Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Прямоугольные координаты

Прямоугольные координаты (прямоугольная система координат)


Определение прямоугольной системы координат


Аффинная система координат называется прямоугольной, если ее базис ортонормированный. Выбирая стандартные базисы (см. разд.1.3.5), получаем:


O\vec{i}прямоугольную систему координат на прямой — это точка O и единичный вектор \vec{i} на прямой. Точки O и A (рис.2.4) на координатной оси Ox обозначаются O(0) и A(1);


Прямоугольная система координат на прямой

Прямоугольная система координат на плоскости

O\vec{i}\vec{j}прямоугольную систему координат на плоскости — это точка O и два взаимно перпендикулярных единичных вектора \vec{i} и \vec{j} на плоскости (вектор \vec{i} — первый базисный вектор, a \vec{j} — второй; пара векторов \vec{i},\vec{j} — правая). Координатные оси Ox (абсцисс) и Oy (ординат) разбивают плоскость на 4 части, называемые квадрантами (четвертями) (рис.2.5). Точка A(1,1), например, принадлежит \text{I} четверти;


O\vec{i}\vec{j}\vec{k}прямоугольную систему координат в пространстве — это точка O и три попарно перпендикулярных единичных вектора \vec{i},\vec{j},\vec{k} (вектор \vec{i} — первый базисный вектор, \vec{j} — второй, а \vec{k} — третий; тройка векторов \vec{i},\vec{j},\vec{k} — правая). Координатные оси обозначаются: Ox — ось абсцисс, Oy — ось ординат, Oz — ось аппликат. Координатные плоскости Oxy,Oxz,Oyz, проходящие через пары координатных осей, разбивают пространство на 8 октантов (рис.2.6). Точка A(1,2,2), например, принадлежит \text{I} октанту.


Прямоугольные системы координат обозначают также указанием начала координат и координатных осей, например, Ox,~Oxy,~Oxyz.


Координаты векторов и точек в прямоугольной системе координат называются прямоугольными координатами.


Прямоугольная система координат в пространстве

Координатами вектора в прямоугольной системе координат называются коэффициенты в разложении вектора по стандартному базису (см. разд. 1.3.5).


Координатами точки A в прямоугольной системе координат называются координаты ее радиус-вектора \overrightarrow{OA} в стандартном базисе. В пространстве это коэффициенты x,y,z в разложении \overrightarrow{OA}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}, на плоскости — коэффициенты x,y в разложении \overrightarrow{OA}=x\vec{i}+y\vec{j} , на прямой — коэффициент x в разложении \overrightarrow{OA}=x\vec{i}. Прямоугольные координаты точки (или ее радиус-вектора) можно представить координатным столбцом:


\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} в пространстве и \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} на плоскости.



Замечания 2.2.


1. В прямоугольной системе координат расстояние AB между точками A(x_A,y_A,z_A) и B(x_B,y_B,z_B) находится по формуле


AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}.

Для координатной плоскости и координатной прямой соответственно получаем


AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2};~~~AB=|x_B-x_A|.

2. Ориентированной площадью S_{ABC}^{\land} треугольника ABC называется его площадь S_{ABC}, взятая со знаком плюс, если ориентация пары векторов \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} правая, и со знаком минус, если ориентация — левая. Если на плоскости известны прямоугольные координаты вершин A(x_A,y_A), B(x_B,y_B) треугольника ABC, то его ориентированная площадь вычисляется по формуле


S_{ABC}^{\land}=\frac{1}{2}\cdot\begin{vmatrix}x_A&y_A&1\\x_B&y_B&1\\x_C&y_C&1\end{vmatrix}.

Действительно, по свойствам определителя (см. разд.П.6) получаем половину ориентированной площади параллелограмма, построенного на векторах \overrightarrow{AB} и \overrightarrow{AC} (см. разд.1.5.3):


\frac{1}{2}\begin{vmatrix}x_A&y_A&1\\x_B&y_B&1\\x_C&y_C&1\end{vmatrix}=\frac{1} {2}\begin{vmatrix}x_A&y_A&1\\x_B-x_A&y_B-y_A&1\\x_C-x_A&y_C-y_A&1\end{vmatrix}=\frac{1}{2}\begin{vmatrix}x_B-x_A&y_B-y_A\\x_C-x_A&y_C-y_A\end{vmatrix}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}\land\overrightarrow{AC}\right).

3. Ориентированным объемом V_{ABCD}^{\land} тетраэдра (треугольной пирамиды) ABCD называется её объем, взятый со знаком плюс, если ориентация тройки векторов \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD} правая, и со знаком минус, если ориентация — левая. Если известны прямоугольные координаты вершин A(x_A,y_A,z_A), B(x_B,y_B,z_B), C(x_C,y_C,z_C), D(x_D,y_D,z_D) тетраэдра ABCD, то его ориентированный объем вычисляется по формуле


V_{ABCD}^{\land}=\frac{1}{2}\cdot\begin{vmatrix}x_A&y_A&z_A&1\\x_B&y_B&z_B&1\\x_C&y_C&z_C&1\\x_D&y_D&z_D&1\end{vmatrix}

Действительно, вычитая первую строку определителя из остальных строк и раскладывая затем определитель по последнему столбцу, получаем \frac{1}{6}(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}), т.е. одну шестую ориентированного объема параллелепипеда, построенного на векторах \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}.




Пример 2.2. Известны прямоугольные координаты вершин A(1,1),B(4,5),C(13,6) треугольника ABC (рис.2.7). Требуется найти:


Прямоугольные координаты вершин треугольника

а) длину медианы AM;

б) длину биссектрисы AL;

в) высоту h_a, опущенную из вершины A.


Решение. а) Учитывая пункт 3 замечаний 2.1, находим координаты точки M — середины стороны BC:


M\!\left(\frac{4+13}{2},\frac{5+6}{2}\right), т.е. M\!\left(\frac{17}{2},\frac{11}{2}\right).

Учитывая пункт 1 замечаний 2.2, получаем:


AM=\sqrt{{\left(\frac{17}{2}-1\right)\!}^2+{\!\left(\frac{11}{2}-1\right)\!}^2}=\sqrt{\frac{225}{4}+\frac{81}{4}}=\frac{306}{2}.

б) Найдем координаты точки L, которая делит сторону BC в отношении BL:LC=AB:AC (свойство биссектрисы треугольника). Так как AB=\sqrt{(4-1)^2+(5-1)^2}=5 и AC=\sqrt{(13-1)^2+(6-1)^2}=13, то, учитывая пункт 2 замечаний 2.1 (BL:LC=5:13\Rightarrow\alpha=13,\beta=5), находим L\!\left(\frac{13\cdot4+5\cdot13}{13+5},\frac{13\cdot5+5\cdot6}{13+5}\right), т.е. L\!\left(\frac{13}{2},\frac{95}{18}\right).


Следовательно, AL=\sqrt{{\left(\frac{13}{2}-1\right)\!}^2+{\left(\frac{95}{18}-1\right)\!}^2}=\frac{11\sqrt{130}}{18}.

в) Учитывая пункт 2 замечаний 2.2, находим ориентированную площадь треугольника ABC:


S_{ABC}^{\land}=\frac{1}{2}\cdot\begin{vmatrix}1&1&1\\4&5&1\\13&6&1\end{vmatrix}=-\frac{33}{2}.

Следовательно, площадь этого треугольника S_{ABC}^{\land}=\frac{33}{2}, тогда h_a=\frac{2S_{ABC}}{BC}=\frac{33}{\sqrt{82}}, поскольку BC=\sqrt{(13-4)^2+(6-5)^2}=\sqrt{82}.




Пример 2.3. Известны прямоугольные координаты вершин A(1,1,3),B(3,5,4),C(-1,3,2),D(5,3,-1) треугольной пирамиды ABCD. Требуется найти:


а) длину отрезка DM, соединяющего вершину D пирамиды с точкой M пересечения медиан грани ABC (см. рис.2.3);

б) объем V_{ABCD} пирамиды.


Решение. а) Координаты точки M найдены в примере 2.1: M(1,3,3). Поэтому


DM=\sqrt{(1-5)^2+(3-3)^2+(3+1)^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}.

б) Найдем ориентированный объем пирамиды по формуле пункта 3 замечаний 2.2. Вычитая первую строку из остальных строк и раскладывая определитель по последнему столбцу, получаем


V_{ABCD}^{\land}=\frac{1}{6}\left|\!\!\begin{array}{*{20}{r}}1&1&3&1\\3&5&4&1\\-1&3&2&1\\5&3&-1&1\end{array}\!\!\right|=\frac{1}{6}\left|\!\!\begin{array}{*{20}{r}}1&1&3&1\\2&4&1&0\\-2&2&-1&0\\4&2&-4&0\end{array}\!\!\right|=\frac{1}{6}\cdot(-1)^{1+4}\cdot1\cdot\left|\!\!\begin{array}{*{20}{r}}2&4&1\\-2&2&-1\\4&2&-4\end{array}\!\!\right|=12.

Следовательно, V_{ABCD}=12.

Перейти на форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2018 MathHelpPlanet.com. All rights reserved