Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Ранг матрицы и базисный минор матрицы

Ранг матрицы и базисный минор матрицы


Пусть [math]A[/math] — матрица размеров [math]m\times n[/math], а [math]k[/math] — натуральное число, не превосходящее [math]m[/math] и [math]n[/math]: [math]k\leqslant\min\{m;n\}[/math]. Минором k-го порядка матрицы [math]A[/math] называется определитель матрицы k-го порядка, образованной элементами, стоящими на пересечении произвольно выбранных [math]k[/math] строк и [math]k[/math] столбцов матрицы [math]A[/math]. Обозначая миноры, номера выбранных строк будем указывать верхними индексами, а выбранных столбцов — нижними, располагая их по возрастанию.


Пример 3.4. Записать миноры разных порядков матрицы


[math]A=\begin{pmatrix}1&2&1&0\\ 0&2&2&3\\ 1&4&3&3\end{pmatrix}\!.[/math]

Решение. Матрица [math]A[/math] имеет размеры [math]3\times4[/math]. Она имеет: 12 миноров 1-го порядка, например, минор [math]M_{{}_2}^{{}_3}=\det(a_{32})=4[/math]; 18 миноров 2-го порядка, например, [math]M_{{}_{23}}^{{}^{12}}=\begin{vmatrix}2&1\\2&2\end{vmatrix}=2[/math]; 4 минора 3-го порядка, например,


[math]M_{{}_{134}}^{{}^{123}}= \begin{vmatrix}1&1&0\\0&2&3\\ 1&3&3 \end{vmatrix}=0.[/math]



В матрице [math]A[/math] размеров [math]m\times n[/math] минор r-го порядка называется базисным, если он отличен от нуля, а все миноры (r+1)-ro порядка равны нулю или их вообще не существует.


Рангом матрицы называется порядок базисного минора. В нулевой матрице базисного минора нет. Поэтому ранг нулевой матрицы, по определению полагают равным нулю. Ранг матрицы [math]A[/math] обозначается [math]\operatorname{rg}A[/math].


Пример 3.5. Найти все базисные миноры и ранг матрицы


[math]A=\begin{pmatrix}1&2&2&0\\0&2&2&3\\0&0&0&0\end{pmatrix}\!.[/math]

Решение. Все миноры третьего порядка данной матрицы равны нулю, так как у этих определителей третья строка нулевая. Поэтому базисным может быть только минор второго порядка, расположенный в первых двух строках матрицы. Перебирая 6 возможных миноров, отбираем отличные от нуля


[math]M_{{}_{12}}^{{}^{12}}= M_{{}_{13}}^{{}^{12}}= \begin{vmatrix}1&2\\0&2 \end{vmatrix}\!,\quad M_{{}_{24}}^{{}^{12}}= M_{{}_{34}}^{{}^{12}}= \begin{vmatrix}2&0\\2&3\end{vmatrix}\!,\quad M_{{}_{14}}^{{}^{12}}= \begin{vmatrix}1&0\\0&3\end{vmatrix}\!.[/math]

Каждый из этих пяти миноров является базисным. Следовательно, ранг матрицы равен 2.




Замечания 3.2


1. Если в матрице все миноры k-го порядка равны нулю, то равны нулю и миноры более высокого порядка. Действительно, раскладывая минор (k+1)-ro порядка по любой строке, получаем сумму произведений элементов этой строки на миноры k-го порядка, а они равны нулю.


2. Ранг матрицы равен наибольшему порядку отличного от нуля минора этой матрицы.


3. Если квадратная матрица невырожденная, то ее ранг равен ее порядку. Если квадратная матрица вырожденная, то ее ранг меньше ее порядка.


4. Для ранга применяются также обозначения [math]\operatorname{Rg}A,~ \operatorname{rang}A,~ \operatorname{rank}A[/math].


5. Ранг блочной матрицы определяется как ранг обычной (числовой) матрицы, т.е. не обращая внимания на ее блочную структуру. При этом ранг блочной матрицы не меньше рангов ее блоков: [math]\operatorname{rg}(A\mid B)\geqslant\operatorname{rg}A[/math] и [math]\operatorname{rg}(A\mid B)\geqslant\operatorname{rg}B[/math], поскольку все миноры матрицы [math]A[/math] (или [math]B[/math]) являются также минорами блочной матрицы [math](A\mid B)[/math].




Теоремы о базисном миноре и о ранге матрицы


Рассмотрим основные теоремы, выражающие свойства линейной зависимости и линейной независимости столбцов (строк) матрицы.


Теорема 3.1 о базисном миноре. В произвольной матрице [math]A[/math] каждый столбец {строка) является линейной комбинацией столбцов (строк), в которых расположен базисный минор.


Действительно, без ограничения общности предполагаем, что в матрице [math]A[/math] размеров [math]m\times n[/math] базисный минор расположен в первых [math]r[/math] строках и первых [math]r[/math] столбцах. Рассмотрим определитель


[math]D=\begin{vmatrix}~ a_{11}&\cdots&a_{1r}\!\!&\vline\!\!&a_{1k}~\\ ~\vdots&\ddots &\vdots\!\!&\vline\!\!&\vdots~\\ ~a_{r1}&\cdots&a_{rr}\!\!&\vline\!\!&a_{rk}~\\\hline ~a_{s1}&\cdots&a_{sr}\!\!&\vline\!\!&a_{sk}~\end{vmatrix},[/math]

который получен приписыванием к базисному минору матрицы [math]A[/math] соответствующих элементов s-й строки и k-го столбца. Отметим, что при любых [math]1\leqslant s\leqslant m[/math] и [math]1\leqslant k\leqslant n[/math] этот определитель равен нулю. Если [math]s\leqslant r[/math] или [math]k\leqslant r[/math], то определитель [math]D[/math] содержит две одинаковых строки или два одинаковых столбца. Если же [math]s>r[/math] и [math]k>r[/math], то определитель [math]D[/math] равен нулю, так как является минором (r+l)-ro порядка. Раскладывая определитель по последней строке, получаем


[math]a_{s1}\cdot D_{r+11}+\ldots+ a_{sr}\cdot D_{r+1r}+a_{sk}\cdot D_{r+1\,r+1}=0,[/math]

где [math]D_{r+1\,j}[/math] — алгебраические дополнения элементов последней строки. Заметим, что [math]D_{r+1\,r+1}\ne0[/math], так как это базисный минор. Поэтому


[math]a_{sk}=\lambda_1\cdot a_{s1}+\ldots+\lambda_r\cdot a_{sr}[/math], где [math]\lambda_j=-\frac{D_{r+1\,j}}{D_{r+1\,r+1}},~j=1,2,\ldots,r.[/math]

Записывая последнее равенство для [math]s=1,2,\ldots,m[/math], получаем

[math]\begin{pmatrix}a_{1k}\\\vdots\\a_{mk}\end{pmatrix}= \lambda_1\cdot\! \begin{pmatrix}a_{11}\\\vdots\\a_{m1}\end{pmatrix}+\ldots \lambda_r\cdot\! \begin{pmatrix}a_{1r}\\\vdots\\a_{mr}\end{pmatrix}\!.[/math]

т.е. [math]k[/math]-й столбец (при любом [math]1\leqslant k\leqslant n[/math]) есть линейная комбинация столбцов базисного минора, что и требовалось доказать.


Теорема о базисном миноре служит для доказательства следующих важных теорем.




Условие равенства нулю определителя


Теорема 3.2 (необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя). Для того чтобы определитель был равен нулю необходимо и достаточно, чтобы один из его столбцов {одна из его строк) был линейной комбинацией остальных столбцов (строк).


В самом деле, необходимость следует из теоремы о базисном миноре. Если определитель квадратной матрицы n-го порядка равен нулю, то ее ранг меньше [math]n[/math], т.е. хотя бы один столбец не входит в базисный минор. Тогда этот выбранный столбец по теореме 3.1 является линейной комбинацией столбцов, в которых расположен базисный минор. Добавляя, при необходимости, к этой комбинации другие столбцы с нулевыми коэффициентами, получаем, что выбранный столбец есть линейная комбинация остальных столбцов матрицы. Достаточность следует из свойств определителя. Если, например, последний столбец [math]A_n[/math] определителя [math]\det(A_1~A_2~\cdots~A_n)[/math] линейно выражается через остальные


[math]A_n=\lambda_1\cdot A_1+\lambda_2\cdot A_2+\ldots+\lambda_{n-1}\cdot A_{n-1},[/math]

то прибавляя к [math]A_n[/math] столбец [math]A_1[/math], умноженный на [math](-\lambda_1)[/math], затем столбец [math]A_2[/math], умноженный на [math](-\lambda_2)[/math], и т.д. столбец [math]A_{n-1}[/math], умноженный на [math](-\lambda_{n-1})[/math], получим определитель [math]\det(A_1~\cdots~A_{n-1}~o)[/math] с нулевым столбцом, который равен нулю (свойство 2 определителя).




Инвариантность ранга матрицы при элементарных преобразованиях


Теорема 3.3 (об инвариантности ранга при элементарных преобразованиях). При элементарных преобразованиях столбцов (строк) матрицы ее ранг не меняется.


Действительно, пусть [math]\operatorname{rg}A=r[/math]. Предположим, что в результате одного элементарного преобразования столбцов матрицы [math]A[/math] получили матрицу [math]A'[/math]. Если было выполнено преобразование I типа (перестановка двух столбцов), то любой минор (r+l)-ro порядка матрицы [math]A'[/math] либо равен соответствующему минору (r+l)-ro порядка матрицы [math]A[/math], либо отличается от него знаком (свойство 3 определителя). Если было выполнено преобразование II типа (умножение столбца на число [math]\lambda\ne0[/math]), то любой минор (г+l)-ro порядка матрицы [math]A'[/math] либо равен соответствующему минору (r+l)-ro порядка матрицы [math]A[/math], либо отличается от него множителем [math]\lambda\ne0[/math] (свойство 6 определителя). Если было выполнено преобразование III типа (прибавление к одному столбцу другого столбца, умноженного на число [math]\Lambda[/math]), то любой минор (г+1)-го порядка матрицы [math]A'[/math] либо равен соответствующему минору (г+1) -го порядка матрицы [math]A[/math] (свойство 9 определителя), либо равен сумме двух миноров (r+l)-ro порядка матрицы [math]A[/math] (свойство 8 определителя). Поэтому при элементарном преобразовании любого типа все миноры (r+l)-ro порядка матрицы [math]A'[/math] равны нулю, так как равны нулю все миноры (г+l)-ro порядка матрицы [math]A[/math]. Таким образом, доказано, что при элементарных преобразованиях столбцов ранг матрицы не может увеличиться. Так как преобразования, обратные к элементарным, являются элементарными, то ранг матрицы при элементарных преобразованиях столбцов не может и уменьшиться, т.е. не изменяется. Аналогично доказывается, что ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях строк.


Следствие 1. Если одна строка (столбец) матрицы является линейной комбинацией других ее строк (столбцов), то эту строку (столбец) можно вычеркнуть из матрицы, не изменив при этом ее ранга.


Действительно, такую строку при помощи элементарных преобразований можно сделать нулевой, а нулевая строка не может входить в базисный минор.


Следствие 2. Если матрица приведена к простейшему виду (1.7), то


[math]\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}\Lambda=r\,.[/math]

Действительно, матрица простейшего вида (1.7) имеет базисный минор r-го порядка.


Следствие 3. Любая невырожденная квадратная матрица является элементарной, другими словами, любая невырожденная квадратная матрица эквивалентна единичной матрице того же порядка.


Действительно, если [math]A[/math] — невырожденная квадратная матрица n-го порядка, то [math]\operatorname{rg}A=n[/math] (см. п.З замечаний 3.2). Поэтому, приводя элементарными преобразованиями матрицу [math]A[/math] к простейшему виду (1.7), получим единичную матрицу [math]\Lambda=E_n[/math], так как [math]\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}\Lambda=n[/math] (см. следствие 2). Следовательно, матрица [math]A[/math] эквивалентна единичной матрице [math]E_n[/math] и может быть получена из нее в результате конечного числа элементарных преобразований. Это означает, что матрица [math]A[/math] элементарная.




Теорема 3.4 (о ранге матрицы). Ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых строк этой матрицы.


В самом деле, пусть [math]\operatorname{rg}A=r[/math]. Тогда в матрице [math]A[/math] имеется [math]r[/math] линейно независимых строк. Это строки, в которых расположен базисный минор. Если бы они были линейно зависимы, то этот минор был бы равен нулю по теореме 3.2, а ранг матрицы [math]A[/math] не равнялся бы [math]r[/math]. Покажем, что [math]r[/math] — максимальное число линейно независимых строк, т.е. любые [math]p[/math] строк линейно зависимы при [math]p>r[/math]. Действительно, образуем из этих [math]p[/math] строк матрицу [math]B[/math]. Поскольку матрица [math]B[/math] — это часть матрицы [math]A[/math], то [math]\operatorname{rg}B\leqslant \operatorname{rg}A=r<p[/math]. Значит, хотя бы одна строка матрицы [math]B[/math] не входит в базисный минор этой матрицы. Тогда по теореме о базисном миноре она равна линейной комбинации строк, в которых расположен базисный минор. Следовательно, строки матрицы [math]B[/math] линейно зависимы. Таким образом, в матрице [math]A[/math] не более, чем [math]r[/math] линейно независимых строк.


Следствие 1. Максимальное число линейно независимых строк в матрице равно максимальному числу линейно независимых столбцов:


[math]\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^T.[/math]

Это утверждение вытекает из теоремы 3.4, если ее применить к строкам транспонированной матрицы и учесть, что при транспонировании миноры не изменяются (свойство 1 определителя).


Следствие 2. При элементарных преобразованиях строк матрицы линейная зависимость (или линейная независимость) любой системы столбцов этой матрицы сохраняется.


В самом деле, выберем любые [math]k[/math] столбцов данной матрицы [math]A[/math] и составим из них матрицу [math]B[/math]. Пусть в результате элементарных преобразований строк матрицы [math]A[/math] была получена матрица [math]A'[/math], а в результате тех же преобразований строк матрицы [math]B[/math] была получена матрица [math]B'[/math]. По теореме 3.3 [math]\operatorname{rg}B'=\operatorname{rg}B[/math]. Следовательно, если столбцы матрицы [math]B[/math] были линейно независимы, т.е. [math]k=\operatorname{rg}B[/math] (см. следствие 1), то и столбцы матрицы [math]B'[/math] также линейно независимы, так как [math]k=\operatorname{rg}B'[/math]. Если столбцы матрицы [math]B[/math] были линейно зависимы [math](k>\operatorname{rg}B)[/math], то и столбцы матрицы [math]B'[/math] также линейно зависимы [math](k>\operatorname{rg}B')[/math]. Следовательно, для любых столбцов матрицы [math]A[/math] линейная зависимость или линейная независимость сохраняется при элементарных преобразованиях строк.


Замечания 3.3


1. В силу следствия 1 теоремы 3.4 свойство столбцов, указанное в следствии 2, справедливо и для любой системы строк матрицы, если элементарные преобразования выполняются только над ее столбцами.


2. Следствие 3 теоремы 3.3 можно уточнить следующим образом: любую невырожденную квадратную матрицу, используя элементарные преобразования только ее строк (либо только ее столбцов), можно привести к единичной матрице того же порядка.


В самом деле, используя только элементарные преобразования строк, любую матрицу [math]A[/math] можно привести к упрощенному виду [math]\Lambda[/math] (рис. 1.5) (см. теорему 1.1). Поскольку матрица [math]A[/math] невырожденная [math](\det{A}\ne0)[/math], то ее столбцы линейно независимы. Значит, столбцы матрицы [math]\Lambda[/math] также линейно независимы (следствие 2 теоремы 3.4). Поэтому упрощенный вид [math]\Lambda[/math] невырожденной матрицы [math]A[/math] совпадает с ее простейшим видом (рис. 1.6) и представляет собой единичную матрицу [math]\Lambda=E[/math] (см. следствие 3 теоремы 3.3). Таким образом, преобразовывая только строки невырожденной матрицы, ее можно привести к единичной. Аналогичные рассуждения справедливы и для элементарных преобразований столбцов невырожденной матрицы.




Ранге произведения и суммы матриц


Теорема 3.5 (о ранге произведения матриц). Ранг произведения матриц не превышает ранга множителей:


[math]\operatorname{rg}(A\cdot B)\leqslant \min\{\operatorname{rg}A,\operatorname{rg}B\}.[/math]

В самом деле, пусть матрицы [math]A[/math] и [math]B[/math] имеют размеры [math]m\times p[/math] и [math]p\times n[/math]. Припишем к матрице [math]A[/math] матрицу [math]C=AB\colon\,(A\mid C)[/math]. Разумеется, что [math]\operatorname{rg}C\leqslant\operatorname{rg}(A\mid C)[/math], так как [math]C[/math] — это часть матрицы [math](A\mid C)[/math] (см. п.5 замечаний 3.2). Заметим, что каждый столбец [math]C_j[/math], согласно операции умножения матриц, является линейной комбинацией столбцов [math]A_1,A_2,\ldots,A_p[/math] матрицы [math]A=(A_1~\cdots~A_p):[/math]


[math]C_{j}=A_1\cdot b_{1j}+A_2\cdot b_{2j}+\ldots+A_{p}\cdot b_pj},\quad j=1,2,\ldots,n.[/math]

Такой столбец можно вычеркнуть из матрицы [math](A\mid C)[/math], при этом ее ранг не изменится (следствие 1 теоремы 3.3). Вычеркивая все столбцы матрицы [math]C[/math], получаем: [math]\operatorname{rg}(A\mid C)=\operatorname{rg}A[/math]. Отсюда, [math]\operatorname{rg}C\leqslant\operatorname{rg}(A\mid C)=\operatorname{rg}A[/math]. Аналогично можно доказать, что одновременно выполняется условие [math]\operatorname{rg}C\leqslant\operatorname{rg}B[/math], и сделать вывод о справедливости теоремы.


Следствие. Если [math]A[/math] невырожденная квадратная матрица, то [math]\operatorname{rg}(AB)= \operatorname{rg}B[/math] и [math]\operatorname{rg}(CA)=\operatorname{rg}C[/math], т.е. ранг матрицы не изменяется приумножении ее слева или справа на невырожденную квадратную матрицу.


Теорема 3.6 о ранге суммы матриц. Ранг суммы матриц не превышает суммы рангов слагаемых:


[math]\operatorname{rg}(A+B)\leqslant \operatorname{rg}A+\operatorname{rg}B.[/math]

Действительно, составим матрицу [math](A+B\mid A\mid B)[/math]. Заметим, что каждый столбец матрицы [math]A+B[/math] есть линейная комбинация столбцов матриц [math]A[/math] и [math]B[/math]. Поэтому [math]\operatorname{rg}(A+B\mid A\mid B)= \operatorname{rg}(A\mid B)[/math]. Учитывая, что количество линейно независимых столбцов в матрице [math](A\mid B)[/math] не превосходит [math]\operatorname{rg}A+\operatorname{rg}B[/math], a [math]\operatorname{rg}(A+B)\leqslant \operatorname{rg}(A+B\mid A\mid B)[/math] (см. п.5 замечаний 3.2), получаем доказываемое неравенство.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved