Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Ранг системы столбцов (строк)
ОглавлениеЛинейная алгебра

Ранг системы столбцов (строк)


Пусть дана система столбцов [math]A_1,A_2,\ldots,A_n[/math] размеров [math]m\times 1[/math]. Рангом системы столбцов называется максимальное число линейно независимых столбцов этой системы и обозначается [math]\operatorname{rg}(A_1,A_2,\ldots,A_n)[/math]. Максимальной линейно независимой подсистемой столбцов (или базой системы столбцов) называется линейно независимая подсистема, состоящая из [math]\operatorname{rg}(A_1,A_2,\ldots,A_n)[/math] столбцов. Максимальность здесь понимается в том смысле, что любое большее количество столбцов данной системы образует линейно зависимую подсистему.


Для нахождения максимальной линейно независимой подсистемы столбцов надо выполнить следующие действия.


1. Составить из данных столбцов матрицу [math]A=(A_1~A_2~\ldots~A_n)[/math] размеров [math]m\times n[/math].


2. Найти базисный минор этой матрицы.


3. Столбцы, в которых расположен базисный минор, образуют искомую подсистему (т.е. базу данной системы столбцов).


Замечания 3.6.


1. Ранг системы столбцов равен рангу матрицы, составленной из этих столбцов:


[math]\operatorname{rg}(A_1,A_2,\ldots,A_n)= \operatorname{rg}(A_1~A_2~\ldots~A_n)[/math]

2. У системы столбцов может быть несколько максимальных линейно независимых подсистем, но все они состоят из одинакового количества столбцов.


3. Столбцы, в которых расположен базисный минор матрицы [math]A=(A_1~A_2~\ldots~A_n)[/math], можно найти методом Гаусса. Для этого приводим матрицу [math]A[/math] к ступенчатому виду, используя только преобразования ее строк. В матрице ступенчатого вида выбираем базисный минор. Столбцы, в которых расположен базисный ми нор матрицы [math]A[/math], совпадают (по номерам) со столбцами, в которых расположен базисный минор матрицы ступенчатого вида (см. следствие 2 теоремы 3.4 о ранге матрицы).


4. Пусть дана система строк [math]A_1,A_2,\ldots,A_n[/math] размеров [math]1\times m[/math]. Рангом системы строк называется максимальное число линейно независимых строк этой системы. Для нахождения максимальной линейно независимой подсистемы строк нужно составить из этих строк матрицу и найти ее базисный минор (например, используя только элементарные преобразования ее столбцов). Строки, в которых расположен базисный минор, образуют искомую подсистему. Другим путем решения задачи является ее сведение к нахождению максимальной линейно независимой системы столбцов [math]A_1^T,A_2^T,\ldots,A_n^T[/math] (см. следствие 1 теоремы 3.4 о ранге матрицы).




Пример 3.9. Дана система столбцов


[math]A_1=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\!,\quad A_2=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\!,\quad A_3=\begin{pmatrix}3\\3\\3\end{pmatrix}\!,\quad A_4=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\!,\quad A_5=\begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix}\!.[/math]

Найти ранг системы и максимальную линейно независимую подсистему столбцов.

Решение. 1. Составляем из данных столбцов матрицу


[math]A=\begin{pmatrix}A_1&A_2&A_3&A_4&A_5\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0&1&2&1&3\\ 0&1&2&2&4\\ 0&1&2&3&5\end{pmatrix}\!.[/math]

2. Находим базисный минор этой матрицы. Для этого приводим ее к ступенчатому виду, преобразовывая только строки:


[math]A= \begin{pmatrix}0&1&2&1&3\\ 0&1&2&2&4\\ 0&1&2&3&5\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}0&1&2&1&3\\ 0&0&0&1&1\\ 0&0&0&2&2\end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix}0&1&2&1&3\\ 0&0&0&1&1\\ 0&0&0&0&0\end{pmatrix}\!.[/math]

Следовательно, [math]M_{{}_{2\,4}}^{{}^{1\,2}} =\begin{vmatrix} 1&1\\ 0&1\end{vmatrix}=1\ne0[/math] — базисный минор этой матрицы (один из них) и [math]\operatorname{rg}A=2[/math]. Второй и четвертый столбцы преобразованной матрицы линейно независимы. Так как преобразования выполнялись только над строками, то второй и четвертый столбцы исходной матрицы [math]A=\begin{pmatrix}A_1&A_2&A_3&A_4&A_5\end{pmatrix}[/math] также линейно независимы (см. следствие 2 теоремы 3.4). Поэтому ранг системы столбцов равен 2. Следовательно, [math]A_2,\,A_4[/math] — максимальная линейно независимая подсистема системы столбцов [math]A_1,A_2,A_3,A_4,A_5[/math]. В примере 3-3 были найдены и другие максимальные линейно независимые подсистемы, каждая из которых состоит из двух столбцов.




Пример 3.10. Дана система строк


[math]A_1=\begin{pmatrix}1&2&3\end{pmatrix}\!,\quad A_2=\begin{pmatrix}2&3&1\end{pmatrix}\!,\quad A_3=\begin{pmatrix}1&3&1\end{pmatrix}\!,\quad A_4=\begin{pmatrix}2&2&3\end{pmatrix}\!.[/math]

Найти ранг и максимальную линейно независимую подсистему строк.

Решение. 1. Составляем из данных строк матрицу


[math]A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\\1&3&1\\2&2&3\end{pmatrix}\!.[/math]

2. Преобразуем матрицу, используя элементарные преобразования ее столбцов:


[math]A= \begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\\1&3&1\\2&2&3\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&0&0\\2&-1&-5\\1&1&-2\\2&-2&-3\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&0&0\\2&-1&0\\1&1&-7\\2&-2&7\end{pmatrix}\!.[/math]

Хотя это не ступенчатый вид, нетрудно заметить, что минор [math]M_{{}_{1\,2\,3}}^{{}^{1\,2\,3}}= 7\ne0[/math] — базисный (один из них) и [math]\operatorname{rg}A=3[/math]. Поэтому ранг данной системы строк равен 3. Первые три строки преобразованной матрицы линейно независимы. Так как преобразовывались только столбцы матрицы, делаем вывод, что первые три строки исходной матрицы также линейно независимы. Поэтому [math]A_1,\,A_2,\,A_3[/math] — максимальная линейно независимая подсистема строк данной системы.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved