Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Простейшие типы точек покоя

Простейшие типы точек покоя


Пусть имеем систему двух линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами причем


\begin{cases}\dfrac{dx}{dt}=a_{11}x+a_{12}y,\\ \dfrac{dy}{dt}=a_{21}x+a_{22}y,\end{cases}
(1)

Причём

\Delta=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}\ne0

Точка x=0,~y=0, в которой правые части уравнений системы (1) обращаются в ноль, называется точкой покоя системы (1).


Для исследования точки покоя системы (1) надо составить характеристическое уравнение


\begin{vmatrix}a_{11}-\lambda&a_{12}\\a_{21}&a_{22}-\lambda\end{vmatrix}=0
(2)

и найти его корни \lambda_1 и \lambda_2.


Возможны следующие случаи.


1. Корни \lambda_1,\,\lambda_2 характеристического уравнения (2) вещественные и разные:


а) \lambda_1<0,\,\lambda_2<0. Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый узел, рис. 32);

б) \lambda_1>0,\,\lambda_2>0. Точка покоя неустойчива (неустойчивый узел, рис. 33);

в) \lambda_1>0,\,\lambda_2<0. Точка покоя неустойчива (седло, рис. 34).


2. Корни характеристического уравнения (2) комплексные: \lambda_1=p+iq,\,\lambda_2p-iq:


а) p<0,~q\ne0. Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый фокус, рис.35);

б) p>0,~q\ne0. Точка покоя неустойчива (неустойчивый фокус, рис.36);

в) p>0,~q\ne0. Точка покоя устойчива (центр, рис. 37).


3. Корни \lambda_1=\lambda_2 кратные:


а) \lambda_1=\lambda_2<0. Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый узел, рис.38, 39);

б) \lambda_1=\lambda_2>0. Точка покоя неустойчива (неустойчивый узел, рис.40, 41).


1 Типы точек покоя в зависимости от корней характеристического уравнения

2 Типы точек покоя в зависимости от корней характеристического уравнения

3 Типы точек покоя в зависимости от корней характеристического уравнения



Пример 1. Определить характер точки покоя (0,0) системы


\begin{cases}\dfrac{dx}{dt}=5x-y,\\ \dfrac{dy}{dt}=2x+y.\end{cases}

Решение. Составляем характеристическое уравнение


\begin{vmatrix}5-\lambda&-1\\2&1-\lambda\end{vmatrix}=0, или \lambda^2-6\lambda+7=0.

Его корни \lambda_1=3+\sqrt{2}>0,~\lambda_2=3-\sqrt{2}>0 вещественные, разные, положительные. Следовательно, точка покоя (0;0) — неустойчивый узел.




Связь между типами точек покоя и значениями корней характеристического уравнения (2) можно представить наглядно. Для этого введем обозначения \sigma=-(a_{11}+a_{22},) \Delta=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}. Тогда характеристическое уравнение запишется в виде \lambda^2+\sigma\lambda+\Delta=0.


Рассмотрим плоскость с прямоугольными декартовыми координатами \Delta и \sigma и отметим на ней области, соответствующие различным типам покоя (рис. 42). Из приведенной выше классификации следует, что условиями устойчивости точки покоя являются \operatorname{Re}\lambda_1<0, \operatorname{Re}\lambda_2<0. Они выполняются при \Delta>0 и \sigma>0, т. е. для точек, которые находятся в первой четверти.


Если \lambda_1 и \lambda_2 комплексные, то точка покоя будет типа фокуса. Этому условию удовлетворяют точки, которые лежат между ветвями параболы \sigma^2=4\Delta и не принадлежат оси O\Delta (\sigma^2<4\Delta,~\sigma\ne0).


Точки полуоси \sigma=0, для которых \Delta>0, соответствуют точкам покоя типа центра.


Точки, расположенные вне параболы \sigma^2=4\Delta~(\sigma^2>4\Delta), соответствуют точкам покоя типа узла.


Область плоскости O\Delta\sigma, где \Delta<0, содержит точки покоя типа седла.


Исключая особые случаи (прохождение через начало координат), замечаем, что седло может перейти в узел устойчивый или неустойчивый (рис.42). Устойчивый узел может перейти либо в седло, либо в устойчивый фокус. Случай равных корней \lambda_1=\lambda_2 соответствует границе между узлами и фокусами, т.е. параболе \sigma^2=4\Delta.


Устойчивые и неустойчивые узлы и фокусы



Пример 2. Исследовать уравнение упругих колебаний с учетом трения и сопротивления среды (при \alpha>0)


\frac{d^2x}{dt^2}+2\alpha\,\frac{dx}{dt}+\beta^2x=0\,.
(3)

Решение. Переходим от уравнения (3) к эквивалентной ему системе уравнений


\begin{cases}\dfrac{dx}{dt}=y,\\ \dfrac{dy}{dt}=-2\alpha y-\beta^2x.\end{cases}
(4)

Для определения характера точки покоя (0,0) системы (4) составляем характеристическое уравнение


\begin{vmatrix}\lambda&1\\-\beta^2&-2\alpha-\lambda\end{vmatrix}=0, или \lambda^2+2\alpha\lambda+\beta^2=0,
отсюда
\lambda_{1,2}=-\alpha\pm\sqrt{\alpha^2-\beta^2}\,.
(5)

Рассмотрим следующие случаи:


а) \alpha=0 (сопротивление среды отсутствует). Из (5) получаем \lambda_{1,2}=\pm i\beta. Точка покоя устойчива — центр (все движения являются периодическими);


б) \alpha>0,~\alpha^2-\beta^2<0. Корни \lambda_1 и \lambda_2 комплексно-сопряженные, причем \operatorname{Re}\lambda<0. Точка покоя — устойчивый фокус (колебания затухают);


в) \alpha<0 (случай "отрицательного трения"), \alpha^2-\beta^2<0. Корни \lambda_1 и \lambda_2 — комплексно-сопряженные, причем \operatorname{Re}\lambda<0. Точка покоя — неустойчивый фокус;


г) \alpha>0,~\alpha^2-\beta^2\geqslant0 (сопротивление среды велико \alpha\leqslant\beta). Корни \lambda_1 и \lambda_2 — действительные и отрицательные. Точка покоя — устойчивый узел (все движения затухающие и неколеблющиеся);


д) \alpha<0,~\alpha^2-\beta^2\geqslant0 (случай большого "отрицательного трения"). Корни \lambda_1 и \lambda_2 действительные и положительные. Точка покоя — неустойчивый узел.




Пусть имеем систему линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами


\frac{dx_i}{dt}= \sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_j,\quad i=1,2,\ldots,n~(n\geqslant2).
(6)

Для нее имеют место аналогичные типы расположения интегральных кривых около начала координат (обобщенное седло, обобщенный узел и т.д.).


Теорема. Если все корни характеристического уравнения для системы (6) имеют отрицательную вещественную часть, то точка покоя системы (6) x_i=0 i=1,2,\ldots,n, асимптотически устойчива. Если хотя бы один корень характеристического уравнения имеет положительную вещественную часть, то точка покоя неустойчива.




Пример 3. Будет ли устойчива точка покоя (0,0) системы


\begin{cases}\dfrac{dx}{dt}=-x+z,\\ \dfrac{dy}{dt}=-2y-z,\\ \dfrac{dt}{dt}=y-z.\end{cases}

Решение. Составляем характеристическое уравнение


\begin{vmatrix}-1-\lambda&0&1\\0&-2-\lambda&-1\\0&1&-1-\lambda\end{vmatrix}=0, или (\lambda+1)(\lambda^2+3\lambda+3)=0.

Корни этого уравнения \lambda_1=-1,~\lambda_{2,3}=-\frac{3}{2}\pm i\,\frac{\sqrt{3}}{2} имеют отрицательные вещественные части. Следовательно, точка покоя данной системы асимптотически устойчива.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved