Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Координаты и преобразования координат в линейном пространстве

Координаты и преобразования координат в линейном пространстве


Координаты векторов в данном базисе линейного пространства


Пусть \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_n — базис линейного пространства V. Каждый вектор \mathbf{v}\in V можно разложить по базису (см. теорему 8.1), т.е. представить в виде \mathbf{v}=v_1 \mathbf{e}_1+v_2 \mathbf{e}_2+\ldots+v_n \mathbf{e}_n, причем коэффициенты v_1,v_2,\ldots,v_n в разложении определяются однозначно. Эти коэффициенты v_1,v_2,\ldots,v_n называются координатами вектора \mathbf{v} в базисе \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \ldots, \mathbf{e}_n (или относительно базиса \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \ldots,\mathbf{e}_n). Координаты v_1,v_2,\ldots, v_n вектора \mathbf{v} — это упорядоченный на бор чисел, который представляется в виде матрицы-столбца v=\begin{pmatrix}v_1&\cdots&v_n\end{pmatrix}^T и называется координатным столбцом вектора \mathbf{v} (в данном базисе). Вектор и его координатный столбец обозначаются одной и той же буквой полужирной или светлой соответственно.


Если базис (как упорядоченный набор векторов) представить в виде символической матрицы-строки (\mathbf{e})= (\mathbf{e}_1,\ldots,\mathbf{e}_n)= \begin{pmatrix}\mathbf{e}_1& \cdots& \mathbf{e}_n\end{pmatrix}, то разложение вектора \mathbf{v} по базису (\mathbf{e}) можно записать следующим образом:


\mathbf{v}= v_1 \mathbf{e}_1+v_2 \mathbf{e}_2+\cdots+v_n \mathbf{e}_n= \begin{pmatrix}\mathbf{e}_1&\cdots& \mathbf{e}_n\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}v_1\\\vdots\\v_n\end{pmatrix}= (\mathbf{e})v.
(8.6)

Здесь умножение символической матрицы-строки (\mathbf{e}) на числовую матрицу-столбец {v} производится по правилам умножения матриц.


При необходимости, если речь идет о разных базисах, у координатного столбца указывается обозначение базиса, относительно которого получены координаты, например, \mathop{v}\limits_{(\mathbf{e})} — координатный столбец вектора {v} в базисе (\mathbf{e})= (\mathbf{e}_1,\ldots,\mathbf{e}_n).


Из теоремы 8.1 следует, что равные векторы имеют равные соответствующие координаты (в одном и том же базисе), и наоборот, если координаты векторов (в одном и том же базисе) соответственно равны, то равны и сами векторы.




Линейные операции в координатной форме


Пусть \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_n — базис линейного пространства V, векторы \mathbf{u} и \mathbf{v} имеют в этом базисе координаты u=\begin{pmatrix}u_1&\cdots&u_n\end{pmatrix}^T и v=\begin{pmatrix} v_1&\cdots&v_n \end{pmatrix}^T соответственно, т.е.


\mathbf{u}= u_1 \mathbf{e}_1+u_2 \mathbf{e}_2+\ldots+u_n \mathbf{e}_n,\quad \mathbf{v}= v_1 \mathbf{e}_1+v_2 \mathbf{e}_2+\ldots+v_n \mathbf{e}_n.
(8.7)

Складывая эти равенства, получаем \mathbf{u}+\mathbf{v}= (u_1+v_1)\mathbf{e}_1+ (u_2+v_2)\mathbf{e}_2+ \ldots+(u_n+v_n)\mathbf{e}_n.


т.е. при сложении векторов их координаты складываются.


Умножая второе равенство в (8.7) на число \lambda, получаем \lambda \mathbf{v}= (\lambda v_1)\mathbf{e}_1+(\lambda v_2)\mathbf{e}_2+\ldots+ (\lambda v_n)\mathbf{e}_n,


т.е. при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.


Другими словами, сумма векторов \mathbf{u}+\mathbf{v} имеет координаты u+v, а произведение \lambda\mathbf{v} имеет координаты \lambda v. Разумеется, что все координаты получены в одном базисе (\mathbf{e})=(\mathbf{e}_1,\ldots,\mathbf{e}_n).




Замечания 8.5


1. Нетрудно показать, что координатный столбец линейной комбинации \alpha\cdot \mathbf{a}+\beta\cdot \mathbf{b}+\ldots+\omega\cdot \mathbf{z} векторов \mathbf{a}, \mathbf{b},\ldots,\mathbf{z} равен линейной комбинации \alpha\cdot a+\beta\cdot b+ \ldots+\omega\cdot z координатных столбцов a,b,\ldots,z этих векторов.


2. Если система векторов линейно зависима (линейно независима), то их координатные столбцы, полученные относительно одного базиса, образуют линейно зависимую (соответственно, линейно независимую) систему. Это следует из равносильности равенств \alpha\cdot \mathbf{a}+\beta\cdot \mathbf{b}+\ldots+\omega\cdot \mathbf{z} и \alpha\cdot a+\beta\cdot b+ \ldots+\omega\cdot z. Например, если в этих равенствах не все коэффициенты равны нулю, т.е. система векторов \mathbf{a}, \mathbf{b},\ldots,\mathbf{z} и система a,b,\ldots,z их координатных столбцов линейно зависимы одновременно.


3. Все свойства линейной зависимости и линейной независимости векторов переносятся без изменений на их координатные столбцы, полученные в одном и том же базисе. И наоборот, свойства для матриц-столбцов, переносятся на векторы, если матрицы-столбцы считать их координатными столбцами.


4. Выбрав в n-мерном вещественном линейном пространстве V некоторый базис, можно установить взаимно однозначное соответствие: каждому вектору поставить в соответствие его координатный столбец (в вы бранном базисе), и наоборот, каждому координатному столбцу поставить в соответствие вектор. Другими словами, любой фиксированный базис n-мерного вещественного линейного пространства позволяет установить взаимно однозначное соответствие между всеми векторами вещественно го пространства V и всеми столбцами n-мерного арифметического пространства \mathbb{R}^n. Это соответствие обозначается V\leftrightarrow \mathbb{R}^n. Для n-мерного комплексного линейного пространства V аналогичное взаимно однозначное соответствие устанавливается с пространством \mathbb{C}^n.




Преобразование координат вектора при замене базиса


Пусть заданы два базиса пространства V\colon\,(\mathbf{e})= (\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \ldots,\mathbf{e}_n) и (\mathbf{e}')= (\mathbf{e}'_1, \mathbf{e}'_2, \ldots, \mathbf{e}'_n). Базис (\mathbf{e}) будем условно называть "старым", а базис (\mathbf{e}') — "новым". Пусть известны разложения каждого вектора нового базиса по старому базису:


\mathbf{e}'_i=s_{1i}\cdot \mathbf{e}_1+s_{2i}\cdot \mathbf{e}_2+\ldots+ s_{ni}\cdot \mathbf{e}_n, \quad i=1,2,\ldots,n.
(8.8)

Записывая по столбцам координаты векторов (\mathbf{e}'_1, \mathbf{e}'_2, \ldots, \mathbf{e}'_n) в базисе (\mathbf{e}), составляем матрицу:


S=\begin{pmatrix}s_{11}&\cdots&s_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ s_{n1}&\cdots& s_{nn}\end{pmatrix}\!.
(8.9)

Квадратная матрица S, составленная из координатных столбцов векторов нового базиса (\mathbf{e}') в старом базисе (\mathbf{e}), называется матрицей перехода от старого базиса к новому. При помощи матрицы перехода (8.9) формулы (8.8) можно записать в виде:


\begin{pmatrix}\mathbf{e}'_1&\cdots&\mathbf{e}'_n\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \mathbf{e}_1&\cdots&\mathbf{e}_n\end{pmatrix}\!\cdot S\quad\Leftrightarrow\quad (\mathbf{e}')=(\mathbf{e})\cdot S.
(8.10)

Умножение символической матрицы-строки (\mathbf{e}) на матрицу перехода S в (8.10) производится по правилам умножения матриц.


Пусть в базисе (\mathbf{e}) вектор \mathbf{v} имеет координаты v_1,v_2,\ldots,v_n, а в базисе (\mathbf{e}') — координаты v'_1,v'_2, \ldots,v'_n, т.е.


\mathbf{v}= v_1 \mathbf{e}_1+v_2 \mathbf{e}_2+\ldots+v_n \mathbf{e}_n= v'_1 \mathbf{e}_1+v'_2 \mathbf{e}_2+\ldots+v'_n \mathbf{e}_n или, короче, \mathbf{v}= (\mathbf{e})v=(\mathbf{e}')v'

Подставляя в правую часть последнего равенства выражение (8.10), получаем \mathbf{v}=(\mathbf{e})v=(\mathbf{e})S\,v' — два разложения вектора \mathbf{v} в одном и том же базисе (\mathbf{e}). Коэффициенты этих разложений должны совпадать (по теореме 8.1), так как это координаты одного и того же вектора в одном базисе. Поэтому


\mathop{\mathbf{v}}\limits_{(\mathbf{e})}= S\cdot \mathop{\mathbf{v'}}\limits_{(\mathbf{e}')}\quad \Leftrightarrow\quad \begin{pmatrix} v_1\\\vdots\\v_n \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}s_{11}&\cdots&s_{1n}\\ \vdots&\cdots& \vdots\\ s_{n1}&\cdots& s_{nn}\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}v'_1\\\vdots\\ v'_n\end{pmatrix}\!.
(8.11)

Формула (8.11) устанавливает связь координат вектора в разных базисах: координатный столбец вектора в старом базисе получается в результате умножения матрицы перехода на координатный столбец вектора в новом базисе.




Пример 8.3. В пространстве P_2(\mathbb{R}) многочленов степени не выше второй даны две системы многочленов:


\mathbf{e}_1=1,\quad \mathbf{e}_2=x,\quad \mathbf{e}_3=x^2,\quad \mathbf{f}_1=(x+1)^2, \quad \mathbf{f}_2=(x-1)^2,\quad \mathbf{f}_3=x^2.

Доказать, что каждая система является базисом пространства P_2(\mathbb{R}). Найти матрицу S перехода от базиса (\mathbf{e}) к базису (\mathbf{f}). Определить координаты квадратного трехчлена \mathbf{p}=x^2-x+1 относительно базисов (\mathbf{e}) и (\mathbf{f}).


Решение. Система многочленов \mathbf{e}=1,~\mathbf{e}_2=x,~ \mathbf{e}_3=x^2 является стандартным базисом пространства P_2(\mathbb{R}). Докажем, что система \mathbf{f}_1=(x+1)^2, \mathbf{f}_2=(x-1)^2, \mathbf{f}_3=x^2 является базисом. По ступим следующим образом. Найдем координатные столбцы f_1,\,f_2,\,f_3 этих многочленов в стандартном базисе. Раскладывая по базису (\mathbf{e}), получаем


\begin{aligned}\mathbf{f}_1&=(x+1)^2=x^2+2x+1= 1\cdot \mathbf{e}_1+2\cdot \mathbf{e}_2+1\cdot \mathbf{e}_3\quad \Rightarrow\quad f_1=\begin{pmatrix}1&2&1 \end{pmatrix}^T;\\[5pt] \mathbf{f}_2&=(x-1)^2=x^2-2x+1= 1\cdot \mathbf{e}_1-2\cdot \mathbf{e}_2+ 1\cdot \mathbf{e}_3\quad \Rightarrow\quad f_1=\begin{pmatrix}1&-2&1\end{pmatrix}^T;\\[5pt] \mathbf{f}_3&=x^2=0\cdot \mathbf{e}_1+0\cdot \mathbf{e}_2+1\cdot \mathbf{e}_3\quad \Rightarrow \quad f_3=\begin{pmatrix}0&0&1\end{pmatrix}^T. \end{aligned}

Составим из этих столбцов матрицу s=\begin{pmatrix}1&1&0\\ 2&-2&0\\ 1&1&1 \end{pmatrix}. Ранг этой матрицы равен 3, так как \det{S}=-4\ne0. Следовательно, столбцы f_1,\,f_2,\,f_3 линейно независимы, тогда и многочлены \mathbf{f}_1,\, \mathbf{f}_2,\,\mathbf{f}_3 линейно независимы (см. пункт 2 замечаний 8.5). Итак, многочлены \mathbf{f}_1,\, \mathbf{f}_2,\,\mathbf{f}_3 являются базисом пространства P_2(\mathbb{R}), а матрица S — искомая матрица перехода от базиса (\mathbf{e}) к базису (\mathbf{f}). Осталось найти координаты многочлена \mathbf{p}=x^2-x+1 в этих базисах. Раскладывая \mathbf{p} по базисам, находим


\begin{gathered} \mathbf{p}=x^2-x+1= 1\cdot \mathbf{e}_1-1\cdot \mathbf{e}_2+1\cdot \mathbf{e}_3\quad \Rightarrow\quad \mathop{\mathbf{p}}\limits_{(\mathbf{e})}= \begin{pmatrix}1&-1&1 \end{pmatrix}^T;\\[5pt] \mathbf{p}=x^2-x+1=\frac{(x+1)^3+3(x-1)^2}{4}= \frac{1}{4}\cdot \mathbf{f}_1+\frac{3}{4}\cdot \mathbf{f}_2+ 0\cdot \mathbf{f}_3\quad \Rightarrow\quad \mathop{\mathbf{p}}\limits_{(\mathbf{f})}= \begin{pmatrix}\dfrac{1}{4}& \dfrac{3}{4}&0 \end{pmatrix}^T. \end{gathered}

Проверим результат, вычисляя \mathop{\mathbf{p}}\limits_{(\mathbf{e})} по формуле (8.11):


\mathop{\mathbf{p}}\limits_{(\mathbf{e})}= S\cdot \mathop{\mathbf{p}}\limits_{(\mathbf{f})}= \begin{pmatrix}1&1&0\\ 2&-2&0\\ 1&1&1 \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1/4\\3/4\\0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1\\-1\\1 \end{pmatrix}\!.

Результаты совпадают.




Свойства матрицы перехода от одного базиса к другому


1. Пусть имеются три базиса (\mathbf{e}),\,(\mathbf{f}),\,(\mathbf{g}) пространства V и известны матрицы перехода: \mathop{S}\limits_{(\mathbf{e})\to(\mathbf{f})} от базиса (\mathbf{e}) к базису (\mathbf{f}); \mathop{S}\limits_{(\mathbf{f})\to(\mathbf{g})} от (\mathbf{f}) к (\mathbf{g}); \mathop{S}\limits_{(\mathbf{e})\to(\mathbf{g})} от (\mathbf{e}) к (\mathbf{g}). Тогда


\mathop{S}\limits_{(\mathbf{e})\to(\mathbf{g})}= \mathop{S}\limits_{(\mathbf{e})\to(\mathbf{f})}\cdot \mathop{S}\limits_{(\mathbf{f})\to(\mathbf{g})}.
(8.12)

Действительно, запишем связь (8.10) для данных базисов:


(\mathbf{f})= (\mathbf{e})\cdot \mathop{S}\limits_{(\mathbf{e})\to(\mathbf{f})};\qquad (\mathbf{g})= (\mathbf{f})\cdot \mathop{S}\limits_{(\mathbf{f})\to(\mathbf{g})};\qquad (\mathbf{g})= (\mathbf{e})\cdot \mathop{S}\limits_{(\mathbf{e})\to (\mathbf{g})}.

Подставляя первое выражение во второе равенство, получаем (\mathbf{g})= (\mathbf{e})\cdot \mathop{S}\limits_{(\mathbf{e})\to(\mathbf{f})}\cdot \mathop{S}\limits_{(\mathbf{f})\to(\mathbf{g})}. Сравнивая с третьим равенством, приходим к (8.12).


2. Если S — матрица перехода от базиса (\mathbf{e}) к базису (\mathbf{f}), то матрица S обратима и обратная матрица S^{-1} является матрицей перехода от базиса (\mathbf{f}) к базису (\mathbf{e}). Координаты вектора \mathbf{v} в базисах (\mathbf{e}) и (\mathbf{f}) связаны формулами:


\mathop{\mathbf{v}}\limits_{(\mathbf{e})}= S\cdot \mathop{\mathbf{v}}\limits_{(\mathbf{f})},\qquad \mathop{\mathbf{v}}\limits_{(\mathbf{f})}= S^{-1}\cdot \mathop{\mathbf{v}}\limits_{(\mathbf{e})}.

В самом деле, пусть T — матрица перехода от базиса (\mathbf{f}) к базису (\mathbf{e}). Учитывая, что матрица перехода от базиса (\mathbf{e}) к базису (\mathbf{e}) — единичная, применяем свойство 1 к трем базисам (\mathbf{e}),(\mathbf{f}),(\mathbf{e})\colon\,E=ST. Для трех базисов (\mathbf{f}),\,(\mathbf{e}),\,(f) аналогично получаем: E=TS. Следовательно, T=S^{-1}.


3. Всякая обратимая квадратная матрица n-го порядка может служить матрицей перехода от одного базиса n-мерного линейного пространства к другому базису.




Пример 8.4. В двумерном арифметическом пространстве \mathbb{R}^2 даны два базиса: \mathbf{f}_1= \begin{pmatrix}3\\2 \end{pmatrix}\!, \mathbf{f}_2= \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} и \mathbf{g}_1= \begin{pmatrix}1\\2 \end{pmatrix}\!, \mathbf{g}_2=\begin{pmatrix}-1\\1 \end{pmatrix}. Найти матрицу \mathop{S}\limits_{(\mathbf{f})\to(\mathbf{g})} перехода от базиса (\mathbf{f}) к базису (\mathbf{g}) и координаты вектора \mathbf{v}=\begin{pmatrix}6\\9\end{pmatrix} в каждом из базисов.


Решение. Рассмотрим стандартный базис \mathbf{e}_1= \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\!,~ \mathbf{e}_2=\begin{pmatrix}0\\1 \end{pmatrix} пространства \mathbb{R}^2. Находим координаты векторов \mathbf{f}_1,\, \mathbf{f}_2,\,\mathbf{g}_1,\,\mathbf{g}_2 в стандартном базисе. Раскладываем вектор \mathbf{f}_1:


\mathbf{f}_1=\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}= 3\cdot\! \begin{pmatrix}1\\0 \end{pmatrix}+ 2\cdot\! \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}= 3\cdot \mathbf{e}_1+2\cdot \mathbf{e}_2\quad \Rightarrow\quad f_1=\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}\!.

В стандартном базисе (\mathbf{e}) пространства \mathbb{R}^2 координатный столбец f_1 совпадает с вектором \mathbf{f}_1. Для других векторов аналогично получаем f_2=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\!, g_1=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\!, g_2=\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}. Из координатных столбцов составим матрицы перехода (8.9) от стандартного базиса (\mathbf{e}) к данным базисам (\mathbf{f}) и (\mathbf{g}):


\mathop{S}\limits_{(\mathbf{e})\to(\mathbf{f})}= \begin{pmatrix}3&1\\ 2&1 \end{pmatrix}\!,\quad \mathop{S}\limits_{(\mathbf{e})\to(\mathbf{g})}= \begin{pmatrix}1&-1\\ 2&1 \end{pmatrix}\!.

По свойству 1 матриц перехода имеем \mathop{S}\limits_{(\mathbf{f})\to(\mathbf{g})}= \mathop{S}\limits_{(\mathbf{f})\to(\mathbf{e})}\cdot \mathop{S}\limits_{(\mathbf{e})\to(\mathbf{g})}. .По свойству 2: \mathop{S}\limits_{(\mathbf{f})\to(\mathbf{e})}= \mathop{S^{-1}}\limits_{(\mathbf{e})\to(\mathbf{f})}. Поэтому


\mathop{S}\limits_{(\mathbf{f})\to(\mathbf{g})}= \mathop{S^{-1}}\limits_{(\mathbf{e})\to(\mathbf{f})}\cdot \mathop{S}\limits_{(\mathbf{e})\to(\mathbf{g})}= \begin{pmatrix}3&1\\2&1 \end{pmatrix}^{-1}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&-1\\ 2&1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&-1\\-2&3 \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&-1\\ 2&1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-1&-2\\ 4&5 \end{pmatrix}\!.

В стандартном базисе (\mathbf{e}) пространства \mathbb{R}^2 координатный столбец \mathop{v}\limits_{(\mathbf{e})}=\begin{pmatrix}6\\9 \end{pmatrix} совпадает с вектором \mathbf{v}. Найдем координаты этого вектора в базисе (\mathbf{f}) (по свойству 2 матрицы перехода):


\mathop{v}\limits_{(\mathbf{f})}= \mathop{S^{-1}}\limits_{(\mathbf{e})\to(\mathbf{f})}\cdot \mathop{v}\limits_{(\mathbf{e})}= \begin{pmatrix}3&1\\2&1 \end{pmatrix}^{-1}\!\cdot\! \begin{pmatrix}6\\9 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&-1\\ -2&3 \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}6\\9 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-3\\15 \end{pmatrix}\!.

В самом деле, справедливо разложение


\mathbf{v}= \begin{pmatrix}6\\9 \end{pmatrix}= -3\cdot\! \begin{pmatrix}3\\2 \end{pmatrix}+ 15\cdot\! \begin{pmatrix}1\\1 \end{pmatrix}= -3\cdot \mathbf{f}_1+15\cdot \mathbf{f}_2.

Найдем координаты вектора \mathbf{v} в базисе (\mathbf{g}) двумя способами


\begin{aligned}\mathop{\mathbf{v}}\limits_{(\mathbf{g})}&= \mathop{S^{-1}}\limits_{(\mathbf{f})\to(\mathbf{g})}\cdot \mathop{\mathbf{v}}\limits_{(\mathbf{f})}= \begin{pmatrix}-1&-2\\ 4&5\end{pmatrix}^{-1}\!\cdot\! \begin{pmatrix}-3\\15 \end{pmatrix}= \frac{1}{3}\cdot\! \begin{pmatrix}5&2\\ -4&-1 \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}-3\\15 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}5\\-1 \end{pmatrix}\!;\\[5pt] \mathop{\mathbf{v}}\limits_{(\mathbf{g})}&= \mathop{S^{-1}}\limits_{(\mathbf{e})\to(\mathbf{g})}\cdot \mathop{\mathbf{v}}\limits_{(\mathbf{e})}= \begin{pmatrix}1&-1\\ 2&1\end{pmatrix}^{-1}\!\cdot\! \begin{pmatrix}6\\9 \end{pmatrix}= \frac{1}{3}\cdot\! \begin{pmatrix}1&1\\ -2&1 \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}6\\9 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}5\\-1 \end{pmatrix}\!\end{aligned}

Полученный результат подтверждает разложение:


\mathbf{v}= \begin{pmatrix}6\\9 \end{pmatrix}= 5\cdot\! \begin{pmatrix}1\\2 \end{pmatrix}+(-1)\cdot\! \begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}= 5\cdot \mathbf{f}_1+(-1)\cdot \mathbf{f}_2.
Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2021 MathHelpPlanet.com. All rights reserved