Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Преобразования систем координат

Преобразования систем координат


Линейные невырожденные преобразования координат


Пусть в пространстве заданы две аффинные системы координат, т.е. каждой точке X поставлены в соответствие два упорядоченных набора n действительных чисел x_1,x_2,\ldots,x_n (старые координаты) и x'_1,x'_2,\ldots,x'_n (новые координаты). Выражения старых координат через новые имеют вид линейных невырожденных преобразований координат:


\left\{\!\begin{gathered} x_1=s_1+s_{11}\cdot x'_1+\cdots+s_{1n}\cdot x'_n,\\ \vdots\\ x_n=s_n+s_{n1}\cdot x'_1+\cdots+s_{nn}\cdot x'_n, \end{gathered}\right. \quad \Leftrightarrow \quad x=s+\mathbf{S}\cdot x',
(2.27)

где \mathbf{S} — невырожденная матрица (матрица перехода от базиса старой системы координат Ox_1\ldots x_n к базису новой системы координат Ox'_1\ldots x'_n), a s=\overrightarrow{OO'} — вектор переноса начала координат; x и x' — координатные столбцы радиус-векторов одной и той же точки X(x_1,\ldots,x_n) и X(x'_1,\ldots,x'_n) в соответствующих системах координат. Координаты вектора \overrightarrow{X_0X}, или \Delta x'=x-x_0, в старом базисе выражаются через координаты этого же вектора \Delta x'=x'-x'_0 в новом базисе по формуле (см. Преобразование координат вектора при замене базиса):


\left\{\!\begin{gathered} \Delta x_1=s_{11}\cdot\Delta x'_1+\cdots+s_{1n}\cdot\Delta x'_n,\\ \vdots\\\Delta x_n=s_{n1}\cdot\Delta x'_1+\cdots+s_{nn}\cdot\Delta x'_n, \end{gathered}\right. \quad \Leftrightarrow \quad \Delta x=\mathbf{S}\cdot\Delta x',
(2.28)

Аналогично случаю аффинного преобразования координат "обычного" пространства (\mathbb{R}^3) определитель матрицы \mathbf{S} равен отношению n-мерных ориентированных объемов параллелепипедов, построенных на базисных векторах новой и старой систем координат, а модуль определителя равен коэффициенту искажения объемов при аффинном преобразовании (см. свойства 3 и 4 аффинных преобразований пространства). Коэффициент искажения объема \det\mathbf{S} при аффинном преобразовании координат одинаков для всех точек пространства.




Нелинейные дифференцируемые преобразования координат


Пусть в пространстве заданы две системы координат, т.е. каждой точке X поставлены в соответствие два упорядоченных набора n действительных чисел x_1,x_2,\ldots,x_n (старые координаты) и x'_1,x'_2,\ldots,x'_n (новые координаты), причем известны выражения старых координат через новые:


\left\{\!\begin{gathered} x_1=g_1(x'_1,\ldots,x'_n),\\ \vdots\\ x_n=g_n(x'_1,\ldots,x'_n), \end{gathered}\right. \quad \Leftrightarrow \quad x=g(x'),
(2.29)

где g_i(x'_1,\ldots,x'_n),~i=1,\ldots,n — непрерывно дифференцируемые функции; g(x')=\begin{pmatrix}g_1(x')\\\vdots\\g_n(x')\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}g_1(x'_1,\ldots,x'_n)\\\vdots\\g_n(x'_1,\ldots,x'_n)\end{pmatrix} — столбец заданных функций; x и x' — координатные столбцы радиус-векторов точки X в старой и новой системах координат.


Обозначим через \left(\frac{\partial x}{\partial x'}\right)=\left(\frac{\partial(x_1,\ldots,x_n)}{\partial(x'_1,\ldots,x'_n)}\right)=\begin{pmatrix}\dfrac{\partial g_1(x')}{\partial x'_1}&\cdots&\dfrac{\partial g_1(x')}{\partial x'_n}\\[2pt] \vdots&\ddots&\vdots\\ \dfrac{\partial g_n(x')}{\partial x'_1}&\cdots&\dfrac{\partial g_n(x')}{\partial x'_n} \end{pmatrix} матрицу частных производных первого порядка заданных функций (матрицу Якоби преобразования (2.29)). Определитель \det\!\left(\frac{\partial x}{\partial x'}\right) матрицы Якоби называется якобианом преобразования координат.


Точки, где якобиан преобразования равен нулю или не существует, называются особыми, а остальные точки называются неособыми.


По теореме об обратном преобразовании: если задано преобразование координат (2.29): x=g(x'), выражающее старые координаты x_1,\ldots,x_n произвольной точки X\in\mathbb{R}^n через новые x'_1,\ldots,x'_n, причем x_0=g(x'_0) для некоторой фиксированной точки X_0\in\mathbb{R}^n, и якобиан преобразования \det\!\left(\frac{\partial x}{\partial x'}\right) в этой точке X_0 (при x'=x'_0) отличен от нуля, то в достаточно малой окрестности точки X_0 можно выразить новые координаты x'_1,\ldots,x'_n через старые:


\left\{\!\begin{gathered} x'_1=f_1(x_1,\ldots,x_n),\\ \vdots\\ x'_n=f_n(x_1,\ldots,x_n), \end{gathered}\right. \quad \Leftrightarrow \quad x'=f(x),
(2.30)

причем x'_0=f(x_0). Матрица Якоби \left.\left(\frac{\partial x'}{\partial x}\right)\!\right|_{x_0}=\begin{pmatrix} \dfrac{\partial f_1(x)}{\partial x_1}&\cdots&\dfrac{\partial f_1(x)}{\partial x_n}\\[2pt] \vdots&\ddots&\vdots\\ \dfrac{\partial f_n(x)}{\partial x_1}&\cdots&\dfrac{\partial f_n(x)}{\partial x_n} \end{pmatrix} обратного преобразования будет обратной для матрицы \left.\left(\frac{\partial x}{\partial x'}\right)\!\right|_{x'_0}.


Поясним это утверждение. Пусть x_0,x'_0 — координатные столбцы радиус- векторов точки X_0 в старой и новой системах координат, причем якобиан преобразования \det\!\left.\left(\frac{\partial x}{\partial x'}\right)\!\right|_{x'_0} в этой точке X_0 отличен от нуля. Разложим функцию g(x') в ряд Тейлора в окрестности точки X_0, оставляя члены только первого порядка. Получим выражение приращения \Delta x=x-x_0 старых координат через приращение \Delta x'=x'-x'_0 новых координат:


\Delta x=\left.\left(\frac{\partial x}{\partial x'}\right)\!\right|_{x'_0}\cdot\Delta x',
(2.31)

или в координатной форме


\left\{\!\begin{gathered}\Delta x_1=\left.\frac{\partial g_1(x')}{\partial x'_1}\right|_{x'_0}\cdot\Delta x'_1+\cdots+\left.\frac{\partial g_1(x')}{\partial x'_n}\right|_{x'_0}\cdot\Delta x'_n,\\[-4pt]\vdots\\ \Delta x_n=\left.\frac{\partial g_n(x')}{\partial x'_1}\right|_{x'_0}\cdot\Delta x'_1+\cdots+\left.\frac{\partial g_n(x')}{\partial x'_n}\right|_{x'_0}\cdot\Delta x'_n, \end{gathered}\right.

Формула (2.31) представляет собой локальное преобразование координат в окрестности точки X_0 с учетом членов только первого порядка. Сравнивая (2.31) с формулами (2.28), делаем вывод: в окрестности точки X_0 старые локальные координаты \Delta x=x-x_0 и новые локальные координаты \Delta x'=x'-x'_0 вектора \overrightarrow{X_0X} преобразуются так же, как при аффинном преобразовании (2.28) с матрицей \mathbf{S}=\left.\left(\frac{\partial x}{\partial x'}\right)\!\right|_{x'_0} матрицей Якоби, вычисленной в точке X_0 (при x'=x'_0).


Другими словами, преобразование координат (2.29) в окрестности неособой точки X_0 можно рассматривать как переход от одной аффинной системы координат к другой, т.е. локальное преобразование координат является невырожденным линейным преобразованием координат (2.28). Аффинное преобразование координат, как известно, обратимо и матрица \left.\left(\frac{\partial x'}{\partial x}\right)\!\right|_{x_0} обратного перехода является обратной для \left.\left(\frac{\partial x}{\partial x'}\right)\!\right|_{x'_0} (см. свойства матрицы перехода от одного базиса к другому). При этом модуль якобиана равен коэффициенту искажения объемов (в окрестности рассматриваемой точки X_0) . В отличие от аффинных преобразований коэффициент искажения объемов при нелинейных преобразованиях, вообще говоря, меняется в зависимости от точки X_0.




Точки и углы на плоскости в прямоугольной системе координат

Пример 2.15. На плоскости в прямоугольной системе координат Oxy отмечена точка Q(1;0) и введена система координат, в которой положение произвольной точки M задается двумя углами \varphi,\psi. Оба угла отсчитываются от оси абсцисс в положительном направлении (против движения часовой стрелки) до вектора \overrightarrow{OM} и вектора QM соответственно (рис.2.39,а), причем диапазоны изменения углов \varphi,\psi выбираются как в полярной системе координат: -\pi<\varphi\leqslant\pi и -\pi<\psi\leqslant\pi (допустимые значения углов \varphi,\psi изображены на рис.2.39,б (два заштрихованных треугольника), где учтены очевидные неравенства \varphi<\psi для точек, принадлежащих I и II четвертям, и \varphi>\psi для точек в III и IV четвертях). Требуется:


а) вывести формулы (2.29) преобразования координат;

б) вывести формулы (2.31) локального преобразования координат;

в) указать особые точки полученного преобразования координат.


Решение.


а) Найдем полярный радиус r точки M. По теореме синусов для треугольника OQM:


\frac{r}{\sin(\pi-\psi)}=\frac{1}{\sin\angle OMQ} \quad \Rightarrow \quad r=\frac{\sin\psi}{\sin(\psi-\varphi)},

так как \psi=\angle OMQ+\varphi (внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним) и, следовательно, \angle OMQ=\psi-\varphi. Теперь, используя связь (2.17) прямоугольных и полярных координат, получаем


\left\{\!\begin{aligned} x&=\frac{\sin\psi\cdot\cos\varphi}{\sin(\psi-\varphi)}=g_1(\varphi,\psi),\\ y&=\frac{\sin\psi\cdot\sin\varphi}{\sin(\psi-\varphi)}=g_2(\varphi,\psi). \end{aligned}\right.

б) Найдем матрицу Якоби


\left(\frac{\partial(x,y)}{\partial(\varphi,\psi)}\right)= \begin{pmatrix}\dfrac{\partial g_1(\varphi,\psi)}{\partial\varphi}&\dfrac{\partial g_1(\varphi,\psi)}{\partial\psi}\\[10pt] \dfrac{\partial g_2(\varphi,\psi)}{\partial\varphi}&\dfrac{\partial g_2(\varphi,\psi)}{\partial\psi} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \dfrac{\sin\psi\cos\psi}{\sin^2(\psi-\varphi)}& -\dfrac{\sin\varphi\cos\varphi}{\sin^2(\psi-\varphi)}\\[10pt] \dfrac{\sin^2\psi}{\sin^2(\psi-\varphi)}& -\dfrac{\sin^2\varphi}{\sin^2(\psi-\varphi)} \end{pmatrix}.

Следовательно, локальное преобразование координат (2.31) в окрестности точки M имеет вид


\begin{pmatrix}\Delta x\\\Delta y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \dfrac{\sin\psi\cos\psi}{\sin^2(\psi-\varphi)}& -\dfrac{\sin\varphi\cos\varphi}{\sin^2(\psi-\varphi)}\\[10pt] \dfrac{\sin^2\psi}{\sin^2(\psi-\varphi)}& -\dfrac{\sin^2\varphi}{\sin^2(\psi-\varphi)} \end{pmatrix} {\cdot} \begin{pmatrix}\Delta\varphi\\\Delta\psi\end{pmatrix}.

в) Находим якобиан преобразования:


\det\!\begin{pmatrix}\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(\varphi,\psi)}\end{pmatrix}=\begin{vmatrix}\, \dfrac{\sin\psi\cos\psi}{\sin^2(\psi-\varphi)}& -\dfrac{\sin\varphi\cos\varphi}{\sin^2(\psi-\varphi)}\\[10pt] \dfrac{\sin^2\psi}{\sin^2(\psi-\varphi)}& -\dfrac{\sin^2\varphi}{\sin^2(\psi-\varphi)}\, \end{vmatrix}= \dfrac{\sin\varphi\sin\psi}{\sin^3(\psi-\varphi)}.

Он равен нулю или не имеет смысла для точек, принадлежащих оси абсцисс, т.е. при \varphi=\psi=0, \varphi=\psi=\pi и \varphi=0,~\psi=\pi. Остальные точки плоскости являются неособыми.




Переход к полярной системе координат


Пусть на плоскости заданы прямоугольная система координат Oxy и соответствующая ей полярная система координат Or\varphi, для которых


\begin{cases}x=r\cdot\cos\varphi,\\y=r\cdot\sin\varphi,\end{cases}
(2,32)

то есть в (2.29) x_1=x,~x_2=y,~x'_1=r,~x'_2=\varphi,~g_1(x')=r\cos\varphi,~g'_2(x')=r\sin\varphi.


Найдем матрицу Якоби \begin{pmatrix}\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(r,\varphi)}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \cos\varphi& -r\cdot\sin\varphi\\ \sin\varphi& \phantom{-}r\cdot\cos\varphi \end{pmatrix}. Якобиан преобразования \det\!\begin{pmatrix}\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(r,\varphi)}\end{pmatrix}=r отличен от нуля всюду r>0, за исключением начала координат O, где r=0. Следовательно, точка O — единственная особая точка преобразования (2.32).


Вычислим коэффициент искажения площади в окрестности произвольной неособой точки X_0. Пусть точка X_0 имеет прямоугольные координаты x_0,y_0 и полярные координаты r_0,\varphi_0, причем r_0. В окрестности точки X_0 введем две аффинные системы координат X_0\Delta x\Delta y и X_0\Delta r\Delta\varphi (см. рис.2.40,а), связанные локальным преобразованием координат (2.31):


\begin{pmatrix}\Delta x\\\Delta y\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \cos\varphi_0& -r_0\cdot\sin\varphi_0\\ \sin\varphi_0& \phantom{-}r_0\cdot\cos\varphi_0 \end{pmatrix} {\cdot} \begin{pmatrix}\Delta r\\\Delta\varphi\end{pmatrix}
(2.33)

Аффинные системы координат и локальное преобразование координат

Аффинное преобразование (2.33), описываемое матрицей Якоби, можно представить в виде композиции двух преобразований: поворота на угол \varphi_0 и сжатия к оси X_0\Delta r с коэффициентом r_0 (см. разд.2.2.4):


\begin{pmatrix} \cos\varphi_0& -r_0\cdot\sin\varphi_0\\ \sin\varphi_0& \phantom{-}r_0\cdot\cos\varphi_0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \cos\varphi_0& -\sin\varphi_0\\ \sin\varphi_0& \phantom{-}\cos\varphi_0 \end{pmatrix}{\cdot} \begin{pmatrix}1&0\\0&r_0\end{pmatrix}.

Базисные векторы системы координат X_0\Delta x\Delta y совпадают со стандартным базисом \vec{i},\vec{j} прямоугольной системы координат Oxy, а базисные векторы \vec{i}\,',\vec{j}\,' системы координат X_0\Delta r\Delta\varphi связаны с ними соотношениями


|\vec{i}\,'|=|\vec{i}|;\qquad|\vec{j}\,'|=r_0\cdot|\vec{j}|.

Ортогональность базисных векторов при такой композиции преобразований естественно сохраняется: \vec{i}\,'\perp\vec{j}\,'. Поэтому квадрат, построенный на базисных векторах \vec{i},\vec{j} (изображен на рис.2.40,а штриховой линией), единичной площади S_{\ast\vec{i},\vec{j}}=|\vec{i}|\cdot|\vec{j}|=1 преобразуется в прямоугольник (изображен на рис.2.40,а сплошной линией) площади S'_{\ast\vec{i}\,',\vec{j}\,'}=|\vec{i}\,'|\cdot|\vec{j}\,'|=r_0\cdot|\vec{i}|\cdot|\vec{j}|=r_0. Таким образом, в окрестности неособой точки коэффициент искажения площади r_0 равен модулю якобиана преобразования (2.32):


\det\!\left.\left(\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\varphi)}\right)\!\right|_{(r_0,\varphi_0)}= \begin{vmatrix}\, \cos\varphi_0& -r_0\cdot\sin\varphi_0\\ \sin\varphi_0& \phantom{-}r_0\cdot\cos\varphi_0\, \end{vmatrix}=r_0.

Коэффициент искажения площади равен r_0 и применяется при вычислении двойных интегралов.


Сравним теперь полное искажение площади в результате преобразования (2.32) и при локальным преобразовании (2.33). Рассмотрим множество \ast r\varphi точек, полярные координаты r,\varphi которых удовлетворяют условиям


r_0\leqslant r\leqslant r_0+\Delta r_0, \quad \varphi_0\leqslant\varphi\leqslant\varphi_0+\Delta\varphi_0.

Это множество представляет собой криволинейный четырехугольник (заштрихованный на рис.2.40,б), ограниченный дугами окружностей r=r_0, r=r_0+\Delta r_0 и отрезками лучей \varphi=\varphi_0, \varphi=\varphi_0+\Delta\varphi_0. Найдем площадь 5 этой фигуры:


S=\frac{1}{2}\cdot\Delta\varphi_0\cdot(r_0+\Delta r_0)^2-\frac{1}{2}\cdot\Delta\varphi_0\cdot r_0^2= r_0\cdot\Delta\varphi_0\cdot\Delta r_0+\frac{1}{2}\cdot\Delta\varphi_0\cdot\Delta r_0^2.

В аффинной системе координат X_0\Delta r\Delta\varphi множество \ast\Delta r\Delta\varphi точек, координаты \Delta r,\Delta\varphi которых удовлетворяют условиям


0\leqslant\Delta r\leqslant\Delta r_0, \quad 0\leqslant\Delta\varphi\leqslant\Delta\varphi_0,

представляет собой прямоугольник (изображен сплошными линиями на рис.2.36,6) площади S_{\ast}=r_0\cdot\Delta\varphi_0\cdot\Delta r_0. Искомая разность площадей


S-S_{\ast}= \frac{1}{2}\cdot\Delta\varphi_0\cdot\Delta r_0^2

Так как относительная ошибка

\left|\frac{S-S_{\ast}}{S_{\ast}}\right|=\left|\frac{\frac{1}{2}\cdot\Delta\varphi_0\cdot\Delta r_0^2}{ r_0\cdot\Delta\varphi_0\cdot\Delta r_0}\right|=\frac{1}{2}\left|\frac{\Delta r_0}{r_0}\right|

стремится к нулю при \Delta r_0\to0, то при вычислении искажения площадей можно использовать локальное преобразование координат (2.33) вместо преобразования (2.32).




Переход к цилиндрической системе координат


Пусть в пространстве заданы прямоугольная система координат Oxyz и соответствующая ей цилиндрическая система координат) Or\varphi z, для которых


\begin{cases}x=r\cdot\cos\varphi,\\y=r\cdot\sin\varphi,\\z=z.\end{cases}
(2.34)

Найдем матрицу Якоби \begin{pmatrix}\dfrac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\varphi,z)}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\cos\varphi&-r\cdot\sin\varphi&0\\\sin\varphi&\phantom{-}r\cdot\cos\varphi&0\\0&0&1\end{pmatrix}. Якобиан преобразования \det\!\begin{pmatrix}\dfrac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\varphi,z)}\end{pmatrix}=r отличен от нуля всюду r>0, за исключением оси Oz, где r=0. Следовательно, все точки оси аппликат (и только они) являются особыми точками преобразования (2.34). Коэффициент искажения объема равен r и применяется при вычислении тройных интегралов.




Переход к сферической системе координат


Пусть в пространстве заданы прямоугольная система координат Oxyz и соответствующая ей сферическая система координат O\rho\varphi\theta, для которых


\begin{cases} x=\rho\cdot\cos\varphi\cdot\sin\theta,\\ y=\rho\cdot\sin\varphi\cdot\sin\theta,\\ z=\rho\cdot\cos\theta.\end{cases}
(2.35)

Найдем матрицу Якоби


\begin{pmatrix}\dfrac{\partial(x,y,z)}{\partial(\rho,\varphi,\theta)}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \cos\varphi\cdot\sin\theta&-\rho\cdot\sin\varphi\cdot\sin\theta&\rho\cdot\cos\varphi\cdot\cos\theta\\ \sin\varphi\cdot\sin\theta&\phantom{-}\rho\cdot\cos\varphi\cdot\sin\theta&\rho\cdot\sin\varphi\cdot\cos\theta\\ \cos\theta&0&-\rho\cdot\sin\theta \end{pmatrix}.

Вычислим якобиан преобразования


\det\!\begin{pmatrix}\dfrac{\partial(x,y,z)}{\partial(\rho,\varphi,\theta)}\end{pmatrix}= \begin{vmatrix}\, \cos\varphi\cdot\sin\theta&-\rho\cdot\sin\varphi\cdot\sin\theta&\rho\cdot\cos\varphi\cdot\cos\theta\\ \sin\varphi\cdot\sin\theta&\phantom{-}\rho\cdot\cos\varphi\cdot\sin\theta&\rho\cdot\sin\varphi\cdot\cos\theta\\ \cos\theta&0&-\rho\cdot\sin\theta \,\end{vmatrix}=-\rho^2\cdot\sin\theta.

При \rho>0 и при \theta\ne0 или \theta\ne\pi якобиан отличен от нуля. Следовательно, все точки оси аппликат Oz (и только они) являются особыми точками преобразования (2.35). Коэффициент искажения объема равен \rho^2\sin\theta и применяется при вычислении тройных интегралов.

Перейти на форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved