Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Простейшие типы точек покоя

Простейшие типы точек покоя


Пусть имеем систему двух линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами причем


[math]\begin{cases}\dfrac{dx}{dt}=a_{11}x+a_{12}y,\\[9pt] \dfrac{dy}{dt}=a_{21}x+a_{22}y,\end{cases}[/math]
(1)
Причём
[math]\Delta=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}\ne0[/math]

Точка [math]x=0,~y=0[/math], в которой правые части уравнений системы (1) обращаются в ноль, называется точкой покоя системы (1).


Для исследования точки покоя системы (1) надо составить характеристическое уравнение


[math]\begin{vmatrix}a_{11}-\lambda&a_{12}\\a_{21}&a_{22}-\lambda\end{vmatrix}=0[/math]
(2)

и найти его корни [math]\lambda_1[/math] и [math]\lambda_2[/math].


Возможны следующие случаи.


1. Корни [math]\lambda_1,\,\lambda_2[/math] характеристического уравнения (2) вещественные и разные:


а) [math]\lambda_1<0,\,\lambda_2<0[/math]. Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый узел, рис. 32);

б) [math]\lambda_1>0,\,\lambda_2>0[/math]. Точка покоя неустойчива (неустойчивый узел, рис. 33);

в) [math]\lambda_1>0,\,\lambda_2<0[/math]. Точка покоя неустойчива (седло, рис. 34).


2. Корни характеристического уравнения (2) комплексные: [math]\lambda_1=p+iq,\,\lambda_2p-iq:[/math]


а) [math]p<0,~q\ne0[/math]. Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый фокус, рис.35);

б) [math]p>0,~q\ne0[/math]. Точка покоя неустойчива (неустойчивый фокус, рис.36);

в) [math]p>0,~q\ne0[/math]. Точка покоя устойчива (центр, рис. 37).


3. Корни [math]\lambda_1=\lambda_2[/math] кратные:


а) [math]\lambda_1=\lambda_2<0[/math]. Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый узел, рис.38, 39);

б) [math]\lambda_1=\lambda_2>0[/math]. Точка покоя неустойчива (неустойчивый узел, рис.40, 41).


1 Типы точек покоя в зависимости от корней характеристического уравнения

2 Типы точек покоя в зависимости от корней характеристического уравнения

3 Типы точек покоя в зависимости от корней характеристического уравнения



Пример 1. Определить характер точки покоя (0,0) системы


[math]\begin{cases}\dfrac{dx}{dt}=5x-y,\\[9pt] \dfrac{dy}{dt}=2x+y.\end{cases}[/math]

Решение. Составляем характеристическое уравнение


[math]\begin{vmatrix}5-\lambda&-1\\2&1-\lambda\end{vmatrix}=0,[/math] или [math]\lambda^2-6\lambda+7=0.[/math]

Его корни [math]\lambda_1=3+\sqrt{2}>0,~\lambda_2=3-\sqrt{2}>0[/math] вещественные, разные, положительные. Следовательно, точка покоя [math](0;0)[/math] — неустойчивый узел.




Связь между типами точек покоя и значениями корней характеристического уравнения (2) можно представить наглядно. Для этого введем обозначения [math]\sigma=-(a_{11}+a_{22},)[/math] [math]\Delta=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}[/math]. Тогда характеристическое уравнение запишется в виде [math]\lambda^2+\sigma\lambda+\Delta=0[/math].


Рассмотрим плоскость с прямоугольными декартовыми координатами [math]\Delta[/math] и [math]\sigma[/math] и отметим на ней области, соответствующие различным типам покоя (рис. 42). Из приведенной выше классификации следует, что условиями устойчивости точки покоя являются [math]\operatorname{Re}\lambda_1<0,[/math] [math]\operatorname{Re}\lambda_2<0[/math]. Они выполняются при [math]\Delta>0[/math] и [math]\sigma>0[/math], т. е. для точек, которые находятся в первой четверти.


Если [math]\lambda_1[/math] и [math]\lambda_2[/math] комплексные, то точка покоя будет типа фокуса. Этому условию удовлетворяют точки, которые лежат между ветвями параболы [math]\sigma^2=4\Delta[/math] и не принадлежат оси [math]O\Delta[/math] [math](\sigma^2<4\Delta,~\sigma\ne0)[/math].


Точки полуоси [math]\sigma=0[/math], для которых [math]\Delta>0[/math], соответствуют точкам покоя типа центра.


Точки, расположенные вне параболы [math]\sigma^2=4\Delta~(\sigma^2>4\Delta)[/math], соответствуют точкам покоя типа узла.


Область плоскости [math]O\Delta\sigma[/math], где [math]\Delta<0[/math], содержит точки покоя типа седла.


Исключая особые случаи (прохождение через начало координат), замечаем, что седло может перейти в узел устойчивый или неустойчивый (рис.42). Устойчивый узел может перейти либо в седло, либо в устойчивый фокус. Случай равных корней [math]\lambda_1=\lambda_2[/math] соответствует границе между узлами и фокусами, т.е. параболе [math]\sigma^2=4\Delta[/math].


Устойчивые и неустойчивые узлы и фокусы



Пример 2. Исследовать уравнение упругих колебаний с учетом трения и сопротивления среды (при [math]\alpha>0[/math])


[math]\frac{d^2x}{dt^2}+2\alpha\,\frac{dx}{dt}+\beta^2x=0\,.[/math]
(3)

Решение. Переходим от уравнения (3) к эквивалентной ему системе уравнений


[math]\begin{cases}\dfrac{dx}{dt}=y,\\[9pt] \dfrac{dy}{dt}=-2\alpha y-\beta^2x.\end{cases}[/math]
(4)

Для определения характера точки покоя [math](0,0)[/math] системы (4) составляем характеристическое уравнение


[math]\begin{vmatrix}\lambda&1\\-\beta^2&-2\alpha-\lambda\end{vmatrix}=0,[/math] или [math]\lambda^2+2\alpha\lambda+\beta^2=0,[/math]
отсюда
[math]\lambda_{1,2}=-\alpha\pm\sqrt{\alpha^2-\beta^2}\,.[/math]
(5)

Рассмотрим следующие случаи:


а) [math]\alpha=0[/math] (сопротивление среды отсутствует). Из (5) получаем [math]\lambda_{1,2}=\pm i\beta[/math]. Точка покоя устойчива — центр (все движения являются периодическими);


б) [math]\alpha>0,~\alpha^2-\beta^2<0[/math]. Корни [math]\lambda_1[/math] и [math]\lambda_2[/math] комплексно-сопряженные, причем [math]\operatorname{Re}\lambda<0[/math]. Точка покоя — устойчивый фокус (колебания затухают);


в) [math]\alpha<0[/math] (случай "отрицательного трения"), [math]\alpha^2-\beta^2<0[/math]. Корни [math]\lambda_1[/math] и [math]\lambda_2[/math] — комплексно-сопряженные, причем [math]\operatorname{Re}\lambda<0[/math]. Точка покоя — неустойчивый фокус;


г) [math]\alpha>0,~\alpha^2-\beta^2\geqslant0[/math] (сопротивление среды велико [math]\alpha\leqslant\beta[/math]). Корни [math]\lambda_1[/math] и [math]\lambda_2[/math] — действительные и отрицательные. Точка покоя — устойчивый узел (все движения затухающие и неколеблющиеся);


д) [math]\alpha<0,~\alpha^2-\beta^2\geqslant0[/math] (случай большого "отрицательного трения"). Корни [math]\lambda_1[/math] и [math]\lambda_2[/math] действительные и положительные. Точка покоя — неустойчивый узел.




Пусть имеем систему линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами


[math]\frac{dx_i}{dt}= \sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_j,\quad i=1,2,\ldots,n~(n\geqslant2).[/math]
(6)

Для нее имеют место аналогичные типы расположения интегральных кривых около начала координат (обобщенное седло, обобщенный узел и т.д.).


Теорема. Если все корни характеристического уравнения для системы (6) имеют отрицательную вещественную часть, то точка покоя системы (6) [math]x_i=0[/math] [math]i=1,2,\ldots,n[/math], асимптотически устойчива. Если хотя бы один корень характеристического уравнения имеет положительную вещественную часть, то точка покоя неустойчива.




Пример 3. Будет ли устойчива точка покоя [math](0,0)[/math] системы


[math]\begin{cases}\dfrac{dx}{dt}=-x+z,\\[9pt] \dfrac{dy}{dt}=-2y-z,\\[9pt] \dfrac{dt}{dt}=y-z.\end{cases}[/math]

Решение. Составляем характеристическое уравнение


[math]\begin{vmatrix}-1-\lambda&0&1\\0&-2-\lambda&-1\\0&1&-1-\lambda\end{vmatrix}=0,[/math] или [math](\lambda+1)(\lambda^2+3\lambda+3)=0.[/math]

Корни этого уравнения [math]\lambda_1=-1,~\lambda_{2,3}=-\frac{3}{2}\pm i\,\frac{\sqrt{3}}{2}[/math] имеют отрицательные вещественные части. Следовательно, точка покоя данной системы асимптотически устойчива.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved