Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Преобразования систем координат

Преобразования систем координат


Линейные невырожденные преобразования координат


Пусть в пространстве заданы две аффинные системы координат, т.е. каждой точке [math]X[/math] поставлены в соответствие два упорядоченных набора [math]n[/math] действительных чисел [math]x_1,x_2,\ldots,x_n[/math] (старые координаты) и [math]x'_1,x'_2,\ldots,x'_n[/math] (новые координаты). Выражения старых координат через новые имеют вид линейных невырожденных преобразований координат:


[math]\left\{\!\begin{gathered} x_1=s_1+s_{11}\cdot x'_1+\cdots+s_{1n}\cdot x'_n,\\ \vdots\\ x_n=s_n+s_{n1}\cdot x'_1+\cdots+s_{nn}\cdot x'_n, \end{gathered}\right. \quad \Leftrightarrow \quad x=s+\mathbf{S}\cdot x',[/math]
(2.27)

где [math]\mathbf{S}[/math] — невырожденная матрица (матрица перехода от базиса старой системы координат [math]Ox_1\ldots x_n[/math] к базису новой системы координат [math]Ox'_1\ldots x'_n[/math]), a [math]s=\overrightarrow{OO'}[/math] — вектор переноса начала координат; [math]x[/math] и [math]x'[/math] — координатные столбцы радиус-векторов одной и той же точки [math]X(x_1,\ldots,x_n)[/math] и [math]X(x'_1,\ldots,x'_n)[/math] в соответствующих системах координат. Координаты вектора [math]\overrightarrow{X_0X}[/math], или [math]\Delta x'=x-x_0[/math], в старом базисе выражаются через координаты этого же вектора [math]\Delta x'=x'-x'_0[/math] в новом базисе по формуле (см. Преобразование координат вектора при замене базиса):


[math]\left\{\!\begin{gathered} \Delta x_1=s_{11}\cdot\Delta x'_1+\cdots+s_{1n}\cdot\Delta x'_n,\\ \vdots\\\Delta x_n=s_{n1}\cdot\Delta x'_1+\cdots+s_{nn}\cdot\Delta x'_n, \end{gathered}\right. \quad \Leftrightarrow \quad \Delta x=\mathbf{S}\cdot\Delta x',[/math]
(2.28)

Аналогично случаю аффинного преобразования координат "обычного" пространства [math](\mathbb{R}^3)[/math] определитель матрицы [math]\mathbf{S}[/math] равен отношению n-мерных ориентированных объемов параллелепипедов, построенных на базисных векторах новой и старой систем координат, а модуль определителя равен коэффициенту искажения объемов при аффинном преобразовании (см. свойства 3 и 4 аффинных преобразований пространства). Коэффициент искажения объема [math]\det\mathbf{S}[/math] при аффинном преобразовании координат одинаков для всех точек пространства.




Нелинейные дифференцируемые преобразования координат


Пусть в пространстве заданы две системы координат, т.е. каждой точке [math]X[/math] поставлены в соответствие два упорядоченных набора [math]n[/math] действительных чисел [math]x_1,x_2,\ldots,x_n[/math] (старые координаты) и [math]x'_1,x'_2,\ldots,x'_n[/math] (новые координаты), причем известны выражения старых координат через новые:


[math]\left\{\!\begin{gathered} x_1=g_1(x'_1,\ldots,x'_n),\\ \vdots\\ x_n=g_n(x'_1,\ldots,x'_n), \end{gathered}\right. \quad \Leftrightarrow \quad x=g(x'),[/math]
(2.29)

где [math]g_i(x'_1,\ldots,x'_n),~i=1,\ldots,n[/math] — непрерывно дифференцируемые функции; [math]g(x')=\begin{pmatrix}g_1(x')\\\vdots\\g_n(x')\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}g_1(x'_1,\ldots,x'_n)\\\vdots\\g_n(x'_1,\ldots,x'_n)\end{pmatrix}[/math] — столбец заданных функций; [math]x[/math] и [math]x'[/math] — координатные столбцы радиус-векторов точки [math]X[/math] в старой и новой системах координат.


Обозначим через [math]\left(\frac{\partial x}{\partial x'}\right)=\left(\frac{\partial(x_1,\ldots,x_n)}{\partial(x'_1,\ldots,x'_n)}\right)=\begin{pmatrix}\dfrac{\partial g_1(x')}{\partial x'_1}&\cdots&\dfrac{\partial g_1(x')}{\partial x'_n}\\[2pt] \vdots&\ddots&\vdots\\ \dfrac{\partial g_n(x')}{\partial x'_1}&\cdots&\dfrac{\partial g_n(x')}{\partial x'_n} \end{pmatrix}[/math] матрицу частных производных первого порядка заданных функций (матрицу Якоби преобразования (2.29))[/b]. Определитель [math]\det\!\left(\frac{\partial x}{\partial x'}\right)[/math] матрицы Якоби называется якобианом преобразования координат.


Точки, где якобиан преобразования равен нулю или не существует, называются особыми, а остальные точки называются неособыми.


По теореме об обратном преобразовании: если задано преобразование координат (2.29): [math]x=g(x')[/math], выражающее старые координаты [math]x_1,\ldots,x_n[/math] произвольной точки [math]X\in\mathbb{R}^n[/math] через новые [math]x'_1,\ldots,x'_n[/math], причем [math]x_0=g(x'_0)[/math] для некоторой фиксированной точки [math]X_0\in\mathbb{R}^n[/math], и якобиан преобразования [math]\det\!\left(\frac{\partial x}{\partial x'}\right)[/math] в этой точке [math]X_0[/math] (при [math]x'=x'_0[/math]) отличен от нуля, то в достаточно малой окрестности точки [math]X_0[/math] можно выразить новые координаты [math]x'_1,\ldots,x'_n[/math] через старые:


[math]\left\{\!\begin{gathered} x'_1=f_1(x_1,\ldots,x_n),\\ \vdots\\ x'_n=f_n(x_1,\ldots,x_n), \end{gathered}\right. \quad \Leftrightarrow \quad x'=f(x),[/math]
(2.30)

причем [math]x'_0=f(x_0)[/math]. Матрица Якоби [math]\left.\left(\frac{\partial x'}{\partial x}\right)\!\right|_{x_0}=\begin{pmatrix} \dfrac{\partial f_1(x)}{\partial x_1}&\cdots&\dfrac{\partial f_1(x)}{\partial x_n}\\[2pt] \vdots&\ddots&\vdots\\ \dfrac{\partial f_n(x)}{\partial x_1}&\cdots&\dfrac{\partial f_n(x)}{\partial x_n} \end{pmatrix}[/math] обратного преобразования будет обратной для матрицы [math]\left.\left(\frac{\partial x}{\partial x'}\right)\!\right|_{x'_0}[/math].


Поясним это утверждение. Пусть [math]x_0,x'_0[/math] — координатные столбцы радиус- векторов точки [math]X_0[/math] в старой и новой системах координат, причем якобиан преобразования [math]\det\!\left.\left(\frac{\partial x}{\partial x'}\right)\!\right|_{x'_0}[/math] в этой точке [math]X_0[/math] отличен от нуля. Разложим функцию [math]g(x')[/math] в ряд Тейлора в окрестности точки [math]X_0[/math], оставляя члены только первого порядка. Получим выражение приращения [math]\Delta x=x-x_0[/math] старых координат через приращение [math]\Delta x'=x'-x'_0[/math] новых координат:


[math]\Delta x=\left.\left(\frac{\partial x}{\partial x'}\right)\!\right|_{x'_0}\cdot\Delta x',[/math]
(2.31)

или в координатной форме


[math]\left\{\!\begin{gathered}\Delta x_1=\left.\frac{\partial g_1(x')}{\partial x'_1}\right|_{x'_0}\cdot\Delta x'_1+\cdots+\left.\frac{\partial g_1(x')}{\partial x'_n}\right|_{x'_0}\cdot\Delta x'_n,\\[-4pt]\vdots\\ \Delta x_n=\left.\frac{\partial g_n(x')}{\partial x'_1}\right|_{x'_0}\cdot\Delta x'_1+\cdots+\left.\frac{\partial g_n(x')}{\partial x'_n}\right|_{x'_0}\cdot\Delta x'_n, \end{gathered}\right.[/math]

Формула (2.31) представляет собой локальное преобразование координат в окрестности точки [math]X_0[/math] с учетом членов только первого порядка. Сравнивая (2.31) с формулами (2.28), делаем вывод: в окрестности точки [math]X_0[/math] старые локальные координаты [math]\Delta x=x-x_0[/math] и новые локальные координаты [math]\Delta x'=x'-x'_0[/math] вектора [math]\overrightarrow{X_0X}[/math] преобразуются так же, как при аффинном преобразовании (2.28) с матрицей [math]\mathbf{S}=\left.\left(\frac{\partial x}{\partial x'}\right)\!\right|_{x'_0}[/math] матрицей Якоби, вычисленной в точке [math]X_0[/math] (при [math]x'=x'_0[/math]).


Другими словами, преобразование координат (2.29) в окрестности неособой точки [math]X_0[/math] можно рассматривать как переход от одной аффинной системы координат к другой, т.е. локальное преобразование координат является невырожденным линейным преобразованием координат (2.28). Аффинное преобразование координат, как известно, обратимо и матрица [math]\left.\left(\frac{\partial x'}{\partial x}\right)\!\right|_{x_0}[/math] обратного перехода является обратной для [math]\left.\left(\frac{\partial x}{\partial x'}\right)\!\right|_{x'_0}[/math] (см. свойства матрицы перехода от одного базиса к другому). При этом модуль якобиана равен коэффициенту искажения объемов (в окрестности рассматриваемой точки [math]X_0[/math]) . В отличие от аффинных преобразований коэффициент искажения объемов при нелинейных преобразованиях, вообще говоря, меняется в зависимости от точки [math]X_0[/math].




Точки и углы на плоскости в прямоугольной системе координат

Пример 2.15. На плоскости в прямоугольной системе координат [math]Oxy[/math] отмечена точка [math]Q(1;0)[/math] и введена система координат, в которой положение произвольной точки [math]M[/math] задается двумя углами [math]\varphi,\psi[/math]. Оба угла отсчитываются от оси абсцисс в положительном направлении (против движения часовой стрелки) до вектора [math]\overrightarrow{OM}[/math] и вектора [math]QM[/math] соответственно (рис.2.39,а), причем диапазоны изменения углов [math]\varphi,\psi[/math] выбираются как в полярной системе координат: [math]-\pi<\varphi\leqslant\pi[/math] и [math]-\pi<\psi\leqslant\pi[/math] (допустимые значения углов [math]\varphi,\psi[/math] изображены на рис.2.39,б (два заштрихованных треугольника), где учтены очевидные неравенства [math]\varphi<\psi[/math] для точек, принадлежащих I и II четвертям, и [math]\varphi>\psi[/math] для точек в III и IV четвертях). Требуется:


а) вывести формулы (2.29) преобразования координат;

б) вывести формулы (2.31) локального преобразования координат;

в) указать особые точки полученного преобразования координат.


Решение.


а) Найдем полярный радиус [math]r[/math] точки [math]M[/math]. По теореме синусов для треугольника [math]OQM[/math]:


[math]\frac{r}{\sin(\pi-\psi)}=\frac{1}{\sin\angle OMQ} \quad \Rightarrow \quad r=\frac{\sin\psi}{\sin(\psi-\varphi)},[/math]

так как [math]\psi=\angle OMQ+\varphi[/math] (внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним) и, следовательно, [math]\angle OMQ=\psi-\varphi[/math]. Теперь, используя связь (2.17) прямоугольных и полярных координат, получаем


[math]\left\{\!\begin{aligned} x&=\frac{\sin\psi\cdot\cos\varphi}{\sin(\psi-\varphi)}=g_1(\varphi,\psi),\\ y&=\frac{\sin\psi\cdot\sin\varphi}{\sin(\psi-\varphi)}=g_2(\varphi,\psi). \end{aligned}\right.[/math]

б) Найдем матрицу Якоби


[math]\left(\frac{\partial(x,y)}{\partial(\varphi,\psi)}\right)= \begin{pmatrix}\dfrac{\partial g_1(\varphi,\psi)}{\partial\varphi}&\dfrac{\partial g_1(\varphi,\psi)}{\partial\psi}\\[10pt] \dfrac{\partial g_2(\varphi,\psi)}{\partial\varphi}&\dfrac{\partial g_2(\varphi,\psi)}{\partial\psi} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \dfrac{\sin\psi\cos\psi}{\sin^2(\psi-\varphi)}& -\dfrac{\sin\varphi\cos\varphi}{\sin^2(\psi-\varphi)}\\[10pt] \dfrac{\sin^2\psi}{\sin^2(\psi-\varphi)}& -\dfrac{\sin^2\varphi}{\sin^2(\psi-\varphi)} \end{pmatrix}.[/math]

Следовательно, локальное преобразование координат (2.31) в окрестности точки [math]M[/math] имеет вид


[math]\begin{pmatrix}\Delta x\\\Delta y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \dfrac{\sin\psi\cos\psi}{\sin^2(\psi-\varphi)}& -\dfrac{\sin\varphi\cos\varphi}{\sin^2(\psi-\varphi)}\\[10pt] \dfrac{\sin^2\psi}{\sin^2(\psi-\varphi)}& -\dfrac{\sin^2\varphi}{\sin^2(\psi-\varphi)} \end{pmatrix} {\cdot} \begin{pmatrix}\Delta\varphi\\\Delta\psi\end{pmatrix}.[/math]

в) Находим якобиан преобразования:


[math]\det\!\begin{pmatrix}\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(\varphi,\psi)}\end{pmatrix}=\begin{vmatrix}\, \dfrac{\sin\psi\cos\psi}{\sin^2(\psi-\varphi)}& -\dfrac{\sin\varphi\cos\varphi}{\sin^2(\psi-\varphi)}\\[10pt] \dfrac{\sin^2\psi}{\sin^2(\psi-\varphi)}& -\dfrac{\sin^2\varphi}{\sin^2(\psi-\varphi)}\, \end{vmatrix}= \dfrac{\sin\varphi\sin\psi}{\sin^3(\psi-\varphi)}.[/math]

Он равен нулю или не имеет смысла для точек, принадлежащих оси абсцисс, т.е. при [math]\varphi=\psi=0[/math], [math]\varphi=\psi=\pi[/math] и [math]\varphi=0,~\psi=\pi[/math]. Остальные точки плоскости являются неособыми.




Переход к полярной системе координат


Пусть на плоскости заданы прямоугольная система координат [math]Oxy[/math] и соответствующая ей полярная система координат [math]Or\varphi[/math], для которых


[math]\begin{cases}x=r\cdot\cos\varphi,\\y=r\cdot\sin\varphi,\end{cases}[/math]
(2,32)

то есть в (2.29) [math]x_1=x,~x_2=y,~x'_1=r,~x'_2=\varphi,~g_1(x')=r\cos\varphi,~g'_2(x')=r\sin\varphi[/math].


Найдем матрицу Якоби [math]\begin{pmatrix}\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(r,\varphi)}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \cos\varphi& -r\cdot\sin\varphi\\ \sin\varphi& \phantom{-}r\cdot\cos\varphi \end{pmatrix}[/math]. Якобиан преобразования [math]\det\!\begin{pmatrix}\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(r,\varphi)}\end{pmatrix}=r[/math] отличен от нуля всюду [math]r>0[/math], за исключением начала координат [math]O[/math], где [math]r=0[/math]. Следовательно, точка [math]O[/math] — единственная особая точка преобразования (2.32).


Вычислим коэффициент искажения площади в окрестности произвольной неособой точки [math]X_0[/math]. Пусть точка [math]X_0[/math] имеет прямоугольные координаты [math]x_0,y_0[/math] и полярные координаты [math]r_0,\varphi_0[/math], причем [math]r_0[/math]. В окрестности точки [math]X_0[/math] введем две аффинные системы координат [math]X_0\Delta x\Delta y[/math] и [math]X_0\Delta r\Delta\varphi[/math] (см. рис.2.40,а), связанные локальным преобразованием координат (2.31):


[math]\begin{pmatrix}\Delta x\\\Delta y\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \cos\varphi_0& -r_0\cdot\sin\varphi_0\\ \sin\varphi_0& \phantom{-}r_0\cdot\cos\varphi_0 \end{pmatrix} {\cdot} \begin{pmatrix}\Delta r\\\Delta\varphi\end{pmatrix}[/math]
(2.33)

Аффинные системы координат и локальное преобразование координат

Аффинное преобразование (2.33), описываемое матрицей Якоби, можно представить в виде композиции двух преобразований: поворота на угол [math]\varphi_0[/math] и сжатия к оси [math]X_0\Delta r[/math] с коэффициентом [math]r_0[/math] (см. разд.2.2.4):


[math]\begin{pmatrix} \cos\varphi_0& -r_0\cdot\sin\varphi_0\\ \sin\varphi_0& \phantom{-}r_0\cdot\cos\varphi_0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \cos\varphi_0& -\sin\varphi_0\\ \sin\varphi_0& \phantom{-}\cos\varphi_0 \end{pmatrix}{\cdot} \begin{pmatrix}1&0\\0&r_0\end{pmatrix}.[/math]

Базисные векторы системы координат [math]X_0\Delta x\Delta y[/math] совпадают со стандартным базисом [math]\vec{i},\vec{j}[/math] прямоугольной системы координат [math]Oxy[/math], а базисные векторы [math]\vec{i}\,',\vec{j}\,'[/math] системы координат [math]X_0\Delta r\Delta\varphi[/math] связаны с ними соотношениями


[math]|\vec{i}\,'|=|\vec{i}|;\qquad|\vec{j}\,'|=r_0\cdot|\vec{j}|.[/math]

Ортогональность базисных векторов при такой композиции преобразований естественно сохраняется: [math]\vec{i}\,'\perp\vec{j}\,'[/math]. Поэтому квадрат, построенный на базисных векторах [math]\vec{i},\vec{j}[/math] (изображен на рис.2.40,а штриховой линией), единичной площади [math]S_{\ast\vec{i},\vec{j}}=|\vec{i}|\cdot|\vec{j}|=1[/math] преобразуется в прямоугольник (изображен на рис.2.40,а сплошной линией) площади [math]S'_{\ast\vec{i}\,',\vec{j}\,'}=|\vec{i}\,'|\cdot|\vec{j}\,'|=r_0\cdot|\vec{i}|\cdot|\vec{j}|=r_0[/math]. Таким образом, в окрестности неособой точки коэффициент искажения площади [math]r_0[/math] равен модулю якобиана преобразования (2.32):


[math]\det\!\left.\left(\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\varphi)}\right)\!\right|_{(r_0,\varphi_0)}= \begin{vmatrix}\, \cos\varphi_0& -r_0\cdot\sin\varphi_0\\ \sin\varphi_0& \phantom{-}r_0\cdot\cos\varphi_0\, \end{vmatrix}=r_0.[/math]

Коэффициент искажения площади равен [math]r_0[/math] и применяется при вычислении двойных интегралов.


Сравним теперь полное искажение площади в результате преобразования (2.32) и при локальным преобразовании (2.33). Рассмотрим множество [math]\ast r\varphi[/math] точек, полярные координаты [math]r,\varphi[/math] которых удовлетворяют условиям


[math]r_0\leqslant r\leqslant r_0+\Delta r_0, \quad \varphi_0\leqslant\varphi\leqslant\varphi_0+\Delta\varphi_0.[/math]

Это множество представляет собой криволинейный четырехугольник (заштрихованный на рис.2.40,б), ограниченный дугами окружностей [math]r=r_0[/math], [math]r=r_0+\Delta r_0[/math] и отрезками лучей [math]\varphi=\varphi_0[/math], [math]\varphi=\varphi_0+\Delta\varphi_0[/math]. Найдем площадь 5 этой фигуры:


[math]S=\frac{1}{2}\cdot\Delta\varphi_0\cdot(r_0+\Delta r_0)^2-\frac{1}{2}\cdot\Delta\varphi_0\cdot r_0^2= r_0\cdot\Delta\varphi_0\cdot\Delta r_0+\frac{1}{2}\cdot\Delta\varphi_0\cdot\Delta r_0^2.[/math]

В аффинной системе координат [math]X_0\Delta r\Delta\varphi[/math] множество [math]\ast\Delta r\Delta\varphi[/math] точек, координаты [math]\Delta r,\Delta\varphi[/math] которых удовлетворяют условиям


[math]0\leqslant\Delta r\leqslant\Delta r_0, \quad 0\leqslant\Delta\varphi\leqslant\Delta\varphi_0,[/math]

представляет собой прямоугольник (изображен сплошными линиями на рис.2.36,6) площади [math]S_{\ast}=r_0\cdot\Delta\varphi_0\cdot\Delta r_0[/math]. Искомая разность площадей


[math]S-S_{\ast}= \frac{1}{2}\cdot\Delta\varphi_0\cdot\Delta r_0^2[/math]

Так как относительная ошибка

[math]\left|\frac{S-S_{\ast}}{S_{\ast}}\right|=\left|\frac{\frac{1}{2}\cdot\Delta\varphi_0\cdot\Delta r_0^2}{ r_0\cdot\Delta\varphi_0\cdot\Delta r_0}\right|=\frac{1}{2}\left|\frac{\Delta r_0}{r_0}\right|[/math]

стремится к нулю при [math]\Delta r_0\to0[/math], то при вычислении искажения площадей можно использовать локальное преобразование координат (2.33) вместо преобразования (2.32).




Переход к цилиндрической системе координат


Пусть в пространстве заданы прямоугольная система координат [math]Oxyz[/math] и соответствующая ей цилиндрическая система координат) [math]Or\varphi z[/math], для которых


[math]\begin{cases}x=r\cdot\cos\varphi,\\y=r\cdot\sin\varphi,\\z=z.\end{cases}[/math]
(2.34)

Найдем матрицу Якоби [math]\begin{pmatrix}\dfrac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\varphi,z)}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\cos\varphi&-r\cdot\sin\varphi&0\\\sin\varphi&\phantom{-}r\cdot\cos\varphi&0\\0&0&1\end{pmatrix}[/math]. Якобиан преобразования [math]\det\!\begin{pmatrix}\dfrac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\varphi,z)}\end{pmatrix}=r[/math] отличен от нуля всюду [math]r>0[/math], за исключением оси [math]Oz[/math], где [math]r=0[/math]. Следовательно, все точки оси аппликат (и только они) являются особыми точками преобразования (2.34). Коэффициент искажения объема равен [math]r[/math] и применяется при вычислении тройных интегралов.




Переход к сферической системе координат


Пусть в пространстве заданы прямоугольная система координат [math]Oxyz[/math] и соответствующая ей сферическая система координат [math]O\rho\varphi\theta[/math], для которых


[math]\begin{cases} x=\rho\cdot\cos\varphi\cdot\sin\theta,\\ y=\rho\cdot\sin\varphi\cdot\sin\theta,\\ z=\rho\cdot\cos\theta.\end{cases}[/math]
(2.35)

Найдем матрицу Якоби


[math]\begin{pmatrix}\dfrac{\partial(x,y,z)}{\partial(\rho,\varphi,\theta)}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \cos\varphi\cdot\sin\theta&-\rho\cdot\sin\varphi\cdot\sin\theta&\rho\cdot\cos\varphi\cdot\cos\theta\\ \sin\varphi\cdot\sin\theta&\phantom{-}\rho\cdot\cos\varphi\cdot\sin\theta&\rho\cdot\sin\varphi\cdot\cos\theta\\ \cos\theta&0&-\rho\cdot\sin\theta \end{pmatrix}.[/math]

Вычислим якобиан преобразования


[math]\det\!\begin{pmatrix}\dfrac{\partial(x,y,z)}{\partial(\rho,\varphi,\theta)}\end{pmatrix}= \begin{vmatrix}\, \cos\varphi\cdot\sin\theta&-\rho\cdot\sin\varphi\cdot\sin\theta&\rho\cdot\cos\varphi\cdot\cos\theta\\ \sin\varphi\cdot\sin\theta&\phantom{-}\rho\cdot\cos\varphi\cdot\sin\theta&\rho\cdot\sin\varphi\cdot\cos\theta\\ \cos\theta&0&-\rho\cdot\sin\theta \,\end{vmatrix}=-\rho^2\cdot\sin\theta.[/math]

При [math]\rho>0[/math] и при [math]\theta\ne0[/math] или [math]\theta\ne\pi[/math] якобиан отличен от нуля. Следовательно, все точки оси аппликат [math]Oz[/math] (и только они) являются особыми точками преобразования (2.35). Коэффициент искажения объема равен [math]\rho^2\sin\theta[/math] и применяется при вычислении тройных интегралов.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved