Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]

Приведенная форма КС-грамматики
Онлайн-сервисы Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики Онлайн число, сумма и дата прописью Алгоритмы JavaScript Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки Уникальные элементы массива Объединение, пересечение и разность массивов НОД и НОК Операции над матрицами Дата прописью Введение в анализ Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика Теория множеств Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия Математическая логика Алгебра высказываний Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции Булевы функции Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций Теория формального Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний Логика предикатов Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов Неформальные и формаль- ные аксиоматические теории Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории Теория алгоритмов Интуитивное представление об алгоритмах Машины Тьюринга и тезис Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики Математическая логика и компьютеры Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект Дискретная математика Множества и отношения Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций Группы и кольца Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов Полукольца и булевы алгебры Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки Алгебраические системы Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры Теория графов Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов Булева алгебра и функции Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов Конечные автоматы и регулярные языки Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга Контекстно-свободные языки Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов Интегральное исчисление Неопределённый и определённый Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции Приложения интегралов Вычисление площадей плоских фигур Площади фигур в различных координатах Вычисление объемов тел с помощью интегралов Объём тела вращения Вычисление длин дуг кривых Формулы длины дуги регулярной кривой Кривизна плоской кривой Площадь поверхности вращения тела Интегралы в физике Статические моменты и координаты центра тяжести Теоремы Гульдина–Паппа Вычисление моментов инерции Другие приложения интегралов в физике Основные интегралы Интеграл Ньютона-Лейбница Интеграл Римана Интеграл Лебега Вариационное исчисление Примеры вариационных задач Дифференциальное уравнение Эйлера Функционалы, зависящие от нескольких функций Задача о минимуме кратного интеграла Финансовый анализ Анализ эффективности Критерии и показатели эффективности предприятия Методы анализа эффективности деятельности Факторный анализ прибыли от операционной деятельности Анализ безубыточности предприятия Операционный рычаг и эффект финансового рычага Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала Анализ распределения прибыли предприятия Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности Анализ устойчивости Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность Характеристика типов финансовой устойчивости Рыночная активность Финансовый анализ рыночной активности Методика анализа рыночной активности Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию Инвестиционная деятельность Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование Анализ инвестиций Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия Задачи финансового анализа инвестиций предприятия Учет фактора времени в инвестиционной деятельности Аннуитет и финансовая рента в инвестициях Учет фактора инфляции при инвестировании Оценка фактора риска инвестиционного проекта Методы оценки эффективности инвестиций Показатели эффективности инвестиционного проекта Стоимость компании Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций Форвардные контракты Форвардный контракт и цена Форвардная цена акции на бирже Цена форвардного контракта инвестора Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда Форвардная цена валюты на рынке форекс Форвардный валютный курс и инфляция на рынке Форвардная цена товара и спотовый рынок Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам Синтетический форвардный контракт на акции и валюту Теория вероятностей Основные понятия теории вероятностей Зависимые и независимые случайные события Повторные независимые испытания Формула Бернулли Одномерные случайные величины Многомерные случайные величины Функции случайных величин Законы распределения целочисленных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и предельные теоремы Вероятностные закономерности Математическая статистика Элементы математической статистики Выборочный метод Оценки параметров генеральной совокупности Статистические гипотезы Критерии согласия Теоретические и эмпирические частоты Теория очередей (СМО) Определение системы массового обслуживания Уравнения Колмогорова Предельные вероятности состояний Определение СМО с отказами Определение СМО с ожиданием (очередью) Аналитическая геометрия Векторная алгебра Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике Системы координат Прямоугольные координаты Преобразования прямоугольных координат Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферические координаты Аффинные координаты Аффинные преобразования координат Аффинные преобразования плоскости Примеры аффинных преобразований плоскости Аффинные преобразования пространства Многомерное координатное пространство Линейные и аффинные подпространства Скалярное произведение n-мерных векторов Преобразования систем координат Геометрия на плоскости Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными Линии 2-го порядка Канонические уравнения линий второго порядка Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду Эллипс Гипербола Парабола Квадратичные неравенства с двумя неизвестными Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций Инварианты линий Классификация линий 2-го порядка по инвариантам Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам Геометрия в пространстве Способы задания ГМТ в пространстве Алгебраические уравнения поверхностей Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам Уравнения плоскости, проходящей через три точки Взаимное расположение плоскостей Типовые задачи с плоскостями Уравнения прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Типовые задачи с прямыми в пространстве Поверхности 2-го порядка Канонические уравнения поверхностей Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду Поверхности второго порядка Эллипсоиды Гиперболоиды Конусы Параболоиды Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций Инварианты поверхностей Классификация поверхностей 2-го порядка по инвариантам Квадратичные неравенства с тремя неизвестными Приведение уравнения поверхности к канониче-скому виду по инвариантам Линейная алгебра Матрицы и операции Линейные операции над матрицами Умножение матриц Возведение матриц в степень Многочлены от матриц Транспонирование и сопряжение матриц Блочные матрицы Произведение и сумма матриц Кронекера Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду Элементарные преобразования матриц Определители Определители матриц и их основные свойства Формула полного разложения определителя Формула Лапласа полного разложения определителя Определитель произведения матриц Методы вычисления определителей Ранг матрицы Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы Ранг матрицы и базисный минор матрицы Методы вычисления ранга матрицы Ранг системы столбцов (строк) Обратная матрица Обратные матрицы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы Способы нахождения обратной матрицы Матричные уравнения Односторонние обратные матрицы Скелетное разложение матрицы Полуобратная матрица Псевдообратная матрица Системы уравнений Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Структура общего решения системы уравнений Решение систем с помощью полуобратных матриц Псевдорешения системы линейных уравнений Функциональные матрицы Функциональные матрицы скалярного аргумента Производные матриц по векторному аргументу Линейные и квадратичные формы и их преобразования Приведение форм к каноническому виду Закон инерции вещественных квадратичных форм Знакоопределенность форм вещественных квадратичных Формы и исследование функций на экстремум Многочленные матрицы Многочленные матрицы (лямбда-матрицы) Операции над лямбда-матрицами Простые преобразования многочленных матриц Инвариантные множители многочленной матрицы Функции от матриц Собственные векторы и значения матрицы Подобие числовых матриц Характеристический многочлен матрицы Минимальный многочлен матрицы Теорема Гамильтона-Кэли Жорданова форма матрицы Приведение матрицы к жордановой форме Многочлены от матриц Применение многочленов от матриц Функции от матриц Линейные пространства Линейные пространства: определение и примеры Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов Размерность и базис линейного пространства Преобразования координат в линейном пространстве Изоморфизм линейных пространств Подпространства Подпространства линейного пространства Пересечение и сумма подпространств Способы описания подпространств Нахождение дополнения и суммы подпространств Нахождение пересечения подпространств Линейные отображения Линейные многообразия Линейные отображения Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения Линейные операторы Линейные операторы (преобразования) Инвариантные подпространства Собственные векторы и значения оператора Свойства собственных векторов операторов Канонический вид линейного оператора Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду Евклидовы пространства Евклидовы пространства Ортогональные векторы евклидова пространства Ортогональный базис евклидова пространства Ортонормированный базис евклидова пространства Ортогональные дополнения в евклидовом пространстве Задача о перпендикуляре Матрица и определитель Грама и его свойства Линейные преобразования евклидовых пространств Канонический вид ортогонального оператора евклидова пространства Сопряженные операторы евклидова пространства Самосопряженные операторы евклидова пространства Приведение квадратичной формы к главным осям Унитарные пространства и их линейные преобразования Комплексный анализ Комплексные числа Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Множества на комплексной плоскости Последовательности и ряды комплексных чисел Комплексные функции Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная Элементарные функции комплексного переменного Дифференцирование функций комплексного переменного Аналитические функции и их свойства Конформные отображения и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного Функциональные ряды в комплексной области Функциональные ряды и последовательности Степенные ряды и их свойства Разложение функций в степенные ряды Нули аналитических функций Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням Особые точки, Вычеты Изолированные особые точки функций и полюсы Вычеты и их применение Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычеты и расположение нулей многочлена Операционное исчисление Преобразование Лапласа и его свойства Решение ДУ операционным методом Анализ выходных процессов линейных стационарных систем Z-преобразование и его свойства Дифференциальные уравнения ДУ первого порядка Основные понятия и определения ДУ Метод изоклин для ДУ 1-го порядка Метод последовательных приближений ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ 1-го порядка Дифференциальное уравнение Бернулли ДУ в полных дифференциалах Интегрирующий множитель ДУ, не разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение Риккати Составление ДУ семейств линий Задачи на траектории Особые решения ДУ ДУ высших порядков Понятия и определения ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка Линейная независимость функций Определители Вронского и Грама Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения Задача Коши и Уравнение Эйлера Линейные ДУ с переменными коэффициентами Метод Лагранжа решения ДУ Краевые задачи для ДУ высших порядков Разложение решения ДУ в степенной ряд Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд Нахождение периодических решений ДУ Асимптотическое интегрирование ДУ Системы ДУ Системы ДУ: понятия и определения Сведение системы ДУ к одному уравнению Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование однородных линейных систем ДУ Методы интегрирования неоднородных систем ДУ Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем Теория устойчивости Устойчивость решений ДУ по Ляпунову Простейшие типы точек покоя Метод функций Ляпунова Устойчивость решений ДУ по первому приближению Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова ДУ с малым параметром при производной Численные методы Методы алгебры Численные методы линейной алгебры Численные методы решения СЛАУ Итерационный метод Шульца обратной матрицы Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы Методы решения нелинейных уравнений Методы решения систем нелинейных уравнений Методы теории приближений Методы приближения сеточных функций Методы функциональной интерполяции Методы интегрально-дифференциальной интерполяции Методы интегрального сглаживания Методы интерполяции и сглаживания сплайнами Методы численного дифференцирования и интегрирования Методы численного дифференцирования Методы численного интегрирования Методы решения обыкновенных ДУ Численные методы решения задачи Коши Разностные схемы для решения задачи Коши Составные схемы для решения задачи Коши Экстраполяционные методы решения задачи Коши Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши Численные методы решения краевых задач Методы решения ДУ в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Численные методы решения уравнений в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными	Приведенная форма КС-грамматики При изучении свойств КС-грамматик и КС-языков иногда бывает целесообразно преобразовать КС-грамматику к эквивалентной КС-грамматике, правила вывода которой удовлетворяют определенным дополнительным ограничениям. В этом разделе мы рассмотрим алгоритмы некоторых таких преобразований. Определение 8.2. Правило вывода КС-грамматики $G=(V,N,S,P)$ называют: 1) λ-правилом, если его правая часть — пустая цепочка; 2) цепным, если оно имеет вид $A\to B$ , где $A$ и $B$ — нетерминалы грамматики. Теорема 8.2. Любая КС-грамматика $G=(V,N,S,P)$ может быть преобразована к эквивалентной КС-грамматике, множество правил вывода которой не содержит λ-правил, кроме, может быть, правила $S\to\lambda$ , и не содержит цепных правил. Мы опишем алгоритмы удаления λ-правил и цепных правил из множества правил КС-грамматики, опуская строгое обоснование этих алгоритмов. Алгоритм удаления λ-правил Предположим, что нам известно множество $N_e$ всех нетерминалов грамматики $G$ , из которых выводится пустая цепочка, т.е. $N_e=\{A\colon\,A\vdash^{\ast}\lambda\}.$ Тогда в правой части каждого правила $A\to\xi$ выделяются все вхождения нетерминалов из множества $N_e$ (если таких вхождений нет, то правило пропускается) так, что цепочка $\xi$ представляется в виде $\xi=\alpha_1B_1\alpha_2B_2\ldots\alpha_mB_m\alpha_{m+1},$ где $B_1,B_2,\ldots,B_m$ — все нетерминалы из $N_e$ , входящие в $\xi$ . Заметим, что они не обязаны быть различными, так как мы выделяем все вхождения таких нетерминалов в правую часть правила. После этого к рассматриваемому правилу добавляются все правила вида $A\to\alpha_1X_1\alpha_2X_2\ldots\alpha_mX_m\alpha_{m+1},$ где для каждого $X_i~i=\overline{1,m}$ есть или символ $B_i$ , или пустая цепочка. Иначе говоря, к любому правилу исходной грамматики, правая часть которого содержит нетерминалы из множества $N_e$ добавляются все правила, которые могут быть получены из исходного путем замены (в его правой части) любого числа вхождений нетерминалов из $N_e$ пустой цепочкой. При этом сохраняется и само исходное правило и появляется, в частности, правило $A\to\alpha_1\alpha_2\ldots\alpha_m\alpha_{m+1},$ вовсе не содержащее вхождений указанных нетерминалов в правой части. Подчеркнем еще раз, что каждое правило исходной грамматики, правая часть которого не содержит вхождений нетерминалов из $N_e$ , без всяких изменений переносится в систему правил новой грамматики. Если в процессе описанного выше преобразования системы правил исходной грамматики получаются правила вида $A\to A$ или $A\to\lambda$ (при $A\ne S$ ), то они игнорируются. Остается обсудить метод вычисления множества $N_e$ . Это множество вычисляется рекуррентно, а именно на первом шаге вычисляют множество $N_0$ таких нетерминалов $A$ грамматики $G$ , что существует в $P$ есть λ-правило $A\to\lambda$ . Таким образом, множество $N_0$ — это множество всех нетерминалов грамматики, из которых пустая цепочка выводится за один шаг. На следующем шаге вычисляем множество $N_1$ , включая в него, во-первых, все нетерминалы множества $N_0$ и, во-вторых, все такие нетерминалы $B$ , что в $P$ имеется правило вывода $B\to\gamma$ , где $\gamma$ — непустая цепочка нетерминалов из множества $N_0$ , то есть $\gamma\in N_{0}^{+}$ . Это означает, что $N_1$ состоит из всех таких нетерминалов $A$ грамматики $G$ , что дерево вывода пустой цепочки из $A$ , имеет высоту, не большую 2 (рис. 8.19). В общем случае множество $N_i\subseteq N$ вычисляют по формуле $\begin{aligned}N_0&= \{A\colon\,\text{in}~P~\text{is a rule}~A\to\lambda\},\\[2pt] N_i&= N_{i-1}\cup\{B\colon\,\text{in}~P~\text{is a rule}~B\to\xi,~\text{where}~\xi\in N_{i-1}^{+}\}. \end{aligned}$ Множество $N_i$ — это множество всех таких нетерминалов $A$ грамматики $G$ , что дерево вывода пустой цепочки $\lambda$ из $A$ имеет высоту, не большую $i+1$ . Так как множество $N$ всех нетерминалов грамматики $G$ конечно, то описанный выше рекуррентный процесс оборвется на некотором шаге, т.е. для некоторого $j\geqslant0$ получим $N_j=N_{j+1}$ . Тогда полагаем $\mathbb{N}_e=N_j$ для наименьшего $j$ , такого, что $N_j=N_{j+1}$ . Далее, если аксиома $S$ принадлежит множеству $N_e$ , то в системе правил $P$ оставляют правило $S\to\lambda$ , остальные λ-правила удаляют, а множество правил вывода исходной грамматики преобразуют согласно описанному выше алгоритму. Исключение для λ-правила, левой частью которого служит аксиома грамматики, связано с тем, чтобы при переходе к новой грамматике не "потерять" пустую цепочку, которую порождает исходная грамматика. Можно доказать, что полученная таким образом КС-грамматика без λ-правил эквивалентна исходной грамматике $G$ . Это объясняется тем, что "потерю" вывода пустой цепочки из нетерминала $A\in N_e$ (посредством применения λ-правил) мы "компенсируем" добавлением к множеству правил вывода всех таких правил, что замена $A$ на $\lambda$ уже произведена прямо в их правых частях. Пример 8.4. Рассмотрим грамматику с множеством правил $S\to aSbT\mid bTaT\mid ab,\qquad T\to baaST\mid TT\mid\lambda.$ В данном случае $N_0=\{T\}$ . Так как единственное правило вывода этой грамматики, правая часть которого — непустая цепочка нетерминалов из $N_0$ , есть правило $T\to TT$ , то $N_1=N_0\cup\{T\}=\{T\}=N_0$ , то есть $N_e=\{T\}$ , и наша грамматика принимает вид $S\to aSbT\mid aSb\mid bTaT\mid bTa\mid baT\mid ba\mid ab,\qquad T\to baaST\mid baaST\mid TT.$ Алгоритм удаления цепных правил Алгоритм удаления цепных правил во многом аналогичен алгоритму удаления λ-правил. Пусть существует вывод нетерминала $U$ из нетерминала $T$ , в котором применяются только цепные правила. Тогда такой вывод назовем цепным выводом. Предположим теперь, что для каждого нетерминала $A$ грамматики $G$ известно множество $N_A$ всех таких нетерминалов $B$ , что существует цепной вывод $A$ из $B$ . Тогда, удалив все цепные правила, мы должны предусмотреть непосредственную замену всех нетерминалов из $N_A$ любой цепочкой $\alpha$ , которая служит правой частью некоторого правила $A\to\alpha$ (рис. 8.20). Это соображение лежит в основе алгоритма преобразования множества правил КС-грамматики с целью удаления цепных правил. Вычислив множество $N_A$ для каждого $A\in N$ , удалить все цепные правила, добавив при этом для каждой цепочки а, такой, что в $P$ есть правило $A\to\alpha$ , и для каждого $B\in N_A$ правило $B\to\alpha$ . После этого вместо каждого вывода вида $B\vdash\ldots\vdash A\vdash\alpha$ (при $B\in N_A$ ) в исходной грамматике в новой грамматике получим вывод $B\vdash\alpha$ . Множества нетерминалов $N_A$ для каждого $A\in N$ вычисляются рекуррентно (как и в рассмотренном выше алгоритме удаления λ-правил вычислялось множество $N_e$ ): $\begin{aligned}N_{A}^{0}&= \{B\colon\,\text{in}~P~\text{is a rule}~B\to A\};\\[2pt] N_{A}^{i}&= N_{A}^{i-1}\cup \{C\colon\, \text{in}~P~\text{is a rule}~C\to D,~\text{where}~D\in N_{A}^{i-1}\|\}.\end{aligned}$ Таким образом, множество $N_{A}^{i}$ — это множество всех таких нетерминалов $B$ , что существует цепной вывод длины не больше $i+1$ нетерминала $A$ из $B$ . "Насыщение" этой рекуррентной процедуры происходит для первого номера $j$ , такого, что $N_A^j=N_{A}^{j+1}$ , и тогда принимают $N_A=N_A^j$ . Пример 8.5. Дана грамматика с множеством правил $E\to E+T\mid T,\qquad T\to T\ast F\mid F,\qquad F\to (E)\mid a,$ аксиомой $E$ и терминальным алфавитом $\{a,(,),+,\ast\}$ . Имеем $N_{E}^{0}=\varnothing$ , следовательно, и $N_e=\varnothing$ (множество нетерминалов данной грамматики, из которых применением одних цепных правил выводится нетерминал $E$ , пусто). Далее, $N_T^0=\{E\}$ , а так как нет ни одного цепного правила с правой частью $E$ , то $N_T^1=N_T^0=N_T;\qquad N_F^0=\{T\};\qquad N_F^1=\{T,E\}=N_F.$ Удаляя цепные правила, необходимо, согласно описанному выше алгоритму, ко всем правилам с левой частью $E$ добавить правило $E\to T\ast F$ , чтобы, сокращая вывод $E\vdash T\vdash T\ast F$ и убирая из него применение цепного правила $E\to T$ , сразу вывести из аксиомы $E$ цепочку $T\ast F$ . Аналогично к правилам с левой частью $F$ надо добавить правила $T\to(E),~T\to a,!E\to(E)$ и $E\to a$ . В итоге получим грамматику $E\to E+T\mid T\ast F\mid (E)\mid a,\qquad T\to T\ast F\mid a\mid(E),\qquad F\to(E)\mid a.$ Можно доказать, что описанный алгоритм удаления цепных правил дает грамматику, эквивалентную исходной. Замечание 8.4. К цепным правилам относится и правило $A\to A$ . Если такое правило находится в множестве правил грамматики или появляется при удалении λ-правил (см. пример 8.4), то оно должно быть просто удалено из множества правил. Обратимся к примеру, из которого станет ясно, что удаление λ-правил может привести к появлению в множестве правил заданной КС-грамматики цепных правил. Пример 8.6. Рассмотрим грамматику $G_0$ из примера 8.1. Для удобства перепишем ее определение: $G_0=\bigl(\{a,b\},\{S,A,B,C\},S,P_0\bigr),$ где множество правил вывода $P_0$ имеет вид $\begin{array}{lrlr}S\to ABC,&\quad (1)&\qquad B\to a,&\quad (5)\\ A\to BB,&\quad (2)&\qquad C\to AA,&\quad (6)\\ A\to\lambda,&\quad (3)&\qquad C\to b.&\quad (7)\\ B\to CC,&\quad (4)&\qquad &\quad \end{array}$ Удаляем λ-правила. Множество $N_0=\{A\}$ (правило (3)). Далее, $N_1=\{A,C\}$ , поскольку в правиле (6) правая часть есть непустая цепочка нетерминалов из $N_0$ ; $N_2=\{A,C,B\}$ (правило (4)), $N_3=\{A,C,B,S\}$ . Так как $N_3$ совпало с множеством всех нетерминалов грамматики, то $N_3=N_e$ . Согласно описанному выше алгоритму удаления λ-правил, получим следующую грамматику: $\begin{aligned}&S\to ABC\mid AB\mid AC\mid BC\mid A\mid B\mid C\mid\lambda,\\ &A\to BB\mid B,~~ B\to CC\mid C\mid a,~~ C\to AA\mid A\mid b.\end{aligned}$ Мы видим, что в результате удаления λ-правил получилось много цепных правил (которых не было в исходной грамматике). Применение алгоритма удаления цепных правил даст следующие множества $N_A^i\colon$ $\begin{aligned}&N_S^0= N_S^e=\varnothing;\\ &\begin{array}{lll}N_A^0=\{S,C\},&\quad N_A^1=\{S,C,B\},&\quad N_A^2=\{S,C,B,A\};\\ N_B^0=\{S,A\},&\quad N_B^1=\{S,A,C\},&\quad N_B^2=\{S,A,C,B\};\\ N_C^0=\{S,A\},&\quad N_C^1=\{S,A,B\},&\quad N_C^2=\{S,A,B,C\}.\end{array}\end{aligned}$ Таким образом, $N_A^e=N_B^e=N_C^e=\{S,A,B,C\}$ (множество всех нетерминалов грамматики). Новое множество правил, не содержащее цепных правил, будет иметь следующий вид: $\begin{aligned}&S\to ABC\mid AB\mid AC\mid BC\mid\lambda\mid BB\mid CC\mid AA\mid a\mid b;\\ &A\to BB\mid CC\mid AA\mid a\mid b;\\ &B\to CC\mid BB\mid AA\mid a\mid b;\\ &C\to AA\mid BB\mid CC\mid a\mid b.\end{aligned}$ Замечание 8.5. Теорема 8.2 позволяет утверждать, что любую КС-грамматику можно преобразовать к эквивалентной КС-грамматике, множество правил вывода которой содержит только КЗ-правила, т.е. правила вида $\alpha A\beta\to\alpha\gamma\beta$ при $\alpha=\beta=\lambda$ и $\gamma\ne\lambda$ . Единственным исключением может быть правило $S\to\lambda$ для аксиомы $S$ . Можно показать, что добавление к множеству правил КЗ-грамматики правила, предусматривающего замену аксиомы пустой цепочкой, не приводит к существенному изменению класса языков, порождаемых КЗ-грамматиками. Единственное отличие языка, порождаемого такой грамматикой, от КЗ-языка состоит в том, что он может содержать пустую цепочку, тогда как ни один КЗ-язык, будучи неукорачивающим языком, пустой цепочки не содержит. Следовательно, если в множестве правил КЗ-грамматики разрешить кроме КЗ-правил также и правило $S\to\lambda$ (где $S$ — аксиома грамматики), то любую КС-грамматику можно преобразовать к эквивалентной КС-грамматике, являющейся частным случаем КЗ-грамматики (с правилом $S\to\lambda$ ). Бесполезные нетерминальные символы КС-грамматики Определение 8.3. Нетерминальный символ $A$ КС-грамматики $G=(V,N,S,P)$ называют бесполезным, если из него не выводится ни одна терминальная цепочка, т.е. не существует такого $x\in V^{\ast}$ , что $A\vdash_{G}^{\ast}x$ . Бесполезный нетерминал КС-грамматики может быть удален (вместе со всеми правилами, в которые он входит) без изменения языка, порождаемого данной грамматикой. Следующая теорема утверждает существование алгоритма удаления бесполезных нетерминальных символов. Теорема 8.3. Для каждой КС-грамматики $G=(V,N,S,P)$ может быть построена эквивалентная ей КС-грамматика, не содержащая бесполезных нетерминальных символов. Алгоритм удаления бесполезных нетерминалов состоит в рекуррентном вычислении множества $N_u\subseteq N$ всех нетерминалов грамматики $G$ , из которых выводится какая-либо терминальная цепочка. Сначала вычисляем множество $N_0$ всех нетерминалов, из которых терминальная цепочка выводится за один шаг. Для этого просматриваем множество правил $P$ , отмечая в нем все правила вида $A\to x$ , где $x\in V^{\ast}$ . Другими словами, $N_0=\{A\colon\,\text{in}~P~\text{is a rule}~A\to x,~x\in V^{\ast}\}.$ Затем вычисляем множество $N_1$ , добавляя к $N_0$ множество всех таких нетерминалов $B$ , что существует правило вывода в $P$ вида $B\to\beta$ , где $\beta$ — цепочка, содержащая как терминалы, так и нетерминалы из множества $N_0$ . Таким образом, в $N_1$ попадут все нетерминалы $B$ , такие, что существует вывод терминальной цепочки из $B$ , и высота дерева этого вывода не больше 2 (рис. 8.21). В общем случае для множества $N_i\,(i\geqslant1)$ получаем формулу $N_i=N_{i-1}\cup \bigl\{A\colon\, \text{in}~P~\text{is a rule}~A\to\alpha,~ \text{where}~a\in(N_{i-1}\cup V)^{\ast}\bigr\}.$ Это множество содержит все такие нетерминалы $B$ , что высота дерева вывода любой терминальной цепочки из $B$ не превышает $i+1$ . Для наименьшего $j$ , такого, что $N_j=N_{j+1}$ , полагаем $N_u=N_j$ . Из построения множества $N_u$ следует, что это множество всех таких нетерминалов $A$ грамматики $G$ , что существует вывод (ненулевой длины) $A\vdash^{+}x$ для некоторого $x\in V^{\ast}$ , что и требовалось доказать. Тогда все нетерминалы из $N\setminus N_u$ бесполезны. В частности, если $S\notin N_u$ , то $L(G)=\varnothing$ , и наоборот. Таким образом решается проблема пустоты для КС-грамматик, которая формулируется следующим образом: для данной КС-грамматики выяснить, пуст ли язык, ею порождаемый. Из предыдущих рассмотрений ясно, что для ответа на этот вопрос достаточно вычислить множество бесполезных нетерминалов грамматики и проверить, находится ли среди них аксиома грамматики. Язык, порождаемый КС-грамматикой, пуст тогда и только тогда, когда ее аксиома бесполезна. Пример 8.7. Пусть множество $P$ правил вывода КС-грамматики $G=(\{a,b\},\{S,A,B,C\},S,P)$ имеет вид $S\to aA\mid bB,\qquad A\to bAa,\qquad B\to aB\mid bS\mid a\mid b,\qquad C\to BaA.$ Применяя алгоритм из доказательства теоремы 8.3, получаем $N_0=\{B\}$ , так как в $P$ имеются только два правила, правые части которых — терминальные цепочки $B\to a$ и $B\to b$ . С целью вычисления множества $N_1$ найдем те правила, правые части которых кроме терминалов содержат только нетерминальный символ $B$ : это будут правила $S\to bB$ и $B\to aB$ , то есть $N_1=\{B,S\}$ . Так как есть только одно правило, правая часть которого содержит вхождение символа $S$ , а именно правило $B\to bS$ , то $N_2=N_1=N_u=\{S,B\}$ . Символы $A$ и $C$ бесполезны. Все правила, содержащие вхождения этих символов, можно удалить. В итоге получим грамматику с таким множеством правил: $S\to bB,\qquad B\to aB\mid bS\mid a\mid b.$ Недостижимый символ КС-грамматики Определение 8.4. Символ $X$ объединенного алфавита $V\cup N$ КС-грамматики $G=(V,N,S,P)$ называют недостижимым, если из аксиомы грамматики не выводится ни одна цепочка, содержащая вхождение символа $X$ , т.е. не существует таких цепочек $\alpha,\beta\in(V\cup N)^{\ast}$ , что $S\vdash_{G}^{\ast}\alpha X\beta$ . Из самого понятия недостижимого символа ясно, что такие символы можно удалить из грамматики (удалив все правила, которые их содержат) без изменения порождаемого ею языка. Займемся разработкой алгоритма удаления недостижимых символов. Граф КС-грамматики Введем в рассмотрение понятие графа КС-грамматики. Определение 8.5. Назовем графом КС-грамматики $G=(V,N,S,P)$ ориентированный граф, множество вершин которого равно $V\cup N\cup\{\lambda\}$ , а множество дуг определяется следующим образом. Дуга из вершины с меткой $A$ ведет в вершину $B$ тогда и только тогда, когда правило $A\to\alpha B\beta$ $(\alpha,\beta\in(V\cup N)^{\ast})$ принадлежит множеству $P$ правил вывода грамматики $G$ . Понятие графа КС-грамматики ни в коем случае нельзя путать с понятием дерева вывода в КС-грамматике, так как дерево вывода строится по конкретному выводу, а граф КС-грамматики строится по множеству правил вывода и характеризует саму грамматику в целом. Пример 8.8. Граф грамматики из примера 8.7 представлен на рис. 8.22. Опираясь на определение 8.4, можно показать, что символ $X$ КС-грамматики $G=(V,N,S,P)$ достижим тогда и только тогда, когда в графе грамматики существует путь из вершины $S$ грамматики $G$ в вершину $X$ , и задача распознавания достижимости символов в КС-грамматиках сводится тем самым к задаче распознавания достижимости в ориентированных графах из заданной вершины. Для ее решения достаточно воспользоваться, например, алгоритмом поиска в ширину. В примере 8.8 (см. рис. 8.22) символ $C$ не достижим. Удаление бесполезных нетерминалов может привести к появлению недостижимых символов. Пример 8.9. Модифицируем грамматику из примера 8.7, добавив к множеству ее терминалов новый символ $d$ и к множеству ее правил вывода правило $A\to Cd$ . Граф модифицированной грамматики приведен на рис. 8.23. Нетерминалы $A$ и $C$ бесполезны, хотя и достижимы. Удаляя их вместе со всеми правилами, в которые они входят, получим КС-грамматику, граф которой изображен на рис. 8.24. Терминал $d$ стал недостижимым. Задание КС-грамматика в приведенной форме Определение 8.6. КС-грамматика считается заданной в приведенной форме, если множество ее правил вывода не содержит λ-правил и цепных правил, множество ее нетерминалов не содержит бесполезных нетерминалов, а объединенный алфавит не содержит недостижимых символов. Рассмотренные выше алгоритмы любую КС-грамматику позволяют преобразовать к эквивалентной КС-грамматике, заданной в приведенной форме. Заметим, что поскольку удаление λ-правил может привести к появлению цепных правил (см. пример 8.6), а удаление бесполезных нетерминалов — к появлению недостижимых символов, то построение приведенной формы КС-грамматики нужно проводить в такой последовательности: 1) удалить λ-правила; 2) удалить цепные правила; 3) удалить бесполезные нетерминалы; 4) удалить недостижимые символы. Замечание 8.6. К числу важных преобразований КС-грамматики относят также преобразование, состоящее в удалении аксиомы из правых частей правил вывода. Можно доказать, что любая КС-грамматика преобразуется к эквивалентной КС-грамматике, не содержащей вхождений аксиомы в правые части правил вывода. Действительно, для этого достаточно ввести новый нетерминал $S_1$ (отличный от всех нетерминалов исходной грамматики), объявить его аксиомой и добавить правило $S_1\to S$ , после чего появившееся цепное правило и недопустимые λ-правила, которые могут при этом возникнуть, удаляются согласно приведенным выше алгоритмам. Пример 8.10. Грамматика с множеством правил $S\to aSa\mid bSb\mid a\mid b\mid \lambda$ , порождающая множество всех палиндромов в алфавите $\{a,b\}$ (см. пример 7.5.в), преобразуется после удаления аксиомы из правых частей правил вывода в грамматику с аксиомой $S_1$ и следующим множеством правил: $S_1\to S,\qquad S\to aSa\mid bSb\mid a\mid b\mid \lambda.$ Появились, как мы видим, цепное правило и, поскольку символ $S$ в новой грамматике уже не является аксиомой, λ-правило $S\to\lambda$ , которое следует удалить. Выполняя это, получим окончательно следующее множество правил: $S_1\to aSa\mid bSb\mid aa\mid bb\mid a\mid b\mid\lambda,\qquad S\to aSa\mid bSb\mid aa\mid bb\mid a\mid b.$ Заметим, что если КС-грамматика задана в приведенной форме и правые части правил не содержат вхождений аксиомы, то единственное допустимое правило с пустой правой частью (левой частью его является аксиома), если оно существует, используется только для порождения пустой цепочки. Исходная грамматика из примера 8.10 этим свойством не обладает, так как правило $S\to\lambda$ используется всякий раз при выводе слова четной длины. Кроме того, КС-грамматика, заданная в приведенной форме и не содержащая вхождений аксиомы в правых частях правил вывода, обладает еще одним интересным свойством: дерево вывода любой непустой цепочки является λсвободным. Таким образом, без ограничения общности можно считать деревья выводов непустых цепочек в КС-грамматиках λ-свободными. Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике). Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Приведенная форма КС-грамматики

Онлайн-сервисы

Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики Онлайн число, сумма и дата прописью

Алгоритмы JavaScript

Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки Уникальные элементы массива Объединение, пересечение и разность массивов НОД и НОК Операции над матрицами Дата прописью

Введение в анализ

Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика

Теория множеств

Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия

Математическая логика

Алгебра высказываний

Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции

Булевы функции

Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций

Теория формального

Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний

Логика предикатов

Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов

Неформальные и формаль-
ные аксиоматические теории

Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории

Теория алгоритмов

Интуитивное представление об алгоритмах Машины Тьюринга и тезис Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики

Математическая логика и компьютеры

Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект

Дискретная математика

Множества и отношения

Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций

Группы и кольца

Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов

Полукольца и булевы алгебры

Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки

Алгебраические системы

Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры

Теория графов

Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов

Булева алгебра и функции

Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов

Конечные автоматы и регулярные языки

Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга

Контекстно-свободные языки

Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов

Интегральное исчисление

Неопределённый и определённый

Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции

Приложения интегралов

Вычисление площадей плоских фигур Площади фигур в различных координатах Вычисление объемов тел с помощью интегралов Объём тела вращения Вычисление длин дуг кривых Формулы длины дуги регулярной кривой Кривизна плоской кривой Площадь поверхности вращения тела

Интегралы в физике

Статические моменты и координаты центра тяжести Теоремы Гульдина–Паппа Вычисление моментов инерции Другие приложения интегралов в физике

Основные интегралы

Интеграл Ньютона-Лейбница Интеграл Римана Интеграл Лебега

Вариационное исчисление

Примеры вариационных задач Дифференциальное уравнение Эйлера Функционалы, зависящие от нескольких функций Задача о минимуме кратного интеграла

Финансовый анализ

Анализ эффективности

Критерии и показатели эффективности предприятия Методы анализа эффективности деятельности Факторный анализ прибыли от операционной деятельности Анализ безубыточности предприятия Операционный рычаг и эффект финансового рычага Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала Анализ распределения прибыли предприятия Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности

Анализ устойчивости

Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность Характеристика типов финансовой устойчивости

Рыночная активность

Финансовый анализ рыночной активности Методика анализа рыночной активности Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию

Инвестиционная деятельность

Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование

Анализ инвестиций

Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия Задачи финансового анализа инвестиций предприятия Учет фактора времени в инвестиционной деятельности Аннуитет и финансовая рента в инвестициях Учет фактора инфляции при инвестировании Оценка фактора риска инвестиционного проекта Методы оценки эффективности инвестиций Показатели эффективности инвестиционного проекта

Стоимость компании

Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций

Форвардные контракты

Форвардный контракт и цена Форвардная цена акции на бирже Цена форвардного контракта инвестора Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда Форвардная цена валюты на рынке форекс Форвардный валютный курс и инфляция на рынке Форвардная цена товара и спотовый рынок Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам Синтетический форвардный контракт на акции и валюту

Теория вероятностей

Основные понятия теории вероятностей Зависимые и независимые случайные события Повторные независимые испытания Формула Бернулли Одномерные случайные величины Многомерные случайные величины Функции случайных величин Законы распределения целочисленных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и предельные теоремы Вероятностные закономерности

Математическая статистика

Элементы математической статистики Выборочный метод Оценки параметров генеральной совокупности Статистические гипотезы Критерии согласия Теоретические и эмпирические частоты

Теория очередей (СМО)

Определение системы массового обслуживания Уравнения Колмогорова Предельные вероятности состояний Определение СМО с отказами Определение СМО с ожиданием (очередью)

Аналитическая геометрия

Векторная алгебра

Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике

Системы координат

Прямоугольные координаты Преобразования прямоугольных координат Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферические координаты Аффинные координаты Аффинные преобразования координат Аффинные преобразования плоскости Примеры аффинных преобразований плоскости Аффинные преобразования пространства Многомерное координатное пространство Линейные и аффинные подпространства Скалярное произведение n-мерных векторов Преобразования систем координат

Геометрия на плоскости

Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными

Линии 2-го порядка

Канонические уравнения линий второго порядка Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду Эллипс Гипербола Парабола Квадратичные неравенства с двумя неизвестными Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций

Инварианты линий

Классификация линий 2-го порядка по инвариантам Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам

Геометрия в пространстве

Способы задания ГМТ в пространстве Алгебраические уравнения поверхностей Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам Уравнения плоскости, проходящей через три точки Взаимное расположение плоскостей Типовые задачи с плоскостями Уравнения прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Типовые задачи с прямыми в пространстве

Поверхности 2-го порядка

Канонические уравнения поверхностей Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду Поверхности второго порядка Эллипсоиды Гиперболоиды Конусы Параболоиды Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций

Инварианты поверхностей

Классификация поверхностей 2-го порядка по инвариантам Квадратичные неравенства с тремя неизвестными Приведение уравнения поверхности к канониче-скому виду по инвариантам

Линейная алгебра

Матрицы и операции

Линейные операции над матрицами Умножение матриц Возведение матриц в степень Многочлены от матриц Транспонирование и сопряжение матриц Блочные матрицы Произведение и сумма матриц Кронекера Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду Элементарные преобразования матриц

Определители

Определители матриц и их основные свойства Формула полного разложения определителя Формула Лапласа полного разложения определителя Определитель произведения матриц Методы вычисления определителей

Ранг матрицы

Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы Ранг матрицы и базисный минор матрицы Методы вычисления ранга матрицы Ранг системы столбцов (строк)

Обратная матрица

Обратные матрицы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы Способы нахождения обратной матрицы Матричные уравнения Односторонние обратные матрицы Скелетное разложение матрицы Полуобратная матрица Псевдообратная матрица

Системы уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Структура общего решения системы уравнений Решение систем с помощью полуобратных матриц Псевдорешения системы линейных уравнений

Функциональные матрицы

Функциональные матрицы скалярного аргумента Производные матриц по векторному аргументу Линейные и квадратичные формы и их преобразования Приведение форм к каноническому виду Закон инерции вещественных квадратичных форм Знакоопределенность форм вещественных квадратичных Формы и исследование функций на экстремум

Многочленные матрицы

Многочленные матрицы (лямбда-матрицы) Операции над лямбда-матрицами Простые преобразования многочленных матриц Инвариантные множители многочленной матрицы

Функции от матриц

Собственные векторы и значения матрицы Подобие числовых матриц Характеристический многочлен матрицы Минимальный многочлен матрицы Теорема Гамильтона-Кэли Жорданова форма матрицы Приведение матрицы к жордановой форме Многочлены от матриц Применение многочленов от матриц Функции от матриц

Линейные пространства

Линейные пространства: определение и примеры Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов Размерность и базис линейного пространства Преобразования координат в линейном пространстве Изоморфизм линейных пространств

Подпространства

Подпространства линейного пространства Пересечение и сумма подпространств Способы описания подпространств Нахождение дополнения и суммы подпространств Нахождение пересечения подпространств

Линейные отображения

Линейные многообразия Линейные отображения Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения

Линейные операторы

Линейные операторы (преобразования) Инвариантные подпространства Собственные векторы и значения оператора Свойства собственных векторов операторов Канонический вид линейного оператора Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду

Евклидовы пространства

Комплексный анализ

Комплексные числа

Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Множества на комплексной плоскости Последовательности и ряды комплексных чисел

Комплексные функции

Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная Элементарные функции комплексного переменного Дифференцирование функций комплексного переменного Аналитические функции и их свойства Конформные отображения
и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного

Функциональные ряды в комплексной области

Функциональные ряды и последовательности Степенные ряды и их свойства Разложение функций в степенные ряды Нули аналитических функций Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням

Особые точки, Вычеты

Изолированные особые точки функций и полюсы Вычеты и их применение Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычеты и расположение нулей многочлена

Операционное исчисление

Преобразование Лапласа и его свойства Решение ДУ операционным методом Анализ выходных процессов линейных стационарных систем Z-преобразование и его свойства

Дифференциальные уравнения

ДУ первого порядка

Основные понятия и определения ДУ Метод изоклин для ДУ 1-го порядка Метод последовательных приближений ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ 1-го порядка Дифференциальное уравнение Бернулли ДУ в полных дифференциалах Интегрирующий множитель ДУ, не разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение Риккати Составление ДУ семейств линий Задачи на траектории Особые решения ДУ

ДУ высших порядков

Понятия и определения ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка Линейная независимость функций Определители Вронского и Грама Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения Задача Коши и Уравнение Эйлера Линейные ДУ с переменными коэффициентами Метод Лагранжа решения ДУ Краевые задачи для ДУ высших порядков Разложение решения ДУ в степенной ряд Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд Нахождение периодических решений ДУ Асимптотическое интегрирование ДУ

Системы ДУ

Системы ДУ: понятия и определения Сведение системы ДУ к одному уравнению Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование однородных линейных систем ДУ Методы интегрирования неоднородных систем ДУ Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем

Теория устойчивости

Устойчивость решений ДУ по Ляпунову Простейшие типы точек покоя Метод функций Ляпунова Устойчивость решений ДУ по первому приближению Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова ДУ с малым параметром при производной

Численные методы

Методы алгебры

Численные методы линейной алгебры Численные методы решения СЛАУ Итерационный метод Шульца обратной матрицы Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы Методы решения нелинейных уравнений Методы решения систем нелинейных уравнений

Методы теории приближений

Методы приближения сеточных функций Методы функциональной интерполяции Методы интегрально-дифференциальной интерполяции Методы интегрального сглаживания Методы интерполяции и сглаживания сплайнами Методы численного дифференцирования и интегрирования Методы численного дифференцирования Методы численного интегрирования

Методы решения обыкновенных ДУ

Численные методы решения задачи Коши Разностные схемы для решения задачи Коши Составные схемы для решения задачи Коши Экстраполяционные методы решения задачи Коши Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши Численные методы решения краевых задач

Методы решения ДУ в частных производных

Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Численные методы решения уравнений в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными

Приведенная форма КС-грамматики

При изучении свойств КС-грамматик и КС-языков иногда бывает целесообразно преобразовать КС-грамматику к эквивалентной КС-грамматике, правила вывода которой удовлетворяют определенным дополнительным ограничениям. В этом разделе мы рассмотрим алгоритмы некоторых таких преобразований.

Определение 8.2. Правило вывода КС-грамматики $G=(V,N,S,P)$ называют:

1) λ-правилом, если его правая часть — пустая цепочка;
2) цепным, если оно имеет вид $A\to B$ , где $A$ и $B$ — нетерминалы грамматики.

Теорема 8.2. Любая КС-грамматика $G=(V,N,S,P)$ может быть преобразована к эквивалентной КС-грамматике, множество правил вывода которой не содержит λ-правил, кроме, может быть, правила $S\to\lambda$ , и не содержит цепных правил.

Мы опишем алгоритмы удаления λ-правил и цепных правил из множества правил КС-грамматики, опуская строгое обоснование этих алгоритмов.

Алгоритм удаления λ-правил

Предположим, что нам известно множество $N_e$ всех нетерминалов грамматики $G$ , из которых выводится пустая цепочка, т.е.

$N_e=\{A\colon\,A\vdash^{\ast}\lambda\}.$

Тогда в правой части каждого правила $A\to\xi$ выделяются все вхождения нетерминалов из множества $N_e$ (если таких вхождений нет, то правило пропускается) так, что цепочка $\xi$ представляется в виде

$\xi=\alpha_1B_1\alpha_2B_2\ldots\alpha_mB_m\alpha_{m+1},$

где $B_1,B_2,\ldots,B_m$ — все нетерминалы из $N_e$ , входящие в $\xi$ . Заметим, что они не обязаны быть различными, так как мы выделяем все вхождения таких нетерминалов в правую часть правила.

После этого к рассматриваемому правилу добавляются все правила вида

$A\to\alpha_1X_1\alpha_2X_2\ldots\alpha_mX_m\alpha_{m+1},$

где для каждого $X_i~i=\overline{1,m}$ есть или символ $B_i$ , или пустая цепочка.

Иначе говоря, к любому правилу исходной грамматики, правая часть которого содержит нетерминалы из множества $N_e$ добавляются все правила, которые могут быть получены из исходного путем замены (в его правой части) любого числа вхождений нетерминалов из $N_e$ пустой цепочкой. При этом сохраняется и само исходное правило и появляется, в частности, правило

$A\to\alpha_1\alpha_2\ldots\alpha_m\alpha_{m+1},$

вовсе не содержащее вхождений указанных нетерминалов в правой части. Подчеркнем еще раз, что каждое правило исходной грамматики, правая часть которого не содержит вхождений нетерминалов из $N_e$ , без всяких изменений переносится в систему правил новой грамматики.

Если в процессе описанного выше преобразования системы правил исходной грамматики получаются правила вида $A\to A$ или $A\to\lambda$ (при $A\ne S$ ), то они игнорируются.

Остается обсудить метод вычисления множества $N_e$ . Это множество вычисляется рекуррентно, а именно на первом шаге вычисляют множество $N_0$ таких нетерминалов $A$ грамматики $G$ , что существует в $P$ есть λ-правило $A\to\lambda$ . Таким образом, множество $N_0$ — это множество всех нетерминалов грамматики, из которых пустая цепочка выводится за один шаг.

На следующем шаге вычисляем множество $N_1$ , включая в него, во-первых, все нетерминалы множества $N_0$ и, во-вторых, все такие нетерминалы $B$ , что в $P$ имеется правило вывода $B\to\gamma$ , где $\gamma$ — непустая цепочка нетерминалов из множества $N_0$ , то есть $\gamma\in N_{0}^{+}$ . Это означает, что $N_1$ состоит из всех таких нетерминалов $A$ грамматики $G$ , что дерево вывода пустой цепочки из $A$ , имеет высоту, не большую 2 (рис. 8.19).

В общем случае множество $N_i\subseteq N$ вычисляют по формуле

$\begin{aligned}N_0&= \{A\colon\,\text{in}~P~\text{is a rule}~A\to\lambda\},\\[2pt] N_i&= N_{i-1}\cup\{B\colon\,\text{in}~P~\text{is a rule}~B\to\xi,~\text{where}~\xi\in N_{i-1}^{+}\}. \end{aligned}$

Множество $N_i$ — это множество всех таких нетерминалов $A$ грамматики $G$ , что дерево вывода пустой цепочки $\lambda$ из $A$ имеет высоту, не большую $i+1$ .

Так как множество $N$ всех нетерминалов грамматики $G$ конечно, то описанный выше рекуррентный процесс оборвется на некотором шаге, т.е. для некоторого $j\geqslant0$ получим $N_j=N_{j+1}$ . Тогда полагаем

$\mathbb{N}_e=N_j$ для наименьшего $j$ , такого, что $N_j=N_{j+1}$ .

Далее, если аксиома $S$ принадлежит множеству $N_e$ , то в системе правил $P$ оставляют правило $S\to\lambda$ , остальные λ-правила удаляют*, а множество правил вывода исходной грамматики преобразуют согласно описанному выше алгоритму.

*Исключение для λ-правила, левой частью которого служит аксиома грамматики, связано с тем, чтобы при переходе к новой грамматике не "потерять" пустую цепочку, которую порождает исходная грамматика.

Можно доказать, что полученная таким образом КС-грамматика без λ-правил эквивалентна исходной грамматике $G$ . Это объясняется тем, что "потерю" вывода пустой цепочки из нетерминала $A\in N_e$ (посредством применения λ-правил) мы "компенсируем" добавлением к множеству правил вывода всех таких правил, что замена $A$ на $\lambda$ уже произведена прямо в их правых частях.

Пример 8.4. Рассмотрим грамматику с множеством правил

$S\to aSbT\mid bTaT\mid ab,\qquad T\to baaST\mid TT\mid\lambda.$

В данном случае $N_0=\{T\}$ . Так как единственное правило вывода этой грамматики, правая часть которого — непустая цепочка нетерминалов из $N_0$ , есть правило $T\to TT$ , то $N_1=N_0\cup\{T\}=\{T\}=N_0$ , то есть $N_e=\{T\}$ , и наша грамматика принимает вид

$S\to aSbT\mid aSb\mid bTaT\mid bTa\mid baT\mid ba\mid ab,\qquad T\to baaST\mid baaST\mid TT.$

Алгоритм удаления цепных правил

Алгоритм удаления цепных правил во многом аналогичен алгоритму удаления λ-правил.

Пусть существует вывод нетерминала $U$ из нетерминала $T$ , в котором применяются только цепные правила. Тогда такой вывод назовем цепным выводом.

Предположим теперь, что для каждого нетерминала $A$ грамматики $G$ известно множество $N_A$ всех таких нетерминалов $B$ , что существует цепной вывод $A$ из $B$ . Тогда, удалив все цепные правила, мы должны предусмотреть непосредственную замену всех нетерминалов из $N_A$ любой цепочкой $\alpha$ , которая служит правой частью некоторого правила $A\to\alpha$ (рис. 8.20).

Это соображение лежит в основе алгоритма преобразования множества правил КС-грамматики с целью удаления цепных правил.

Вычислив множество $N_A$ для каждого $A\in N$ , удалить все цепные правила, добавив при этом для каждой цепочки а, такой, что в $P$ есть правило $A\to\alpha$ , и для каждого $B\in N_A$ правило $B\to\alpha$ . После этого вместо каждого вывода вида $B\vdash\ldots\vdash A\vdash\alpha$ (при $B\in N_A$ ) в исходной грамматике в новой грамматике получим вывод $B\vdash\alpha$ .

Множества нетерминалов $N_A$ для каждого $A\in N$ вычисляются рекуррентно (как и в рассмотренном выше алгоритме удаления λ-правил вычислялось множество $N_e$ ):

$\begin{aligned}N_{A}^{0}&= \{B\colon\,\text{in}~P~\text{is a rule}~B\to A\};\\[2pt] N_{A}^{i}&= N_{A}^{i-1}\cup \{C\colon\, \text{in}~P~\text{is a rule}~C\to D,~\text{where}~D\in N_{A}^{i-1}|\}.\end{aligned}$

Таким образом, множество $N_{A}^{i}$ — это множество всех таких нетерминалов $B$ , что существует цепной вывод длины не больше $i+1$ нетерминала $A$ из $B$ . "Насыщение" этой рекуррентной процедуры происходит для первого номера $j$ , такого, что $N_A^j=N_{A}^{j+1}$ , и тогда принимают $N_A=N_A^j$ .

Пример 8.5. Дана грамматика с множеством правил

$E\to E+T\mid T,\qquad T\to T\ast F\mid F,\qquad F\to (E)\mid a,$

аксиомой $E$ и терминальным алфавитом $\{a,(,),+,\ast\}$ . Имеем $N_{E}^{0}=\varnothing$ , следовательно, и $N_e=\varnothing$ (множество нетерминалов данной грамматики, из которых применением одних цепных правил выводится нетерминал $E$ , пусто). Далее, $N_T^0=\{E\}$ , а так как нет ни одного цепного правила с правой частью $E$ , то

$N_T^1=N_T^0=N_T;\qquad N_F^0=\{T\};\qquad N_F^1=\{T,E\}=N_F.$

Удаляя цепные правила, необходимо, согласно описанному выше алгоритму, ко всем правилам с левой частью $E$ добавить правило $E\to T\ast F$ , чтобы, сокращая вывод $E\vdash T\vdash T\ast F$ и убирая из него применение цепного правила $E\to T$ , сразу вывести из аксиомы $E$ цепочку $T\ast F$ .

Аналогично к правилам с левой частью $F$ надо добавить правила $T\to(E),~T\to a,!E\to(E)$ и $E\to a$ . В итоге получим грамматику

$E\to E+T\mid T\ast F\mid (E)\mid a,\qquad T\to T\ast F\mid a\mid(E),\qquad F\to(E)\mid a.$

Можно доказать, что описанный алгоритм удаления цепных правил дает грамматику, эквивалентную исходной.

Замечание 8.4. К цепным правилам относится и правило $A\to A$ . Если такое правило находится в множестве правил грамматики или появляется при удалении λ-правил (см. пример 8.4), то оно должно быть просто удалено из множества правил.

Обратимся к примеру, из которого станет ясно, что удаление λ-правил может привести к появлению в множестве правил заданной КС-грамматики цепных правил.

Пример 8.6. Рассмотрим грамматику $G_0$ из примера 8.1. Для удобства перепишем ее определение:

$G_0=\bigl(\{a,b\},\{S,A,B,C\},S,P_0\bigr),$

где множество правил вывода $P_0$ имеет вид

$\begin{array}{lrlr}S\to ABC,&\quad (1)&\qquad B\to a,&\quad (5)\\ A\to BB,&\quad (2)&\qquad C\to AA,&\quad (6)\\ A\to\lambda,&\quad (3)&\qquad C\to b.&\quad (7)\\ B\to CC,&\quad (4)&\qquad &\quad \end{array}$

Удаляем λ-правила. Множество $N_0=\{A\}$ (правило (3)). Далее, $N_1=\{A,C\}$ , поскольку в правиле (6) правая часть есть непустая цепочка нетерминалов из $N_0$ ; $N_2=\{A,C,B\}$ (правило (4)), $N_3=\{A,C,B,S\}$ . Так как $N_3$ совпало с множеством всех нетерминалов грамматики, то $N_3=N_e$ .

Согласно описанному выше алгоритму удаления λ-правил, получим следующую грамматику:

$\begin{aligned}&S\to ABC\mid AB\mid AC\mid BC\mid A\mid B\mid C\mid\lambda,\\ &A\to BB\mid B,~~ B\to CC\mid C\mid a,~~ C\to AA\mid A\mid b.\end{aligned}$

Мы видим, что в результате удаления λ-правил получилось много цепных правил (которых не было в исходной грамматике). Применение алгоритма удаления цепных правил даст следующие множества $N_A^i\colon$

$\begin{aligned}&N_S^0= N_S^e=\varnothing;\\ &\begin{array}{lll}N_A^0=\{S,C\},&\quad N_A^1=\{S,C,B\},&\quad N_A^2=\{S,C,B,A\};\\ N_B^0=\{S,A\},&\quad N_B^1=\{S,A,C\},&\quad N_B^2=\{S,A,C,B\};\\ N_C^0=\{S,A\},&\quad N_C^1=\{S,A,B\},&\quad N_C^2=\{S,A,B,C\}.\end{array}\end{aligned}$

Таким образом, $N_A^e=N_B^e=N_C^e=\{S,A,B,C\}$ (множество всех нетерминалов грамматики).

Новое множество правил, не содержащее цепных правил, будет иметь следующий вид:

$\begin{aligned}&S\to ABC\mid AB\mid AC\mid BC\mid\lambda\mid BB\mid CC\mid AA\mid a\mid b;\\ &A\to BB\mid CC\mid AA\mid a\mid b;\\ &B\to CC\mid BB\mid AA\mid a\mid b;\\ &C\to AA\mid BB\mid CC\mid a\mid b.\end{aligned}$

Замечание 8.5. Теорема 8.2 позволяет утверждать, что любую КС-грамматику можно преобразовать к эквивалентной КС-грамматике, множество правил вывода которой содержит только КЗ-правила, т.е. правила вида $\alpha A\beta\to\alpha\gamma\beta$ при $\alpha=\beta=\lambda$ и $\gamma\ne\lambda$ . Единственным исключением может быть правило $S\to\lambda$ для аксиомы $S$ . Можно показать, что добавление к множеству правил КЗ-грамматики правила, предусматривающего замену аксиомы пустой цепочкой, не приводит к существенному изменению класса языков, порождаемых КЗ-грамматиками. Единственное отличие языка, порождаемого такой грамматикой, от КЗ-языка состоит в том, что он может содержать пустую цепочку, тогда как ни один КЗ-язык, будучи неукорачивающим языком, пустой цепочки не содержит.

Следовательно, если в множестве правил КЗ-грамматики разрешить кроме КЗ-правил также и правило $S\to\lambda$ (где $S$ — аксиома грамматики), то любую КС-грамматику можно преобразовать к эквивалентной КС-грамматике, являющейся частным случаем КЗ-грамматики (с правилом $S\to\lambda$ ).

Бесполезные нетерминальные символы КС-грамматики

Определение 8.3. Нетерминальный символ $A$ КС-грамматики $G=(V,N,S,P)$ называют бесполезным, если из него не выводится ни одна терминальная цепочка, т.е. не существует такого $x\in V^{\ast}$ , что $A\vdash_{G}^{\ast}x$ .

Бесполезный нетерминал КС-грамматики может быть удален (вместе со всеми правилами, в которые он входит) без изменения языка, порождаемого данной грамматикой. Следующая теорема утверждает существование алгоритма удаления бесполезных нетерминальных символов.

Теорема 8.3. Для каждой КС-грамматики $G=(V,N,S,P)$ может быть построена эквивалентная ей КС-грамматика, не содержащая бесполезных нетерминальных символов.

Алгоритм удаления бесполезных нетерминалов состоит в рекуррентном вычислении множества $N_u\subseteq N$ всех нетерминалов грамматики $G$ , из которых выводится какая-либо терминальная цепочка.

Сначала вычисляем множество $N_0$ всех нетерминалов, из которых терминальная цепочка выводится за один шаг. Для этого просматриваем множество правил $P$ , отмечая в нем все правила вида $A\to x$ , где $x\in V^{\ast}$ . Другими словами,

$N_0=\{A\colon\,\text{in}~P~\text{is a rule}~A\to x,~x\in V^{\ast}\}.$

Затем вычисляем множество $N_1$ , добавляя к $N_0$ множество всех таких нетерминалов $B$ , что существует правило вывода в $P$ вида $B\to\beta$ , где $\beta$ — цепочка, содержащая как терминалы, так и нетерминалы из множества $N_0$ . Таким образом, в $N_1$ попадут все нетерминалы $B$ , такие, что существует вывод терминальной цепочки из $B$ , и высота дерева этого вывода не больше 2 (рис. 8.21).

В общем случае для множества $N_i\,(i\geqslant1)$ получаем формулу

$N_i=N_{i-1}\cup \bigl\{A\colon\, \text{in}~P~\text{is a rule}~A\to\alpha,~ \text{where}~a\in(N_{i-1}\cup V)^{\ast}\bigr\}.$

Это множество содержит все такие нетерминалы $B$ , что высота дерева вывода любой терминальной цепочки из $B$ не превышает $i+1$ .

Для наименьшего $j$ , такого, что $N_j=N_{j+1}$ , полагаем $N_u=N_j$ . Из построения множества $N_u$ следует, что это множество всех таких нетерминалов $A$ грамматики $G$ , что существует вывод (ненулевой длины) $A\vdash^{+}x$ для некоторого $x\in V^{\ast}$ , что и требовалось доказать. Тогда все нетерминалы из $N\setminus N_u$ бесполезны.

В частности, если $S\notin N_u$ , то $L(G)=\varnothing$ , и наоборот. Таким образом решается проблема пустоты для КС-грамматик, которая формулируется следующим образом: для данной КС-грамматики выяснить, пуст ли язык, ею порождаемый. Из предыдущих рассмотрений ясно, что для ответа на этот вопрос достаточно вычислить множество бесполезных нетерминалов грамматики и проверить, находится ли среди них аксиома грамматики. Язык, порождаемый КС-грамматикой, пуст тогда и только тогда, когда ее аксиома бесполезна.

Пример 8.7. Пусть множество $P$ правил вывода КС-грамматики $G=(\{a,b\},\{S,A,B,C\},S,P)$ имеет вид

$S\to aA\mid bB,\qquad A\to bAa,\qquad B\to aB\mid bS\mid a\mid b,\qquad C\to BaA.$

Применяя алгоритм из доказательства теоремы 8.3, получаем $N_0=\{B\}$ , так как в $P$ имеются только два правила, правые части которых — терминальные цепочки $B\to a$ и $B\to b$ . С целью вычисления множества $N_1$ найдем те правила, правые части которых кроме терминалов содержат только нетерминальный символ $B$ : это будут правила $S\to bB$ и $B\to aB$ , то есть $N_1=\{B,S\}$ . Так как есть только одно правило, правая часть которого содержит вхождение символа $S$ , а именно правило $B\to bS$ , то $N_2=N_1=N_u=\{S,B\}$ . Символы $A$ и $C$ бесполезны. Все правила, содержащие вхождения этих символов, можно удалить. В итоге получим грамматику с таким множеством правил:

$S\to bB,\qquad B\to aB\mid bS\mid a\mid b.$

Недостижимый символ КС-грамматики

Определение 8.4. Символ $X$ объединенного алфавита $V\cup N$ КС-грамматики $G=(V,N,S,P)$ называют недостижимым, если из аксиомы грамматики не выводится ни одна цепочка, содержащая вхождение символа $X$ , т.е. не существует таких цепочек $\alpha,\beta\in(V\cup N)^{\ast}$ , что $S\vdash_{G}^{\ast}\alpha X\beta$ .

Из самого понятия недостижимого символа ясно, что такие символы можно удалить из грамматики (удалив все правила, которые их содержат) без изменения порождаемого ею языка. Займемся разработкой алгоритма удаления недостижимых символов.

Граф КС-грамматики

Введем в рассмотрение понятие графа КС-грамматики.

Определение 8.5. Назовем графом КС-грамматики $G=(V,N,S,P)$ ориентированный граф, множество вершин которого равно $V\cup N\cup\{\lambda\}$ , а множество дуг определяется следующим образом. Дуга из вершины с меткой $A$ ведет в вершину $B$ тогда и только тогда, когда правило $A\to\alpha B\beta$ $(\alpha,\beta\in(V\cup N)^{\ast})$ принадлежит множеству $P$ правил вывода грамматики $G$ .

Понятие графа КС-грамматики ни в коем случае нельзя путать с понятием дерева вывода в КС-грамматике, так как дерево вывода строится по конкретному выводу, а граф КС-грамматики строится по множеству правил вывода и характеризует саму грамматику в целом.

Пример 8.8. Граф грамматики из примера 8.7 представлен на рис. 8.22.

Опираясь на определение 8.4, можно показать, что символ $X$ КС-грамматики $G=(V,N,S,P)$ достижим тогда и только тогда, когда в графе грамматики существует путь из вершины $S$ грамматики $G$ в вершину $X$ , и задача распознавания достижимости символов в КС-грамматиках сводится тем самым к задаче распознавания достижимости в ориентированных графах из заданной вершины. Для ее решения достаточно воспользоваться, например, алгоритмом поиска в ширину. В примере 8.8 (см. рис. 8.22) символ $C$ не достижим.

Удаление бесполезных нетерминалов может привести к появлению недостижимых символов.

Пример 8.9. Модифицируем грамматику из примера 8.7, добавив к множеству ее терминалов новый символ $d$ и к множеству ее правил вывода правило $A\to Cd$ .

Граф модифицированной грамматики приведен на рис. 8.23. Нетерминалы $A$ и $C$ бесполезны, хотя и достижимы. Удаляя их вместе со всеми правилами, в которые они входят, получим КС-грамматику, граф которой изображен на рис. 8.24. Терминал $d$ стал недостижимым.

Задание КС-грамматика в приведенной форме

Определение 8.6. КС-грамматика считается заданной в приведенной форме, если множество ее правил вывода не содержит λ-правил и цепных правил, множество ее нетерминалов не содержит бесполезных нетерминалов, а объединенный алфавит не содержит недостижимых символов.

Рассмотренные выше алгоритмы любую КС-грамматику позволяют преобразовать к эквивалентной КС-грамматике, заданной в приведенной форме. Заметим, что поскольку удаление λ-правил может привести к появлению цепных правил (см. пример 8.6), а удаление бесполезных нетерминалов — к появлению недостижимых символов, то построение приведенной формы КС-грамматики нужно проводить в такой последовательности:

1) удалить λ-правила;

2) удалить цепные правила;

3) удалить бесполезные нетерминалы;

4) удалить недостижимые символы.

Замечание 8.6. К числу важных преобразований КС-грамматики относят также преобразование, состоящее в удалении аксиомы из правых частей правил вывода. Можно доказать, что любая КС-грамматика преобразуется к эквивалентной КС-грамматике, не содержащей вхождений аксиомы в правые части правил вывода. Действительно, для этого достаточно ввести новый нетерминал $S_1$ (отличный от всех нетерминалов исходной грамматики), объявить его аксиомой и добавить правило $S_1\to S$ , после чего появившееся цепное правило и недопустимые λ-правила, которые могут при этом возникнуть, удаляются согласно приведенным выше алгоритмам.

Пример 8.10. Грамматика с множеством правил $S\to aSa\mid bSb\mid a\mid b\mid \lambda$ , порождающая множество всех палиндромов в алфавите $\{a,b\}$ (см. пример 7.5.в), преобразуется после удаления аксиомы из правых частей правил вывода в грамматику с аксиомой $S_1$ и следующим множеством правил:

$S_1\to S,\qquad S\to aSa\mid bSb\mid a\mid b\mid \lambda.$

Появились, как мы видим, цепное правило и, поскольку символ $S$ в новой грамматике уже не является аксиомой, λ-правило $S\to\lambda$ , которое следует удалить. Выполняя это, получим окончательно следующее множество правил:

$S_1\to aSa\mid bSb\mid aa\mid bb\mid a\mid b\mid\lambda,\qquad S\to aSa\mid bSb\mid aa\mid bb\mid a\mid b.$

Заметим, что если КС-грамматика задана в приведенной форме и правые части правил не содержат вхождений аксиомы, то единственное допустимое правило с пустой правой частью (левой частью его является аксиома), если оно существует, используется только для порождения пустой цепочки. Исходная грамматика из примера 8.10 этим свойством не обладает, так как правило $S\to\lambda$ используется всякий раз при выводе слова четной длины.

Кроме того, КС-грамматика, заданная в приведенной форме и не содержащая вхождений аксиомы в правых частях правил вывода, обладает еще одним интересным свойством: дерево вывода любой непустой цепочки является λсвободным. Таким образом, без ограничения общности можно считать деревья выводов непустых цепочек в КС-грамматиках λ-свободными.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Список статей » Список форумов

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]