Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Приведение уравнения поверхности к каноническому виду по инвариантам

Приведение уравнения поверхности 2-го порядка
к каноническому виду по инвариантам


Рассмотрим задачу приведения к каноническому виду уравнения поверхности второго порядка, заданной в прямоугольной системе координат [math]Oxyz[/math] уравнением (4.67):


[math]a_{11}x^2+a_{22}y^2+a_{33}z^2+2a_{12}xy+2a_{13}xz+2a_{23}yz+2a_1x+2a_2y+2a_3z=0.[/math]
(4.73)

Требуется определить один из семнадцати возможных канонических видов поверхности (см. теорему 4.3), найти каноническую систему координат [math]O'x'y'z'[/math], в которой уравнение поверхности имеет канонический вид, а затем построить поверхность в канонической и исходной системах координат. Построение, разумеется, производится только для вещественных поверхностей.


Алгоритм приведения уравнения поверхности 2-го порядка к каноническому виду


Для приведения поверхности второго порядка, заданной в прямоугольной системе координат [math]Oxyz[/math] уравнением (4.73), к каноническому виду нужно выполнить следующие действия.


1. По уравнению (4.73) поверхности второго порядка составить матрицу [math]P[/math] квадратичной функции, матрицу [math]A[/math] квадратичной формы и столбец [math]a[/math] коэффициентов линейной формы:


[math]P= \begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_1\\a_{12}&a_{22}&a_{23}&a_2\\a_{13}&a_{23}&a_{33}&a_3\\a_1&a_2&a_3&a_0\end{pmatrix}\!, \quad A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{12}&a_{22}&a_{23}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{pmatrix}\!, \quad a=\begin{pmatrix} a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}\!.[/math]

2. Составить характеристическое уравнение [math]-\lambda^3+\tau_1\lambda^2-\tau_2\lambda+\delta=0[/math], либо вычисляя его коэффициенты по формулам: [math]\tau_1=a_{11}+a_{22}+a_{33}[/math],


▼ Продолжение
[math]\tau_2= \,\,\vline\,\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{12}&a_{22}\end{matrix}\,\vline\,\,+ \,\,\vline\,\begin{matrix}a_{11}&a_{13}\\a_{13}&a_{33}\end{matrix}\,\vline\,\,+\,\,\vline\,\begin{matrix}a_{22}&a_{23}\\a_{23}&a_{33}\end{matrix}\,\vline\,\,,\quad \delta=\det A=\,\,\vline\,\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{12}&a_{22}&a_{23}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{matrix}\,\,\vline\,,[/math]

либо разлагая определитель
[math]\det(A-\lambda\cdot E)= \,\,\vline\,\begin{matrix}a_{11}-\lambda&a_{12}&a_{13}\\a_{12}&a_{22}-\lambda&a_{23}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}-\lambda\end{matrix}\,\,\vline\,= -\lambda^3+\tau_1\cdot\lambda^2-\tau_2\cdot\lambda+\delta.[/math]

Найти корни [math]\lambda_1,\,\lambda_2,\,\lambda_3[/math] (с учетом кратности) характеристического уравнения.


Вычислить инвариант
[math]\Delta=\det{P}= \,\,\vline\,\begin{matrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_1\\ a_{12}&a_{22}& a_{23}&a_2\\ a_{13}&a_{23}&a_{33}&a_3\\a_1&a_2&a_3&a_0\end{matrix}\,\,\vline\,.[/math]

Если [math]\delta=\Delta=0[/math], то вычислить семиинвариант


[math]\kappa_2= \,\,\vline\,\begin{matrix} a_{11}&a_{12}&a_1\\ a_{12}&a_{22}&a_2\\ a_1&a_2&a_0\end{matrix}\,\,\vline\,+ \,\,\vline\,\begin{matrix} a_{11}&a_{13}&a_1\\ a_{13}&a_{33}&a_3\\ a_1&a_3&a_0\end{matrix}\,\,\vline\,+ \,\,\vline\,\begin{matrix} a_{22}&a_{23}&a_2\\ a_{23}&a_{33}&a_3\\a_2&a_3&a_0\end{matrix}\,\,\vline\,.[/math]

Если [math]\delta=\Delta=0[/math] и [math]\tau_1=\tau_2=0[/math], то вычислить семиинвариант


[math]\kappa_1= \,\,\vline\,\begin{matrix}a_{11}&a_1\\a_1&a_0\end{matrix}\,\,\vline\,+ \,\,\vline\,\begin{matrix}a_{22}&a_2\\a_2&a_0\end{matrix}\,\,\vline\,+ \,\,\vline\,\begin{matrix}a_{33}&a_3\\a_3&a_0\end{matrix}\,\,\vline\,.[/math]

3. По таблице 4.3 определить вид поверхности.


4. Занумеровать корни [math]\lambda_1,\,\lambda_2,\,\lambda_3[/math] характеристического уравнения в соответствии с правилами:


▼ Продолжение

а) если поверхность эллиптического типа, то [math]|\lambda_1|\leqslant|\lambda_2|\leqslant|\lambda_3|[/math];


б) если поверхность гиперболического типа, то обозначить через [math]\lambda_1[/math] и [math]\lambda_2[/math] корни одного знака так, чтобы [math]|\lambda_1|\leqslant|\lambda_2|[/math], а через [math]\lambda_3[/math] — корень противоположного знака;


в) если поверхность параболического типа, то


– если нулевой корень двойной, то [math]\lambda_1=\lambda_3=0[/math] и [math]\lambda_2\ne0[/math];

– если нулевой корень простой, а ненулевые корни одного знака, то [math]\lambda_3=0[/math] и [math]|\lambda_1|\leqslant|\lambda_2|[/math];

– если нулевой корень простой, а ненулевые корни разных знаков, то [math]\lambda_3=0[/math] и


либо [math]\lambda_1>0[/math], если [math]\Delta\ne0[/math] или [math]\Delta=\kappa_2=0[/math]; либо [math]\lambda_1\cdot\kappa_2>0[/math], если [math]\Delta=0[/math] и [math]\kappa_2\ne0[/math].

5. Найти взаимно ортогональные собственные направления [math]l_1,\,l_2,\,l_3[/math], соответствующие корням [math]\lambda_1,\,\lambda_2,\,\lambda_3[/math] характеристического уравнения:


▼ Продолжение

а) если [math]\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3[/math], то базисные векторы исходной системы имеют искомые направления


[math]l_1=\begin{pmatrix}1&0&0\end{pmatrix}^T, \quad l_2=\begin{pmatrix}0&1&0\end{pmatrix}^T, \quad l_3=\begin{pmatrix}0&0&1\end{pmatrix}^T;[/math]

б) если все корни [math]\lambda_1,\,\lambda_2,\,\lambda_3[/math] простые, то для каждого корня найти ненулевое решение однородной системы уравнений [math](A-\lambda_i\cdot E)\cdot l_i=o,[/math] [math]i=1,2,3[/math]. Например, собственное направление [math]l_3=\begin{pmatrix}x_3&y_3&z_3\end{pmatrix}^T[/math] для простого корня [math]\lambda_3[/math] находится как любое ненулевое решение системы


[math]\begin{cases}(a_{11}-\lambda_3)\cdot x+a_{12}\cdot y+a_{13}\cdot z=0,\\[3pt] a_{12}\cdot x+(a_{22}-\lambda_3)\cdot y+a_{23}\cdot z=0,\\[3pt] a_{13}\cdot x+a_{23}\cdot y+(a_{33}-\lambda_3)\cdot z=0;\end{cases}[/math] или [math](A-\lambda_3\cdot E)\cdot l_3=o.[/math]

Если [math]\lambda_3=0[/math] и корни [math]\lambda_1[/math] и [math]\lambda_2[/math] имеют разные знаки [math](\lambda_1\cdot\lambda_2<0)[/math], то направление [math]l_3[/math] должно удовлетворять дополнительному условию [math]a^T\cdot l_3\leqslant0[/math], в противном случае следует заменить столбец [math]l_3[/math] на противоположный [math](-l_3)[/math].


Если [math]\lambda_3=0[/math] и корни [math]\lambda_1[/math] и [math]\lambda_2[/math] одного знака [math](\lambda_1\cdot\lambda_2>0)[/math], то направление [math]l_3[/math] должно удовлетворять дополнительному условию [math]\tau_1\cdot a^T\cdot l_3<0[/math], в противном случае следует заменить столбец [math]l_3[/math] на противоположный [math](-l_3)[/math];


в) если имеется двойной ненулевой корень [math]\lambda_1=\lambda_2\ne\lambda_3[/math], то для простого корня [math]\lambda_3[/math] найти соответствующий собственный вектор [math]l_3[/math] — любое не нулевое решение системы [math](A-\lambda_3\cdot E)\cdot l_3=o[/math], а для кратного корня [math]\lambda_1=\lambda_2[/math] в качестве [math]l_2[/math] взять любой ненулевой столбец матрицы [math]A-\lambda_3\cdot E[/math], а вектор [math]l_1[/math] найти, используя векторное произведение: [math]\vec{l}_1=[\,\vec{l}_2,\vec{l}_3\,][/math];


г) если имеется двойной нулевой корень [math]\lambda_1=\lambda_3=0[/math], то направление [math]l_2[/math], соответствующее простому корню [math]\lambda_2[/math], найти как ненулевое решение системы [math](A-\lambda_2\cdot E)\cdot l_2=o[/math]. Вычислить проекцию а[math]a_{\text{pr}}= a-\frac{a^T\cdot l_2}{|l_2|^2}\cdot l_2[/math]. Если [math]a_{\text{pr}}=o[/math], то направление [math]l_1[/math] найти как ненулевое решение системы [math]A\cdot l_1=o[/math]. Если [math]a_{\text{pr}}\ne o[/math], то направление [math]l_1=-\tau_1\cdot a_{\text{pr}}[/math]. Направление [math]l_3[/math] найти, используя векторное произведение: [math]\vec{l}_3=[\,\vec{l}_1,\vec{l}_2\,][/math].


Нормируя полученные векторы [math]l_1,\,l_2,\,l_3[/math], определить координатные [math]s_1=\frac{1}{|l_1|}\cdot l_1,[/math] [math]s_2=\frac{1}{|l_2|}\cdot l_2,[/math] [math]s_3=\frac{1}{|l_3|}\cdot l_3[/math] столбцы векторов [math]\vec{s}_1,\,\vec{s}_2,\,\vec{s}_3[/math] канонического базиса.


6. Найти координаты [math]x_0,y_0,z_0[/math] начала [math]O'[/math] канонической системы координат:


▼ Продолжение

а) для поверхностей, имеющих хотя бы один центр (эллипсоидов, гиперболоидов, конусов, цилиндров, пар плоскостей), найти любое решение [math]s=\begin{pmatrix}x_0&y_0&z_0\end{pmatrix}^T[/math] системы уравнений


[math]A\cdot s+a=o[/math] или [math]\begin{cases}a_{11}\cdot x+a_{12}\cdot y+a_{13}\cdot z+a_1=0,\\[3pt] a_{12}\cdot x+a_{22}\cdot y+a_{23}\cdot z+a_2=0,\\[3pt] a_{13}\cdot x+a_{23}\cdot y+a_{33}\cdot z+a_3=0.\end{cases}[/math]

б) для поверхностей, не имеющих ни одного центра, найти:


– в случаях эллиптического или гиперболического параболоидов решение [math]s=\begin{pmatrix}x_0&y_0&z_0\end{pmatrix}^T[/math] системы


[math]\begin{cases}\lambda_1\cdot s_1^T\cdot s+s_1^T\cdot a=0,\\[3pt] \lambda_2\cdot s_2^T\cdot s+s_2^T\cdot a=0,\\[3pt] (a+a_{\text{pr}})^T\cdot s+a_0=0.\end{cases}[/math] где [math]a_{\text{pr}}=(a^T\cdot s_3)\cdot s_3;[/math]

– в случае параболического цилиндра — любое решение [math]s=\begin{pmatrix}x_0&y_0&z_0\end{pmatrix}^T[/math] системы


[math]\begin{cases}\lambda_2\cdot s_2^T\cdot s+s_2^T\cdot a=0,\\[3pt] (a+a_{\text{pr}})^T\cdot z+a_0=0,\end{cases}[/math] где [math]a_{\text{pr}}= a-a_{\perp}=,~a_{\perp}=(a^T\cdot s_2)\cdot s_2.[/math]

7. Вычислить коэффициенты канонического уравнения:


▼ а) для поверхностей эллиптического типа:

(1) — при [math]\Delta<0[/math] — уравнение эллипсоида [math]\frac{(x')^2}{a^2}+\frac{(y')^2}{b^2}+\frac{(z')^2}{c^2}=1[/math] с коэффициентами


[math]a^2=-\frac{\Delta}{\lambda_1\cdot\delta}, \quad b^2=-\frac{\Delta}{\lambda_2\cdot\delta}, \quad c^2=-\frac{\Delta}{\lambda_3\cdot\delta}\,;[/math]

(2) при [math]\Delta>0[/math] — уравнение мнимого эллипсоида [math]\frac{(x')^2}{a^2}+\frac{(y')^2}{b^2}+\frac{(z')^2}{c^2}=-1[/math] с коэффициентами


[math]a^2=\frac{\Delta}{\lambda_1\cdot\delta}, \quad b^2=\frac{\Delta}{\lambda_2\cdot\delta}, \quad c^2=\frac{\Delta}{\lambda_3\cdot\delta}\,;[/math]

(3) при [math]\Delta=0[/math] — уравнение мнимого конуса [math]\frac{(x')^2}{a^2}+\frac{(y')^2}{b^2}+\frac{(z')^2}{c^2}=0[/math] с коэффициентами


[math]a^2=\frac{1}{|\lambda_1|}, \quad b^2=\frac{1}{|\lambda_2|}, \quad c^2=\frac{1}{|\lambda_3|}\,;[/math]

▼ б) для поверхностей гиперболического типа:

(4) при [math]\Delta>0[/math] — уравнение однополостного гиперболоида [math]\frac{(x')^2}{a^2}+\frac{(y')^2}{b^2}-\frac{(z')^2}{c^2}=1[/math] с коэффициентами


[math]a^2=-\frac{\Delta}{\lambda_1\cdot\delta}, \quad b^2=-\frac{\Delta}{\lambda_2\cdot\delta}, \quad c^2=\frac{\Delta}{\lambda_3\cdot\delta}\,;[/math]

(5) при [math]\Delta<0[/math] — уравнение двуполостного гиперболоида [math]\frac{(x')^2}{a^2}+\frac{(y')^2}{b^2}-\frac{(z')^2}{c^2}=-1[/math] с коэффициентами


[math]a^2=\frac{\Delta}{\lambda_1\cdot\delta}, \quad b^2=\frac{\Delta}{\lambda_2\cdot\delta}, \quad c^2=-\frac{\Delta}{\lambda_3\cdot\delta}\,;[/math]

(6) при [math]\Delta=0[/math] — уравнение конуса [math]\frac{(x')^2}{a^2}+\frac{(y')^2}{b^2}-\frac{(z')^2}{c^2}=0[/math] с коэффициентами


[math]a^2=\frac{1}{|\lambda_1|}, \quad b^2=\frac{1}{|\lambda_2|}, \quad c^2=\frac{1}{|\lambda_3|}\,;[/math]

▼ в) для поверхностей параболического типа:

(7) при [math]\Delta<0[/math] — уравнение эллиптического параболоида [math]\frac{(x')^2}{a^2}+\frac{(y')^2}{b^2}=2z[/math] с коэффициентами


[math]a^2=\sqrt{-\frac{\Delta}{\lambda_1^2\cdot\tau_2}},\quad b^2=\sqrt{-\frac{\Delta}{\lambda_2^2\cdot\tau_2}}\,;[/math]

(8) при [math]\Delta>0[/math] — уравнение гиперболического параболоида [math]\frac{(x')^2}{a^2}-\frac{(y')^2}{b^2}=2z[/math] с коэффициентами


[math]a^2=\sqrt{-\frac{\Delta}{\lambda_1^2\cdot\tau_2}},\quad b^2=\sqrt{-\frac{\Delta}{\lambda_2^2\cdot\tau_2}}\,;[/math]

(9) при [math]\Delta=0,~\tau_2>0,~\tau_1\cdot\kappa_2<0[/math] — уравнение эллиптического цилиндра [math]\frac{(x')^2}{a^2}+\frac{(y')^2}{b^2}=1[/math] с коэффициентами


[math]a^2=-\frac{\kappa_2}{\lambda_1\cdot\tau_2}, \quad b^2=-\frac{\kappa_2}{\lambda_2\cdot\tau_2}\,;[/math]

(10) при [math]\Delta=0,~\tau_2>0,~\tau_1\cdot\kappa_2>0[/math] — уравнение мнимого эллиптического цилиндра [math]\frac{(x')^2}{a^2}+\frac{(y')^2}{b^2}=-1[/math] с коэффициентами


[math]a^2=\frac{\kappa_2}{\lambda_1\cdot\tau_2}, \quad b^2=\frac{\kappa_2}{\lambda_2\cdot\tau_2}\,;[/math]

(11) при [math]\Delta=0,~\tau_2>0,~\kappa_2=0[/math] — уравнение пары мнимых пересекающихся плоскостей [math]\frac{(x')^2}{a^2}+\frac{(y')^2}{b^2}=0[/math] с коэффициентами


[math]a^2=\frac{1}{|\lambda_1|}, \quad a^2=\frac{1}{|\lambda_2|}\,;[/math]

(12) при [math]\Delta=0,~\tau_2<0,~\kappa_2\ne0[/math] — уравнение гиперболического цилиндра [math]\frac{(x')^2}{a^2}-\frac{(y')^2}{b^2}=1[/math] с коэффициентами


[math]a^2=-\frac{\kappa_2}{\lambda_1\cdot\tau_2}, \quad b^2=\frac{\kappa_2}{\lambda_2\cdot\tau_2}\,;[/math]

(13) при [math]\Delta=0,~\tau_2<0,~\kappa_2=0[/math] — уравнение пары пересекающихся плоскостей


[math]\frac{(x')^2}{a^2}-\frac{(y')^2}{b^2}=0[/math] с коэффициентами [math]a^2=\frac{1}{\lambda_1},\quad b^2=-\frac{1}{\lambda_2}\,;[/math]

(14) при [math]\Delta=0,~\tau_2=0,~\kappa_2\ne0[/math] — уравнение параболического цилиндра


[math](y')^2=2px'[/math] с коэффициентом [math]p=\sqrt{-\frac{\kappa_2}{\tau_1^3}}[/math];

(15) при [math]\Delta=0,~\tau_2=0,~\kappa_2=0,~\kappa_1<0[/math] — уравнение пары параллельных плоскостей


[math](y')^2-b^2=0[/math] с коэффициентом [math]b^2=-\frac{\kappa_1}{\tau_1^2}[/math];

(16) при [math]\Delta=0,~\tau_2=0,~\kappa_2=0,~\kappa_1>0[/math] — уравнение пары мнимых параллельных плоскостей


[math](y')^2+b^2=0[/math] с коэффициентом [math]b^2=\frac{\kappa_1}{\tau_1^2}[/math];

(17) при [math]\Delta=0,~\tau_2=0,~\kappa_2=0,~\kappa_1=0[/math] — уравнение пары совпадающих плоскостей [math](y')^2=0[/math].


8. В координатном пространстве [math]Oxyz[/math] изобразить каноническую систему координат [math]O'x'y'z'[/math], координаты [math]x_0,y_0,z_0[/math] начала [math]O'[/math] которой найдены в пункте 6, а координаты базисных векторов — в пункте 5.


9. Построить поверхность второго порядка в канонической системе координат [math]O'x'y'z'[/math] по каноническому уравнению, найденному в п.7. Построение центральных поверхностей (эллипсоида, гиперболоидов, конуса) удобно начинать с изображения основного параллелепипеда (см. разд.4.4.2-4.4.4). При построении параболоидов, цилиндров и пар плоскостей использовать разд.4.4.5; 3.3.2-3.3.4, 4.2.1-4.2.5). Мнимые поверхности не изображаются, за исключением уравнения мнимого конуса или пары мнимых пересекающихся плоскостей, действительными решениями которых являются точка [math]O'[/math] или ось [math]O'z'[/math] соответственно.


Таблица 4.3. Классификация поверхностей второго порядка по инвариантам
Классификация поверхностей второго порядка по инвариантам



Замечания 4.16


1. Согласно пункту 3 замечаний 4.14 для нахождения начала координат параболоидов или параболического цилиндра (см. п.6,"б" алгоритма) можно использовать систему

[math]\begin{cases}A\cdot s+a_{\perp}=o,\\[3pt](a+a_{\text{pr}})^T\cdot s+a_0=0,\end{cases}[/math]

где [math]a_{\text{pr}}=(a^T\cdot s_3)\cdot s_3,~a_{\perp}=a-a_{\text{pr}}[/math] в случае эллиптического или гиперболического параболоидов; [math]a_{\perp}=(a^T\cdot s_2)\cdot s_2,[/math] [math]a_{\text{pr}}=a-a_{\perp}[/math] в случае параболического цилиндра.


2. Системы уравнений в п.6,"б" алгоритма можно записать в эквивалентном виде:


– в случаях эллиптического или гиперболического параболоидов:


[math]\begin{cases}\lambda_1\cdot l_1^T\cdot s+l_1^T\cdot a_{\perp}=0,\\[3pt] \lambda_2\cdot l_2^T\cdot s+l_2^T\cdot a_{\perp}=0,\\[3pt] (a+a_{\text{pr}})^T\cdot s+a_0=0,\end{cases}[/math] где [math]a_{\text{pr}}=(a^T\cdot s_3)\cdot s_3,~a_{\perp}=a-a_{\text{pr}};[/math]

– в случае параболического цилиндра:


[math]\begin{cases}\lambda_2\cdot l_1^T\cdot s+l_1^T\cdot a_{\perp}=0,\\[3pt] (a+a_{\text{pr}})^T\cdot s+a_{\perp}=0,\end{cases}[/math] где [math]a_{\text{pr}}=a-a_{\perp},~a_{\perp}=(a^T\cdot s_2)\cdot s_2.[/math]

3. Если требуется получить правую каноническую систему координат, а в результате применения алгоритма каноническая система координат оказалась левой, то достаточно изменить направление оси ординат на противоположное, т.е. заменить базисный вектор [math]\vec{s}_2[/math] на противоположный вектор [math](-\vec{s}_2)[/math].


4. Согласно пункту 6 замечаний 4.12, если известны корни [math]\lambda_1,\,\lambda_2,\,\lambda_3[/math] (с учетом кратности) характеристического уравнения, то инварианты можно вы числить по формулам (см. п.2 алгоритма):


[math]\tau_1=\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3; \quad \tau_2=\lambda_1\cdot\lambda_2+\lambda_2\cdot\lambda_3+\lambda_1\cdot\lambda_3; \quad \delta=\lambda_1\cdot\lambda_2\cdot\lambda_3.[/math]



Примеры приведения уравнений поверхностей к каноническому виду по инвариантам


Пример 4.21. Поверхность второго порядка задана в прямоугольной системе координат [math]Oxyz[/math] уравнением

[math]2\cdot x^2+5\cdot y^2+5\cdot z^2+6\cdot y\cdot z+4\cdot x+16\cdot y+16\cdot z+10=0.[/math]

Найти канонический вид уравнения поверхности и каноническую систему координат.


▼ Решение

Составляем матрицу [math]P[/math] квадратичной функции, матрицу [math]A[/math] квадратичной формы и столбец [math]a[/math] коэффициентов линейной формы:


[math]P=\begin{pmatrix}2&0&0&2\\0&5&3&8\\0&3&5&8\\2&8&8&10\end{pmatrix}\!, \quad A=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&5&3\\0&3&5\end{pmatrix}\!, \quad a=\begin{pmatrix}2\\8\\8\end{pmatrix}\!.[/math]

2. Составляем характеристическое уравнение


[math]\vline\,\,\begin{matrix}2-\lambda&0&0\\0&5-\lambda&3\\0&3&5-\lambda\end{matrix}\,\,\vline\,=0\quad \Leftrightarrow \quad (2-\lambda)[(5-\lambda)^2-9]=0\quad \Leftrightarrow \quad (2-\lambda)^2(8-\lambda)=0.[/math]

Находим его корни [math]\lambda=2[/math] (двойной корень) и [math]\lambda=8[/math] (простой корень). Учитывая п.4 замечаний 4.16, вычисляем инварианты:


[math]\Delta= \,\,\vline\,\begin{matrix} 2&0&0&2\\0&5&3&8\\ 0&3&5&8\\2&8&8&10 \end{matrix}\,\,\vline\,= \,\,\vline\,\begin{matrix} 2&0&0&2\\0&5&3&8\\ 0&3&5&8\\ 2&8&8&10 \end{matrix}\,\,\vline\,= 2\cdot8\cdot\,\,\vline\,\begin{matrix} 5&3&8\\3&5&8\\ 1&1&1 \end{matrix}\,\,\vline\,= 16\cdot(-16)=-256.[/math]

3. По таблице 4.3 определяем, что поверхность эллиптического типа (все корни характеристического уравнения одного знака, что также подтверждается условиями [math]\tau_2=36>0[/math] и [math]\tau_1\cdot\delta=12\cdot32>0[/math]). Поскольку [math]\Delta=-256<0[/math], заданная поверхность — эллипсоид.


4. Поскольку поверхность эллиптического типа, корни характеристического уравнения обозначим следующим образом (см. п.4,"а" алгоритма): [math]\lambda_1=\lambda_2=2,[/math] [math]\lambda_3=8[/math], чтобы выполнялись неравенства [math]|\lambda_1|\leqslant|\lambda_2|\leqslant|\lambda_3|[/math].


5. Находим взаимно ортогональные собственные направления [math]l_1,\,l_2,\,l_3[/math], соответствующие корням [math]\lambda_1,\,\lambda_2,\,\lambda_3[/math] характеристического уравнения. Поскольку имеется двойной ненулевой корень [math]\lambda_1=\lambda_2=2[/math] (см. п.5,"в" алгоритма), то для простого корня [math]\lambda_3=8[/math] находим ненулевое решение [math]l_3[/math] однородной системы уравнений [math](A-8\cdot E)\cdot l_3=o:[/math]


[math]\begin{cases}(2-8)\cdot x+0\cdot y+0\cdot z=0,\\0\cdot x+(5-8)\cdot y+3\cdot z=0,\\0\cdot x+3\cdot y+(5-8)\cdot z=0,\end{cases}[/math] или [math]\begin{pmatrix}-6&0&0\\0&-3&3\\0&3&-3\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\!.[/math]

Возьмем, например, решение [math]x=0,~y=1,~z=1[/math], т.е. [math]l_3=\begin{pmatrix}0&1&1\end{pmatrix}^T[/math]. В качестве направления [math]l_2[/math] принимаем первый (ненулевой) столбец матрицы [math]A-8\cdot E:[/math] [math]l_2=\begin{pmatrix}-6&0&0\end{pmatrix}^T[/math]. Направление [math]l_1[/math] определяем, используя векторное произведение:


[math]\vec{l}_1= [\,\vec{l}_2,\vec{l}_3\,]= \,\,\vline\,\begin{matrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\-6&0&0\\0&1&1\end{matrix}\,\,\vline\,= 0\cdot\vec{i}+6\cdot\vec{j}-6\cdot\vec{k},[/math] следовательно, [math]l_1=\begin{pmatrix}0&6&-6\end{pmatrix}^T,[/math]

Нормируя полученные векторы [math]l_1,\,l_2,\,l_3[/math], определяем координатные столбцы векторов канонического базиса:


[math]\begin{gathered}|l_1|=\sqrt{l_1^T\cdot l_1}=\sqrt{0^2+6^2+(-6)^2}=6\sqrt{2}, \quad |l_2|=\sqrt{l_2^T\cdot l_2}=\sqrt{6^2+0^2+0^2}=6,\\ |l_3|=\sqrt{l_3^T\cdot l_3}=\sqrt{0^2+1^2+1^2}=\sqrt{2},\\[5pt] s_1=\frac{l_1}{|l_1|}=\begin{pmatrix}0\\\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\[8pt] -\dfrac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}\!, \quad s_2=\frac{l_2}{|l_2|}=\begin{pmatrix}-1\\0\\0\end{pmatrix}\!, \quad s_3=\frac{l_3}{|l_3|}=\begin{pmatrix}0\\\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\[8pt] \dfrac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}\!. \end{gathered}[/math]

6. Находим координаты [math]x_0,\,y_0,\,z_0[/math] начала [math]O'[/math] канонической системы координат, решая систему уравнений (см. п.6,"а" алгоритма):


[math]A\cdot s+a=o[/math] или [math]\begin{cases}2\cdot x+0\cdot y+0\cdot z+2=0,\\ 0\cdot x+5\cdot y+3\cdot z+8=0,\\ 0\cdot x+3\cdot y+5\cdot z+8=0.\end{cases}[/math]

Получаем [math]x_0=-1,~y_0=-1,~z_0=-1[/math]. Следовательно, вектор [math]\vec{s}=\overrightarrow{OO'}[/math] переноса начала координат имеет координаты [math]s=\begin{pmatrix}-1&-1&-1\end{pmatrix}^T[/math], или, что то же самое, начало [math]O'[/math] канонической системы координат имеет координаты [math]O'(-1,-1,-1)[/math] в исходной системе координат.


7. Вычисляем коэффициенты канонического уравнения (1) эллипсоида (см. п.7,"а!' алгоритма):


[math]a^2=b^2= -\frac{\Delta}{\lambda_1\cdot\delta}=-\frac{-256}{2\cdot32}=4, \quad c^2=-\frac{\Delta}{\lambda_3\cdot\delta}=-\frac{-256}{8\cdot32}=1.[/math]

Следовательно, каноническое уравнение заданной поверхности имеет вид


[math]\frac{(x')^2}{2^2}+\frac{(y')^2}{2^2}+\frac{(z')^2}{1^2}=1.[/math]

8. В координатном пространстве [math]Oxyz[/math] изображаем каноническую систему координат [math]O'x'y'y'[/math] с началом в точке [math]O'(-1,-1,-1)[/math] и базисными векторами [math]\vec{s}_1,\,\vec{s}_2,\,\vec{s}_3[/math], координатные столбцы которых найдены в п.5 (рис.4.53).


9. Строим эллипсоид вращения в канонической системе координат [math]O'x'y'y'[/math] по каноническому уравнению, найденному в п.7 (рис.4.53).


Эллипсоид вращения в канонической системе координат



Пример 4.22. Поверхность второго порядка задана в прямоугольной системе координат [math]Oxyz[/math] уравнением

[math]3x^2-7y^2+3z^2+8xy-8xz-8yz+10x-14y-6z+a_0=0,[/math]

где а) [math]a_0=-8[/math]; б) [math]a_0=-9[/math]; в) [math]a_0=-10[/math].


Найти канонический вид уравнения поверхности и каноническую систему координат.


▼ Решение

Составляем матрицу [math]P[/math] квадратичной функции, матрицу [math]A[/math] квадратичной формы и столбец а коэффициентов линейной формы:


[math]P=\left(\!\!\!\begin{array}{*{20}{rrrr}}3&4&-4&5\\4&-7&-4&-7\\-4&-4&3&-3\\5&-7&-3&a_0\end{array}\!\right)\!,\quad A=\left(\!\!\begin{array}{*{20}{rrr}}3&4&-4\\4&-7&-4\\-4&-4&3\end{array}\!\right)\!,\quad a=\begin{pmatrix}5\\-7\\-3\end{pmatrix}\!.[/math]

2. Характеристическое уравнение имеет корни [math]\lambda=-1,~\lambda=9,~\lambda=-9[/math] (см. решение примера 4.18,"в"). Поэтому, учитывая п.4 замечаний 4.14, вычисляем инварианты:


[math]\begin{gathered}\tau_1=\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=-1+9-9=-1;\\[3pt] \tau_2=\lambda_1\cdot\lambda_2+\lambda_2\cdot\lambda_3+\lambda_1\cdot\lambda_3= (-1)\cdot9+9\cdot(-9)+(-1)\cdot(-9)=-81;\\[3pt] \delta=\lambda_1\cdot\lambda_2\cdot\lambda_3= (-1)\cdot9\cdot(-9)=81;\\[3pt] \Delta=\,\,\vline\!\!\begin{array}{*{20}{rrrr}}3&4&-4&5\\4&-7&-4&-7\\-4&-4&3&-3\\5&-7&-3&a_0\end{matrix}\,\,\vline\,= \,\,\vline\!\begin{array}{*{20}{rcrc}}-1&0&-1&2\\0&-11&-1&-10\\-4&-4&3&-3\\1&-11&0&a_0-3\end{matrix}\,\,\vline\,= \,\,\vline\!\!\begin{array}{*{20}{rcrc}}-1&0&-1&2\\0&-11&-1&-10\\0&-4&7&-11\\0&-11&-1&a_0-1\end{matrix}\,\,\vline\,=\\[3pt] =(-1)\cdot\,\,\vline\,\begin{matrix}-11&-1&-10\\-4&7&-11\\-11&-1&a_0-1\end{matrix}\,\,\vline\,= \,\,\vline\,\begin{matrix}11&1&10\\-4&7&-11\\-11&-1&a_0-1\end{matrix}\,\,\vline\,=\,\,\vline\,\begin{matrix}11&1&10\\-81&0&-81\\0&0&a_0+9\end{matrix}\,\,\vline\,= 81(a_0+9). \end{gathered}[/math]

3. По таблице 4.3 определяем, что поверхность гиперболического типа (корни характеристического уравнения имеют разные знаки). При [math]a_0=-8[/math] заданная поверхность — однополостный гиперболоид, так как [math]\Delta=81>0[/math]; при [math]a_0=-9[/math] заданная поверхность — конус, так как [math]\Delta=0[/math]; при [math]a_0=-10[/math] заданная поверхность — двуполостный гиперболоид, так как [math]\Delta=-81<0[/math].


4. Поскольку поверхность гиперболического типа, корни характеристического уравнения обозначим следующим образом (см. п.4,"б" алгоритма): [math]\lambda_1=-1,[/math] [math]\lambda_2=-9[/math], т.е. [math]\lambda_1[/math] и [math]\lambda_2[/math] корни одного знака, причем [math]|\lambda_1|\leqslant|\lambda_2|[/math], а корень противоположного знака [math]\lambda_3=9[/math].


5. Находим взаимно ортогональные собственные направления [math]l_1,\,l_2,\,l_3[/math], соответствующие корням [math]\lambda_1,\,\lambda_2,\,\lambda_3[/math] характеристического уравнения. Поскольку все корни простые, то для каждого из них находим ненулевое решение однородной системы [math](A-\lambda_i\cdot E)\cdot l_i=o[/math], [math]i=1,2,3[/math]. Учитывая решение примера 4.18,"в", получаем


[math]l_1=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\!,\quad l_2=\begin{pmatrix}-1\\4\\1\end{pmatrix}\!,\quad l_3=\begin{pmatrix}2\\1\\-2\end{pmatrix}\!.[/math]

Нормируя полученные векторы [math]l_1,\,l_2,\,l_3[/math], определяем координатные столбцы векторов канонического базиса:


[math]\begin{gathered}|l_1|=\sqrt{1^2+0^2+1^2}=\sqrt{2},\quad |l_2|=\sqrt{(-1)^2+4^2+1^2}=3\sqrt{2},\quad |l_3|=\sqrt{2^2+1^2+(-2)^2}=3,\\[5pt] s_1=\frac{l_1}{|l_1|}=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\[8pt]0\\[4pt]\dfrac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}\!,\quad s_2=\frac{l_2}{|l_2|}=\begin{pmatrix}-\dfrac{1}{3\sqrt{2}}\\[10pt]\dfrac{4}{3\sqrt{2}}\\[9pt]\dfrac{1}{3\sqrt{2}}\end{pmatrix}\!,\quad s_3=\frac{l_3}{|l_3|}=\begin{pmatrix}\dfrac{2}{3}\\[9pt]\dfrac{1}{3}\\[10pt]-\dfrac{2}{3}\end{pmatrix}\!.\end{gathered}[/math]

6. Находим координаты [math]x_0,\,y_0,\,z_0[/math] начала [math]O'[/math] канонической системы координат; решая систему уравнений (см. п.б,"а" алгоритма):


[math]A\cdot s+a=o[/math] или [math]\begin{cases}\phantom{-}3\cdot x+4\cdot y-4\cdot z+5=0,\\ \phantom{-}4\cdot x-7\cdot y-4\cdot z-7=0,\\ -4\cdot x-4\cdot y+3\cdot z-3=0.\end{cases}[/math]

Получаем [math]x_0=1,~y_0=-1,~z_0=1[/math]. Следовательно, вектор [math]\vec{s}=\overrightarrow{OO'}[/math] переноса начала координат имеет координаты [math]s=\begin{pmatrix}1&-1&1\end{pmatrix}^T[/math] или, что то же самое, начало [math]O'[/math] канонической системы координат имеет координаты [math]O'(1,-1,1)[/math] относительно исходной системы координат.


7. Вычисляем коэффициенты канонического уравнения (см. п.7,"б" алгоритма):


– при [math]a_0=-8[/math] находим коэффициенты и каноническое уравнение (4) однополостного гиперболоида:


[math]\begin{gathered}a^2=-\frac{\Delta}{\lambda_1\cdot\delta}=-\frac{81}{(-1)\cdot81}=1, \quad b^2=-\frac{\Delta}{\lambda_2\cdot\delta}=-\frac{81}{(-9)\cdot81}=\frac{1}{9},\\[3pt] c^2=\frac{\Delta}{\lambda_3\cdot\delta}=\frac{81}{9\cdot81}=\frac{1}{9},\qquad \boxed{\frac{(x')^2}{1^2}+\frac{(y')^2}{(1/3)^2}-\frac{(z')^2}{(1/3)^2}=1}\end{gathered}[/math]

– при [math]a_0=-9[/math] находим коэффициенты и каноническое уравнение (6) конуса:


[math]\begin{gathered}a_2=\frac{1}{|\lambda_1|}=\frac{1}{|-1|}=1,\quad b_2=\frac{1}{|\lambda_2|}=\frac{1}{|-9|}=\frac{1}{9},\quad c_2=\frac{1}{|\lambda_3|}=\frac{1}{|9|}=\frac{1}{9},\\[3pt] \boxed{\frac{(x')^2}{1^2}+\frac{(y')^2}{(1/3)^2}-\frac{(z')^2}{(1/3)^2}=0}\end{gathered}[/math]

– при [math]a_0=-10[/math] находим коэффициенты и каноническое уравнение (S) двуполостного гиперболоида:


[math]\begin{gathered}a^2=\frac{\Delta}{\lambda_1\cdot\delta}=\frac{-81}{(-1)\cdot81}=1, \quad b^2=\frac{\Delta}{\lambda_2\cdot\delta}=\frac{-81}{(-9)\cdot81}=\frac{1}{9},\\[3pt] c^2=-\frac{\Delta}{\lambda_3\cdot\delta}=-\frac{-81}{9\cdot81}=\frac{1}{9},\qquad \boxed{\frac{(x')^2}{1^2}+\frac{(y')^2}{(1/3)^2}-\frac{(z')^2}{(1/3)^2}=-1}\end{gathered}[/math]

8. В координатном пространстве [math]Oxyz[/math] изображаем каноническую систему координат [math]O'x'y'z'[/math] с началом в точке [math]O'(1,-1,1)[/math] и базисными векторами [math]\vec{s}_1,\,\vec{s}_2,\,\vec{s}_3[/math], координатные столбцы которых найдены в п.5 (рис.4.54).


9. Строим однополостный гиперболоид (рис.4.54,а), конус (рис.4.54,б), двуполостный гиперболоид (рис.4.54,в) в канонической системе координат [math]O'x'y'z'[/math] по каноническому уравнению, найденному в пункте 7.


Однополостный гиперболоид, конус, двуполостный гиперболоид в канонической системе координат



Пример 4.23. Поверхность второго порядка задана в прямоугольной системе координат [math]Oxyz[/math] уравнением

[math]-2x^2-2y^2+4z^2-20xy-8xz+8yz-26x-22y-4z-12=0[/math]

Найти канонический вид уравнения поверхности и каноническую систему координат.


▼ Решение

Составляем матрицу [math]P[/math] квадратичной функции, матрицу [math]A[/math] квадратичной формы и столбец [math]a[/math] коэффициентов линейной формы:


[math]P=\begin{pmatrix}-2&-10&-4&-13\\-10&-2&4&-11\\-4&4&4&-2\\-13&-11&-2&-12\end{pmatrix}\!,\quad A=\begin{pmatrix}-2&-10&-4\\-10&-2&4\\-4&4&4\end{pmatrix}\!,\quad a=\begin{pmatrix}-13\\-11\\-2\end{pmatrix}\!.[/math]

2. Вычисляем инварианты:


[math]\begin{gathered}\tau_1=a_{11}+a_{22}+a_{33}=-2-2+4=0, \quad \tau_2= \begin{vmatrix}\,a_{11}&a_{12}\\a_{12}&a_{22}\,\end{vmatrix}+ \begin{vmatrix}\,a_{11}&a_{13}\\a_{13}&a_{33}\,\end{vmatrix}+ \begin{vmatrix}\,a_{22}&a_{23}\\a_{23}&a_{33}\,\end{vmatrix}=\\[3pt] =\begin{vmatrix}\,-2&-10\\-10&-2\,\end{vmatrix}+ \begin{vmatrix}\,-2&-4\\-4&4\,\end{vmatrix}+ \begin{vmatrix}\,-2&4\\4&4\,\end{vmatrix}=-96-24-24=-144,\\[3pt] \delta=\begin{vmatrix}\,a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{12}&a_{22}&a_{23}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}\,\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}\,-2&-10&-4\\-10&-2&4\\-4&4&4\,\end{vmatrix}=0,\\[3pt] \Delta=\begin{vmatrix}\,-2&-10&-4&-13\\-10&-2&4&-11\\-4&4&4&-2\\-13&-11&-2&-12\,\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}\,24&-36&-30&-13\\12&-24&-18&-11\\0&0&0&-2\\11&-35&-26&-12\,\end{vmatrix}= (-1)^{4+3}(-2)\begin{vmatrix}\,24&-36&-30\\12&-24&-18\\11&-35&-26\,\end{vmatrix}=864.\end{gathered}[/math]

Составляем характеристическое уравнение: [math]-\lambda^3+144\lambda=0[/math]. Его корни: [math]\lambda=0,~\lambda=\pm12[/math].


3. По таблице 4.3 определяем, что поверхность параболического типа ([math]\Delta=0[/math], т.е. характеристическое уравнение имеет нулевой корень). Поскольку [math]\Delta>0[/math], заданная поверхность — гиперболический параболоид (8).


4. Поскольку поверхность параболического типа, корни характеристического уравнения обозначим следующим образом (см. п.4,"в" алгоритма): [math]\lambda_3=0[/math] — единственный нулевой корень; так как ненулевые корни разных знаков и [math]\Delta\ne0[/math], то [math]\lambda_1=12[/math], тогда [math]\lambda_2=-12[/math].


5. Находим взаимно ортогональные собственные направления [math]l_1,\,l_2,\,l_3[/math], соответствующие корням [math]\lambda_1,\,\lambda_2,\,\lambda_3[/math] характеристического уравнения. Поскольку все корни простые, то для каждого из них находим ненулевое решение однородной системы [math](A-\lambda_i\cdot E)\cdot l_i=o,[/math] [math]i=1,2,3:[/math]


для [math]\lambda_1=12[/math]
[math]\begin{pmatrix}-2-12&-10&-4\\-10&-2-12&4\\-4&4&4-12\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\!=\! \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\!\quad \Leftrightarrow\quad \begin{cases}x=1,\\y=-1,\\z=-1,\end{cases} \Leftrightarrow\quad l_1=\begin{pmatrix}1\\-1\\-1\end{pmatrix}\!;[/math]

для [math]\lambda_2=-12[/math]
[math]\begin{pmatrix}-2+12&-10&-4\\-10&-2+12&4\\-4&4&4+12\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\!=\! \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\!\quad \Leftrightarrow\quad \begin{cases}x=1,\\y=1,\\z=0,\end{cases} \Leftrightarrow\quad l_2=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\!;[/math]

для [math]\lambda_3=0[/math]
[math]\begin{pmatrix}-2&-10&-4\\-10&-2&4\\-4&4&4\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\!=\! \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\!\quad \Leftrightarrow\quad \begin{cases}x=-1,\\y=1,\\z=-2,\end{cases} \Leftrightarrow\quad l_3=\begin{pmatrix}-1\\1\\-2\end{pmatrix}\!.[/math]

Так как [math]\lambda_3=0[/math] и корни [math]\lambda_1[/math] и [math]\lambda_2[/math] имеют разные знаки, то направление [math]l_3[/math] должно удовлетворять дополнительному условию [math]a^T\cdot l_3\leqslant0[/math]. Найденное направление [math]l_3[/math] этому условию не удовлетворяет:


[math]a^T\cdot l_3=\begin{pmatrix}-13&-11&-2\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}-1\\1\\-2\end{pmatrix}\!=6>0.[/math]

Поэтому его нужно заменить на противоположное, положив [math]l_3=\begin{pmatrix}1&-1&2\end{pmatrix}^T[/math].


Нормируя полученные векторы [math]l_1,\,l_2,\,l_3[/math], определяем координатные столбцы векторов канонического базиса:


[math]\begin{gathered}|l_1|=\sqrt{3},\quad|l_2|=\sqrt{2},\quad|l_3|=\sqrt{6},\\[3pt] s_1=\frac{l_1}{|l_1|}=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{\sqrt{3}}\\[9pt]-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\\[9pt]-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\end{pmatrix}\!,\quad s_2=\frac{l_2}{|l_2|}=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\[9pt]\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\[9pt]0\end{pmatrix}\!,\quad s_3=\frac{l_3}{|l_3|}=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{\sqrt{6}}\\[9pt]-\dfrac{1}{\sqrt{6}}\\[9pt]\dfrac{2}{\sqrt{6}}\end{pmatrix}\!.\end{gathered}[/math]

6. Так как заданная поверхность (параболоид) не имеет центра, то составляем систему уравнений для нахождения координат [math]x_0,\,y_0,\,z_0[/math] начала [math]O'[/math] канонической системы координат (см. п.6,"б" алгоритма). Вычисляем


[math]\begin{gathered}a^T\cdot s_3= \begin{pmatrix}-13&-11&-2\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}\dfrac{1}{\sqrt{6}}\\[9pt]-\dfrac{1}{\sqrt{6}}\\[9pt]\dfrac{2}{\sqrt{6}}\end{pmatrix}\!=-\sqrt{6};\quad a_{\text{pr}}= (a^T\cdot s_3)\cdot s_3= -\sqrt{6}\cdot\! \begin{pmatrix}\dfrac{1}{\sqrt{6}}\\[9pt]-\dfrac{1}{\sqrt{6}}\\[9pt]\dfrac{2}{\sqrt{6}}\end{pmatrix}\!=\! \begin{pmatrix}-1\\[5pt]1\\[5pt]-2\end{pmatrix}\!;\\[3pt] s_1^T\cdot a= \begin{pmatrix}\dfrac{1}{\sqrt{3}}&-\dfrac{1}{\sqrt{3}}&-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}-13\\[2pt]-11\\[2pt]-2\end{pmatrix}\!=0;\quad s_2^T\cdot a= \begin{pmatrix}\dfrac{1}{\sqrt{2}}&\dfrac{1}{\sqrt{2}}&0\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}-13\\[2pt]-11\\[2pt]-2\end{pmatrix}\!=-\frac{24}{\sqrt{2}};\\[3pt] a+a_{\text{pr}}= \begin{pmatrix}-13\\[2pt]-11\\[2pt]-2\end{pmatrix}\!+\! \begin{pmatrix}-1\\[2pt]1\\[2pt]-2\end{pmatrix}\!=\! \begin{pmatrix}-14\\[2pt]-10\\[2pt]-4\end{pmatrix}\!.\end{gathered}[/math]

Решаем систему уравнений


[math]\begin{cases}\lambda_1\cdot s_1^T\cdot s+s_1^T\cdot a=0,\\\lambda_2\cdot s_2^T\cdot s+s_2^T\cdot a=0,\\[3pt] (a+a_{\text{pr}})^T\cdot s+a_0=0,\end{cases}\Leftrightarrow\! \begin{cases}12\cdot(x_0-y_0-z_0)=0,\\[3pt] -12\cdot(x_0+y_0)-24=0,\\[3pt] -14\cdot x_0-10\cdot y_0-4\cdot z_0-12=0.\end{cases}[/math]

Эта система имеет единственное решение [math]x_0=0,~y_0=-2,~z_0=2[/math]. Следовательно, вектор [math]\vec{s}=\overrightarrow{OO'}[/math] переноса начала координат имеет координаты [math]s=\begin{pmatrix}0&-2&2\end{pmatrix}^T[/math] или, что то же самое, начало [math]O'[/math] канонической системы координат имеет координаты [math]O'(0,-2,2)[/math] в исходной системе координат.


Согласно п.1 замечаний 4.16, начало канонической системы координат можно найти, решая систему


[math]\begin{cases}A\cdot s+a_{\perp}=o,\\[3pt] (a+a_{\perp})^T\cdot s+a_0=0,\end{cases} \Leftrightarrow\quad\! \begin{cases}-2x_0-10y_0-4z_0-12=0,\\ -10x_0-2y_0+4z_0-12=0,\\ -4x_0+4y_0+4z_0+0=0,\\ -14x_0-10y_0-4z_0-12=0,\end{cases}[/math]
где
[math]a_{\perp}=a-a_{\text{pr}}= \begin{pmatrix}-13\\-11\\-2\end{pmatrix}- \begin{pmatrix}-1\\1\\-2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-12\\-12\\0\end{pmatrix}\!.[/math]

7. Вычисляем коэффициенты канонического уравнения (8) гиперболического параболоида (см. п.7,"в" алгоритма):


[math]a^2=\sqrt{-\frac{\Delta}{\lambda_1^2\cdot\tau_2}}= \sqrt{-\frac{864}{12^2\cdot(-144)}}= \frac{\sqrt{6}}{12}, \quad b^2=\sqrt{-\frac{\Delta}{\lambda_2^2\cdot\tau_2}}= \sqrt{-\frac{864}{(-12)^2\cdot(-144)}}= \frac{\sqrt{6}}{12}.[/math]

Следовательно, каноническое уравнение заданной поверхности имеет вид


[math]\frac{(x')^2}{\sqrt{6}/12}-\frac{(y')^2}{\sqrt{6}/12}=2\cdot z'.[/math]

8. В координатном пространстве [math]Oxyz[/math] изображаем каноническую систему координат [math]O'x'y'z'[/math] с началом в точке [math]O'(0,-2,2)[/math] и ба зисными векторами [math]\vec{s}_1,\,\vec{s}_2,\,\vec{s}_3[/math], координатные столбцы которых найдены в п.5 (рис.4.55).


9. Строим гиперболический параболоид в канонической системе координат [math]O'x'y'z'[/math] по каноническому уравнению, найденному в пункте 7 (рис.4.55).


Гиперболические параболоид и цилиндр, параболический цилиндр в канонической системе координат



Пример 4.24. Поверхность второго порядка задана в прямоугольной системе координат [math]Oxyz[/math] уравнением

[math]8\cdot y^2+4\cdot x\cdot y+2\cdot x\cdot z+4\cdot y\cdot z+4\cdot x+8\cdot y-9=0.[/math]

Найти канонический вид уравнения поверхности и каноническую систему координат.


▼ Решение

Составляем матрицу [math]P[/math] квадратичной функции, матрицу [math]A[/math] квадратичной формы и столбец [math]a[/math] коэффициентов линейной формы:


[math]P=\begin{pmatrix}0&2&1&2\\2&8&2&4\\1&2&0&0\\2&4&0&-9\end{pmatrix}\!,\quad A=\begin{pmatrix}0&2&1\\2&8&2\\1&2&0\end{pmatrix}\!,\quad a=\begin{pmatrix}2\\4\\0\end{pmatrix}\!.[/math]

2. Вычисляем инварианты: [math]\tau_1=a_{11}+a_{22}+a_{33}=0+8+0=8,[/math]


[math]\begin{gathered}\tau_2= \begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{12}&a_{22}\end{vmatrix}+ \begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{13}&a_{33}\end{vmatrix}+ \begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{12}&a_{22}\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}0&2\\2&8\end{vmatrix}+ \begin{vmatrix}0&1\\1&0\end{vmatrix}+ \begin{vmatrix}8&2\\2&0\end{vmatrix}=-9;\\[3pt] \delta= \begin{vmatrix}\,a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{12}&a_{22}&a_{23}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}\,\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}\,0&2&1\\2&8&2\\1&2&0\,\end{vmatrix}=0;\\[3pt] \Delta= \begin{vmatrix}\,0&2&1&2\\2&8&2&4\\1&2&0&0\\2&4&0&-9\,\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}\,0&2&1&2\\2&8&2&4\\1&2&0&0\\0&0&0&-9\,\end{vmatrix}= (-1)^{4+4}(-9)\delta=0. \end{gathered}[/math]

Так как [math]\Delta=\delta=0[/math], то вычисляем


[math]\begin{aligned}\kappa_2&= \begin{vmatrix}\,a_{11}&a_{12}&a_1\\a_{12}&a_{22}&a_2\\a_1&a_2&a_0\,\end{vmatrix}+ \begin{vmatrix}\,a_{11}&a_{13}&a_1\\a_{13}&a_{33}&a_3\\a_1&a_3&a_0\,\end{vmatrix}+ \begin{vmatrix}\,a_{22}&a_{23}&a_2\\a_{23}&a_{33}&a_3\\a_2&a_3&a_0\,\end{vmatrix}=\\[3pt] &=\begin{vmatrix}\,0&2&2\\2&8&4\\2&4&-9\,\end{vmatrix}+ \begin{vmatrix}\,0&1&2\\1&0&0\\2&0&-9\,\end{vmatrix}+ \begin{vmatrix}\,8&2&4\\2&0&0\\4&0&-9\,\end{vmatrix}=81. \end{aligned}[/math]

Составляем характеристическое уравнение: [math]-\lambda^3+ 8\lambda^2+ 9\lambda=0[/math]. Его корни: [math]\lambda=-1,~\lambda=0,~\lambda=9[/math].


3. По таблице 4.3 определяем, что поверхность параболического типа ([math]\Delta=0[/math], т.е. характеристическое уравнение имеет нулевой корень). Поскольку [math]\Delta=0[/math], то поверхность цилиндрическая. Так как [math]\tau_2<0[/math] и [math]\kappa_2\ne0[/math], то заданная поверхность — гиперболический цилиндр.


4. Поскольку поверхность параболического типа, корни характеристического уравнения обозначим следующим образом (см. п.4,"в" алгоритма): [math]\lambda_3=0[/math] — единственный нулевой корень; так как ненулевые корни разных знаков и [math]\Delta=0[/math], а [math]\kappa_2=81>0[/math], то [math]\lambda_1=9[/math], чтобы выполнялось условие [math]\lambda_1\cdot\kappa_2>0[/math], тогда [math]\lambda_2=-1[/math].


5. Находим взаимно ортогональные собственные направления [math]l_1,\,l_2,\,l_3[/math], соответствующие корням [math]\lambda_1,\,\lambda_2,\,\lambda_3[/math] характеристического уравнения. Поскольку все корни простые, то для каждого из них находим ненулевое решение однородной системы [math](A-\lambda_i\cdot E)\cdot l_i=o,[/math] [math]i=1,2,3:[/math]


для [math]\lambda_1=9[/math]

[math]\begin{pmatrix}0-9&2&1\\2&8-9&2\\1&2&0-9\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\!=\! \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\! \Leftrightarrow\quad\! \begin{cases}x=1,\\y=4,\\z=1,\end{cases} \Leftrightarrow\quad l_1= \begin{pmatrix} 1\\4\\1\end{pmatrix}\!;[/math]

для [math]\lambda_2=-1[/math]

[math]\begin{pmatrix}0+1&2&1\\2&8+1&2\\1&2&0+1 \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\!=\! \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\! \Leftrightarrow\quad\! \begin{cases}x=-1,\\y=0,\\z=1,\end{cases} \Leftrightarrow\quad l_2=\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}\!;[/math]

для [math]\lambda_3=0[/math]

[math]\begin{pmatrix} 0&2&1\\2&8&2\\1&2&0 \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\!=\! \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\! \Leftrightarrow\quad\! \begin{cases}x=2,\\y=-1,\\z=2,\end{cases} \Leftrightarrow\quad l_3=\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}\!.[/math]

Так как [math]\lambda_3=0[/math] и корни [math]\lambda_1[/math] и [math]\lambda_2[/math] имеют разные знаки, то направление [math]l_3[/math] должно удовлетворять дополнительному условию [math]a^T\cdot l_3\leqslant0[/math]. Найденное направление [math]l_3[/math] этому условию удовлетворяет:


[math]a^T\cdot l_3= \begin{pmatrix}2&4&0\end{pmatrix}^T\cdot\! \begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}=0.[/math]

Нормируя полученные векторы [math]l_1,\,l_2,\,l_3[/math], определяем координатные столбцы векторов канонического базиса:


[math]\begin{gathered}|l_1|=3\sqrt{2},\quad |l_2|=\sqrt{2},\quad |l_3|=3,\\[3pt] s_1=\frac{1}{|l_1|}\cdot l_1\cdot\! \begin{pmatrix}\dfrac{1}{3\sqrt{2}}\\[9pt] \dfrac{4}{3\sqrt{2}}\\[9pt] \dfrac{1}{3\sqrt{2}}\end{pmatrix}\!,\quad s_2=\frac{1}{|l_2|}\cdot l_2\cdot\! \begin{pmatrix}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\[9pt] 0\\[9pt] \dfrac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}\!,\quad s_3=\frac{1}{|l_3|}\cdot l_3\cdot\! \begin{pmatrix}\dfrac{2}{3}\\[9pt] -\dfrac{1}{3}\\[9pt] \dfrac{2}{3}\end{pmatrix}\!.\end{gathered}[/math]

6. Так как заданная поверхность (гиперболический цилиндр) не являет ся центральной (она имеет прямую центров), то достаточно найти любое решение [math]s=\begin{pmatrix}x_0&y_0&z_0\end{pmatrix}^T[/math] системы уравнений (см. п.6,"а" алгоритма):


[math]A\cdot s+a=o,[/math] или [math]\begin{cases}0\cdot x+2\cdot y+1\cdot z+2=0,\\ 2\cdot x+8\cdot y+2\cdot z+4=0,\\ 1\cdot x+2\cdot y+0\cdot z+0=0.\end{cases}[/math]

Возьмем, например, решение [math]x_0=0,~y_0=0,~z_0=-2[/math]. Следовательно, вектор [math]\vec{s}=\overrightarrow{OO'}[/math] переноса начала координат имеет координаты [math]s=\begin{pmatrix}0&0&-2\end{pmatrix}^T[/math] или, что то же самое, начало [math]O'[/math] канонической системы координат имеет координаты [math]O'(0,0,-2)[/math] относительно исходной системы координат.


7. Вычисляем коэффициенты канонического уравнения (12) гиперболического цилиндра (см. п.7,"в" алгоритма):


[math]a^2=-\frac{\kappa_2}{\lambda_1\cdot\tau_2}=-\frac{81}{9\cdot(-9)}=1,\quad b^2=\frac{\kappa_2}{\lambda_2\cdot\tau_2}=\frac{81}{(-1)\cdot(-9)}=9.\quad[/math]

Следовательно, каноническое уравнение заданной поверхности имеет вид


[math]\frac{(x')^2}{1^2}-\frac{(y')^2}{3^2}=1.[/math]

8. В координатном пространстве [math]Oxyz[/math] изображаем каноническую систему координат [math]O'x'y'z'[/math] с началом в точке [math]O'(0,0,-2)[/math] и базисными векторами [math]\vec{s}_1,\,\vec{s}_2,\,\vec{s}_3[/math], координатные столбцы которых найдены в п.5 (рис.4.56).


9. Строим гиперболический цилиндр в канонической системе координат [math]O'x'y'z'[/math] по каноническому уравнению, найденному в п.7 (рис.4.56 см. выше).


Пример 4.25. Поверхность второго порядка задана в прямоугольной системе координат [math]Oxyz[/math] уравнением
[math]4\cdot x^2+y^2+9\cdot z^2+4\cdot x\cdot y-12\cdot x\cdot z-6\cdot y\cdot z+6\cdot x-2\cdot y-6\cdot z+11=0.[/math]

Найти канонический вид уравнения поверхности и каноническую систему координат.

▼ Решение

Найти канонический вид уравнения поверхности и каноническую систему координат.


Составляем матрицу [math]P[/math] квадратичной функции, матрицу [math]A[/math] квадратичной формы и столбец [math]a[/math] коэффициентов линейной формы:


[math]P=\begin{pmatrix}4&2&-6&3\\ 2&1&-3&-1\\-6&-3&9&-3\\ 3&-1&-3&11 \end{pmatrix}\!,\qquad A=\begin{pmatrix}4&2&-6\\ 2&1&-3\\-6&-3&9 \end{pmatrix}\!,\qquad a=\begin{pmatrix}3&-1&-3 \end{pmatrix}\!.[/math]

2. Вычисляем инварианты:


[math]\begin{aligned}&\tau_1= a_{11}+a_{22}+a_{33}= 4+1+9=14,\\[4pt] &\tau_2= \begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a_{12}&a_{22} \end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\ a_{13}&a_{33} \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\ a_{23}&a_{33} \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 4&2\\2&1 \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix}4&-6\\-6&9 \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix}1&-3\\-3&9\end{vmatrix}=0+0+0=0,\\[4pt] &\delta= \begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{12}&a_{22}&a_{23}\\ a_{13}&a_{23}&a_{33} \end{vmatrix}= \begin{vmatrix}4&2&-6\\ 2&1&-3\\-6&-3&9\end{vmatrix}=0,\\[4pt] &\Delta= \begin{vmatrix}4&2&-6&3\\ 2&1&-3&-1\\-6&-3&9&-3\\ 3&-1&-3&11\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}0&0&0&5\\ 2&1&-3&-1\\0&0&0&-6\\ 3&-1&-3&11\end{vmatrix}= (-1)^{1+4}\cdot5\cdot \begin{vmatrix}2&1&-3\\ 0&0&0\\ 3&-1&-3\end{vmatrix}=0. \end{aligned}[/math]

Так как [math]\Delta= \delta=0[/math], то вычисляем семиинвариант:


[math]\begin{aligned}\kappa_2&= \begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{1}\\ a_{12}&a_{22}&a_{2}\\ a_{1}& a_{2}&a_{0}\end{vmatrix}+ \begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}&a_{1}\\ a_{13}&a_{33}&a_{3}\\ a_{1}& a_{3}&a_{0} \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} a_{22}&a_{23}&a_{2}\\ a_{23}&a_{33}&a_{3}\\ a_{2}& a_{3}&a_{0} \end{vmatrix}=\\ &=\begin{vmatrix}4&2&3\\2&1&-1\\ 3&-1&11\end{vmatrix}+ \begin{vmatrix}4&-6&3\\-6&9&-3\\ 3&-3&11 \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix}1&-3&-1\\-3&9&-3\\-1&-3&11\end{vmatrix}=-25-9-36=-70. \end{aligned}[/math]

Составляем характеристическое уравнение [math]-\lambda^3+14 \lambda^2=0[/math].Его корни [math]\lambda=0[/math] (двойной корень) и [math]\lambda=14[/math] (простой корень).


3. По таблице 4.3 определяем, что поверхность параболического типа ([math]\delta=0[/math], то есть характеристическое уравнение имеет нулевой корень). Поскольку [math]\Delta=0[/math], то поверхность цилиндрическая. Так как [math]\tau_2=0[/math] и [math]\kappa_2\ne0[/math], то заданная поверхность - параболический цилидр.


4. Поскольку поверхность параболического типа, корни характеристического уравнения обозначим следующим образом (см. п.4,"в" алгоритма): [math]\lambda_1= \lambda_3=0[/math] - двойной нулевой корень; тогда [math]\lambda_2=14[/math].


5. Находим взаимно ортогональные собственные направления [math]l_1,\,l_2,\,l_3[/math], соответствующие корням [math]\lambda_1,\,\lambda_2,\,\lambda_3[/math] характеристического уравнения. Поскольку [math]\lambda_1=\lambda_3=0[/math] - двойной нулевой корень (см. п.5,"г" алгоритма), то находим направление [math]l_2[/math], соответствующее простому корню [math]\lambda_2=14[/math], как ненулевое решение системы [math](A-\lambda_2\cdot E)\cdot l_2=o\colon[/math]


[math]\begin{pmatrix}4-14&2&-6\\ 2&1-14&-3\\-6&-3&9-14 \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0\\0\\0 \end{pmatrix}\quad \Rightarrow\quad \begin{cases}x=-2,\\ y=-1,\\ z=3,\end{cases} \Rightarrow\quad l_2=\begin{pmatrix}-2\\-1\\3\end{pmatrix}\!.[/math]

Вычисляем [math]a^T\cdot l_2= \begin{pmatrix}3&-1&-3\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}-2\\-1\\3 \end{pmatrix}=-14;~ |l_2|^2=14;[/math]


[math]a_{\text{pr}}= a-\frac{a^T\cdot l_2}{|l_2|^2}\cdot l_2= \begin{pmatrix}3\\-1\\-3 \end{pmatrix}-\frac{-14}{14}\cdot\! \begin{pmatrix}-2\\-1\\3\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1\\-2\\0 \end{pmatrix}\!.[/math]

Так как [math]a_{\text{pr}}\ne o[/math], то направление [math]l_1=-\tau_1\cdot a_{\text{pr}}=-14\cdot a_{\text{pr}}= \begin{pmatrix}-14&28&0 \end{pmatrix}^T[/math]. Направление [math]l_3[/math] находим, вычисляя векторное произведение


[math]\vec{l}_3=\vec{l}_1\times \vec{l}_2= \begin{vmatrix}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\-14&28&0\\-2&-1&3\end{vmatrix}= 84\,\vec{i}+ 42\,\vec{j}+ 70\,\vec{k}[/math]. Следовательно, [math]l_3= \begin{pmatrix}84&42&70 \end{pmatrix}^T[/math].

Нормируя полученные векторы [math]l_1,\,l_2,\,l_3[/math], определяем координатные столбцы векторов канонического базиса:


[math]\begin{gathered}|l_1|=14 \sqrt{5}\,,\qquad |l_2|=\sqrt{14}\,,\qquad |l_3|=14 \sqrt{70}\,,\\ s_1= \frac{l_1}{|l_1|}= \begin{pmatrix}-\dfrac{1}{\sqrt{5}}\\[9pt] \dfrac{2}{\sqrt{5}}\\[9pt]0 \end{pmatrix}\!,\qquad s_2= \frac{l_2}{|l_2|}= \begin{pmatrix}-\dfrac{2}{\sqrt{14}}\\[9pt]-\dfrac{1}{\sqrt{14}}\\[9pt] \dfrac{3}{\sqrt{14}} \end{pmatrix}\!,\qquad s_3= \frac{l_3}{|l_3|}= \begin{pmatrix}\dfrac{6}{\sqrt{70}}\\[9pt]\dfrac{3}{\sqrt{70}}\\[9pt] \dfrac{5}{\sqrt{70}} \end{pmatrix}\!. \end{gathered}[/math]

6. Так как заданная поверхность (параболический цилиндр) не имеет центров, то составляем систему уравнений для нахождения координат [math]x_0,y_0,z_0[/math] начала [math]O'[/math] канонической системы координат (см. п.6,"б" алгоритма). Учитывая п.5, вычисляем


[math]a_{\text{pr}}= \begin{pmatrix}1\\-2\\0 \end{pmatrix}\!,\quad a+a_{\text{pr}}= \begin{pmatrix}3\\-1\\-3\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}1\\-2\\0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}4\\-3\\-3 \end{pmatrix}\!,\quad s_2^T\cdot a= \begin{pmatrix}-\dfrac{2}{\sqrt{14}}&-\dfrac{1}{\sqrt{14}}& \dfrac{3}{\sqrt{14}}\end{pmatrix}^T\cdot\! \begin{pmatrix}3\\-1\\-3 \end{pmatrix}=-\sqrt{14}\,.[/math]

Решаем систему уравнений

[math]\left\{\! \begin{aligned}& \lambda_2\cdot s_2^T\cdot s+ s_2^T\cdot a=0,\\ &(a+ a_{\text{pr}})^T\cdot s+a_0=0, \end{aligned}\right.\quad \Leftrightarrow\quad \left\{\! \begin{aligned}&-2\cdot x_0-y_0+3\cdot z_0-1=0,\\ &4\cdot x_0-3\cdot y_0-3\cdot z_0+11=0. \end{aligned}\right.[/math]

Эта система имеет бесконечно много решений. Возьмем, например, решение [math]x_0=-5,~ y_0=0,~ z_0=-3[/math]. Следовательно, вектор [math]\vec{s}= \overrightarrow{OO'}[/math] переноса начала координат имеет координаты [math]s=\begin{pmatrix}-5&0&-3\end{pmatrix}^T[/math] или, что то же самое, начало [math]O'[/math] канонической системы координат имеет координаты [math]O'(-5,0,-3)[/math] в исходной системе координат.


Согласно п.1 замечаний 4.16, начало канонической системы координат
можно найти, решая систему уравнений


[math]\left\{\! \begin{aligned}&A\cdot s+a_{\perp}=o,\\ &(a+a_{\text{pr}})^T\cdot s+a_0=0, \end{aligned}\right.~\Leftrightarrow~ \left\{\! \begin{aligned}&4\,x_0+ 2\,y_0-6\,z_0+2=0,\\ &2\,x_0+ 1\,y_0-3\,z_0+1=0,\\ &-6\,x_0-3\,y_0+9\,z_0-3=0,\\ &4\,x_0-3\,y_0-3\,z_0+11=0, \end{aligned}\right.[/math], где [math]a_{\perp}-a_{\text{pr}}= \begin{pmatrix}3\\-1\\-3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\-2\\0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}2\\1\\-3 \end{pmatrix}[/math].

7. Вычисляем параметр канонического уравнения (14) параболического цилиндра (см. п.7,"в" алгоритма):


[math]p= \sqrt{-\frac{\kappa_2}{\tau_1^3}}=\sqrt{-\frac{-70}{14^3}}= \sqrt{\frac{5}{14^2}}= \frac{\sqrt{5}}{14}\,.[/math]

Следовательно, каноническое уравнение заданной поверхности имеет вид


[math](y')^2=2\cdot \frac{\sqrt{5}}{14}\cdot x'[/math] (рис.4.57).

8. В координатном пространстве [math]Oxyz[/math] изображаем каноническую систему координат [math]O'x'y'z'[/math] с началом в точке [math]O'(-5,0,-3)[/math] и базисными векторами [math]\vec{s}_1,\, \vec{s}_2,\, \vec{s}_3[/math], координатные столбцы которых найдены в п.5 (рис.4.57).


9. Строим параболический цилиндр в канонической системе координат [math]O'x'y'z'[/math] по каноническому уравнению, найденному в п.7 (рис.4.57).


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved