Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Преобразования прямоугольных координат

Преобразования прямоугольных координат


Преобразование прямоугольных координат на плоскости


Получим формулы, связывающие координаты точки при переходе от одной прямоугольной системы координат к другой прямоугольной системе координат. Рассмотрим три типа преобразований:


а) параллельный перенос;

б) поворот системы координат;

в) зеркальное отражение в оси абсцисс (изменение направления оси ординат на противоположное).


В каждом случае координаты точки в старой [math]O\vec{i}\vec{j}[/math] и новой [math]O'\vec{i}\vec{j}[/math] системах координат связаны формулой (2.8). Поэтому достаточно найти вектор [math]\vec{s}[/math] переноса начала координат и матрицу [math]S[/math] перехода от базиса [math]\vec{i},\vec{j}[/math] к базису [math]\vec{i}\,',\vec{j}\,'[/math].


а) При параллельном переносе системы координат (рис.2.11,а) базис не изменяется, поэтому матрица перехода является единичной: [math]\boldsymbol{S=E}[/math]. Находим координаты вектора переноса начала координат: [math]\vec{s}= \overrightarrow{OO'}= x_s\vec{i}+ y_s\vec{j}[/math]. Тогда формулу (2.8) можно записать в виде


[math]\begin{cases}x=x_s+x',\\y=y_s+y'.\end{cases}[/math]

б) При повороте системы координат на угол [math]\varphi[/math] (рис.2.11,6) начало [math]O'[/math] новой системы координат совпадает с началом [math]O[/math] старой, поэтому вектор переноса нулевой: [math]\vec{s}=\overrightarrow{OO'}=\vec{o}[/math]. Разлагая новые базисные векторы [math]\vec{i}\,',\vec{j}\,'[/math] по старому базису, получаем [math]\begin{cases} \vec{i}\,'= \vec{i}\cos\varphi+ \vec{j} \sin\varphi,\\ \vec{j}\,'=-\vec{i}\sin\varphi+ \vec{j}\cos\varphi. \end{cases}[/math] Составим матрицу перехода, записывая координаты векторов [math]\vec{i}\,',\vec{j}\,'[/math] по столбцам: [math]\begin{pmatrix} \cos\varphi&-\sin\varphi\\\sin\varphi&\cos\varphi\end{pmatrix}[/math]. Тогда формулу (2.8) можно записать в виде [math]\begin{cases}x=x' \cos\varphi-y'\cdot\sin\varphi,\\ y=x'\sin\varphi+ y'\cdot\cos\varphi.\end{cases}[/math]


Параллельный перенос, поворот на угол и зеркальное отражение систем координат

в) При зеркальном отражении в оси абсцисс (изменении направления оси ординат на противоположное) (рис.2.11,в) начало [math]O'[/math] новой системы координат совпадает с началом [math]O[/math] старой, поэтому вектор переноса нулевой: [math]\vec{s}=\overrightarrow{OO'}=\vec{o}[/math]. Разлагая новые базисные векторы [math]\vec{i}\,'\vec{j}\,'[/math] по старому базису, получаем [math]\vec{i}\,'=1\cdot\vec{i}+0\cdot\vec{j}[/math] (так как [math]\vec{i}\,'=\vec{i}[/math]), [math]\vec{j}\,'=0\vec{i}+(-1)\cdot\vec{j}[/math] или [math]\vec{j}\,'=-\vec{j}[/math]. Составим матрицу перехода, записывая координаты векторов [math]\vec{i}\,',\vec{j}\,'[/math] по столбцам: [math]S=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}[/math]. Тогда формулу (2.8) можно записать в виде [math]\begin{cases}x=x',\\y=-y'.\end{cases}[/math].


Аналогично определяется зеркальное отражение в оси ординат (изменение направления оси абсцисс на противоположное).


Покажем, что любое преобразование прямоугольной системы координат сводится к последовательному применению рассмотренных преобразований, т.е. к композиции преобразований систем координат. Действительно, пусть на плоскости заданы две прямоугольные системы координат [math]O\vec{i}\vec{j}[/math] и [math]O\vec{i}\,',\vec{j}\,'[/math]. Сначала, если точки [math]O[/math] и [math]O'[/math] не совпадают, выполним параллельный перенос старой системы координат на вектор [math]\vec{s}=\overrightarrow{OO'}[/math], при этом получим систему координат [math]O'\vec{i}\vec{j}[/math]. Затем при помощи поворота на угол [math]\varphi[/math] совместим вектор [math]\vec{i}[/math] с вектором [math]\vec{i}\,'[/math], при этом получим систему координат [math]O'\vec{i}\,'\vec{j}\,''[/math], где вектор [math]\vec{j}\,''[/math] либо совпадает с вектором [math]\vec{j}\,'~(\vec{j}\,''=\vec{j}\,')[/math], либо противоположен ему [math](\vec{j}\,''=-\vec{j}\,')[/math]. В первом случае, когда обе системы [math]O\vec{i}\vec{j}[/math] и [math]O'\vec{i}\,'\vec{j}\,'[/math] одноименные, никаких преобразований делать уже не надо, так как полученная система координат [math]O'\vec{i}\,'\vec{j}\,''[/math] совпадает с заданной [math]O'\vec{i}\,'\vec{j}\,'[/math] (рис.2.12,а). Во втором случае, когда системы [math]O\vec{i}\vec{j}[/math] и [math]O'\vec{i}\,'\vec{j}\,'[/math] разноименные, для получения системы [math]O'\vec{i}\,'\vec{j}\,'[/math] достаточно изменить направление оси ординат на противоположное, т.е. выполнить зеркальное отражение [math]O'\vec{i}\,'\vec{j}\,''[/math] в оси [math]O'\vec{i}\,'[/math] (рис.2.12,6). Формулы, связывающие старые и новые координаты точки, имеют вид:


– при одноименных системах координат (рис.2.12,а):


[math]\begin{cases}x=x_s+x'\cdot\cos\varphi-y'\cdot\sin\varphi,\\ y=y_s+x'\cdot\sin\varphi+y'\cdot\cos\varphi;\end{cases}[/math]
(2.9)

– при разноименных системах координат (рис.2.12,6):


[math]\begin{cases} x=x_s+x'\cdot \cos\varphi+ y'\cdot\sin\varphi\,,\\ y=y_s+ x'\cdot\sin\varphi- y'\cdot\cos\varphi\,. \end{cases}[/math]
(2.10)

Таким образом, любое преобразование прямоугольной системы координат на плоскости сводится к композиции преобразований, каждое из которых является либо параллельным переносом, либо поворотом, либо зеркальным отражением в оси координат.


Композиции преобразований систем координат



Замечания 2.3.


1. Для рассмотренных преобразований координат точек нетрудно получить выражения новых координат через старые:


[math]a)~\begin{cases}x'=x-x_s,\\y'=y-y_s;\end{cases}\quad b)~\begin{cases}x'=x\cos\varphi+y\cdot\sin\varphi,\\y'=-x\cdot\sin\varphi+y\cdot\cos\varphi;\end{cases}\quad c)~\begin{cases}x'=x,\\y'=-y.\end{cases}[/math]

Для преобразования (2.9) аналогичные формулы имеют вид:


[math]\begin{cases}x'=(x-x_s)\cdot\cos\varphi+(y-y_s)\cdot\sin\varphi,\\y'=-(x-x_s)\cdot\sin\varphi+(y-y_s)\cdot\cos\varphi.\end{cases}[/math]

2. При [math]x_s=0,~y_s=0[/math] и [math]\varphi=\frac{\pi}{2}[/math] из соотношений (2.10) получается преобразование [math]\begin{cases}x=y',\\y=x',\end{cases}[/math] изменяющее названия координатных осей (зеркальное отражение в прямой, содержащей биссектрису первого координатного угла).


3. Справедливо утверждение: любое преобразование прямоугольной системы координат на плоскости может быть представлено в виде композиции зеркальных отражений в некоторых прямых.


Для доказательства достаточно показать, что рассмотренные выше преобразования — параллельный перенос (рис.2.11,а) и поворот (рис.2.11,6) — можно представить при помощи композиции зеркальных отражений. Действительно, параллельный перенос системы координат вдоль оси абсцисс (на вектор [math]\vec{s}=x_s\cdot\vec{i}+0\cdot\vec{j}[/math]) можно получить при помощи двух отражений: первое — относительно оси ординат (получим систему координат [math]O\vec{i}\,'',\vec{j}[/math]) , а второе — относительно прямой [math]l[/math], проходящей через точку [math]\frac{1}{2}\cdot x_s[/math] на оси абсцисс параллельно оси ординат (рис.2.13,а). Аналогично выполняется сдвиг вдоль оси ординат. Поэтому любой параллельный перенос сводится к композиции зеркальных отражений.


Чтобы получить поворот на угол [math]\varphi[/math], нужно выполнить два зеркальных отражения (рис.2.13,6): первое — относительно оси ординат (получим систему [math]O\vec{i}\,'',\vec{j}[/math]), а второе — относительно биссектрисы [math]l[/math] угла между векторами [math]\vec{j}[/math] и [math]\vec{j}\,'[/math].


Отражения систем координат

4. Утверждение пункта 3 можно уточнить: любое преобразование прямоугольной системы координат на плоскости может быть представлено в виде композиции не более трех зеркальных отражений в некоторых прямых.


5. Преобразования координат (2.7) и (2.8) называются ортогональными, если матрица перехода [math]\mathop{S}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{e}\,')}[/math] ортогональная, т.е. [math]\mathop{S^{-1}}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{e}\,')}=\mathop{S^{T}}\limits_{(\vec{e})\to(\vec{e}\,')}[/math]. Нетрудно но показать, что преобразования (2.9),(2.10) ортогональные, поэтому любое преобразование прямоугольной системы координат является ортогональным.




Зеркальное отражение координат точки в прямоугольной системе координат

Пример 2.5. Известны координаты точек [math]A(7,-1)[/math] и [math]O'(8,6)[/math] в прямоугольной системе координат [math]O\vec{i}\vec{j}[/math] на плоскости. Найти координаты точки [math]A[/math] в прямоугольной системе координат [math]O'\vec{i}'\vec{j}'[/math], полученной при помощи зеркального отражения в некоторой прямой [math]l[/math] системы [math]Oxy[/math] (рис.2.14).


Решение. Находим вектор переноса начала системы координат [math]\vec{s}=\overrightarrow{OO'}=8\vec{i}+6\vec{j}~(x_s=8,\,y_s=6)[/math], его длину [math]|\vec{s}|=10[/math] и угол [math]\alpha=\arccos\frac{4}{5}[/math] между векторами [math]\vec{s}[/math] и [math]\vec{i}[/math], так как [math]\cos\alpha=\frac{x_s}{|\vec{s}|}=\frac{8}{10}[/math]. Ось симметрии [math]l[/math] при зеркальном отражении является серединным перпендикуляром к отрезку [math]OO'[/math], поэтому угол [math]\psi[/math], который образует ось симметрии с положительным направлением оси абсцисс [math]Ox[/math], равен [math]\psi=\frac{\pi}{2}+\alpha[/math]. Отражение в оси [math]l[/math] представим в виде композиции следующих преобразований: параллельного переноса на вектор [math]\vec{s}=\overrightarrow{OO'}=8\vec{i}+6\vec{j}[/math]; поворота на угол [math]\varphi=2\psi=\pi+2\alpha[/math]; зеркального отражения в оси абсцисс (рис.2.12,6). Старые и новые координаты точки [math]A[/math] связаны формулой (2.10) при [math]x_s=8,~y_s,~\varphi=\pi+2\alpha[/math]. Учитывая, что [math]\sin\alpha=\frac{3}{5}[/math] и


[math]\begin{aligned}\cos\varphi&=\cos(\pi+2\alpha)=-\cos2\alpha=1-2\cos^2\alpha=1-2{\left(\frac{4}{5}\right)\!}^2=-\frac{7}{25};\\[3pt]\sin\varphi&=\sin(\pi+2\alpha)=-\sin2\alpha=-2\sin\alpha\cos\alpha=-2\cdot\frac{3}{5}\cdot\frac{4}{5}=-\frac{24}{25}.\end{aligned}[/math]

получаем

[math]\left\{\begin{aligned}x&=8-\frac{7}{25}\cdot x'-\frac{24}{25}\cdot y',\\y&=6-\frac{24}{25}\cdot x'+\frac{7}{25}\cdot y';\end{aligned}\right.\quad\Leftrightarrow\quad\left\{\begin{aligned}x'&=-\frac{7}{25}\cdot(x-8)-\frac{24}{25}\cdot(y-6),\\y'&=-\frac{24}{25}\cdot(x-8)+\frac{7}{25}\cdot(y-6).\end{aligned}\right.[/math]

Подставляя старые координаты [math]x=7,~y=-1[/math] точки [math]A[/math], получаем ее новые координаты:


[math]\begin{aligned}& x'=-\frac{7}{5}(7-8)-\frac{24}{25}(-1-6)=7,\\ & y'=-\frac{24}{25}(7-8)+\frac{7}{25}(-1-6)=-1.\end{aligned}[/math]

Следовательно, точка [math]A[/math] имеет одинаковые координаты в обеих системах, т.е. точка [math]A[/math] лежит на оси симметрии [math]l[/math].




Преобразования прямоугольных координат в пространстве


Получим формулы, связывающие координаты точки при переходе от одной прямоугольной системы координат в пространстве к другой прямоугольной системе координат.


Рассмотрим три типа преобразований прямоугольной системы координат:


а) параллельный перенос;

б) поворот вокруг координатной оси;

в) зеркальное отражение в координатной плоскости (изменение направления одной координатной оси на противоположное).


В каждом случае координаты точки в старой [math]O\vec{i}\vec{j}\vec{k}[/math] и новой [math]O'\vec{i}\,'\vec{j}\,'\vec{k}\,'[/math] системах координат связаны формулой (2.7). Поэтому достаточно найти вектор [math]\vec{s}[/math] переноса начала координат и матрицу [math]\mathbf{S}[/math] перехода от базиса [math]\vec{i},\vec{j},\vec{k}[/math] к базису [math]\vec{i}\,',\vec{j}\,',\vec{k}[/math].


а) При параллельном переносе системы координат базис не изменяется, поэтому матрица перехода является единичной: [math]\mathbf{S}=\mathbf{E}[/math]. Находим координаты вектора переноса начала координат: [math]\vec{s}= \overrightarrow{OO'}= x_s\vec{i}+ y_s\vec{j}+z_s\vec{j}[/math]. Тогда формулу (2.7) можно записать в виде


[math]\begin{cases}x=x_s+x',\\y=y_s+y',\\z=z_s+z'.\end{cases}[/math]

б) При повороте системы координат на угол [math]\varphi[/math] (рис.2.11,б) вокруг оси аппликат начало [math]O'[/math] новой системы координат совпадает с началом [math]O[/math] старой, поэтому вектор переноса нулевой: [math]\vec{s}=\overrightarrow{OO'}=\vec{o}[/math]. Разлагая новые базисные векторы [math]\vec{i}\,',\vec{j}\,',\vec{k}\,'[/math] по старому базису, получаем


[math]\begin{cases}\vec{i}\,'=\cos\varphi\cdot\vec{i}+\sin\varphi\cdot\vec{j}+0\cdot\vec{k},\\\vec{j}\,'=-\sin\varphi\cdot\vec{i}+\cos\varphi\cdot\vec{j}+0\cdot\vec{k},\\\vec{k}\,'=0\cdot\vec{i}+0\cdot\vec{j}+1\cdot\vec{k}.\end{cases}[/math]

Составим матрицу перехода [math]\mathbf{S}=\begin{pmatrix}\cos\varphi&-\sin\varphi&0\\\sin\varphi&\cos\varphi&0\\0&0&1\end{pmatrix}[/math], записывая координаты векторов [math]\vec{i}\,',\vec{j}\,',\vec{k}\,'[/math] по столбцам. Тогда формулу (2.7) можно записать в виде


[math]\begin{cases}x=x'\cdot\cos\varphi-y'\cdot\sin\varphi,\\ y=x'\cdot \sin\varphi+y'\cdot\cos\varphi,\\z'=z.\end{cases}[/math]

Очевидно, что система координат на плоскости [math]Oxy[/math] при этом преобразовании поворачивается на угол [math]\varphi[/math].


в) При зеркальном отражении в плоскости [math]Oxy[/math] (изменении направления оси аппликат на противоположное) начало [math]O'[/math] новой системы координат совпадает с началом [math]O[/math] старой, поэтому вектор переноса нулевой: [math]\vec{s}=\overrightarrow{OO'}=\vec{o}[/math]. Разлагая новые базисные векторы [math]\vec{i}\,',\vec{j}\,',\vec{k}\,'[/math] по старому базису, получаем


[math]\begin{cases}\vec{i}\,'=1\cdot\vec{i}+0\cdot\vec{j}+0\cdot\vec{k},\\\vec{j}\,'=0\cdot\vec{i}+1\cdot\vec{j}+0\cdot\vec{k},\\\vec{k}\,'=0\cdot\vec{i}+0\cdot\vec{j}-1\cdot\vec{k}.\end{cases}[/math] Составим матрицу перехода [math]\mathbf{S}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}[/math]

Тогда формулу (2.7) можно записать в виде [math]\begin{cases}x=x',\\y=y',\\z=-z'.\end{cases}[/math]


Аналогично определяются зеркальные отражения в других координатных плоскостях (изменение направлений осей абсцисс или ординат на противоположные).


Матрицы переходов в пунктах "а", "б" и "в" ортогональные (см. пункт 5 замечаний 2.3).


Как и в случае преобразований на плоскости, можно показать, что любое преобразование прямоугольной системы координат в пространстве сводится к композиции преобразований, каждое из которых является либо параллельным переносам, либо поворотам вокруг координатной оси, либо зеркальным отражением в координатной плоскости.




Углы Эйлера


Используя композицию, получим формулы преобразования координат точки в пространстве при переходе от старой прямоугольной системы [math]Oxyz[/math] к новой [math]Ox'y'z'[/math], имеющей то же начало и ту же ориентацию (т.е. новая система координат получается из старой поворотом вокруг начала координат [math]O[/math]). Обе системы координат изображены на рис.2.15 (полужирными и двойными линиями соответственно). Чтобы от системы [math]Oxyz[/math] перейти к системе [math]Ox'y'z'[/math] нужно выполнить три поворота. Сначала проведем через точку [math]O[/math] перпендикуляр [math]Ox_1[/math] (линию узлов) к плоскости [math]Ozz'[/math]. Направление на этом перпендикуляре выберем так, чтобы ориентация системы координат [math]Ox_1zz'[/math] совпадала бы с ориентацией системы координат [math]Oxyz[/math]. Если оси [math]Oz[/math] и [math]Oz'[/math] совпадают, то ось [math]Ox_1[/math] выбирается совпадающей с осью [math]Ox[/math]. Если оси [math]Oz[/math] и [math]Oz'[/math] противоположно направлены, то и ось [math]Ox_1[/math] выбирается противоположно направленной оси [math]Ox[/math]. Затем последовательно сделаем три поворота:


Углы Эйлера

– первый поворот выполним вокруг оси [math]Oz[/math] на угол [math]\psi~(0\leqslant\psi\leqslant2\pi)[/math] от оси [math]Ox[/math] до оси [math]Ox_1[/math] (получим систему координат [math]Ox_1y_1z_1[/math], оси [math]Ox_1[/math] и [math]Oy_1[/math] которой изображены штриховыми линиями на рис.2.15);


– второй поворот выполним вокруг оси [math]Ox_1[/math] на угол [math]\theta~(0\leqslant\theta\leqslant\pi)[/math] от оси [math]Oz[/math] до оси [math]Oz'[/math], при этом ось [math]Oy_1[/math] примет положение [math]Oy_2[/math] (получим систему координат [math]Ox_1y_2z_2[/math], ось [math]Oy_2[/math] которой Рис.2.15 изображена двойной штриховой линией на рис.2.15);


– третий поворот выполним вокруг оси [math]Oz'[/math] на угол [math]\varphi~(0\leqslant\varphi\leqslant2\pi)[/math] от оси [math]Ox_2[/math] до оси [math]Ox'[/math].


Указанные углы [math]\psi,\theta,\varphi[/math] называются углами Эйлера, в частности, угол [math]\psi[/math] называется углом прецессии, угол [math]\theta[/math]углом нутации, а угол [math]\varphi[/math]углом чистого вращения.


Согласно пункту "б", запишем матрицы переходов [math]S_1,S_2,S_3[/math] от базиса к базису для указанных поворотов соответственно:


[math]S_1=\begin{pmatrix}\cos\psi&-\sin\psi&0\\\sin\psi&\cos\psi&0\\0&0&1\end{pmatrix},\quad S_2=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos\theta&-\sin\theta\\0&\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix},\quad S_3=\begin{pmatrix}\cos\varphi&-\sin\varphi&0\\\sin\varphi&\cos\varphi&0\\0&0&1\end{pmatrix}.[/math]

По свойству 1 (см. разд.2.2.1) получаем матрицу перехода [math]\mathbf{S}[/math] от базиса прямоугольной системы координат [math]Oxyz[/math] к базису прямоугольной системы координат [math]Ox'y'z'[/math]:


[math]\mathop{S}\limits_{(\psi,\theta,\varphi)}=S_1\cdot S_2\cdot S_3=\begin{pmatrix}\cos\psi\cos\varphi-\sin\psi\cos\theta\sin\varphi&-\cos\psi\sin\varphi-\sin\psi\cos\varphi\cos\varphi&\sin\psi\sin\theta\\\sin\psi\cos\varphi+\cos\psi\cos\theta\sin\varphi&-\cos\psi\sin\theta+\cos\psi\cos\varphi\cos\varphi&-\cos\psi\sin\theta\\\sin\theta\sin\varphi&\sin\theta\cos\varphi&\cos\theta\end{pmatrix}[/math]

Отсюда следуют формулы для преобразования прямоугольных координат точки


[math]\begin{cases}x=(\cos\psi\cos\varphi-\sin\psi\cos\theta\sin\varphi)x'+(-\cos\psi\sin\varphi-\sin\psi\cos\varphi\cos\varphi)y'+\sin\psi\sin\theta\cdot z',\\y=(\sin\psi\cos\varphi+\cos\psi\cos\theta\sin\varphi)x'+(-\cos\psi\sin\theta+\cos\psi\cos\varphi\cos\varphi)y'-\cos\psi\sin\theta\cdot z',\\z=\sin\theta\sin\varphi\cdot x'+\sin\theta\cos\varphi\cdot y'+\cos\theta\cdot z'.\end{cases}[/math]

Поскольку каждая из матриц [math]S_1,~S_2,~S_3[/math] ортогональная, то и их произведение также является ортогональной матрицей (см. пункт 5 замечаний 2.3).




Прямая, проходящая через начало координат и образующая равные углы с координатными осями

Пример 2.6. Прямоугольная система координат [math]O\vec{i}\,'\vec{j}\,'\vec{k}\,'[/math] получена из стандартной системы координат [math]O\vec{i}\vec{j}\vec{k}[/math] при помощи поворота на угол [math]\frac{2\pi}{3}[/math] вокруг прямой, проходящей через начало координат и образующей равные углы с координатными осями (на рис.2.16 эта прямая изображена одной точкой [math]O[/math], поскольку перпендикулярна плоскости рисунка). Требуется найти углы Эйлера.


Решение. Составим матрицу [math]S[/math] перехода от базиса [math]\vec{i},\vec{j},\vec{k}[/math] к базису [math]\vec{i}\,',\vec{j}\,',\vec{k}\,'[/math].


Так как [math]\begin{cases}\vec{i}\,'=0\cdot\vec{i}+1\cdot\vec{j}+0\cdot\vec{k},\\\vec{j}\,'=0\cdot\vec{i}+0\cdot\vec{j}+1\cdot\vec{k},\\\vec{k}\,'=1\cdot\vec{i}+0\cdot\vec{j}+0\cdot\vec{k}.\end{cases}[/math], то [math]S=\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}.[/math]


Сравнивая с матрицей [math]\mathop{S}\limits_{(\psi,\theta,\varphi)}[/math], заключаем, что [math]\theta=\frac{\pi}{2}[/math] (так как [math]\cos\theta=0[/math] и [math]0\leqslant\theta\leqslant\pi[/math]); [math]\psi=\frac{\pi}{2}[/math] (так как [math]\sin\psi=1[/math] и [math]0\leqslant\psi\leqslant2\pi[/math]); [math]\varphi=0[/math] (так как [math]\cos\varphi=1[/math] и [math]0\leqslant\varphi\leqslant2\pi[/math]).


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved