии $\frac{1}{1-q}= \sum_{n=0}^{\infty} q^n,~\|q\|<1$ . В первом случае формула используется непосредственно, при $q=az$ , во втором — после преобразования $\frac{1}{a-z}= \frac{1}{a}\cdot \frac{1}{1-\frac{z}{a}}$ получаем $q=\frac{z}{a}$ . Разложение заданных функций имеет вид $\frac{1}{1-az}= \sum_{n=0}^{\infty}a^nz^n,\quad \|z\|<\frac{1}{\|a\|}=R;$ (3.18) $\frac{1}{a-z}= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{a^{n+1}},\quad \|z\|<\|a\|=R.$ (3.19) Соотношения (3.18),(3.19) обобщают формулу $\frac{1}{1-z}= \sum_{n=0}^{\infty}z^n,~ \|z\|<1$ , которая получается из них при $a=1$ . При разложении дроби $\frac{1}{(1-z)^2}$ замечаем, что она является производной от $\frac{1}{1-z}$ , то есть $\left(\frac{1}{1-z}\right)'=\frac{1}{(1-z)^2}$ , поэтому ее разложение можно получить, используя дифференцирование ряда: $\begin{gathered}\frac{1}{1-z}= \sum_{n=0}^{\infty}z^n,\quad \|z\|<1,\\[2pt] \frac{1}{(1-z)^2}= \left(\frac{1}{1-z}\right)'= \sum_{n=0}^{\infty}(z^n)'= \sum_{n=0}^{\infty}nz^{n-1},\quad \|z\|<1. \end{gathered}$ Ответ удобнее записать в виде $\frac{1}{(1-z)^2}= \sum_{n=0}^{\infty}(n+1)z^n,~\|z\|<1$ . Очевидно, повторяя процедуру дифференцирования, можно получить разложение элементарных дробей вида $\frac{1}{(a-z)^k}$ при любом натуральном $k$ . Алгоритм разложения рациональных дробей в ряд Тейлора Рассмотрим примеры на разложение в ряд Тейлора рациональных дробей $R(z)= \frac{P_m(z)}{Q_n(z)}\,,$ где $P_m(z)$ и $Q_n(z)$ — многочлены. Первые этапы решения задачи аналогичны этапам интегрирования этих дробей. Приведем полный алгоритм. 1. Если дробь неправильная $(m\geqslant n)$ , следует выделить целую часть дроби многочлен. 2. Правильную рациональную дробь разложить на элементарные дроби: а) записать дробь в виде суммы элементарных дробей вида $\frac{A_k}{(z-a)^k}$ с неопределенными коэффициентами $A_k$ , где $a$ — корень знаменателя, $k$ — его кратность; б) найти неопределенные коэффициенты. 3. Разложить элементарные дроби в степенные ряды. Основными приемами при этом являются применение формул (3.13),(3.18),(3.19) и правила дифференцирования ряда (см. пример 3.19)). При разложении по степеням $(z-z_0),~z_0\ne0$ можно предварительно ввести вспомогательную переменную $z-z_0=t$ . Пример 3.20. Разложить по степеням $z$ функции: а) $\frac{2z-1}{z+2}$ ; б) $\frac{z^2-z+3}{z+2}$ . Решение а) Воспользуемся алгоритмом. 1. Дробь неправильная, поэтому выделяем целую часть: $\frac{2z-1}{z+2}= \frac{2(z+2)-5}{z+2}=2-\frac{5}{z+2}$ . 2. Полученная правильная дробь является элементарной дробью. 3. Записываем разложение элементарной дроби и получаем: $\frac{2z-1}{z+2}= 2-5\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{1-\left(-\frac{z}{2}\right)}= 2-\frac{5}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^nz^n}{2^n}= 2-5 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^nz^n}{2^{n+1}}\,,\quad \|z\|<2.$ Для разложения дроби $\frac{1}{z+2}$ можно было использовать формулу (3.19) при $a=-2$ . Для нахождения окончательного ответа нужно сделать преобразование приведения подобных членов, так как в полученном выражении свободный член встречается дважды. Имеем $2-\frac{5}{2}-5 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^nz^n}{2^{n+1}}$ , то есть $\frac{2z-1}{z+2}= 5 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}z^n}{2^{n+1}}-\frac{1}{2}\,,~~\|z\|<2.$ . б) Воспользуемся алгоритмом. 1. Дробь неправильная, выделяем целую часть. Можно, как и выше, применить преобразование дроби: $\frac{z^2-z+3}{z+2}= \frac{(z+2)^2-5z-1}{z+2}= \frac{(z+2)^2-5(z+2)+9}{z+2}= (z+2)-5+\frac{9}{z+2}= z-3+\frac{9}{z+2}\,.$ Можно для выделения целой части применить метод деления "углом", или, обозначая i + 2 = t, произвести почленное деление на одночлен $(z=t-2)\colon$ $\frac{z^2-z+3}{z+2}= \frac{(t-2)^2+(t-2)+3}{t}= \frac{t^2-5t+4}{t}= t-5+\frac{9}{t}= z-3+\frac{9}{z+2}\,.$ 2,3. Записываем разложение заданной функции, используя формулу (3.19) для правильной дроби: $\frac{z^2-z+3}{z+2}= z-3+\frac{9}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^nz^n}{2^n}= z-3+\frac{9}{2}-\frac{9}{4}z+\frac{9}{2} \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^nz^t}{2^n}\,.$ Окончательный ответ: $\frac{z^2-z+3}{z+2}= \frac{3}{2}-\frac{5}{4}z+9 \sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2^{n+1}}\,z^n,~ \|z\|<2$ . Получен ряд вида $\sum_{n=0}^{\infty}c_nz^n$ , где $c_0=\frac{3}{2},~ c_1=-\frac{5}{4},~ c_n=\frac{9(-1)^n}{2^{n+1}}~(n\geqslant2)$ . Нетрудно проверить равенство: $c_0=f(0)=\frac{3}{2}$ . Пример 3.21. Функцию $\frac{z+2}{z^2-2z-3}$ разложить в ряд Тейлора в окрестности точки $z_0$ , если а) $z_0=0$ ; б) $z_0=1$ . Решение а) Воспользуемся алгоритмом. 1. Дробь правильная. 2. Раскладываем ее на элементарные дроби. Для этого представим дробь в виде $\frac{z+2}{(z+1)(z-3)}= \frac{A}{z+1}+ \frac{B}{z-3}\,,$ где $A$ и $B$ — неопределенные коэффициенты, которые находим из тождества $z+2=A\cdot(z-3)+B\cdot(z+1).$ Полагая последовательно $z=-1$ и $z=3$ , получаем $A=-\frac{1}{4},~ B=\frac{5}{4}$ . Записываем дробь в виде суммы дробей: $\frac{z+2}{(z+1)(z-3)}= -\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{z+1}+\frac{5}{4}\cdot \frac{1}{z-3}$ . 3. Раскладываем по степеням г каждую элементарную дробь: $\begin{aligned}\frac{1}{1+z}&= \frac{1}{1-(-z)}= \sum_{n=0}^{\infty} (-z)^nz^n,\quad \|z\|<1.\\[2pt] \frac{1}{z-3}&=-\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{1-\frac{z}{3}}= -\frac{1}{3} \sum_{n=0}^{\infty}\! \left(\frac{z}{3}\right)^n= — \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{3^{n+1}}\,,\quad \|z\|<3.\end{aligned}$ В общей области сходимости — круге $\|z\|<1$ — записываем сумму рядов разложение исходной дроби: $\frac{z+2}{z^2-2z-3}= -\frac{1}{4} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^nz^n-\frac{5}{4} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{3^{n+1}}= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{4}\! \left((-1)^{n+1}-\frac{5}{3^{n+1}}\right)\!,\quad \|z\|<1.$ б) Воспользуемся алгоритмом. 1. Дробь правильная. 2. Разложение дроби на элементарные получено в предыдущем пункте: $\frac{z+2}{(z+1)(z-3)}= -\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{z+1}+\frac{5}{4}\cdot \frac{1}{z-3}\,.$ 3. Раскладываем по степеням $(z-1)$ каждую элементарную дробь: $\begin{aligned}\frac{1}{z+1}= \frac{1}{z-1+2}= \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{1-\left(-\frac{z-1}{2}\right)}= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n(z-1)^n}{2^{n+1}},\quad \|z-1\|<2;\\[2pt] \frac{1}{z-3}= \frac{1}{z-1-2}= -\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{1-\frac{z-1}{2}}= -\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(z-1)^n}{2^{n+1}},\quad \|z-1\|<2. \end{aligned}$ Записываем разложение исходной дроби в круге $\|z-1\|<2\colon$ $\frac{z+2}{z^2-2z-3}= -\frac{1}{4} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n(z-1)^n}{2^{n+1}}-\frac{5}{4} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(z-1)^n}{2^{n+1}}= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}-5}{2^{n+3}}(z-1)^n.$ При разложении по степеням, $(z-1)$ можно было сделать замену $z-1=t$ в исходной дроби. Радиусы сходимости в обоих случаях можно определить заранее, до записи» разложения — по виду функции. Ее особыми точками являются точки $z_1=-1$ и $z_2=3$ . В первом случае ближайшей к точке $z_0=0$ является точка $z_1$ , расстояние между точками равно единице и, следовательно, $R=1$ ; во втором — обе особые точки удалены от $z_0=1$ на расстояние, равное двум, и $R=2$ . Пример 3.22. Разложить по степеням $z$ функции (рациональные дроби): а) $f(z)=\frac{2}{z^2-2z+2}$ ; б) $f(z)=\frac{z+1}{(z-1)^2(z+2)}$ . Решение а) Воспользуемся алгоритмом. 1. Дробь правильная. 2. Раскладываем правильную дробь на элементарные дроби, предварительно разложив знаменатель на множители: $z^2-2z+2=(z-z_1)(z-z_2)$ , где $z_1=1-i$ и $z_2=1+i$ . Представим дробь в виде $\frac{2}{z^2-2z+2}= \frac{2}{(z-z_1)(z-z_2)}= \frac{A}{z-z_1}+ \frac{B}{z-z_2}$ . Находим коэффициенты $A$ и $B$ из тождества $A(z-z_2)+B(z-z_1)=2$ , т.е. из системы $\begin{cases}A+B=0,\\Az_2+Bz_1=-2;\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} B=-A,\\ A(z_2-z_1)=-2;\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}A=\dfrac{2}{z_1-z_2}=i,\\ B=-i. \end{cases}$ Дробь представлена в виде суммы: $\frac{2}{z^2-2z+2}= \frac{i}{z-(1-i)}+\frac{-i}{z-(1+i)}$ . 3. Раскладываем элементарные дроби по степеням $z:$ $\begin{aligned}\frac{1}{z-(1-i)}&= \frac{-1}{1-i}\cdot \frac{1}{1-\frac{z}{1-i}}= -\frac{1}{1-i} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{(1-i)^n},\quad \left\|\frac{z}{1-i}\right\|<1 ~\Leftrightarrow~ \|z\|<\sqrt{2}\,;\\[2pt] \frac{1}{z-(1+i)}&= \frac{-1}{1+i}\cdot \frac{1}{1-\frac{z}{1+i}}= -\frac{1}{1+i} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{(1+i)^n};\quad \left\|\frac{z}{1+i}\right\|<1~ \Leftrightarrow~ \|z\|<\sqrt{2}\,.\end{aligned}$ Записываем ответ: $\begin{aligned}\frac{2}{z^2-2z+2}&= \frac{-i}{1-i} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{(1-i)^n}+ \frac{i}{1+i} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{(1+i)^n}= \frac{1-i}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{(1-i)^n}+ \frac{1+i}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{(1+i)^n}=\\ &= \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty}\! \left(\frac{1}{(1-i)^{n-1}}+ \frac{1}{(1+i)^{n-1}}\right)\!z^n,\quad \|z\|<\sqrt{2}\,. \end{aligned}$ б) Воспользуемся алгоритмом. 1,2. Раскладываем дробь на элементарные: $\frac{z+1}{(z-1)^2(z+2)}= \frac{A}{z-1}+ \frac{B}{(z-1)^2}+ \frac{C}{z+2}$ , где $A,\,B,\,C$ — неопределенные коэффициенты. Находим коэффициенты из тождества $A(z-1)(z+2)+B(z+2)+C(z-1)^2=z+1$ . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $z$ , имеем $\begin{cases}A+C=0,A+B-2C=1,\\ -2A+2B+C=1;\end{cases} \Leftrightarrow~ \begin{cases} A=1\!\!\not{\phantom{\|}}\, 9,\\ B=2\!\!\not{\phantom{\|}}\, 3,\\ C=-1\!\!\not{\phantom{\|}}\, 9.\end{cases}$ 3. Раскладываем элементарные дроби по степеням $z:$ $\begin{aligned}\frac{1}{z-1}&= -\frac{1}{1-z}= -\sum_{n=0}^{\infty}z^n,\quad \|z\|<1;\\ \frac{1}{(z-1)^2}&= -\left(\frac{1}{z-1}\right)'= \sum_{n=0}^{\infty}(z^n)'= \sum_{n=1}^{\infty} (n+1)z^n,\quad \|z\|<1;\\ \frac{1}{z+2}&= \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^nz^n}{2^n},\quad \|z\|<2. \end{aligned}$ Для исходной дроби получаем разложение: $\frac{z+1}{(z-1)^2(z+2)}= -\frac{1}{9}\cdot \sum_{n=0}^{\infty}z^n+ \frac{2}{3}\cdot \sum_{n=0}^{\infty} (n+1)z^n- \frac{1}{9}\cdot \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^nz^n}{2^{n+1}}\,,$ или, складывая ряды: $\frac{z+1}{(z-1)^2(z+2)}= \frac{1}{9} \sum_{n=0}^{\infty}\! \left( 6(n+1)-1+\frac{(-1)^{n+1}}{2^{n+1}}\right)\!z^n$ . Окончательный ответ: $\frac{z+1}{(z-1)^2(z+2)}= \frac{1}{9} \sum_{n=0}^{\infty}\! \left( 6n+5 +\frac{(-1)^{n+1}}{2^{n+1}}\right)\!z^n,~ \|z\|<1$ . Пример 3.23. Разложить по степеням $z$ функции: а) $\frac{4}{4+z^2}$ ; б) $\frac{z}{z^2-i}$ . Решение Обе дроби правильные; раскладывать на более простые нет необходимости. Используя основные разложения, получаем ответы: а) $\frac{4}{4+z^2}= \frac{4}{4}\cdot \frac{1}{1-\left(-\frac{z^2}{4}\right)}= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^nz^{2n}}{4^n},~~ \left\|\frac{z^2}{4}\right\|<1~ \Leftrightarrow~ \|z\|<2$ ; б) $\frac{z}{z^2-i}= \frac{z}{-i}\cdot \frac{1}{1-\frac{z^2}{i}}= -\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{2n+1}}{i^{n+1}},~~ \|z\|<1$ или $\frac{z}{z^2-i}= \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^ni^{n+1} z^{2n+1},~~ \|z\|<1$ . Пример 3.24. Используя разложение функции $e^{z^2+z}$ по степеням $z$ , найти значение производной седьмого порядка в точке $z_0=0$ . Решение Искомая величина находится по формуле (3.17): $f^{(7)}(0)= c_7\cdot7!$ , где $c_7$ — коэффициент слагаемого, содержащего степень $z^7$ в разложении функции в ряд Тейлора. Разложение функции можно получить, используя правило умножения рядов. Функцию для этого представим в виде произведения $e^{z^2+z}=e^{z^2}\cdot e^z$ . При этом нет необходимости находить первые члены разложения, достаточно определить коэффициент при степени $z^7$ , которая получается при перемножении. Запишем произведение рядов: $\begin{gathered}e^{z^2+z}= e^{z^2}\cdot e^z= \left(1+z^2+\frac{z^4}{2!}+ \frac{z^6}{3!}+ \frac{z^8}{4!}+ \ldots\right)\!\cdot\! \left(1+z+ \frac{z^2}{2!}+ \frac{z^3}{3!}+ \frac{z^4}{4!}+ \frac{z^5}{5!}+ \frac{z^6}{6!}+ \frac{z^7}{7!}+ \ldots\right)=\\ =1+z+z^2 \left(\frac{1}{2!}+1\right)+ z^3 \left(\frac{1}{3!}+1\right)+ z^4 \left(\frac{1}{4!}+ \frac{1}{2!}+ \frac{1}{2!}\right)+ z^5 \left(\frac{1}{5!}+ \frac{1}{3!}+ \frac{1}{2!}\right)+\\ +\,z^6 \left(\frac{1}{6!}+ \frac{1}{4!}+ \frac{1}{2!\cdot 2!}+ \frac{1}{3!}\right)+ z^7 \left(\frac{1}{7!}+ \frac{1}{5!}+ \frac{1}{2!\cdot 3!}+ \frac{1}{3!}\right)+ \ldots\end{gathered}$ Вычисляем коэффициент $c_7=\frac{1}{7!}(1+6\cdot7+2\cdot5\cdot6\cdot7+ 4\cdot5\cdot6\cdot7)= \frac{1303}{7!}$ и получаем ответ: $f^{(7)}(0)=1303$ . Можно убедиться, что нахождение $f^{(7)}(0)$ непосредственным дифференцированием более громоздко. Пример 3.25. Записать разложение функций a) $e^{\sin z}$ и б) $\operatorname{tg}z$ по степеням $z$ до члена, содержащего $z^5$ . Решение а) Применим метод подстановки ряда в ряд, используя основные разложения для функций $e^z$ и $\sin z$ . Имеем $u=\sin z,\quad u(0)=0,\quad u=z-\frac{z^3}{3!}+ \frac{z^5}{5!}+\ldots;$ $e^u=1+u+ \frac{1}{2!}\,u^2+ \frac{1}{3!}\,u^3+\ldots$ , или, подставляя: $\begin{gathered}e^{\sin z}= 1+ \left(z-\frac{z^3}{3!}+ \ldots \right)+ \frac{1}{2!}\! \left(z-\frac{z^3}{3!}+ \ldots \right)^2+ \frac{1}{3!}\left(z-\frac{z^3}{3!}+ \ldots \right)^3+ \frac{1}{4!}\! \left(z-\frac{z^3}{3!}+ \ldots \right)^4+ \frac{1}{5!}\! \left(z-\frac{z^3}{3!}+ \ldots \right)^5+ ldots=\\ =1+z-\frac{z^3}{3!}+ \frac{z^5}{5!}+ \frac{1}{2!}(z+a)^2+ \frac{1}{3!}(z+a)^3+ \frac{1}{4!}(z+a)^4+ \frac{1}{5!}(z+a)^5+\ldots, \end{gathered}$ где $a=\left(-\frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}-\ldots\right)$ . Записывать большее число слагаемых нет необходимости, так как уже у следующего (первого отброшенного) младшая степень равна $z^6$ . Возведение в степень рядов, как и перемножение рядов, производится по правилам действий с многочленами, в частности применяется формула бинома Ньютона: $(z+a)^n= z^n+nz^{n-1}a+ \frac{n(n-1)}{2!}\,z^{n-2}a^2+\ldots+a^n.$ Так как младшая степень $z$ выражения $a=\left(-\frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}-\ldots\right)$ равна трем, следовательно, $a^2$ — шести, то для записи результата следует взять из первых двух скобок по два слагаемых, а из остальных по одному, т.е. $e^{\sin z}= 1+z-\frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}+ \frac{1}{2!}\! \left(z^2+2z\! \left( -\frac{z^3}{3!}\right)\!\right)+ \frac{1}{3!}\! \left(z^3+3z^2\! \left(-\frac{z^3}{3!}\right)\!\right)+ \frac{1}{4!}z^4+ \frac{1}{5!}z^5+\ldots$ Приводя подобные члены, получим окончательный ответ: $e^{\sin z}= 1+z+z^2\cdot \frac{1}{2}+ z^3\! \left(-\frac{1}{3!}+\frac{1}{3!}\right)+ z^4\! \left(-2\cdot \frac{1}{2!}\cdot \frac{1}{3!}+ \frac{1}{4!}\right)+ z^5\! \left(\frac{1}{5!}-3\cdot \frac{1}{3!}\cdot \frac{1}{3!}+ \frac{1}{5!}\right)+\ldots$ или $e^{\sin z}= 1+z+\frac{1}{2!}z^2-\frac{3}{4!}z^4-\frac{1}{15}z^5+\ldots$ . Разложение, очевидно, можно получить, вычисляя коэффициенты разложения по формуле (3.17), что более громоздко. б) Разложение $\operatorname{tg}z$ можно получить, используя формулу (3.17) для коэффициентов либо произведя деление ряда $\sin z=z-\frac{z^3}{3!}+ \frac{z^5}{5!}-\ldots$ на ряд $\cos z=1-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}-\ldots$ методом деления "утлом" или методом неопределенных коэффициентов. Применим последний прием. Разложение $\operatorname{tg}z$ по степеням $z$ ищем в виде $\operatorname{tg}z= \frac{\sin z}{\cos z}=c_0+c_1\cdot z+c_2\cdot z^2+\ldots$ По определению деления имеем тождество $z-\frac{z^3}{3!}+ \frac{z^5}{5!}-\ldots= \left(1-\frac{z^2}{2!}+ \frac{z^4}{4!}- \frac{z^6}{6!}+\ldots \right)\! \bigl(c_0+ c_1z+c_2z^2+c_3z^3+c_4z^4+c_5z^5+\ldots \bigr).$ Перемножаем ряды справа и приравниваем коэффициенты полученного ряда известным коэффициентам при соответствующих степенях ряда, записанного слева. Получаем систему уравнений $c_0=0,\quad c_1=1,\quad c_2-\frac{c_0}{2}=0,\quad c_3-\frac{c_1}{2}=-\frac{1}{3!},\quad c_4-\frac{c_2}{2!} +\frac{c_0}{4!}=0,\quad c_5-\frac{c_3}{2!}+ \frac{c_1}{4!}= \frac{1}{5!}\,,$ из которой находим коэффициенты $c_0=0,~ c_1=1,~ c_2=0,~ c_3=\frac{1}{3},~ c_4=0,~ c_5= \frac{2}{15}$ . Ответ получаем в виде $\operatorname{tg}z= z+\frac{1}{3}z^3+\frac{2}{15}z^5+\ldots$ . Это разложение справедливо в круге $z<\frac{\pi}{2}$ , так как $z= \frac{\pi}{2}$ — ближайшая к $z_0=0$ особая точка функции тангенса $\operatorname{tg}z$ . Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике). Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора

Онлайн-сервисы

Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики Онлайн число, сумма и дата прописью

Алгоритмы JavaScript

Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки Уникальные элементы массива Объединение, пересечение и разность массивов НОД и НОК Операции над матрицами Дата прописью

Введение в анализ

Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика

Теория множеств

Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия

Математическая логика

Алгебра высказываний

Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции

Булевы функции

Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций

Теория формального

Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний

Логика предикатов

Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов

Неформальные и формаль-
ные аксиоматические теории

Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории

Теория алгоритмов

Интуитивное представление об алгоритмах Машины Тьюринга и тезис Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики

Математическая логика и компьютеры

Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект

Дискретная математика

Множества и отношения

Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций

Группы и кольца

Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов

Полукольца и булевы алгебры

Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки

Алгебраические системы

Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры

Теория графов

Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов

Булева алгебра и функции

Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов

Конечные автоматы и регулярные языки

Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга

Контекстно-свободные языки

Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов

Интегральное исчисление

Неопределённый и определённый

Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции

Приложения интегралов

Вычисление площадей плоских фигур Площади фигур в различных координатах Вычисление объемов тел с помощью интегралов Объём тела вращения Вычисление длин дуг кривых Формулы длины дуги регулярной кривой Кривизна плоской кривой Площадь поверхности вращения тела

Интегралы в физике

Статические моменты и координаты центра тяжести Теоремы Гульдина–Паппа Вычисление моментов инерции Другие приложения интегралов в физике

Основные интегралы

Интеграл Ньютона-Лейбница Интеграл Римана Интеграл Лебега

Вариационное исчисление

Примеры вариационных задач Дифференциальное уравнение Эйлера Функционалы, зависящие от нескольких функций Задача о минимуме кратного интеграла

Финансовый анализ

Анализ эффективности

Критерии и показатели эффективности предприятия Методы анализа эффективности деятельности Факторный анализ прибыли от операционной деятельности Анализ безубыточности предприятия Операционный рычаг и эффект финансового рычага Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала Анализ распределения прибыли предприятия Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности

Анализ устойчивости

Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность Характеристика типов финансовой устойчивости

Рыночная активность

Финансовый анализ рыночной активности Методика анализа рыночной активности Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию

Инвестиционная деятельность

Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование

Анализ инвестиций

Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия Задачи финансового анализа инвестиций предприятия Учет фактора времени в инвестиционной деятельности Аннуитет и финансовая рента в инвестициях Учет фактора инфляции при инвестировании Оценка фактора риска инвестиционного проекта Методы оценки эффективности инвестиций Показатели эффективности инвестиционного проекта

Стоимость компании

Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций

Форвардные контракты

Форвардный контракт и цена Форвардная цена акции на бирже Цена форвардного контракта инвестора Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда Форвардная цена валюты на рынке форекс Форвардный валютный курс и инфляция на рынке Форвардная цена товара и спотовый рынок Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам Синтетический форвардный контракт на акции и валюту

Теория вероятностей

Основные понятия теории вероятностей Зависимые и независимые случайные события Повторные независимые испытания Формула Бернулли Одномерные случайные величины Многомерные случайные величины Функции случайных величин Законы распределения целочисленных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и предельные теоремы Вероятностные закономерности

Математическая статистика

Элементы математической статистики Выборочный метод Оценки параметров генеральной совокупности Статистические гипотезы Критерии согласия Теоретические и эмпирические частоты

Теория очередей (СМО)

Определение системы массового обслуживания Уравнения Колмогорова Предельные вероятности состояний Определение СМО с отказами Определение СМО с ожиданием (очередью)

Аналитическая геометрия

Векторная алгебра

Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике

Системы координат

Прямоугольные координаты Преобразования прямоугольных координат Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферические координаты Аффинные координаты Аффинные преобразования координат Аффинные преобразования плоскости Примеры аффинных преобразований плоскости Аффинные преобразования пространства Многомерное координатное пространство Линейные и аффинные подпространства Скалярное произведение n-мерных векторов Преобразования систем координат

Геометрия на плоскости

Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными

Линии 2-го порядка

Канонические уравнения линий второго порядка Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду Эллипс Гипербола Парабола Квадратичные неравенства с двумя неизвестными Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций

Инварианты линий

Классификация линий 2-го порядка по инвариантам Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам

Геометрия в пространстве

Способы задания ГМТ в пространстве Алгебраические уравнения поверхностей Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам Уравнения плоскости, проходящей через три точки Взаимное расположение плоскостей Типовые задачи с плоскостями Уравнения прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Типовые задачи с прямыми в пространстве

Поверхности 2-го порядка

Канонические уравнения поверхностей Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду Поверхности второго порядка Эллипсоиды Гиперболоиды Конусы Параболоиды Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций

Инварианты поверхностей

Классификация поверхностей 2-го порядка по инвариантам Квадратичные неравенства с тремя неизвестными Приведение уравнения поверхности к канониче-скому виду по инвариантам

Линейная алгебра

Матрицы и операции

Линейные операции над матрицами Умножение матриц Возведение матриц в степень Многочлены от матриц Транспонирование и сопряжение матриц Блочные матрицы Произведение и сумма матриц Кронекера Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду Элементарные преобразования матриц

Определители

Определители матриц и их основные свойства Формула полного разложения определителя Формула Лапласа полного разложения определителя Определитель произведения матриц Методы вычисления определителей

Ранг матрицы

Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы Ранг матрицы и базисный минор матрицы Методы вычисления ранга матрицы Ранг системы столбцов (строк)

Обратная матрица

Обратные матрицы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы Способы нахождения обратной матрицы Матричные уравнения Односторонние обратные матрицы Скелетное разложение матрицы Полуобратная матрица Псевдообратная матрица

Системы уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Структура общего решения системы уравнений Решение систем с помощью полуобратных матриц Псевдорешения системы линейных уравнений

Функциональные матрицы

Функциональные матрицы скалярного аргумента Производные матриц по векторному аргументу Линейные и квадратичные формы и их преобразования Приведение форм к каноническому виду Закон инерции вещественных квадратичных форм Знакоопределенность форм вещественных квадратичных Формы и исследование функций на экстремум

Многочленные матрицы

Многочленные матрицы (лямбда-матрицы) Операции над лямбда-матрицами Простые преобразования многочленных матриц Инвариантные множители многочленной матрицы

Функции от матриц

Собственные векторы и значения матрицы Подобие числовых матриц Характеристический многочлен матрицы Минимальный многочлен матрицы Теорема Гамильтона-Кэли Жорданова форма матрицы Приведение матрицы к жордановой форме Многочлены от матриц Применение многочленов от матриц Функции от матриц

Линейные пространства

Линейные пространства: определение и примеры Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов Размерность и базис линейного пространства Преобразования координат в линейном пространстве Изоморфизм линейных пространств

Подпространства

Подпространства линейного пространства Пересечение и сумма подпространств Способы описания подпространств Нахождение дополнения и суммы подпространств Нахождение пересечения подпространств

Линейные отображения

Линейные многообразия Линейные отображения Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения

Линейные операторы

Линейные операторы (преобразования) Инвариантные подпространства Собственные векторы и значения оператора Свойства собственных векторов операторов Канонический вид линейного оператора Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду

Евклидовы пространства

Комплексный анализ

Комплексные числа

Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Множества на комплексной плоскости Последовательности и ряды комплексных чисел

Комплексные функции

Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная Элементарные функции комплексного переменного Дифференцирование функций комплексного переменного Аналитические функции и их свойства Конформные отображения
и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного

Функциональные ряды в комплексной области

Функциональные ряды и последовательности Степенные ряды и их свойства Разложение функций в степенные ряды Нули аналитических функций Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням

Особые точки, Вычеты

Изолированные особые точки функций и полюсы Вычеты и их применение Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычеты и расположение нулей многочлена

Операционное исчисление

Преобразование Лапласа и его свойства Решение ДУ операционным методом Анализ выходных процессов линейных стационарных систем Z-преобразование и его свойства

Дифференциальные уравнения

ДУ первого порядка

Основные понятия и определения ДУ Метод изоклин для ДУ 1-го порядка Метод последовательных приближений ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ 1-го порядка Дифференциальное уравнение Бернулли ДУ в полных дифференциалах Интегрирующий множитель ДУ, не разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение Риккати Составление ДУ семейств линий Задачи на траектории Особые решения ДУ

ДУ высших порядков

Понятия и определения ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка Линейная независимость функций Определители Вронского и Грама Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения Задача Коши и Уравнение Эйлера Линейные ДУ с переменными коэффициентами Метод Лагранжа решения ДУ Краевые задачи для ДУ высших порядков Разложение решения ДУ в степенной ряд Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд Нахождение периодических решений ДУ Асимптотическое интегрирование ДУ

Системы ДУ

Системы ДУ: понятия и определения Сведение системы ДУ к одному уравнению Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование однородных линейных систем ДУ Методы интегрирования неоднородных систем ДУ Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем

Теория устойчивости

Устойчивость решений ДУ по Ляпунову Простейшие типы точек покоя Метод функций Ляпунова Устойчивость решений ДУ по первому приближению Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова ДУ с малым параметром при производной

Численные методы

Методы алгебры

Численные методы линейной алгебры Численные методы решения СЛАУ Итерационный метод Шульца обратной матрицы Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы Методы решения нелинейных уравнений Методы решения систем нелинейных уравнений

Методы теории приближений

Методы приближения сеточных функций Методы функциональной интерполяции Методы интегрально-дифференциальной интерполяции Методы интегрального сглаживания Методы интерполяции и сглаживания сплайнами Методы численного дифференцирования и интегрирования Методы численного дифференцирования Методы численного интегрирования

Методы решения обыкновенных ДУ

Численные методы решения задачи Коши Разностные схемы для решения задачи Коши Составные схемы для решения задачи Коши Экстраполяционные методы решения задачи Коши Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши Численные методы решения краевых задач

Методы решения ДУ в частных производных

Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Численные методы решения уравнений в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными

Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора

Общая постановка задачи разложения функции в ряд в комплексной области формулируется так же, как и в действительной области. А именно, для заданной функции $f(z)$ , определенной в области $D$ и удовлетворяющий в ней него которым дополнительным условиям, требуется найти ряд вида $\sum_{n=1}^{\infty}u_n(z)$ который бы сходился в области $D$ и его сумма в этой области совпадала с $f(z)$ .

Постановка задачи разложения функции в степенной ряд

Для функции $f(z)$ , аналитической в области $D$ , найти ряд $\sum_{n=0}^{\infty}c_n(z-z_0)^n$ , сходящийся к $f(z)$ в круге $|z-z_0|<R$ , принадлежащем области $D$ , то есть

$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}c_n(z-z_0)^n,\quad |z-z_0|<R.$

(3.15)

Равенство (3.15) означает, что $f(z)$ является суммой ряда в круге $|z-z_0|<R$ .

Для решения задачи нужно, очевидно, найти коэффициенты ряда по заданной функции $f(z)$ ; найти круг сходимости ряда и установить сходимость ряда именно к $f(z)$ . Последнее, напомним, означает, что для точек круга выполняется неравенство $|S_n(z)-f(z)|<\varepsilon$ для любого $\varepsilon>0$ и $N(\varepsilon,z)$ .

Все поставленные вопросы решаются с помощью следующей теоремы.

Теорема Тейлора о разложении функции в степенной ряд

Теорема 3.4. Функция, аналитическая в области $D$ , в окрестности каждой точки $z_0$ этой области представляется в виде степенного ряда (3.15), радиус сходимости $R$ которого не меньше, чем расстояние от точки $z_0$ до границы области $D$ . Коэффициенты ряда вычисляются по формуле

$c_n=\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{\gamma}\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}\,dz,\quad n=0,1,2,\ldots,$

(3.16)

где $\gamma$ — произвольный контур, принадлежащий области $D$ и охватывающий точку $z_0$ , в частности, $\gamma$ — окружность $|z-z_0|=\rho$ или по формуле

$c_n=\frac{1}{n!}f^{(n)}(z_0),\quad n=0,1,2,\ldots$

(3.17)

На основании теоремы можно сформулировать алгоритм решения поставленной выше задачи и вывод — утверждение.

Алгоритм разложения аналитической функции в степенной ряд

1. Найти производные от данной функции: $f'(z),\,f''(z),\,\ldots,\,f^{(n)}(z),\,\ldots$ .

2. Вычислить значения производных в точке $z_0;$ ; записать коэффициенты по формуле (3.17). Составить ряд по степеням $z-z_0$ с этими коэффициентами, который соответствует данной функции $f(z)\sim \sum_{n=0}^{\infty}c_n(z-z_0)^n.$

3. Найти область сходимости полученного ряда и записать разложение (3.15).

Если функция не имеет конечных особых точек, то ряд сходится к ней во всей плоскости, $R=\infty$ .

Утверждение 3.3

1. Функция, аналитическая в точке $z_0$ , раскладывается в окрестности этой точки в степенной ряд.

2. На границе круга сходимости ряда есть хотя бы одна особая точка функции, т.е. радиус сходимости круга равен расстоянию от центра разложения $z_0$ до ближайшей особой точки функции.

3. Степенной ряд в круге сходимости является рядом Тейлора для своей суммы, т.е. коэффициенты ряда вычисляются по формулам (3.16), (3.17).

Примеры разложения функций по степеням z

Пример 3.13. Записать разложения по степеням $z$ функций $e^z,\,\sin z,\,\cos z,\,\operatorname{sh}z,\,\operatorname{ch}z$ .

Решение

Задачу решаем по вышеприведенному алгоритму.

1. Найдем производные:

$\begin{aligned}&f_1(z)=e^z,\quad f_1^{(n)}(z)=e^z;\\[2pt] &f_2(z)=\sin z,\quad f_2^{(n)}(z)=\sin\!\left(z+n\frac{\pi}{2}\right)\!;\\[2pt] &f_3(z)=\cos z,\quad f_3^{(n)}(z)=\cos\!\left(z+n\frac{\pi}{2}\right)\!;\\[2pt] &f_4(z)=\operatorname{sh}z,\quad f_4^{(n)}(z)=\begin{cases}\operatorname{sh}z,&\text{if}\quad n=2k,\\ \operatorname{ch}z,&\text{if}\quad n=2k-1;\end{cases}\\[2pt] &f_5(z)=\operatorname{ch}z,\quad f_5^{(n)}(z)=\begin{cases}\operatorname{ch}z,&\text{if}\quad n=2k,\\ \operatorname{sh}z,&\text{if}\quad n=2k-1. \end{cases}\end{aligned}$

В поставленной задаче $z_0=0$ . По формуле (3.17) имеем

$\begin{aligned}f_1(z)&=e^z,\quad c_n=\frac{1}{n!};\qquad e^z\sim \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!}\,;\\[2pt] f_2(z)&=\sin z,\quad c_n=\begin{cases}0,&n=2k;\\ \dfrac{(-1)^{k+1}}{(2k-1)!},&n=2k-1;\end{cases} \sin z\sim \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{(2n-1)!}z^{2n-1};\\[2pt] f_3(z)&=\cos z,\quad c_n=\begin{cases}0,&n=2k-1;\\ \dfrac{(-1)^k}{(2k)!},& n=2k;\end{cases} \cos z\sim \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}z^{2n};\\[2pt] f_4(z)&=\operatorname{sh}z,\quad c_n= \begin{cases}0,&n=2k;\\ \dfrac{1}{n!},&n=2k-1;\end{cases} \operatorname{sh}z\sim \sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^{2n-1}}{(2n-1)!}\,;\\[2pt] f_5(z)&=\operatorname{ch}z,\quad c_n=\begin{cases}0,&n=2k-1;\\ \dfrac{1}{n!},&n=2k;\end{cases} \operatorname{ch}z\sim \sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^{2n}}{(2n)!}\,.\end{aligned}$

3. Нетрудно убедиться, что все составленные ряды сходятся во всей комплексной плоскости, $R=\infty$ . В результате получаем формулы, которые ранее были приняты за определения соответствующих функций:

$\begin{gathered}e^z= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!}\,;\qquad \sin z= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{(2n-1)!}z^{2n-1};\qquad \cos z= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}z^{2n};\\ \operatorname{sh}z= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^{2n-1}}{(2n-1)!}\,;\qquad \operatorname{ch}z\sim \sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^{2n}}{(2n)!}\,. \end{gathered}$

В результате получены так называемые основные разложения.

Пример 3.14. Записать разложения по степеням $z$ функций: а) $\frac{1}{1-z}$ ; б) $\frac{z^2}{z-1}$ .

Решение

Задачу можно решать, пользуясь алгоритмом, а можно использовать формулы (3.13) для суммы членов геометрической профессии. Заданные функции являются аналитическими во всей комплексной плоскости за исключением одной точки $z=1$ . Для каждого случая получаем:

$\mathsf{a)}~\frac{1}{1-z}=\sum_{n=0}^{\infty}z^n,\quad |z|<1;$

$\mathsf{b)}~\frac{z^2}{z-1}=-z^2\cdot\frac{1}{1-z}=-z^2\cdot\sum_{n=0}^{\infty}z^n= -\sum_{n=0}^{\infty}z^{n+2},\quad |z|<1;$ заметим, что здесь $c_0=0,~c_1=0,~c_n=-1$ для $n\geqslant2$ .

Пример 3.15. Записать разложения по степеням $(z-z_0)$ функций: а) $\ln z,~z_0=1,~\ln1=0$ ; б) $\ln(1+z),~z_0=0,~\ln1=0$ .

Решение

Разложения записываются для однозначных ветвей многозначного выражения. Выбор ветви определяется заданием функции в точке $z_0$ .

a) Функция определена во всей комплексной плоскости за исключением $z=0$ , т.е. в двусвязной области $0<|z|<\infty$ . Чтобы получить односвязную область из $0<|z|<\infty$ , проведем разрез, соединяющий точки $z=0$ и $z=\infty$ . Из условия $\ln1=0$ следует, что точка $z_0=1$ должна быть внутренней точкой области. Поэтому выбираем разрез, не проходящий через $z_0$ . например по лучу $(-\infty;0]$ . В полученной односвязной области, где $-\pi<\arg z<\pi$ , функция $\ln z$ является однозначной аналитической функцией. Далее решаем задачу по алгоритму.

1. Находим производные (формулу устанавливаем по индукции):

$f'(z)=\frac{1}{z},\quad f''(z)=-\frac{1}{z^2},\quad f'''(z)=\frac{2}{z^3},\quad f^{(4)}(z)=\frac{-2\cdot3}{z^4},\quad \ldots,\quad f^{(n)}(z)=(-1)^{n+1}\frac{(n-1)!}{z^n}\,.$

2. По формуле (3.17):

$f^{(n)}(1)=(-1)^{n+1}(n-1)!,\quad c_n=\frac{(-1)^{n+1}}{n},~ n=1,2,\ldots;\qquad \ln z\sim \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}(z-1)^n}{n}\,.$

3. Находим радиус сходимости ряда: $R=\frac{1}{\ell}$ , где $\ell=\lim_{n\to\infty} \sqrt[\LARGE{n}]{\frac{1}{n}}=1,~ R=1$ . В результате получаем

$\ln z=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}(z-1)^n}{n},\quad |z-1|<1.$

б) Функция $\ln(1+z)$ определена всюду в $\mathbb{C}$ за исключением $z=-1$ , т.е. в двусвязной области. В односвязной области, полученной из $\mathbb{C}$ путем разреза по лучу $(-\infty;-1]$ , функция является однозначной , аналитической. Задачу можно решать, как и выше, т.е. по алгоритму, а можно использовать полученный выше результат, введя обозначение $1+z=t$ . Для $t$ , удовлетворяющих неравенству $|t-1|<1$ имеем разложение $\ln t=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}(t-1)^n$ . Заменяя $t$ на $(1+z)$ , получаем результат

$\ln(1+z)= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\,z^n,\quad |z|<1.$

Разложения основных функция в степенной ряд

Разложения, полученные в результате решения примеров 3.13-3.15, носят название основных (табличных) разложений. Выпишем их:

$\begin{aligned} &\bold{1)}~ e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}\,; \qquad \bold{2)}~ \sin z=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}z^{2n-1}}{(2n-1)!}\,; \qquad \bold{3)}~ \cos z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}z^{2n}}{(2n)!}\,; \\[4pt] &\bold{4)}~ \operatorname{sh}z=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^{2n-1}}{(2n-1)!}\,; \qquad \bold{5)}~ \operatorname{ch}z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{2n}}{(2n)!}\,;\\[4pt] &\bold{6)}~ \frac{1}{1-z}=\sum_{n=0}^{\infty}z^n,~ |z|<1;\qquad \bold{7)}~\ln(1+z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\,z^n,~|z|<1. \end{aligned}$

Основные разложения позволяют при решении примеров на разложение функции в ряд Тейлора не пользоваться сформулированным выше алгоритмом, сложность которого связана с техникой дифференцирования и составления формулы общего члена.

Утверждение 3.4. При разложении функции в ряд Тейлора используются основные (табличные) разложения и действия над рядами. Радиус сходимости ряда может быть получен по виду раскладываемой функции без использования формулы общего члена ряда и формул для нахождения радиуса. Радиус сходимости ряда, полученного при разложении данной функции в окрестности точки $z_0$ , равен расстоянию от центра разложения — точки $z_0$ до ближайшей особой точки функции. Если функция является аналитической всюду, то $R=\infty$ .

Пример 3.16. Разложить по степеням $z$ функции комплексного переменного:

$\bold{1)}~\operatorname{ch}3z;\qquad \bold{2)}~ e^{z+2};\qquad \bold{3)}~ \sin^2z;\qquad \bold{4)}~ \ln(3+z).$

Решение

а) Обозначим $3z$ через $t$ и, используя табличное разложение для функции $\operatorname{ch}t$ , получим ответ:

$\operatorname{ch}3z=\operatorname{ch}t= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^{2n}}{(2n)!}$ , то есть $\operatorname{ch}3z= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{9^nz^{2n}}{(2n)!},~~ R=\infty.$ .

б) Запишем функцию в виде произведения $e^2\cdot e^z$ и, используя разложение для $e^z$ , получим ответ:

$e^{z+2}= e^2\cdot \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!}$ , то есть $e^{z+2}= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{e^2}{n!}\,z^n,~~ R=\infty$ .

в) Чтобы воспользоваться одним из основных разложений, применим тригонометрическую формулу — формулу "понижения". Получим:

$\sin^2z= \frac{1-\cos2z}{2}= \frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos2z= \frac{1}{2}-\frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2z)^{2n}(-1)^n}{(2n)!}= \frac{1}{2}-\frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^{2n}(-1)^nz^{2n}}{(2n)!}\,.$

Заметим, что свободный член разложения в этой записи встречается дважды, поэтому нужно привести подобные члены. Для этого в записи рада отделим слагаемое при $n=0$ — свободный член:

$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}-\frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{2n}(-1)^nz^{2n}}{(2n)!}\,.$

В результате имеем $\sin^2z= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}2^{2n-1}}{(2n)!}\,z^{2n},~ R=\infty$ .

Из этого разложения можно найти значение производной любого порядка функции $\sin^2z$ в точке $z_0=0$ , так как эти значения связаны формулой (3.17) с коэффициентами разложения: $f^{(n)}(z_0)=c_n\cdot n!$ . Поэтому, учитывая, что в разложении присутствуют только четные степени, заключаем, что все производные нечетных порядков от $\sin^2z$ в точке $z_0=0$ равны нулю, а производная, например, десятого порядка не равна нулю. Найдем ее, используя равенство $f^{(10)}(0)= c_{10}\cdot10!$ , где $c_{10}$ — коэффициент в разложении $f(z)=\sin^2z$ при $z^{10}$ , т.е. в записанном выше разложении нужно взять $n=5$ . Получим

$c_{10}= \frac{(-1)^6\cdot2^9}{10!},\qquad \left.{\bigl(\sin^2z \bigr)^{(10)}}\right|_{z=0}= 2^9.$

г) Функция определена всюду, кроме $z=-3$ . В односвязной области, например в плоскости с разрезом по лучу $(-\infty;-3]$ , где $-\pi<\arg z<\pi$ , возможно выделение однозначных ветвей многозначного выражения $\operatorname{Ln}(z+3)= \ln|z+3|+ i\bigl(\arg(z+3)+2k\pi\bigr)$ (рис. 3.1). Выбираем ту ветвь, для которой $f(0)=\ln3$ , то есть из $\operatorname{Ln}3= \ln3+i(\arg3+ 2k\pi)=\ln3$ получаем $k=0$ . Разложим аналитическую функцию $\ln(z+3)$ по степеням $z$ в круге $|z|<3$ ; радиус круга $R=3$ — расстояние от центра разложения $z_0=0$ до граничной точки $z=-3$ .

Чтобы воспользоваться основным разложением, преобразуем функцию следующим образом:

$\ln(3+z)= \ln \left[3\! \left(1+\frac{z}{3}\right)\right]= \ln3+\ln\! \left(1+ \frac{z}{3}\right)\!.$

Тогда, обозначая $\frac{z}{3}$ через $t$ и используя основное разложение для $\ln(1+t)$ , получаем $\ln(3+z)=\ln3+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n\cdot 3^n}\,z^n$ при условии $\left|\frac{z}{3}\right|<1$ , т.е. в круге $|z|<3$ .

Пример 3.17. Разложить в окрестности точки $z_0=0$ ветвь функции $\ln(z^2-z-6)$ , для которой $f(0)=\ln6+i\pi$ .

Решение

Функция $\ln(z^2-z-6)=\ln\bigl[(z+2)(z-3)\bigr]$ определена всюду в $\mathbb{C}$ , кроме точек $z_1=-2,~z_2=3$ , т.е. в трехсвязной области — плоскости с выколотыми точками $z_1$ и $z_2$ . Чтобы получить односвязную область, проведем разрезы по лучам, выходящим из этих точек. Например, луч из точки $z_1=-2$ выберем параллельным мнимой оси, $\{\operatorname{Re}z=-2,~\operatorname{Im}z \geqslant0\}$ , а луч из точки $z_2=3$ — по действительной оси: $\operatorname{Im}z=0,~ \operatorname{Re}z\geqslant3$ . В полученной односвязной области (рис. 3.2) каждая ветвь является аналитической функцией и раскладывается в ряд в круге $|z|<2$ ( $R=2$ — расстояние от $z_0=0$ до границы). Здесь ветвь задается условием:

$f(0)=\ln6+i\pi$ , то есть из $\operatorname{Ln}(-6)=\ln6+i(\pi+2k\pi)= \ln6+i\pi$ при $k=0$ .

3.2. Ветви комплексного логарифма в односвязной

Далее, чтобы использовать основное разложение, преобразуем функцию:

$ln \bigl[(z+2)(z-3)\bigr]= \ln \bigl[(z+2)(-1)(3-z)\bigr]= \ln(z+2)+\ln(-1)+\ln(3-z).$

Для числа $\ln(-1)$ в силу выбора ветви берем $\ln(-1)=i\pi~(k=0)$ , а функции $\ln(z+2)$ и $\ln(3-z)$ раскладываем в ряды, как в предыдущем примере:

$\begin{aligned}&\ln(z+2)= \ln2+ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}z^n}{2^n\cdot n},\quad |z|<2;\\[2pt] &\ln(3-z)= \ln3+ \ln\! \left(1-\frac{z}{3}\right)= \ln3+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n\cdot3^n}(-z)^n= \ln3-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^n}{n\cdot3^n},\quad |z|<3. \end{aligned}$

В области $|z|<2$ , принадлежащей выбранной односвязной области, сходятся оба ряда. Используя свойство сложения рядов, получаем окончательный результат:

$\ln(z^2-z-6)= \ln6+i\pi+\sum_{n=1}^{\infty}\! \left(\frac{(-1)^{n+1}}{2^n}-\frac{1}{3^n} \right)\!\cdot \frac{1}{n}\cdot z^n,\quad |z|<2$

При разложении функции в ряд в окрестности точки $z_0\ne0$ , т.е. по степеням $(z-z_0)$ , удобно использовать замену $(z-z_0)=t$ и полученную после замены функцию раскладывать по степеням $t$ .

Пример 3.18. Разложить по степеням $(z-2)$ функции: a) $\sin z$ ; б) $e^z$ в) $\ln(1+z)$ .

Решение

а) Обозначим $(z-2)$ через $t$ , и, используя тригонометрическую формулу для функции $\sin(2+t)$ , получим: $\sin(2+t)= \sin2\cdot\cos t+\cos2\cdot\sin t$ . Здесь $\sin2$ и $\cos2$ — постоянные величины, а для функций $\cos t$ и $\sin t$ используем основные разложения. В результате получим

$\sin z=\sin2\cdot \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n(z-2)^{2n}}{(2n)!}+ \cos2\cdot \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}(z-2)^{2n-1}}{(2n-1)!}\,,$

то есть ряд вида $\textstyle{\sum\limits_{n=0}^{\infty}c_n(z-2)^n}$ , где коэффициент $c_n$ определяется следующим образом: $c_n=\frac{(-1)^k}{k!}\sin2$ для $n=2k$ и $c_n=\frac{(-1)^k}{k!}\cos2$ для $n=2k-1$ .

б) Можно, как и выше, использовать вспомогательную переменную, а можно сделать то же самое, применив простое преобразование: $e^z=e^{z-2+2}=e^2\cdot e^{z-2}$ . Здесь $e^2$ — постоянная величина, функция $e^{z-2}$ раскладывается в ряд как функция $e^t$ по степеням $t$ . Получаем ответ:

$e^z=e^2\cdot \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(z-2)^n}{n!}$ , или $e^z= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{e^2}{n!}(z-2)^n,~~ R=\infty$ .

в) Обозначая $(z-2)$ через $t$ , получаем функцию $\ln(t+3)$ . Разложение этой функции по степеням $t$ найдено в примере 3.16:

$\ln(t+3)=\ln3+ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n\cdot3^n}\,t^n,\quad |t|<3.$

Возвращаясь к исходной переменной, получаем разложение исходной функции в круге $|z-2|<3$ (рис. 3.3):

$\ln(1+z)=\ln3+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n\cdot3^n}(z-2)^n,\quad |z-2|<3.$

Пример 3.19. Разложить по степеням $z$ функции: $f(z)=\frac{1}{1-az};~~ f(z)=\frac{1}{a-z};~~ f(z)=\frac{1}{(1-z)^2}$ .

Решение

Данные функции являются простейшими рациональными (элементарными) дробями. Для их разложения используется формула суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии $\frac{1}{1-q}= \sum_{n=0}^{\infty} q^n,~|q|<1$ . В первом случае формула используется непосредственно, при $q=az$ , во втором — после преобразования $\frac{1}{a-z}= \frac{1}{a}\cdot \frac{1}{1-\frac{z}{a}}$ получаем $q=\frac{z}{a}$ . Разложение заданных функций имеет вид

$\frac{1}{1-az}= \sum_{n=0}^{\infty}a^nz^n,\quad |z|<\frac{1}{|a|}=R;$

(3.18)

$\frac{1}{a-z}= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{a^{n+1}},\quad |z|<|a|=R.$

(3.19)

Соотношения (3.18),(3.19) обобщают формулу $\frac{1}{1-z}= \sum_{n=0}^{\infty}z^n,~ |z|<1$ , которая получается из них при $a=1$ .

При разложении дроби $\frac{1}{(1-z)^2}$ замечаем, что она является производной от $\frac{1}{1-z}$ , то есть $\left(\frac{1}{1-z}\right)'=\frac{1}{(1-z)^2}$ , поэтому ее разложение можно получить, используя дифференцирование ряда:

$\begin{gathered}\frac{1}{1-z}= \sum_{n=0}^{\infty}z^n,\quad |z|<1,\\[2pt] \frac{1}{(1-z)^2}= \left(\frac{1}{1-z}\right)'= \sum_{n=0}^{\infty}(z^n)'= \sum_{n=0}^{\infty}nz^{n-1},\quad |z|<1. \end{gathered}$

Ответ удобнее записать в виде $\frac{1}{(1-z)^2}= \sum_{n=0}^{\infty}(n+1)z^n,~|z|<1$ .

Очевидно, повторяя процедуру дифференцирования, можно получить разложение элементарных дробей вида $\frac{1}{(a-z)^k}$ при любом натуральном $k$ .

Алгоритм разложения рациональных дробей в ряд Тейлора

Рассмотрим примеры на разложение в ряд Тейлора рациональных дробей

$R(z)= \frac{P_m(z)}{Q_n(z)}\,,$

где $P_m(z)$ и $Q_n(z)$ — многочлены. Первые этапы решения задачи аналогичны этапам интегрирования этих дробей. Приведем полный алгоритм.

1. Если дробь неправильная $(m\geqslant n)$ , следует выделить целую часть дроби многочлен.

2. Правильную рациональную дробь разложить на элементарные дроби:
а) записать дробь в виде суммы элементарных дробей вида $\frac{A_k}{(z-a)^k}$ с неопределенными коэффициентами $A_k$ , где $a$ — корень знаменателя, $k$ — его кратность;
б) найти неопределенные коэффициенты.

3. Разложить элементарные дроби в степенные ряды. Основными приемами при этом являются применение формул (3.13),(3.18),(3.19) и правила дифференцирования ряда (см. пример 3.19)).

При разложении по степеням $(z-z_0),~z_0\ne0$ можно предварительно ввести вспомогательную переменную $z-z_0=t$ .

Пример 3.20. Разложить по степеням $z$ функции: а) $\frac{2z-1}{z+2}$ ; б) $\frac{z^2-z+3}{z+2}$ .

Решение

а) Воспользуемся алгоритмом.

1. Дробь неправильная, поэтому выделяем целую часть: $\frac{2z-1}{z+2}= \frac{2(z+2)-5}{z+2}=2-\frac{5}{z+2}$ .

2. Полученная правильная дробь является элементарной дробью.

3. Записываем разложение элементарной дроби и получаем:

$\frac{2z-1}{z+2}= 2-5\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{1-\left(-\frac{z}{2}\right)}= 2-\frac{5}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^nz^n}{2^n}= 2-5 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^nz^n}{2^{n+1}}\,,\quad |z|<2.$

Для разложения дроби $\frac{1}{z+2}$ можно было использовать формулу (3.19) при $a=-2$ .

Для нахождения окончательного ответа нужно сделать преобразование приведения подобных членов, так как в полученном выражении свободный член встречается дважды. Имеем

$2-\frac{5}{2}-5 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^nz^n}{2^{n+1}}$ , то есть $\frac{2z-1}{z+2}= 5 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}z^n}{2^{n+1}}-\frac{1}{2}\,,~~|z|<2.$ .

б) Воспользуемся алгоритмом.

1. Дробь неправильная, выделяем целую часть. Можно, как и выше, применить преобразование дроби:

$\frac{z^2-z+3}{z+2}= \frac{(z+2)^2-5z-1}{z+2}= \frac{(z+2)^2-5(z+2)+9}{z+2}= (z+2)-5+\frac{9}{z+2}= z-3+\frac{9}{z+2}\,.$

Можно для выделения целой части применить метод деления "углом", или, обозначая i + 2 = t, произвести почленное деление на одночлен $(z=t-2)\colon$

$\frac{z^2-z+3}{z+2}= \frac{(t-2)^2+(t-2)+3}{t}= \frac{t^2-5t+4}{t}= t-5+\frac{9}{t}= z-3+\frac{9}{z+2}\,.$

2,3. Записываем разложение заданной функции, используя формулу (3.19) для правильной дроби:

$\frac{z^2-z+3}{z+2}= z-3+\frac{9}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^nz^n}{2^n}= z-3+\frac{9}{2}-\frac{9}{4}z+\frac{9}{2} \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^nz^t}{2^n}\,.$

Окончательный ответ: $\frac{z^2-z+3}{z+2}= \frac{3}{2}-\frac{5}{4}z+9 \sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2^{n+1}}\,z^n,~ |z|<2$ .

Получен ряд вида $\sum_{n=0}^{\infty}c_nz^n$ , где $c_0=\frac{3}{2},~ c_1=-\frac{5}{4},~ c_n=\frac{9(-1)^n}{2^{n+1}}~(n\geqslant2)$ . Нетрудно проверить равенство: $c_0=f(0)=\frac{3}{2}$ .

Пример 3.21. Функцию $\frac{z+2}{z^2-2z-3}$ разложить в ряд Тейлора в окрестности точки $z_0$ , если а) $z_0=0$ ; б) $z_0=1$ .

Решение

а) Воспользуемся алгоритмом.
1. Дробь правильная.
2. Раскладываем ее на элементарные дроби. Для этого представим дробь в виде

$\frac{z+2}{(z+1)(z-3)}= \frac{A}{z+1}+ \frac{B}{z-3}\,,$

где $A$ и $B$ — неопределенные коэффициенты, которые находим из тождества

$z+2=A\cdot(z-3)+B\cdot(z+1).$

Полагая последовательно $z=-1$ и $z=3$ , получаем $A=-\frac{1}{4},~ B=\frac{5}{4}$ .

Записываем дробь в виде суммы дробей: $\frac{z+2}{(z+1)(z-3)}= -\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{z+1}+\frac{5}{4}\cdot \frac{1}{z-3}$ .

3. Раскладываем по степеням г каждую элементарную дробь:

$\begin{aligned}\frac{1}{1+z}&= \frac{1}{1-(-z)}= \sum_{n=0}^{\infty} (-z)^nz^n,\quad |z|<1.\\[2pt] \frac{1}{z-3}&=-\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{1-\frac{z}{3}}= -\frac{1}{3} \sum_{n=0}^{\infty}\! \left(\frac{z}{3}\right)^n= — \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{3^{n+1}}\,,\quad |z|<3.\end{aligned}$

В общей области сходимости — круге $|z|<1$ — записываем сумму рядов разложение исходной дроби:

$\frac{z+2}{z^2-2z-3}= -\frac{1}{4} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^nz^n-\frac{5}{4} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{3^{n+1}}= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{4}\! \left((-1)^{n+1}-\frac{5}{3^{n+1}}\right)\!,\quad |z|<1.$

б) Воспользуемся алгоритмом.
1. Дробь правильная.
2. Разложение дроби на элементарные получено в предыдущем пункте:

$\frac{z+2}{(z+1)(z-3)}= -\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{z+1}+\frac{5}{4}\cdot \frac{1}{z-3}\,.$

3. Раскладываем по степеням $(z-1)$ каждую элементарную дробь:

$\begin{aligned}\frac{1}{z+1}= \frac{1}{z-1+2}= \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{1-\left(-\frac{z-1}{2}\right)}= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n(z-1)^n}{2^{n+1}},\quad |z-1|<2;\\[2pt] \frac{1}{z-3}= \frac{1}{z-1-2}= -\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{1-\frac{z-1}{2}}= -\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(z-1)^n}{2^{n+1}},\quad |z-1|<2. \end{aligned}$

Записываем разложение исходной дроби в круге $|z-1|<2\colon$

$\frac{z+2}{z^2-2z-3}= -\frac{1}{4} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n(z-1)^n}{2^{n+1}}-\frac{5}{4} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(z-1)^n}{2^{n+1}}= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}-5}{2^{n+3}}(z-1)^n.$

При разложении по степеням, $(z-1)$ можно было сделать замену $z-1=t$ в исходной дроби.

Радиусы сходимости в обоих случаях можно определить заранее, до записи» разложения — по виду функции. Ее особыми точками являются точки $z_1=-1$ и $z_2=3$ . В первом случае ближайшей к точке $z_0=0$ является точка $z_1$ , расстояние между точками равно единице и, следовательно, $R=1$ ; во втором — обе особые точки удалены от $z_0=1$ на расстояние, равное двум, и $R=2$ .

Пример 3.22. Разложить по степеням $z$ функции (рациональные дроби): а) $f(z)=\frac{2}{z^2-2z+2}$ ; б) $f(z)=\frac{z+1}{(z-1)^2(z+2)}$ .

Решение

а) Воспользуемся алгоритмом.
1. Дробь правильная.
2. Раскладываем правильную дробь на элементарные дроби, предварительно разложив знаменатель на множители:

$z^2-2z+2=(z-z_1)(z-z_2)$ , где $z_1=1-i$ и $z_2=1+i$ .

Представим дробь в виде $\frac{2}{z^2-2z+2}= \frac{2}{(z-z_1)(z-z_2)}= \frac{A}{z-z_1}+ \frac{B}{z-z_2}$ . Находим коэффициенты $A$ и $B$ из тождества $A(z-z_2)+B(z-z_1)=2$ , т.е. из системы

$\begin{cases}A+B=0,\\Az_2+Bz_1=-2;\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} B=-A,\\ A(z_2-z_1)=-2;\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}A=\dfrac{2}{z_1-z_2}=i,\\ B=-i. \end{cases}$

Дробь представлена в виде суммы: $\frac{2}{z^2-2z+2}= \frac{i}{z-(1-i)}+\frac{-i}{z-(1+i)}$ .

3. Раскладываем элементарные дроби по степеням $z:$

$\begin{aligned}\frac{1}{z-(1-i)}&= \frac{-1}{1-i}\cdot \frac{1}{1-\frac{z}{1-i}}= -\frac{1}{1-i} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{(1-i)^n},\quad \left|\frac{z}{1-i}\right|<1 ~\Leftrightarrow~ |z|<\sqrt{2}\,;\\[2pt] \frac{1}{z-(1+i)}&= \frac{-1}{1+i}\cdot \frac{1}{1-\frac{z}{1+i}}= -\frac{1}{1+i} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{(1+i)^n};\quad \left|\frac{z}{1+i}\right|<1~ \Leftrightarrow~ |z|<\sqrt{2}\,.\end{aligned}$

Записываем ответ:

$\begin{aligned}\frac{2}{z^2-2z+2}&= \frac{-i}{1-i} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{(1-i)^n}+ \frac{i}{1+i} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{(1+i)^n}= \frac{1-i}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{(1-i)^n}+ \frac{1+i}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{(1+i)^n}=\\ &= \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty}\! \left(\frac{1}{(1-i)^{n-1}}+ \frac{1}{(1+i)^{n-1}}\right)\!z^n,\quad |z|<\sqrt{2}\,. \end{aligned}$

б) Воспользуемся алгоритмом.
1,2. Раскладываем дробь на элементарные:

$\frac{z+1}{(z-1)^2(z+2)}= \frac{A}{z-1}+ \frac{B}{(z-1)^2}+ \frac{C}{z+2}$ , где $A,\,B,\,C$ — неопределенные коэффициенты.

Находим коэффициенты из тождества $A(z-1)(z+2)+B(z+2)+C(z-1)^2=z+1$ .
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $z$ , имеем

$\begin{cases}A+C=0,A+B-2C=1,\\ -2A+2B+C=1;\end{cases} \Leftrightarrow~ \begin{cases} A=1\!\!\not{\phantom{|}}\, 9,\\ B=2\!\!\not{\phantom{|}}\, 3,\\ C=-1\!\!\not{\phantom{|}}\, 9.\end{cases}$

3. Раскладываем элементарные дроби по степеням $z:$

$\begin{aligned}\frac{1}{z-1}&= -\frac{1}{1-z}= -\sum_{n=0}^{\infty}z^n,\quad |z|<1;\\ \frac{1}{(z-1)^2}&= -\left(\frac{1}{z-1}\right)'= \sum_{n=0}^{\infty}(z^n)'= \sum_{n=1}^{\infty} (n+1)z^n,\quad |z|<1;\\ \frac{1}{z+2}&= \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^nz^n}{2^n},\quad |z|<2. \end{aligned}$

Для исходной дроби получаем разложение:

$\frac{z+1}{(z-1)^2(z+2)}= -\frac{1}{9}\cdot \sum_{n=0}^{\infty}z^n+ \frac{2}{3}\cdot \sum_{n=0}^{\infty} (n+1)z^n- \frac{1}{9}\cdot \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^nz^n}{2^{n+1}}\,,$

или, складывая ряды: $\frac{z+1}{(z-1)^2(z+2)}= \frac{1}{9} \sum_{n=0}^{\infty}\! \left( 6(n+1)-1+\frac{(-1)^{n+1}}{2^{n+1}}\right)\!z^n$ .

Окончательный ответ: $\frac{z+1}{(z-1)^2(z+2)}= \frac{1}{9} \sum_{n=0}^{\infty}\! \left( 6n+5 +\frac{(-1)^{n+1}}{2^{n+1}}\right)\!z^n,~ |z|<1$ .

Пример 3.23. Разложить по степеням $z$ функции: а) $\frac{4}{4+z^2}$ ; б) $\frac{z}{z^2-i}$ .

Решение

Обе дроби правильные; раскладывать на более простые нет необходимости. Используя основные разложения, получаем ответы:

а) $\frac{4}{4+z^2}= \frac{4}{4}\cdot \frac{1}{1-\left(-\frac{z^2}{4}\right)}= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^nz^{2n}}{4^n},~~ \left|\frac{z^2}{4}\right|<1~ \Leftrightarrow~ |z|<2$ ;

б) $\frac{z}{z^2-i}= \frac{z}{-i}\cdot \frac{1}{1-\frac{z^2}{i}}= -\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{2n+1}}{i^{n+1}},~~ |z|<1$ или $\frac{z}{z^2-i}= \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^ni^{n+1} z^{2n+1},~~ |z|<1$ .

Пример 3.24. Используя разложение функции $e^{z^2+z}$ по степеням $z$ , найти значение производной седьмого порядка в точке $z_0=0$ .

Решение

Искомая величина находится по формуле (3.17): $f^{(7)}(0)= c_7\cdot7!$ , где $c_7$ — коэффициент слагаемого, содержащего степень $z^7$ в разложении функции в ряд Тейлора. Разложение функции можно получить, используя правило умножения рядов. Функцию для этого представим в виде произведения $e^{z^2+z}=e^{z^2}\cdot e^z$ . При этом нет необходимости находить первые члены разложения, достаточно определить коэффициент при степени $z^7$ , которая получается при перемножении. Запишем произведение рядов:

$\begin{gathered}e^{z^2+z}= e^{z^2}\cdot e^z= \left(1+z^2+\frac{z^4}{2!}+ \frac{z^6}{3!}+ \frac{z^8}{4!}+ \ldots\right)\!\cdot\! \left(1+z+ \frac{z^2}{2!}+ \frac{z^3}{3!}+ \frac{z^4}{4!}+ \frac{z^5}{5!}+ \frac{z^6}{6!}+ \frac{z^7}{7!}+ \ldots\right)=\\ =1+z+z^2 \left(\frac{1}{2!}+1\right)+ z^3 \left(\frac{1}{3!}+1\right)+ z^4 \left(\frac{1}{4!}+ \frac{1}{2!}+ \frac{1}{2!}\right)+ z^5 \left(\frac{1}{5!}+ \frac{1}{3!}+ \frac{1}{2!}\right)+\\ +\,z^6 \left(\frac{1}{6!}+ \frac{1}{4!}+ \frac{1}{2!\cdot 2!}+ \frac{1}{3!}\right)+ z^7 \left(\frac{1}{7!}+ \frac{1}{5!}+ \frac{1}{2!\cdot 3!}+ \frac{1}{3!}\right)+ \ldots\end{gathered}$

Вычисляем коэффициент $c_7=\frac{1}{7!}(1+6\cdot7+2\cdot5\cdot6\cdot7+ 4\cdot5\cdot6\cdot7)= \frac{1303}{7!}$ и получаем ответ: $f^{(7)}(0)=1303$ .

Можно убедиться, что нахождение $f^{(7)}(0)$ непосредственным дифференцированием более громоздко.

Пример 3.25. Записать разложение функций a) $e^{\sin z}$ и б) $\operatorname{tg}z$ по степеням $z$ до члена, содержащего $z^5$ .

Решение

а) Применим метод подстановки ряда в ряд, используя основные разложения для функций $e^z$ и $\sin z$ . Имеем

$u=\sin z,\quad u(0)=0,\quad u=z-\frac{z^3}{3!}+ \frac{z^5}{5!}+\ldots;$

$e^u=1+u+ \frac{1}{2!}\,u^2+ \frac{1}{3!}\,u^3+\ldots$ , или, подставляя:

$\begin{gathered}e^{\sin z}= 1+ \left(z-\frac{z^3}{3!}+ \ldots \right)+ \frac{1}{2!}\! \left(z-\frac{z^3}{3!}+ \ldots \right)^2+ \frac{1}{3!}\left(z-\frac{z^3}{3!}+ \ldots \right)^3+ \frac{1}{4!}\! \left(z-\frac{z^3}{3!}+ \ldots \right)^4+ \frac{1}{5!}\! \left(z-\frac{z^3}{3!}+ \ldots \right)^5+ ldots=\\ =1+z-\frac{z^3}{3!}+ \frac{z^5}{5!}+ \frac{1}{2!}(z+a)^2+ \frac{1}{3!}(z+a)^3+ \frac{1}{4!}(z+a)^4+ \frac{1}{5!}(z+a)^5+\ldots, \end{gathered}$

где $a=\left(-\frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}-\ldots\right)$ . Записывать большее число слагаемых нет необходимости, так как уже у следующего (первого отброшенного) младшая степень равна $z^6$ .

Возведение в степень рядов, как и перемножение рядов, производится по правилам действий с многочленами, в частности применяется формула бинома Ньютона:

$(z+a)^n= z^n+nz^{n-1}a+ \frac{n(n-1)}{2!}\,z^{n-2}a^2+\ldots+a^n.$

Так как младшая степень $z$ выражения $a=\left(-\frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}-\ldots\right)$ равна трем, следовательно, $a^2$ — шести, то для записи результата следует взять из первых двух скобок по два слагаемых, а из остальных по одному, т.е.

$e^{\sin z}= 1+z-\frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}+ \frac{1}{2!}\! \left(z^2+2z\! \left( -\frac{z^3}{3!}\right)\!\right)+ \frac{1}{3!}\! \left(z^3+3z^2\! \left(-\frac{z^3}{3!}\right)\!\right)+ \frac{1}{4!}z^4+ \frac{1}{5!}z^5+\ldots$

Приводя подобные члены, получим окончательный ответ:

$e^{\sin z}= 1+z+z^2\cdot \frac{1}{2}+ z^3\! \left(-\frac{1}{3!}+\frac{1}{3!}\right)+ z^4\! \left(-2\cdot \frac{1}{2!}\cdot \frac{1}{3!}+ \frac{1}{4!}\right)+ z^5\! \left(\frac{1}{5!}-3\cdot \frac{1}{3!}\cdot \frac{1}{3!}+ \frac{1}{5!}\right)+\ldots$

или $e^{\sin z}= 1+z+\frac{1}{2!}z^2-\frac{3}{4!}z^4-\frac{1}{15}z^5+\ldots$ .

Разложение, очевидно, можно получить, вычисляя коэффициенты разложения по формуле (3.17), что более громоздко.

б) Разложение $\operatorname{tg}z$ можно получить, используя формулу (3.17) для коэффициентов либо произведя деление ряда $\sin z=z-\frac{z^3}{3!}+ \frac{z^5}{5!}-\ldots$ на ряд $\cos z=1-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}-\ldots$ методом деления "утлом" или методом неопределенных коэффициентов.

Применим последний прием. Разложение $\operatorname{tg}z$ по степеням $z$ ищем в виде

$\operatorname{tg}z= \frac{\sin z}{\cos z}=c_0+c_1\cdot z+c_2\cdot z^2+\ldots$

По определению деления имеем тождество

$z-\frac{z^3}{3!}+ \frac{z^5}{5!}-\ldots= \left(1-\frac{z^2}{2!}+ \frac{z^4}{4!}- \frac{z^6}{6!}+\ldots \right)\! \bigl(c_0+ c_1z+c_2z^2+c_3z^3+c_4z^4+c_5z^5+\ldots \bigr).$

Перемножаем ряды справа и приравниваем коэффициенты полученного ряда известным коэффициентам при соответствующих степенях ряда, записанного слева. Получаем систему уравнений

$c_0=0,\quad c_1=1,\quad c_2-\frac{c_0}{2}=0,\quad c_3-\frac{c_1}{2}=-\frac{1}{3!},\quad c_4-\frac{c_2}{2!} +\frac{c_0}{4!}=0,\quad c_5-\frac{c_3}{2!}+ \frac{c_1}{4!}= \frac{1}{5!}\,,$

из которой находим коэффициенты $c_0=0,~ c_1=1,~ c_2=0,~ c_3=\frac{1}{3},~ c_4=0,~ c_5= \frac{2}{15}$ .

Ответ получаем в виде $\operatorname{tg}z= z+\frac{1}{3}z^3+\frac{2}{15}z^5+\ldots$ . Это разложение справедливо в круге $z<\frac{\pi}{2}$ , так как $z= \frac{\pi}{2}$ — ближайшая к $z_0=0$ особая точка функции тангенса $\operatorname{tg}z$ .

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Список статей » Список форумов

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]