Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Преобразования прямоугольных координат

Преобразования прямоугольных координат


Преобразование прямоугольных координат на плоскости


Получим формулы, связывающие координаты точки при переходе от одной прямоугольной системы координат к другой прямоугольной системе координат. Рассмотрим три типа преобразований:


а) параллельный перенос;

б) поворот системы координат;

в) зеркальное отражение в оси абсцисс (изменение направления оси ординат на противоположное).


В каждом случае координаты точки в старой O\vec{i}\vec{j} и новой O'\vec{i}\vec{j} системах координат связаны формулой (2.8). Поэтому достаточно найти вектор \vec{s} переноса начала координат и матрицу S перехода от базиса \vec{i},\vec{j} к базису \vec{i}\,',\vec{j}\,'.


а) При параллельном переносе системы координат (рис.2.11,а) базис не изменяется, поэтому матрица перехода является единичной: \boldsymbol{S=E}. Находим координаты вектора переноса начала координат: \vec{s}= \overrightarrow{OO'}= x_s\vec{i}+ y_s\vec{j}. Тогда формулу (2.8) можно записать в виде


\begin{cases}x=x_s+x',\\y=y_s+y'.\end{cases}

б) При повороте системы координат на угол \varphi (рис.2.11,6) начало O' новой системы координат совпадает с началом O старой, поэтому вектор переноса нулевой: \vec{s}=\overrightarrow{OO'}=\vec{o}. Разлагая новые базисные векторы \vec{i}\,',\vec{j}\,' по старому базису, получаем \begin{cases} \vec{i}\,'= \vec{i}\cos\varphi+ \vec{j} \sin\varphi,\\ \vec{j}\,'=-\vec{i}\sin\varphi+ \vec{j}\cos\varphi. \end{cases} Составим матрицу перехода, записывая координаты векторов \vec{i}\,',\vec{j}\,' по столбцам: \begin{pmatrix} \cos\varphi&-\sin\varphi\\\sin\varphi&\cos\varphi\end{pmatrix}. Тогда формулу (2.8) можно записать в виде \begin{cases}x=x' \cos\varphi-y'\cdot\sin\varphi,\\ y=x'\sin\varphi+ y'\cdot\cos\varphi.\end{cases}


Параллельный перенос, поворот на угол и зеркальное отражение систем координат

в) При зеркальном отражении в оси абсцисс (изменении направления оси ординат на противоположное) (рис.2.11,в) начало O' новой системы координат совпадает с началом O старой, поэтому вектор переноса нулевой: \vec{s}=\overrightarrow{OO'}=\vec{o}. Разлагая новые базисные векторы \vec{i}\,'\vec{j}\,' по старому базису, получаем \vec{i}\,'=1\cdot\vec{i}+0\cdot\vec{j} (так как \vec{i}\,'=\vec{i}), \vec{j}\,'=0\vec{i}+(-1)\cdot\vec{j} или \vec{j}\,'=-\vec{j}. Составим матрицу перехода, записывая координаты векторов \vec{i}\,',\vec{j}\,' по столбцам: S=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}. Тогда формулу (2.8) можно записать в виде \begin{cases}x=x',\\y=-y'.\end{cases}.


Аналогично определяется зеркальное отражение в оси ординат (изменение направления оси абсцисс на противоположное).


Покажем, что любое преобразование прямоугольной системы координат сводится к последовательному применению рассмотренных преобразований, т.е. к композиции преобразований систем координат. Действительно, пусть на плоскости заданы две прямоугольные системы координат O\vec{i}\vec{j} и O\vec{i}\,',\vec{j}\,'. Сначала, если точки O и O' не совпадают, выполним параллельный перенос старой системы координат на вектор \vec{s}=\overrightarrow{OO'}, при этом получим систему координат O'\vec{i}\vec{j}. Затем при помощи поворота на угол \varphi совместим вектор \vec{i} с вектором \vec{i}\,', при этом получим систему координат O'\vec{i}\,'\vec{j}\,'', где вектор \vec{j}\,'' либо совпадает с вектором \vec{j}\,'~(\vec{j}\,''=\vec{j}\,'), либо противоположен ему (\vec{j}\,''=-\vec{j}\,'). В первом случае, когда обе системы O\vec{i}\vec{j} и O'\vec{i}\,'\vec{j}\,' одноименные, никаких преобразований делать уже не надо, так как полученная система координат O'\vec{i}\,'\vec{j}\,'' совпадает с заданной O'\vec{i}\,'\vec{j}\,' (рис.2.12,а). Во втором случае, когда системы O\vec{i}\vec{j} и O'\vec{i}\,'\vec{j}\,' разноименные, для получения системы O'\vec{i}\,'\vec{j}\,' достаточно изменить направление оси ординат на противоположное, т.е. выполнить зеркальное отражение O'\vec{i}\,'\vec{j}\,'' в оси O'\vec{i}\,' (рис.2.12,6). Формулы, связывающие старые и новые координаты точки, имеют вид:


– при одноименных системах координат (рис.2.12,а):


\begin{cases}x=x_s+x'\cdot\cos\varphi-y'\cdot\sin\varphi,\\ y=y_s+x'\cdot\sin\varphi+y'\cdot\cos\varphi;\end{cases}
(2.9)

– при разноименных системах координат (рис.2.12,6):


\begin{cases} x=x_s+x'\cdot \cos\varphi+ y'\cdot\sin\varphi\,,\\ y=y_s+ x'\cdot\sin\varphi- y'\cdot\cos\varphi\,. \end{cases}
(2.10)

Таким образом, любое преобразование прямоугольной системы координат на плоскости сводится к композиции преобразований, каждое из которых является либо параллельным переносом, либо поворотом, либо зеркальным отражением в оси координат.


Композиции преобразований систем координат



Замечания 2.3.


1. Для рассмотренных преобразований координат точек нетрудно получить выражения новых координат через старые:


a)~\begin{cases}x'=x-x_s,\\y'=y-y_s;\end{cases}\quad b)~\begin{cases}x'=x\cos\varphi+y\cdot\sin\varphi,\\y'=-x\cdot\sin\varphi+y\cdot\cos\varphi;\end{cases}\quad c)~\begin{cases}x'=x,\\y'=-y.\end{cases}

Для преобразования (2.9) аналогичные формулы имеют вид:


\begin{cases}x'=(x-x_s)\cdot\cos\varphi+(y-y_s)\cdot\sin\varphi,\\y'=-(x-x_s)\cdot\sin\varphi+(y-y_s)\cdot\cos\varphi.\end{cases}

2. При x_s=0,~y_s=0 и \varphi=\frac{\pi}{2} из соотношений (2.10) получается преобразование \begin{cases}x=y',\\y=x',\end{cases} изменяющее названия координатных осей (зеркальное отражение в прямой, содержащей биссектрису первого координатного угла).


3. Справедливо утверждение: любое преобразование прямоугольной системы координат на плоскости может быть представлено в виде композиции зеркальных отражений в некоторых прямых.


Для доказательства достаточно показать, что рассмотренные выше преобразования — параллельный перенос (рис.2.11,а) и поворот (рис.2.11,6) — можно представить при помощи композиции зеркальных отражений. Действительно, параллельный перенос системы координат вдоль оси абсцисс (на вектор \vec{s}=x_s\cdot\vec{i}+0\cdot\vec{j}) можно получить при помощи двух отражений: первое — относительно оси ординат (получим систему координат O\vec{i}\,'',\vec{j}) , а второе — относительно прямой l, проходящей через точку \frac{1}{2}\cdot x_s на оси абсцисс параллельно оси ординат (рис.2.13,а). Аналогично выполняется сдвиг вдоль оси ординат. Поэтому любой параллельный перенос сводится к композиции зеркальных отражений.


Чтобы получить поворот на угол \varphi, нужно выполнить два зеркальных отражения (рис.2.13,6): первое — относительно оси ординат (получим систему O\vec{i}\,'',\vec{j}), а второе — относительно биссектрисы l угла между векторами \vec{j} и \vec{j}\,'.


Отражения систем координат

4. Утверждение пункта 3 можно уточнить: любое преобразование прямоугольной системы координат на плоскости может быть представлено в виде композиции не более трех зеркальных отражений в некоторых прямых.


5. Преобразования координат (2.7) и (2.8) называются ортогональными, если матрица перехода \mathop{S}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{e}\,')} ортогональная, т.е. \mathop{S^{-1}}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{e}\,')}=\mathop{S^{T}}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{e}\,')}. Нетрудно но показать, что преобразования (2.9),(2.10) ортогональные, поэтому любое преобразование прямоугольной системы координат является ортогональным.




Зеркальное отражение координат точки в прямоугольной системе координат

Пример 2.5. Известны координаты точек A(7,-1) и O'(8,6) в прямоугольной системе координат O\vec{i}\vec{j} на плоскости. Найти координаты точки A в прямоугольной системе координат O'\vec{i}'\vec{j}', полученной при помощи зеркального отражения в некоторой прямой l системы Oxy (рис.2.14).


Решение. Находим вектор переноса начала системы координат \vec{s}=\overrightarrow{OO'}=8\vec{i}+6\vec{j}~(x_s=8,\,y_s=6), его длину |\vec{s}|=10 и угол \alpha=\arccos\frac{4}{5} между векторами \vec{s} и \vec{i}, так как \cos\alpha=\frac{x_s}{|\vec{s}|}=\frac{8}{10}. Ось симметрии l при зеркальном отражении является серединным перпендикуляром к отрезку OO', поэтому угол \psi, который образует ось симметрии с положительным направлением оси абсцисс Ox, равен \psi=\frac{\pi}{2}+\alpha. Отражение в оси l представим в виде композиции следующих преобразований: параллельного переноса на вектор \vec{s}=\overrightarrow{OO'}=8\vec{i}+6\vec{j}; поворота на угол \varphi=2\psi=\pi+2\alpha; зеркального отражения в оси абсцисс (рис.2.12,6). Старые и новые координаты точки A связаны формулой (2.10) при x_s=8,~y_s,~\varphi=\pi+2\alpha. Учитывая, что \sin\alpha=\frac{3}{5} и


\begin{aligned}\cos\varphi&=\cos(\pi+2\alpha)=-\cos2\alpha=1-2\cos^2\alpha=1-2{\left(\frac{4}{5}\right)\!}^2=-\frac{7}{25};\\[3pt]\sin\varphi&=\sin(\pi+2\alpha)=-\sin2\alpha=-2\sin\alpha\cos\alpha=-2\cdot\frac{3}{5}\cdot\frac{4}{5}=-\frac{24}{25}.\end{aligned}

получаем

\left\{\begin{aligned}x&=8-\frac{7}{25}\cdot x'-\frac{24}{25}\cdot y',\\y&=6-\frac{24}{25}\cdot x'+\frac{7}{25}\cdot y';\end{aligned}\right.\quad\Leftrightarrow\quad\left\{\begin{aligned}x'&=-\frac{7}{25}\cdot(x-8)-\frac{24}{25}\cdot(y-6),\\y'&=-\frac{24}{25}\cdot(x-8)+\frac{7}{25}\cdot(y-6).\end{aligned}\right.

Подставляя старые координаты x=7,~y=-1 точки A, получаем ее новые координаты:


\begin{aligned}& x'=-\frac{7}{5}(7-8)-\frac{24}{25}(-1-6)=7,\\ & y'=-\frac{24}{25}(7-8)+\frac{7}{25}(-1-6)=-1.\end{aligned}

Следовательно, точка A имеет одинаковые координаты в обеих системах, т.е. точка A лежит на оси симметрии l.




Преобразования прямоугольных координат в пространстве


Получим формулы, связывающие координаты точки при переходе от одной прямоугольной системы координат в пространстве к другой прямоугольной системе координат.


Рассмотрим три типа преобразований прямоугольной системы координат:


а) параллельный перенос;

б) поворот вокруг координатной оси;

в) зеркальное отражение в координатной плоскости (изменение направления одной координатной оси на противоположное).


В каждом случае координаты точки в старой O\vec{i}\vec{j}\vec{k} и новой O'\vec{i}\,'\vec{j}\,'\vec{k}\,' системах координат связаны формулой (2.7). Поэтому достаточно найти вектор \vec{s} переноса начала координат и матрицу \mathbf{S} перехода от базиса \vec{i},\vec{j},\vec{k} к базису \vec{i}\,',\vec{j}\,',\vec{k}.


а) При параллельном переносе системы координат базис не изменяется, поэтому матрица перехода является единичной: \mathbf{S}=\mathbf{E}. Находим координаты вектора переноса начала координат: \vec{s}= \overrightarrow{OO'}= x_s\vec{i}+ y_s\vec{j}+z_s\vec{j}. Тогда формулу (2.7) можно записать в виде


\begin{cases}x=x_s+x',\\y=y_s+y',\\z=z_s+z'.\end{cases}

б) При повороте системы координат на угол \varphi (рис.2.11,б) вокруг оси аппликат начало O' новой системы координат совпадает с началом O старой, поэтому вектор переноса нулевой: \vec{s}=\overrightarrow{OO'}=\vec{o}. Разлагая новые базисные векторы \vec{i}\,',\vec{j}\,',\vec{k}\,' по старому базису, получаем


\begin{cases}\vec{i}\,'=\cos\varphi\cdot\vec{i}+\sin\varphi\cdot\vec{j}+0\cdot\vec{k},\\\vec{j}\,'=-\sin\varphi\cdot\vec{i}+\cos\varphi\cdot\vec{j}+0\cdot\vec{k},\\\vec{k}\,'=0\cdot\vec{i}+0\cdot\vec{j}+1\cdot\vec{k}.\end{cases}

Составим матрицу перехода \mathbf{S}=\begin{pmatrix}\cos\varphi&-\sin\varphi&0\\\sin\varphi&\cos\varphi&0\\0&0&1\end{pmatrix}, записывая координаты векторов \vec{i}\,',\vec{j}\,',\vec{k}\,' по столбцам. Тогда формулу (2.7) можно записать в виде


\begin{cases}x=x'\cdot\cos\varphi-y'\cdot\sin\varphi,\\ y=x'\cdot \sin\varphi+y'\cdot\cos\varphi,\\z'=z.\end{cases}

Очевидно, что система координат на плоскости Oxy при этом преобразовании поворачивается на угол \varphi.


в) При зеркальном отражении в плоскости Oxy (изменении направления оси аппликат на противоположное) начало O' новой системы координат совпадает с началом O старой, поэтому вектор переноса нулевой: \vec{s}=\overrightarrow{OO'}=\vec{o}. Разлагая новые базисные векторы \vec{i}\,',\vec{j}\,',\vec{k}\,' по старому базису, получаем


\begin{cases}\vec{i}\,'=1\cdot\vec{i}+0\cdot\vec{j}+0\cdot\vec{k},\\\vec{j}\,'=0\cdot\vec{i}+1\cdot\vec{j}+0\cdot\vec{k},\\\vec{k}\,'=0\cdot\vec{i}+0\cdot\vec{j}-1\cdot\vec{k}.\end{cases} Составим матрицу перехода \mathbf{S}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}

Тогда формулу (2.7) можно записать в виде \begin{cases}x=x',\\y=y',\\z=-z'.\end{cases}


Аналогично определяются зеркальные отражения в других координатных плоскостях (изменение направлений осей абсцисс или ординат на противоположные).


Матрицы переходов в пунктах "а", "б" и "в" ортогональные (см. пункт 5 замечаний 2.3).


Как и в случае преобразований на плоскости, можно показать, что любое преобразование прямоугольной системы координат в пространстве сводится к композиции преобразований, каждое из которых является либо параллельным переносам, либо поворотам вокруг координатной оси, либо зеркальным отражением в координатной плоскости.




Углы Эйлера


Используя композицию, получим формулы преобразования координат точки в пространстве при переходе от старой прямоугольной системы Oxyz к новой Ox'y'z', имеющей то же начало и ту же ориентацию (т.е. новая система координат получается из старой поворотом вокруг начала координат O). Обе системы координат изображены на рис.2.15 (полужирными и двойными линиями соответственно). Чтобы от системы Oxyz перейти к системе Ox'y'z' нужно выполнить три поворота. Сначала проведем через точку O перпендикуляр Ox_1 (линию узлов) к плоскости Ozz'. Направление на этом перпендикуляре выберем так, чтобы ориентация системы координат Ox_1zz' совпадала бы с ориентацией системы координат Oxyz. Если оси Oz и Oz' совпадают, то ось Ox_1 выбирается совпадающей с осью Ox. Если оси Oz и Oz' противоположно направлены, то и ось Ox_1 выбирается противоположно направленной оси Ox. Затем последовательно сделаем три поворота:


Углы Эйлера

– первый поворот выполним вокруг оси Oz на угол \psi~(0\leqslant\psi\leqslant2\pi) от оси Ox до оси Ox_1 (получим систему координат Ox_1y_1z_1, оси Ox_1 и Oy_1 которой изображены штриховыми линиями на рис.2.15);


– второй поворот выполним вокруг оси Ox_1 на угол \theta~(0\leqslant\theta\leqslant\pi) от оси Oz до оси Oz', при этом ось Oy_1 примет положение Oy_2 (получим систему координат Ox_1y_2z_2, ось Oy_2 которой Рис.2.15 изображена двойной штриховой линией на рис.2.15);


– третий поворот выполним вокруг оси Oz' на угол \varphi~(0\leqslant\varphi\leqslant2\pi) от оси Ox_2 до оси Ox'.


Указанные углы \psi,\theta,\varphi называются углами Эйлера, в частности, угол \psi называется углом прецессии, угол \thetaуглом нутации, а угол \varphiуглом чистого вращения.


Согласно пункту "б", запишем матрицы переходов S_1,S_2,S_3 от базиса к базису для указанных поворотов соответственно:


S_1=\begin{pmatrix}\cos\psi&-\sin\psi&0\\\sin\psi&\cos\psi&0\\0&0&1\end{pmatrix},\quad S_2=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos\theta&-\sin\theta\\0&\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix},\quad S_3=\begin{pmatrix}\cos\varphi&-\sin\varphi&0\\\sin\varphi&\cos\varphi&0\\0&0&1\end{pmatrix}.

По свойству 1 (см. разд.2.2.1) получаем матрицу перехода \mathbf{S} от базиса прямоугольной системы координат Oxyz к базису прямоугольной системы координат Ox'y'z':


\mathop{S}\limits_{(\psi,\theta,\varphi)}=S_1\cdot S_2\cdot S_3=\begin{pmatrix}\cos\psi\cos\varphi-\sin\psi\cos\theta\sin\varphi&-\cos\psi\sin\varphi-\sin\psi\cos\varphi\cos\varphi&\sin\psi\sin\theta\\\sin\psi\cos\varphi+\cos\psi\cos\theta\sin\varphi&-\cos\psi\sin\theta+\cos\psi\cos\varphi\cos\varphi&-\cos\psi\sin\theta\\\sin\theta\sin\varphi&\sin\theta\cos\varphi&\cos\theta\end{pmatrix}

Отсюда следуют формулы для преобразования прямоугольных координат точки


\begin{cases}x=(\cos\psi\cos\varphi-\sin\psi\cos\theta\sin\varphi)x'+(-\cos\psi\sin\varphi-\sin\psi\cos\varphi\cos\varphi)y'+\sin\psi\sin\theta\cdot z',\\y=(\sin\psi\cos\varphi+\cos\psi\cos\theta\sin\varphi)x'+(-\cos\psi\sin\theta+\cos\psi\cos\varphi\cos\varphi)y'-\cos\psi\sin\theta\cdot z',\\z=\sin\theta\sin\varphi\cdot x'+\sin\theta\cos\varphi\cdot y'+\cos\theta\cdot z'.\end{cases}

Поскольку каждая из матриц S_1,~S_2,~S_3 ортогональная, то и их произведение также является ортогональной матрицей (см. пункт 5 замечаний 2.3).




Прямая, проходящая через начало координат и образующая равные углы с координатными осями

Пример 2.6. Прямоугольная система координат O\vec{i}\,'\vec{j}\,'\vec{k}\,' получена из стандартной системы координат O\vec{i}\vec{j}\vec{k} при помощи поворота на угол \frac{2\pi}{3} вокруг прямой, проходящей через начало координат и образующей равные углы с координатными осями (на рис.2.16 эта прямая изображена одной точкой O, поскольку перпендикулярна плоскости рисунка). Требуется найти углы Эйлера.


Решение. Составим матрицу S перехода от базиса \vec{i},\vec{j},\vec{k} к базису \vec{i}\,',\vec{j}\,',\vec{k}\,'.


Так как \begin{cases}\vec{i}\,'=0\cdot\vec{i}+1\cdot\vec{j}+0\cdot\vec{k},\\\vec{j}\,'=0\cdot\vec{i}+0\cdot\vec{j}+1\cdot\vec{k},\\\vec{k}\,'=1\cdot\vec{i}+0\cdot\vec{j}+0\cdot\vec{k}.\end{cases}, то S=\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}.


Сравнивая с матрицей \mathop{S}\limits_{(\psi,\theta,\varphi)}, заключаем, что \theta=\frac{\pi}{2} (так как \cos\theta=0 и 0\leqslant\theta\leqslant\pi); \psi=\frac{\pi}{2} (так как \sin\psi=1 и 0\leqslant\psi\leqslant2\pi); \varphi=0 (так как \cos\varphi=1 и 0\leqslant\varphi\leqslant2\pi).

Перейти на форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2018 MathHelpPlanet.com. All rights reserved