Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Прямоугольные координаты

Прямоугольные координаты (прямоугольная система координат)


Определение прямоугольной системы координат


Аффинная система координат называется прямоугольной, если ее базис ортонормированный. Выбирая стандартные базисы (см. разд.1.3.5), получаем:


[math]O\vec{i}[/math]прямоугольную систему координат на прямой — это точка [math]O[/math] и единичный вектор [math]\vec{i}[/math] на прямой. Точки [math]O[/math] и [math]A[/math] (рис.2.4) на координатной оси [math]Ox[/math] обозначаются [math]O(0)[/math] и [math]A(1)[/math];


Прямоугольная система координат на прямой

Прямоугольная система координат на плоскости

[math]O\vec{i}\vec{j}[/math]прямоугольную систему координат на плоскости — это точка [math]O[/math] и два взаимно перпендикулярных единичных вектора [math]\vec{i}[/math] и [math]\vec{j}[/math] на плоскости (вектор [math]\vec{i}[/math] — первый базисный вектор, a [math]\vec{j}[/math] — второй; пара векторов [math]\vec{i},\vec{j}[/math] — правая). Координатные оси [math]Ox[/math] (абсцисс) и [math]Oy[/math] (ординат) разбивают плоскость на 4 части, называемые квадрантами (четвертями) (рис.2.5). Точка [math]A(1,1)[/math], например, принадлежит [math]\text{I}[/math] четверти;


[math]O\vec{i}\vec{j}\vec{k}[/math]прямоугольную систему координат в пространстве — это точка [math]O[/math] и три попарно перпендикулярных единичных вектора [math]\vec{i},\vec{j},\vec{k}[/math] (вектор [math]\vec{i}[/math] — первый базисный вектор, [math]\vec{j}[/math] — второй, а [math]\vec{k}[/math] — третий; тройка векторов [math]\vec{i},\vec{j},\vec{k}[/math] — правая). Координатные оси обозначаются: [math]Ox[/math] — ось абсцисс, [math]Oy[/math] — ось ординат, [math]Oz[/math] — ось аппликат. Координатные плоскости [math]Oxy,Oxz,Oyz[/math], проходящие через пары координатных осей, разбивают пространство на 8 октантов (рис.2.6). Точка [math]A(1,2,2)[/math], например, принадлежит [math]\text{I}[/math] октанту.


Прямоугольные системы координат обозначают также указанием начала координат и координатных осей, например, [math]Ox,~Oxy,~Oxyz[/math].


Координаты векторов и точек в прямоугольной системе координат называются прямоугольными координатами.


Прямоугольная система координат в пространстве

Координатами вектора в прямоугольной системе координат называются коэффициенты в разложении вектора по стандартному базису (см. разд. 1.3.5).


Координатами точки [math]A[/math] в прямоугольной системе координат называются координаты ее радиус-вектора [math]\overrightarrow{OA}[/math] в стандартном базисе. В пространстве это коэффициенты [math]x,y,z[/math] в разложении [math]\overrightarrow{OA}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}[/math], на плоскости — коэффициенты [math]x,y[/math] в разложении [math]\overrightarrow{OA}=x\vec{i}+y\vec{j}[/math] , на прямой — коэффициент [math]x[/math] в разложении [math]\overrightarrow{OA}=x\vec{i}[/math]. Прямоугольные координаты точки (или ее радиус-вектора) можно представить координатным столбцом:


[math]\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}[/math] в пространстве и [math]\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}[/math] на плоскости.



Замечания 2.2.


1. В прямоугольной системе координат расстояние [math]AB[/math] между точками [math]A(x_A,y_A,z_A)[/math] и [math]B(x_B,y_B,z_B)[/math] находится по формуле


[math]AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}.[/math]

Для координатной плоскости и координатной прямой соответственно получаем


[math]AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2};~~~AB=|x_B-x_A|.[/math]

2. Ориентированной площадью [math]S_{ABC}^{\land}[/math] треугольника [math]ABC[/math] называется его площадь [math]S_{ABC}[/math], взятая со знаком плюс, если ориентация пары векторов [math]\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}[/math] правая, и со знаком минус, если ориентация — левая. Если на плоскости известны прямоугольные координаты вершин [math]A(x_A,y_A)[/math], [math]B(x_B,y_B)[/math] треугольника [math]ABC[/math], то его ориентированная площадь вычисляется по формуле


[math]S_{ABC}^{\land}=\frac{1}{2}\cdot\begin{vmatrix}x_A&y_A&1\\x_B&y_B&1\\x_C&y_C&1\end{vmatrix}.[/math]

Действительно, по свойствам определителя (см. разд.П.6) получаем половину ориентированной площади параллелограмма, построенного на векторах [math]\overrightarrow{AB}[/math] и [math]\overrightarrow{AC}[/math] (см. разд.1.5.3):


[math]\frac{1}{2}\begin{vmatrix}x_A&y_A&1\\x_B&y_B&1\\x_C&y_C&1\end{vmatrix}=\frac{1} {2}\begin{vmatrix}x_A&y_A&1\\x_B-x_A&y_B-y_A&1\\x_C-x_A&y_C-y_A&1\end{vmatrix}=\frac{1}{2}\begin{vmatrix}x_B-x_A&y_B-y_A\\x_C-x_A&y_C-y_A\end{vmatrix}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}\land\overrightarrow{AC}\right).[/math]

3. Ориентированным объемом [math]V_{ABCD}^{\land}[/math] тетраэдра (треугольной пирамиды) [math]ABCD[/math] называется её объем, взятый со знаком плюс, если ориентация тройки векторов [math]\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}[/math] правая, и со знаком минус, если ориентация — левая. Если известны прямоугольные координаты вершин [math]A(x_A,y_A,z_A)[/math], [math]B(x_B,y_B,z_B)[/math], [math]C(x_C,y_C,z_C)[/math], [math]D(x_D,y_D,z_D)[/math] тетраэдра [math]ABCD[/math], то его ориентированный объем вычисляется по формуле


[math]V_{ABCD}^{\land}=\frac{1}{2}\cdot\begin{vmatrix}x_A&y_A&z_A&1\\x_B&y_B&z_B&1\\x_C&y_C&z_C&1\\x_D&y_D&z_D&1\end{vmatrix}[/math]

Действительно, вычитая первую строку определителя из остальных строк и раскладывая затем определитель по последнему столбцу, получаем [math]\frac{1}{6}(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD})[/math], т.е. одну шестую ориентированного объема параллелепипеда, построенного на векторах [math]\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}[/math].




Пример 2.2. Известны прямоугольные координаты вершин [math]A(1,1),B(4,5),C(13,6)[/math] треугольника [math]ABC[/math] (рис.2.7). Требуется найти:


Прямоугольные координаты вершин треугольника

а) длину медианы [math]AM[/math];

б) длину биссектрисы [math]AL[/math];

в) высоту [math]h_a[/math], опущенную из вершины [math]A[/math].


Решение. а) Учитывая пункт 3 замечаний 2.1, находим координаты точки [math]M[/math] — середины стороны [math]BC[/math]:


[math]M\!\left(\frac{4+13}{2},\frac{5+6}{2}\right)[/math], т.е. [math]M\!\left(\frac{17}{2},\frac{11}{2}\right)[/math].

Учитывая пункт 1 замечаний 2.2, получаем:


[math]AM=\sqrt{{\left(\frac{17}{2}-1\right)\!}^2+{\!\left(\frac{11}{2}-1\right)\!}^2}=\sqrt{\frac{225}{4}+\frac{81}{4}}=\frac{306}{2}.[/math]

б) Найдем координаты точки [math]L[/math], которая делит сторону [math]BC[/math] в отношении [math]BL:LC=AB:AC[/math] (свойство биссектрисы треугольника). Так как [math]AB=\sqrt{(4-1)^2+(5-1)^2}=5[/math] и [math]AC=\sqrt{(13-1)^2+(6-1)^2}=13[/math], то, учитывая пункт 2 замечаний 2.1 [math](BL:LC=5:13\Rightarrow\alpha=13,\beta=5)[/math], находим [math]L\!\left(\frac{13\cdot4+5\cdot13}{13+5},\frac{13\cdot5+5\cdot6}{13+5}\right)[/math], т.е. [math]L\!\left(\frac{13}{2},\frac{95}{18}\right)[/math].


Следовательно, [math]AL=\sqrt{{\left(\frac{13}{2}-1\right)\!}^2+{\left(\frac{95}{18}-1\right)\!}^2}=\frac{11\sqrt{130}}{18}[/math].

в) Учитывая пункт 2 замечаний 2.2, находим ориентированную площадь треугольника [math]ABC[/math]:


[math]S_{ABC}^{\land}=\frac{1}{2}\cdot\begin{vmatrix}1&1&1\\4&5&1\\13&6&1\end{vmatrix}=-\frac{33}{2}.[/math]

Следовательно, площадь этого треугольника [math]S_{ABC}^{\land}=\frac{33}{2}[/math], тогда [math]h_a=\frac{2S_{ABC}}{BC}=\frac{33}{\sqrt{82}}[/math], поскольку [math]BC=\sqrt{(13-4)^2+(6-5)^2}=\sqrt{82}[/math].




Пример 2.3. Известны прямоугольные координаты вершин [math]A(1,1,3),B(3,5,4),C(-1,3,2),D(5,3,-1)[/math] треугольной пирамиды [math]ABCD[/math]. Требуется найти:


а) длину отрезка [math]DM[/math], соединяющего вершину [math]D[/math] пирамиды с точкой [math]M[/math] пересечения медиан грани [math]ABC[/math] (см. рис.2.3);

б) объем [math]V_{ABCD}[/math] пирамиды.


Решение. а) Координаты точки [math]M[/math] найдены в примере 2.1: [math]M(1,3,3)[/math]. Поэтому


[math]DM=\sqrt{(1-5)^2+(3-3)^2+(3+1)^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}.[/math]

б) Найдем ориентированный объем пирамиды по формуле пункта 3 замечаний 2.2. Вычитая первую строку из остальных строк и раскладывая определитель по последнему столбцу, получаем


[math]V_{ABCD}^{\land}=\frac{1}{6}\left|\!\!\begin{array}{*{20}{r}}1&1&3&1\\3&5&4&1\\-1&3&2&1\\5&3&-1&1\end{array}\!\!\right|=\frac{1}{6}\left|\!\!\begin{array}{*{20}{r}}1&1&3&1\\2&4&1&0\\-2&2&-1&0\\4&2&-4&0\end{array}\!\!\right|=\frac{1}{6}\cdot(-1)^{1+4}\cdot1\cdot\left|\!\!\begin{array}{*{20}{r}}2&4&1\\-2&2&-1\\4&2&-4\end{array}\!\!\right|=12.[/math]

Следовательно, [math]V_{ABCD}=12[/math].


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved