Разложение решения уравнения в степенной ряд
Этот прием является особенно удобным в применении к линейным дифференциальным уравнениям. Проиллюстрируем его применение на примере уравнения второго порядка. Пусть дано дифференциальное уравнение второго порядка
(1)
Предположим, что коэффициенты и представляются в виде рядов, расположенных по целым положительным степеням , так что уравнение (1) можно переписать в виде
(2)
Решение этого уравнения будем искать также в виде степенного ряда
(3)
Подставляя это выражение и его производных в (2), получаем
(4)
Перемножая степенные ряды, собирая подобные члены и приравнивая нулю коэффициенты при всех степенях в левой части (4), получаем ряд уравнений:
(5)
Каждое последующее из уравнений (5) содержит одним искомым коэффициентом больше, чем предыдущее. Коэффициенты и остаются произвольными и играют роль произвольных постоянных. Первое из уравнений (5) дает , второе дает , третье — , и т.д. Вообще из (к + 1)-го уравнения можно определить , зная .
Практически удобно поступать следующим образом. Определим по описанной выше схеме два решения и , причем для выберем и , а для выберем и , что равносильно следующим начальными условиям:
Всякое решение уравнения (1) будет линейной комбинацией решений и .
Если начальные условия имеют вид , то очевидно,
Имеет место следующая теорема.
Теорема. Если ряды и сходятся при , то построенный указанным выше способом степенной ряд (3) будет также сходящимся при этих значениях и явится решением уравнения (1).
В частности, если и — многочлены от , то ряд (3) будет сходиться при любом значении .
Пример 1. Найти решения уравнения в виде степенного ряда.
Решение. Ищем в виде ряда , тогда
Подставляя и в (6), получаем
(7)
Приводя в (7) подобные члены и приравнивая нулю коэффициенты при всех степенях , получаем соотношения, из которых найдем коэффициенты
Положим для определенности, что . Тогда легко находим, что
(8)
Итак, имеем
Следовательно,
(9)
Аналогично, беря
(10)
и начальные условия , получаем
(11)
Подставляя (10) в (6), найдем
Очевидно, что
итак,
(12)
Общее решение уравнения (6) будет иметь вид
где и задаются формулами (9) и (12) соответственно, а и — произвольные постоянные, причем .
Приведем еще один способ интегрирования дифференциальных уравнений с помощью рядов, который оказывается более простым применительно к нелинейным дифференциальным уравнениям. Пусть дано дифференциальное уравнение
(13) и начальные условия
(14)
Введем следующее определение.
Функция называется голоморфной в некоторой окрестности точки , если в этой окрестности она представима степенным рядом
, сходящимся в области .
Аналогично, функция называется голоморфной относительно всех своих аргументов в некоторой окрестности
точки , если она представима степенным рядом
сходящимся в области
Теорема. Если правая часть уравнения (13) голоморфна относительно всех своих аргументов в окрестности :
точки , то уравнение (13) имеет единственное решение
удовлетворяющее начальным условиям (14), и голоморфное в некоторой окрестности точки .
Ряд (15) сходится в области , где ; здесь и — постоянные, удовлетворяющие условиям , и
Первые коэффициентов ряда (15) определяются начальными условиями (14) и дифференциальным уравнением (13). Следующие коэффициенты ряда определяются в силу дифференциального уравнения (13) путем его последовательного дифференцирования. Например, где
Замечание. Если уравнение (13) линейное
где и — функции, голоморфные на всей оси , то ряд (15) сходится также на всей оси.
Пример 2. Найти решение уравнения
(16) удовлетворяющее начальным условиям
(17)
Решение. Частное решение уравнения (16), удовлетворяющее начальным условиям (17), ищем в виде ряда
(18)
где .
Из данного уравнения находим, что . Дифференцируя последовательно обе части уравнения (16) и полагая в полученных равенствах , будем иметь:
Найденные значения подставляем в ряд (18). Получим искомое решение в виде степенного ряда
(19)
Очевидно, что ряд, стоящий в правой части (19), сходится на всей оси к функции , которая является решением поставленной задачи Коши.
Пример 3. Найти четыре первых члена разложения в ряд Тейлора решения уравнения , удовлетворяющего начальным условиям .
Решение. Легко видеть, что правая часть уравнения, т.е. функция , разлагается в степенной ряд по степеням и в окрестности точки , сходящейся в области , (т.е. правая часть голоморфна).
Будем искать частное решение в виде ряда
(20)
Используя само уравнение, найдем .
Дифференцируя последовательно обе части уравнения и полагая в полученных равенствах, будем иметь
Подставляя вряд (20) найденные значения , получим искомое разложение решения
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
|