Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд

Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд.
Уравнение Бесселя


Точка x_0 называется обыкновенной точкой дифференциального уравнения


y''+p(x)y'+q(x)=0,
(21)

если коэффициенты p(x) и q(x) голоморфны в этой точке: в противном случае точка x_0 называется особой точкой дифференциального уравнения (21).


Ряд вида

x^{\rho} \sum_{k=0}^{\infty}c_kx^k \quad (c_0\ne0)
(22)

где \rho — заданное число, а степенной ряд \textstyle{\sum\limits_{k=0}^{\infty}c_kx^k} сходится в некоторой области |x|<R, называется обобщенным степенным рядом.


Если \rho есть целое неотрицательное число, то обобщенный степенной ряд (22) обращается в обычный степенной ряд.


Теорема. Если точка x=0 есть особая точка уравнения (21), коэффициенты p(x) и q(x) уравнения представимы в виде


p(x)=\frac{1}{x}\sum_{k=0}^{\infty}a_kx^k, \quad q(x)=\frac{1}{x^2}\sum_{k=0}^{\infty}b_kx^k.

где ряды в числителях сходятся в некоторой области |x|<R, а коэффициенты a_0,\,b_0 и b_1 не равны нулю одновременно, то уравнение (21) имеет хотя бы одно решение в виде обобщенного степенного ряда


y=x^{\rho}\sum_{k=0}^{\infty}c_kx^k \quad (c_0\ne0),
(22)

который сходится, по крайней мере, в той же области |x|<R.


Для определения показателя \rho и коэффициентов c_k нужно подставить ряд (22) в уравнение (21), сократить на x^{\rho} и приравнять нулю коэффициенты при всех степенях x (метод неопределенных коэффициентов).


При этом число \rho находится из так называемого определяющего уравнения


\rho(\rho-1)+a_0\rho+b_0=0,
(23)
где
a_0=\lim_{x\to0}xp(x), \quad b_0=\lim_{x\to0}x^2q(x).
(24)

Пусть \rho_1 и \rho_2 — корни определяющего уравнения (23). Будем различать три случая.


1. Если разность \rho_1-\rho_2 не равна целому числу или нулю, то можно построить два решения вида (22)


y_1=x^{\rho_1}\sum_{k=0}^{\infty}c_kx^k~(c_0\ne0), \quad y_2=x^{\rho_2}\sum_{k=0}^{\infty}A_kx^k~(A_0\ne0).

2. Если разность \rho_1-\rho_2 есть целое положительное число, то можно построить, вообще говоря, лишь один ряд (решение уравнения (21))


y_1=x^{\rho_1}\sum_{k=0}^{\infty}c_kx^k.
(25)

3. Если уравнение (23) имеет кратный корень \rho_1=\rho_2, то также, можно построить лишь один ряд — решение (25). Понятно, что в первом случае построенные решения y_1(x) и y_2(x) будут линейно независимы (т.е. их отношение не будет постоянной величиной).


Во втором и третьем случаях мы построили только по одному решению. Отметим, что если разность \rho_1-\rho_2 есть целое положительное число или ноль, то наряду с решением (25) уравнение (21) будет иметь решение вида


y_2= Ay_1(x)\ln{x}+x^{\rho_1}\sum_{k=0}^{\infty}A_kx^k.
(26)

В этом случае y_2(x) содержит добавочное слагаемое вида Ay_1(x)\ln{x}, где y_1(x) задается в виде (25).


Замечание. Постоянная A в (26) может оказаться равной нулю, и тогда для y_2 получим выражение в виде обобщенного степенного ряда.




Пример 4. Решить уравнение


2x^2y''+(3x-2x^2)y'-(x+1)y=0.
(27)

Решение. Перепишем (27) в виде


y''+\frac{3-2x^2}{2x^2}\,y'-\frac{x+1}{2x^2}\,y=0, или y''+\frac{3-2x}{2x}\,y'-\frac{x+1}{2x^2}\,y=0.

Решение y(x) будем искать в виде


y(x)=x^{\rho}\sum_{k=0}^{\infty}C_kx^k \quad (C_0\ne0).

Для нахождения \rho выпишем определяющее уравнение \rho(\rho-1)+a_0\rho+b_0=0, где


a_0=\lim_{x\to0}\frac{3-2x}{2}=\frac{3}{2}, \quad b_0=\lim_{x\to0}\frac{x+1}{-2}=-\frac{1}{2},
то есть
\rho(\rho-1)+\frac{3}{2}\rho-\frac{1}{2}=0, или \rho^2+\frac{1}{2}\rho-\frac{1}{2}=0, отсюда \rho_1=\frac{1}{2},~\rho_2=-1.

Согласно приведенному правилу, берем


y_1(x)= \sqrt{x}\sum_{k=0}^{\infty}C_kx^k~(x>0);\quad y_2(x)=\frac{1}{x}\sum_{k=0}^{\infty}Akx^k.

Для того, чтобы найти C_0,C_1,\ldots,C_n,\ldots, надо поставить y_1(x) и ее производные y'_1(x) и y''_1(x) в уравнение (27):


y_1(x)= \sum_{k=0}^{\infty}C_kx^{k+(1/2)},~ y'_1(x)= \sum_{k=0}^{\infty}\!\left(k+\frac{1}{2}\right)\!C_kx^{k-(1/2)},~ y''_1(x)= \sum_{k=0}^{\infty}\!\left(k^2-\frac{1}{4}\right)\!C_kx^{k-(3/2)}

Подстановка y'_1(x),\,y''_1(x),\,y''_1(x) в (27) дает


2x^2\sum_{k=0}^{\infty}\!\left(k^2-\frac{1}{4}\right)\!C_kx^{k-(3/2)}+ (3x-2x^2) \sum_{k=0}^{\infty}\!\left(k+\frac{1}{2}\right)\!C_kx^{k-(1/2)}- (x+1)\sum_{k=0}^{\infty}C_kx^{k+(1/2)}=0.
(28)

После преобразований (28) перепишется так:


\sum_{k=0}^{\infty}k(2k+3)C_kx^{k+(1/2)}- 2\sum_{k=0}^{\infty}(k+1)C_kx^{k+(3/2)}=0.
(29)

Так как ищется решение для x>0, то (29) можно сократить на x^{1/2}, что дает


\sum_{k=0}^{\infty}k(2k+3)C_kx^{k}- 2\sum_{k=0}^{\infty}(k+1)C_kx^{k+1}=0.
(30)

Отсюда находим соотношение для определения коэффициентов


\begin{array}{*{20}{c|l}} x^1& 1\cdot5C_1-2\cdot1C_0=0,\\ x^2& 2\cdot7C_2-2\cdot2C_1=0,\\ x^3& 3\cdot9C_3-2\cdot2C_2=0,\\ \cdots& \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots \\x^n& n(2n+3)C_n-2nC_{n-1}=0,\\ \cdots&\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots \end{array}
(31)

Полагая в первом уравнении соотношений (31) C_0=1, получим C_1=\frac{2}{5}. Из второго уравнения имеем C_2=\frac{2^2}{5\cdot7}. Из третьего C_3=\frac{2^3}{5\cdot7\cdot9} и т.д. Легко заметить, что


C_n= \frac{2^n}{5\cdot7\cdot9\ldots(2n+3)}, \quad n\in\mathbb{N},
итак,
y_1(x)=\sqrt{x}+\sqrt{x}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2^n}{5\cdot7\cdot9\ldots(2n+3)}\,.
(32)

Аналогично находим и коэффициенты A_k. Оказывается, что при A_0=1


A_1=1, \quad A_2=\frac{1}{2!}, \quad \ldots, A_k=\frac{1}{k!},
так что
y_2(x)=\frac{1}{x}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!}=\frac{e^x}{x}.
(33)

Обшее решение уравнения (27) y(x)=Ay_1(x)+By_2(x), где A и B — произвольные постоянные, а функции y_1(x) и y_2(x) задаются формулами (32) и (33).




Пример 5. Взаимодействие двух ядер с хорошим приближением можно описать с помощью потенциала мезонных сил V=\frac{Ae^{-\alpha x}}{x} (притяжению соответствует A<0). Найти в виде ряда решение волнового уравнения Шредингера


y''+k\!\left(E-\frac{Ae^{-\alpha x}}{x}\right)\!y=0,
(34)

где \alpha,\,A,\,E и k=\frac{2m}{h} — постоянные (ограничиться тремя ненулевыми коэффициентами ряда, отвечающего большому корню определяющего уравнения).


Решение. Ищем решение y(x) данного уравнения в виде обобщенного степенного ряда


y(x)=x^{\rho}\sum_{k=0}^{\infty}c_kx^k.

Коэффициенты A_0 и B_0 определяющего уравнения \rho(\rho-1)+A_0\rho+B_0=0 будут равны


\begin{aligned} A_0&= \lim_{x\to0}xp(x)=0 \quad (p(x)\equiv0),\\ B_0&= \lim_{x\to0}x^2q(x)= \lim_{x\to0}x^2k\!\left(E-\frac{Ae^{-\alpha x}}{x}\right)= \lim_{x\to0}(Ex^2-Axe^{-\alpha x})=0. \end{aligned}

так что оно принимает вид \rho(\rho-1)=0, откуда \rho_1=1,~\rho_2=0.


Обобщенный степенной ряд для случая \rho=1


y(x)= x\sum_{k=0}^{\infty}c_kx^x= c_0x+c_1x^2+c_2x^3+c_3x^4+\ldots\,;
(35)

тогда
\begin{aligned} y'&= c_0+2c_1x+3c_2x^2+4c_3x^3+\ldots\,;\\ y''&=2c_1+6c_2x+12c_3x^3+\ldots \end{aligned}

Кроме того, имеем


e^{-\alpha x}= 1-\alpha x+\frac{\alpha^2x^2}{2!}-\frac{\alpha^3x^3}{3!}+\frac{\alpha^4x^4}{4!}-\ldots

Подставляем в уравнение (14) ряды для y'',\,y и e^{-\alpha x}:


2c_1+6c_2x+12c_3x^3+\ldots+\left[kE-kA\!\left(\frac{1}{x}-\alpha+\frac{\alpha^2x}{2!}-\frac{\alpha^3x^2}{3!}+\ldots\right)\right]\!(c_0x+c_1x^2+c_2x^3+\ldots)=0.

Приравниваем нулю коэффициенты при степенях x:


\begin{array}{*{20}{c|l}} x^0& 2c_1-kAc_0=0,\\[3pt] x^1& 6c_0+(kE+\alpha)c_0-kAc_1=0,\\ \cdots& \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots \end{array}

Из полученных равенств последовательно находим


c_1=\frac{Ak}{2}\,c_0, \quad c_2=\frac{Akc_1-(kE+\alpha A)c_0}{6}
или
c_2= \frac{1}{6}\!\left(\frac{A^2k^2}{2}-kE-\alpha kA\right)\!c_0

Подставляя найденные значения коэффициентов в ряд (35), получаем


y(x)=c_0x\!\left[1+\frac{Ak}{2}\,x+\frac{1}{6}\!\left(\frac{A^2k^2}{2}-kE-\alpha kA\right)\!x^2+\ldots\right]\!,

где c_0 — произвольная постоянная.




Пример 6. Решить уравнение Бесселя (где p — заданная постоянная)


x^2y''+xy'+(x^2-p^2)y=0, \quad x>0,
(36)

Решение. Перепишем (36) в виде


y''+\frac{1}{x}\,y'+\frac{x^2-p^2}{x^2}\,y=0.
Здесь
p(x)=\frac{1}{x}, \quad q(x)=\frac{x^2-p^2}{x^2}\,,
так что
a_0= \lim_{x\to0}xp(x)=1, \quad b_0= \lim_{x\to0}x^2q(x)=-p^2

(см. формулы (24)). Определяющее уравнение для \rho:


\rho(\rho-1)+1\cdot\rho-\rho^2=0, или \rho^2-p^2=0, откуда \rho_1=p,~\rho_2=-p.

Первое частное решение Бесселя (36) ищем в виде обобщенного степенного ряда y=x^{\rho}\sum_{k=0}^{C_kx^k}. Подставляя y,~y' и y'' в уравнение (36), получаем


x^2\sum_{k=0}^{\infty}C_k(k+p)(k+p-1)x^{k+p-2}+ x\sum_{k=0}^{\infty}C_k(k+p)x^{k+p-1}+ (x^2-p^2)\sum_{k=0}^{\infty}C_kx^{k+p}=0,

или, после простых преобразований и сокращения на x^p,


\sum_{k=0}^{\infty}[(k+p)^2-p^2]C_kx^k+ \sum_{k=0}^{\infty}C_kx^{k+2}=0.

Отсюда, приравнивая нулю коэффициенты при всех степенях x, будем иметь:


\begin{array}{*{20}{c|l}} x^0& (p^2-p^2)C_0=0,\\ x^1& [(1+p)^2-p^2]C_1=0,\\ x^2& [(2+p)^2-p^2]C_2+C_0=0,\\ x^3& [(3+p)^2-p^2]C_3+C_1=0,\\ x^4& [(4+p)^2-p^2]C_4+C_2=0,\\ \cdots&\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\ x^k& [(k+p)^2-p^2]C_k+C_{k-2}=0,\\ \cdots& \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots \end{array}
(37)

Первое из соотношений (37) удовлетворяется при любом значении коэффициента C_0. Из второго соотношения (37) получаем C_1=0, из третьего


C_2= -\frac{C_0}{(2+p)^2-p^2}= -\frac{C_0}{2^2(1+p)}\,,

из четвертого C_3=0, из пятого


C_4= -\frac{C_2}{(4+p)^2-p^2}= \frac{C_0}{2^4(1+p)(2+p)\cdot1\cdot2}\,.

Очевидно, что все коэффициенты с нечетными индексами равны нулю: C_{2k-1},~k\in\mathbb{N}. Коэффициенты с четными индексами имеют вид:


C_{2k}= \frac{(-1)^kC_0}{2^{2k}(p+1)(p+2)\ldots(p+k)\cdot k!}, \quad k\in\mathbb{N}.

Для упрощения дальнейших выкладок примем


C_0=\frac{1}{2^p\Gamma(p+1)}\,,
(38)

где \Gamma(\nu) — гамма-функция Эйлера. Гамма-функция Эйлера \Gamma(\nu) определяется для всех положительных значений (а также для всех комплексных значений с положительной вещественной частью) следующим образом:


\Gamma(\nu)= \int\limits_{0}^{\infty}e^{-x}x^{\nu-1}\,dx\,.

Гамма-функция обладает следующими важными свойствами:


\begin{aligned} &\mathsf{1.}\quad \Gamma(\nu+1)=\nu\Gamma(\nu),\\ &\mathsf{2.}\quad \Gamma(1)=1. \end{aligned}

Если k — целое положительное число, то


\begin{aligned} &\mathsf{3.}\quad \Gamma(\nu+k+1)=(\nu+1)(\nu+2)\ldots(\nu+k)\Gamma(\nu+1),\\ &\mathsf{4.}\quad \Gamma(k+1)=k!. \end{aligned}

Пользуясь (38) и свойствами Г-функции, коэффициент C_{2k} запишем в виде


C_{2k}= \frac{(-1)^k}{2^{2k}(p+1)(p+2)\ldots(p+k)\cdot k!\cdot2^p\Gamma(p+1)}= \frac{(-1)^k}{2^{2k+p}\ldots k! \Gamma(p+k+1)}\,,

ибо (p+1)(p+2)\ldots(p+k)\Gamma(p+1), согласно свойству 3, равно \Gamma(p+k+1). Теперь частное решение уравнения Бесселя, которое мы будем в дальнейшем обозначать через J_p, принимает вид


J_p(x)= \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!\Gamma(p+k+1)}{\left(\frac{x}{2}\right)\!}^{2k+p}
(39)

Эту функцию принято называть Бесселевой функцией первого рода порядка p.


Второе частное решение уравнения Бесселя (36) ищем в виде


y=x^{-p}\sum_{k=0}^{\infty}C_kx^k,

где p — второй корень определяющего уравнения. Ясно, что это решение может быть получено из (39) путем замены p на -p, так как уравнение (36) содержит p в четной степени и не меняется при замене p на -p.


Итак,

J_{-p}(x)= \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!\Gamma(k+1-p)}{\left(\frac{x}{2}\right)\!}^{2k-p}

Эту функцию называют Бесселевой функцией первого рода порядка -p.


Если p не равно целому числу, то решения J_p(x) и J_{-p}(x) являются линейно независимыми, так как их разложения в ряды начинаются с различных степеней x и, следовательно, линейная комбинация \alpha_1J_p(x)+\alpha_2J_{-p}(x) может тождественно равняться нулю лишь при \alpha_1\alpha_2=0.


Если p есть целое число, то можно установить линейную зависимость функций J_{p}(x) и J_{-p}(x), а именно оказывается, что


J_{-p}(x)= (-1)^nJ_n(x), \quad n\in\mathbb{N}.

Итак, при целом p вместо J_{-p}(x) надо искать другое решение, которое было бы линейно независимо от J_p(x). Для этого введем новую функцию


Y_p(x)=\frac{J_p(x)\cos p\pi-J_{-p}(x)}{\sin p\pi}\,,
(40)

считая сначала, что p — нецелое число.


Очевидно, что так определенная функция Y_p(x) является решением уравнения (36) (в связи с тем, что она представляет линейную комбинацию частных решений J_p(x) и J_{-p}(x)).


Переходя к пределу в (40) при p, стремящемся к целому числу, получаем частное решение Y_p(x), линейно независимое от J_p(x) и определенное уже и для целых значений p.


Введенная здесь функция Y_p(x) называется бесселевой функцией второго рода порядка p. Таким образом, для всякого p, дробного или целого, мы построили фундаментальную систему решений уравнения Бесселя (36). Отсюда вытекает, что общее решение уравнения (36) может быть представлено в виде


y=A\,J_p(x)+B\,Y_p(x), где A и B — произвольные постоянные.

В случае, когда p не является целым числом, общее решение уравнения Бесселя можно брать в виде


y=C_1\,J_p(x)+C_2\,J_{-p}(x), где C_1 и C_2 — произвольные постоянные.



Замечание 1. Часто встречающееся уравнение


x^2y''+xy'+(k^2x^2-p^2)y=0,
(41)

где k — некоторая постоянная (k\ne0), приводится к уравнению Бесселя


\xi^2\frac{d^2y}{d\xi^2}+\xi\frac{dy}{d\xi}+(\xi^2-p^2)y=0
(42)

путем подстановки \xi=kx.


Общим решением уравнения (42) (при p, отличном от целого числа) будет


y=C_1\,J_p(\xi)+C_2\,J_{-p}(\xi),

а тогда общее решение уравнения (41) принимает вид


y=C_1\,J_p(kx)+C_2\,J_{-p}(kx),

При p целом y=C_1\,J_p(kx)+C_2\,Y_{-p}(kx).


Замечание 2. Обширный класс уравнений вида


x^2\frac{d^2y}{dx^2}+ax\frac{dy}{dx}+(b+cx^m)y=0,
(43)

где a,\,b,\,c,\,m — постоянные (c>0,\,m\ne0), приводится при помощи введения нового переменного t и новой функции u по формулам


y={\left(\frac{t}{\gamma}\right)\!}^{-\alpha/\beta}, \quad x={\left(\frac{t}{\gamma}\right)\!}^{-1/\beta}

к уравнению Бесселя


t^2\frac{d^2u}{dt^2}+t\frac{du}{dt}+(t^2-p^2)u=0,

где \alpha=\frac{a-1}{2},~\beta=\frac{m}{2},~\gamma=\frac{2\sqrt{c}}{m},~p^2=\frac{(a-1)^2-4b}{m^2}. При c=0 или m=0 уравнение (43) является уравнением Эйлера.




Пример 7. Привести уравнение


x^2\frac{d^2y}{dx^2}-3x\frac{dy}{dx}+(x^4-12)y=0
(44)

к уравнению Бесселя и найти его общее решение.


Решение. В нашем случае коэффициенты равны a=-3,~b=-12,~c=1,~m=4, поэтому


\alpha=\frac{a-1}{2}=-2, \quad \beta=\frac{m}{2}=2, \quad -\frac{\alpha}{\beta}=1, \quad \frac{1}{\beta}=\frac{1}{2}, \quad \gamma=\frac{2\sqrt{c}}{m}=\frac{1}{2}, \quad p^2=\frac{(a-1)^2-4b}{m^2}=4.

Введем новую независимую переменную t и функцию и по формулам


y={\left(\frac{t}{\gamma}\right)\!}^{-\alpha/\beta}u= 2tu \quad (u=u(t)),
(45)

x={\left(\frac{t}{\gamma}\right)\!}^{-1/beta}= \sqrt{2t} \quad,
(46)
тогда
\frac{dy}{dx}= \frac{d(2ut)/dt}{dx/dt}= \sqrt{2t}\frac{d}{dt}(2tu)= 2\sqrt{2}\!\left(t^{3/2}\frac{du}{dt}+t^{1/2}u\right)\!.

Аналогично находим


\frac{d^2y}{dx^2}= 4t^2\,\frac{d^2u}{dt^2}+10t\,\frac{du}{dt}+2u.

Подставив в (44) вместо x,~y,~\frac{dy}{dx},~\frac{d^2y}{dx^2} их выражения через t и u, получаем уравнение Бесселя


t^2\,\frac{d^2u}{dt^2}+t\,\frac{du}{dt}+(t^2-4)u=0, общее решение которого u(t)=C_1\,J_2(t)+C_2\,Y_2(t).

Переходя к переменным x и y по формулам t=\frac{x^2}{2},~u=\frac{y}{x^2}, которые получаются из (45) и (46), получаем общее решение данного уравнения


y(x)= x^2\!\left[C_1\,J_2\!\left(\frac{x^2}{2}\right)+C_2\,Y_2\!\left(\frac{x^2}{2}\right)\right]\!.
Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved