Порядок приведения уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду
Пусть в прямоугольной системе координат поверхность второго порядка задана уравнением
Чтобы привести уравнение к каноническому виду, нужно выполнить следующие действия.
1. Составить матрицу квадратичной формы и столбец коэффициентов линейной формы:
Если матрица квадратичной формы диагональная, т.е. , то положить и перейти к пункту 4.
2. Составить характеристическое уравнение и найти его корни (с учетом кратности).
3. Найти взаимно перпендикулярные единичные собственные векторы , соответствующие корням характеристического уравнения, и составить из них матрицу
а) если уравнение имеет один тройной корень , то базис исходной системы координат является каноническим. Поэтому полагаем и переходим к пункту 4;
б) если все корни простые, то для каждого корня найти ненулевое решение однородной системы уравнений . Например, собственный вектор для простого корня находится как любое ненулевое решение системы
или
в) если имеется двойной корень, например , то для простого корня найти соответствующий собственный вектор - любое не нулевое решение системы . Для кратного корня в качестве взять любой ненулевой столбец матрицы , а координатный столбец найти, используя векторное произведение .
Нормируя найденные в пункте "б" или "в" собственные векторы , получаем координатные столбцы
базисных векторов новой прямоугольной системы координат . Составляем матрицу перехода к новому базису, записывая собственные векторы по столбцам: .
4. Вычислить столбец коэффициентов линейной формы и составить "почти" приведенное уравнение поверхности второго порядка:
В зависимости от вида этого уравнения выполнить следующие действия.
а) Если в уравнении нет линейных членов, то переходим к пункту 5.
б) Если в уравнении имеется линейный член с какой-либо неизвестной и квадратичный член с этой же неизвестной, то, дополняя эти члены до полного квадрата, делаем замену, чтобы в уравнении не стало линейного члена с этой неизвестной. Например, если в уравнении и , то выполняем преобразования:
а затем замену неизвестных , после которой в уравнении не будет линейного члена с неизвестной .
в) Если в уравнении имеются два линейных члена с двумя неизвестными, а квадраты одноименных неизвестных отсутствуют, то делаем ортогональную замену этих неизвестных так, чтобы заменить их одной неизвестной. Например, если в уравнении , т.е. уравнение имеет вид
то нужно выполнить замену неизвестных
где . Эта ортогональная замена неизвестных приводит уравнение к виду
г) Если в уравнении имеется только один линейный член с какой-либо неизвестной, а квадрат этой неизвестной отсутствует, то при помощи замены этой переменной надо сделать равным нулю свободный член уравнения. Например, если уравнение имеет вид
то, выполняя замену неизвестных , получаем уравнение без свободного члена:
5. Полученное в результате упрощений (пункт 4) уравнение имеет "почти" канонический вид [9]. Для окончательного упрощения "почти" канонического уравнения применяются при необходимости следующие преобразования:
а) переименование координатных осей, например, ; б) изменение направления координатной оси, например: ; в) умножение обеих частей уравнения на отличный от нуля множитель; г) перенос членов из одной части уравнения в другую.
В результате этих преобразований уравнение приводится к каноническому виду. Замену неизвестных, приводящую уравнение поверхности к каноническому виду, определяем как композицию всех замен, применяемых в ходе решения.
Пример 4.18. В прямоугольной системе координат заданы уравнения алгебраических поверхностей второго порядка: а) (рис. 4.52,а); б) (рис. 4.52,б); в) (рис. 4.52,в). Каждое уравнение привести к каноническому виду. Указать связь между исходной и канонической системами координат.
Решение а)
а) 1. Составляем матрицу квадратичной формы и столбец коэффициентов линейной формы 2. Матрица диагональная , а уравнение имеет "почти" приведенный вид. Поэтому полагаем, что и переходим к пункту 4. 4. В заданном уравнении имеются линейные члены всех неизвестных, а также квадраты неизвестных и . Дополняем члены с этими неизвестными до полных квадратов (см. пункт 4,"б" алгоритма): Сделаем замену . Получили уравнение, в котором имеется один линейный член с неизвестной , а квадрата этой неизвестной нет (см. пункт 4,"г" алгоритма). Сделаем замену , чтобы в уравнении исчез свободный член (для единообразия обозначим ): 5. Полученное уравнение имеет простейший вид (IV). Переносим линейный член в правую часть: , и делаем замену , меняя направление оси аппликат (для единообразия обозначаем ): Получили каноническое уравнение (7) эллиптического параболоида с коэффициентами . Найдем замену неизвестных, приводящую данное уравнение к каноническому виду. В пунктах 4,5 решения были сделаны следующие замены: . Выражая заменяемые неизвестные, получаем цепочки замен: Следовательно, или Таким образом, найдены координатный столбец вектора переноса начала координат и матрица перехода к каноническому базису:
Решение б)
б) 1. Составляем матрицу квадратичной формы и столбец коэффициентов линейной формы 2. Матрица диагональная , а уравнение имеет "почти" приведенный вид. Поэтому полагаем, что и переходим к пункту 4. 4. В заданном уравнении имеются линейные члены двух неизвестных и , а также квадрат другой неизвестной . Поэтому заменяем неизвестные (см. пункт 4,"в" алгоритма): где . После такой замены уравнение принимает вид 5. Полученное уравнение имеет простейший вид (П). Переносим линейный член в правую часть: , и делаем замену , после которой получаем уравнение . Это уравнение (14) параболического цилиндра с параметром . Найдем замену неизвестных, приводящую данное уравнение к каноническому виду. В пунктах 4,5 решения были сделаны следующие замены: . Выражая заменяемые неизвестные, получаем цепочки замен: Следовательно, или Таким образом, найдены координатный столбец вектора переноса начала координат и матрица перехода к каноническому базису:
Решение в)
в) 1. Составляем матрицу квадратичной формы и столбец коэффициентов линейной формы 2. Составляем характеристическое уравнение: Раскрывая определитель, получаем Таким образом, корни характеристического уравнения . 3. Поскольку все корни простые, то для каждого корня находим ненулевое решение однородной системы уравнений Нормируя собственные векторы , получаем координатные столбцы базисных векторов новой прямоугольной системы координат и составляем матрицу 4. Вычисляем столбец коэффициентов линейной формы Составляем "почти" приведенное уравнение: Поскольку для каждой неизвестной имеются линейный и квадратичный члены, то дополняем их до полного квадрата: где 5. Для окончательного упрощения умножим уравнение на и перенесем свободный член в правую часть: Делаем замену , переименовывая координатные оси: Получили каноническое уравнение однополостного гиперболоида. Найдем замену неизвестных, приводящую исходное уравнение к каноническому виду. В пунктах 3,4,5 были сделаны следующие замены: Следовательно, Таким образом, начало канонической системы координат относительно исходной системы координат имеет координаты 1, –1, 1, а матрица перехода от исходного базиса к каноническому имеет вид Проверим ортогональность этой матрицы. Поскольку найденная матрица является ортогональной.
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
|