Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Разложение решения уравнения в степенной ряд

Разложение решения уравнения в степенной ряд


Этот прием является особенно удобным в применении к линейным дифференциальным уравнениям. Проиллюстрируем его применение на примере уравнения второго порядка. Пусть дано дифференциальное уравнение второго порядка


y''+p(x)y'+q(x)y=0.
(1)

Предположим, что коэффициенты p(x) и q(x) представляются в виде рядов, расположенных по целым положительным степеням x, так что уравнение (1) можно переписать в виде


y''+(a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots)y'+(b_0+b_1x+b_2x^2+\ldots)y=0.
(2)

Решение этого уравнения будем искать также в виде степенного ряда


y= \sum_{k=0}^{\infty} c_kx^k.
(3)

Подставляя это выражение y и его производных в (2), получаем


\sum_{k=2}^{\infty}k(k-1)c_kx^{k-2}+ \sum_{k=0}^{\infty}a_kx^k \sum_{k=1}^{\infty}kc_kx^{k-1}+\sum_{k=0}^{\infty}b_kx^k \sum_{k=0}^{\infty}c_kx^k =0
(4)

Перемножая степенные ряды, собирая подобные члены и приравнивая нулю коэффициенты при всех степенях x в левой части (4), получаем ряд уравнений:


\begin{array}{*{20}{c|l}} x^0& 2\cdot1c_2+a_0c_1+b_0c_0=0,\\[3pt] x^1 &3\cdot2c_3+2a_0c_2+a_1c_1+b_0c_1+b_1c_0=0,\\[3pt] x^2 & 4\cdot3c_4+3a_0c_3+2a_1c_2+a_2c_1+b_0c_2+b_1c_1+b_2c_0=0,\\ \cdots & \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots \end{array}
(5)

Каждое последующее из уравнений (5) содержит одним искомым коэффициентом больше, чем предыдущее. Коэффициенты c_0 и c_1 остаются произвольными и играют роль произвольных постоянных. Первое из уравнений (5) дает c_2, второе дает c_3, третье — c_4, и т.д. Вообще из (к + 1)-го уравнения можно определить c_{k+2}, зная c_0,c_1,\ldots,c_{k+1}.


Практически удобно поступать следующим образом. Определим по описанной выше схеме два решения y_1(x) и y_2(x), причем для y_1(x) выберем c_0=1 и c_1=0, а для y_2(x) выберем c_0=0 и c_1=1, что равносильно следующим начальными условиям:


y_1(0)=1, \quad y'_1(0)=0, \quad y_2(0)=0, \quad y'_2(0)=1.

Всякое решение уравнения (1) будет линейной комбинацией решений y_1(x) и y_2(x).


Если начальные условия имеют вид y(0)=A,~y'(0)=B, то очевидно,


y=Ay_1(x)+By_2(x).

Имеет место следующая теорема.


Теорема. Если ряды p(x)=\sum_{k=0}^{\infty}a_kx^k и q(x)=\sum_{k=0}^{\infty}b_kx^k сходятся при |x|<R, то построенный указанным выше способом степенной ряд (3) будет также сходящимся при этих значениях x и явится решением уравнения (1).


В частности, если p(x) и q(x) — многочлены от x, то ряд (3) будет сходиться при любом значении x.




Пример 1. Найти решения уравнения y''-xy-2y=0 в виде степенного ряда.


Решение. Ищем y_1(x) в виде ряда y_1(x)= \sum_{k=0}^{\infty}c_kx^k, тогда


y'_1(x)= \sum_{k=1}^{\infty}kc_kx^{k-1}, \quad y''_1(x)= \sum_{k=2}^{\infty}k(k-1)c_kx^{k-2}.

Подставляя y_1(x),~y'_1(x) и y''_1(x) в (6), получаем


\sum_{k=2}^{\infty}k(k-1)c_kx^{k-2} - \sum_{k=1}^{\infty}kc_kx^{k-1} -2\sum_{k=0}^{\infty}c_kx^k=0.
(7)

Приводя в (7) подобные члены и приравнивая нулю коэффициенты при всех степенях x, получаем соотношения, из которых найдем коэффициенты c_0,c_1,\ldots,c_n,\ldots


Положим для определенности, что y_1(0)=1,~y'_1(0)=0. Тогда легко находим, что


c_0=1, \quad c_1=0.
(8)

Итак, имеем


\begin{array}{*{20}{c|l}} x^0& 2c_2-2c_0=0,\\ x^1& 3\cdot2c_3-1c_1-2c_1=0,\\ x^2& 4\cdot3c_4-2c_2-2c_2=0,\\ x^3& 5\cdot4c_5-3c_3-2c_3=0,\\ x^4& 6\cdot5c_6-4c_4-2c_4=0,\\ \cdots& \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots \end{array} \quad \Rightarrow \quad \left\{\!\begin{aligned} c_2&=1,\\ c_3&=0,\\ c_4&=1/3,\\ c_5&=0,\\ c_6&=1/(3\cdot5). \end{aligned}\right.

Следовательно,


y_1(x)= 1+x^2+\frac{1}{3}x^4+\frac{1}{15}x^6+\ldots
(9)

Аналогично, беря


y_2(x)= \sum_{k=0}^{\infty}A_kx^k
(10)

и начальные условия y_2(0)=0,~y'_2(0)=1, получаем


A_0=0, \quad A_1=1.
(11)

Подставляя (10) в (6), найдем


\begin{gathered} \sum_{k=0}^{\infty}k(k-1)A_kx^{k-2}-\sum_{k=1}^{\infty}A_kx^k=0,\\[5pt] \begin{array}{*{20}{c|ll}} x^0& 2A_2=0,& A_2=0,\\ x^1& 3\cdot2A_3-3A_1=0,& A_3=\frac{1}{2},\\ x^2& 4\cdot3A_4-4A_2=0,& A_4=0,\\ x^3& 5\cdot4A_5-5A_3=0,& A_5=\frac{1}{2\cdot4},\\ x^4& 6\cdot5A_6-6A_4=0,& A_6=0,\\ x^5& 7\cdot6A_7-7A_5=0,& A_7=\frac{1}{2\cdot4\cdot6}, \\\cdots& \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots& \cdots\cdots\cdots \end{array}\end{gathered}

Очевидно, что


A_{2k}=0, \quad A_{2k+1}=\frac{1}{2\cdot4\cdot6\cdots(2k)}, \quad k\in\mathbb{Z};

итак,


y_2(x)=x+\frac{x^3}{2}+\frac{x^5}{2\cdot4}+\frac{x^7}{2\cdot4\cdot6}+\ldots= x\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(x^2/2)^k}{k!}=x\,e^{x^2/2}.
(12)

Общее решение уравнения (6) будет иметь вид


y(x)=Ay_1(x)+By_2(x),

где y_1(x) и y_2(x) задаются формулами (9) и (12) соответственно, а A и B — произвольные постоянные, причем y(0)=A,~y'(0)=B.




Приведем еще один способ интегрирования дифференциальных уравнений с помощью рядов, который оказывается более простым применительно к нелинейным дифференциальным уравнениям. Пусть дано дифференциальное уравнение


y^{(n)}= f(x,y,y',\ldots,y^{(n-1)})
(13)

и начальные условия
y_{x=x_0}=y_0, \quad y'_{x=x_0}=y'_0, \quad \ldots, \quad y^{(n-1)}_{x=x_0}=y^{(n-1)}_0.
(14)

Введем следующее определение.


Функция \varphi(x) называется голоморфной в некоторой окрестности |x-x_0|<\rho точки x=x_0, если в этой окрестности она представима степенным рядом


\varphi(x)= \sum_{k=0}^{\infty}c_k(x-x_0)^k, сходящимся в области |x-x_0|<\rho.

Аналогично, функция \varphi(x_1,x_2,\ldots,x_n) называется голоморфной относительно всех своих аргументов в некоторой окрестности


\Bigl|x_k-x_k^{(0)}\Bigr|<\rho_k \quad (k=1,2,\ldots,n)

точки (x_1^{(0)}, x_2^{(0)},\ldots, x_n^{(0)}), если она представима степенным рядом


\varphi(x_1,x_2,\ldots,x_n)= \sum c_{k_1k_2\ldots k_n} (x_1-x_1^{(0)})^{k_1} (x_2-x_2^{(0)})^{(k_2)}\ldots (x_n-x_n^{(0)})^{(k_n)},

сходящимся в области
\Bigl|x_k-x_k^{(0)}\Bigr|<\rho_k \quad (k=1,2,\ldots,n)

Теорема. Если правая часть уравнения (13) голоморфна относительно всех своих аргументов x,y,y',\ldots,y^{(n-1)} в окрестности \Omega:


|x-x_0|<R, \quad |y-y_0|<R_1, \quad |y'-y'_0|<R_1, \quad \ldots, \quad |y^{(n-1)}-y_0^{(n-1)}|<R_1

точки (x_0,y_0,y'_0,\ldots,y_0^{(n-1)}), то уравнение (13) имеет единственное решение


y(x)= y_0+y'_0(x-x_0)+\frac{y''_0}{2!}(x-x_0)^2+\ldots+\frac{y_0^{(n-1)}}{(n-1)!}(x-x_0)^{n-1}+\sum_{k=n}^{\infty}\frac{y_0^{(k)}}{k!}(x-x_0)^k,

удовлетворяющее начальным условиям (14), и голоморфное в некоторой окрестности точки x=x_0.


Ряд (15) сходится в области |x-x_0|<\rho, где \rho=a\!\left(1-\exp\frac{-b}{(n+1)aM}\right); здесь a и b — постоянные, удовлетворяющие условиям 0<a<R, 0<b<R и


M= \max_{\Omega}\Bigl|f(x,y,y',\ldots,y^{(n-1)})\Bigr|.

Первые n+1 коэффициентов ряда (15) определяются начальными условиями (14) и дифференциальным уравнением (13). Следующие коэффициенты ряда определяются в силу дифференциального уравнения (13) путем его последовательного дифференцирования. Например,


a_{n+1}= \frac{y^{(n+1)}(x_0)}{(n+1)!},
где
\begin{aligned}\left.y^{(n+1)}\right|_{x=x_0}&= \!\left.\left(\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}y'+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{\partial f}{\partial y^{(k)}}y^{(k+1)}\right)\!\right|_{x=x_0}= \\ &=\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{x=x_0}+ \left.\frac{ \partial f}{\partial y}\right|_{x=x_0}\cdot y'_0+ \sum_{k=1}^{n-1}\left.\frac{\partial f}{\partial y^{(k)}}\right|_{x=x_0}\cdot y^{(k+1)}(x_0).\end{aligned}

Замечание. Если уравнение (13) линейное


y^{(n)}+p_1(x)y^{(n-1)}+\ldots+p_n(x)y=\psi(x),

где p_k(x)~(k=1,2,\ldots,n) и \psi(x) — функции, голоморфные на всей оси Ox, то ряд (15) сходится также на всей оси.




Пример 2. Найти решение уравнения


y''+y=0,
(16)

удовлетворяющее начальным условиям
y|_{x=0}=1, \quad y'|_{x=0}=0.
(17)

Решение. Частное решение уравнения (16), удовлетворяющее начальным условиям (17), ищем в виде ряда


y(x)= y(0)+\frac{y'(0)}{1!}\,x+\frac{y''(0)}{2!}\,x^2+\frac{y'''(0)}{3!}\,x^3+\ldots\,,
(18)

где y(0),~y'(0)=0.


Из данного уравнения находим, что y''(0)=-y(0)=-1. Дифференцируя последовательно обе части уравнения (16) и полагая в полученных равенствах x=0, будем иметь:


\begin{aligned} y'''(0)&= -y'(0)=0,\\ y^{\mathsf{IV}}(0)&=-y''(0)=1,\\ \cdots\cdots&\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\ y^{(n)}(0)&= \begin{cases}\phantom{-}0,& \text{if} \quad n=2k-1,\\(-1)^k,& \text{if} \quad n=2k\end{cases}~(k\in\mathbb{N}). \end{aligned}

Найденные значения y''(0),~y'''(0),\ldots подставляем в ряд (18). Получим искомое решение в виде степенного ряда


y(x)= 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\ldots+\frac{(-)^k}{(2k)!}\,x^{2k}+\ldots
(19)

Очевидно, что ряд, стоящий в правой части (19), сходится на всей оси Ox к функции y=\cos{x}, которая является решением поставленной задачи Коши.




Пример 3. Найти четыре первых члена разложения в ряд Тейлора решения y=y(x) уравнения y''=e^{xy}, удовлетворяющего начальным условиям y|_{x=0}=1, y'|_{x=0}=0.


Решение. Легко видеть, что правая часть уравнения, т.е. функция e^{xy}, разлагается в степенной ряд по степеням x и y в окрестности точки (0,0), сходящейся в области -\infty<x<+\infty, -\infty<y<+\infty, (т.е. правая часть голоморфна).


Будем искать частное решение в виде ряда


y(x)=y(0)+\frac{y'(0)}{1!}\,x+\frac{y''(0)}{2!}\,x^2+\frac{y'''(x)}{3!}\,x^3+\ldots
(20)

Используя само уравнение, найдем y''(0)=e^{xy}|_{x=0}=1.


Дифференцируя последовательно обе части уравнения и полагая x=0 в полученных равенствах, будем иметь


\begin{aligned} y'''(0)&= (y+xy')e^{xy}|_{x=0}=1,\\ y^{\mathsf{IV}}(0)&= [2y'+xy''+(y+xy')^2]e^{xy}|_{x=0}=1. \end{aligned}

Подставляя вряд (20) найденные значения y''(0),~y'''(0),~ y^{\mathsf{IV}}(0), получим искомое разложение решения


y(x)= 1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\ldots
Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved