Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Равенство и подобие геометрических фигур

Равенство и подобие геометрических фигур


Равенство геометрических фигур


Понятие равенства геометрических фигур в зависимости от принятой системы аксиом вводится по-разному. Обычно, равенства отрезков или углов определяются по их мере: два отрезка (угла) называются равными, если они имеют равные длины (величины). Затем определяются равенства треугольников, многоугольников, многогранников. Наконец, вводится понятие движения, при помощи которого понятие равенства определяется единообразно для любых геометрических фигур. В некоторых системах понятие движения (наложения, перемещения) вводится аксиоматически.


Говорят, что на плоскости (или в пространстве) определено преобразование [math]f[/math], если для каждой точки [math]A[/math] плоскости (пространства) поставлена в соответствие единственная точка [math]f(A)[/math] той же плоскости (пространства). Если преобразование [math]f[/math] точке [math]A[/math] ставит в соответствие точку [math]A'[/math], т.е. [math]A'=f(A)[/math], то точка [math]A'[/math] называется образом точки [math]A[/math], а точка [math]A'[/math] – прообразом [math]A[/math].


Движением (ортогональным преобразованием) называется преобразование плоскости (пространства), сохраняющее расстояние между точками, т.е. для любых двух точек [math]A,B[/math] и их образов [math]A',B'[/math] имеет место равенство [math]AB=A'B'[/math] — расстояние между образами равно расстоянию между прообразами. Другими словами, длина отрезка является инвариантом для ортогонального преобразования. Слово "инвариант" имеет смысл "остающийся неизменным".


Определение равных фигур. Две фигуры [math]F[/math] и [math]F'[/math] называются равными, если существует движение, при котором фигура [math]F[/math] преобразуется в фигуру [math]F'[/math], т.е. каждой точке фигуры [math]F[/math] соответствует некоторая точка фигуры [math]F'[/math].




Подобие геометрических фигур


Подобием называется преобразование [math]f[/math] плоскости (пространства), при котором все расстояния между точками изменяются в одном и том же отношении [math]k>0[/math], т.е. для любых двух точек [math]A,B[/math] и их образов [math]A',B'[/math] имеет место равенство [math]A'B'=k\cdot AB[/math]. Число [math]k>0[/math] называется коэффициентом подобия.


Отношение длин отрезков является инвариантом для преобразования подобия. В самом деле, из определения следует, что


[math]\frac{A'B'}{C'D'}=\frac{k\cdot AB}{k\cdot CD}=\frac{AB}{CD}.[/math]

Определение подобных фигур. Две фигуры [math]F[/math] и [math]F'[/math] называются подобными, если существует преобразование подобия, при котором фигура [math]F[/math] преобразуется в фигуру [math]F'[/math], т.е. каждой точке фигуры [math]F[/math] соответствует некоторая точка фигуры [math]F'[/math].


Замечания В.2


1. Пусть на плоскости задана прямая [math]l[/math] и пересекающая ее прямая [math]m[/math]. Проекцией точки [math]A[/math] на прямую [math]l[/math] параллельно прямой [math]m[/math] (вдоль прямой [math]m[/math]) называется такая точка [math]A'[/math] прямой [math]l[/math], что прямая [math]AA'[/math] параллельна прямой [math]m[/math] (рис.В.2,а).


Проекцией отрезка [math]AB[/math] на прямую [math]l[/math] параллельно прямой [math]m[/math] является отрезок [math]A'B'[/math] (случай, когда отрезок [math]AB[/math] и прямая [math]m[/math] параллельны, не рассматривается). Отношение длин произвольных отрезков при этом преобразовании, разумеется, не сохраняется. Например, на рис.В.2,а равные отрезки ([math]AB=BC[/math]) имеют разные по длине проекции ([math]A'B'\ne B'C'[/math]), т.е. [math]\frac{AB}{BC}=\frac{A'B'}{B'C'}[/math]. Однако, по теореме Фалеса отношение длин отрезков, принадлежащих одной прямой, не изменяется при этом преобразовании. Например, [math]\frac{AB}{BC}=\frac{A'B'}{B'C'}[/math] (рис.В.2,б). Отношение [math]\frac{AB}{BC}[/math] для точек [math]A,B,C[/math], принадлежащих одной прямой (причем точка [math]B[/math] лежит между точками [math]A[/math] и [math]C[/math]), называется простым отношением. Как видим, простое отношение является инвариантом для преобразования проекции.


Проекция точки и отрезка вдоль прямой

2. Преобразования подобия и проекции относятся к так называемым аффинным преобразованиям, которые рассматриваются в разд.2.


3. В школьном курсе геометрии изучаются метрические и аффинные свойства фигур. К метрическим относятся такие свойства, которые не изменяются при ортогональных преобразованиях — преобразованиях, сохраняющих расстояния между точками, например, признаки равенства треугольников, теорема Пифагора, метрическое свойство параллелограмма, теоремы синусов и косинусов и др. К аффинным относятся свойства, которые сохраняются при преобразовании подобия (которое является частным случаем аффинного преобразования), например, признаки подобия треугольников, свойство биссектрисы треугольника, теорема Фалеса и др.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved