Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]

Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул
Онлайн-сервисы Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики Онлайн число, сумма и дата прописью Алгоритмы JavaScript Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки Уникальные элементы массива Объединение, пересечение и разность массивов НОД и НОК Операции над матрицами Дата прописью Введение в анализ Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика Теория множеств Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия Математическая логика Алгебра высказываний Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции Булевы функции Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций Теория формального Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний Логика предикатов Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов Неформальные и формаль- ные аксиоматические теории Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории Теория алгоритмов Интуитивное представление об алгоритмах Машины Тьюринга и тезис Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики Математическая логика и компьютеры Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект Дискретная математика Множества и отношения Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций Группы и кольца Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов Полукольца и булевы алгебры Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки Алгебраические системы Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры Теория графов Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов Булева алгебра и функции Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов Конечные автоматы и регулярные языки Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга Контекстно-свободные языки Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов Интегральное исчисление Неопределённый и определённый Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции Приложения интегралов Вычисление площадей плоских фигур Площади фигур в различных координатах Вычисление объемов тел с помощью интегралов Объём тела вращения Вычисление длин дуг кривых Формулы длины дуги регулярной кривой Кривизна плоской кривой Площадь поверхности вращения тела Интегралы в физике Статические моменты и координаты центра тяжести Теоремы Гульдина–Паппа Вычисление моментов инерции Другие приложения интегралов в физике Основные интегралы Интеграл Ньютона-Лейбница Интеграл Римана Интеграл Лебега Вариационное исчисление Примеры вариационных задач Дифференциальное уравнение Эйлера Функционалы, зависящие от нескольких функций Задача о минимуме кратного интеграла Финансовый анализ Анализ эффективности Критерии и показатели эффективности предприятия Методы анализа эффективности деятельности Факторный анализ прибыли от операционной деятельности Анализ безубыточности предприятия Операционный рычаг и эффект финансового рычага Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала Анализ распределения прибыли предприятия Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности Анализ устойчивости Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность Характеристика типов финансовой устойчивости Рыночная активность Финансовый анализ рыночной активности Методика анализа рыночной активности Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию Инвестиционная деятельность Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование Анализ инвестиций Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия Задачи финансового анализа инвестиций предприятия Учет фактора времени в инвестиционной деятельности Аннуитет и финансовая рента в инвестициях Учет фактора инфляции при инвестировании Оценка фактора риска инвестиционного проекта Методы оценки эффективности инвестиций Показатели эффективности инвестиционного проекта Стоимость компании Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций Форвардные контракты Форвардный контракт и цена Форвардная цена акции на бирже Цена форвардного контракта инвестора Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда Форвардная цена валюты на рынке форекс Форвардный валютный курс и инфляция на рынке Форвардная цена товара и спотовый рынок Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам Синтетический форвардный контракт на акции и валюту Теория вероятностей Основные понятия теории вероятностей Зависимые и независимые случайные события Повторные независимые испытания Формула Бернулли Одномерные случайные величины Многомерные случайные величины Функции случайных величин Законы распределения целочисленных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и предельные теоремы Вероятностные закономерности Математическая статистика Элементы математической статистики Выборочный метод Оценки параметров генеральной совокупности Статистические гипотезы Критерии согласия Теоретические и эмпирические частоты Теория очередей (СМО) Определение системы массового обслуживания Уравнения Колмогорова Предельные вероятности состояний Определение СМО с отказами Определение СМО с ожиданием (очередью) Аналитическая геометрия Векторная алгебра Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике Системы координат Прямоугольные координаты Преобразования прямоугольных координат Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферические координаты Аффинные координаты Аффинные преобразования координат Аффинные преобразования плоскости Примеры аффинных преобразований плоскости Аффинные преобразования пространства Многомерное координатное пространство Линейные и аффинные подпространства Скалярное произведение n-мерных векторов Преобразования систем координат Геометрия на плоскости Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными Линии 2-го порядка Канонические уравнения линий второго порядка Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду Эллипс Гипербола Парабола Квадратичные неравенства с двумя неизвестными Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций Инварианты линий Классификация линий 2-го порядка по инвариантам Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам Геометрия в пространстве Способы задания ГМТ в пространстве Алгебраические уравнения поверхностей Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам Уравнения плоскости, проходящей через три точки Взаимное расположение плоскостей Типовые задачи с плоскостями Уравнения прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Типовые задачи с прямыми в пространстве Поверхности 2-го порядка Канонические уравнения поверхностей Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду Поверхности второго порядка Эллипсоиды Гиперболоиды Конусы Параболоиды Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций Инварианты поверхностей Классификация поверхностей 2-го порядка по инвариантам Квадратичные неравенства с тремя неизвестными Приведение уравнения поверхности к канониче-скому виду по инвариантам Линейная алгебра Матрицы и операции Линейные операции над матрицами Умножение матриц Возведение матриц в степень Многочлены от матриц Транспонирование и сопряжение матриц Блочные матрицы Произведение и сумма матриц Кронекера Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду Элементарные преобразования матриц Определители Определители матриц и их основные свойства Формула полного разложения определителя Формула Лапласа полного разложения определителя Определитель произведения матриц Методы вычисления определителей Ранг матрицы Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы Ранг матрицы и базисный минор матрицы Методы вычисления ранга матрицы Ранг системы столбцов (строк) Обратная матрица Обратные матрицы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы Способы нахождения обратной матрицы Матричные уравнения Односторонние обратные матрицы Скелетное разложение матрицы Полуобратная матрица Псевдообратная матрица Системы уравнений Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Структура общего решения системы уравнений Решение систем с помощью полуобратных матриц Псевдорешения системы линейных уравнений Функциональные матрицы Функциональные матрицы скалярного аргумента Производные матриц по векторному аргументу Линейные и квадратичные формы и их преобразования Приведение форм к каноническому виду Закон инерции вещественных квадратичных форм Знакоопределенность форм вещественных квадратичных Формы и исследование функций на экстремум Многочленные матрицы Многочленные матрицы (лямбда-матрицы) Операции над лямбда-матрицами Простые преобразования многочленных матриц Инвариантные множители многочленной матрицы Функции от матриц Собственные векторы и значения матрицы Подобие числовых матриц Характеристический многочлен матрицы Минимальный многочлен матрицы Теорема Гамильтона-Кэли Жорданова форма матрицы Приведение матрицы к жордановой форме Многочлены от матриц Применение многочленов от матриц Функции от матриц Линейные пространства Линейные пространства: определение и примеры Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов Размерность и базис линейного пространства Преобразования координат в линейном пространстве Изоморфизм линейных пространств Подпространства Подпространства линейного пространства Пересечение и сумма подпространств Способы описания подпространств Нахождение дополнения и суммы подпространств Нахождение пересечения подпространств Линейные отображения Линейные многообразия Линейные отображения Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения Линейные операторы Линейные операторы (преобразования) Инвариантные подпространства Собственные векторы и значения оператора Свойства собственных векторов операторов Канонический вид линейного оператора Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду Евклидовы пространства Евклидовы пространства Ортогональные векторы евклидова пространства Ортогональный базис евклидова пространства Ортонормированный базис евклидова пространства Ортогональные дополнения в евклидовом пространстве Задача о перпендикуляре Матрица и определитель Грама и его свойства Линейные преобразования евклидовых пространств Канонический вид ортогонального оператора евклидова пространства Сопряженные операторы евклидова пространства Самосопряженные операторы евклидова пространства Приведение квадратичной формы к главным осям Унитарные пространства и их линейные преобразования Комплексный анализ Комплексные числа Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Множества на комплексной плоскости Последовательности и ряды комплексных чисел Комплексные функции Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная Элементарные функции комплексного переменного Дифференцирование функций комплексного переменного Аналитические функции и их свойства Конформные отображения и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного Функциональные ряды в комплексной области Функциональные ряды и последовательности Степенные ряды и их свойства Разложение функций в степенные ряды Нули аналитических функций Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням Особые точки, Вычеты Изолированные особые точки функций и полюсы Вычеты и их применение Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычеты и расположение нулей многочлена Операционное исчисление Преобразование Лапласа и его свойства Решение ДУ операционным методом Анализ выходных процессов линейных стационарных систем Z-преобразование и его свойства Дифференциальные уравнения ДУ первого порядка Основные понятия и определения ДУ Метод изоклин для ДУ 1-го порядка Метод последовательных приближений ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ 1-го порядка Дифференциальное уравнение Бернулли ДУ в полных дифференциалах Интегрирующий множитель ДУ, не разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение Риккати Составление ДУ семейств линий Задачи на траектории Особые решения ДУ ДУ высших порядков Понятия и определения ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка Линейная независимость функций Определители Вронского и Грама Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения Задача Коши и Уравнение Эйлера Линейные ДУ с переменными коэффициентами Метод Лагранжа решения ДУ Краевые задачи для ДУ высших порядков Разложение решения ДУ в степенной ряд Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд Нахождение периодических решений ДУ Асимптотическое интегрирование ДУ Системы ДУ Системы ДУ: понятия и определения Сведение системы ДУ к одному уравнению Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование однородных линейных систем ДУ Методы интегрирования неоднородных систем ДУ Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем Теория устойчивости Устойчивость решений ДУ по Ляпунову Простейшие типы точек покоя Метод функций Ляпунова Устойчивость решений ДУ по первому приближению Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова ДУ с малым параметром при производной Численные методы Методы алгебры Численные методы линейной алгебры Численные методы решения СЛАУ Итерационный метод Шульца обратной матрицы Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы Методы решения нелинейных уравнений Методы решения систем нелинейных уравнений Методы теории приближений Методы приближения сеточных функций Методы функциональной интерполяции Методы интегрально-дифференциальной интерполяции Методы интегрального сглаживания Методы интерполяции и сглаживания сплайнами Методы численного дифференцирования и интегрирования Методы численного дифференцирования Методы численного интегрирования Методы решения обыкновенных ДУ Численные методы решения задачи Коши Разностные схемы для решения задачи Коши Составные схемы для решения задачи Коши Экстраполяционные методы решения задачи Коши Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши Численные методы решения краевых задач Методы решения ДУ в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Численные методы решения уравнений в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными	Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Содержание 1. Постановка проблемы и ее неразрешимость в общем виде 2. Решение проблемы для формул на конечных множествах 3. Пример формулы, выполнимой на бесконечном множестве и невыполнимой ни на каком конечном 4. Проблема разрешения выполнимости: влияние мощности множества и структуры формулы 5. Решение проблемы для формул, содержащих только одноместные предикатные переменные 6. Проблема разрешения общезначимости и мощность множества, на котором рассматривается формула 7. Решение проблемы для $\forall$ -формул и $\exists$ -формул Постановка проблемы и ее неразрешимость в общем виде В алгебре высказываний было установлено, что существует четкий алгоритм, позволяющий для каждой формулы алгебры высказываний ответить на вопрос, будет ли данная формула выполнима, тождественно истинна или тождественно ложна. Для этого нужно составить таблицу истинности формулы и посмотреть на распределение нулей и единиц в ее последнем столбце. Аналогичная проблема возникает и для формул логики предикатов: существует ли единый алгоритм, позволяющий для каждой формулы логики предикатов определить, будет ли она выполнимой или общезначимой? Ответ отрицательный: общего такого алгоритма не существует. Это было доказано в 1936 г. американским математиком А. Чёрчем. Тем не менее для некоторых частных видов формул данная проблема допускает решение. В настоящем параграфе покажем, как решается проблема разрешения для некоторых типов формул. Решение проблемы для формул на конечных множествах Если формула логики предикатов рассматривается на конечном множестве, то вместо ее предикатных переменных могут подставляться конкретные предикаты, определенные на этом конечном множестве. Ввиду того что операции квантификации на конечном множестве сводятся к конъюнкции и дизъюнкции, задача о выполнимости и общезначимости формулы логики предикатов на конечном множестве сводится к задаче о выполнимости или общезначимости некоторой формулы алгебры высказываний. Последняя задача, как мы знаем, эффективно разрешима. Продемонстрируем идею действия этого алгоритма на конкретном примере. Рассмотрим формулу логики предикатов $(\forall y)(\exists x)\bigl(\lnot P(x,y)\land P(y,y)\bigr)$ и выясним, будет ли она выполнима или общезначима на двухэлементном множестве $\{a;b\}$ . Напомним, что поскольку на этом множестве высказывание $(\forall x)(R(x))$ эквивалентно конъюнкции $R(a)\land R(b)$ , а высказывание $(\exists x)(R(x))$ — дизъюнкции $R(a)\lor R(b)$ , то данная формула равносильна формуле $(\exists x)\bigl(\lnot P(x,a)\land P(a,a)\bigr)\land (\exists x)\bigl(\lnot P(x,b)\land P(b,b)\bigr),$ которая, в свою очередь, равносильна формуле $\begin{aligned}&\bigl[\bigl(\lnot P(a,a)\land P(a,a)\bigr)\lor \bigl(\lnot P(b,a)\land P(a,a)\bigr)\bigr]\,\land\\ &\land \bigl[\bigl(\lnot P(a,b)\land P(b,b)\bigr)\lor \bigl(\lnot P(b,b)\land P(b,b)\bigr)\bigr]\,.\end{aligned}$ Одна двухместная предикатная переменная $P(x,y)$ исходной формулы как бы распалась на четыре пропозициональных переменных $P(a,a),~ P(a,b),$ $P(b,a),~ P(b.b)$ последней формулы, потому что при подстановке в исходную формулу вместо $P(x,y)$ двухместного предиката, определенного на множестве $\{a,b\}$ , указанные четыре переменные превратятся в конкретные высказывания (вообще говоря, различные). Так что последняя формула есть по сути дела формула алгебры высказываний. Чтобы это увидеть совсем отчетливо, обозначим указанные четыре пропозициональные переменные буквами $P,R,Q,S$ соответственно. Тогда полученная формула примет вид: $\bigl[(\lnot P\land P)\lor (\lnot Q\land P)\bigr]\land \bigl[(\lnot R\land S)\lor (\lnot S\land S)\bigr].$ Составив таблицу истинности данной формулы алгебры высказываний (или каким-либо другим способом, как это делалось в алгебре высказываний), легко установить, что формула не является тавтологией, но выполнима: она превратится в истинное высказывание, если вместо $P$ и $S$ подставить истинные высказывания, а вместо $Q$ и $R$ — ложные. Применительно к исходной формуле логики предикатов это означает, что она не общезначима на двухэлементном множестве, но выполнима в нем: она превратится в выполнимый предикат, если вместо предикатной переменной $P(x,y)$ подставить в формулу такой конкретный двухместный предикат, который при одинаковых значениях его предметных переменных $x$ и $y$ превращается в истинные высказывания, а при разных — в ложные. Пример формулы, выполнимой на бесконечном множестве и невыполнимой ни на каком конечном Наличие такой формулы позволит сделать, в частности, следующий вывод относительно проблемы разрешения для выполнимости формул логики предикатов: по выполнимости формулы на некотором множестве нельзя судить о выполнимости этой формулы на его подмножествах. Вот пример такой формулы: $\begin{aligned}&(\forall x)(\exists y)\bigl(P(x,y)\bigr)\land (\forall x)\bigl(\lnot P(x,y)\bigr)\,\land\\ &\land (\forall x)(\forall y)(\forall z)\bigl[\bigl(P(x,y)\land P(y,z)\bigr)\to P(x,z)\bigr].\end{aligned}$ Можно сказать, что она характеризует нерефлексивность (второй член конъюнкции) и транзитивность (третий член конъюнкции) некоего двухместного предиката $P(x,y)$ . Эта замкнутая формула превращается в истинное высказывание, если в нее вместо предикатной переменной $P(x,y)$ подставить, например, двухместный предикат " $x<y$ ", определенный на $\mathbb{N}\times \mathbb{N}$ , где $\mathbb{N}$ — множество всех натуральных чисел, т.е. $(\forall x)(\exists y)(x<y)\land (\forall x)\bigl(\lnot (x<x)\bigr)\land (\forall x)(\forall y)(\forall z)\bigl[(x<y\land y<z)\to x<z\bigr].$ Покажем, что эта формула не выполнима ни на каком конечном множестве. Допустим противное, т.е. предположим, что существует конкретный предикат $A(x,y)$ , определенный на конечном множестве $M$ , такой, что высказывание $\begin{aligned}&(\forall x)(\exists y)\bigl(A(x,y)\bigr)\land (\forall x)\bigl(\lnot A(x,y)\bigr)\,\land\\ &\land (\forall x)(\forall y)(\forall z)\bigl[\bigl(A(x,y)\land A(y,z)\bigr)\to A(x,z)\bigr].\end{aligned}$ (1) истинно. Тогда истинным высказыванием будет и каждый член конъюнкции (1). В частности, истинно высказывание $(\forall x)(\exists y)(A(x,y))$ . Возьмем элемент $a_1\in M$ . Тогда из истинности последнего высказывания следует вывод: существует такой элемент $a_2\in M$ , что высказывание $A(a_1,a_2)$ истинно. Далее, аналогично существует такой $a_3\in M$ , что истинно высказывание $A(a_2,a_3)$ , и т.д. Поскольку множество $M$ конечно, то не все элементы $a_1,a_2, a_3, \ldots$ попарно различны. Пусть $a_p=a_{p+q}~(q>0)$ . Тогда из истинности высказываний $A(a_p,a_{p+1}),\quad A(a_{p+1}, a_{p+2}),\quad \ldots,\quad A(a_{p+q-1}, a_{p+q})$ в силу истинности высказывания (третий член истинной конъюнкции (1)) $(\forall x)(\forall y)(\forall z)\bigl[\bigl(A(x,y)\land A(y,z)\bigr)\to A(x,z)\bigr]$ заключаем, что истинно высказывание $A(a_p,a_{p+q})$ , т.е. высказывание $A(a_p,a_p)$ . Но это противоречит истинности высказывания (второй член истинной конъюнкции (1)) $(\forall x)(\lnot A(x,x))$ . Полученное противоречие доказывает, что никакой конкретный предикат, определенный на конечном множестве, не может превратить данную формулу в истинное высказывание, т.е. данная формула невыполнима ни на каком конечном множестве. Проблема разрешения выполнимости: влияние мощности множества и структуры формулы Во-первых, нетрудно понять, что если некоторая формула выполнима или тождественно истинна на некотором множестве, то тоже самое будет иметь место и на любом другом множестве с тем же самым числом элементов, т.е. на любом другом множестве, равномощном с исходным (это следует из наличия взаимно-однозначного отображения этих множеств одного на другое). Поэтому проблема разрешимости выполнимости и общезначимости формул логики предикатов состоит фактически в том, чтобы ответить на вопрос, для каких множеств данная формула выполнима (соответственно общезначима), а для каких — нет. В дополнение к уже установленным результатам укажем еще ряд результатов в этом направлении. Так, теорема Лёвенгейма утверждает, что если формула выполнима на каком-нибудь бесконечном множестве, то она выполнима и на счетно-бесконечном множестве (доказательство можно найти, например, в книге П.С.Новикова). Дальнейшее сведение проблемы разрешимости со счетно-бесконечных множеств на конечные, для которых проблемы разрешимости решаются, невозможно. Примером формулы, выполнимой на бесконечном множестве и не выполнимой ни на каком конечном множестве, может служить формула (1), рассмотренная в предыдущем пункте. Далее, примеры формул Задачника показывают, что положительное решение проблемы выполнимости формулы на некотором конечном множестве не влечет ее положительного решения для этой формулы на множествах с меньшим числом элементов. Так, в Задачнике подробно анализируется формула $(\exists x,y,z)\bigl[R(x,y)\land R(x,z)\land R(y,z)\land (\forall t)\bigl(\lnot R(t,t)\bigr)\bigr]$ относительно которой доказывается, что она будет выполнима на множестве из трех элементов (выполняющий предикат " $x\ne y$ ") и не выполнима на множестве из двух элементов. В задачнике предлагается привести пример формулы, выполнимой на множестве из четырех элементов и не выполнимой ни на каком множестве из трех элементов. Ясно, что она строится по образу и подобию предыдущей формулы: $(\exists x,y,z,u)\bigl[R(x,y)\land R(x,z)\land R(x,u)\land R(y,z)\land R(y,u)\land R(z,u)\land (\forall t)\bigl(\lnot R(t,t)\bigr)\bigr]$ Тем не менее проблема выполнимости обладает одним общим свойством. Теорема 23.1. Если некоторая формула логики предикатов выполнима в каком-нибудь множестве, то она выполнима также и в каждом множестве с большим числом элементов. Доказательство Не нарушая общности, можно считать, что множество $M'$ с числом элементов большим, чем число элементов в $M$ , содержит $M$ в качестве подмножества: достаточно установить взаимно-однозначное соответствие между элементами множества $M$ и элементами подмножества $M_0$ множества $M'$ , равномощного $M$ . Пусть теперь формула $F(P_1,\ldots,P_m)$ выполнима в множестве $M$ и $M \subset M'$ . Это означает, что некоторые конкретные предикаты $A_1,\ldots,A_m$ , заданные над множеством $M$ , превращают формулу $F(P_1,\ldots,P_m)$ в выполнимый предикат $F(A_1,\ldots,A_m)$ над $M$ . Увидим, что определения этих предикатов можно так расширить до предикатов $A'_1,\ldots,A'_m$ , заданных уже на $M'$ , что они также будут превращать формулу $F(P_1,\ldots,P_m)$ в выполнимый предикат $F(A'_1,\ldots,A'_m)$ над $M'$ . Для этого выбирается элемент $a\in M$ , и предикат $A'_i(x_1,\ldots,x_n)$ задается так. Логические значения высказывания $A'_i(a_1,\ldots,a_n)$ на кортеже $a_1,\ldots,a_n$ элементов из $M'$ вычисляются по следующему правилу: $\lambda\bigl[A'_i(a_1,\ldots,a_n)\bigr]= \lambda \bigl[A_i(\overline{a}_1, \ldots, \overline{a}_n) \bigr],$ где $\overline{a}_k= \begin{cases} a_k,& \text{if}\quad a_k\in M,\\ a,& \text{if}\quad a_k\in M'\setminus M. \end{cases}$ Тогда ясно, что предикат $F(A'_1,\ldots,A'_m)$ будет превращаться в истинное высказывание на тех же самых предметах из $M \subset M'$ , что и предикат $F(A'_1,\ldots,A'_m)$ . В заключение укажем ряд результатов, которые сводят (редуцируют) проблему разрешимости для произвольных формул логики предикатов к проблеме разрешимости формул некоторых специальных видов. Будем считать, не нарушая общности, что все формулы, о которых идет речь, не имеют свободных предметных переменных, т.е. являются замкнутыми. Во-первых, мы уже отмечали (см. теорему 21.5), что для всякой формулы логики предикатов существует равносильная ей формула в предваренной нормальной форме. Более того, еще в 1930-е гг. Сколем доказал, что для каждой формулы логики предикатов можно указать формулу в предваренной нормальной форме, кванторная приставка которой имеет вид $(\forall x_1) (\forall x_2)\ldots (\forall x_m)\, (\exists y_1)(\exists y_2)\ldots (\exists y_n)$ (так называемая нормальная форма Сколема), которая относительно выполнимости равнозначна первой. Это означает, что при решении проблемы выполнимости, не уменьшая общности, можно ограничиться рассмотрением лишь формул, имеющих кванторные приставки указанного вида. Далее, для каждой формулы можно указать равнозначную ей в отношении выполнимости формулу, в которой имеются только одноместные и двухместные предикатные переменные (Лё-венгейм, 1915). Можно, далее, ограничиться даже такими формулами, в которых встречается только один-единственный двухместный предикатный символ и, кроме того, приставка имеет вид (Кальмар, 1936): $(\exists x_1)(\exists x_2)\ldots (\exists x_m) (\forall y_1) (\forall y_2)~ (\forall u_1) (\forall u_2)\ldots (\forall u_n)$ При решении проблемы выполнимости можно также ограничиться формулами, приставки которых имеют форму (Гёдель, 1933) $(\forall x_1) (\forall x_2) (\forall x_3) (\exists y_1)(\exists y_2)\ldots (\exists y_n)$ или же форму $(\exists x)(\forall y)(\exists z)(\forall u_1)(\forall u_2)\ldots (\forall u_n)$ (Аккерман, 1936). Имеются и другие предложения редукции рассматриваемой проблемы либо к формулам с кванторными приставками специфических видов, либо к формулам, содержащим предикатные переменные от определенного числа переменных. Решение проблемы для формул, содержащих только одноместные предикатные переменные В этом случае проблема сводится к проблеме разрешения выполнимости и общезначимости формулы на некотором конечном множестве, которая, как установлено выше, имеет эффективное решение. Такое сведение осуществляется на основе следующей теоремы и следствия из нее. Теорема 23.2. Если формула логики предикатов, содержащая только одноместные предикатные переменные, выполнима, то она выполнима на конечном множестве, содержащем не более $2^n$ элементов, где $n$ — число различных предикатных переменных, входящих в рассматриваемую формулу. Доказательство Заметим сначала, что если $G(x_1,\ldots,x_k)$ — открытая формула логики предикатов, в которой $x_1,\ldots,x_k$ — все ее свободные предметные переменные, то выполнимость такой формулы равносильна выполнимости следующей замкнутой формулы: $(\exists x_1)\ldots (\exists x_k)\bigl(G(x_1,\ldots,x_k)\bigr)$ . (Продумайте это утверждение.) Поэтому доказательство теоремы достаточно провести для замкнутой формулы в предваренной нормальной форме. Пусть $F\equiv (K_1x_1)(K_2x_2)\ldots (K_nx_n) \bigl(H(P_1(x_1),P_2(x_2),\ldots, P_n(x_n))\bigr)$ (1) такая формула, где каждый $K_i$ есть один из кванторов $\forall$ или $\exists$ $i=1,\ldots,n$ , $P_i(x_i)$ — одноместные предикатные переменные, а формула $H$ не содержит кванторов. Предположим, что формула $F$ выполняется на некотором множестве $M$ . Это означает, что существуют конкретные одноместные предикаты $A_1(x_1),\ldots,A_n(x_n)$ , определенные на $M$ , такие, что высказывание истинно $F\bigl(A_1(x_1),\ldots,A_n(x_n)\bigr)= (K_1x_1)\ldots (K_nx_n) \bigl(H(A_1(x_1),\ldots, A_n(x_n))\bigr)$ (2) Рассмотрим конечную последовательность $\xi_1,\xi_2, \ldots, \xi_n$ , в которой каждое $\xi_i$ есть 0 или 1, и выберем все такие элементы а из множества $M$ , для которых $\lambda(A_1(a))= \xi_1,\quad \lambda(A_2(a))= \xi_2,\quad \ldots,\quad \lambda(A_n(a))=xi_n\,.$ Подмножество множества $M$ , составленное из всех таких элементов, обозначим $M_{\alpha}$ (где $\alpha$ — десятичная запись двоичного числа $\overline{\xi_1,\xi_2,\ldots,\xi_n}$ ). Итак, $M_{\alpha}= \bigl\{a\in M\colon\, \lambda(A_1(a))= \xi_1,\quad \lambda(A_2(a))= \xi_2,\quad \ldots,\quad \lambda(A_n(a))=xi_n \bigr\}.$ В частности, для некоторой последовательности $\xi_1,\xi_2, \ldots,\xi_n$ требуемых элементов а в множестве $M$ может не найтись. Тогда такое $M_{\alpha}=\varnothing$ . Но ясно, что $M_{\alpha}\ne M_{\beta}\ne \varnothing$ , если $\alpha\ne\beta$ . Сколько же всего образуется подмножеств $M_{\alpha}$ ? Ровно столько, сколько существует конечных последовательностей длины $n$ , составленных из нулей и единиц, т.е. $2^n$ (см. доказательство теоремы 10.3). Но некоторые подмножества, как было отмечено, могут быть пустыми. Поэтому число т непустых подмножеств $M_{\alpha}$ не превосходит числа $2^n$ . Другими словами, набор непустых подмножеств $M_{\alpha}$ образует разбиение множества $M$ на непересекающиеся подмножества. Обозначим через $\mathbf{M}$ множество, элементами которого являются все непустые подмножества $M_{\alpha}\colon$ $\mathbf{M}= \bigl\{M_{\alpha}\colon\, M_{\alpha}\ne \varnothing,~ \alpha=1,\ldots,m;~ m \leqslant 2^n\bigr\}$ (число элементов в $\mathbf{M}$ равно $m \leqslant 2^n$ ). Определим на множестве $\mathbf{M}~n$ одноместных предикатов $A'_1(x_1),\ldots,A'_n(x_n)$ по следующему правилу: каждый предикат $A'_i(x_i)$ таков, что логическое значение $\lambda(A'_i(M_{\alpha}))$ высказывания $A'_i(M_{\alpha})$ , получающегося из этого предиката в результате подстановки вместо предметной переменной $x_i$ элемента $M_{\alpha}$ множества $\mathbf{M}$ , совпадает с логическим значением $\lambda(A_1(a))$ высказывания $A_1(a)$ , получающегося из предиката $A_i(x_i)$ подстановкой элемента а вместо переменной $x_i$ , где $a\in M_{\alpha}$ . (Отметим, что определение корректно, т.е. не зависит от выбора $a$ в множестве $M_{\alpha}$ , потому что для всех $a$ из $M_{\alpha}~ \lambda(A_i(a))=\xi_i$ . Итак, по определению имеем для $a\in M_{\alpha}$ $\lambda\bigl(A'_i(M_{\alpha})\bigr)= \lambda\bigl(A_i(a)\bigr)\quad (i=1,2,\ldots,n)$ (3) Докажем теперь, что формула $F(P_1,\ldots,P_n)$ выполнима на m-элементном множестве $\mathbf{M}$ , а именно, что она превращается при подстановке в нее вместо предикатных переменных $P_1(x_1),\ldots,P_n(x_n)$ конкретных предикатов $A'_1(x_1),\ldots, A'_n(x_n)$ соответственно в выполнимый предикат $F\bigl(A'_1(x_1),\ldots, A'_n(x_n)\bigr)$ (фактически истинное высказывание). Доказательство этого утверждения проведем индукцией по числу кванторов в предваренной нормальной форме формулы $F$ . Сформулируем еще раз полностью то утверждение, которое будем доказывать по индукции: если некоторая формула $F(P_1,\ldots,P_n)$ выполняется на множестве $M$ для предикатов $A_1(x_1),\ldots, A_n(x_n)$ и предметов $a_1,\ldots,a_n\in M$ , то она выполняется и на m-элементном множестве $\mathbf{M}$ для предикатов $A'_1(x_1),\ldots, A'_n(x_n)$ и предметов $M_{\alpha_1},\ldots,M_{\alpha_n}$ , таких, что $a_1\in M_{\alpha_1}, \ldots, a_n\in M_{\alpha_n}$ (эти предикаты определены в предыдущем абзаце). Причем некоторые (или все) предметы могут отсутствовать, если соответствующие переменные связаны. Пусть сначала формула $F(P_1,\ldots,P_n)$ не имеет кванторов вовсе, то есть $F(P_1,\ldots,P_n)\equiv H\bigl(P_1(x_1),\ldots,P_n(x_n)\bigr).$ Тогда выполнимость ее на множестве $M$ для предикатов $A_1(x_1),\ldots, A_n(x_n)$ и предметов $a_1,\ldots,a_n\in M$ означает, что предикат $H\bigl(P_1(x_1),\ldots,P_n(x_n)\bigr)$ выполним, причем $\lambda\bigl[H\bigl(A_1(x_1),\ldots,A_n(x_n)\bigr)\bigr]=1.$ Формула $H$ не содержит кванторов и, следовательно, является формулой алгебры высказываний. Поэтому логическое значение составного высказывания $H\bigl(A_1(x_1), \ldots, A_n(x_n)\bigr)$ может быть найдено на основании теоремы 2.2, в результате чего последнее равенство примет вид $H\bigl(\lambda(A_1(x_1)),\ldots, \lambda(A_n(x_n))\bigr)=1.$ (4) Для элементов $a_1,\ldots,a_n\in M$ множества $M$ выберем такие подмножества $M_{\alpha_1},\ldots,M_{\alpha_n}$ этого множества, что $a_1\in M_{\alpha_1}, \ldots, a_n\in M_{\alpha_n}$ . Тогда, по определению предикатов $A'_i(x_i)$ (см. (3)), имеем $\lambda\bigl(A_i(a_i)\bigr)= \lambda\bigl(A'_i(M_{\alpha_1})\bigr),\quad i=1,\ldots,n.$ Подставим эти значения в (4). Получим $H\bigl(\lambda(A'_1(M_{\alpha_1})),\ldots, \lambda(A'_n (M_{\alpha_n})) \bigr)=1,$ откуда, на основании теоремы 2.2, заключаем, что $\lambda \bigl[H\bigl( A'_1(M_{\alpha_1}), \ldots, A'_n(M_{\alpha_n})\bigr)\bigr]=1$ . Последнее означает выполнимость предиката $H\bigl(A'_1(x_1),\ldots, A'_n(x_n)\bigr)$ на m-элементном множестве $\mathbf{M}$ для предметов $M_{\alpha_1}, \ldots, M_{\alpha_n}$ и, значит, выполнимость формулы $H\bigl(P_1(x_1),\ldots, P_n(x_n)\bigr)$ , т.е. формулы $F(P_1,\ldots,P_n)$ на этом же множестве для тех же предметов. Предположим теперь, что для всякой формулы $F(P_1,\ldots,P_n)$ с числом кванторов $<k$ из выполнимости ее на множестве $M$ для предикатов $A_1(x_1),\ldots, A_n(x_n)$ и предметов $a_1,\ldots,a_n\in M$ следует выполнимость ее на множестве $\mathbf{M}$ для предикатов $A'_1(x_1),\ldots, A'_n(x_n)$ и предметов $M_{\alpha_1},\ldots, M_{\alpha_n}$ , таких, что $a_1\in M_{\alpha_1},\ldots, a_n\in M_{\alpha_n}$ . Наконец рассмотрим произвольную формулу $F(P_1,\ldots,P_n)$ с числом кванторов $k \leqslant n$ , то есть $F(P_1,\ldots,P_n)\equiv (K_1x_1)\ldots (K_kx_k)\bigl(H(P_1,\ldots,P_n)\bigr).$ (5) Допустим, что формула (5) выполняется на множестве $M$ для предикатов $A_1(x_1),\ldots, A_n(x_n)$ и предметов $a_{k+1},\ldots,a_n\in M$ . Учитывая предположение индукции, покажем, что она выполняется на m-элементном множестве $\mathbf{M}$ для предикатов $A'_1(x_1),\ldots, A'_n(x_n)$ и предметов $M_{\alpha_1},\ldots, M_{\alpha_n}$ , таких, что $a_1\in M_{\alpha_1},\ldots, a_n\in M_{\alpha_n}$ . Здесь нужно рассмотреть две возможности для квантора $K_1x_1$ . а) Квантор $K_1x_1$ есть $\forall x_1$ . Тогда выполнимость формулы (5) для предикатов $A_1(x_1),\ldots, A_n(x_n)$ и предметов $a_{k+1},\ldots,a_n\in M$ означает, что при соответствующей подстановке она превращается в выполнимый предикат $(\forall x_1)(K_2x_2)\ldots (K_kx_k)\bigl(H(A_1(x_1),\ldots, A_n(x_n))\bigr),$ причем $\lambda\Bigl[(\forall x_1)(K_2x_2)\ldots (K_kx_k)\bigl(H(A_1(x_1),\ldots, A_n(x_n),\, A_{k+1}(a_{k+1}), \ldots, A_n(a_n))\bigr)\Bigr]=1.$ Далее, по определению 20.1 квантора общности, из последнего соотношения следует, что для любого $a\in M$ $\lambda\Bigl[(K_2x_2)\ldots (K_kx_k)\bigl(H(A_1(a_1), A_2(x_2),\ldots, A_n(x_n),\, A_{k+1}(a_{k+1}), \ldots, A_n(a_n))\bigr)\Bigr]=1.$ (6) Равенство (6) означает, что формула $(K_2x_2)\ldots (K_kx_k)\bigl(H(P_1,P_2,\ldots,P_n)\bigr)$ (7) выполнима на множестве $M$ для предикатов $A_1(x_1),A_2(x_2),\ldots, A_n(x_n)$ и предметов $a,a_{k+1},\ldots,a_n\in M$ . Но формула (7) имеет $k-1$ кванторов. Поэтому на основании предположения индукции заключаем, что она выполняется на множестве $\mathbf{M}$ для предикатов $A'_1(x_1), A'_2(x_2), \ldots, A'_n(x_n)$ и предметов $M_{\alpha}, M_{\alpha_{k+1}}, \ldots, M_{\alpha_n}$ , таких, что $a\in M_{\alpha}, a_{k+1}\in M_{\alpha_{k+1}}, \ldots, a_{n}\in M_{\alpha_n}$ , то есть $\lambda\Bigl[(K_2x_2)\ldots (K_kx_k) \bigl(H(A'_1(M_{\alpha}), A'_2(x_2), \ldots, A'_k(x_k), A'_{k+1}(M_{\alpha_{k+1}}),\ldots, A'_n(M_{\alpha_n})) \bigr)\Bigr]=1.$ (8) Соотношение (6) выполняется для любого $a\in M$ , поэтому соотношение (8) будет выполняться для любого $M_{\alpha}\in \mathbf{M}$ . Последнее означает, по определению квантора общности, что $\lambda\Bigl[(\forall x_1)(K_2x_2)\ldots (K_kx_k) \bigl(H(A'_1(x_1), A'_2(x_2), \ldots, A'_k(x_k), A'_{k+1}(M_{\alpha_{k+1}}),\ldots, A'_n(M_{\alpha_n})) \bigr)\Bigr]=1$ Это равенство говорит о том, что формула $(\forall x_1)(K_2x_2)\ldots (K_kx_k) \bigl(H(P_1,\ldots, P_n)\bigr)$ выполнима на множестве $\mathbf{M}$ для предикатов $A'_1(x_1), \ldots, A'_k(x_k)$ и предметов $M_{\alpha_{k+1}},\ldots, M_{\alpha_n}\in \mathbf{M}$ . б) Квантор $K_1x_1$ есть $\exists x_1$ . Тогда выполнимость формулы (5) для предикатов $A_1(x_1), \ldots, A_k(x_k)$ и предметов $a_{k+1},\ldots,a_n\in M$ означает, что при соответствующей подстановке она превращается в выполнимый предикат $(\exists x_1)(K_2x_2)\ldots (K_kx_k)\bigl(H(A_1(x_1), A_2(x_2), \ldots, A_n(x_n))\bigr)$ причём $\lambda\Bigl[(\exists x_1)(K_2x_2)\ldots (K_kx_k)\bigl(H(A_1(x_1), A_2(x_2), \ldots, A_k(x_k),\, A_{k+1}(a_{k+1}), \ldots, A_n(a_n))\bigr)\Bigr]=1.$ Далее, по определению 20.3 квантора существования, из последнего соотношения получим, что $\lambda\Bigl[(K_2x_2)\ldots (K_kx_k)\bigl(H(A_1(a_1), A_2(x_2), \ldots, A_k(x_k),\, A_{k+1}(a_{k+1}), \ldots, A_n(a_n))\bigr)\Bigr]=1$ для некоторого $a\in M$ . Полученное равенство означает, что формула (7) выполнима на множестве $M$ для предикатов $A_1(x_1), A_2(x_2), \ldots, A_n(x_n)$ и предметов $a,a_{k+1},\ldots,a_n\in M$ . Но формула (7) имеет $k-1$ кванторов, поэтому на основании предположения индукции заключаем, что она выполняется на множестве $\mathbf{M}$ для предикатов $A'_1(x_1), A'_2(x_2), \ldots, A'_n(x_n)$ и предметов $M_{\alpha},M_{\alpha_{k+1}},\ldots,M_{\alpha_n}\in \mathbf{M}$ , таких, что $a\in M_{\alpha},a_{k+1}\in M_{\alpha_{k+1}},\ldots,a_n\in M_{\alpha_n}\in \mathbf{M}\,,$ т.е. справедливо соотношение (8). По определению квантора существования, оно приводит к равенству $\lambda\Bigl[(\exists x_1)(K_2x_2)\ldots (K_kx_k)\bigl(H(A'_1(x_1), \ldots, A'_k(x_k),\, A'_{k+1}(M_{\alpha_{k+1}}), \ldots, A'_n(M_{\alpha_n}))\bigr)\Bigr]=1,$ показывающему, что формула $(\exists x_1)(K_2x_2)\ldots (K_kx_k) \bigl(H(P_1, \ldots, P_n)\bigr)$ выполнима на множестве $\mathbf{M}$ для предикатов $A'_1(x_1), A'_2(x_2), \ldots, A'_n(x_n)$ и предметов $M_{\alpha}, M_{\alpha_{k+1}}, \ldots, M_{\alpha_n}\in \mathbf{M}$ , таких, что $a\in M_{\alpha}, a_{k+1}\in M_{\alpha_{k+1}}, \ldots, a_n\in M_{\alpha_n}\,.$ Итак, какое бы количество кванторов ни имела формула $F$ , она будет выполняться на m-элементном множестве $\mathbf{M}$ , где $m \leqslant 2^n$ . Теорема доказана. Следствие 23.3. Если замкнутая формула $F(P_1,P_2,\ldots,P_n)$ , в которую входят только одноместные предикатные переменные $P_1,P_2,\ldots,P_n$ , тождественно истинна на множестве из $2^{n}$ элементов, то она общезначима. Доказательство. Допустим, что рассматриваемая формула $F(P_1,P_2,\ldots,P_n)$ не общезначима. Тогда ее отрицание $\lnot F(P_1,P_2,\ldots,P_n)$ есть выполнимая формула. Следовательно, по доказанной теореме, эта формула выполнима на конечном множестве из т элементов, причем $m \leqslant 2^n$ . Отсюда, на основании теоремы 23.1, заключаем, что она выполнима на множестве из $2^n$ элементов. Значит, на таком множестве исходная формула $F(P_1,P_2,\ldots,P_n)$ не тождественно истинна, что противоречит условию. Следствие доказано. Таким образом, задача об общезначимости формулы, содержащей лишь одноместные предикатные переменные, сводится к задаче о тождественной истинности этой формулы на конечном множестве. В свою очередь, во втором пункте настоящего параграфа показано, как последняя задача решается путем сведения ее к задаче о тождественной истинности некоторой формулы алгебры высказываний, т. е. к задаче, имеющей алгоритмическое решение. Следовательно, и наша исходная проблема разрешения общезначимости для класса формул логики предикатов, содержащих только одноместные предикаты, разрешима. Проблема разрешения общезначимости и мощность множества, на котором рассматривается формула Обратимся к проблеме общезначимости. Теорема Лёвенгейма, отмеченная выше, применительно к проблеме разрешения общезначимости звучит так: если формула тождественно истинна в счетно-бесконечной области, то она общезначима. Но снова, как и для проблемы выполнимости формул, переход от (счетно) бесконечных множеств к конечным или обратно является качественным. Следующий пример показывает, что, в отличие от проблемы выполнимости, разрешимость проблемы общезначимости на некотором множестве не влечет ее разрешимости на множестве, объемлющем данное. Пример 23.4. Докажем, что следующая формула тождественно истинна на любом конечном множестве, но не является таковой на бесконечном множестве: $(\forall x,y,z)\bigl[R(x,x)\land \bigl(R(x,z)\to (R(x,y)\lor R(y,z))\bigr)\bigr]\to (\exists x)(\forall y)\bigl(R(x,y)\bigr).$ Решение Во-первых, отметим, что предикат " $x\leqslant y$ ", заданный на бесконечном множестве комплексных чисел $\mathbb{Z}$ , превращает данную формулу в ложное высказывание: $(\forall x,y,z)\Bigl[x \leqslant x \land \bigl(x \leqslant z\to (x \leqslant y\lor y \leqslant z)\bigr)\Bigr]\to (\exists x)(\forall y)(x \leqslant y)$ ибо посылка этой импликации истинна, а следствие ложно. Во-вторых, докажем, что данная формула тождественно истинна на любом конечном множестве. Доказательство будем вести индукцией по числу элементов в множестве. Для $M=\{a_1\}$ это очевидно (убедитесь самостоятельно). Если $M=\{a_1,a_2\}$ , то истинными будут утверждения $R(a_1,a_1),~ R(a_2,a_2)$ и $R(a_1,a_1)\to \bigl(R(a_1,a_2)\lor R(a_2,a_1)\bigr),$ а значит, и дизъюнкция $R(a_1,a_2)\lor R(a_2,a_1)$ . Если при этом истинно $R(a_1,a_2)$ , то истинно $(\forall y)(R(a_1,y))$ , т.е. истинны заключение $(\exists x)(\forall y)(R(x,y))$ импликации данной формулы и вся данная формула. Аналогично, если истинно $R(a_2,a_1)$ , то истинно $(\forall y)(R(a_2,y))$ и снова истинна вся данная формула. Предположим теперь, что данная формула тождественно истинна на всяком конечном множестве, содержащем не больше, чем п элементов. Покажем тогда, что она будет тождественно истинна и на любом (n+1)-элементном множестве. Пусть $M=\{a_1,\ldots,a_n,a_{n+1}\}$ . В силу тождественной истинности данной формулы на n-элементном подмножестве $M'=\{a_1, \ldots, a_n\}$ и предположения истинности на $M'$ посылки данной формулы, имеем истинные высказывания: $(\forall x)(R(x,x))$ и $(\forall x)\bigl(R(x,x)\to (\forall y)(R(x,y)\lor R(y,x))\bigr)$ . Тогда истинно заключение $(\exists x)(\forall y)(R(x,y))$ . Не нарушая общности, можно считать, что таким $x$ будет элемент $a_1$ , т.е. $(\forall y)(R(a_1,y))$ , т.е. истинны все утверждения $R(a_1,\ldots,a_2),\ldots,R(a_1,a_n)$ . Мы хотим доказать, что данная формула истинна на (n+1)-элементном множестве $M=\{a_1,\ldots,a_{n},a_{n+1}\}$ . Для этого нужно показать, что на нем в предположении истинности посылки данной формулы верно ее заключение $(\exists x)(\forall y)(R(x,y))$ . Если верно $R(a_1,a_{n+1})$ то утверждение доказано. Если же $R(a_1,a_{n+1})$ неверно, то, в силу истинности дизъюнкции $R(a_1,a_{n+1})\lor R(a_{n+1},a_1)$ , заключаем, что истинно $R(a_{n+1},a_1)$ . Далее, в силу истинности в $M$ посылки $(\forall x,y,z)\bigl(R(x,z)\to (R(x,y)\lor R(y,z))\bigr)$ и утверждений $R(a_1,a_2),\ldots, R(a_1,a_n)$ , приходим к истинности всех следующих дизъюнкций: $R(a_1,a_{n+1})\lor R(a_{n+1},a_2),~\ldots,~ R(a_1,a_{n+1})\lor R(a_{n+1},a_n).$ Поскольку первый член каждой дизъюнкции ложен, то истинны все вторые члены $R(a_{n+1},a_2),\ldots,R(a_{n+1},a_n)$ . Учитывая еще и истинность $R(a_{n+1},a_1)$ и, кроме того, $R(a_{n+1},a_{n+1})$ , приходим к истинности утверждения $(\forall y)(R(a_{n+1},y))$ на $M$ . Это означает истинность на $M$ заключения данной формулы $(\exists x)(\forall y)(R(x,y))$ и всей данной формулы. Ситуация с проблемой разрешимости общезначимости, отмеченная в рассмотренном примере, имеет место не только при переходе от конечного множества к бесконечному, но и при переходе от одного конечного к другому конечному, содержащему большее количество элементов. Решение проблемы для ${\color{green}\boldsymbol{\forall}}$ -формул и ${\color{green}\boldsymbol{\exists}}$ -формул В заключение покажем, как решается проблема разрешения общезначимости еще для двух классов формул логики предикатов — $\forall$ -формул и $\exists$ -формул: и в этих случаях она сводится к тождественной истинности формул на конечных множествах. Под $\forall$ -формулой понимается формула $(\forall x_1)(\forall x_2)\ldots (\forall x_n)\bigl(F(P_1,P_2,\ldots,P_k)\bigr),$ у которой в предваренной нормальной форме кванторная часть содержит только кванторы общности, а под $\exists$ -формулой понимается формула $(\exists x_1)(\exists x_2)\ldots (\exists x_n)\bigl(F(P_1,P_2,\ldots,P_k)\bigr),$ у которой в предваренной нормальной форме кванторная часть содержит только кванторы существования, причем $P_1= P_i(x_1,x_2,\ldots,x_n),\quad i=1,2,\ldots,k\,.$ Теорема 23.5. $\forall$ -формула $(\forall x_1)\ldots (\forall x_n)\bigl(F(P_1, \ldots, P_k)\bigr)$ общезначима тогда и только тогда, когда она тождественно истинна на n-элементном множестве. Доказательство.В самом деле, пусть данная формула тождественно истинна на некотором n-элементном множестве. Тогда ясно, что она тождественно истинна на любом n-элементном множестве (это следует из наличия взаимно-однозначного отображения этих множеств друг на друга). Тогда на всяком n-элементном множестве будет тождественно истинна и формула $F(P_1, \ldots, P_k)$ . Рассмотрим теперь интерпретацию на произвольном множестве: $P_1=A_1, \ldots, P_k=A_k$ . Получим конкретный предикат $F(A_1, \ldots, A_k)$ , зависящий от $n$ переменных. Подставляя вместо них конкретные предметы, мы фактически имеем дело с n-элементным множеством, на котором этот предикат тождественно истинен. Значит, он будет тождественно истинен и на всем данном множестве. Значит, формула $F(P_1, \ldots, P_k)$ тождественно истинна на любом множестве, а вместе с ней тождественно истинна на любом множестве, т. е. общезначима, и формула $(\forall x_1)\ldots (\forall x_n)\bigl(F(P_1, \ldots, P_k)\bigr)$ . Теорема 23.6. $\exists$ -формула $(\exists x_1)\ldots (\exists x_n)\bigl(F(P_1, \ldots, P_k)\bigr)$ общезначима тогда и только тогда, когда она тождественно истинна на одноэлементном множестве. Доказательство этой теоремы аналогично доказательству предыдущей теоремы. Проведите его самостоятельно. Итак, рассмотрения настоящего параграфа красноречиво демонстрируют, что в то время как в алгебре высказываний проблемы разрешимости выполнимости и общезначимости формул решались сравнительно легко, в логике предикатов они представляют собой весьма трудные и, в целом, отнюдь не решенные до конца проблемы. Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике). Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул

Онлайн-сервисы

Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики Онлайн число, сумма и дата прописью

Алгоритмы JavaScript

Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки Уникальные элементы массива Объединение, пересечение и разность массивов НОД и НОК Операции над матрицами Дата прописью

Введение в анализ

Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика

Теория множеств

Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия

Математическая логика

Алгебра высказываний

Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции

Булевы функции

Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций

Теория формального

Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний

Логика предикатов

Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов

Неформальные и формаль-
ные аксиоматические теории

Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории

Теория алгоритмов

Интуитивное представление об алгоритмах Машины Тьюринга и тезис Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики

Математическая логика и компьютеры

Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект

Дискретная математика

Множества и отношения

Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций

Группы и кольца

Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов

Полукольца и булевы алгебры

Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки

Алгебраические системы

Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры

Теория графов

Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов

Булева алгебра и функции

Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов

Конечные автоматы и регулярные языки

Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга

Контекстно-свободные языки

Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов

Интегральное исчисление

Неопределённый и определённый

Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции

Приложения интегралов

Вычисление площадей плоских фигур Площади фигур в различных координатах Вычисление объемов тел с помощью интегралов Объём тела вращения Вычисление длин дуг кривых Формулы длины дуги регулярной кривой Кривизна плоской кривой Площадь поверхности вращения тела

Интегралы в физике

Статические моменты и координаты центра тяжести Теоремы Гульдина–Паппа Вычисление моментов инерции Другие приложения интегралов в физике

Основные интегралы

Интеграл Ньютона-Лейбница Интеграл Римана Интеграл Лебега

Вариационное исчисление

Примеры вариационных задач Дифференциальное уравнение Эйлера Функционалы, зависящие от нескольких функций Задача о минимуме кратного интеграла

Финансовый анализ

Анализ эффективности

Критерии и показатели эффективности предприятия Методы анализа эффективности деятельности Факторный анализ прибыли от операционной деятельности Анализ безубыточности предприятия Операционный рычаг и эффект финансового рычага Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала Анализ распределения прибыли предприятия Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности

Анализ устойчивости

Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность Характеристика типов финансовой устойчивости

Рыночная активность

Финансовый анализ рыночной активности Методика анализа рыночной активности Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию

Инвестиционная деятельность

Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование

Анализ инвестиций

Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия Задачи финансового анализа инвестиций предприятия Учет фактора времени в инвестиционной деятельности Аннуитет и финансовая рента в инвестициях Учет фактора инфляции при инвестировании Оценка фактора риска инвестиционного проекта Методы оценки эффективности инвестиций Показатели эффективности инвестиционного проекта

Стоимость компании

Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций

Форвардные контракты

Форвардный контракт и цена Форвардная цена акции на бирже Цена форвардного контракта инвестора Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда Форвардная цена валюты на рынке форекс Форвардный валютный курс и инфляция на рынке Форвардная цена товара и спотовый рынок Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам Синтетический форвардный контракт на акции и валюту

Теория вероятностей

Основные понятия теории вероятностей Зависимые и независимые случайные события Повторные независимые испытания Формула Бернулли Одномерные случайные величины Многомерные случайные величины Функции случайных величин Законы распределения целочисленных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и предельные теоремы Вероятностные закономерности

Математическая статистика

Элементы математической статистики Выборочный метод Оценки параметров генеральной совокупности Статистические гипотезы Критерии согласия Теоретические и эмпирические частоты

Теория очередей (СМО)

Определение системы массового обслуживания Уравнения Колмогорова Предельные вероятности состояний Определение СМО с отказами Определение СМО с ожиданием (очередью)

Аналитическая геометрия

Векторная алгебра

Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике

Системы координат

Прямоугольные координаты Преобразования прямоугольных координат Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферические координаты Аффинные координаты Аффинные преобразования координат Аффинные преобразования плоскости Примеры аффинных преобразований плоскости Аффинные преобразования пространства Многомерное координатное пространство Линейные и аффинные подпространства Скалярное произведение n-мерных векторов Преобразования систем координат

Геометрия на плоскости

Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными

Линии 2-го порядка

Канонические уравнения линий второго порядка Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду Эллипс Гипербола Парабола Квадратичные неравенства с двумя неизвестными Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций

Инварианты линий

Классификация линий 2-го порядка по инвариантам Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам

Геометрия в пространстве

Способы задания ГМТ в пространстве Алгебраические уравнения поверхностей Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам Уравнения плоскости, проходящей через три точки Взаимное расположение плоскостей Типовые задачи с плоскостями Уравнения прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Типовые задачи с прямыми в пространстве

Поверхности 2-го порядка

Канонические уравнения поверхностей Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду Поверхности второго порядка Эллипсоиды Гиперболоиды Конусы Параболоиды Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций

Инварианты поверхностей

Классификация поверхностей 2-го порядка по инвариантам Квадратичные неравенства с тремя неизвестными Приведение уравнения поверхности к канониче-скому виду по инвариантам

Линейная алгебра

Матрицы и операции

Линейные операции над матрицами Умножение матриц Возведение матриц в степень Многочлены от матриц Транспонирование и сопряжение матриц Блочные матрицы Произведение и сумма матриц Кронекера Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду Элементарные преобразования матриц

Определители

Определители матриц и их основные свойства Формула полного разложения определителя Формула Лапласа полного разложения определителя Определитель произведения матриц Методы вычисления определителей

Ранг матрицы

Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы Ранг матрицы и базисный минор матрицы Методы вычисления ранга матрицы Ранг системы столбцов (строк)

Обратная матрица

Обратные матрицы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы Способы нахождения обратной матрицы Матричные уравнения Односторонние обратные матрицы Скелетное разложение матрицы Полуобратная матрица Псевдообратная матрица

Системы уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Структура общего решения системы уравнений Решение систем с помощью полуобратных матриц Псевдорешения системы линейных уравнений

Функциональные матрицы

Функциональные матрицы скалярного аргумента Производные матриц по векторному аргументу Линейные и квадратичные формы и их преобразования Приведение форм к каноническому виду Закон инерции вещественных квадратичных форм Знакоопределенность форм вещественных квадратичных Формы и исследование функций на экстремум

Многочленные матрицы

Многочленные матрицы (лямбда-матрицы) Операции над лямбда-матрицами Простые преобразования многочленных матриц Инвариантные множители многочленной матрицы

Функции от матриц

Собственные векторы и значения матрицы Подобие числовых матриц Характеристический многочлен матрицы Минимальный многочлен матрицы Теорема Гамильтона-Кэли Жорданова форма матрицы Приведение матрицы к жордановой форме Многочлены от матриц Применение многочленов от матриц Функции от матриц

Линейные пространства

Линейные пространства: определение и примеры Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов Размерность и базис линейного пространства Преобразования координат в линейном пространстве Изоморфизм линейных пространств

Подпространства

Подпространства линейного пространства Пересечение и сумма подпространств Способы описания подпространств Нахождение дополнения и суммы подпространств Нахождение пересечения подпространств

Линейные отображения

Линейные многообразия Линейные отображения Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения

Линейные операторы

Линейные операторы (преобразования) Инвариантные подпространства Собственные векторы и значения оператора Свойства собственных векторов операторов Канонический вид линейного оператора Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду

Евклидовы пространства

Комплексный анализ

Комплексные числа

Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Множества на комплексной плоскости Последовательности и ряды комплексных чисел

Комплексные функции

Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная Элементарные функции комплексного переменного Дифференцирование функций комплексного переменного Аналитические функции и их свойства Конформные отображения
и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного

Функциональные ряды в комплексной области

Функциональные ряды и последовательности Степенные ряды и их свойства Разложение функций в степенные ряды Нули аналитических функций Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням

Особые точки, Вычеты

Изолированные особые точки функций и полюсы Вычеты и их применение Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычеты и расположение нулей многочлена

Операционное исчисление

Преобразование Лапласа и его свойства Решение ДУ операционным методом Анализ выходных процессов линейных стационарных систем Z-преобразование и его свойства

Дифференциальные уравнения

ДУ первого порядка

Основные понятия и определения ДУ Метод изоклин для ДУ 1-го порядка Метод последовательных приближений ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ 1-го порядка Дифференциальное уравнение Бернулли ДУ в полных дифференциалах Интегрирующий множитель ДУ, не разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение Риккати Составление ДУ семейств линий Задачи на траектории Особые решения ДУ

ДУ высших порядков

Понятия и определения ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка Линейная независимость функций Определители Вронского и Грама Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения Задача Коши и Уравнение Эйлера Линейные ДУ с переменными коэффициентами Метод Лагранжа решения ДУ Краевые задачи для ДУ высших порядков Разложение решения ДУ в степенной ряд Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд Нахождение периодических решений ДУ Асимптотическое интегрирование ДУ

Системы ДУ

Системы ДУ: понятия и определения Сведение системы ДУ к одному уравнению Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование однородных линейных систем ДУ Методы интегрирования неоднородных систем ДУ Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем

Теория устойчивости

Устойчивость решений ДУ по Ляпунову Простейшие типы точек покоя Метод функций Ляпунова Устойчивость решений ДУ по первому приближению Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова ДУ с малым параметром при производной

Численные методы

Методы алгебры

Численные методы линейной алгебры Численные методы решения СЛАУ Итерационный метод Шульца обратной матрицы Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы Методы решения нелинейных уравнений Методы решения систем нелинейных уравнений

Методы теории приближений

Методы приближения сеточных функций Методы функциональной интерполяции Методы интегрально-дифференциальной интерполяции Методы интегрального сглаживания Методы интерполяции и сглаживания сплайнами Методы численного дифференцирования и интегрирования Методы численного дифференцирования Методы численного интегрирования

Методы решения обыкновенных ДУ

Численные методы решения задачи Коши Разностные схемы для решения задачи Коши Составные схемы для решения задачи Коши Экстраполяционные методы решения задачи Коши Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши Численные методы решения краевых задач

Методы решения ДУ в частных производных

Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Численные методы решения уравнений в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными

Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул

Постановка проблемы и ее неразрешимость в общем виде

В алгебре высказываний было установлено, что существует четкий алгоритм, позволяющий для каждой формулы алгебры высказываний ответить на вопрос, будет ли данная формула выполнима, тождественно истинна или тождественно ложна. Для этого нужно составить таблицу истинности формулы и посмотреть на распределение нулей и единиц в ее последнем столбце. Аналогичная проблема возникает и для формул логики предикатов: существует ли единый алгоритм, позволяющий для каждой формулы логики предикатов определить, будет ли она выполнимой или общезначимой? Ответ отрицательный: общего такого алгоритма не существует. Это было доказано в 1936 г. американским математиком А. Чёрчем. Тем не менее для некоторых частных видов формул данная проблема допускает решение. В настоящем параграфе покажем, как решается проблема разрешения для некоторых типов формул.

Решение проблемы для формул на конечных множествах

Если формула логики предикатов рассматривается на конечном множестве, то вместо ее предикатных переменных могут подставляться конкретные предикаты, определенные на этом конечном множестве. Ввиду того что операции квантификации на конечном множестве сводятся к конъюнкции и дизъюнкции, задача о выполнимости и общезначимости формулы логики предикатов на конечном множестве сводится к задаче о выполнимости или общезначимости некоторой формулы алгебры высказываний. Последняя задача, как мы знаем, эффективно разрешима.

Продемонстрируем идею действия этого алгоритма на конкретном примере. Рассмотрим формулу логики предикатов $(\forall y)(\exists x)\bigl(\lnot P(x,y)\land P(y,y)\bigr)$ и выясним, будет ли она выполнима или общезначима на двухэлементном множестве $\{a;b\}$ . Напомним, что поскольку на этом множестве высказывание $(\forall x)(R(x))$ эквивалентно конъюнкции $R(a)\land R(b)$ , а высказывание $(\exists x)(R(x))$ — дизъюнкции $R(a)\lor R(b)$ , то данная формула равносильна формуле

$(\exists x)\bigl(\lnot P(x,a)\land P(a,a)\bigr)\land (\exists x)\bigl(\lnot P(x,b)\land P(b,b)\bigr),$

которая, в свою очередь, равносильна формуле

$\begin{aligned}&\bigl[\bigl(\lnot P(a,a)\land P(a,a)\bigr)\lor \bigl(\lnot P(b,a)\land P(a,a)\bigr)\bigr]\,\land\\ &\land \bigl[\bigl(\lnot P(a,b)\land P(b,b)\bigr)\lor \bigl(\lnot P(b,b)\land P(b,b)\bigr)\bigr]\,.\end{aligned}$

Одна двухместная предикатная переменная $P(x,y)$ исходной формулы как бы распалась на четыре пропозициональных переменных $P(a,a),~ P(a,b),$ $P(b,a),~ P(b.b)$ последней формулы, потому что при подстановке в исходную формулу вместо $P(x,y)$ двухместного предиката, определенного на множестве $\{a,b\}$ , указанные четыре переменные превратятся в конкретные высказывания (вообще говоря, различные). Так что последняя формула есть по сути дела формула алгебры высказываний. Чтобы это увидеть совсем отчетливо, обозначим указанные четыре пропозициональные переменные буквами $P,R,Q,S$ соответственно. Тогда полученная формула примет вид:

$\bigl[(\lnot P\land P)\lor (\lnot Q\land P)\bigr]\land \bigl[(\lnot R\land S)\lor (\lnot S\land S)\bigr].$

Составив таблицу истинности данной формулы алгебры высказываний (или каким-либо другим способом, как это делалось в алгебре высказываний), легко установить, что формула не является тавтологией, но выполнима: она превратится в истинное высказывание, если вместо $P$ и $S$ подставить истинные высказывания, а вместо $Q$ и $R$ — ложные. Применительно к исходной формуле логики предикатов это означает, что она не общезначима на двухэлементном множестве, но выполнима в нем: она превратится в выполнимый предикат, если вместо предикатной переменной $P(x,y)$ подставить в формулу такой конкретный двухместный предикат, который при одинаковых значениях его предметных переменных $x$ и $y$ превращается в истинные высказывания, а при разных — в ложные.

Пример формулы, выполнимой на бесконечном множестве и невыполнимой ни на каком конечном

Наличие такой формулы позволит сделать, в частности, следующий вывод относительно проблемы разрешения для выполнимости формул логики предикатов: по выполнимости формулы на некотором множестве нельзя судить о выполнимости этой формулы на его подмножествах.

Вот пример такой формулы:

$\begin{aligned}&(\forall x)(\exists y)\bigl(P(x,y)\bigr)\land (\forall x)\bigl(\lnot P(x,y)\bigr)\,\land\\ &\land (\forall x)(\forall y)(\forall z)\bigl[\bigl(P(x,y)\land P(y,z)\bigr)\to P(x,z)\bigr].\end{aligned}$

Можно сказать, что она характеризует нерефлексивность (второй член конъюнкции) и транзитивность (третий член конъюнкции) некоего двухместного предиката $P(x,y)$ . Эта замкнутая формула превращается в истинное высказывание, если в нее вместо предикатной переменной $P(x,y)$ подставить, например, двухместный предикат " $x<y$ ", определенный на $\mathbb{N}\times \mathbb{N}$ , где $\mathbb{N}$ — множество всех натуральных чисел, т.е.

$(\forall x)(\exists y)(x<y)\land (\forall x)\bigl(\lnot (x<x)\bigr)\land (\forall x)(\forall y)(\forall z)\bigl[(x<y\land y<z)\to x<z\bigr].$

Покажем, что эта формула не выполнима ни на каком конечном множестве. Допустим противное, т.е. предположим, что существует конкретный предикат $A(x,y)$ , определенный на конечном множестве $M$ , такой, что высказывание

$\begin{aligned}&(\forall x)(\exists y)\bigl(A(x,y)\bigr)\land (\forall x)\bigl(\lnot A(x,y)\bigr)\,\land\\ &\land (\forall x)(\forall y)(\forall z)\bigl[\bigl(A(x,y)\land A(y,z)\bigr)\to A(x,z)\bigr].\end{aligned}$

(1)

истинно. Тогда истинным высказыванием будет и каждый член конъюнкции (1). В частности, истинно высказывание $(\forall x)(\exists y)(A(x,y))$ . Возьмем элемент $a_1\in M$ . Тогда из истинности последнего высказывания следует вывод: существует такой элемент $a_2\in M$ , что высказывание $A(a_1,a_2)$ истинно. Далее, аналогично существует такой $a_3\in M$ , что истинно высказывание $A(a_2,a_3)$ , и т.д. Поскольку множество $M$ конечно, то не все элементы $a_1,a_2, a_3, \ldots$ попарно различны. Пусть $a_p=a_{p+q}~(q>0)$ . Тогда из истинности высказываний

$A(a_p,a_{p+1}),\quad A(a_{p+1}, a_{p+2}),\quad \ldots,\quad A(a_{p+q-1}, a_{p+q})$

в силу истинности высказывания (третий член истинной конъюнкции (1))

$(\forall x)(\forall y)(\forall z)\bigl[\bigl(A(x,y)\land A(y,z)\bigr)\to A(x,z)\bigr]$

заключаем, что истинно высказывание $A(a_p,a_{p+q})$ , т.е. высказывание $A(a_p,a_p)$ . Но это противоречит истинности высказывания (второй член истинной конъюнкции (1)) $(\forall x)(\lnot A(x,x))$ . Полученное противоречие доказывает, что никакой конкретный предикат, определенный на конечном множестве, не может превратить данную формулу в истинное высказывание, т.е. данная формула невыполнима ни на каком конечном множестве.

Проблема разрешения выполнимости: влияние мощности множества и структуры формулы

Во-первых, нетрудно понять, что если некоторая формула выполнима или тождественно истинна на некотором множестве, то тоже самое будет иметь место и на любом другом множестве с тем же самым числом элементов, т.е. на любом другом множестве, равномощном с исходным (это следует из наличия взаимно-однозначного отображения этих множеств одного на другое). Поэтому проблема разрешимости выполнимости и общезначимости формул логики предикатов состоит фактически в том, чтобы ответить на вопрос, для каких множеств данная формула выполнима (соответственно общезначима), а для каких — нет.

В дополнение к уже установленным результатам укажем еще ряд результатов в этом направлении. Так, теорема Лёвенгейма утверждает, что если формула выполнима на каком-нибудь бесконечном множестве, то она выполнима и на счетно-бесконечном множестве (доказательство можно найти, например, в книге П.С.Новикова). Дальнейшее сведение проблемы разрешимости со счетно-бесконечных множеств на конечные, для которых проблемы разрешимости решаются, невозможно. Примером формулы, выполнимой на бесконечном множестве и не выполнимой ни на каком конечном множестве, может служить формула (1), рассмотренная в предыдущем пункте.

Далее, примеры формул Задачника показывают, что положительное решение проблемы выполнимости формулы на некотором конечном множестве не влечет ее положительного решения для этой формулы на множествах с меньшим числом элементов. Так, в Задачнике подробно анализируется формула

$(\exists x,y,z)\bigl[R(x,y)\land R(x,z)\land R(y,z)\land (\forall t)\bigl(\lnot R(t,t)\bigr)\bigr]$

относительно которой доказывается, что она будет выполнима на множестве из трех элементов (выполняющий предикат " $x\ne y$ ") и не выполнима на множестве из двух элементов.

В задачнике предлагается привести пример формулы, выполнимой на множестве из четырех элементов и не выполнимой ни на каком множестве из трех элементов. Ясно, что она строится по образу и подобию предыдущей формулы:

$(\exists x,y,z,u)\bigl[R(x,y)\land R(x,z)\land R(x,u)\land R(y,z)\land R(y,u)\land R(z,u)\land (\forall t)\bigl(\lnot R(t,t)\bigr)\bigr]$

Тем не менее проблема выполнимости обладает одним общим свойством.

Теорема 23.1. Если некоторая формула логики предикатов выполнима в каком-нибудь множестве, то она выполнима также и в каждом множестве с большим числом элементов.

Доказательство

Не нарушая общности, можно считать, что множество $M'$ с числом элементов большим, чем число элементов в $M$ , содержит $M$ в качестве подмножества: достаточно установить взаимно-однозначное соответствие между элементами множества $M$ и элементами подмножества $M_0$ множества $M'$ , равномощного $M$ . Пусть теперь формула $F(P_1,\ldots,P_m)$ выполнима в множестве $M$ и $M \subset M'$ . Это означает, что некоторые конкретные предикаты $A_1,\ldots,A_m$ , заданные над множеством $M$ , превращают формулу $F(P_1,\ldots,P_m)$ в выполнимый предикат $F(A_1,\ldots,A_m)$ над $M$ . Увидим, что определения этих предикатов можно так расширить до предикатов $A'_1,\ldots,A'_m$ , заданных уже на $M'$ , что они также будут превращать формулу $F(P_1,\ldots,P_m)$ в выполнимый предикат $F(A'_1,\ldots,A'_m)$ над $M'$ . Для этого выбирается элемент $a\in M$ , и предикат $A'_i(x_1,\ldots,x_n)$ задается так. Логические значения высказывания $A'_i(a_1,\ldots,a_n)$ на кортеже $a_1,\ldots,a_n$ элементов из $M'$ вычисляются по следующему правилу:

$\lambda\bigl[A'_i(a_1,\ldots,a_n)\bigr]= \lambda \bigl[A_i(\overline{a}_1, \ldots, \overline{a}_n) \bigr],$ где $\overline{a}_k= \begin{cases} a_k,& \text{if}\quad a_k\in M,\\ a,& \text{if}\quad a_k\in M'\setminus M. \end{cases}$

Тогда ясно, что предикат $F(A'_1,\ldots,A'_m)$ будет превращаться в истинное высказывание на тех же самых предметах из $M \subset M'$ , что и предикат $F(A'_1,\ldots,A'_m)$ .

В заключение укажем ряд результатов, которые сводят (редуцируют) проблему разрешимости для произвольных формул логики предикатов к проблеме разрешимости формул некоторых специальных видов. Будем считать, не нарушая общности, что все формулы, о которых идет речь, не имеют свободных предметных переменных, т.е. являются замкнутыми.

Во-первых, мы уже отмечали (см. теорему 21.5), что для всякой формулы логики предикатов существует равносильная ей формула в предваренной нормальной форме. Более того, еще в 1930-е гг. Сколем доказал, что для каждой формулы логики предикатов можно указать формулу в предваренной нормальной форме, кванторная приставка которой имеет вид

$(\forall x_1) (\forall x_2)\ldots (\forall x_m)\, (\exists y_1)(\exists y_2)\ldots (\exists y_n)$

(так называемая нормальная форма Сколема), которая относительно выполнимости равнозначна первой. Это означает, что при решении проблемы выполнимости, не уменьшая общности, можно ограничиться рассмотрением лишь формул, имеющих кванторные приставки указанного вида.

Далее, для каждой формулы можно указать равнозначную ей в отношении выполнимости формулу, в которой имеются только одноместные и двухместные предикатные переменные (Лё-венгейм, 1915). Можно, далее, ограничиться даже такими формулами, в которых встречается только один-единственный двухместный предикатный символ и, кроме того, приставка имеет вид (Кальмар, 1936):

$(\exists x_1)(\exists x_2)\ldots (\exists x_m) (\forall y_1) (\forall y_2)~ (\forall u_1) (\forall u_2)\ldots (\forall u_n)$

При решении проблемы выполнимости можно также ограничиться формулами, приставки которых имеют форму (Гёдель, 1933)

$(\forall x_1) (\forall x_2) (\forall x_3) (\exists y_1)(\exists y_2)\ldots (\exists y_n)$

или же форму $(\exists x)(\forall y)(\exists z)(\forall u_1)(\forall u_2)\ldots (\forall u_n)$ (Аккерман, 1936).

Имеются и другие предложения редукции рассматриваемой проблемы либо к формулам с кванторными приставками специфических видов, либо к формулам, содержащим предикатные переменные от определенного числа переменных.

Решение проблемы для формул, содержащих только одноместные предикатные переменные

В этом случае проблема сводится к проблеме разрешения выполнимости и общезначимости формулы на некотором конечном множестве, которая, как установлено выше, имеет эффективное решение. Такое сведение осуществляется на основе следующей теоремы и следствия из нее.

Теорема 23.2. Если формула логики предикатов, содержащая только одноместные предикатные переменные, выполнима, то она выполнима на конечном множестве, содержащем не более $2^n$ элементов, где $n$ — число различных предикатных переменных, входящих в рассматриваемую формулу.

Доказательство

Заметим сначала, что если $G(x_1,\ldots,x_k)$ — открытая формула логики предикатов, в которой $x_1,\ldots,x_k$ — все ее свободные предметные переменные, то выполнимость такой формулы равносильна выполнимости следующей замкнутой формулы: $(\exists x_1)\ldots (\exists x_k)\bigl(G(x_1,\ldots,x_k)\bigr)$ . (Продумайте это утверждение.) Поэтому доказательство теоремы достаточно провести для замкнутой формулы в предваренной нормальной форме. Пусть

$F\equiv (K_1x_1)(K_2x_2)\ldots (K_nx_n) \bigl(H(P_1(x_1),P_2(x_2),\ldots, P_n(x_n))\bigr)$

(1)

такая формула, где каждый $K_i$ есть один из кванторов $\forall$ или $\exists$ $i=1,\ldots,n$ , $P_i(x_i)$ — одноместные предикатные переменные, а формула $H$ не содержит кванторов. Предположим, что формула $F$ выполняется на некотором множестве $M$ . Это означает, что существуют конкретные одноместные предикаты $A_1(x_1),\ldots,A_n(x_n)$ , определенные на $M$ , такие, что высказывание истинно

$F\bigl(A_1(x_1),\ldots,A_n(x_n)\bigr)= (K_1x_1)\ldots (K_nx_n) \bigl(H(A_1(x_1),\ldots, A_n(x_n))\bigr)$

(2)

Рассмотрим конечную последовательность $\xi_1,\xi_2, \ldots, \xi_n$ , в которой каждое $\xi_i$ есть 0 или 1, и выберем все такие элементы а из множества $M$ , для которых

$\lambda(A_1(a))= \xi_1,\quad \lambda(A_2(a))= \xi_2,\quad \ldots,\quad \lambda(A_n(a))=xi_n\,.$

Подмножество множества $M$ , составленное из всех таких элементов, обозначим $M_{\alpha}$ (где $\alpha$ — десятичная запись двоичного числа $\overline{\xi_1,\xi_2,\ldots,\xi_n}$ ). Итак,

$M_{\alpha}= \bigl\{a\in M\colon\, \lambda(A_1(a))= \xi_1,\quad \lambda(A_2(a))= \xi_2,\quad \ldots,\quad \lambda(A_n(a))=xi_n \bigr\}.$

В частности, для некоторой последовательности $\xi_1,\xi_2, \ldots,\xi_n$ требуемых элементов а в множестве $M$ может не найтись. Тогда такое $M_{\alpha}=\varnothing$ . Но ясно, что $M_{\alpha}\ne M_{\beta}\ne \varnothing$ , если $\alpha\ne\beta$ . Сколько же всего образуется подмножеств $M_{\alpha}$ ? Ровно столько, сколько существует конечных последовательностей длины $n$ , составленных из нулей и единиц, т.е. $2^n$ (см. доказательство теоремы 10.3). Но некоторые подмножества, как было отмечено, могут быть пустыми. Поэтому число т непустых подмножеств $M_{\alpha}$ не превосходит числа $2^n$ . Другими словами, набор непустых подмножеств $M_{\alpha}$ образует разбиение множества $M$ на непересекающиеся подмножества. Обозначим через $\mathbf{M}$ множество, элементами которого являются все непустые подмножества $M_{\alpha}\colon$

$\mathbf{M}= \bigl\{M_{\alpha}\colon\, M_{\alpha}\ne \varnothing,~ \alpha=1,\ldots,m;~ m \leqslant 2^n\bigr\}$ (число элементов в $\mathbf{M}$ равно $m \leqslant 2^n$ ).

Определим на множестве $\mathbf{M}~n$ одноместных предикатов $A'_1(x_1),\ldots,A'_n(x_n)$ по следующему правилу: каждый предикат $A'_i(x_i)$ таков, что логическое значение $\lambda(A'_i(M_{\alpha}))$ высказывания $A'_i(M_{\alpha})$ , получающегося из этого предиката в результате подстановки вместо предметной переменной $x_i$ элемента $M_{\alpha}$ множества $\mathbf{M}$ , совпадает с логическим значением $\lambda(A_1(a))$ высказывания $A_1(a)$ , получающегося из предиката $A_i(x_i)$ подстановкой элемента а вместо переменной $x_i$ , где $a\in M_{\alpha}$ . (Отметим, что определение корректно, т.е. не зависит от выбора $a$ в множестве $M_{\alpha}$ , потому что для всех $a$ из $M_{\alpha}~ \lambda(A_i(a))=\xi_i$ . Итак, по определению имеем для $a\in M_{\alpha}$

$\lambda\bigl(A'_i(M_{\alpha})\bigr)= \lambda\bigl(A_i(a)\bigr)\quad (i=1,2,\ldots,n)$

(3)

Докажем теперь, что формула $F(P_1,\ldots,P_n)$ выполнима на m-элементном множестве $\mathbf{M}$ , а именно, что она превращается при подстановке в нее вместо предикатных переменных $P_1(x_1),\ldots,P_n(x_n)$ конкретных предикатов $A'_1(x_1),\ldots, A'_n(x_n)$ соответственно в выполнимый предикат $F\bigl(A'_1(x_1),\ldots, A'_n(x_n)\bigr)$ (фактически истинное высказывание). Доказательство этого утверждения проведем индукцией по числу кванторов в предваренной нормальной форме формулы $F$ . Сформулируем еще раз полностью то утверждение, которое будем доказывать по индукции: если некоторая формула $F(P_1,\ldots,P_n)$ выполняется на множестве $M$ для предикатов $A_1(x_1),\ldots, A_n(x_n)$ и предметов $a_1,\ldots,a_n\in M$ , то она выполняется и на m-элементном множестве $\mathbf{M}$ для предикатов $A'_1(x_1),\ldots, A'_n(x_n)$ и предметов $M_{\alpha_1},\ldots,M_{\alpha_n}$ , таких, что $a_1\in M_{\alpha_1}, \ldots, a_n\in M_{\alpha_n}$ (эти предикаты определены в предыдущем абзаце). Причем некоторые (или все) предметы могут отсутствовать, если соответствующие переменные связаны.

Пусть сначала формула $F(P_1,\ldots,P_n)$ не имеет кванторов вовсе, то есть

$F(P_1,\ldots,P_n)\equiv H\bigl(P_1(x_1),\ldots,P_n(x_n)\bigr).$

Тогда выполнимость ее на множестве $M$ для предикатов $A_1(x_1),\ldots, A_n(x_n)$ и предметов $a_1,\ldots,a_n\in M$ означает, что предикат $H\bigl(P_1(x_1),\ldots,P_n(x_n)\bigr)$ выполним, причем

$\lambda\bigl[H\bigl(A_1(x_1),\ldots,A_n(x_n)\bigr)\bigr]=1.$

Формула $H$ не содержит кванторов и, следовательно, является формулой алгебры высказываний. Поэтому логическое значение составного высказывания $H\bigl(A_1(x_1), \ldots, A_n(x_n)\bigr)$ может быть найдено на основании теоремы 2.2, в результате чего последнее равенство примет вид

$H\bigl(\lambda(A_1(x_1)),\ldots, \lambda(A_n(x_n))\bigr)=1.$

(4)

Для элементов $a_1,\ldots,a_n\in M$ множества $M$ выберем такие подмножества $M_{\alpha_1},\ldots,M_{\alpha_n}$ этого множества, что $a_1\in M_{\alpha_1}, \ldots, a_n\in M_{\alpha_n}$ . Тогда, по определению предикатов $A'_i(x_i)$ (см. (3)), имеем

$\lambda\bigl(A_i(a_i)\bigr)= \lambda\bigl(A'_i(M_{\alpha_1})\bigr),\quad i=1,\ldots,n.$

Подставим эти значения в (4). Получим

$H\bigl(\lambda(A'_1(M_{\alpha_1})),\ldots, \lambda(A'_n (M_{\alpha_n})) \bigr)=1,$

откуда, на основании теоремы 2.2, заключаем, что $\lambda \bigl[H\bigl( A'_1(M_{\alpha_1}), \ldots, A'_n(M_{\alpha_n})\bigr)\bigr]=1$ .

Последнее означает выполнимость предиката $H\bigl(A'_1(x_1),\ldots, A'_n(x_n)\bigr)$ на m-элементном множестве $\mathbf{M}$ для предметов $M_{\alpha_1}, \ldots, M_{\alpha_n}$ и, значит, выполнимость формулы $H\bigl(P_1(x_1),\ldots, P_n(x_n)\bigr)$ , т.е. формулы $F(P_1,\ldots,P_n)$ на этом же множестве для тех же предметов.

Предположим теперь, что для всякой формулы $F(P_1,\ldots,P_n)$ с числом кванторов $<k$ из выполнимости ее на множестве $M$ для предикатов $A_1(x_1),\ldots, A_n(x_n)$ и предметов $a_1,\ldots,a_n\in M$ следует выполнимость ее на множестве $\mathbf{M}$ для предикатов $A'_1(x_1),\ldots, A'_n(x_n)$ и предметов $M_{\alpha_1},\ldots, M_{\alpha_n}$ , таких, что $a_1\in M_{\alpha_1},\ldots, a_n\in M_{\alpha_n}$ .

Наконец рассмотрим произвольную формулу $F(P_1,\ldots,P_n)$ с числом кванторов $k \leqslant n$ , то есть

$F(P_1,\ldots,P_n)\equiv (K_1x_1)\ldots (K_kx_k)\bigl(H(P_1,\ldots,P_n)\bigr).$

(5)

Допустим, что формула (5) выполняется на множестве $M$ для предикатов $A_1(x_1),\ldots, A_n(x_n)$ и предметов $a_{k+1},\ldots,a_n\in M$ . Учитывая предположение индукции, покажем, что она выполняется на m-элементном множестве $\mathbf{M}$ для предикатов $A'_1(x_1),\ldots, A'_n(x_n)$ и предметов $M_{\alpha_1},\ldots, M_{\alpha_n}$ , таких, что $a_1\in M_{\alpha_1},\ldots, a_n\in M_{\alpha_n}$ . Здесь нужно рассмотреть две возможности для квантора $K_1x_1$ .

а) Квантор $K_1x_1$ есть $\forall x_1$ . Тогда выполнимость формулы (5) для предикатов $A_1(x_1),\ldots, A_n(x_n)$ и предметов $a_{k+1},\ldots,a_n\in M$ означает, что при соответствующей подстановке она превращается в выполнимый предикат

$(\forall x_1)(K_2x_2)\ldots (K_kx_k)\bigl(H(A_1(x_1),\ldots, A_n(x_n))\bigr),$

причем

$\lambda\Bigl[(\forall x_1)(K_2x_2)\ldots (K_kx_k)\bigl(H(A_1(x_1),\ldots, A_n(x_n),\, A_{k+1}(a_{k+1}), \ldots, A_n(a_n))\bigr)\Bigr]=1.$

Далее, по определению 20.1 квантора общности, из последнего соотношения следует, что для любого $a\in M$

$\lambda\Bigl[(K_2x_2)\ldots (K_kx_k)\bigl(H(A_1(a_1), A_2(x_2),\ldots, A_n(x_n),\, A_{k+1}(a_{k+1}), \ldots, A_n(a_n))\bigr)\Bigr]=1.$

(6)

Равенство (6) означает, что формула

$(K_2x_2)\ldots (K_kx_k)\bigl(H(P_1,P_2,\ldots,P_n)\bigr)$

(7)

выполнима на множестве $M$ для предикатов $A_1(x_1),A_2(x_2),\ldots, A_n(x_n)$ и предметов $a,a_{k+1},\ldots,a_n\in M$ . Но формула (7) имеет $k-1$ кванторов. Поэтому на основании предположения индукции заключаем, что она выполняется на множестве $\mathbf{M}$ для предикатов $A'_1(x_1), A'_2(x_2), \ldots, A'_n(x_n)$ и предметов $M_{\alpha}, M_{\alpha_{k+1}}, \ldots, M_{\alpha_n}$ , таких, что $a\in M_{\alpha}, a_{k+1}\in M_{\alpha_{k+1}}, \ldots, a_{n}\in M_{\alpha_n}$ , то есть

$\lambda\Bigl[(K_2x_2)\ldots (K_kx_k) \bigl(H(A'_1(M_{\alpha}), A'_2(x_2), \ldots, A'_k(x_k), A'_{k+1}(M_{\alpha_{k+1}}),\ldots, A'_n(M_{\alpha_n})) \bigr)\Bigr]=1.$

(8)

Соотношение (6) выполняется для любого $a\in M$ , поэтому соотношение (8) будет выполняться для любого $M_{\alpha}\in \mathbf{M}$ . Последнее означает, по определению квантора общности, что

$\lambda\Bigl[(\forall x_1)(K_2x_2)\ldots (K_kx_k) \bigl(H(A'_1(x_1), A'_2(x_2), \ldots, A'_k(x_k), A'_{k+1}(M_{\alpha_{k+1}}),\ldots, A'_n(M_{\alpha_n})) \bigr)\Bigr]=1$

Это равенство говорит о том, что формула $(\forall x_1)(K_2x_2)\ldots (K_kx_k) \bigl(H(P_1,\ldots, P_n)\bigr)$ выполнима на множестве $\mathbf{M}$ для предикатов $A'_1(x_1), \ldots, A'_k(x_k)$ и предметов $M_{\alpha_{k+1}},\ldots, M_{\alpha_n}\in \mathbf{M}$ .

б) Квантор $K_1x_1$ есть $\exists x_1$ . Тогда выполнимость формулы (5) для предикатов $A_1(x_1), \ldots, A_k(x_k)$ и предметов $a_{k+1},\ldots,a_n\in M$ означает, что при соответствующей подстановке она превращается в выполнимый предикат

$(\exists x_1)(K_2x_2)\ldots (K_kx_k)\bigl(H(A_1(x_1), A_2(x_2), \ldots, A_n(x_n))\bigr)$

причём

$\lambda\Bigl[(\exists x_1)(K_2x_2)\ldots (K_kx_k)\bigl(H(A_1(x_1), A_2(x_2), \ldots, A_k(x_k),\, A_{k+1}(a_{k+1}), \ldots, A_n(a_n))\bigr)\Bigr]=1.$

Далее, по определению 20.3 квантора существования, из последнего соотношения получим, что

$\lambda\Bigl[(K_2x_2)\ldots (K_kx_k)\bigl(H(A_1(a_1), A_2(x_2), \ldots, A_k(x_k),\, A_{k+1}(a_{k+1}), \ldots, A_n(a_n))\bigr)\Bigr]=1$

для некоторого $a\in M$ . Полученное равенство означает, что формула (7) выполнима на множестве $M$ для предикатов $A_1(x_1), A_2(x_2), \ldots, A_n(x_n)$ и предметов $a,a_{k+1},\ldots,a_n\in M$ . Но формула (7) имеет $k-1$ кванторов, поэтому на основании предположения индукции заключаем, что она выполняется на множестве $\mathbf{M}$ для предикатов $A'_1(x_1), A'_2(x_2), \ldots, A'_n(x_n)$ и предметов $M_{\alpha},M_{\alpha_{k+1}},\ldots,M_{\alpha_n}\in \mathbf{M}$ , таких, что

$a\in M_{\alpha},a_{k+1}\in M_{\alpha_{k+1}},\ldots,a_n\in M_{\alpha_n}\in \mathbf{M}\,,$

т.е. справедливо соотношение (8). По определению квантора существования, оно приводит к равенству

$\lambda\Bigl[(\exists x_1)(K_2x_2)\ldots (K_kx_k)\bigl(H(A'_1(x_1), \ldots, A'_k(x_k),\, A'_{k+1}(M_{\alpha_{k+1}}), \ldots, A'_n(M_{\alpha_n}))\bigr)\Bigr]=1,$

показывающему, что формула $(\exists x_1)(K_2x_2)\ldots (K_kx_k) \bigl(H(P_1, \ldots, P_n)\bigr)$ выполнима на множестве $\mathbf{M}$ для предикатов $A'_1(x_1), A'_2(x_2), \ldots, A'_n(x_n)$ и предметов $M_{\alpha}, M_{\alpha_{k+1}}, \ldots, M_{\alpha_n}\in \mathbf{M}$ , таких, что

$a\in M_{\alpha}, a_{k+1}\in M_{\alpha_{k+1}}, \ldots, a_n\in M_{\alpha_n}\,.$

Итак, какое бы количество кванторов ни имела формула $F$ , она будет выполняться на m-элементном множестве $\mathbf{M}$ , где $m \leqslant 2^n$ . Теорема доказана.

Следствие 23.3. Если замкнутая формула $F(P_1,P_2,\ldots,P_n)$ , в которую входят только одноместные предикатные переменные $P_1,P_2,\ldots,P_n$ , тождественно истинна на множестве из $2^{n}$ элементов, то она общезначима.

Доказательство. Допустим, что рассматриваемая формула $F(P_1,P_2,\ldots,P_n)$ не общезначима. Тогда ее отрицание $\lnot F(P_1,P_2,\ldots,P_n)$ есть выполнимая формула. Следовательно, по доказанной теореме, эта формула выполнима на конечном множестве из т элементов, причем $m \leqslant 2^n$ . Отсюда, на основании теоремы 23.1, заключаем, что она выполнима на множестве из $2^n$ элементов. Значит, на таком множестве исходная формула $F(P_1,P_2,\ldots,P_n)$ не тождественно истинна, что противоречит условию. Следствие доказано.

Таким образом, задача об общезначимости формулы, содержащей лишь одноместные предикатные переменные, сводится к задаче о тождественной истинности этой формулы на конечном множестве. В свою очередь, во втором пункте настоящего параграфа показано, как последняя задача решается путем сведения ее к задаче о тождественной истинности некоторой формулы алгебры высказываний, т. е. к задаче, имеющей алгоритмическое решение. Следовательно, и наша исходная проблема разрешения общезначимости для класса формул логики предикатов, содержащих только одноместные предикаты, разрешима.

Проблема разрешения общезначимости и мощность множества, на котором рассматривается формула

Обратимся к проблеме общезначимости. Теорема Лёвенгейма, отмеченная выше, применительно к проблеме разрешения общезначимости звучит так: если формула тождественно истинна в счетно-бесконечной области, то она общезначима. Но снова, как и для проблемы выполнимости формул, переход от (счетно) бесконечных множеств к конечным или обратно является качественным. Следующий пример показывает, что, в отличие от проблемы выполнимости, разрешимость проблемы общезначимости на некотором множестве не влечет ее разрешимости на множестве, объемлющем данное.

Пример 23.4. Докажем, что следующая формула тождественно истинна на любом конечном множестве, но не является таковой на бесконечном множестве:

$(\forall x,y,z)\bigl[R(x,x)\land \bigl(R(x,z)\to (R(x,y)\lor R(y,z))\bigr)\bigr]\to (\exists x)(\forall y)\bigl(R(x,y)\bigr).$

Решение

Во-первых, отметим, что предикат " $x\leqslant y$ ", заданный на бесконечном множестве комплексных чисел $\mathbb{Z}$ , превращает данную формулу в ложное высказывание:

$(\forall x,y,z)\Bigl[x \leqslant x \land \bigl(x \leqslant z\to (x \leqslant y\lor y \leqslant z)\bigr)\Bigr]\to (\exists x)(\forall y)(x \leqslant y)$

ибо посылка этой импликации истинна, а следствие ложно.

Во-вторых, докажем, что данная формула тождественно истинна на любом конечном множестве. Доказательство будем вести индукцией по числу элементов в множестве. Для $M=\{a_1\}$ это очевидно (убедитесь самостоятельно). Если $M=\{a_1,a_2\}$ , то истинными будут утверждения $R(a_1,a_1),~ R(a_2,a_2)$ и

$R(a_1,a_1)\to \bigl(R(a_1,a_2)\lor R(a_2,a_1)\bigr),$

а значит, и дизъюнкция $R(a_1,a_2)\lor R(a_2,a_1)$ . Если при этом истинно $R(a_1,a_2)$ , то истинно $(\forall y)(R(a_1,y))$ , т.е. истинны заключение $(\exists x)(\forall y)(R(x,y))$ импликации данной формулы и вся данная формула. Аналогично, если истинно $R(a_2,a_1)$ , то истинно $(\forall y)(R(a_2,y))$ и снова истинна вся данная формула.

Предположим теперь, что данная формула тождественно истинна на всяком конечном множестве, содержащем не больше, чем п элементов. Покажем тогда, что она будет тождественно истинна и на любом (n+1)-элементном множестве. Пусть $M=\{a_1,\ldots,a_n,a_{n+1}\}$ . В силу тождественной истинности данной формулы на n-элементном подмножестве $M'=\{a_1, \ldots, a_n\}$ и предположения истинности на $M'$ посылки данной формулы, имеем истинные высказывания:

$(\forall x)(R(x,x))$ и $(\forall x)\bigl(R(x,x)\to (\forall y)(R(x,y)\lor R(y,x))\bigr)$ .

Тогда истинно заключение $(\exists x)(\forall y)(R(x,y))$ . Не нарушая общности, можно считать, что таким $x$ будет элемент $a_1$ , т.е. $(\forall y)(R(a_1,y))$ , т.е. истинны все утверждения $R(a_1,\ldots,a_2),\ldots,R(a_1,a_n)$ .

Мы хотим доказать, что данная формула истинна на (n+1)-элементном множестве $M=\{a_1,\ldots,a_{n},a_{n+1}\}$ . Для этого нужно показать, что на нем в предположении истинности посылки данной формулы верно ее заключение $(\exists x)(\forall y)(R(x,y))$ . Если верно $R(a_1,a_{n+1})$ то утверждение доказано. Если же $R(a_1,a_{n+1})$ неверно, то, в силу истинности дизъюнкции $R(a_1,a_{n+1})\lor R(a_{n+1},a_1)$ , заключаем, что истинно $R(a_{n+1},a_1)$ .

Далее, в силу истинности в $M$ посылки $(\forall x,y,z)\bigl(R(x,z)\to (R(x,y)\lor R(y,z))\bigr)$ и утверждений $R(a_1,a_2),\ldots, R(a_1,a_n)$ , приходим к истинности всех следующих дизъюнкций:

$R(a_1,a_{n+1})\lor R(a_{n+1},a_2),~\ldots,~ R(a_1,a_{n+1})\lor R(a_{n+1},a_n).$

Поскольку первый член каждой дизъюнкции ложен, то истинны все вторые члены $R(a_{n+1},a_2),\ldots,R(a_{n+1},a_n)$ . Учитывая еще и истинность $R(a_{n+1},a_1)$ и, кроме того, $R(a_{n+1},a_{n+1})$ , приходим к истинности утверждения $(\forall y)(R(a_{n+1},y))$ на $M$ . Это означает истинность на $M$ заключения данной формулы $(\exists x)(\forall y)(R(x,y))$ и всей данной формулы.

Ситуация с проблемой разрешимости общезначимости, отмеченная в рассмотренном примере, имеет место не только при переходе от конечного множества к бесконечному, но и при переходе от одного конечного к другому конечному, содержащему большее количество элементов.

Решение проблемы для ${\color{green}\boldsymbol{\forall}}$ -формул и ${\color{green}\boldsymbol{\exists}}$ -формул

В заключение покажем, как решается проблема разрешения общезначимости еще для двух классов формул логики предикатов — $\forall$ -формул и $\exists$ -формул: и в этих случаях она сводится к тождественной истинности формул на конечных множествах. Под $\forall$ -формулой понимается формула

$(\forall x_1)(\forall x_2)\ldots (\forall x_n)\bigl(F(P_1,P_2,\ldots,P_k)\bigr),$

у которой в предваренной нормальной форме кванторная часть содержит только кванторы общности, а под $\exists$ -формулой понимается формула

$(\exists x_1)(\exists x_2)\ldots (\exists x_n)\bigl(F(P_1,P_2,\ldots,P_k)\bigr),$

у которой в предваренной нормальной форме кванторная часть содержит только кванторы существования, причем

$P_1= P_i(x_1,x_2,\ldots,x_n),\quad i=1,2,\ldots,k\,.$

Теорема 23.5. $\forall$ -формула $(\forall x_1)\ldots (\forall x_n)\bigl(F(P_1, \ldots, P_k)\bigr)$ общезначима тогда и только тогда, когда она тождественно истинна на n-элементном множестве.

Доказательство.В самом деле, пусть данная формула тождественно истинна на некотором n-элементном множестве. Тогда ясно, что она тождественно истинна на любом n-элементном множестве (это следует из наличия взаимно-однозначного отображения этих множеств друг на друга). Тогда на всяком n-элементном множестве будет тождественно истинна и формула $F(P_1, \ldots, P_k)$ . Рассмотрим теперь интерпретацию на произвольном множестве: $P_1=A_1, \ldots, P_k=A_k$ . Получим конкретный предикат $F(A_1, \ldots, A_k)$ , зависящий от $n$ переменных. Подставляя вместо них конкретные предметы, мы фактически имеем дело с n-элементным множеством, на котором этот предикат тождественно истинен. Значит, он будет тождественно истинен и на всем данном множестве. Значит, формула $F(P_1, \ldots, P_k)$ тождественно истинна на любом множестве, а вместе с ней тождественно истинна на любом множестве, т. е. общезначима, и формула $(\forall x_1)\ldots (\forall x_n)\bigl(F(P_1, \ldots, P_k)\bigr)$ .

Теорема 23.6. $\exists$ -формула $(\exists x_1)\ldots (\exists x_n)\bigl(F(P_1, \ldots, P_k)\bigr)$ общезначима тогда и только тогда, когда она тождественно истинна на одноэлементном множестве.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству предыдущей теоремы. Проведите его самостоятельно.

Итак, рассмотрения настоящего параграфа красноречиво демонстрируют, что в то время как в алгебре высказываний проблемы разрешимости выполнимости и общезначимости формул решались сравнительно легко, в логике предикатов они представляют собой весьма трудные и, в целом, отнюдь не решенные до конца проблемы.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Список статей » Список форумов

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]

Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул

Постановка проблемы и ее неразрешимость в общем виде

Решение проблемы для формул на конечных множествах

Пример формулы, выполнимой на бесконечном множестве и невыполнимой ни на каком конечном

Проблема разрешения выполнимости: влияние мощности множества и структуры формулы

Решение проблемы для формул, содержащих только одноместные предикатные переменные

Проблема разрешения общезначимости и мощность множества, на котором рассматривается формула

Решение проблемы для -формул и -формул

Решение проблемы для ${\color{green}\boldsymbol{\forall}}$ -формул и ${\color{green}\boldsymbol{\exists}}$ -формул