Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Проекции векторов на прямую и на плоскость

Проекции векторов на прямую и на плоскость


Проекция вектора на прямую


Пусть на плоскости задана прямая [math]l[/math] и пересекающая ее прямая [math]m[/math]. Проекцией вектора [math]\vec{a}=\overrightarrow{AB}[/math] на прямую [math]l[/math] параллельно прямой [math]m[/math] (вдоль прямой [math]m[/math]) называется вектор [math]\vec{a}_l=\overrightarrow{AB}_l[/math], началом которого служит проекция [math]A_l[/math], начала [math]A[/math], а концом — проекция [math]B_l[/math] конца [math]B[/math] вектора [math]\overrightarrow{AB}[/math] (рис.1.13,а). Если прямая [math]m[/math] перпендикулярна прямой [math]l[/math], то проекция называется ортогональной.


Пусть в пространстве дана прямая [math]l[/math] и пересекающая ее плоскость [math]\rho[/math]. Проекцией вектора [math]\vec{a}=\overrightarrow{AB}[/math] на прямую [math]l[/math] параллельно плоскости [math]\rho[/math] (вдоль плоскости [math]\rho[/math]) называется вектор [math]\vec{a}_l=\overrightarrow{AB}_l[/math], началом которого служит проекция [math]A_l[/math], начала [math]A[/math], а концом — проекция [math]B_l[/math] конца [math]B[/math] вектора [math]\overrightarrow{AB}[/math] (рис. 1.13,6). Если плоскость [math]\rho[/math] перпендикулярна прямой [math]l[/math], то проекция называется ортогональной.


Проекция вектора на прямую



Проекция вектора на плоскость


Проекция вектора на плоскость

Пусть в пространстве задана плоскость я и пересекающая ее прямая [math]\rho[/math]. Проекцией вектора [math]\vec{a}=\overrightarrow{AB}[/math] на плоскость [math]\rho[/math] параллельно прямой [math]m[/math] (вдоль прямой [math]m[/math]) называется вектор [math]\vec{a}_{\rho}=\overrightarrow{AB}_{\rho}[/math], началом которого служит проекция [math]A_{\rho}[/math] начала [math]A[/math], а концом — проекция [math]B_{\rho}[/math] конца [math]B[/math] вектора [math]\overrightarrow{AB}[/math] (рис. 1.14). Если прямая [math]m[/math] перпендикулярна плоскости [math]\rho[/math], то проекция называется ортогональной.




Свойства проекций векторов


1. Проекции вектора на параллельные прямые (или на параллельные плоскости) равны.

2. Проекции равных векторов равны.

3. Проекция суммы векторов равна сумме их проекций.

4. Проекция произведения вектора на число равна произведению этого числа на проекцию вектора, другими словами, отношение коллинеарных векторов равно отношению их проекций (если оно определено).

5. Проекция линейной комбинации векторов равна линейной комбинации проекций.


Рассмотрим эти свойства для проекций векторов на прямую [math]l[/math] параллельно прямой [math]m[/math]. Для проекций векторов на плоскость или на прямую параллельно плоскости доказательства аналогичные.


Докажем первое свойство. Пусть [math]\vec{a}_l[/math] — проекция вектора [math]\vec{a}[/math] на прямую [math]l[/math] вдоль прямой [math]m[/math], а [math]\vec{a}_l[/math] — проекция вектора [math]\vec{a}[/math] на прямую [math]l'[/math] вдоль той же прямой [math]m[/math], причем прямые [math]l[/math] и [math]l'[/math] параллельные (рис. 1.15). Четырехугольник, образованный пересечением пары параллельных прямых [math]l[/math] и [math]l'[/math] штриховыми линиями, параллельными прямой [math]m[/math], является параллелограммом. Следовательно, [math]\vec{a}_{l'}=\vec{a}_l[/math], т.е. проекции одного и того же вектора [math]\vec{a}[/math] на параллельные прямые равны.


Проекции векторов на параллельные прямые

Докажем второе свойство. Пусть на плоскости даны равные векторы [math]\overrightarrow{AB}[/math] и [math]\overrightarrow{CD}[/math], не параллельные прямой [math]m[/math] (см. рис. 1.16). Построим равные им векторы [math]\mathop{\overrightarrow{A_lB'}= \overrightarrow{AB}}\limits_{.}[/math] и [math]\mathop{\overrightarrow{C_lD'}= \overrightarrow{CD}}\limits_{.}[/math]. Из равенства [math]\mathop{\overrightarrow{A_lB'}= \overrightarrow{C_lD'}}\limits_{.}[/math] следует, что четырехугольник [math]A_lB'D'C_l[/math] — параллелограмм, а треугольники [math]A_lB'B_l[/math] и [math]C_lD'D_l[/math] равны по стороне и двум прилежащим углам


[math]\big(A_lB'=C_lD',\qquad \angle B'A_lB_l=\angle D'C_lD_l,\qquad \angle A_lB'B_l=\angle C_lD'D_l[/math]

как углы с соответственно параллельными сторонами). Следовательно, [math]\mathop{\overrightarrow{A_lB_l}= \overrightarrow{C_lD_l}}\limits_{.}[/math], т.е. равные векторы, не параллельные прямой [math]m[/math], имеют равные проекции. Если же векторы параллельны прямой [math]m[/math], то их проекции также равны, как нулевые векторы. Второе свойство доказано.


Доказательство третьего свойства очевидно для векторов [math]\overrightarrow{AB}[/math] и [math]\overrightarrow{BC}[/math] (рис. 1.17): проекция [math]\overrightarrow{A_lC_l}[/math] вектора [math]\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}[/math] равна сумме проекций [math]\overrightarrow{A_lB_l}[/math] и [math]\overrightarrow{B_lC_l}[/math], векторов [math]\overrightarrow{AB}[/math] и [math]\overrightarrow{BC}[/math], т.е. [math]\overrightarrow{A_lC_l}= \overrightarrow{A_lB_l}+ \overrightarrow{B_lC_l}[/math]. Для произвольных векторов [math]\vec{a}[/math] и [math]\vec{b}[/math] (у которых конец вектора [math]\vec{a}[/math] не совпадает с началом вектора [math]\vec{b}[/math]) доказательство сводится к рассмотренному случаю для равных им векторов [math]\overrightarrow{AB}=\vec{a}[/math] и [math]\overrightarrow{BC}=\vec{b}[/math], так как равные векторы имеют равные проекции (по второму свойству).


Доказательство четвертого свойства следует из теоремы Фалеса (см. разд. В.2). На рис.1.18 изображены векторы [math]\overrightarrow{AB}[/math] и [math]\overrightarrow{AC}=\lambda\overrightarrow{AB}[/math] [math](\lambda>0)[/math], а также их проекции [math]\overrightarrow{A_lB_l}[/math] и [math]\overrightarrow{A_lC_l}[/math]. По теореме Фалеса [math]\frac{AC}{AB}=\frac{A_lC_l}{A_lB_l}=\lambda[/math], следовательно, [math]\overrightarrow{A_lC_l}= \lambda\overrightarrow{A_lB_l}[/math], что и требовалось доказать. В случае [math]\lambda<0[/math] доказательство аналогичное.


Пятое свойство проекций следует из третьего и четвертого.


Векторы и их проекции



Теорема 1.1 (о проекциях вектора на пересекающиеся прямые).


1. Если на плоскости заданы две пересекающиеся прямые [math]l_1[/math] и [math]l_2[/math], то любой вектор [math]\vec{a}[/math] на плоскости можно однозначно представить в виде суммы своих проекций [math]\vec{a}_1[/math] и [math]\vec{a}_2[/math] на эти прямые (проекции на каждую прямую берутся вдоль другой прямой), т.е. [math]\vec{a}=\vec{a}_1+\vec{a}_2[/math].


2. Если в пространстве заданы три прямые [math]l_1,l_2[/math] и [math]l_3[/math], пересекающиеся в одной точке и не лежащие в одной плоскости, то любой вектор [math]\vec{a}[/math] в пространстве можно однозначно представить в виде суммы своих проекций [math]\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3[/math] на эти прямые (проекции на каждую прямую берутся вдоль плоскости, содержащей две другие прямые), т.е. [math]\vec{a}=\vec{a}_1+\vec{a}_2+\vec{a}_3[/math].


В самом деле, пусть прямые [math]l_1[/math] и [math]l_2[/math] пересекаются в точке [math]O[/math] (рис.1.19,а). Приложим вектор [math]\vec{a}[/math] к точке [math]O[/math], т.е. рассмотрим вектор [math]\overrightarrow{OA}=\vec{a}[/math]. По правилу параллелограмма сложения векторов (см. разд. 1.2) получаем равенство [math]\overrightarrow{OA}=\vec{a}_1+\vec{a}_2[/math], которое равносильно доказываемому равенству [math]\vec{a}=\vec{a}_1+\vec{a}_2[/math], так как равные векторы имеют равные проекции (см. свойство 2 проекций). Единственность представления следует из однозначности нахождения проекций вектора.


Если же вектор [math]\vec{a}[/math] коллинеарен одной из прямых, например [math]l_1[/math], то соответствующие проекции имеют вид: [math]\vec{a}_1=\vec{a},~\vec{a}_2=\vec{o}[/math] и равенство [math]\vec{a}=\vec{a}_1+\vec{a}_2=\vec{a}+\vec{o}[/math], очевидно, выполняется.


Аналогично доказывается второе утверждение.


Проекции вектора на пересекающиеся прямые



Замечание 1.3.


Справедливы утверждения, обратные к указанным в теореме 1.1.


Если вектор на плоскости равен сумме двух неколлинеарных векторов, т.е. [math]\vec{a}=\vec{a}_1+\vec{a}_2[/math], то слагаемые [math]\vec{a}_1[/math] и [math]\vec{a}_2[/math] являются проекциями вектора [math]\vec{a}[/math] на прямые, содержащие векторы [math]\vec{a}_1[/math] и [math]\vec{a}_2[/math] соответственно.


Если вектор в пространстве равен сумме трех некомпланарных векторов, т.е. [math]\vec{a}=\vec{a}_1+\vec{a}_2+\vec{a}_3[/math], то слагаемые [math]\vec{a}_,\vec{a}_2[/math] и [math]\vec{a}_3[/math] являются проекциями вектора [math]\vec{a}[/math] на прямые, содержащие векторы [math]\vec{a}_,\vec{a}_2,\vec{a}_3[/math] соответственно.


В самом деле, отложим от произвольной точки [math]O[/math] векторы [math]\overrightarrow{OA}=\vec{a},\,\overrightarrow{OA_1}=\vec{a}_1,\,\overrightarrow{OA_2}=\vec{a}_2,\,\overrightarrow{OA_3}=\vec{a}_3[/math] (рис.1.19,6). Тогда из равенства [math]\vec{a}=\vec{a}_1+\vec{a}_2+\vec{a}_3[/math] следует, что [math]\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OA_1}+\overrightarrow{OA_2}+\overrightarrow{OA_3}[/math], т.е. вектор [math]\overrightarrow{OA}[/math] — является диагональю параллелепипеда, построенного на векторах [math]\overrightarrow{OA_1},\,\overrightarrow{OA_2},\,\overrightarrow{OA_3}[/math] (отсюда следует правило параллелепипеда сложения трех некомпланарных векторов). Поэтому [math]\overrightarrow{OA_1},\,\overrightarrow{OA_2},\,\overrightarrow{OA_3}[/math] — проекции вектора [math]\overrightarrow{OA}[/math] на прямые [math]l_1,\,l_2,\,l_3[/math] (проекция на каждую прямую берется вдоль плоскости, проходящей через две другие прямые). Так как равные векторы [math]\vec{a}[/math] и [math]\overrightarrow{OA}[/math] имеют равные проекции (свойство 2), заключаем, что проекции вектора [math]\vec{a}[/math] на прямые [math]l_1,\,l_2,\,l_3[/math] равны [math]\vec{a}_1,\,\vec{a}_2,\,\vec{a}_3[/math] соответственно. Наконец, проекции на прямые [math]l_1,\,l_2,\,l_3[/math] равны проекциям на параллельные им прямые, содержащие векторы [math]\vec{a}_1,\,\vec{a}_2,\,\vec{a}_3[/math] соответственно.




Пример 1.5. Если прямая пересекает стороны [math]AB,~BC,~CA[/math] треугольника [math]ABC[/math] (или их продолжения) в точках [math]C_1,~B_1,~C_1[/math] соответственно, то


Отношения проекций векторов на прямую вдоль прямой
[math]\frac{\overrightarrow{AC_1}}{\overrightarrow{BC_1}}\cdot\frac{\overrightarrow{BA_1}}{\overrightarrow{CA_1}}\cdot\frac{\overrightarrow{CB_1}}{\overrightarrow{AB_1}}=1.[/math]

Решение. Найдем отношения проекций векторов на прямую [math]AB[/math] вдоль прямой [math]A_1C_1[/math] (рис. 1.20). Для этого через точку [math]B[/math] проведем прямую [math]BB_2[/math], параллельную прямой [math]A_1C_1[/math]. По свойству 4 проекций имеем:


[math]\frac{\overrightarrow{AC_1}}{\overrightarrow{BC_1}}=\frac{\overrightarrow{AB_1}}{\overrightarrow{B_2B_1}};~~~~\frac{\overrightarrow{BA_1}}{\overrightarrow{CA_1}}=\frac{\overrightarrow{B_2B_1}}{\overrightarrow{CB_1}}.[/math]

Перемножая эти пропорции, получаем [math]\frac{\overrightarrow{AC_1}}{\overrightarrow{BC_1}}\cdot\frac{\overrightarrow{BA_1}}{\overrightarrow{CA_1}}=\frac{\overrightarrow{AB_1}}{\overrightarrow{CB_1}}[/math], что равносильно доказываемому равенству.


Заметим, что доказанное утверждение является частью теоремы Менелая.




Пример 1.6. Если на сторонах [math]AB,~BC,~CA[/math] треугольника [math]ABC[/math] взяты соответственно точки [math]A_1,~B_1,~C_1[/math] так, что прямые [math]AA_1,~BB_1,~CC_1[/math] пересекаются в одной точке, то


[math]\frac{\overrightarrow{AC_1}}{\overrightarrow{BC_1}}\cdot\frac{\overrightarrow{BA_1}}{\overrightarrow{CA_1}}\cdot\frac{\overrightarrow{CB_1}}{\overrightarrow{AB_1}}=-1.[/math]

Решение. Пусть прямые пересекаются в точке [math]Q[/math] (рис.1.21). Через точку [math]C_1[/math] проведем прямые [math]C_1B_2[/math] и [math]C_1A_2[/math] параллельно [math]BB_1[/math] и [math]AA_1[/math] соответственно. По свойству проекций (свойство 4):


Пересечение прямых в точке
[math]\frac{\overrightarrow{AB_1}}{\overrightarrow{B_2B_1}}=-\frac{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{BC_1}};~~~\frac{\overrightarrow{BA_1}}{\overrightarrow{A_2A_1}}=\frac{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{AC_1}};~~~\frac{\overrightarrow{CA_1}}{\overrightarrow{A_2A_1}}=\frac{\overrightarrow{CQ}}{\overrightarrow{C_1Q}}=\frac{\overrightarrow{CB_1}}{\overrightarrow{B_2B_1}}[/math]

Учитывая эти равенства и свойства отношений коллинеарных векторов (см, разд.1.2.1), преобразуем левую и правую части последнего равенства:


[math]\begin{gathered}\frac{\overrightarrow{CQ}}{\overrightarrow{C_1Q}}=\frac{\overrightarrow{CA_1}}{\overrightarrow{A_2A_1}}=\frac{\overrightarrow{CA_1}}{\overrightarrow{BA_1}}\cdot\frac{\overrightarrow{BA_1}}{\overrightarrow{A_2A_1}}=\frac{\overrightarrow{CA_1}}{\overrightarrow{BA_1}}\cdot\frac{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{AC_1}}\\[2pt]\frac{\overrightarrow{C_1Q}}{\overrightarrow{CQ}}=\frac{\overrightarrow{B_2B_1}}{\overrightarrow{CB_1}}=\frac{\overrightarrow{AB_1}}{\overrightarrow{CB_1}}\cdot\frac{\overrightarrow{B_2B_1}}{\overrightarrow{AB_1}}=\frac{\overrightarrow{AB_1}}{\overrightarrow{CB_1}}\cdot\left(-\frac{\overrightarrow{BC_1}}{\overrightarrow{AB}}\right)\end{gathered}[/math]

Запишем произведение правых частей этих равенств, учитывая, что произведение левых частей равно единице:


[math]\frac{\overrightarrow{CA_1}}{\overrightarrow{BA_1}}\cdot\frac{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{AC_1}}\cdot\frac{\overrightarrow{AB_1}}{\overrightarrow{CB_1}}\cdot\left(-\frac{\overrightarrow{BC_1}}{\overrightarrow{AB}}\right)=-\frac{\overrightarrow{BC_1}}{\overrightarrow{AC_1}}\cdot\frac{\overrightarrow{CA_1}}{\overrightarrow{BA_1}}\cdot\frac{\overrightarrow{AB_1}}{\overrightarrow{CB_1}}\cdot\frac{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{AB}}=-\frac{\overrightarrow{BC_1}}{\overrightarrow{AC_1}}\cdot\frac{\overrightarrow{CA_1}}{\overrightarrow{BA_1}}\cdot\frac{\overrightarrow{AB_1}}{\overrightarrow{CB_1}}=1[/math]

Найдем обратное отношение [math]\frac{\overrightarrow{AC_1}}{\overrightarrow{BC_1}}\cdot\frac{\overrightarrow{BA_1}}{\overrightarrow{CA_1}}\cdot\frac{\overrightarrow{CB_1}}{\overrightarrow{AB_1}}=-1[/math], что и требовалось доказать.


Заметим, что доказанное утверждение является частью теоремы Чевы.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved