Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Координаты и преобразования координат в линейном пространстве
ОглавлениеЛинейная алгебра

Координаты и преобразования координат в линейном пространстве


Координаты векторов в данном базисе линейного пространства


Пусть [math]\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_n[/math] — базис линейного пространства [math]V[/math]. Каждый вектор [math]\mathbf{v}\in V[/math] можно разложить по базису (см. теорему 8.1), т.е. представить в виде [math]\mathbf{v}=v_1 \mathbf{e}_1+v_2 \mathbf{e}_2+\ldots+v_n \mathbf{e}_n[/math], причем коэффициенты [math]v_1,v_2,\ldots,v_n[/math] в разложении определяются однозначно. Эти коэффициенты [math]v_1,v_2,\ldots,v_n[/math] называются координатами вектора [math]\mathbf{v}[/math] в базисе [math]\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \ldots, \mathbf{e}_n[/math] (или относительно базиса [math]\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \ldots,\mathbf{e}_n[/math]). Координаты [math]v_1,v_2,\ldots, v_n[/math] вектора [math]\mathbf{v}[/math] — это упорядоченный на бор чисел, который представляется в виде матрицы-столбца [math]v=\begin{pmatrix}v_1&\cdots&v_n\end{pmatrix}^T[/math] и называется координатным столбцом вектора [math]\mathbf{v}[/math] (в данном базисе). Вектор и его координатный столбец обозначаются одной и той же буквой полужирной или светлой соответственно.


Если базис (как упорядоченный набор векторов) представить в виде символической матрицы-строки [math](\mathbf{e})= (\mathbf{e}_1,\ldots,\mathbf{e}_n)= \begin{pmatrix}\mathbf{e}_1& \cdots& \mathbf{e}_n\end{pmatrix}[/math], то разложение вектора [math]\mathbf{v}[/math] по базису [math](\mathbf{e})[/math] можно записать следующим образом:


[math]\mathbf{v}= v_1 \mathbf{e}_1+v_2 \mathbf{e}_2+\cdots+v_n \mathbf{e}_n= \begin{pmatrix}\mathbf{e}_1&\cdots& \mathbf{e}_n\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}v_1\\\vdots\\v_n\end{pmatrix}= (\mathbf{e})v.[/math]
(8.6)

Здесь умножение символической матрицы-строки [math](\mathbf{e})[/math] на числовую матрицу-столбец [math]{v}[/math] производится по правилам умножения матриц.


При необходимости, если речь идет о разных базисах, у координатного столбца указывается обозначение базиса, относительно которого получены координаты, например, [math]\mathop{v}\limits_{(\mathbf{e})}[/math] — координатный столбец вектора [math]{v}[/math] в базисе [math](\mathbf{e})= (\mathbf{e}_1,\ldots,\mathbf{e}_n)[/math].


Из теоремы 8.1 следует, что равные векторы имеют равные соответствующие координаты (в одном и том же базисе), и наоборот, если координаты векторов (в одном и том же базисе) соответственно равны, то равны и сами векторы.




Линейные операции в координатной форме


Пусть [math]\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_n[/math] — базис линейного пространства [math]V[/math], векторы [math]\mathbf{u}[/math] и [math]\mathbf{v}[/math] имеют в этом базисе координаты [math]u=(u_1&\cdots&u_n)^T[/math] и [math]v=(v_1&\cdots&v_n )^T[/math] соответственно, т.е.


[math]\mathbf{u}= u_1 \mathbf{e}_1+u_2 \mathbf{e}_2+\ldots+u_n \mathbf{e}_n,\quad \mathbf{v}= v_1 \mathbf{e}_1+v_2 \mathbf{e}_2+\ldots+v_n \mathbf{e}_n.[/math]
(8.7)

Складывая эти равенства, получаем [math]\mathbf{u}+\mathbf{v}= (u_1+v_1)\mathbf{e}_1+ (u_2+v_2)\mathbf{e}_2+ \ldots+(u_n+v_n)\mathbf{e}_n[/math].


т.е. при сложении векторов их координаты складываются.

Умножая второе равенство в (8.7) на число [math]\lambda[/math], получаем [math]\lambda \mathbf{v}= (\lambda v_1)\mathbf{e}_1+(\lambda v_2)\mathbf{e}_2+\ldots+ (\lambda v_n)\mathbf{e}_n,[/math]


т.е. при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.

Другими словами, сумма векторов [math]\mathbf{u}+\mathbf{v}[/math] имеет координаты [math]u+v[/math], а произведение [math]\lambda\mathbf{v}[/math] имеет координаты [math]\lambda v[/math]. Разумеется, что все координаты получены в одном базисе [math](\mathbf{e})=(\mathbf{e}_1,\ldots,\mathbf{e}_n)[/math].




Замечания 8.5


1. Нетрудно показать, что координатный столбец линейной комбинации [math]\alpha\cdot \mathbf{a}+\beta\cdot \mathbf{b}+\ldots+\omega\cdot \mathbf{z}[/math] векторов [math]\mathbf{a}, \mathbf{b},\ldots,\mathbf{z}[/math] равен линейной комбинации [math]\alpha\cdot a+\beta\cdot b+ \ldots+\omega\cdot z[/math] координатных столбцов [math]a,b,\ldots,z[/math] этих векторов.


2. Если система векторов линейно зависима (линейно независима), то их координатные столбцы, полученные относительно одного базиса, образуют линейно зависимую (соответственно, линейно независимую) систему. Это следует из равносильности равенств [math]\alpha\cdot \mathbf{a}+\beta\cdot \mathbf{b}+\ldots+\omega\cdot \mathbf{z}[/math] и [math]\alpha\cdot a+\beta\cdot b+ \ldots+\omega\cdot z[/math]. Например, если в этих равенствах не все коэффициенты равны нулю, т.е. система векторов [math]\mathbf{a}, \mathbf{b},\ldots,\mathbf{z}[/math] и система [math]a,b,\ldots,z[/math] их координатных столбцов линейно зависимы одновременно.


3. Все свойства линейной зависимости и линейной независимости векторов переносятся без изменений на их координатные столбцы, полученные в одном и том же базисе. И наоборот, свойства для матриц-столбцов, переносятся на векторы, если матрицы-столбцы считать их координатными столбцами.


4. Выбрав в n-мерном вещественном линейном пространстве [math]V[/math] некоторый базис, можно установить взаимно однозначное соответствие: каждому вектору поставить в соответствие его координатный столбец (в вы бранном базисе), и наоборот, каждому координатному столбцу поставить в соответствие вектор. Другими словами, любой фиксированный базис n-мерного вещественного линейного пространства позволяет установить взаимно однозначное соответствие между всеми векторами вещественно го пространства [math]V[/math] и всеми столбцами n-мерного арифметического пространства [math]\mathbb{R}^n[/math]. Это соответствие обозначается [math]V\leftrightarrow \mathbb{R}^n[/math]. Для n-мерного комплексного линейного пространства [math]V[/math] аналогичное взаимно однозначное соответствие устанавливается с пространством [math]\mathbb{C}^n[/math].




Преобразование координат вектора при замене базиса


Пусть заданы два базиса пространства [math]V\colon\,(\mathbf{e})= (\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \ldots,\mathbf{e}_n)[/math] и [math](\mathbf{e}')= (\mathbf{e}'_1, \mathbf{e}'_2, \ldots, \mathbf{e}'_n)[/math]. Базис [math](\mathbf{e})[/math] будем условно называть "старым", а базис [math](\mathbf{e}')[/math] — "новым". Пусть известны разложения каждого вектора нового базиса по старому базису:


[math]\mathbf{e}'_i=s_{1i}\cdot \mathbf{e}_1+s_{2i}\cdot \mathbf{e}_2+\ldots+ s_{ni}\cdot \mathbf{e}_n, \quad i=1,2,\ldots,n.[/math]
(8.8)

Записывая по столбцам координаты векторов [math](\mathbf{e}'_1, \mathbf{e}'_2, \ldots, \mathbf{e}'_n)[/math] в базисе [math](\mathbf{e})[/math], составляем матрицу:


[math]S=\begin{pmatrix}s_{11}&\cdots&s_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ s_{n1}&\cdots& s_{nn}\end{pmatrix}\!.[/math]
(8.9)

Квадратная матрица [math]S[/math], составленная из координатных столбцов векторов нового базиса [math](\mathbf{e}')[/math] в старом базисе [math](\mathbf{e})[/math], называется матрицей перехода от старого базиса к новому. При помощи матрицы перехода (8.9) формулы (8.8) можно записать в виде:


[math]\begin{pmatrix}\mathbf{e}'_1&\cdots&\mathbf{e}'_n\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \mathbf{e}_1&\cdots&\mathbf{e}_n\end{pmatrix}\!\cdot S\quad\Leftrightarrow\quad (\mathbf{e}')=(\mathbf{e})\cdot S.[/math]
(8.10)

Умножение символической матрицы-строки [math](\mathbf{e})[/math] на матрицу перехода [math]S[/math] в (8.10) производится по правилам умножения матриц.


Пусть в базисе [math](\mathbf{e})[/math] вектор [math]\mathbf{v}[/math] имеет координаты [math]v_1,v_2,\ldots,v_n[/math], а в базисе [math](\mathbf{e}')[/math] — координаты [math]v'_1,v'_2, \ldots,v'_n[/math], т.е.


[math]\mathbf{v}= v_1 \mathbf{e}_1+v_2 \mathbf{e}_2+\ldots+v_n \mathbf{e}_n= v'_1 \mathbf{e}_1+v'_2 \mathbf{e}_2+\ldots+v'_n \mathbf{e}_n[/math] или, короче, [math]\mathbf{v}= (\mathbf{e})v=(\mathbf{e}')v'[/math]

Подставляя в правую часть последнего равенства выражение (8.10), получаем [math]\mathbf{v}=(\mathbf{e})v=(\mathbf{e})S\,v'[/math] — два разложения вектора [math]\mathbf{v}[/math] в одном и том же базисе [math](\mathbf{e})[/math]. Коэффициенты этих разложений должны совпадать (по теореме 8.1), так как это координаты одного и того же вектора в одном базисе. Поэтому


[math]\mathop{\mathbf{v}}\limits_{(\mathbf{e})}= S\cdot \mathop{\mathbf{v'}}\limits_{(\mathbf{e}')}\quad \Leftrightarrow\quad \begin{pmatrix} v_1\\\vdots\\v_n \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}s_{11}&\cdots&s_{1n}\\ \vdots&\cdots& \vdots\\ s_{n1}&\cdots& s_{nn}\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}v'_1\\\vdots\\ v'_n\end{pmatrix}\!.[/math]
(8.11)

Формула (8.11) устанавливает связь координат вектора в разных базисах: координатный столбец вектора в старом базисе получается в результате умножения матрицы перехода на координатный столбец вектора в новом базисе.




Пример 8.3. В пространстве [math]P_2(\mathbb{R})[/math] многочленов степени не выше второй даны две системы многочленов:


[math]\mathbf{e}_1=1,\quad \mathbf{e}_2=x,\quad \mathbf{e}_3=x^2,\quad \mathbf{f}_1=(x+1)^2, \quad \mathbf{f}_2=(x-1)^2,\quad \mathbf{f}_3=x^2.[/math]

Доказать, что каждая система является базисом пространства [math]P_2(\mathbb{R})[/math]. Найти матрицу [math]S[/math] перехода от базиса [math](\mathbf{e})[/math] к базису [math](\mathbf{f})[/math]. Определить координаты квадратного трехчлена [math]\mathbf{p}=x^2-x+1[/math] относительно базисов [math](\mathbf{e})[/math] и [math](\mathbf{f})[/math].


Решение. Система многочленов [math]\mathbf{e}=1,~\mathbf{e}_2=x,~ \mathbf{e}_3=x^2[/math] является стандартным базисом пространства [math]P_2(\mathbb{R})[/math]. Докажем, что система [math]\mathbf{f}_1=(x+1)^2,[/math] [math]\mathbf{f}_2=(x-1)^2,[/math] [math]\mathbf{f}_3=x^2[/math] является базисом. По ступим следующим образом. Найдем координатные столбцы [math]f_1,\,f_2,\,f_3[/math] этих многочленов в стандартном базисе. Раскладывая по базису [math](\mathbf{e})[/math], получаем


[math]\begin{aligned}\mathbf{f}_1&=(x+1)^2=x^2+2x+1= 1\cdot \mathbf{e}_1+2\cdot \mathbf{e}_2+1\cdot \mathbf{e}_3\quad \Rightarrow\quad f_1=\begin{pmatrix}1&2&1 \end{pmatrix}^T;\\[5pt] \mathbf{f}_2&=(x-1)^2=x^2-2x+1= 1\cdot \mathbf{e}_1-2\cdot \mathbf{e}_2+ 1\cdot \mathbf{e}_3\quad \Rightarrow\quad f_1=\begin{pmatrix}1&-2&1\end{pmatrix}^T;\\[5pt] \mathbf{f}_3&=x^2=0\cdot \mathbf{e}_1+0\cdot \mathbf{e}_2+1\cdot \mathbf{e}_3\quad \Rightarrow \quad f_3=\begin{pmatrix}0&0&1\end{pmatrix}^T. \end{aligned}[/math]

Составим из этих столбцов матрицу [math]s=\begin{pmatrix}1&1&0\\ 2&-2&0\\ 1&1&1 \end{pmatrix}[/math]. Ранг этой матрицы равен 3, так как [math]\det{S}=-4\ne0[/math]. Следовательно, столбцы [math]f_1,\,f_2,\,f_3[/math] линейно независимы, тогда и многочлены [math]\mathbf{f}_1,\, \mathbf{f}_2,\,\mathbf{f}_3[/math] линейно независимы (см. пункт 2 замечаний 8.5). Итак, многочлены [math]\mathbf{f}_1,\, \mathbf{f}_2,\,\mathbf{f}_3[/math] являются базисом пространства [math]P_2(\mathbb{R})[/math], а матрица [math]S[/math] — искомая матрица перехода от базиса [math](\mathbf{e})[/math] к базису [math](\mathbf{f})[/math]. Осталось найти координаты многочлена [math]\mathbf{p}=x^2-x+1[/math] в этих базисах. Раскладывая [math]\mathbf{p}[/math] по базисам, находим


[math]\begin{gathered} \mathbf{p}=x^2-x+1= 1\cdot \mathbf{e}_1-1\cdot \mathbf{e}_2+1\cdot \mathbf{e}_3\quad \Rightarrow\quad \mathop{\mathbf{p}}\limits_{(\mathbf{e})}= \begin{pmatrix}1&-1&1 \end{pmatrix}^T;\\[5pt] \mathbf{p}=x^2-x+1=\frac{(x+1)^3+3(x-1)^2}{4}= \frac{1}{4}\cdot \mathbf{f}_1+\frac{3}{4}\cdot \mathbf{f}_2+ 0\cdot \mathbf{f}_3\quad \Rightarrow\quad \mathop{\mathbf{p}}\limits_{(\mathbf{f})}= \begin{pmatrix}\dfrac{1}{4}& \dfrac{3}{4}&0 \end{pmatrix}^T. \end{gathered}[/math]

Проверим результат, вычисляя [math]\mathop{\mathbf{p}}\limits_{(\mathbf{e})}[/math] по формуле (8.11):


[math]\mathop{\mathbf{p}}\limits_{(\mathbf{e})}= S\cdot \mathop{\mathbf{p}}\limits_{(\mathbf{f})}= \begin{pmatrix}1&1&0\\ 2&-2&0\\ 1&1&1 \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1/4\\3/4\\0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1\\-1\\1 \end{pmatrix}\!.[/math]

Результаты совпадают.




Свойства матрицы перехода от одного базиса к другому


1. Пусть имеются три базиса [math](\mathbf{e}),\,(\mathbf{f}),\,(\mathbf{g})[/math] пространства [math]V[/math] и известны матрицы перехода: [math]\mathop{S}\limits_{(\mathbf{e})\to(\mathbf{f})}[/math] от базиса [math](\mathbf{e})[/math] к базису [math](\mathbf{f})[/math]; [math]\mathop{S}\limits_{(\mathbf{f})\to(\mathbf{g})}[/math] от [math](\mathbf{f})[/math] к [math](\mathbf{g})[/math]; [math]\mathop{S}\limits_{(\mathbf{e})\to(\mathbf{g})}[/math] от [math](\mathbf{e})[/math] к [math](\mathbf{g})[/math]. Тогда


[math]\mathop{S}\limits_{(\mathbf{e})\to(\mathbf{g})}= \mathop{S}\limits_{(\mathbf{e})\to(\mathbf{f})}\cdot \mathop{S}\limits_{(\mathbf{f})\to(\mathbf{g})}.[/math]
(8.12)

Действительно, запишем связь (8.10) для данных базисов:


[math](\mathbf{f})= (\mathbf{e})\cdot \mathop{S}\limits_{(\mathbf{e})\to(\mathbf{f})};\qquad (\mathbf{g})= (\mathbf{f})\cdot \mathop{S}\limits_{(\mathbf{f})\to(\mathbf{g})};\qquad (\mathbf{g})= (\mathbf{e})\cdot \mathop{S}\limits_{(\mathbf{e})\to (\mathbf{g})}.[/math]

Подставляя первое выражение во второе равенство, получаем [math](\mathbf{g})= (\mathbf{e})\cdot \mathop{S}\limits_{(\mathbf{e})\to(\mathbf{f})}\cdot \mathop{S}\limits_{(\mathbf{f})\to(\mathbf{g})}[/math]. Сравнивая с третьим равенством, приходим к (8.12).


2. Если [math]S[/math] — матрица перехода от базиса [math](\mathbf{e})[/math] к базису [math](\mathbf{f})[/math], то матрица [math]S[/math] обратима и обратная матрица [math]S^{-1}[/math] является матрицей перехода от базиса [math](\mathbf{f})[/math] к базису [math](\mathbf{e})[/math]. Координаты вектора [math]\mathbf{v}[/math] в базисах [math](\mathbf{e})[/math] и [math](\mathbf{f})[/math] связаны формулами:


[math]\mathop{\mathbf{v}}\limits_{(\mathbf{e})}= S\cdot \mathop{\mathbf{v}}\limits_{(\mathbf{f})},\qquad \mathop{\mathbf{v}}\limits_{(\mathbf{f})}= S^{-1}\cdot \mathop{\mathbf{v}}\limits_{(\mathbf{e})}.[/math]

В самом деле, пусть [math]T[/math] — матрица перехода от базиса [math](\mathbf{f})[/math] к базису [math](\mathbf{e})[/math]. Учитывая, что матрица перехода от базиса [math](\mathbf{e})[/math] к базису [math](\mathbf{e})[/math] — единичная, применяем свойство 1 к трем базисам [math](\mathbf{e}),(\mathbf{f}),(\mathbf{e})\colon\,E=ST[/math]. Для трех базисов [math](\mathbf{f}),\,(\mathbf{e}),\,(f)[/math] аналогично получаем: [math]E=TS[/math]. Следовательно, [math]T=S^{-1}[/math].


3. Всякая обратимая квадратная матрица n-го порядка может служить матрицей перехода от одного базиса n-мерного линейного пространства к другому базису.




Пример 8.4. В двумерном арифметическом пространстве [math]\mathbb{R}^2[/math] даны два базиса: [math]\mathbf{f}_1= \begin{pmatrix}3\\2 \end{pmatrix}\!,[/math] [math]\mathbf{f}_2= \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}[/math] и [math]\mathbf{g}_1= \begin{pmatrix}1\\2 \end{pmatrix}\!,[/math] [math]\mathbf{g}_2=\begin{pmatrix}-1\\1 \end{pmatrix}[/math]. Найти матрицу [math]\mathop{S}\limits_{(\mathbf{f})\to(\mathbf{g})}[/math] перехода от базиса [math](\mathbf{f})[/math] к базису [math](\mathbf{g})[/math] и координаты вектора [math]\mathbf{v}=\begin{pmatrix}6\\9\end{pmatrix}[/math] в каждом из базисов.


Решение. Рассмотрим стандартный базис [math]\mathbf{e}_1= \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\!,~ \mathbf{e}_2=\begin{pmatrix}0\\1 \end{pmatrix}[/math] пространства [math]\mathbb{R}^2[/math]. Находим координаты векторов [math]\mathbf{f}_1,\, \mathbf{f}_2,\,\mathbf{g}_1,\,\mathbf{g}_2[/math] в стандартном базисе. Раскладываем вектор [math]\mathbf{f}_1:[/math]


[math]\mathbf{f}_1=\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}= 3\cdot\! \begin{pmatrix}1\\0 \end{pmatrix}+ 2\cdot\! \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}= 3\cdot \mathbf{e}_1+2\cdot \mathbf{e}_2\quad \Rightarrow\quad f_1=\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}\!.[/math]

В стандартном базисе [math](\mathbf{e})[/math] пространства [math]\mathbb{R}^2[/math] координатный столбец [math]f_1[/math] совпадает с вектором [math]\mathbf{f}_1[/math]. Для других векторов аналогично получаем [math]f_2=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\!,[/math] [math]g_1=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\!,[/math] [math]g_2=\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}[/math]. Из координатных столбцов составим матрицы перехода (8.9) от стандартного базиса [math](\mathbf{e})[/math] к данным базисам [math](\mathbf{f})[/math] и [math](\mathbf{g}):[/math]


[math]\mathop{S}\limits_{(\mathbf{e})\to(\mathbf{f})}= \begin{pmatrix}3&1\\ 2&1 \end{pmatrix}\!,\quad \mathop{S}\limits_{(\mathbf{e})\to(\mathbf{g})}= \begin{pmatrix}1&-1\\ 2&1 \end{pmatrix}\!.[/math]

По свойству 1 матриц перехода имеем [math]\mathop{S}\limits_{(\mathbf{f})\to(\mathbf{g})}= \mathop{S}\limits_{(\mathbf{f})\to(\mathbf{e})}\cdot \mathop{S}\limits_{(\mathbf{e})\to(\mathbf{g})}[/math]. .По свойству 2: [math]\mathop{S}\limits_{(\mathbf{f})\to(\mathbf{e})}= \mathop{S^{-1}}\limits_{(\mathbf{e})\to(\mathbf{f})}[/math]. Поэтому


[math]\mathop{S}\limits_{(\mathbf{f})\to(\mathbf{g})}= \mathop{S^{-1}}\limits_{(\mathbf{e})\to(\mathbf{f})}\cdot \mathop{S}\limits_{(\mathbf{e})\to(\mathbf{g})}= \begin{pmatrix}3&1\\2&1 \end{pmatrix}^{-1}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&-1\\ 2&1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&-1\\-2&3 \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&-1\\ 2&1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-1&-2\\ 4&5 \end{pmatrix}\!.[/math]

В стандартном базисе [math](\mathbf{e})[/math] пространства [math]\mathbb{R}^2[/math] координатный столбец [math]\mathop{v}\limits_{(\mathbf{e})}=\begin{pmatrix}6\\9 \end{pmatrix}[/math] совпадает с вектором [math]\mathbf{v}[/math]. Найдем координаты этого вектора в базисе [math](\mathbf{f})[/math] (по свойству 2 матрицы перехода):


[math]\mathop{v}\limits_{(\mathbf{f})}= \mathop{S^{-1}}\limits_{(\mathbf{e})\to(\mathbf{f})}\cdot \mathop{v}\limits_{(\mathbf{e})}= \begin{pmatrix}3&1\\2&1 \end{pmatrix}^{-1}\!\cdot\! \begin{pmatrix}6\\9 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&-1\\ -2&3 \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}6\\9 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-3\\15 \end{pmatrix}\!.[/math]

В самом деле, справедливо разложение


[math]\mathbf{v}= \begin{pmatrix}6\\9 \end{pmatrix}= -3\cdot\! \begin{pmatrix}3\\2 \end{pmatrix}+ 15\cdot\! \begin{pmatrix}1\\1 \end{pmatrix}= -3\cdot \mathbf{f}_1+15\cdot \mathbf{f}_2.[/math]

Найдем координаты вектора [math]\mathbf{v}[/math] в базисе [math](\mathbf{g})[/math] двумя способами


[math]\begin{aligned}\mathop{\mathbf{v}}\limits_{(\mathbf{g})}&= \mathop{S^{-1}}\limits_{(\mathbf{f})\to(\mathbf{g})}\cdot \mathop{\mathbf{v}}\limits_{(\mathbf{f})}= \begin{pmatrix}-1&-2\\ 4&5\end{pmatrix}^{-1}\!\cdot\! \begin{pmatrix}-3\\15 \end{pmatrix}= \frac{1}{3}\cdot\! \begin{pmatrix}5&2\\ -4&-1 \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}-3\\15 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}5\\-1 \end{pmatrix}\!;\\[5pt] \mathop{\mathbf{v}}\limits_{(\mathbf{g})}&= \mathop{S^{-1}}\limits_{(\mathbf{e})\to(\mathbf{g})}\cdot \mathop{\mathbf{v}}\limits_{(\mathbf{e})}= \begin{pmatrix}1&-1\\ 2&1\end{pmatrix}^{-1}\!\cdot\! \begin{pmatrix}6\\9 \end{pmatrix}= \frac{1}{3}\cdot\! \begin{pmatrix}1&1\\ -2&1 \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}6\\9 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}5\\-1 \end{pmatrix}\!\end{aligned}[/math]

Полученный результат подтверждает разложение:


[math]\mathbf{v}= \begin{pmatrix}6\\9 \end{pmatrix}= 5\cdot\! \begin{pmatrix}1\\2 \end{pmatrix}+(-1)\cdot\! \begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}= 5\cdot \mathbf{f}_1+(-1)\cdot \mathbf{f}_2.[/math]

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved