Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Псевдообратная матрица
ОглавлениеЛинейная алгебра

Псевдообратная матрица


Обратная матрица в отличие от полуобратной имеет в силу определения очевидные свойства:


[math]\begin{pmatrix}A\cdot A^{-1}\end{pmatrix}^{\ast}=A\cdot A^{-1},\qquad \begin{pmatrix}A^{-1}\cdot A\end{pmatrix}^{\ast}=A^{-1}\cdot A,[/math]

так как единичная матрица [math]E=AA^{-1}=A^{-1}A[/math], разумеется, эрмитова. В определении полуобратной матрицы имеется некоторый произвол (см. п.3 замечаний 4.6), которым можно воспользоваться так, чтобы полуобратная матрица обладала аналогичными свойствами.

Пусть [math]A[/math] — произвольная матрица размеров [math]m\times n[/math]. Полуобратная матрица [math]A^{\sim1}[/math] размеров [math]n\times m[/math] называется псевдообратной для матрицы [math]A[/math], если матрицы [math]AA^{\sim1}[/math] и [math]A^{\sim1}A[/math] эрмитовы, т.е. псевдообратная матрица [math]A^{\sim1}[/math] определяется четырьмя условиями


[math]AA^{\sim1}A=A;\qquad A^{\sim1}AA^{\sim1}=A^{\sim1};[/math]
(4.17)

[math]\begin{pmatrix}AA^{\sim1}\end{pmatrix}^{\ast}=AA^{\ast};\qquad \begin{pmatrix}A^{\sim1}A\end{pmatrix}^{\ast}=A^{\sim1}A.[/math]
(4.18)

Покажем, что псевдообратная матрица [math]A^{\sim1}[/math] существует для любой матрицы [math]A[/math]. Действительно, если [math]A=O[/math] — нулевая матрица размеров [math]m\times n[/math], то [math]A^{\sim1}=O^T[/math] — нулевая размеров [math]n\times m[/math], что следует из равенств (4.17).


Пусть матрица [math]A[/math] — ненулевая. Тогда матрица [math]A^{\sim1}[/math], удовлетворяющая равенствам (4.17), имеет вид (4.14):


[math]A^{\sim1}=T\cdot\! \begin{pmatrix}\dfrac{E_r}{U}\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}E_r\mid V\end{pmatrix}\!\cdot S.[/math]
(4.19)

Покажем, что выбором матриц [math]U[/math] и [math]V[/math] в формуле (4.19) можно получить матрицу, удовлетворяющую условиям (4.18). В самом деле, запишем скелетное разложение (4.10) матрицы [math]A:[/math]


[math]A=S^{-1}\Lambda T^{-1}= S^{-1}\! \begin{pmatrix}E_r\!\!&\vline\!\!&O\\\hline O\!\!&\vline\!\!&O\end{pmatrix}\!T^{-1}= S^{-1}\cdot\! \begin{pmatrix}\dfrac{E_r}{O} \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}E_r\mid O\end{pmatrix}\!\cdot T^{-1}.[/math]

Найдем произведение


[math]\begin{gathered}AA^{-1}= S^{-1}\cdot\!\begin{pmatrix} \dfrac{E_r}{O} \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}E_r\mid O\end{pmatrix}\!\cdot\underbrace{T^{-1}\cdot T}_{E_n}\cdot\! \begin{pmatrix}\dfrac{E_r}{U} \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}E_r\mid U\end{pmatrix}\!\cdot S=\\[2pt] =S^{-1}\cdot\! \begin{pmatrix}\dfrac{E_r}{O}\end{pmatrix}\!\cdot \underbrace{\begin{pmatrix}E_r\mid O\end{pmatrix}\!\cdot \begin{pmatrix}\dfrac{E_r}{U} \end{pmatrix}}_{E_r}\cdot\! \begin{pmatrix} E_r\mid V\end{pmatrix}\!\cdot S=S^{-1}\cdot\! \begin{pmatrix}\dfrac{E_r}{O} \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}E_r\mid V\end{pmatrix}\!\cdot S= S^{-1}\cdot\! \begin{pmatrix} E_r\!\!&\vline\!\!&V\\ \hline O\!\!&\vline\!\!& O\end{pmatrix}\!\cdot S.\end{gathered}[/math]

Подставим его в первое из равенств (4.18):

[math]\left[S^{-1}\cdot\! \begin{pmatrix}E_r\!\!&\vline\!\!&V\\ \hline O\!\!&\vline\!\!& O\end{pmatrix}\!\cdot S\right]^{\ast}= S^{-1}\cdot\! \begin{pmatrix}E_r\!\!&\vline\!\!&V\\ \hline O\!\!&\vline\!\!& O\end{pmatrix}\!\cdot S.[/math]

Используя свойства операции сопряжения, а также п. 1 замечаний 4.2, получаем

[math]S^{\ast}\cdot\! \begin{pmatrix} E_r\!\!&\vline\!\!&O\\ \hline V^{\ast}\!\!&\vline\!\!& O \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}S^{-1}\end{pmatrix}^{\ast}= S^{-1}\cdot\! \begin{pmatrix} E_r\!\!&\vline\!\!&V\\ \hline O\!\!&\vline\!\!& O \end{pmatrix}\!\cdot S.[/math]

Умножая обе части равенства на матрицу [math]S[/math] слева и на матрицу [math]S^{\ast}[/math] справа, приходим к равенству

[math]\begin{pmatrix}SS^{\ast}\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix} E_r\!\!&\vline\!\!&O\\ \hline V^{\ast}\!\!&\vline\!\!& O \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} E_r\!\!&\vline\!\!&V\\ \hline O\!\!&\vline\!\!& O \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}SS^{\ast}\end{pmatrix}\!.[/math]

Подставим в это равенство матрицу [math]SS^{\ast}[/math], предварительно разбив ее на блоки [math]SS^{\ast}=\begin{pmatrix} S_1\!\!&\vline\!\!&S_2\\ \hline S_3\!\!&\vline\!\!& S_4 \end{pmatrix}[/math] квадратными матрицами [math]S_1[/math] и [math]S_4[/math] порядков [math]r[/math] и [math](m-r)[/math] и прямоугольными матрицами [math]S_2[/math] и [math]S_2[/math] размеров [math]r\times(m-r)[/math] и [math](m-r)\times r[/math] соответственно. Выполняя умножение блочных матриц, получаем


[math]\begin{gathered} \begin{pmatrix} S_1\!\!&\vline\!\!&S_2\\ \hline S_3\!\!&\vline\!\!& S_4\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix} E_r\!\!&\vline\!\!&O\\ \hline V^{\ast}\!\!&\vline\!\!& O\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} S_1+S_2V^{\ast}\!\!&\vline\!\!&O\\ \hline S_3+S_4V^{\ast}\!\!&\vline\!\!& O\end{pmatrix}\!,\\[2pt] \begin{pmatrix} E_r\!\!&\vline\!\!&V\\ \hline O\!\!&\vline\!\!& O\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix} S_1\!\!&\vline\!\!&S_2\\ \hline S_3\!\!&\vline\!\!& S_4\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} S_1+VS_3\!\!&\vline\!\!&S_2+VS_4\\ \hline O\!\!&\vline\!\!& O\end{pmatrix}\!.\end{gathered}[/math]

Равенство полученных блочных матриц обеспечивается условием


[math]V=-S_2S_{4}^{-1}[/math], поскольку [math]S_3=S_2^{\ast},~S_1=S_1^{\ast},~ S_4=S_4^{\ast}[/math]

в силу эрмитовости матрицы [math]SS^{\ast}[/math], а [math]\begin{pmatrix}S_4^{-1}\end{pmatrix}^{\ast}= \begin{pmatrix}S_4^{\ast}\end{pmatrix}^{-1}[/math].


Аналогичным образом можно показать, что второе из равенств (4.18) выполняется, если положить


[math]U=-T_4^{-1}T_3,[/math]

где [math]T_3,T_4[/math] — блоки размеров [math](n-r)\times r[/math] и [math](n-r)\times(n-r)[/math] матрицы [math]T^{\ast}T=\begin{pmatrix} T_1\!\!&\vline\!\!&T_2\\ \hline T_3\!\!&\vline\!\!& T_4\end{pmatrix}[/math].


Таким образом, для любой матрицы существует псевдообратная матрица и притом только одна.




Замечания 4.7


1. Если матрица [math]A[/math] обратимая, то обратная матрица [math]A^{-1}[/math], как следует из п. 1 замечаний 4.6, совпадает с псевдообратной, т.е. [math]A^{-1}=A^{\sim1}[/math].


2. Из невырожденности матриц [math]S[/math] и [math]T[/math] следует, что при любом раз биении эрмитовых матриц


[math]SS^{\ast}=\begin{pmatrix} S_1\!\!&\vline\!\!&S_2\\ \hline S_3\!\!&\vline\!\!& S_4\end{pmatrix}!.,\qquad T^{\ast}T=\begin{pmatrix} T_1\!\!&\vline\!\!&T_2\\ \hline T_3\!\!&\vline\!\!& T_4\end{pmatrix}\!.[/math]

на квадратные блоки [math]S_1,\,S_4,\,T_1,\,T_4[/math], существуют обратные матрицы [math]S_1^{-1},\,S_4^{-1},\,T_1^{-1},\,T_4^{-1}[/math].


3. Имеются другие определения псевдообратной матрицы, равносильные приведенному выше. Например,


[math]A^{\sim1}= \lim_{\varepsilon\to0}\Bigl(A^{\ast}A+\varepsilon^2\cdot E\Bigr)^{-1}A^{\ast}= \lim_{\varepsilon\to0}A^{\ast}\Bigl(A^{\ast}A+\varepsilon^2\cdot E\Bigr)^{-1}.[/math]

4. В общем случае произведение псевдообратных матриц некоммутативно [math](AB)^{\sim1}\ne B^{\sim1}\cdot A^{\sim1}[/math].




Свойства псевдообратной матрицы


Операция псевдообращения матриц обладает следующими свойствами:


[math]\begin{aligned} \bold{1.}&~~ (A^{\sim1})^{\sim1}=A;\\[2pt] \bold{2.}&~~ (A^{\ast})^{\sim1}=(A^{\sim1})^{\ast};\\[2pt] \bold{3.}&~~ A^{\sim1}=(A^{\ast}A)^{\sim1}A^{\ast}=A^{\ast}(AA^{\ast})^{\sim1};\\[2pt] \bold{4.}&~~ (AA^{\sim1})^2=AA^{\sim1};\\[2pt] \bold{5.}&~~ (A^{\sim1}A)^2=A^{\sim1}A. \end{aligned}[/math]


Эти свойства доказываются по определению (4.17), (4.18). Докажем, например, свойство 3 (первое равенство). По определению псевдообратной матрицы имеем:


[math]\Bigl[(A^{\ast}A)^{\sim1}A^{\ast}\Bigr]\cdot A\cdot\Bigl[(A^{\ast}A)^{\sim1}A^{\ast}\Bigr]= (A^{\ast}A)^{\sim1}\cdot(A^{\ast}A)\cdot(A^{\ast}A)^{\sim1}A^{\ast}= (A^{\ast}A)^{\sim1}A^{\ast}.[/math]

Следовательно, [math]A=\bigl[(A^{\ast}A)^{\sim1}A^{\ast}\bigr]^{\sim1}[/math]. Тогда по свойству 1: [math]A^{\sim1}=(A^{\ast}A)^{\sim1}A^{\ast}[/math].




Способы нахождения псевдообратной матрицы


Пусть дана ненулевая матрица [math]A[/math] размеров [math]m\times n[/math]. Требуется найти псевдообратную матрицу [math]A^{\sim1}[/math].


Первый способ. Для нахождения псевдообратной матрицы (4.19) нужно выполнить следующие действия.


1. Составить блочную матрицу [math]\begin{pmatrix}A\!\!&\vline\!\!&E_m\\\hline E_n\!\!&\vline\!\!&{} \end{pmatrix}[/math], приписывая к матрице [math]A[/math] слева и снизу единичные матрицы соответствующих размеров. Правый нижний блок этой матрицы может быть произвольным, так как не участвует в дальнейших преобразованиях.


2. Элементарными преобразованиями над первыми [math]m[/math] строками и первыми [math]n[/math] столбцами привести блочную матрицу к виду [math]\begin{pmatrix}\Lambda\!\!& \vline\!\!&S\\\hline T\!\!&\vline\!\!&{}\end{pmatrix}[/math], где [math]\Lambda[/math] — матрица размеров [math]m\times n[/math] простейшего вида (4.8), т.е. [math]\Lambda=\begin{pmatrix} E_r\!\!&\vline\!\!&O\\\hline O\!\!&\vline\!\!&O\end{pmatrix}[/math], в которой [math]E_r[/math] — единичная матрица r-го порядка [math](1\leqslant r\leqslant\min\{m;n\})[/math], [math]O[/math] — нулевые матрицы соответствующих размеров.


3. Найти произведения [math]SS^{\ast},\,T^{\ast}T[/math] и представить их в виде блочных матриц


[math]SS^{\ast}=\begin{pmatrix}S_1\!\!&\vline\!\!&S_2\\\hline S_3\!\!&\vline\!\!&S_4\end{pmatrix}\!,\quad T^{\ast}T=\begin{pmatrix}T_1\!\!&\vline\!\!&T_2\\\hline T_3\!\!&\vline\!\!&T_4\end{pmatrix}\!,[/math]
(4.20)

выделяя блоки [math]S_2,\,S_4,\,T_3,\,T_4[/math] размеров [math]r\times(m-r),\,(m-r)\times(m-r),\,(n-r)\times r,\,(n-r)\times(n-r)[/math] соответственно.


4. Вычислить матрицы [math]U=-T_4^{-1}T_3,~V=-S_2S_4^{-1}.[/math].


5. Получить псевдообратную матрицу


[math]A^{\sim1}=T\cdot\! \begin{pmatrix}\dfrac{E_r}{U}\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}E_r\mid V\end{pmatrix}\!\cdot S.[/math]
(4.21)

Замечание 4.8. Если [math]r=m[/math] или [math]r=n[/math] в (4.20) будут отсутствовать блоки [math]S_2,\,S_4[/math] или [math]T_3,\,T_4[/math], так как в формуле (4.21) будут отсутствовать блоки [math]V[/math] или [math]U[/math] соответственно (см. п.5 замечаний 4.6). В частных случаях, когда строки матрицы [math]A[/math] линейно независимы [math](r=m)[/math] или столбцы матрицы [math]A[/math] линейно независимы [math](r=n)[/math], псевдообратную матрицу [math]A^{\sim1}[/math] можно найти проще, чем описанным выше способом (см. далее частные случаи нахождения псевдообратной матрицы).


Второй способ. Для нахождения псевдообратной матрицы используем скелетное разложение (4.10).


1, 2. Выполнить два первых пункта, указанных в первом способе. Получим матрицы [math]S,\,T[/math] и [math]\Lambda[/math], удовлетворяющие условию


[math]\Lambda=S\cdot A\cdot T,[/math]

где [math]S,\,T[/math] — элементарные преобразующие матрицы порядков тип соответственно; [math]\Lambda=\begin{pmatrix}E_r\!\!&\vline\!\!&O\\\hline O\!\!&\vline\!\!&O\end{pmatrix}[/math] — матрица простейшего вида; [math]E_r[/math] — единичная r-го порядка [math](1\leqslant r\leqslant \min\{m;n\})[/math], [math]O[/math] — нулевые матрицы соответствующих размеров.


3. Найти обратные матрицы [math]S^{-1}[/math] и [math]T^{-1}[/math].


4. Записать матрицы [math]B=S^{-1}\cdot\! \begin{pmatrix}\dfrac{E_r}{O}\end{pmatrix}[/math] и [math]C=\begin{pmatrix}E_r\mid O\end{pmatrix}\!\cdot T^{-1}[/math]. Матрица В составлена из первых [math]r[/math] столбцов матрицы [math]S^{-1}[/math], а матрица [math]C[/math] — из первых [math]r[/math] строк матрицы [math]T^{-1}[/math].


5. Получить псевдообратную матрицу по формуле


[math]A^{\sim1}=C^{\ast}\cdot(CC^{\ast})^{-1}\cdot(B^{\ast}B)^{-1}\cdot B^{\ast}.[/math]
(4.22)

Докажем, что второй способ дает ту же псевдообратную матрицу, что и первый. В самом деле, имея в виду скелетное разложение матицы [math]A:[/math]


[math]A=BC;\quad B=S^{-1}\cdot\! \begin{pmatrix}\dfrac{E_r}{O}\end{pmatrix}\!,\quad C=\begin{pmatrix}E_e\mid O\end{pmatrix}\!\cdot T^{-1},[/math]
найдем произведение
[math]\begin{gathered}\begin{pmatrix}B^{\ast}B\end{pmatrix}^{-1}\cdot B^{\ast}\cdot S^{-1}= \left[\begin{pmatrix}E_r&\mid O\end{pmatrix}\!\cdot(S^{-1})^{\ast}\cdot S^{-1}\cdot\! \begin{pmatrix} \dfrac{E_r}{O}\end{pmatrix}\right]^{-1}\cdot\! \begin{pmatrix}E_r\mid O\end{pmatrix} \!\cdot (S^{-1})^{\ast}\cdot S^{-1}=\\[2pt] =\left[\begin{pmatrix}E_r\mid O\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix} SS^{\ast}\end{pmatrix}^{-1}\!\cdot\! \begin{pmatrix} \dfrac{E_r}{O}\end{pmatrix} \right]^{-1}\cdot\! \begin{pmatrix}E_r\mid O\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix} SS^{\ast}\end{pmatrix}^{-1} \end{gathered}[/math]

Обращая блочную матрицу [math]SS^{\ast}=\begin{pmatrix}S_1\!\!&\vline\!\!&S_2\\\hline S_3\!\!&\vline\!\!&S_4\end{pmatrix}[/math] по формуле Фробениуса (4.4), имеем


[math]\begin{pmatrix} S_1\!\!&\vline\!\!&S_2\\\hline S_3\!\!&\vline\!\!&S_4\end{pmatrix}^{-1}= \begin{pmatrix} M\!\!&\vline\!\!&-MS_2S_4^{-1}\\\hline -S_4^{-1}S_3M\!\!& \vline\!\!&N \end{pmatrix}\!,[/math]

где [math]M=\begin{pmatrix}S_1-S_2S_4^{-1}S_3\end{pmatrix}^{-1},~ N=\begin{pmatrix}S_4-S_3S_1^{-1}S_2\end{pmatrix}^{-1}[/math]. Подставляя [math](SS^{\ast})^{-1}[/math] и няя умножение блочных матриц в квадратных скобках, имеем


[math]\begin{gathered}\begin{pmatrix} B^{\ast}B\end{pmatrix}^{-1}\cdot B^{\ast}\cdot S^{-1}=M^{-1}\cdot\! \begin{pmatrix}E_r\mid O\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix} M\!\!&\vline\!\!&-MS_2S_4^{-1}\\\hline -S_4^{-1}S_3M\!\!&\vline\!\!&N\end{pmatrix}=\\[2pt] M^{-1}\cdot\! \begin{pmatrix}M\mid -MS_2S_4^{-1}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}E_r\mid -S_2S_4^{-1}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}E_r\mid V\end{pmatrix}\!.\end{gathered}[/math]

Таким образом, [math]\begin{pmatrix}E_r\mid V\end{pmatrix}\!S[/math], где [math]V=-S_2S_4^{-1}[/math].


Аналогично показывается, что [math]T\cdot\! \begin{pmatrix}\dfrac{E_r}{U}\end{pmatrix}= C^{\ast}(CC^{\ast})^{-1}[/math] для [math]U=-T_4^{-1}T_3[/math]. Поэтому формулы (4.22) и (4.21) дают одну и ту же псевдообратную матрицу.




Пример 4.11. Для матрицы [math]A=\begin{pmatrix}1&-1&2&0\\-1&2&-3&1\\ 0&1&-1&1 \end{pmatrix}[/math] найти псевдообратную.


Решение. Первый способ. 1, 2. Первые два пункта алгоритма выполнены при решении примера 1.38, где получены матрицы


[math]\Lambda=\begin{pmatrix}1&0\!\!&\vline\!\!&0&0\\ 0&1\!\!&\vline\!\!&0&0\\\hline 0&0\!\!&\vline\!\!&0&0\end{pmatrix}\!,\quad S=\begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&0\\-1&-1&1 \end{pmatrix}\!,\quad T=\begin{pmatrix}1&1&-1&-1\\ 0&1&1&-1\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix}\!,[/math]

удовлетворяющие равенству [math]\Lambda=SAT[/math]. Следовательно, [math]r=\operatorname{rg}A= \operatorname{rg}\Lambda=2[/math].


3. Найдем произведения


[math]\begin{gathered}SS^{\ast}= \begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&0\\-1&-1&1\end{pmatrix} \!\cdot\! \begin{pmatrix}1&1&-1\\0&1&-1\\ 0&0&1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&1\!\!&\vline\!\!&-1\\ 1&2\!\!&\vline\!\!&-2\\\hline -1&-2\!\!&\vline\!\!&3\end{pmatrix}\!;\\[5pt] TT^{\ast}= \begin{pmatrix}1&0&0&0\\1&1&0&0\\-1&1&1&0\\-1&-1&0&1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&1&-1&-1\\ 0&1&1&-1\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1&1\!\!&\vline\!\!&-1&-1\\ 1&2\!\!&\vline\!\!&0&-2\\\hline -1&0\!\!&\vline\!\!&3&0\\ -1&-2\!\!&\vline\!\!&0&3 \end{pmatrix}\end{gathered}[/math]

Следовательно, [math]S_2=\begin{pmatrix}-1\\-2\end{pmatrix}\!,~S_4=(3),~T_3=\begin{pmatrix}-1&0\\ -1&-2\end{pmatrix}\!,~T_4=\begin{pmatrix}3&0\\0&3\end{pmatrix}[/math]

.

4. Находим произведения


[math]\begin{gathered}U=-T_4^{-1}T_3= -\frac{1}{9}\! \begin{pmatrix} 3&0\\0&3\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}-1&0\\ -1&-2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1/3&0\\1/3&2/3\end{pmatrix}\!,\\[5pt] V=-S_2S_4^{-1}=-\begin{pmatrix}-1\\-2\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1/3\\2/3\end{pmatrix}\!. \end{gathered}[/math]

5. По формуле (4.21) получим псевдообратную матрицу


[math]\begin{aligned}A^{-1}&= T\cdot\! \begin{pmatrix}\dfrac{E_r}{U}\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}E_r\mid V\end{pmatrix}\!\cdot S= \begin{pmatrix}1&1&-1&-1\\ 0&1&1&-1\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\hline 1/3&0\\1/3& 2/3 \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&0\!\!&\vline\!\!&1/3\\ 0&1\!\!&\vline\!\!&2/3 \end{pmatrix} \!\cdot\! \begin{pmatrix} 1&0&0\\1&1&0\\ -1&-1&1\end{pmatrix}=\\[2pt] &=\begin{pmatrix} 1/3&1/3\\ 0&1/3\\1/3&0\\1/3&2/3\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}2/3&-1/3&1/3\\ 1/3&1/3&2/3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1/3&0&1/3\\ 1/9&1/9&2/9\\1/9&1/9&2/9\\2/9&-1/9&1/9\\ 4/9&1/9&5/9 \end{pmatrix}\!.\end{aligned}[/math]

Псевдообратная матрица найдена.


Второй способ. 1, 2. Первые два пункта алгоритма выполнены при решении примера 1.38.


3. Найдем обратные матрицы


[math]S^{-1}=\begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&0\\-1&-1&0\\-1&-1&1\end{pmatrix}^{-1}= \begin{pmatrix}1&0&0\\-1&1&0\\0&1&1\end{pmatrix}\!;\quad T^{-1}=\begin{pmatrix}1&1&-1&-1\\0&1&1&-1\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}^{-1}= \begin{pmatrix}1&-1&2&0\\ 0&1&-1&1\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\end{pmatrix}\!.[/math]

4. Запишем матрицы

[math]\begin{gathered}B=S^{-1}\cdot\! \begin{pmatrix}\dfrac{E_r}{O}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&0&0\\-1&1&0\\ 0&1&1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\hline 0&0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&0\\-1&1\\0&1\end{pmatrix}\!,\\[2pt] C=\begin{pmatrix}E_r\mid O\end{pmatrix}\!\cdot T^{-1}= \begin{pmatrix}1&0\!\!&\vline\!\!&0&0\\ 0&1\!\!&\vline\!\!&0&0 \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&-1&2&0\\0&1&-1&1\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&-1&2&0\\0&1&-1&1\end{pmatrix}\!.\end{gathered}[/math]

5. Псевдообратную матрицу получим по формуле (4.22). Для этого сначала найдем произведения и обратные матрицы


[math]\begin{gathered}B^{\ast}B&= \begin{pmatrix}1&-1&0\\0&1&1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&0\\-1&1\\0&1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}2&-1\\-1&2\end{pmatrix}\!,\quad \begin{pmatrix}B^{\ast}B\end{pmatrix}^{-1}= \frac{1}{3}\! \begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}2/3&1/3\\1/3&2/3\end{pmatrix}\!;\\[5pt] CC^{\ast}= \begin{pmatrix}1&-1&2&0\\0&1&-1&1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&0\\-1&1\\2&-1\\0&1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}6&-3\\-3&3\end{pmatrix}\!,\quad \begin{pmatrix}CC^{\ast}\end{pmatrix}^{-1}= \frac{1}{9}\! \begin{pmatrix} 3&3\\3&6\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1/3&1/3\\1/3&2/3\end{pmatrix}\!, \end{gathered}[/math]
а затем псевдообратную матрицу
[math]\begin{gathered}A^{-1}= C^{\ast}\begin{pmatrix}CC^{\ast}\end{pmatrix}^{-1}\!\begin{pmatrix}B^{\ast}B\end{pmatrix}^{-1}B^{\ast}= \begin{pmatrix}1&0\\-1&1\\2&-1\\0&1\end{pmatrix}\!\! \begin{pmatrix}1/3&1/3\\1/3&2/3\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix} 2/3&1/3\\1/3&2/3 \end{pmatrix}\!\! \begin{pmatrix}1&-1&0\\0&1&1\end{pmatrix}=\\[2pt] = \begin{pmatrix}1/3&1/3\\0&1/3\\1/3&0\\1/3&2/3\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}2/3&-1/3&1/3\\ 1/3&1/3&2/3\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1/3&0&1/3\\ 1/9&1/9&2/9\\ 2/9&-1/9&1/9\\ 4/9&1/9& 5/9\end{pmatrix}\!,\end{gathered}[/math]

что совпадает с полученным ранее результатом.



Третий способ. Для последовательного нахождения строк псевдообратной матрицы используется метод Гревилля.


Пусть [math]a_k[/math] — k-й столбец матрицы [math]A\,(1\leqslant k\leqslant n)[/math]; [math]A_k[/math] — матрица, образованная первыми к столбцами матрицы [math]A[/math] [math](A_1=a_1,~A_n=A)[/math]; [math]A_k^{-1}[/math] — соответствующие псевдообратные матрицы [math](k=1,2,\ldots,n)[/math]; [math]b_k[/math] — последняя строка в матрице [math]A_k^{-1}[/math] [math]( k=1,2,\ldots,n)[/math]; [math]o[/math] — как и ранее, нулевой столбец.


1. Положить [math]k=1[/math]. Если [math]a_1\ne o[/math], найти [math]A_1^{-1}=a_1^{-1}=\frac{1}{a_1^{\ast}a_1}\cdot a_1^{\ast}[/math]. Если [math]a_1=o[/math], то [math]A_1^{-1}=o^T[/math].


2. Положить [math]k=k+1[/math]. Найти:


а) [math]d_k=A_{k-1}^{-1}\cdot a_k[/math];


б) [math]c_k= a_k-A_{k-1}d_k[/math];


в) если [math]c_k\ne o[/math],то [math]b_k=c_k^{-1}=(c_k^{\ast}c_k)^{-1}c_k^{\ast}[/math]; если [math]c_k=o[/math],то [math]b_k=(1+d_k^{\ast}d_k)^{-1}d_k^{\ast}A_{k-1}^{-1}[/math];


г) [math]B_k=A_{k-1}^{-1}-d_kb_k[/math];


д) [math]A_k^{-1}=\begin{pmatrix}\dfrac{B_k}{b_k}\end{pmatrix}[/math].


3. Если [math]k=n[/math], процесс завершить: [math]A^{-1}=A_k^{-1}[/math]. Иначе перейти к п.2.




Пример 4.12. Для матрицы [math]A=\begin{pmatrix}1&-1&0\\-1&2&1\\ 2&-3&-1\\0&-1&1 \end{pmatrix}[/math] найти псевдообратную методом Гревилля.


Решение. Так как данная матрица действительная, операция сопряжения совпадает с операцией транспонирования.


1. Положим [math]k=1[/math]. Так как первый столбец [math]a_1=\begin{pmatrix}1&-1&2&0 \end{pmatrix}^T[/math] ненулевой, то


[math]A_1^{-1}= \frac{1}{a_1^Ta_1}\cdot a_1^T= \frac{1}{6}\cdot \begin{pmatrix}1&-1&2&0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\dfrac{1}{6}&-\dfrac{1}{6}&\dfrac{1}{3}&0 \end{pmatrix}\!.[/math]

2. Положим [math]k=k+1=2[/math].


a) [math]d_2=A_1^{-1}\cdot a_2= \begin{pmatrix}\dfrac{1}{6}&-\dfrac{1}{6}&\dfrac{1}{3}&0 \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}-1\\2\\-3\\1\end{pmatrix}= -\frac{3}{2}.[/math];


б) [math]c_2=a_2-A_1d_2= \begin{pmatrix}-1\\2\\-3\\1\end{pmatrix}- \begin{pmatrix}1\\-1\\ 2\\0 \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}-\dfrac{3}{2}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1/2\\1/2\\0\\1 \end{pmatrix}[/math];


в) так как [math]c_2\ne o[/math], то


[math]b_2=c_2^{-1}= \begin{pmatrix} c_2^Tc_2\end{pmatrix}^{-1}c_2^{T}= \left[\begin{pmatrix}\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{2}&0&1\end{pmatrix}\!\! \begin{pmatrix}1/2\\1/2\\0\\1 \end{pmatrix}\right]^{-1}\!\begin{pmatrix}\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{2}& 0&1 \end{pmatrix}= \dfrac{2}{3}\! \begin{pmatrix} \dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{2}&0&1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \dfrac{1}{3}&\dfrac{1}{3}&0&\dfrac{2}{3}\end{pmatrix}\!;[/math]

г) [math]B_2=A_1^{-1}-d_2b_2= \begin{pmatrix}\dfrac{1}{6}&-\dfrac{1}{6}& \dfrac{1}{3}& 0\end{pmatrix}- \begin{pmatrix}-\dfrac{3}{2}\end{pmatrix}\!\! \begin{pmatrix}\dfrac{1}{3}& \dfrac{1}{3}&0&\dfrac{2}{3}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\dfrac{2}{3}&\dfrac{1}{3}& \dfrac{1}{3}&1\end{pmatrix}[/math].


д) [math]A_2^{-1}= \begin{pmatrix}\dfrac{B_2}{b_2}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}2/3&1/3&1/3&1\\ 1/3&1/3&0&2/3\end{pmatrix}[/math].


3. Так как [math]k=2\ne n=3[/math], то перейдем к п.2.


2. Положим [math]k=k+1=3[/math].


а) [math]d_3=A_2^{-1}\cdot a_3= \begin{pmatrix}2/3&1/3&1/3&1\\ 1/3&1/3&0&2/3 \end{pmatrix} \!\cdot\! \begin{pmatrix}0\\1\\-1\\1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}[/math];


б) [math]c_3=a_3-A_2d_3= \begin{pmatrix}0\\1\\-1\\1\end{pmatrix}- \begin{pmatrix}1&-1\\ -1&2\\ 2&-3\\ 0&1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0\\1\\-1\\1\end{pmatrix}- \begin{pmatrix}0\\1\\-1\\1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}\!;[/math]


в) так как [math]c_3=o[/math], то


[math]\begin{gathered}b_3=\begin{pmatrix}1+d_3^Td_3\end{pmatrix}^{-1}d_3^TA_2^{-1}= \begin{bmatrix}1+ \begin{pmatrix}1&1 \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1\\1 \end{pmatrix} \end{bmatrix}^{-1}\!\cdot\!\begin{pmatrix}1&1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix} 2/3&1/3&1/3&1\\ 1/3&1/3&0&2/3\end{pmatrix}=\\[2pt] =\begin{pmatrix} \dfrac{1}{3}&\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix} 2/3&1/3&1/3&1\\ 1/3&1/3&0&2/3\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\dfrac{1}{3}&\dfrac{2}{9}&\dfrac{1}{9}&\dfrac{5}{9} \end{pmatrix}\!; \end{gathered}[/math]

г) [math]B_3=A_2^{-1}-d_3b_3= \begin{pmatrix}2/3&1/3&1/3&1\\ 1/3&1/3&0&2/3\end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 1\\1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}\dfrac{1}{3}&\dfrac{2}{9}&\dfrac{1}{9}& \dfrac{5}{9}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1/3&1/9&2/9&4/9\\ 0&1/9&-1/9&1/9\end{pmatrix}\!;[/math]


д) [math]A_3^{\sim1}= \begin{pmatrix}\dfrac{B_3}{b_3}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1/3&1/9&2/9&4/9\\ 0&1/9&-1/9&1/9\\ 1/3&2/9&1/9&5/9\end{pmatrix}\!.[/math]


3(2). Так как [math]k=3=n[/math], то процесс завершен и [math]A^{\sim1}=A_3^{\sim1}[/math].




Частные случаи нахождения псевдообратной матрицы


1. Если матрица [math]A=(a_{11})[/math] — число, то


[math]A^{\sim1}= \begin{cases}\dfrac{1}{a_{11}},&a_{11}\ne0,\\[4pt] 0,&a_{11}=0. \end{cases}[/math]

2. Если матрица [math]A[/math] диагональная [math]A=\operatorname{diag}\!\begin{pmatrix}a_{11},a_{22},\ldots,a_{nn}\end{pmatrix}[/math], то псевдообратная матрицы также диагональная


[math]A^{\sim1}=\operatorname{diag}\begin{pmatrix}a_{11}^{-1}, a_{22}^{-1},\ldots, a_{nn}^{-1}\end{pmatrix},~~\text{where}~~a_{ii}^{-1}=\begin{cases}\dfrac{1}{a_{ii}},&a_{ii}\ne0,\\0,&a_{ii}=0,\end{cases}i=1,2,\ldots,n.[/math]
(4.23)

3. Если столбцы матрицы [math]A[/math] линейно независимы, то


[math]A^{\sim1}=\begin{pmatrix}A^{\ast}\cdot A\end{pmatrix}^{-1}\cdot A^{\ast}.[/math]
(4.24)

4. Если строки матрицы [math]A[/math] линейно независимы, то


[math]A^{\sim1}=A^{\ast}\cdot\! \begin{pmatrix}AA^{\ast}\end{pmatrix}^{-1}.[/math]
(4.25)

Пример 4.13. Для матриц найти псевдообратные


[math]A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&0\end{pmatrix}\!,\quad B=\begin{pmatrix}1&2&3\end{pmatrix}\!,\quad C=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\\1&1 \end{pmatrix}\!.[/math]

Решение. Матрица [math]A[/math] — диагональная. По формуле (4.23) находим


[math]A^{\sim1}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1/2&0\\0&0&0\end{pmatrix}\!.[/math]

Для матрицы-строки [math]B[/math] по формуле (4.25) получаем


[math]B^{\sim1}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\!\cdot \begin{bmatrix}\begin{pmatrix} 1&2&3\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\end{bmatrix}^{-1}= \begin{pmatrix} 1\\2\\3\end{pmatrix}\!\cdot(14)^{-1}= \begin{pmatrix}1/14\\2/14\\ 3/14 \end{pmatrix}\!.[/math]

Столбцы матрицы [math]C[/math] линейно независимы. По формуле (4.24) имеем


[math]\begin{aligned}C^{\sim1}&= \begin{bmatrix} \begin{pmatrix}1&1&1\\ 0&1&2 \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix} 1&0\\1&1\\1&1\end{pmatrix}\end{bmatrix}^{-1}\cdot\! \begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}3&2\\2&2\end{pmatrix}^{-1}\cdot\! \begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\end{pmatrix}=\\[2pt] &=\frac{1}{2}\! \begin{pmatrix}2&-2\\ -2&3 \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&0&0\\ -1&1/2&1/2\end{pmatrix}\!.\end{aligned}[/math]

Найдем матрицу [math]C^{\sim1}[/math] первым способом


1. Составляем блочную матрицу

[math]\begin{pmatrix}C\!\!&\vline\!\!&E_3\\ E_2\!\!&\vline\!\!&{}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&0\!\!&\vline\!\!&1&0&0\\ 1&1\!\!&\vline\!\!&0&1&0\\ 1&1\!\!&\vline\!\!& 0&0&1\\\hline 1&0\!\!&\vline\!\!&{}&{}&{}\\ 0&1\!\!&\vline\!\!&{}&{}&{} \end{pmatrix}\!.[/math]

2. Приводим блок [math]C[/math] к простейшему виду


[math]\begin{pmatrix} C\!\!&\vline\!\!&E_3\\ E_2\!\!&\vline\!\!&{}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&0\!\!&\vline\!\!&1&0&0\\ 1&1\!\!&\vline\!\!&0&1&0\\ 1&1\!\!&\vline\!\!& 0&0&1\\\hline 1&0\!\!&\vline\!\!&{}&{}&{}\\ 0&1\!\!&\vline\!\!&{}&{}&{}\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&0\!\!&\vline\!\!&1&0&0\\ 0&1\!\!&\vline\!\!&-1&1&0\\ 0&1\!\!&\vline\!\!& -1&0&1\\\hline 1&0\!\!&\vline\!\!&{}&{}&{}\\ 0&1\!\!&\vline\!\!&{}&{}&{}\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&0\!\!&\vline\!\!&1&0&0\\ 0&1\!\!&\vline\!\!&-1&1&0\\ 0&0\!\!&\vline\!\!& 0&-1&1\\\hline 1&0\!\!&\vline\!\!&{}&{}&{}\\ 0&1\!\!&\vline\!\!&{}&{}&{}\end{pmatrix}[/math]

Получили матрицы [math]T=E_2,~ S=\begin{pmatrix}1&0&0\\-1&1&0\\ 0&-1&1\end{pmatrix}[/math]. Ранг матрицы [math]C[/math] равен количеству ненулевых строк, т.е. [math]r=\operatorname{rg}C=2=n,[/math] [math]E_r=E_2[/math].


3. Находим произведения


[math]SS^{\ast}= \begin{pmatrix}1&0&0\\-1&1&0\\ 0&-1&1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&-1&0\\0&1&-1\\ 0&0&1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&-1\!\!&\vline\!\!&0\\ -1&2\!\!&\vline\!\!&-1\\\hline 0&-1\!\!&\vline\!\!&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}S_1\!\!&\vline\!\!&S_2\\\hline S_3\!\!&\vline\!\!&S_4\end{pmatrix}\!;\quad T^{\ast}T=\begin{pmatrix}1&0\\0&1 \end{pmatrix}=(T_1).[/math]

В матрице [math]T^{\ast}T[/math] блоки [math]T_2,T_3,T_4[/math] отсутствуют (см. замечание 4.8).


4. Из-за отсутствия блоков [math]T_3,T_4[/math] вычислять матрицу [math]U[/math] не нужно. Находим только матрицу


[math]V=-S_2S_4^{-1}= -\begin{pmatrix}0\\-1\end{pmatrix}\!\cdot(2)^{-1}= \begin{pmatrix} 0\\1/2\end{pmatrix}\!.[/math]

5. Находим псевдообратную матрицу по формуле (4.21), учитывая отсутствие матрицы [math]U[/math] (см. п.5 замечаний 4.6):


[math]\begin{aligned}C^{\sim1}&= T\cdot E_2\cdot\! \begin{pmatrix}E_2\mid V\end{pmatrix}\!\cdot S= \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&0\\0&1 \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&0\!\!&\vline\!\!&0\\ 0&1\!\!&\vline\!\! &1/2 \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&0&0\\-1&1&0\\ 0&-1&1\end{pmatrix}=\\[2pt] &= \begin{pmatrix}1&0\!\!&\vline\!\!&0\\ 0&1\!\!&\vline\!\! &1/2\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&0&0\\-1&1&0\\ 0&-1&1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&0&0\\-1&1/2&1/2 \end{pmatrix}\!.\end{aligned}[/math]

Результаты обоих способов нахождения матрицы [math]C^{\sim1}[/math] совпадают.




Псевдообращение блочных матриц


Пусть дана блочная матрица [math]M=\begin{pmatrix}A\!\!&\vline\!\!&B\\\hline C\!\!&\vline\!\!&D \end{pmatrix}\![/math], где [math]A[/math] — квадратная невырожденная матрица r-го порядка и [math]r=\operatorname{rg}A= \operatorname{rg}M[/math].


Тогда псевдообратная матрица [math]M^{\sim1}[/math] — является блочной матрицей и находится по формуле


[math]M^{\sim1}= \begin{pmatrix}\dfrac{A^{\ast}}{B^{\ast}}\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}AA^{\ast}+BB^{\ast}\end{pmatrix}^{-1}\cdot A\cdot\! \begin{pmatrix}A^{\ast}A+ C^{\ast}C\end{pmatrix}^{-1}\cdot\! \begin{pmatrix}A^{\ast}\mid C^{\ast} \end{pmatrix}\!.[/math]
(4.26)

Пример 4.14. Для блочной матрицы [math]M=\begin{pmatrix}1&-1\!\!&\vline\!\!&2&0\\ -1&2\!\!&\vline\!\!&-3&1\\\hline 0&1\!\!&\vline\!\!&-1&1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} A\!\!&\vline\!\!&B\\\hline C\!\!&\vline\!\!&D \end{pmatrix}[/math] найти псевдообратную.


Решение. Заметим, что [math]\operatorname{rg}A=2=\operatorname{rg}M[/math]. Последовательно вычисляем


[math]\begin{aligned}\begin{pmatrix}AA^{\ast}+BB^{\ast}\end{pmatrix}^{-1}&= \begin{bmatrix}\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&-1\\-1&2 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}2&0\\-3&1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}2&-3\\ 0&1\end{pmatrix}\end{bmatrix}^{-1}=\\[2pt] &=\begin{bmatrix}\begin{pmatrix}2&-3\\-3&5\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}4&-6\\-6&10\end{pmatrix} \end{bmatrix}^{-1}= \begin{pmatrix}6&-9\\ -9&15\end{pmatrix}^{-1}= \frac{1}{3}\! \begin{pmatrix}5&3\\3&2\end{pmatrix}\!;\\[5pt] \begin{pmatrix}A^{\ast}A+C^{\ast}C\end{pmatrix}^{-1}&= \begin{bmatrix}\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&-1\\-1&2 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}0\\1 \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}0&1\end{pmatrix}\end{bmatrix}^{-1}=\\[2pt] &=\begin{bmatrix}\begin{pmatrix}2&-3\\-3&5\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix} \end{bmatrix}^{-1}= \begin{pmatrix}2&-3\\ -3&6\end{pmatrix}^{-1}= \frac{1}{3}\! \begin{pmatrix}6&3\\3&2\end{pmatrix}\!;\end{aligned}[/math]

[math]\begin{pmatrix} AA^{\ast}+ BB^{\ast}\end{pmatrix}^{-1}\cdot A\cdot\! \begin{pmatrix} A^{\ast}A+ C^{\ast}C\end{pmatrix}^{-1}= \frac{1}{3}\! \begin{pmatrix}5&3\\ 3&2 \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}\!\cdot \frac{1}{3}\! \begin{pmatrix}6&3\\3&2\end{pmatrix}= \frac{1}{9}\! \begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix} 6&3\\3&2\end{pmatrix}= \frac{1}{9}\! \begin{pmatrix} 15&8\\9&5 \end{pmatrix}\!.[/math]

По формуле (4.26) имеем


[math]\begin{aligned}M^{\sim1}&= \begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\\\hline 2&-3\\0&1\end{pmatrix}\!\cdot\frac{1}{9}\! \begin{pmatrix}15&8\\9&5\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&-1\!\!&\vline\!\!&0\\ -1&2\!\!&\vline\!\!&1\end{pmatrix}= \frac{1}{9}\! \begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\\\hline 2&-3\\0&1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix} 7&1\!\!&\vline\!\!&8\\ 4&1\!\!&\vline\!\!&5\end{pmatrix}=\\[2pt] &=\frac{1}{9}\! \begin{pmatrix}3&0\!\!&\vline\!\!&3\\ 1&1\!\!&\vline\!\!&2\\\hline 2&-1\!\!&\vline\!\!&1\\ 4&1\!\!&\vline\!\!&5\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1/3&0&1/3\\ 1/9&1/9&2/9\\ 2/9&-1/9&1/9\\ 4/9&1/9&5/9\end{pmatrix}\!,\end{aligned}[/math]

что совпадает с результатами примера 4.11.

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved