Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд

Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд.
Уравнение Бесселя


Точка [math]x_0[/math] называется обыкновенной точкой дифференциального уравнения


[math]y''+p(x)y'+q(x)=0,[/math]
(21)

если коэффициенты [math]p(x)[/math] и [math]q(x)[/math] голоморфны в этой точке: в противном случае точка [math]x_0[/math] называется особой точкой дифференциального уравнения (21).

Ряд вида

[math]x^{\rho} \sum_{k=0}^{\infty}c_kx^k \quad (c_0\ne0)[/math]
(22)

где [math]\rho[/math] — заданное число, а степенной ряд [math]\textstyle{\sum\limits_{k=0}^{\infty}c_kx^k}[/math] сходится в некоторой области [math]|x|<R[/math], называется обобщенным степенным рядом.


Если [math]\rho[/math] есть целое неотрицательное число, то обобщенный степенной ряд (22) обращается в обычный степенной ряд.


Теорема. Если точка [math]x=0[/math] есть особая точка уравнения (21), коэффициенты [math]p(x)[/math] и [math]q(x)[/math] уравнения представимы в виде


[math]p(x)=\frac{1}{x}\sum_{k=0}^{\infty}a_kx^k, \quad q(x)=\frac{1}{x^2}\sum_{k=0}^{\infty}b_kx^k.[/math]

где ряды в числителях сходятся в некоторой области [math]|x|<R[/math], а коэффициенты [math]a_0,\,b_0[/math] и [math]b_1[/math] не равны нулю одновременно, то уравнение (21) имеет хотя бы одно решение в виде обобщенного степенного ряда

[math]y=x^{\rho}\sum_{k=0}^{\infty}c_kx^k \quad (c_0\ne0),[/math]
(22)

который сходится, по крайней мере, в той же области [math]|x|<R[/math].

Для определения показателя [math]\rho[/math] и коэффициентов [math]c_k[/math] нужно подставить ряд (22) в уравнение (21), сократить на [math]x^{\rho}[/math] и приравнять нулю коэффициенты при всех степенях [math]x[/math] (метод неопределенных коэффициентов).


При этом число [math]\rho[/math] находится из так называемого определяющего уравнения


[math]\rho(\rho-1)+a_0\rho+b_0=0,[/math]
(23)
где
[math]a_0=\lim_{x\to0}xp(x), \quad b_0=\lim_{x\to0}x^2q(x).[/math]
(24)

Пусть [math]\rho_1[/math] и [math]\rho_2[/math] — корни определяющего уравнения (23). Будем различать три случая.


1. Если разность [math]\rho_1-\rho_2[/math] не равна целому числу или нулю, то можно построить два решения вида (22)


[math]y_1=x^{\rho_1}\sum_{k=0}^{\infty}c_kx^k~(c_0\ne0), \quad y_2=x^{\rho_2}\sum_{k=0}^{\infty}A_kx^k~(A_0\ne0).[/math]

2. Если разность [math]\rho_1-\rho_2[/math] есть целое положительное число, то можно построить, вообще говоря, лишь один ряд (решение уравнения (21))


[math]y_1=x^{\rho_1}\sum_{k=0}^{\infty}c_kx^k.[/math]
(25)

3. Если уравнение (23) имеет кратный корень [math]\rho_1=\rho_2[/math], то также, можно построить лишь один ряд — решение (25). Понятно, что в первом случае построенные решения [math]y_1(x)[/math] и [math]y_2(x)[/math] будут линейно независимы (т.е. их отношение не будет постоянной величиной).


Во втором и третьем случаях мы построили только по одному решению. Отметим, что если разность [math]\rho_1-\rho_2[/math] есть целое положительное число или ноль, то наряду с решением (25) уравнение (21) будет иметь решение вида


[math]y_2= Ay_1(x)\ln{x}+x^{\rho_1}\sum_{k=0}^{\infty}A_kx^k.[/math]
(26)

В этом случае [math]y_2(x)[/math] содержит добавочное слагаемое вида [math]Ay_1(x)\ln{x}[/math], где [math]y_1(x)[/math] задается в виде (25).


Замечание. Постоянная [math]A[/math] в (26) может оказаться равной нулю, и тогда для [math]y_2[/math] получим выражение в виде обобщенного степенного ряда.




Пример 4. Решить уравнение


[math]2x^2y''+(3x-2x^2)y'-(x+1)y=0.[/math]
(27)

Решение. Перепишем (27) в виде


[math]y''+\frac{3-2x^2}{2x^2}\,y'-\frac{x+1}{2x^2}\,y=0,[/math] или [math]y''+\frac{3-2x}{2x}\,y'-\frac{x+1}{2x^2}\,y=0.[/math]

Решение [math]y(x)[/math] будем искать в виде


[math]y(x)=x^{\rho}\sum_{k=0}^{\infty}C_kx^k \quad (C_0\ne0).[/math]

Для нахождения [math]\rho[/math] выпишем определяющее уравнение [math]\rho(\rho-1)+a_0\rho+b_0=0[/math], где


[math]a_0=\lim_{x\to0}\frac{3-2x}{2}=\frac{3}{2}, \quad b_0=\lim_{x\to0}\frac{x+1}{-2}=-\frac{1}{2},[/math]
то есть
[math]\rho(\rho-1)+\frac{3}{2}\rho-\frac{1}{2}=0,[/math] или [math]\rho^2+\frac{1}{2}\rho-\frac{1}{2}=0,[/math] отсюда [math]\rho_1=\frac{1}{2},~\rho_2=-1.[/math]

Согласно приведенному правилу, берем


[math]y_1(x)= \sqrt{x}\sum_{k=0}^{\infty}C_kx^k~(x>0);\quad y_2(x)=\frac{1}{x}\sum_{k=0}^{\infty}Akx^k.[/math]

Для того, чтобы найти [math]C_0,C_1,\ldots,C_n,\ldots[/math], надо поставить [math]y_1(x)[/math] и ее производные [math]y'_1(x)[/math] и [math]y''_1(x)[/math] в уравнение (27):


[math]y_1(x)= \sum_{k=0}^{\infty}C_kx^{k+(1/2)},~ y'_1(x)= \sum_{k=0}^{\infty}\!\left(k+\frac{1}{2}\right)\!C_kx^{k-(1/2)},~ y''_1(x)= \sum_{k=0}^{\infty}\!\left(k^2-\frac{1}{4}\right)\!C_kx^{k-(3/2)}[/math]

Подстановка [math]y'_1(x),\,y''_1(x),\,y''_1(x)[/math] в (27) дает


[math]2x^2\sum_{k=0}^{\infty}\!\left(k^2-\frac{1}{4}\right)\!C_kx^{k-(3/2)}+ (3x-2x^2) \sum_{k=0}^{\infty}\!\left(k+\frac{1}{2}\right)\!C_kx^{k-(1/2)}- (x+1)\sum_{k=0}^{\infty}C_kx^{k+(1/2)}=0.[/math]
(28)

После преобразований (28) перепишется так:


[math]\sum_{k=0}^{\infty}k(2k+3)C_kx^{k+(1/2)}- 2\sum_{k=0}^{\infty}(k+1)C_kx^{k+(3/2)}=0.[/math]
(29)

Так как ищется решение для [math]x>0[/math], то (29) можно сократить на [math]x^{1/2}[/math], что дает


[math]\sum_{k=0}^{\infty}k(2k+3)C_kx^{k}- 2\sum_{k=0}^{\infty}(k+1)C_kx^{k+1}=0.[/math]
(30)

Отсюда находим соотношение для определения коэффициентов

[math]\begin{array}{*{20}{c|l}} x^1& 1\cdot5C_1-2\cdot1C_0=0,\\ x^2& 2\cdot7C_2-2\cdot2C_1=0,\\ x^3& 3\cdot9C_3-2\cdot2C_2=0,\\ \cdots& \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots \\x^n& n(2n+3)C_n-2nC_{n-1}=0,\\ \cdots&\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots \end{array}[/math]
(31)

Полагая в первом уравнении соотношений (31) [math]C_0=1[/math], получим [math]C_1=\frac{2}{5}[/math]. Из второго уравнения имеем [math]C_2=\frac{2^2}{5\cdot7}[/math]. Из третьего [math]C_3=\frac{2^3}{5\cdot7\cdot9}[/math] и т.д. Легко заметить, что


[math]C_n= \frac{2^n}{5\cdot7\cdot9\ldots(2n+3)}, \quad n\in\mathbb{N},[/math]
итак,
[math]y_1(x)=\sqrt{x}+\sqrt{x}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2^n}{5\cdot7\cdot9\ldots(2n+3)}\,.[/math]
(32)

Аналогично находим и коэффициенты [math]A_k[/math]. Оказывается, что при [math]A_0=1[/math]


[math]A_1=1, \quad A_2=\frac{1}{2!}, \quad \ldots, A_k=\frac{1}{k!},[/math]
так что
[math]y_2(x)=\frac{1}{x}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!}=\frac{e^x}{x}.[/math]
(33)

Обшее решение уравнения (27) [math]y(x)=Ay_1(x)+By_2(x)[/math], где [math]A[/math] и [math]B[/math] — произвольные постоянные, а функции [math]y_1(x)[/math] и [math]y_2(x)[/math] задаются формулами (32) и (33).




Пример 5. Взаимодействие двух ядер с хорошим приближением можно описать с помощью потенциала мезонных сил [math]V=\frac{Ae^{-\alpha x}}{x}[/math] (притяжению соответствует [math]A<0[/math]). Найти в виде ряда решение волнового уравнения Шредингера


[math]y''+k\!\left(E-\frac{Ae^{-\alpha x}}{x}\right)\!y=0,[/math]
(34)

где [math]\alpha,\,A,\,E[/math] и [math]k=\frac{2m}{h}[/math] — постоянные (ограничиться тремя ненулевыми коэффициентами ряда, отвечающего большому корню определяющего уравнения).

Решение. Ищем решение [math]y(x)[/math] данного уравнения в виде обобщенного степенного ряда


[math]y(x)=x^{\rho}\sum_{k=0}^{\infty}c_kx^k.[/math]

Коэффициенты [math]A_0[/math] и [math]B_0[/math] определяющего уравнения [math]\rho(\rho-1)+A_0\rho+B_0=0[/math] будут равны


[math]\begin{aligned} A_0&= \lim_{x\to0}xp(x)=0 \quad (p(x)\equiv0),\\ B_0&= \lim_{x\to0}x^2q(x)= \lim_{x\to0}x^2k\!\left(E-\frac{Ae^{-\alpha x}}{x}\right)= \lim_{x\to0}(Ex^2-Axe^{-\alpha x})=0. \end{aligned}[/math]

так что оно принимает вид [math]\rho(\rho-1)=0[/math], откуда [math]\rho_1=1,~\rho_2=0[/math].

Обобщенный степенной ряд для случая [math]\rho=1[/math]


[math]y(x)= x\sum_{k=0}^{\infty}c_kx^x= c_0x+c_1x^2+c_2x^3+c_3x^4+\ldots\,;[/math]
(35)

тогда
[math]\begin{aligned} y'&= c_0+2c_1x+3c_2x^2+4c_3x^3+\ldots\,;\\ y''&=2c_1+6c_2x+12c_3x^3+\ldots \end{aligned}[/math]

Кроме того, имеем


[math]e^{-\alpha x}= 1-\alpha x+\frac{\alpha^2x^2}{2!}-\frac{\alpha^3x^3}{3!}+\frac{\alpha^4x^4}{4!}-\ldots[/math]

Подставляем в уравнение (14) ряды для [math]y'',\,y[/math] и [math]e^{-\alpha x}[/math]:


[math]2c_1+6c_2x+12c_3x^3+\ldots+\left[kE-kA\!\left(\frac{1}{x}-\alpha+\frac{\alpha^2x}{2!}-\frac{\alpha^3x^2}{3!}+\ldots\right)\right]\!(c_0x+c_1x^2+c_2x^3+\ldots)=0.[/math]

Приравниваем нулю коэффициенты при степенях [math]x[/math]:

[math]\begin{array}{*{20}{c|l}} x^0& 2c_1-kAc_0=0,\\[3pt] x^1& 6c_0+(kE+\alpha)c_0-kAc_1=0,\\ \cdots& \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots \end{array}[/math]

Из полученных равенств последовательно находим

[math]c_1=\frac{Ak}{2}\,c_0, \quad c_2=\frac{Akc_1-(kE+\alpha A)c_0}{6}[/math]

или
[math]c_2= \frac{1}{6}\!\left(\frac{A^2k^2}{2}-kE-\alpha kA\right)\!c_0[/math]

Подставляя найденные значения коэффициентов в ряд (35), получаем

[math]y(x)=c_0x\!\left[1+\frac{Ak}{2}\,x+\frac{1}{6}\!\left(\frac{A^2k^2}{2}-kE-\alpha kA\right)\!x^2+\ldots\right]\!,[/math]

где [math]c_0[/math] — произвольная постоянная.



Пример 6. Решить уравнение Бесселя


[math]x^2y''+xy'+(x^2-p^2)y=0, \quad x>0,[/math]
(36)

где [math]p[/math] — заданная постоянная.

Решение. Перепишем (36) в виде


[math]y''+\frac{1}{x}\,y'+\frac{x^2-p^2}{x^2}\,y=0.[/math]
Здесь
[math]p(x)=\frac{1}{x}, \quad q(x)=\frac{x^2-p^2}{x^2}\,,[/math]
так что
[math]a_0= \lim_{x\to0}xp(x)=1, \quad b_0= \lim_{x\to0}x^2q(x)=-p^2[/math]

(см. формулы (24)). Определяющее уравнение для [math]\rho[/math]:

[math]\rho(\rho-1)+1\cdot\rho-\rho^2=0,[/math] или [math]\rho^2-p^2=0,[/math] откуда [math]\rho_1=p,~\rho_2=-p.[/math]

Первое частное решение Бесселя (36) ищем в виде обобщенного степенного ряда [math]y=x^{\rho}\sum_{k=0}^{C_kx^k}[/math]. Подставляя [math]y,~y'[/math] и [math]y''[/math] в уравнение (36), получаем


[math]x^2\sum_{k=0}^{\infty}C_k(k+p)(k+p-1)x^{k+p-2}+ x\sum_{k=0}^{\infty}C_k(k+p)x^{k+p-1}+ (x^2-p^2)\sum_{k=0}^{\infty}C_kx^{k+p}=0,[/math]

или, после простых преобразований и сокращения на [math]x^p[/math],

[math]\sum_{k=0}^{\infty}[(k+p)^2-p^2]C_kx^k+ \sum_{k=0}^{\infty}C_kx^{k+2}=0.[/math]

Отсюда, приравнивая нулю коэффициенты при всех степенях [math]x[/math], будем иметь:


[math]\begin{array}{*{20}{c|l}} x^0& (p^2-p^2)C_0=0,\\ x^1& [(1+p)^2-p^2]C_1=0,\\ x^2& [(2+p)^2-p^2]C_2+C_0=0,\\ x^3& [(3+p)^2-p^2]C_3+C_1=0,\\ x^4& [(4+p)^2-p^2]C_4+C_2=0,\\ \cdots&\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\ x^k& [(k+p)^2-p^2]C_k+C_{k-2}=0,\\ \cdots& \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots \end{array}[/math]
(37)

Первое из соотношений (37) удовлетворяется при любом значении коэффициента [math]C_0[/math]. Из второго соотношения (37) получаем [math]C_1=0[/math], из третьего


[math]C_2= -\frac{C_0}{(2+p)^2-p^2}= -\frac{C_0}{2^2(1+p)}\,,[/math]

из четвертого [math]C_3=0[/math], из пятого

[math]C_4= -\frac{C_2}{(4+p)^2-p^2}= \frac{C_0}{2^4(1+p)(2+p)\cdot1\cdot2}\,.[/math]

Очевидно, что все коэффициенты с нечетными индексами равны нулю: [math]C_{2k-1},~k\in\mathbb{N}[/math]. Коэффициенты с четными индексами имеют вид:


[math]C_{2k}= \frac{(-1)^kC_0}{2^{2k}(p+1)(p+2)\ldots(p+k)\cdot k!}, \quad k\in\mathbb{N}.[/math]

Для упрощения дальнейших выкладок примем


[math]C_0=\frac{1}{2^p\Gamma(p+1)}\,,[/math]
(38)

где [math]\Gamma(\nu)[/math] — гамма-функция Эйлера. Гамма-функция Эйлера [math]\Gamma(\nu)[/math] определяется для всех положительных значений (а также для всех комплексных значений с положительной вещественной частью) следующим образом:

[math]\Gamma(\nu)= \int\limits_{0}^{\infty}e^{-x}x^{\nu-1}\,dx\,.[/math]

Гамма-функция обладает следующими важными свойствами:


[math]\begin{aligned} &\mathsf{1.}\quad \Gamma(\nu+1)=\nu\Gamma(\nu),\\ &\mathsf{2.}\quad \Gamma(1)=1. \end{aligned}[/math]

Если [math]k[/math] — целое положительное число, то


[math]\begin{aligned} &\mathsf{3.}\quad \Gamma(\nu+k+1)=(\nu+1)(\nu+2)\ldots(\nu+k)\Gamma(\nu+1),\\ &\mathsf{4.}\quad \Gamma(k+1)=k!. \end{aligned}[/math]

Пользуясь (38) и свойствами Г-функции, коэффициент [math]C_{2k}[/math] запишем в виде


[math]C_{2k}= \frac{(-1)^k}{2^{2k}(p+1)(p+2)\ldots(p+k)\cdot k!\cdot2^p\Gamma(p+1)}= \frac{(-1)^k}{2^{2k+p}\ldots k! \Gamma(p+k+1)}\,,[/math]

ибо [math](p+1)(p+2)\ldots(p+k)\Gamma(p+1)[/math], согласно свойству 3, равно [math]\Gamma(p+k+1)[/math]. Теперь частное решение уравнения Бесселя, которое мы будем в дальнейшем обозначать через [math]J_p[/math], принимает вид

[math]J_p(x)= \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!\Gamma(p+k+1)}{\left(\frac{x}{2}\right)\!}^{2k+p}[/math]
(39)

Эту функцию принято называть Бесселевой функцией первого рода порядка [math]p[/math].


Второе частное решение уравнения Бесселя (36) ищем в виде


[math]y=x^{-p}\sum_{k=0}^{\infty}C_kx^k,[/math]

где [math]p[/math] — второй корень определяющего уравнения. Ясно, что это решение может быть получено из (39) путем замены [math]p[/math] на [math]-p[/math], так как уравнение (36) содержит [math]p[/math] в четной степени и не меняется при замене [math]p[/math] на [math]-p[/math].

Итак,

[math]J_{-p}(x)= \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!\Gamma(k+1-p)}{\left(\frac{x}{2}\right)\!}^{2k-p}[/math]

Эту функцию называют Бесселевой функцией первого рода порядка [math]-p[/math].


Если [math]p[/math] не равно целому числу, то решения [math]J_p(x)[/math] и [math]J_{-p}(x)[/math] являются линейно независимыми, так как их разложения в ряды начинаются с различных степеней [math]x[/math] и, следовательно, линейная комбинация [math]\alpha_1J_p(x)+\alpha_2J_{-p}(x)[/math] может тождественно равняться нулю лишь при [math]\alpha_1\alpha_2=0[/math].



Если [math]p[/math] есть целое число, то можно установить линейную зависимость функций [math]J_{p}(x)[/math] и [math]J_{-p}(x)[/math], а именно оказывается, что


[math]J_{-p}(x)= (-1)^nJ_n(x), \quad n\in\mathbb{N}.[/math]

Итак, при целом [math]p[/math] вместо [math]J_{-p}(x)[/math] надо искать другое решение, которое было бы линейно независимо от [math]J_p(x)[/math]. Для этого введем новую функцию


[math]Y_p(x)=\frac{J_p(x)\cos p\pi-J_{-p}(x)}{\sin p\pi}\,,[/math]
(40)

считая сначала, что [math]p[/math] — нецелое число.

Очевидно, что так определенная функция [math]Y_p(x)[/math] является решением уравнения (36) (в связи с тем, что она представляет линейную комбинацию частных решений [math]J_p(x)[/math] и [math]J_{-p}(x)[/math]).


Переходя к пределу в (40) при [math]p[/math], стремящемся к целому числу, получаем частное решение [math]Y_p(x)[/math], линейно независимое от [math]J_p(x)[/math] и определенное уже и для целых значений [math]p[/math].


Введенная здесь функция [math]Y_p(x)[/math] называется бесселевой функцией второго рода порядка [math]p[/math]. Таким образом, для всякого [math]p[/math], дробного или целого, мы построили фундаментальную систему решений уравнения Бесселя (36). Отсюда вытекает, что общее решение уравнения (36) может быть представлено в виде


[math]y=A\,J_p(x)+B\,Y_p(x),[/math]

где [math]A[/math] и [math]B[/math] — произвольные постоянные.

В случае, когда [math]p[/math] не является целым числом, общее решение уравнения Бесселя можно брать в виде


[math]y=C_1\,J_p(x)+C_2\,J_{-p}(x),[/math]

где [math]C_1[/math] и [math]C_2[/math] — произвольные постоянные.



Замечание 1. Часто встречающееся уравнение


[math]x^2y''+xy'+(k^2x^2-p^2)y=0,[/math]
(41)

где [math]k[/math] — некоторая постоянная [math](k\ne0)[/math], приводится к уравнению Бесселя

[math]\xi^2\frac{d^2y}{d\xi^2}+\xi\frac{dy}{d\xi}+(\xi^2-p^2)y=0[/math]
(42)
путем подстановки [math]\xi=kx[/math].

Общим решением уравнения (42) (при [math]p[/math], отличном от целого числа) будет


[math]y=C_1\,J_p(\xi)+C_2\,J_{-p}(\xi),[/math]

а тогда общее решение уравнения (41) принимает вид

[math]y=C_1\,J_p(kx)+C_2\,J_{-p}(kx),[/math]

При [math]p[/math] целом [math]y=C_1\,J_p(kx)+C_2\,Y_{-p}(kx)[/math].


Замечание 2. Обширный класс уравнений вида


[math]x^2\frac{d^2y}{dx^2}+ax\frac{dy}{dx}+(b+cx^m)y=0,[/math]
(43)

где [math]a,\,b,\,c,\,m[/math] — постоянные [math](c>0,\,m\ne0)[/math], приводится при помощи введения нового переменного [math]t[/math] и новой функции [math]u[/math] по формулам

[math]y={\left(\frac{t}{\gamma}\right)\!}^{-\alpha/\beta}, \quad x={\left(\frac{t}{\gamma}\right)\!}^{-1/\beta}[/math]

к уравнению Бесселя
[math]t^2\frac{d^2u}{dt^2}+t\frac{du}{dt}+(t^2-p^2)u=0,[/math]

где [math]\alpha=\frac{a-1}{2},~\beta=\frac{m}{2},~\gamma=\frac{2\sqrt{c}}{m},~p^2=\frac{(a-1)^2-4b}{m^2}[/math]. При [math]c=0[/math] или [math]m=0[/math] уравнение (43) является уравнением Эйлера.




Пример 7. Привести уравнение


[math]x^2\frac{d^2y}{dx^2}-3x\frac{dy}{dx}+(x^4-12)y=0[/math]
(44)

к уравнению Бесселя и найти его общее Решение.

Решение. В нашем случае коэффициенты равны [math]a=-3,~b=-12,~c=1,~m=4[/math], поэтому


[math]\alpha=\frac{a-1}{2}=-2, \quad \beta=\frac{m}{2}=2, \quad -\frac{\alpha}{\beta}=1, \quad \frac{1}{\beta}=\frac{1}{2}, \quad \gamma=\frac{2\sqrt{c}}{m}=\frac{1}{2}, \quad p^2=\frac{(a-1)^2-4b}{m^2}=4.[/math]

Введем новую независимую переменную t и функцию и по формулам


[math]y={\left(\frac{t}{\gamma}\right)\!}^{-\alpha/beta}u= 2tu \quad (u=u(t)),[/math]
(45)

[math]x={\left(\frac{t}{\gamma}\right)\!}^{-1/beta}= \sqrt{2t} \quad,[/math]
(46)
тогда
[math]\frac{dy}{dx}= \frac{d(2ut)/dt}{dx/dt}= \sqrt{2t}\frac{d}{dt}(2tu)= 2\sqrt{2}\!\left(t^{3/2}\frac{du}{dt}+t^{1/2}u\right)\!.[/math]

Аналогично находим
[math]\frac{d^2y}{dx^2}= 4t^2\,\frac{d^2u}{dt^2}+10t\,\frac{du}{dt}+2u.[/math]

Подставив в (44) вместо [math]x,~y,~\frac{dy}{dx},~\frac{d^2y}{dx^2}[/math] их выражения через [math]t[/math] и [math]u[/math], получаем уравнение Бесселя


[math]t^2\,\frac{d^2u}{dt^2}+t\,\frac{du}{dt}+(t^2-4)u=0,[/math]

общее решение которого
[math]u(t)=C_1\,J_2(t)+C_2\,Y_2(t).[/math]

Переходя к переменным [math]x[/math] и [math]y[/math] по формулам [math]t=\frac{x^2}{2},~u=\frac{y}{x^2}[/math], которые получаются из (45) и (46), получаем общее решение данного уравнения


[math]y(x)= x^2\!\left[C_1\,J_2\!\left(\frac{x^2}{2}\right)+C_2\,Y_2\!\left(\frac{x^2}{2}\right)\right]\!.[/math]

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved