Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Приведение уравнения поверхности к каноническому виду по инвариантам

Приведение уравнения поверхности 2-го порядка
к каноническому виду по инвариантам


Рассмотрим задачу приведения к каноническому виду уравнения поверхности второго порядка, заданной в прямоугольной системе координат Oxyz уравнением (4.67):


a_{11}x^2+a_{22}y^2+a_{33}z^2+2a_{12}xy+2a_{13}xz+2a_{23}yz+2a_1x+2a_2y+2a_3z=0.
(4.73)

Требуется определить один из семнадцати возможных канонических видов поверхности (см. теорему 4.3), найти каноническую систему координат O'x'y'z', в которой уравнение поверхности имеет канонический вид, а затем построить поверхность в канонической и исходной системах координат. Построение, разумеется, производится только для вещественных поверхностей.


Алгоритм приведения уравнения поверхности 2-го порядка к каноническому виду


Для приведения поверхности второго порядка, заданной в прямоугольной системе координат Oxyz уравнением (4.73), к каноническому виду нужно выполнить следующие действия.


1. По уравнению (4.73) поверхности второго порядка составить матрицу P квадратичной функции, матрицу A квадратичной формы и столбец a коэффициентов линейной формы:


P= \begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_1\\a_{12}&a_{22}&a_{23}&a_2\\a_{13}&a_{23}&a_{33}&a_3\\a_1&a_2&a_3&a_0\end{pmatrix}\!, \quad A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{12}&a_{22}&a_{23}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{pmatrix}\!, \quad a=\begin{pmatrix} a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}\!.

2. Составить характеристическое уравнение -\lambda^3+\tau_1\lambda^2-\tau_2\lambda+\delta=0, либо вычисляя его коэффициенты по формулам: \tau_1=a_{11}+a_{22}+a_{33},


▼ Продолжение
\tau_2= \,\,\vline\,\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{12}&a_{22}\end{matrix}\,\vline\,\,+ \,\,\vline\,\begin{matrix}a_{11}&a_{13}\\a_{13}&a_{33}\end{matrix}\,\vline\,\,+\,\,\vline\,\begin{matrix}a_{22}&a_{23}\\a_{23}&a_{33}\end{matrix}\,\vline\,\,,\quad \delta=\det A=\,\,\vline\,\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{12}&a_{22}&a_{23}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{matrix}\,\,\vline\,,

либо разлагая определитель
\det(A-\lambda\cdot E)= \,\,\vline\,\begin{matrix}a_{11}-\lambda&a_{12}&a_{13}\\a_{12}&a_{22}-\lambda&a_{23}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}-\lambda\end{matrix}\,\,\vline\,= -\lambda^3+\tau_1\cdot\lambda^2-\tau_2\cdot\lambda+\delta.

Найти корни \lambda_1,\,\lambda_2,\,\lambda_3 (с учетом кратности) характеристического уравнения.


Вычислить инвариант
\Delta=\det{P}= \,\,\vline\,\begin{matrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_1\\ a_{12}&a_{22}& a_{23}&a_2\\ a_{13}&a_{23}&a_{33}&a_3\\a_1&a_2&a_3&a_0\end{matrix}\,\,\vline\,.

Если \delta=\Delta=0, то вычислить семиинвариант


\kappa_2= \,\,\vline\,\begin{matrix} a_{11}&a_{12}&a_1\\ a_{12}&a_{22}&a_2\\ a_1&a_2&a_0\end{matrix}\,\,\vline\,+ \,\,\vline\,\begin{matrix} a_{11}&a_{13}&a_1\\ a_{13}&a_{33}&a_3\\ a_1&a_3&a_0\end{matrix}\,\,\vline\,+ \,\,\vline\,\begin{matrix} a_{22}&a_{23}&a_2\\ a_{23}&a_{33}&a_3\\a_2&a_3&a_0\end{matrix}\,\,\vline\,.

Если \delta=\Delta=0 и \tau_1=\tau_2=0, то вычислить семиинвариант


\kappa_1= \,\,\vline\,\begin{matrix}a_{11}&a_1\\a_1&a_0\end{matrix}\,\,\vline\,+ \,\,\vline\,\begin{matrix}a_{22}&a_2\\a_2&a_0\end{matrix}\,\,\vline\,+ \,\,\vline\,\begin{matrix}a_{33}&a_3\\a_3&a_0\end{matrix}\,\,\vline\,.

3. По таблице 4.3 определить вид поверхности.


4. Занумеровать корни \lambda_1,\,\lambda_2,\,\lambda_3 характеристического уравнения в соответствии с правилами:


▼ Продолжение

а) если поверхность эллиптического типа, то |\lambda_1|\leqslant|\lambda_2|\leqslant|\lambda_3|;


б) если поверхность гиперболического типа, то обозначить через \lambda_1 и \lambda_2 корни одного знака так, чтобы |\lambda_1|\leqslant|\lambda_2|, а через \lambda_3 — корень противоположного знака;


в) если поверхность параболического типа, то


– если нулевой корень двойной, то \lambda_1=\lambda_3=0 и \lambda_2\ne0;

– если нулевой корень простой, а ненулевые корни одного знака, то \lambda_3=0 и |\lambda_1|\leqslant|\lambda_2|;

– если нулевой корень простой, а ненулевые корни разных знаков, то \lambda_3=0 и


либо \lambda_1>0, если \Delta\ne0 или \Delta=\kappa_2=0; либо \lambda_1\cdot\kappa_2>0, если \Delta=0 и \kappa_2\ne0.

5. Найти взаимно ортогональные собственные направления l_1,\,l_2,\,l_3, соответствующие корням \lambda_1,\,\lambda_2,\,\lambda_3 характеристического уравнения:


▼ Продолжение

а) если \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3, то базисные векторы исходной системы имеют искомые направления


l_1=\begin{pmatrix}1&0&0\end{pmatrix}^T, \quad l_2=\begin{pmatrix}0&1&0\end{pmatrix}^T, \quad l_3=\begin{pmatrix}0&0&1\end{pmatrix}^T;

б) если все корни \lambda_1,\,\lambda_2,\,\lambda_3 простые, то для каждого корня найти ненулевое решение однородной системы уравнений (A-\lambda_i\cdot E)\cdot l_i=o, i=1,2,3. Например, собственное направление l_3=\begin{pmatrix}x_3&y_3&z_3\end{pmatrix}^T для простого корня \lambda_3 находится как любое ненулевое решение системы


\begin{cases}(a_{11}-\lambda_3)\cdot x+a_{12}\cdot y+a_{13}\cdot z=0,\\[3pt] a_{12}\cdot x+(a_{22}-\lambda_3)\cdot y+a_{23}\cdot z=0,\\[3pt] a_{13}\cdot x+a_{23}\cdot y+(a_{33}-\lambda_3)\cdot z=0;\end{cases} или (A-\lambda_3\cdot E)\cdot l_3=o.

Если \lambda_3=0 и корни \lambda_1 и \lambda_2 имеют разные знаки (\lambda_1\cdot\lambda_2<0), то направление l_3 должно удовлетворять дополнительному условию a^T\cdot l_3\leqslant0, в противном случае следует заменить столбец l_3 на противоположный (-l_3).


Если \lambda_3=0 и корни \lambda_1 и \lambda_2 одного знака (\lambda_1\cdot\lambda_2>0), то направление l_3 должно удовлетворять дополнительному условию \tau_1\cdot a^T\cdot l_3<0, в противном случае следует заменить столбец l_3 на противоположный (-l_3);


в) если имеется двойной ненулевой корень \lambda_1=\lambda_2\ne\lambda_3, то для простого корня \lambda_3 найти соответствующий собственный вектор l_3 — любое не нулевое решение системы (A-\lambda_3\cdot E)\cdot l_3=o, а для кратного корня \lambda_1=\lambda_2 в качестве l_2 взять любой ненулевой столбец матрицы A-\lambda_3\cdot E, а вектор l_1 найти, используя векторное произведение: \vec{l}_1=[\,\vec{l}_2,\vec{l}_3\,];


г) если имеется двойной нулевой корень \lambda_1=\lambda_3=0, то направление l_2, соответствующее простому корню \lambda_2, найти как ненулевое решение системы (A-\lambda_2\cdot E)\cdot l_2=o. Вычислить проекцию аa_{\text{pr}}= a-\frac{a^T\cdot l_2}{|l_2|^2}\cdot l_2. Если a_{\text{pr}}=o, то направление l_1 найти как ненулевое решение системы A\cdot l_1=o. Если a_{\text{pr}}\ne o, то направление l_1=-\tau_1\cdot a_{\text{pr}}. Направление l_3 найти, используя векторное произведение: \vec{l}_3=[\,\vec{l}_1,\vec{l}_2\,].


Нормируя полученные векторы l_1,\,l_2,\,l_3, определить координатные s_1=\frac{1}{|l_1|}\cdot l_1, s_2=\frac{1}{|l_2|}\cdot l_2, s_3=\frac{1}{|l_3|}\cdot l_3 столбцы векторов \vec{s}_1,\,\vec{s}_2,\,\vec{s}_3 канонического базиса.


6. Найти координаты x_0,y_0,z_0 начала O' канонической системы координат:


▼ Продолжение

а) для поверхностей, имеющих хотя бы один центр (эллипсоидов, гиперболоидов, конусов, цилиндров, пар плоскостей), найти любое решение s=\begin{pmatrix}x_0&y_0&z_0\end{pmatrix}^T системы уравнений


A\cdot s+a=o или \begin{cases}a_{11}\cdot x+a_{12}\cdot y+a_{13}\cdot z+a_1=0,\\[3pt] a_{12}\cdot x+a_{22}\cdot y+a_{23}\cdot z+a_2=0,\\[3pt] a_{13}\cdot x+a_{23}\cdot y+a_{33}\cdot z+a_3=0.\end{cases}

б) для поверхностей, не имеющих ни одного центра, найти:


– в случаях эллиптического или гиперболического параболоидов решение s=\begin{pmatrix}x_0&y_0&z_0\end{pmatrix}^T системы


\begin{cases}\lambda_1\cdot s_1^T\cdot s+s_1^T\cdot a=0,\\[3pt] \lambda_2\cdot s_2^T\cdot s+s_2^T\cdot a=0,\\[3pt] (a+a_{\text{pr}})^T\cdot s+a_0=0.\end{cases} где a_{\text{pr}}=(a^T\cdot s_3)\cdot s_3;

– в случае параболического цилиндра — любое решение s=\begin{pmatrix}x_0&y_0&z_0\end{pmatrix}^T системы


\begin{cases}\lambda_2\cdot s_2^T\cdot s+s_2^T\cdot a=0,\\[3pt] (a+a_{\text{pr}})^T\cdot z+a_0=0,\end{cases} где a_{\text{pr}}= a-a_{\perp}=,~a_{\perp}=(a^T\cdot s_2)\cdot s_2.

7. Вычислить коэффициенты канонического уравнения:


▼ а) для поверхностей эллиптического типа:

(1) — при \Delta<0 — уравнение эллипсоида \frac{(x')^2}{a^2}+\frac{(y')^2}{b^2}+\frac{(z')^2}{c^2}=1 с коэффициентами


a^2=-\frac{\Delta}{\lambda_1\cdot\delta}, \quad b^2=-\frac{\Delta}{\lambda_2\cdot\delta}, \quad c^2=-\frac{\Delta}{\lambda_3\cdot\delta}\,;

(2) при \Delta>0 — уравнение мнимого эллипсоида \frac{(x')^2}{a^2}+\frac{(y')^2}{b^2}+\frac{(z')^2}{c^2}=-1 с коэффициентами


a^2=\frac{\Delta}{\lambda_1\cdot\delta}, \quad b^2=\frac{\Delta}{\lambda_2\cdot\delta}, \quad c^2=\frac{\Delta}{\lambda_3\cdot\delta}\,;

(3) при \Delta=0 — уравнение мнимого конуса \frac{(x')^2}{a^2}+\frac{(y')^2}{b^2}+\frac{(z')^2}{c^2}=0 с коэффициентами


a^2=\frac{1}{|\lambda_1|}, \quad b^2=\frac{1}{|\lambda_2|}, \quad c^2=\frac{1}{|\lambda_3|}\,;

▼ б) для поверхностей гиперболического типа:

(4) при \Delta>0 — уравнение однополостного гиперболоида \frac{(x')^2}{a^2}+\frac{(y')^2}{b^2}-\frac{(z')^2}{c^2}=1 с коэффициентами


a^2=-\frac{\Delta}{\lambda_1\cdot\delta}, \quad b^2=-\frac{\Delta}{\lambda_2\cdot\delta}, \quad c^2=\frac{\Delta}{\lambda_3\cdot\delta}\,;

(5) при \Delta<0 — уравнение двуполостного гиперболоида \frac{(x')^2}{a^2}+\frac{(y')^2}{b^2}-\frac{(z')^2}{c^2}=-1 с коэффициентами


a^2=\frac{\Delta}{\lambda_1\cdot\delta}, \quad b^2=\frac{\Delta}{\lambda_2\cdot\delta}, \quad c^2=-\frac{\Delta}{\lambda_3\cdot\delta}\,;

(6) при \Delta=0 — уравнение конуса \frac{(x')^2}{a^2}+\frac{(y')^2}{b^2}-\frac{(z')^2}{c^2}=0 с коэффициентами


a^2=\frac{1}{|\lambda_1|}, \quad b^2=\frac{1}{|\lambda_2|}, \quad c^2=\frac{1}{|\lambda_3|}\,;

▼ в) для поверхностей параболического типа:

(7) при \Delta<0 — уравнение эллиптического параболоида \frac{(x')^2}{a^2}+\frac{(y')^2}{b^2}=2z с коэффициентами


a^2=\sqrt{-\frac{\Delta}{\lambda_1^2\cdot\tau_2}},\quad b^2=\sqrt{-\frac{\Delta}{\lambda_2^2\cdot\tau_2}}\,;

(8) при \Delta>0 — уравнение гиперболического параболоида \frac{(x')^2}{a^2}-\frac{(y')^2}{b^2}=2z с коэффициентами


a^2=\sqrt{-\frac{\Delta}{\lambda_1^2\cdot\tau_2}},\quad b^2=\sqrt{-\frac{\Delta}{\lambda_2^2\cdot\tau_2}}\,;

(9) при \Delta=0,~\tau_2>0,~\tau_1\cdot\kappa_2<0 — уравнение эллиптического цилиндра \frac{(x')^2}{a^2}+\frac{(y')^2}{b^2}=1 с коэффициентами


a^2=-\frac{\kappa_2}{\lambda_1\cdot\tau_2}, \quad b^2=-\frac{\kappa_2}{\lambda_2\cdot\tau_2}\,;

(10) при \Delta=0,~\tau_2>0,~\tau_1\cdot\kappa_2>0 — уравнение мнимого эллиптического цилиндра \frac{(x')^2}{a^2}+\frac{(y')^2}{b^2}=-1 с коэффициентами


a^2=\frac{\kappa_2}{\lambda_1\cdot\tau_2}, \quad b^2=\frac{\kappa_2}{\lambda_2\cdot\tau_2}\,;

(11) при \Delta=0,~\tau_2>0,~\kappa_2=0 — уравнение пары мнимых пересекающихся плоскостей \frac{(x')^2}{a^2}+\frac{(y')^2}{b^2}=0 с коэффициентами


a^2=\frac{1}{|\lambda_1|}, \quad a^2=\frac{1}{|\lambda_2|}\,;

(12) при \Delta=0,~\tau_2<0,~\kappa_2\ne0 — уравнение гиперболического цилиндра \frac{(x')^2}{a^2}-\frac{(y')^2}{b^2}=1 с коэффициентами


a^2=-\frac{\kappa_2}{\lambda_1\cdot\tau_2}, \quad b^2=\frac{\kappa_2}{\lambda_2\cdot\tau_2}\,;

(13) при \Delta=0,~\tau_2<0,~\kappa_2=0 — уравнение пары пересекающихся плоскостей


\frac{(x')^2}{a^2}-\frac{(y')^2}{b^2}=0 с коэффициентами a^2=\frac{1}{\lambda_1},\quad b^2=-\frac{1}{\lambda_2}\,;

(14) при \Delta=0,~\tau_2=0,~\kappa_2\ne0 — уравнение параболического цилиндра


(y')^2=2px' с коэффициентом p=\sqrt{-\frac{\kappa_2}{\tau_1^3}};

(15) при \Delta=0,~\tau_2=0,~\kappa_2=0,~\kappa_1<0 — уравнение пары параллельных плоскостей


(y')^2-b^2=0 с коэффициентом b^2=-\frac{\kappa_1}{\tau_1^2};

(16) при \Delta=0,~\tau_2=0,~\kappa_2=0,~\kappa_1>0 — уравнение пары мнимых параллельных плоскостей


(y')^2+b^2=0 с коэффициентом b^2=\frac{\kappa_1}{\tau_1^2};

(17) при \Delta=0,~\tau_2=0,~\kappa_2=0,~\kappa_1=0 — уравнение пары совпадающих плоскостей (y')^2=0.


8. В координатном пространстве Oxyz изобразить каноническую систему координат O'x'y'z', координаты x_0,y_0,z_0 начала O' которой найдены в пункте 6, а координаты базисных векторов — в пункте 5.


9. Построить поверхность второго порядка в канонической системе координат O'x'y'z' по каноническому уравнению, найденному в п.7. Построение центральных поверхностей (эллипсоида, гиперболоидов, конуса) удобно начинать с изображения основного параллелепипеда (см. разд.4.4.2-4.4.4). При построении параболоидов, цилиндров и пар плоскостей использовать разд.4.4.5; 3.3.2-3.3.4, 4.2.1-4.2.5). Мнимые поверхности не изображаются, за исключением уравнения мнимого конуса или пары мнимых пересекающихся плоскостей, действительными решениями которых являются точка O' или ось O'z' соответственно.


Таблица 4.3. Классификация поверхностей второго порядка по инвариантам
Классификация поверхностей второго порядка по инвариантам



Замечания 4.16


1. Согласно пункту 3 замечаний 4.14 для нахождения начала координат параболоидов или параболического цилиндра (см. п.6,"б" алгоритма) можно использовать систему

\begin{cases}A\cdot s+a_{\perp}=o,\\[3pt](a+a_{\text{pr}})^T\cdot s+a_0=0,\end{cases}

где a_{\text{pr}}=(a^T\cdot s_3)\cdot s_3,~a_{\perp}=a-a_{\text{pr}} в случае эллиптического или гиперболического параболоидов; a_{\perp}=(a^T\cdot s_2)\cdot s_2, a_{\text{pr}}=a-a_{\perp} в случае параболического цилиндра.


2. Системы уравнений в п.6,"б" алгоритма можно записать в эквивалентном виде:


– в случаях эллиптического или гиперболического параболоидов:


\begin{cases}\lambda_1\cdot l_1^T\cdot s+l_1^T\cdot a_{\perp}=0,\\[3pt] \lambda_2\cdot l_2^T\cdot s+l_2^T\cdot a_{\perp}=0,\\[3pt] (a+a_{\text{pr}})^T\cdot s+a_0=0,\end{cases} где a_{\text{pr}}=(a^T\cdot s_3)\cdot s_3,~a_{\perp}=a-a_{\text{pr}};

– в случае параболического цилиндра:


\begin{cases}\lambda_2\cdot l_1^T\cdot s+l_1^T\cdot a_{\perp}=0,\\[3pt] (a+a_{\text{pr}})^T\cdot s+a_{\perp}=0,\end{cases} где a_{\text{pr}}=a-a_{\perp},~a_{\perp}=(a^T\cdot s_2)\cdot s_2.

3. Если требуется получить правую каноническую систему координат, а в результате применения алгоритма каноническая система координат оказалась левой, то достаточно изменить направление оси ординат на противоположное, т.е. заменить базисный вектор \vec{s}_2 на противоположный вектор (-\vec{s}_2).


4. Согласно пункту 6 замечаний 4.12, если известны корни \lambda_1,\,\lambda_2,\,\lambda_3 (с учетом кратности) характеристического уравнения, то инварианты можно вы числить по формулам (см. п.2 алгоритма):


\tau_1=\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3; \quad \tau_2=\lambda_1\cdot\lambda_2+\lambda_2\cdot\lambda_3+\lambda_1\cdot\lambda_3; \quad \delta=\lambda_1\cdot\lambda_2\cdot\lambda_3.



Примеры приведения уравнений поверхностей к каноническому виду по инвариантам


Пример 4.21. Поверхность второго порядка задана в прямоугольной системе координат Oxyz уравнением

2\cdot x^2+5\cdot y^2+5\cdot z^2+6\cdot y\cdot z+4\cdot x+16\cdot y+16\cdot z+10=0.

Найти канонический вид уравнения поверхности и каноническую систему координат.


▼ Решение

Составляем матрицу P квадратичной функции, матрицу A квадратичной формы и столбец a коэффициентов линейной формы:


P=\begin{pmatrix}2&0&0&2\\0&5&3&8\\0&3&5&8\\2&8&8&10\end{pmatrix}\!, \quad A=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&5&3\\0&3&5\end{pmatrix}\!, \quad a=\begin{pmatrix}2\\8\\8\end{pmatrix}\!.

2. Составляем характеристическое уравнение


\vline\,\,\begin{matrix}2-\lambda&0&0\\0&5-\lambda&3\\0&3&5-\lambda\end{matrix}\,\,\vline\,=0\quad \Leftrightarrow \quad (2-\lambda)[(5-\lambda)^2-9]=0\quad \Leftrightarrow \quad (2-\lambda)^2(8-\lambda)=0.

Находим его корни \lambda=2 (двойной корень) и \lambda=8 (простой корень). Учитывая п.4 замечаний 4.16, вычисляем инварианты:


\Delta= \,\,\vline\,\begin{matrix} 2&0&0&2\\0&5&3&8\\ 0&3&5&8\\2&8&8&10 \end{matrix}\,\,\vline\,= \,\,\vline\,\begin{matrix} 2&0&0&2\\0&5&3&8\\ 0&3&5&8\\ 2&8&8&10 \end{matrix}\,\,\vline\,= 2\cdot8\cdot\,\,\vline\,\begin{matrix} 5&3&8\\3&5&8\\ 1&1&1 \end{matrix}\,\,\vline\,= 16\cdot(-16)=-256.

3. По таблице 4.3 определяем, что поверхность эллиптического типа (все корни характеристического уравнения одного знака, что также подтверждается условиями \tau_2=36>0 и \tau_1\cdot\delta=12\cdot32>0). Поскольку \Delta=-256<0, заданная поверхность — эллипсоид.


4. Поскольку поверхность эллиптического типа, корни характеристического уравнения обозначим следующим образом (см. п.4,"а" алгоритма): \lambda_1=\lambda_2=2, \lambda_3=8, чтобы выполнялись неравенства |\lambda_1|\leqslant|\lambda_2|\leqslant|\lambda_3|.


5. Находим взаимно ортогональные собственные направления l_1,\,l_2,\,l_3, соответствующие корням \lambda_1,\,\lambda_2,\,\lambda_3 характеристического уравнения. Поскольку имеется двойной ненулевой корень \lambda_1=\lambda_2=2 (см. п.5,"в" алгоритма), то для простого корня \lambda_3=8 находим ненулевое решение l_3 однородной системы уравнений (A-8\cdot E)\cdot l_3=o:


\begin{cases}(2-8)\cdot x+0\cdot y+0\cdot z=0,\\0\cdot x+(5-8)\cdot y+3\cdot z=0,\\0\cdot x+3\cdot y+(5-8)\cdot z=0,\end{cases} или \begin{pmatrix}-6&0&0\\0&-3&3\\0&3&-3\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\!.

Возьмем, например, решение x=0,~y=1,~z=1, т.е. l_3=\begin{pmatrix}0&1&1\end{pmatrix}^T. В качестве направления l_2 принимаем первый (ненулевой) столбец матрицы A-8\cdot E: l_2=\begin{pmatrix}-6&0&0\end{pmatrix}^T. Направление l_1 определяем, используя векторное произведение:


\vec{l}_1= [\,\vec{l}_2,\vec{l}_3\,]= \,\,\vline\,\begin{matrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\-6&0&0\\0&1&1\end{matrix}\,\,\vline\,= 0\cdot\vec{i}+6\cdot\vec{j}-6\cdot\vec{k}, следовательно, l_1=\begin{pmatrix}0&6&-6\end{pmatrix}^T,

Нормируя полученные векторы l_1,\,l_2,\,l_3, определяем координатные столбцы векторов канонического базиса:


\begin{gathered}|l_1|=\sqrt{l_1^T\cdot l_1}=\sqrt{0^2+6^2+(-6)^2}=6\sqrt{2}, \quad |l_2|=\sqrt{l_2^T\cdot l_2}=\sqrt{6^2+0^2+0^2}=6,\\ |l_3|=\sqrt{l_3^T\cdot l_3}=\sqrt{0^2+1^2+1^2}=\sqrt{2},\\[5pt] s_1=\frac{l_1}{|l_1|}=\begin{pmatrix}0\\\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\[8pt] -\dfrac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}\!, \quad s_2=\frac{l_2}{|l_2|}=\begin{pmatrix}-1\\0\\0\end{pmatrix}\!, \quad s_3=\frac{l_3}{|l_3|}=\begin{pmatrix}0\\\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\[8pt] \dfrac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}\!. \end{gathered}

6. Находим координаты x_0,\,y_0,\,z_0 начала O' канонической системы координат, решая систему уравнений (см. п.6,"а" алгоритма):


A\cdot s+a=o или \begin{cases}2\cdot x+0\cdot y+0\cdot z+2=0,\\ 0\cdot x+5\cdot y+3\cdot z+8=0,\\ 0\cdot x+3\cdot y+5\cdot z+8=0.\end{cases}

Получаем x_0=-1,~y_0=-1,~z_0=-1. Следовательно, вектор \vec{s}=\overrightarrow{OO'} переноса начала координат имеет координаты s=\begin{pmatrix}-1&-1&-1\end{pmatrix}^T, или, что то же самое, начало O' канонической системы координат имеет координаты O'(-1,-1,-1) в исходной системе координат.


7. Вычисляем коэффициенты канонического уравнения (1) эллипсоида (см. п.7,"а!' алгоритма):


a^2=b^2= -\frac{\Delta}{\lambda_1\cdot\delta}=-\frac{-256}{2\cdot32}=4, \quad c^2=-\frac{\Delta}{\lambda_3\cdot\delta}=-\frac{-256}{8\cdot32}=1.

Следовательно, каноническое уравнение заданной поверхности имеет вид


\frac{(x')^2}{2^2}+\frac{(y')^2}{2^2}+\frac{(z')^2}{1^2}=1.

8. В координатном пространстве Oxyz изображаем каноническую систему координат O'x'y'y' с началом в точке O'(-1,-1,-1) и базисными векторами \vec{s}_1,\,\vec{s}_2,\,\vec{s}_3, координатные столбцы которых найдены в п.5 (рис.4.53).


9. Строим эллипсоид вращения в канонической системе координат O'x'y'y' по каноническому уравнению, найденному в п.7 (рис.4.53).


Эллипсоид вращения в канонической системе координат



Пример 4.22. Поверхность второго порядка задана в прямоугольной системе координат Oxyz уравнением

3x^2-7y^2+3z^2+8xy-8xz-8yz+10x-14y-6z+a_0=0,

где а) a_0=-8; б) a_0=-9; в) a_0=-10.


Найти канонический вид уравнения поверхности и каноническую систему координат.


▼ Решение

Составляем матрицу P квадратичной функции, матрицу A квадратичной формы и столбец а коэффициентов линейной формы:


P=\left(\!\!\!\begin{array}{*{20}{rrrr}}3&4&-4&5\\4&-7&-4&-7\\-4&-4&3&-3\\5&-7&-3&a_0\end{array}\!\right)\!,\quad A=\left(\!\!\begin{array}{*{20}{rrr}}3&4&-4\\4&-7&-4\\-4&-4&3\end{array}\!\right)\!,\quad a=\begin{pmatrix}5\\-7\\-3\end{pmatrix}\!.

2. Характеристическое уравнение имеет корни \lambda=-1,~\lambda=9,~\lambda=-9 (см. решение примера 4.18,"в"). Поэтому, учитывая п.4 замечаний 4.14, вычисляем инварианты:


\begin{aligned}\tau_1&=\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=-1+9-9=-1;\\[8pt] \tau_2&= \lambda_1\cdot\lambda_2+\lambda_2\cdot\lambda_3+\lambda_1\cdot\lambda_3= (-1)\cdot9+9\cdot(-9)+(-1)\cdot(-9)=-81;\\[8pt] \delta&= \lambda_1\cdot\lambda_2\cdot\lambda_3= (-1)\cdot9\cdot(-9)=81;\\[8pt] \Delta&= \begin{vmatrix}3&4&-4&5\\4&-7&-4&-7\\-4&-4&3&-3\\5&-7&-3&a_0\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}-1&0&-1&2\\0&-11&-1&-10\\-4&-4&3&-3\\1&-11&0&a_0-3\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}-1&0&-1&2\\0&-11&-1&-10\\0&-4&7&-11\\0&-11&-1&a_0-1\end{vmatrix}=\\ &=(-1)\cdot \begin{vmatrix}-11&-1&-10\\-4&7&-11\\-11&-1&a_0-1\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}11&1&10\\-4&7&-11\\-11&-1&a_0-1\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}11&1&10\\-81&0&-81\\0&0&a_0+9\end{vmatrix}= 81(a_0+9).\end{aligned}

3. По таблице 4.3 определяем, что поверхность гиперболического типа (корни характеристического уравнения имеют разные знаки). При a_0=-8 заданная поверхность — однополостный гиперболоид, так как \Delta=81>0; при a_0=-9 заданная поверхность — конус, так как \Delta=0; при a_0=-10 заданная поверхность — двуполостный гиперболоид, так как \Delta=-81<0.


4. Поскольку поверхность гиперболического типа, корни характеристического уравнения обозначим следующим образом (см. п.4,"б" алгоритма): \lambda_1=-1, \lambda_2=-9, т.е. \lambda_1 и \lambda_2 корни одного знака, причем |\lambda_1|\leqslant|\lambda_2|, а корень противоположного знака \lambda_3=9.


5. Находим взаимно ортогональные собственные направления l_1,\,l_2,\,l_3, соответствующие корням \lambda_1,\,\lambda_2,\,\lambda_3 характеристического уравнения. Поскольку все корни простые, то для каждого из них находим ненулевое решение однородной системы (A-\lambda_i\cdot E)\cdot l_i=o, i=1,2,3. Учитывая решение примера 4.18,"в", получаем


l_1=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\!,\quad l_2=\begin{pmatrix}-1\\4\\1\end{pmatrix}\!,\quad l_3=\begin{pmatrix}2\\1\\-2\end{pmatrix}\!.

Нормируя полученные векторы l_1,\,l_2,\,l_3, определяем координатные столбцы векторов канонического базиса:


\begin{gathered}|l_1|=\sqrt{1^2+0^2+1^2}=\sqrt{2},\quad |l_2|=\sqrt{(-1)^2+4^2+1^2}=3\sqrt{2},\quad |l_3|=\sqrt{2^2+1^2+(-2)^2}=3,\\[5pt] s_1=\frac{l_1}{|l_1|}=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\[8pt]0\\[4pt]\dfrac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}\!,\quad s_2=\frac{l_2}{|l_2|}=\begin{pmatrix}-\dfrac{1}{3\sqrt{2}}\\[10pt]\dfrac{4}{3\sqrt{2}}\\[9pt]\dfrac{1}{3\sqrt{2}}\end{pmatrix}\!,\quad s_3=\frac{l_3}{|l_3|}=\begin{pmatrix}\dfrac{2}{3}\\[9pt]\dfrac{1}{3}\\[10pt]-\dfrac{2}{3}\end{pmatrix}\!.\end{gathered}

6. Находим координаты x_0,\,y_0,\,z_0 начала O' канонической системы координат; решая систему уравнений (см. п.б,"а" алгоритма):


A\cdot s+a=o или \begin{cases}\phantom{-}3\cdot x+4\cdot y-4\cdot z+5=0,\\ \phantom{-}4\cdot x-7\cdot y-4\cdot z-7=0,\\ -4\cdot x-4\cdot y+3\cdot z-3=0.\end{cases}

Получаем x_0=1,~y_0=-1,~z_0=1. Следовательно, вектор \vec{s}=\overrightarrow{OO'} переноса начала координат имеет координаты s=\begin{pmatrix}1&-1&1\end{pmatrix}^T или, что то же самое, начало O' канонической системы координат имеет координаты O'(1,-1,1) относительно исходной системы координат.


7. Вычисляем коэффициенты канонического уравнения (см. п.7,"б" алгоритма):


– при a_0=-8 находим коэффициенты и каноническое уравнение (4) однополостного гиперболоида:


\begin{gathered}a^2=-\frac{\Delta}{\lambda_1\cdot\delta}=-\frac{81}{(-1)\cdot81}=1, \quad b^2=-\frac{\Delta}{\lambda_2\cdot\delta}=-\frac{81}{(-9)\cdot81}=\frac{1}{9},\\[3pt] c^2=\frac{\Delta}{\lambda_3\cdot\delta}=\frac{81}{9\cdot81}=\frac{1}{9},\qquad \boxed{\frac{(x')^2}{1^2}+\frac{(y')^2}{(1/3)^2}-\frac{(z')^2}{(1/3)^2}=1}\end{gathered}

– при a_0=-9 находим коэффициенты и каноническое уравнение (6) конуса:


\begin{gathered}a_2=\frac{1}{|\lambda_1|}=\frac{1}{|-1|}=1,\quad b_2=\frac{1}{|\lambda_2|}=\frac{1}{|-9|}=\frac{1}{9},\quad c_2=\frac{1}{|\lambda_3|}=\frac{1}{|9|}=\frac{1}{9},\\[3pt] \boxed{\frac{(x')^2}{1^2}+\frac{(y')^2}{(1/3)^2}-\frac{(z')^2}{(1/3)^2}=0}\end{gathered}

– при a_0=-10 находим коэффициенты и каноническое уравнение (S) двуполостного гиперболоида:


\begin{gathered}a^2=\frac{\Delta}{\lambda_1\cdot\delta}=\frac{-81}{(-1)\cdot81}=1, \quad b^2=\frac{\Delta}{\lambda_2\cdot\delta}=\frac{-81}{(-9)\cdot81}=\frac{1}{9},\\[3pt] c^2=-\frac{\Delta}{\lambda_3\cdot\delta}=-\frac{-81}{9\cdot81}=\frac{1}{9},\qquad \boxed{\frac{(x')^2}{1^2}+\frac{(y')^2}{(1/3)^2}-\frac{(z')^2}{(1/3)^2}=-1}\end{gathered}

8. В координатном пространстве Oxyz изображаем каноническую систему координат O'x'y'z' с началом в точке O'(1,-1,1) и базисными векторами \vec{s}_1,\,\vec{s}_2,\,\vec{s}_3, координатные столбцы которых найдены в п.5 (рис.4.54).


9. Строим однополостный гиперболоид (рис.4.54,а), конус (рис.4.54,б), двуполостный гиперболоид (рис.4.54,в) в канонической системе координат O'x'y'z' по каноническому уравнению, найденному в пункте 7.


Однополостный гиперболоид, конус, двуполостный гиперболоид в канонической системе координат



Пример 4.23. Поверхность второго порядка задана в прямоугольной системе координат Oxyz уравнением

-2x^2-2y^2+4z^2-20xy-8xz+8yz-26x-22y-4z-12=0

Найти канонический вид уравнения поверхности и каноническую систему координат.


▼ Решение

Составляем матрицу P квадратичной функции, матрицу A квадратичной формы и столбец a коэффициентов линейной формы:


P=\begin{pmatrix}-2&-10&-4&-13\\-10&-2&4&-11\\-4&4&4&-2\\-13&-11&-2&-12\end{pmatrix}\!,\quad A=\begin{pmatrix}-2&-10&-4\\-10&-2&4\\-4&4&4\end{pmatrix}\!,\quad a=\begin{pmatrix}-13\\-11\\-2\end{pmatrix}\!.

2. Вычисляем инварианты:


\begin{gathered}\tau_1=a_{11}+a_{22}+a_{33}=-2-2+4=0, \quad \tau_2= \begin{vmatrix}\,a_{11}&a_{12}\\a_{12}&a_{22}\,\end{vmatrix}+ \begin{vmatrix}\,a_{11}&a_{13}\\a_{13}&a_{33}\,\end{vmatrix}+ \begin{vmatrix}\,a_{22}&a_{23}\\a_{23}&a_{33}\,\end{vmatrix}=\\[3pt] =\begin{vmatrix}\,-2&-10\\-10&-2\,\end{vmatrix}+ \begin{vmatrix}\,-2&-4\\-4&4\,\end{vmatrix}+ \begin{vmatrix}\,-2&4\\4&4\,\end{vmatrix}=-96-24-24=-144,\\[3pt] \delta=\begin{vmatrix}\,a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{12}&a_{22}&a_{23}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}\,\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}\,-2&-10&-4\\-10&-2&4\\-4&4&4\,\end{vmatrix}=0,\\[3pt] \Delta=\begin{vmatrix}\,-2&-10&-4&-13\\-10&-2&4&-11\\-4&4&4&-2\\-13&-11&-2&-12\,\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}\,24&-36&-30&-13\\12&-24&-18&-11\\0&0&0&-2\\11&-35&-26&-12\,\end{vmatrix}= (-1)^{4+3}(-2)\begin{vmatrix}\,24&-36&-30\\12&-24&-18\\11&-35&-26\,\end{vmatrix}=864.\end{gathered}

Составляем характеристическое уравнение: -\lambda^3+144\lambda=0. Его корни: \lambda=0,~\lambda=\pm12.


3. По таблице 4.3 определяем, что поверхность параболического типа (\Delta=0, т.е. характеристическое уравнение имеет нулевой корень). Поскольку \Delta>0, заданная поверхность — гиперболический параболоид (8).


4. Поскольку поверхность параболического типа, корни характеристического уравнения обозначим следующим образом (см. п.4,"в" алгоритма): \lambda_3=0 — единственный нулевой корень; так как ненулевые корни разных знаков и \Delta\ne0, то \lambda_1=12, тогда \lambda_2=-12.


5. Находим взаимно ортогональные собственные направления l_1,\,l_2,\,l_3, соответствующие корням \lambda_1,\,\lambda_2,\,\lambda_3 характеристического уравнения. Поскольку все корни простые, то для каждого из них находим ненулевое решение однородной системы (A-\lambda_i\cdot E)\cdot l_i=o, i=1,2,3:


для \lambda_1=12
\begin{pmatrix}-2-12&-10&-4\\-10&-2-12&4\\-4&4&4-12\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\!=\! \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\!\quad \Leftrightarrow\quad \begin{cases}x=1,\\y=-1,\\z=-1,\end{cases} \Leftrightarrow\quad l_1=\begin{pmatrix}1\\-1\\-1\end{pmatrix}\!;

для \lambda_2=-12
\begin{pmatrix}-2+12&-10&-4\\-10&-2+12&4\\-4&4&4+12\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\!=\! \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\!\quad \Leftrightarrow\quad \begin{cases}x=1,\\y=1,\\z=0,\end{cases} \Leftrightarrow\quad l_2=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\!;

для \lambda_3=0
\begin{pmatrix}-2&-10&-4\\-10&-2&4\\-4&4&4\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\!=\! \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\!\quad \Leftrightarrow\quad \begin{cases}x=-1,\\y=1,\\z=-2,\end{cases} \Leftrightarrow\quad l_3=\begin{pmatrix}-1\\1\\-2\end{pmatrix}\!.

Так как \lambda_3=0 и корни \lambda_1 и \lambda_2 имеют разные знаки, то направление l_3 должно удовлетворять дополнительному условию a^T\cdot l_3\leqslant0. Найденное направление l_3 этому условию не удовлетворяет:


a^T\cdot l_3=\begin{pmatrix}-13&-11&-2\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}-1\\1\\-2\end{pmatrix}\!=6>0.

Поэтому его нужно заменить на противоположное, положив l_3=\begin{pmatrix}1&-1&2\end{pmatrix}^T.


Нормируя полученные векторы l_1,\,l_2,\,l_3, определяем координатные столбцы векторов канонического базиса:


\begin{gathered}|l_1|=\sqrt{3},\quad|l_2|=\sqrt{2},\quad|l_3|=\sqrt{6},\\[3pt] s_1=\frac{l_1}{|l_1|}=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{\sqrt{3}}\\[9pt]-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\\[9pt]-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\end{pmatrix}\!,\quad s_2=\frac{l_2}{|l_2|}=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\[9pt]\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\[9pt]0\end{pmatrix}\!,\quad s_3=\frac{l_3}{|l_3|}=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{\sqrt{6}}\\[9pt]-\dfrac{1}{\sqrt{6}}\\[9pt]\dfrac{2}{\sqrt{6}}\end{pmatrix}\!.\end{gathered}

6. Так как заданная поверхность (параболоид) не имеет центра, то составляем систему уравнений для нахождения координат x_0,\,y_0,\,z_0 начала O' канонической системы координат (см. п.6,"б" алгоритма). Вычисляем


\begin{gathered}a^T\cdot s_3= \begin{pmatrix}-13&-11&-2\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}\dfrac{1}{\sqrt{6}}\\[9pt]-\dfrac{1}{\sqrt{6}}\\[9pt]\dfrac{2}{\sqrt{6}}\end{pmatrix}\!=-\sqrt{6};\quad a_{\text{pr}}= (a^T\cdot s_3)\cdot s_3= -\sqrt{6}\cdot\! \begin{pmatrix}\dfrac{1}{\sqrt{6}}\\[9pt]-\dfrac{1}{\sqrt{6}}\\[9pt]\dfrac{2}{\sqrt{6}}\end{pmatrix}\!=\! \begin{pmatrix}-1\\[5pt]1\\[5pt]-2\end{pmatrix}\!;\\[3pt] s_1^T\cdot a= \begin{pmatrix}\dfrac{1}{\sqrt{3}}&-\dfrac{1}{\sqrt{3}}&-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}-13\\[2pt]-11\\[2pt]-2\end{pmatrix}\!=0;\quad s_2^T\cdot a= \begin{pmatrix}\dfrac{1}{\sqrt{2}}&\dfrac{1}{\sqrt{2}}&0\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}-13\\[2pt]-11\\[2pt]-2\end{pmatrix}\!=-\frac{24}{\sqrt{2}};\\[3pt] a+a_{\text{pr}}= \begin{pmatrix}-13\\[2pt]-11\\[2pt]-2\end{pmatrix}\!+\! \begin{pmatrix}-1\\[2pt]1\\[2pt]-2\end{pmatrix}\!=\! \begin{pmatrix}-14\\[2pt]-10\\[2pt]-4\end{pmatrix}\!.\end{gathered}

Решаем систему уравнений


\begin{cases}\lambda_1\cdot s_1^T\cdot s+s_1^T\cdot a=0,\\\lambda_2\cdot s_2^T\cdot s+s_2^T\cdot a=0,\\[3pt] (a+a_{\text{pr}})^T\cdot s+a_0=0,\end{cases}\Leftrightarrow\! \begin{cases}12\cdot(x_0-y_0-z_0)=0,\\[3pt] -12\cdot(x_0+y_0)-24=0,\\[3pt] -14\cdot x_0-10\cdot y_0-4\cdot z_0-12=0.\end{cases}

Эта система имеет единственное решение x_0=0,~y_0=-2,~z_0=2. Следовательно, вектор \vec{s}=\overrightarrow{OO'} переноса начала координат имеет координаты s=\begin{pmatrix}0&-2&2\end{pmatrix}^T или, что то же самое, начало O' канонической системы координат имеет координаты O'(0,-2,2) в исходной системе координат.


Согласно п.1 замечаний 4.16, начало канонической системы координат можно найти, решая систему


\begin{cases}A\cdot s+a_{\perp}=o,\\[3pt] (a+a_{\perp})^T\cdot s+a_0=0,\end{cases} \Leftrightarrow\quad\! \begin{cases}-2x_0-10y_0-4z_0-12=0,\\ -10x_0-2y_0+4z_0-12=0,\\ -4x_0+4y_0+4z_0+0=0,\\ -14x_0-10y_0-4z_0-12=0,\end{cases}
где
a_{\perp}=a-a_{\text{pr}}= \begin{pmatrix}-13\\-11\\-2\end{pmatrix}- \begin{pmatrix}-1\\1\\-2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-12\\-12\\0\end{pmatrix}\!.

7. Вычисляем коэффициенты канонического уравнения (8) гиперболического параболоида (см. п.7,"в" алгоритма):


a^2=\sqrt{-\frac{\Delta}{\lambda_1^2\cdot\tau_2}}= \sqrt{-\frac{864}{12^2\cdot(-144)}}= \frac{\sqrt{6}}{12}, \quad b^2=\sqrt{-\frac{\Delta}{\lambda_2^2\cdot\tau_2}}= \sqrt{-\frac{864}{(-12)^2\cdot(-144)}}= \frac{\sqrt{6}}{12}.

Следовательно, каноническое уравнение заданной поверхности имеет вид


\frac{(x')^2}{\sqrt{6}/12}-\frac{(y')^2}{\sqrt{6}/12}=2\cdot z'.

8. В координатном пространстве Oxyz изображаем каноническую систему координат O'x'y'z' с началом в точке O'(0,-2,2) и ба зисными векторами \vec{s}_1,\,\vec{s}_2,\,\vec{s}_3, координатные столбцы которых найдены в п.5 (рис.4.55).


9. Строим гиперболический параболоид в канонической системе координат O'x'y'z' по каноническому уравнению, найденному в пункте 7 (рис.4.55).


Гиперболические параболоид и цилиндр, параболический цилиндр в канонической системе координат



Пример 4.24. Поверхность второго порядка задана в прямоугольной системе координат Oxyz уравнением

8\cdot y^2+4\cdot x\cdot y+2\cdot x\cdot z+4\cdot y\cdot z+4\cdot x+8\cdot y-9=0.

Найти канонический вид уравнения поверхности и каноническую систему координат.


▼ Решение

Составляем матрицу P квадратичной функции, матрицу A квадратичной формы и столбец a коэффициентов линейной формы:


P=\begin{pmatrix}0&2&1&2\\2&8&2&4\\1&2&0&0\\2&4&0&-9\end{pmatrix}\!,\quad A=\begin{pmatrix}0&2&1\\2&8&2\\1&2&0\end{pmatrix}\!,\quad a=\begin{pmatrix}2\\4\\0\end{pmatrix}\!.

2. Вычисляем инварианты: \tau_1=a_{11}+a_{22}+a_{33}=0+8+0=8,


\begin{gathered}\tau_2= \begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{12}&a_{22}\end{vmatrix}+ \begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{13}&a_{33}\end{vmatrix}+ \begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{12}&a_{22}\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}0&2\\2&8\end{vmatrix}+ \begin{vmatrix}0&1\\1&0\end{vmatrix}+ \begin{vmatrix}8&2\\2&0\end{vmatrix}=-9;\\[3pt] \delta= \begin{vmatrix}\,a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{12}&a_{22}&a_{23}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}\,\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}\,0&2&1\\2&8&2\\1&2&0\,\end{vmatrix}=0;\\[3pt] \Delta= \begin{vmatrix}\,0&2&1&2\\2&8&2&4\\1&2&0&0\\2&4&0&-9\,\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}\,0&2&1&2\\2&8&2&4\\1&2&0&0\\0&0&0&-9\,\end{vmatrix}= (-1)^{4+4}(-9)\delta=0. \end{gathered}

Так как \Delta=\delta=0, то вычисляем


\begin{aligned}\kappa_2&= \begin{vmatrix}\,a_{11}&a_{12}&a_1\\a_{12}&a_{22}&a_2\\a_1&a_2&a_0\,\end{vmatrix}+ \begin{vmatrix}\,a_{11}&a_{13}&a_1\\a_{13}&a_{33}&a_3\\a_1&a_3&a_0\,\end{vmatrix}+ \begin{vmatrix}\,a_{22}&a_{23}&a_2\\a_{23}&a_{33}&a_3\\a_2&a_3&a_0\,\end{vmatrix}=\\[3pt] &=\begin{vmatrix}\,0&2&2\\2&8&4\\2&4&-9\,\end{vmatrix}+ \begin{vmatrix}\,0&1&2\\1&0&0\\2&0&-9\,\end{vmatrix}+ \begin{vmatrix}\,8&2&4\\2&0&0\\4&0&-9\,\end{vmatrix}=81. \end{aligned}

Составляем характеристическое уравнение: -\lambda^3+ 8\lambda^2+ 9\lambda=0. Его корни: \lambda=-1,~\lambda=0,~\lambda=9.


3. По таблице 4.3 определяем, что поверхность параболического типа (\Delta=0, т.е. характеристическое уравнение имеет нулевой корень). Поскольку \Delta=0, то поверхность цилиндрическая. Так как \tau_2<0 и \kappa_2\ne0, то заданная поверхность — гиперболический цилиндр.


4. Поскольку поверхность параболического типа, корни характеристического уравнения обозначим следующим образом (см. п.4,"в" алгоритма): \lambda_3=0 — единственный нулевой корень; так как ненулевые корни разных знаков и \Delta=0, а \kappa_2=81>0, то \lambda_1=9, чтобы выполнялось условие \lambda_1\cdot\kappa_2>0, тогда \lambda_2=-1.


5. Находим взаимно ортогональные собственные направления l_1,\,l_2,\,l_3, соответствующие корням \lambda_1,\,\lambda_2,\,\lambda_3 характеристического уравнения. Поскольку все корни простые, то для каждого из них находим ненулевое решение однородной системы (A-\lambda_i\cdot E)\cdot l_i=o, i=1,2,3:


для \lambda_1=9

\begin{pmatrix}0-9&2&1\\2&8-9&2\\1&2&0-9\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\!=\! \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\! \Leftrightarrow\quad\! \begin{cases}x=1,\\y=4,\\z=1,\end{cases} \Leftrightarrow\quad l_1= \begin{pmatrix} 1\\4\\1\end{pmatrix}\!;

для \lambda_2=-1

\begin{pmatrix}0+1&2&1\\2&8+1&2\\1&2&0+1 \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\!=\! \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\! \Leftrightarrow\quad\! \begin{cases}x=-1,\\y=0,\\z=1,\end{cases} \Leftrightarrow\quad l_2=\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}\!;

для \lambda_3=0

\begin{pmatrix} 0&2&1\\2&8&2\\1&2&0 \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\!=\! \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\! \Leftrightarrow\quad\! \begin{cases}x=2,\\y=-1,\\z=2,\end{cases} \Leftrightarrow\quad l_3=\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}\!.

Так как \lambda_3=0 и корни \lambda_1 и \lambda_2 имеют разные знаки, то направление l_3 должно удовлетворять дополнительному условию a^T\cdot l_3\leqslant0. Найденное направление l_3 этому условию удовлетворяет:


a^T\cdot l_3= \begin{pmatrix}2&4&0\end{pmatrix}^T\cdot\! \begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}=0.

Нормируя полученные векторы l_1,\,l_2,\,l_3, определяем координатные столбцы векторов канонического базиса:


\begin{gathered}|l_1|=3\sqrt{2},\quad |l_2|=\sqrt{2},\quad |l_3|=3,\\[3pt] s_1=\frac{1}{|l_1|}\cdot l_1\cdot\! \begin{pmatrix}\dfrac{1}{3\sqrt{2}}\\[9pt] \dfrac{4}{3\sqrt{2}}\\[9pt] \dfrac{1}{3\sqrt{2}}\end{pmatrix}\!,\quad s_2=\frac{1}{|l_2|}\cdot l_2\cdot\! \begin{pmatrix}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\[9pt] 0\\[9pt] \dfrac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}\!,\quad s_3=\frac{1}{|l_3|}\cdot l_3\cdot\! \begin{pmatrix}\dfrac{2}{3}\\[9pt] -\dfrac{1}{3}\\[9pt] \dfrac{2}{3}\end{pmatrix}\!.\end{gathered}

6. Так как заданная поверхность (гиперболический цилиндр) не являет ся центральной (она имеет прямую центров), то достаточно найти любое решение s=\begin{pmatrix}x_0&y_0&z_0\end{pmatrix}^T системы уравнений (см. п.6,"а" алгоритма):


A\cdot s+a=o, или \begin{cases}0\cdot x+2\cdot y+1\cdot z+2=0,\\ 2\cdot x+8\cdot y+2\cdot z+4=0,\\ 1\cdot x+2\cdot y+0\cdot z+0=0.\end{cases}

Возьмем, например, решение x_0=0,~y_0=0,~z_0=-2. Следовательно, вектор \vec{s}=\overrightarrow{OO'} переноса начала координат имеет координаты s=\begin{pmatrix}0&0&-2\end{pmatrix}^T или, что то же самое, начало O' канонической системы координат имеет координаты O'(0,0,-2) относительно исходной системы координат.


7. Вычисляем коэффициенты канонического уравнения (12) гиперболического цилиндра (см. п.7,"в" алгоритма):


a^2=-\frac{\kappa_2}{\lambda_1\cdot\tau_2}=-\frac{81}{9\cdot(-9)}=1,\quad b^2=\frac{\kappa_2}{\lambda_2\cdot\tau_2}=\frac{81}{(-1)\cdot(-9)}=9.\quad

Следовательно, каноническое уравнение заданной поверхности имеет вид


\frac{(x')^2}{1^2}-\frac{(y')^2}{3^2}=1.

8. В координатном пространстве Oxyz изображаем каноническую систему координат O'x'y'z' с началом в точке O'(0,0,-2) и базисными векторами \vec{s}_1,\,\vec{s}_2,\,\vec{s}_3, координатные столбцы которых найдены в п.5 (рис.4.56).


9. Строим гиперболический цилиндр в канонической системе координат O'x'y'z' по каноническому уравнению, найденному в п.7 (рис.4.56 см. выше).


Пример 4.25. Поверхность второго порядка задана в прямоугольной системе координат Oxyz уравнением
4\cdot x^2+y^2+9\cdot z^2+4\cdot x\cdot y-12\cdot x\cdot z-6\cdot y\cdot z+6\cdot x-2\cdot y-6\cdot z+11=0.

Найти канонический вид уравнения поверхности и каноническую систему координат.

▼ Решение

Найти канонический вид уравнения поверхности и каноническую систему координат.


Составляем матрицу P квадратичной функции, матрицу A квадратичной формы и столбец a коэффициентов линейной формы:


P=\begin{pmatrix}4&2&-6&3\\ 2&1&-3&-1\\-6&-3&9&-3\\ 3&-1&-3&11 \end{pmatrix}\!,\qquad A=\begin{pmatrix}4&2&-6\\ 2&1&-3\\-6&-3&9 \end{pmatrix}\!,\qquad a=\begin{pmatrix}3&-1&-3 \end{pmatrix}\!.

2. Вычисляем инварианты:


\begin{aligned}&\tau_1= a_{11}+a_{22}+a_{33}= 4+1+9=14,\\[4pt] &\tau_2= \begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a_{12}&a_{22} \end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\ a_{13}&a_{33} \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\ a_{23}&a_{33} \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 4&2\\2&1 \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix}4&-6\\-6&9 \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix}1&-3\\-3&9\end{vmatrix}=0+0+0=0,\\[4pt] &\delta= \begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{12}&a_{22}&a_{23}\\ a_{13}&a_{23}&a_{33} \end{vmatrix}= \begin{vmatrix}4&2&-6\\ 2&1&-3\\-6&-3&9\end{vmatrix}=0,\\[4pt] &\Delta= \begin{vmatrix}4&2&-6&3\\ 2&1&-3&-1\\-6&-3&9&-3\\ 3&-1&-3&11\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}0&0&0&5\\ 2&1&-3&-1\\0&0&0&-6\\ 3&-1&-3&11\end{vmatrix}= (-1)^{1+4}\cdot5\cdot \begin{vmatrix}2&1&-3\\ 0&0&0\\ 3&-1&-3\end{vmatrix}=0. \end{aligned}

Так как \Delta= \delta=0, то вычисляем семиинвариант:


\begin{aligned}\kappa_2&= \begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{1}\\ a_{12}&a_{22}&a_{2}\\ a_{1}& a_{2}&a_{0}\end{vmatrix}+ \begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}&a_{1}\\ a_{13}&a_{33}&a_{3}\\ a_{1}& a_{3}&a_{0} \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} a_{22}&a_{23}&a_{2}\\ a_{23}&a_{33}&a_{3}\\ a_{2}& a_{3}&a_{0} \end{vmatrix}=\\ &=\begin{vmatrix}4&2&3\\2&1&-1\\ 3&-1&11\end{vmatrix}+ \begin{vmatrix}4&-6&3\\-6&9&-3\\ 3&-3&11 \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix}1&-3&-1\\-3&9&-3\\-1&-3&11\end{vmatrix}=-25-9-36=-70. \end{aligned}

Составляем характеристическое уравнение -\lambda^3+14 \lambda^2=0.Его корни \lambda=0 (двойной корень) и \lambda=14 (простой корень).


3. По таблице 4.3 определяем, что поверхность параболического типа (\delta=0, то есть характеристическое уравнение имеет нулевой корень). Поскольку \Delta=0, то поверхность цилиндрическая. Так как \tau_2=0 и \kappa_2\ne0, то заданная поверхность - параболический цилидр.


4. Поскольку поверхность параболического типа, корни характеристического уравнения обозначим следующим образом (см. п.4,"в" алгоритма): \lambda_1= \lambda_3=0 - двойной нулевой корень; тогда \lambda_2=14.


5. Находим взаимно ортогональные собственные направления l_1,\,l_2,\,l_3, соответствующие корням \lambda_1,\,\lambda_2,\,\lambda_3 характеристического уравнения. Поскольку \lambda_1=\lambda_3=0 - двойной нулевой корень (см. п.5,"г" алгоритма), то находим направление l_2, соответствующее простому корню \lambda_2=14, как ненулевое решение системы (A-\lambda_2\cdot E)\cdot l_2=o\colon


\begin{pmatrix}4-14&2&-6\\ 2&1-14&-3\\-6&-3&9-14 \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0\\0\\0 \end{pmatrix}\quad \Rightarrow\quad \begin{cases}x=-2,\\ y=-1,\\ z=3,\end{cases} \Rightarrow\quad l_2=\begin{pmatrix}-2\\-1\\3\end{pmatrix}\!.

Вычисляем a^T\cdot l_2= \begin{pmatrix}3&-1&-3\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}-2\\-1\\3 \end{pmatrix}=-14;~ |l_2|^2=14;


a_{\text{pr}}= a-\frac{a^T\cdot l_2}{|l_2|^2}\cdot l_2= \begin{pmatrix}3\\-1\\-3 \end{pmatrix}-\frac{-14}{14}\cdot\! \begin{pmatrix}-2\\-1\\3\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1\\-2\\0 \end{pmatrix}\!.

Так как a_{\text{pr}}\ne o, то направление l_1=-\tau_1\cdot a_{\text{pr}}=-14\cdot a_{\text{pr}}= \begin{pmatrix}-14&28&0 \end{pmatrix}^T. Направление l_3 находим, вычисляя векторное произведение


\vec{l}_3=\vec{l}_1\times \vec{l}_2= \begin{vmatrix}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\-14&28&0\\-2&-1&3\end{vmatrix}= 84\,\vec{i}+ 42\,\vec{j}+ 70\,\vec{k}. Следовательно, l_3= \begin{pmatrix}84&42&70 \end{pmatrix}^T.

Нормируя полученные векторы l_1,\,l_2,\,l_3, определяем координатные столбцы векторов канонического базиса:


\begin{gathered}|l_1|=14 \sqrt{5}\,,\qquad |l_2|=\sqrt{14}\,,\qquad |l_3|=14 \sqrt{70}\,,\\ s_1= \frac{l_1}{|l_1|}= \begin{pmatrix}-\dfrac{1}{\sqrt{5}}\\[9pt] \dfrac{2}{\sqrt{5}}\\[9pt]0 \end{pmatrix}\!,\qquad s_2= \frac{l_2}{|l_2|}= \begin{pmatrix}-\dfrac{2}{\sqrt{14}}\\[9pt]-\dfrac{1}{\sqrt{14}}\\[9pt] \dfrac{3}{\sqrt{14}} \end{pmatrix}\!,\qquad s_3= \frac{l_3}{|l_3|}= \begin{pmatrix}\dfrac{6}{\sqrt{70}}\\[9pt]\dfrac{3}{\sqrt{70}}\\[9pt] \dfrac{5}{\sqrt{70}} \end{pmatrix}\!. \end{gathered}

6. Так как заданная поверхность (параболический цилиндр) не имеет центров, то составляем систему уравнений для нахождения координат x_0,y_0,z_0 начала O' канонической системы координат (см. п.6,"б" алгоритма). Учитывая п.5, вычисляем


a_{\text{pr}}= \begin{pmatrix}1\\-2\\0 \end{pmatrix}\!,\quad a+a_{\text{pr}}= \begin{pmatrix}3\\-1\\-3\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}1\\-2\\0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}4\\-3\\-3 \end{pmatrix}\!,\quad s_2^T\cdot a= \begin{pmatrix}-\dfrac{2}{\sqrt{14}}&-\dfrac{1}{\sqrt{14}}& \dfrac{3}{\sqrt{14}}\end{pmatrix}^T\cdot\! \begin{pmatrix}3\\-1\\-3 \end{pmatrix}=-\sqrt{14}\,.

Решаем систему уравнений

\left\{\! \begin{aligned}& \lambda_2\cdot s_2^T\cdot s+ s_2^T\cdot a=0,\\ &(a+ a_{\text{pr}})^T\cdot s+a_0=0, \end{aligned}\right.\quad \Leftrightarrow\quad \left\{\! \begin{aligned}&-2\cdot x_0-y_0+3\cdot z_0-1=0,\\ &4\cdot x_0-3\cdot y_0-3\cdot z_0+11=0. \end{aligned}\right.

Эта система имеет бесконечно много решений. Возьмем, например, решение x_0=-5,~ y_0=0,~ z_0=-3. Следовательно, вектор \vec{s}= \overrightarrow{OO'} переноса начала координат имеет координаты s=\begin{pmatrix}-5&0&-3\end{pmatrix}^T или, что то же самое, начало O' канонической системы координат имеет координаты O'(-5,0,-3) в исходной системе координат.


Согласно п.1 замечаний 4.16, начало канонической системы координат
можно найти, решая систему уравнений


\left\{\! \begin{aligned}&A\cdot s+a_{\perp}=o,\\ &(a+a_{\text{pr}})^T\cdot s+a_0=0, \end{aligned}\right.~\Leftrightarrow~ \left\{\! \begin{aligned}&4\,x_0+ 2\,y_0-6\,z_0+2=0,\\ &2\,x_0+ 1\,y_0-3\,z_0+1=0,\\ &-6\,x_0-3\,y_0+9\,z_0-3=0,\\ &4\,x_0-3\,y_0-3\,z_0+11=0, \end{aligned}\right., где a_{\perp}-a_{\text{pr}}= \begin{pmatrix}3\\-1\\-3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\-2\\0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}2\\1\\-3 \end{pmatrix}.

7. Вычисляем параметр канонического уравнения (14) параболического цилиндра (см. п.7,"в" алгоритма):