Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам

Приведение уравнения линии к каноническому
виду по инвариантам


Рассмотрим задачу приведения к каноническому виду линии второго порядка, заданной в прямоугольной системе координат [math]Oxy[/math] уравнением (3.34):


[math]a_{11}\cdot x^2+2\cdot a_{12}\cdot x\cdot y+a_{22}\cdot y^2+2\cdot a_1\cdot x+2\cdot a_2\cdot y+a_0=0.\qquad \mathsf{(3.70)}[/math]

Квадратичную функцию в левой части (3.70) обозначим [math]p(x,y)[/math], ее матрицу и матрицу квадратичной формы, как и ранее, обозначим через [math]P[/math] и [math]A[/math] соответственно.


Требуется определить один из девяти возможных канонических видов линии (см. теорему 3.3), найти каноническую систему координат [math]O'x'y'[/math], в которой уравнение линии имеет канонический вид, а затем построить линию в канонической и исходной системах координат. Построение, разумеется, производится только для вещественных линий.




Алгоритм приведения уравнения линии к каноническому виду по инвариантам


Для приведения уравнения (3.70) линии второго порядка, заданной в прямоугольной системе координат [math]Oxy[/math], к каноническому виду, нужно выполнить следующие действия.


1. По уравнению (3.70) линии второго порядка составить матрицу [math]P[/math] квадратичной функции, матрицу [math]A[/math] квадратичной формы и столбец а коэффициентов линейной формы:


[math]P=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_1\\a_{12}&a_{22}&a_2\\a_1&a_2&a_0\end{pmatrix}\!, \quad A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{12}&a_{22}\end{pmatrix}\!, \quad a=\begin{pmatrix} a_1\\a_2 \end{pmatrix}\!.[/math]

2. Составить характеристическое уравнение [math]\lambda^2-\tau\cdot \lambda+ \delta=0[/math], либо вычисляя его коэффициенты по формулам: [math]\tau=a_{11}+a_{22},[/math] [math]\delta=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{12}&a_{22}\end{vmatrix}[/math] либо разлагая определитель [math]\det(A-\lambda\cdot E)= \begin{vmatrix}a_{11}-\lambda&a_{12}\\a_{12}&a_{22}-\lambda\end{vmatrix}= \lambda^2-\tau\cdot\lambda+\delta[/math]. Найти корни [math]\lambda_1,\,\lambda_2[/math] (с учетом кратности) характеристического уравнения. Вычислить инвариант [math]\Delta=\det{P}= \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_1\\ a_{12}&a_{22}&a_2\\ a_1&a_2&a_0\end{vmatrix}[/math]. Если [math]\delta= \Delta=0[/math], то вычислить семиинвариант [math]\kappa= \begin{vmatrix} a_{11}&a_1\\ a_1&a_0 \end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a_{22}&a_2\\a_2&a_0\end{vmatrix}.[/math]


3. По таблице 3.2 определить вид линии

Таблица 3.2. Классификация линий второго порядка по инвариантамКлассификация линий второго порядка по инвариантам

4. Занумеровать корни [math]\lambda_1,\,\lambda_2[/math] характеристического уравнения в соответствии с правилами:


а) если линия эллиптического типа, то [math]|\lambda_1|\leqslant|\lambda_2|[/math];
б) если линия гиперболического типа, то:
– при [math]\Delta\ne0\colon\lambda_1\cdot\Delta>0[/math] (знак [math]\lambda_1[/math] совпадает со знаком [math]\Delta[/math]);
– при [math]\Delta=0\colon\lambda_1>0[/math];
в) если линия параболического типа, то [math]\lambda_1=0,\,\lambda_2\ne0[/math].

5. Найти взаимно ортогональные собственные направления [math]l_1,~l_2[/math], соответствующие корням [math]\lambda_1,~\lambda_2[/math] характеристического уравнения:


а) если [math]\lambda_1=\lambda_2[/math], то базисные векторы исходной системы имеют искомые направления [math]l_1=(1\quad0)^T,[/math] [math]l_2=(0\quad1)^T;[/math]


б) если корни [math]\lambda_1,~\lambda_2[/math] простые [math](\lambda_1\ne\lambda_2)[/math], то для каждого корня найти ненулевое решение однородной системы уравнений [math](A-\lambda_i\cdot E)\cdot l_i=\vec{o},[/math] [math]i=1,2[/math] Например, собственное направление [math]l_2=(x_2\quad y_2)^T[/math] для простого корня [math]\lambda_2[/math] находится как любое ненулевое решение системы


[math]\begin{cases}(a_{11}-\lambda)\cdot x+a_{12}\cdot y=0,\\ a_{12}\cdot x+(a_{22}-\lambda)\cdot y=0,\end{cases}[/math] или [math](A-\lambda_2\cdot E)\cdot l_2=o.[/math]

Если [math]\lambda_1=0[/math], то направление [math]l_1[/math] должно удовлетворять дополнительному условию [math]\tau\cdot a^T\cdot l_1\leqslant0[/math], в противном случае следует заменить столбец [math]l_1[/math] на противоположный [math](-l_1)[/math]. Нормируя полученные векторы [math]l_1,\,l_2[/math], определить координатные столбцы [math]s_1=\frac{1}{|l_1|}\cdot l_1,[/math] [math]s_2=\frac{1}{|l_2|}\cdot l_2[/math] векторов [math]\vec{s}_1,~\vec{s}_2[/math] канонического базиса.


6. Найти координаты [math]x_0,\,y_0[/math] начала [math]O'[/math] канонической системы координат:


а) для линий, имеющих хотя бы один центр (т.е. всех линий, за исключением параболы), найти любое решение [math]s=\begin{pmatrix}x_0&y_0\end{pmatrix}^T[/math] системы уравнений [math]A\cdot s+a=0[/math] или [math]\begin{cases}a_{11}\cdot x+a_{12}\cdot y+a_1=0,\\ a_{12}\cdot x+a_{22}\cdot y+a_2=0;\end{cases}[/math]


б) для параболы найти решение [math]s=\begin{pmatrix} x_0&y_0\end{pmatrix}^T[/math] системы: [math]\begin{cases} \lambda_2 \cdot s_2^T\cdot s+s_2^T\cdot a=0,\\ (a+a_{\operatorname{pr}})^T\cdot s+a_0=0,\end{cases}[/math] где [math]a_{\operatorname{pr}}=(a^T\cdot s_1)\cdot s_1;[/math]


7. Вычислить коэффициенты канонического уравнения:


а) для линий эллиптического типа [math](\delta>0)\colon[/math]

(1) при [math]\tau\cdot\Delta<0[/math] — уравнение эллипса [math]\frac{(x')^2}{a^2}+\frac{(y')^2}{b^2}=1[/math] с коэффициентами [math]a^2=-\frac{\Delta}{\lambda_1\delta},~ b^2=-\frac{\Delta}{\lambda_2\delta};[/math]
(2) при [math]\tau\cdot\Delta>0[/math] — уравнение эллипса [math]\frac{(x')^2}{a^2}+\frac{(y')^2}{b^2}=-1[/math] с коэффициентами [math]a^2=\frac{\Delta}{\lambda_1\delta},~ b^2=\frac{\Delta}{\lambda_2\delta};[/math]
(3) при [math]\Delta=0[/math] — уравнение эллипса [math]\frac{(x')^2}{a^2}+\frac{(y')^2}{b^2}=0[/math] с коэффициентами [math]a^2=\frac{1}{|\lambda_1|},~ b^2=\frac{1}{|\lambda_2|};[/math]

б) для линии гиперболического типа [math](\delta<0)\colon[/math]


(4) при [math]\Delta\ne0[/math] — уравнение эллипса [math]\frac{(x')^2}{a^2}-\frac{(y')^2}{b^2}=1[/math] с коэффициентами [math]a^2=-\frac{\Delta}{\lambda_1\delta},~ b^2=-\frac{\Delta}{\lambda_2\delta};[/math]
(3) при [math]\Delta=0[/math] — уравнение эллипса [math]\frac{(x')^2}{a^2}-\frac{(y')^2}{b^2}=0[/math] с коэффициентами [math]a^2=\frac{1}{\lambda_1},~ b^2=\frac{1}{\lambda_2};[/math]

в) для линии параболического типа [math](\delta=0)\colon[/math]

(6) при [math]\Delta\ne0[/math] — уравнение параболы [math](y')^2=2\cdot p\cdot x'[/math] с параметром [math]p=\sqrt{-\frac{\Delta}{\tau^3}}.[/math]
(7) при [math]\Delta=0,~\kappa<0[/math] — уравнение пары параллельных прямых [math](y')^2-b^2=0[/math] коэффициентом [math]b^2=-\frac{\kappa}{\tau^2};[/math]
(8) при [math]\Delta=0,~\kappa>0[/math] — уравнение пары параллельных прямых [math](y')^2+b^2=0[/math] коэффициентом [math]b^2=\frac{\kappa}{\tau^2};[/math]
(9) при [math]\Delta=0,~\kappa=0[/math] — уравнение пары параллельных прямых [math](y')^2=0[/math] коэффициентом [math]b^2=-\frac{\kappa}{\tau^2};[/math]

8. На координатной плоскости [math]Oxy[/math] изобразить каноническую систему координат [math]O'x'y'[/math], координаты [math]x_0,\,y_0[/math] начала [math]O'[/math] которой найдены в пункте 6, а координаты базисных векторов — в пункте 5.


9. Построить линию второго порядка в канонической системе координат [math]O'x'y'[/math] по каноническому уравнению, найденному в пункте 7. Построение центральных линий (эллипса, гиперболы, пары пересекающихся прямых) удобно начинать с изображения основного прямоугольника. При построении параболических линий (параболы, пары параллельных прямых, пары совпадающих прямых) использовать. Мнимые линии не изображаются, за исключением уравнения пары мнимых пересекающихся прямых, действительным решением которого является единственная точка [math]O'[/math].




Замечания 3.17


1. Согласно пункту З замечаний 3.15 для нахождения начала канонической системы координат для параболы (см. пункт 6,"б" алгоритма) можно использовать систему [math]\begin{cases}A\cdot s+a_{\perp}=o,\\ (a+ a_{\operatorname{pr}})^T\cdot s+a_0=0,\end{cases}[/math] где [math]a_{\operatorname{pr}}=(a^T\cdot s_1)\cdot s_1\cdot a_{\perp}=a-a_{\operatorname{pr}}[/math].


2. Систему уравнений в пункте 6,"б" алгоритма можно заменить системой [math]\begin{cases} \lambda_2\cdot l_2^T\cdot s+l_2^T\cdot a=0,\\ (a+a_{\operatorname{pr}})^T\cdot s+a_0=0,\end{cases}[/math] которая получена умножением обеих частей первого уравнения на [math]|l_2|=\sqrt{l_2^T\cdot l_2}\ne0.[/math]


3. В случае параболы [math](\lambda_1=0)[/math] в качестве собственного направления [math]l_2[/math] можно взять любой ненулевой столбец матрицы [math]A[/math] (или ненулевой столбец, пропорциональный столбцу матрицы [math]A[/math]).




Примеры приведения уравнения линии к каноническому виду по инвариантам


Пример 3.24. В прямоугольной системе координат [math]Oxy[/math] построить линию, заданную уравнением:

[math]52\cdot x^2+72\cdot x\cdot y+73\cdot y^2-280\cdot x-290\cdot y+325=0.[/math]

▼ Решение

Составляем матрицу [math]P[/math] квадратичной функции, матрицу [math]A[/math] квадратичной формы и столбец [math]a[/math] коэффициентов линейной формы:


[math]P= \begin{pmatrix}52&36&-140\\ 36&73&-145\\ -140&-145&325\end{pmatrix}\!, \quad A= \begin{pmatrix}52&36\\ 36&73\end{pmatrix}\!, \quad a=\begin{pmatrix}-140\\ -145\end{pmatrix}\!.[/math]

2. Вычисляем инварианты (см. пример 3.23,г):


[math]\tau=52+73=125, \quad \delta=\begin{vmatrix}52&36\\36&73\end{vmatrix}=2500, \quad \Delta=\begin{vmatrix}52&36&-140\\ 36&73&-145\\ -140&-145&325\end{vmatrix}=-250000.[/math]

Так как [math]\delta\ne0[/math], то вычислять семиинвариант [math]\kappa[/math] не нужно.


Составляем характеристическое уравнение [math]\lambda^2-125\lambda+2500=0[/math], находим корни [math]\lambda=25[/math] и [math]\lambda=100[/math].


3. По таблице 3.2 определяем, что заданное уравнение является уравнением эллипса, так как [math]\delta>0,[/math] [math]\Delta\ne0,[/math] [math]\tau\cdot\Delta<0.[/math]


4. Поскольку линия эллиптического типа, корни характеристического уравнения обозначим следующим образом (см. пункт 4,"а" алгоритма): [math]\lambda_1=25[/math] и [math]\lambda_2=100[/math], чтобы выполнялось неравенство [math]|\lambda_1|\leqslant|\lambda_2|.[/math]


5. Находим взаимно ортогональные собственные направления [math]l_1,~l_2[/math] соответствующие корням [math]\lambda_1,~\lambda_2[/math] характеристического уравнения. Поскольку корни простые (пункт "б"), то находим ненулевые решения [math]l_1,~l_2[/math] однородных систем [math](A-\lambda_i\cdot E)\cdot l_i=o,~i=1,2:[/math]


для [math]\lambda_1=25\colon \begin{pmatrix}52-25&36\\36&73-25\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\! \quad \Rightarrow \quad \begin{cases}x=4,\\y=-3,\end{cases}\Rightarrow \quad l_1=\begin{pmatrix}4\\-3\end{pmatrix}\!;[/math]


для [math]\lambda_2=100\colon \begin{pmatrix}52-100&36\\36&73-100\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\! \quad \Rightarrow \quad \begin{cases}x=3,\\y=4,\end{cases}\Rightarrow \quad l_2=\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}\!.[/math]


Нормируя полученные векторы [math]l_1,~l_2[/math], определяем координатные столбцы векторов канонического базиса:


[math]\begin{gathered} |l_1|=\sqrt{l_1^T\cdot l_1}=\sqrt{4^2+(-3)^2}=5, \quad |l_2|=\sqrt{l_2^T\cdot l_2}=\sqrt{3^2+4^2}=5,\\[3pt] s_1=\frac{1}{|l_1|}\cdot l_1= \begin{pmatrix}\dfrac{4}{5}\\[8pt]-\dfrac{4}{5}\end{pmatrix}\!, \quad s_2=\frac{1}{|l_2|}\cdot l_2= \begin{pmatrix}\dfrac{3}{5}\\[8pt]\dfrac{4}{5}\end{pmatrix}\!. \end{gathered}[/math]

6. Находим координаты [math]x_0,\,y_0[/math] начала [math]O'[/math] канонической системы координат, решая систему уравнений (см. пункт 6,"а" алгоритма):


[math]A\cdot s+a=o[/math] или [math]\begin{cases} 52\cdot x_0+36\cdot y_0-140=0,\\ 36\cdot x_0+73\cdot y_0-145=0, \end{cases}\Leftrightarrow~~\! \begin{cases}x_0=2,\\y_0=1.\end{cases}[/math]

Следовательно, вектор [math]\vec{s}=\overrightarrow{OO'}[/math] переноса начала координат имеет координаты [math]s=\begin{pmatrix}2&1\end{pmatrix}^T[/math] или, что то же самое, начало [math]O'[/math] канонической системы координат имеет координаты [math]O'(2;1)[/math] относительно исходной системы координат.


7. Вычисляем коэффициенты канонического уравнения (1) эллипса (см. пункт 7,"а" алгоритма):


[math]a^2= -\frac{\Delta}{\lambda_1\cdot\delta}=-\frac{-250000}{25\cdot2500}=4, \quad b= -\frac{\Delta}{\lambda_2\cdot\delta}=-\frac{-250000}{100\cdot2500}=1.[/math]

Следовательно, каноническое уравнение заданной линии имеет вид: [math]\frac{(x')^2}{2^2}+\frac{(y')^2}{1^2}=1[/math].


8. На координатной плоскости [math]Oxy[/math] изображаем каноническую систему координат [math]O'x'y'[/math] с началом в точке [math]O'(2;1)[/math], с базисными векторами [math]\vec{s}_1=\frac{4}{5}\cdot\vec{i}-\frac{3}{5}\cdot\vec{j},[/math] [math]\vec{s}_2=\frac{3}{5}\cdot\vec{i}+\frac{4}{5}\cdot\vec{j}[/math] (см. рис.3.61).


9. В канонической системе координат строим основной прямоугольник со сторонами [math]2a=4,~2b=2[/math], а затем эллипс [math]\frac{(x')^2}{2^2}+\frac{(y')^2}{1^2}=1[/math] (см. пример 3.20).


Пример 3.25. В прямоугольной системе координат [math]Oxy[/math] построить линию, заданную уравнением:

[math]-7\cdot x^2+52\cdot x\cdot y+32\cdot y^2-180\cdot x-360\cdot y+720=0.[/math]

▼ Решение

Составляем матрицу [math]P[/math] квадратичной функции, матрицу [math]A[/math] квадратичной формы и столбец [math]a[/math] коэффициентов линейной формы:


[math]P= \begin{pmatrix}-7&26&-90\\ 26&32&-180\\-90&-180&720\end{pmatrix}\!, \quad A= \begin{pmatrix}-7&26\\ 26&32\end{pmatrix}\!, \quad a=\begin{pmatrix}-90\\-180\end{pmatrix}\!.[/math]

2. Вычисляем инварианты: [math]\tau=-7+32=25,[/math]


[math]\delta=\det{A}= \begin{vmatrix}-7&26\\ 26&32\end{vmatrix}=-900, \quad \Delta=\det{P}= \begin{vmatrix}-7&26&-90\\ 26&32&-180\\-90&-180&720\end{vmatrix}=162000.[/math]

Так как [math]\delta\ne0[/math], то вычислять семиинвариант [math]\kappa[/math] не нужно.


Составляем характеристическое уравнение [math]\lambda^2-25\lambda-900=0[/math], находим корни [math]\lambda=-20[/math] и [math]\lambda=45[/math].


3. По таблице 3.2 определяем, что заданное уравнение является уравнением гиперболы, так как [math]\delta<0,[/math] [math]\Delta\ne0.[/math]


4. Поскольку линия гиперболического типа, корни характеристического уравнения обозначим следующим образом (см. пункт 4,"б" алгоритма): [math]\lambda_1=45,[/math] [math]\lambda_2=-20,[/math] чтобы выполнялось условие [math]\lambda_1\cdot\Delta>0.[/math]


5. Находим взаимно ортогональные собственные направления [math]l_1,\,l_2[/math] соответствующие корням [math]\lambda_1,\,\lambda_2[/math] характеристического уравнения. Поскольку корни простые (пункт "б"), то находим ненулевые решения [math]l_1,\,l_2[/math] однородных систем [math](A-\lambda_iE)l_i=o,~i=1,2:[/math]


для [math]\lambda_1=45\colon \begin{pmatrix}-7-45&26\\ 26& 32-45\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix} \!\quad \Rightarrow\quad\! \begin{cases}x=1,\\y=2,\end{cases} \Rightarrow \quad l_1=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\!;[/math]


для [math]\lambda_2=-20\colon \begin{pmatrix}-7+20&26\\ 26& 32+20\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix} \!\quad \Rightarrow\quad\! \begin{cases}x=2,\\y=-1,\end{cases} \Rightarrow \quad l_2=\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}\!.[/math]


Нормируя полученные векторы [math]l_1,\,l_2[/math], определяем координатные столбцы векторов канонического базиса:


[math]\begin{gathered} |l_1|=\sqrt{l_1^T\cdot l_1}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}, \quad |l_2|=\sqrt{l_2^T\cdot l_2}=\sqrt{2^2+(-1)^2}=\sqrt{5},\\[3pt] s_1=\frac{1}{|l_1|}\cdot l_1= \begin{pmatrix}\dfrac{1}{\sqrt{5}}\\[8pt]\dfrac{2}{\sqrt{5}}\end{pmatrix}\!, \quad s_2=\frac{1}{|l_2|}\cdot l_2= \begin{pmatrix}\dfrac{2}{\sqrt{5}}\\[8pt]\dfrac{-1}{\sqrt{5}}\end{pmatrix}\!. \end{gathered}[/math]

6. Находим координаты [math]x_0,\,y_0[/math] начала [math]O'[/math] канонической системы координат, решая систему уравнений (см. пункт 6,"а" алгоритма):


[math]A\cdot s+a=o[/math] или [math]\begin{cases}-7\cdot x+26\cdot y-90=0,\\ 26\cdot x+32\cdot y-180=0.\end{cases}[/math]

Получаем [math]x_0=2,\,y_0=4.[/math]. Следовательно, вектор [math]\vec{s}= \overrightarrow{OO'}[/math] переноса начала координат имеет координаты [math]s=\begin{pmatrix} 2&4\end{pmatrix}^T[/math] или, что то же самое, начало [math]O'[/math] канонической системы координат имеет координаты [math]O'(2;4)[/math] относительно исходной системы координат.


7. Вычисляем коэффициенты канонического уравнения (4) гиперболы (см. пункт 7,"б" алгоритма):


[math]a^2=-\frac{\Delta}{\lambda_1\cdot\delta}=-\frac{162000}{45\cdot(-900)}=4, \quad b^2=\frac{\Delta}{\lambda_2\cdot\delta}=-\frac{162000}{(-20)\cdot(-900)}=9.[/math]

Следовательно, каноническое уравнение заданной линии имеет вид: [math]\frac{(x')^2}{2^2}-\frac{(y')^2}{3^2}=1.[/math].


8. На координатной плоскости [math]Oxy[/math] изображаем каноническую систему координат [math]O'x'y'[/math] с началом в точке [math]O'(2;4)[/math], с базисными векторами [math]\vec{s}_1=\frac{\vec{i}}{\sqrt{5}}+\frac{2\vec{j}}{\sqrt{5}},[/math] [math]\vec{s}_2=\frac{2\vec{i}}{\sqrt{5}}-\frac{\vec{j}}{\sqrt{5}}[/math] (рис.3.62).


9. В канонической системе координат строим основной прямоугольник со сторонами [math]2\cdot a=4,[/math] [math]2\cdot b=6,[/math] затем — асимптоты (продлевая диагонали прямоугольника) и, наконец, — гиперболу [math]\frac{(x')^2}{2^2}-\frac{(y')^2}{3^2}=1[/math] (см. пример 3.21).


Пример 3.26. В прямоугольной системе координат [math]Oxy[/math] построить линию, заданную уравнением:

[math]25\cdot x^2-120\cdot x\cdot y+144\cdot y^2-78\cdot x+1066\cdot y+845=0.[/math]

▼ Решение

Составляем матрицу [math]P[/math] квадратичной функции, матрицу [math]A[/math] квадратичной формы и столбец [math]a[/math] коэффициентов линейной формы:


[math]P=\begin{pmatrix}25&-60&-39\\ -60&144&533\\ -39&533&845\end{pmatrix}\!,\quad A=\begin{pmatrix}25&-60\\ -60&144\end{pmatrix}\!,\quad a=\begin{pmatrix}-39\\533 \end{pmatrix}\!.[/math]

2. Вычисляем инварианты:


[math]\tau=25+144=169, \quad \delta=\det{A}=\begin{vmatrix}25&-60\\ -60&144\end{vmatrix}=0, \quad \Delta=\det{P}=\begin{vmatrix}25&-60&-39\\ -60&144&533\\ -39&533&845\end{vmatrix}=-4\,826\,809.[/math]

Составляем характеристическое уравнение [math]\lambda^2-169\lambda=0[/math], находим корни [math]\lambda=0[/math] и [math]\lambda=169[/math].


3. По таблице 3.2 определяем, что заданное уравнение является уравнением параболы, так как [math]\delta=0,[/math] [math]\Delta\ne0.[/math]


4. Поскольку линия параболического типа, корни характеристического уравнения обозначим следующим образом (см. пункт 4,"в" алгоритма): [math]\lambda_1=0,[/math] [math]\lambda_2=169,[/math] чтобы выполнялись условия [math]\lambda_1=0,[/math] [math]\lambda_2\ne0.[/math]


5. Находим взаимно ортогональные собственные направления [math]l_1,\,l_2[/math], соответствующие корням [math]\lambda_1,\,\lambda_2[/math] характеристического уравнения. Поскольку корни простые (пункт "б"), то находим ненулевые решения [math]l_1,\,l_2[/math] однородных систем [math](A-\lambda_iE)l_i=o,~i=1,2:[/math]


для [math]\lambda=0\colon \begin{pmatrix}25&-60\\ -60&144\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\! \quad \Rightarrow \quad \begin{cases}x=12,\\ y=5\end{cases} \Rightarrow \quad l_1= \begin{pmatrix}12\\5\end{pmatrix}\!;[/math]


согласно пункту 3 замечаний 3.17, в качестве [math]l_2[/math] возьмем ненулевой столбец [math]l_2=\begin{pmatrix}5\\-12\end{pmatrix},[/math] пропорциональный первому столбцу матрицы [math]A[/math].


Условие [math]\tau\cdot a^T\cdot l_1\leqslant0[/math] для направления [math]l_1[/math] не выполняется:


[math]\tau\cdot a^T\cdot l_1= 169\cdot\begin{pmatrix} -39&533\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix} 12\\5 \end{pmatrix}=371293>0.[/math]

Поэтому заменяем столбец [math]l_1[/math] на противоположный, полагая [math]l_1=\begin{pmatrix}-12\\-5\end{pmatrix}.[/math]


Нормируя полученные векторы [math]l_1,\,l_2[/math], определяем координатные столбцы векторов канонического базиса:


[math]\begin{gathered} |l_1|=\sqrt{l_1^T\cdot l_1}=\sqrt{(-12)^2+(-5)^2}=13, \quad |l_2|=\sqrt{l_2^T\cdot l_2}=\sqrt{5^2+(-12)^2}=13,\\[3pt] s_1=\frac{1}{|l_1|}\cdot l_1= \begin{pmatrix}-\dfrac{12}{13}\\[9pt] -\dfrac{5}{13}\end{pmatrix}\!, \quad s_2=\frac{1}{|l_2|}\cdot l_2= \begin{pmatrix}\dfrac{5}{13}\\[9pt] -\dfrac{12}{13}\end{pmatrix}\!. \end{gathered}[/math]

6. Находим координаты [math]x_0,\,y_0[/math] начала [math]O'[/math] канонической системы координат. Поскольку линия является параболой, вычисляем


[math]\begin{gathered}a^T\cdot s_1= \begin{pmatrix}-39&533\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}-\dfrac{12}{13}\\[9pt] -\dfrac{5}{13}\end{pmatrix}=-169, \quad a_{\operatorname{pr}}= (a^T\cdot s_1)\cdot s_1=-169\cdot\!\begin{pmatrix}-\dfrac{12}{13}\\[9pt] -\dfrac{5}{13}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}156&65\end{pmatrix}\!,\\[3pt] a+ a_{\operatorname{pr}}= \begin{pmatrix}-39&533\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}156&65\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}117&598\end{pmatrix}\!. \end{gathered}[/math]

Составляем систему уравнений с учетом пункта 2 замечаний 3.17:


[math]\begin{gathered}\begin{cases} \lambda_2\cdot l_2^T\cdot s+l_2^T\cdot a=0,\\[2pt](a+a_{\operatorname{pr}})^T\cdot s+a_0=0, \end{cases} \Leftrightarrow \quad \begin{cases}169\cdot \!\begin{pmatrix} 5&-12\end{pmatrix}\!\cdot\!\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}5&-12\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix} -39\\533\end{pmatrix}=0,\\[2pt] \begin{pmatrix} 117&598\end{pmatrix} \!\cdot \! \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}+845=0, \end{cases} \Leftrightarrow\\[3pt] \Leftrightarrow \quad \begin{cases}845\cdot x-2028\cdot y-6591=0,\\ 117\cdot x+598\cdot y+845=0,\end{cases} \Leftrightarrow \quad \begin{cases}5\cdot x-12\cdot y-39=0,\\ 9\cdot x+46\cdot y+65=0.\end{cases} \end{gathered}[/math]

Получаем [math]x_0=3,~y_0=-2[/math]. Следовательно, вектор [math]\vec{s}=\overrightarrow{OO'}[/math] переноса начала координат имеет координаты [math]s=\begin{pmatrix}3&-2\end{pmatrix}^T[/math] или, что то же самое, начало [math]O'[/math] канонической системы координат имеет координаты [math]O'(3;-2)[/math] относительно исходной системы координат.


7. Вычисляем коэффициент канонического уравнения (6) параболы (см. пункт 7,"в" алгоритма): [math]p=\sqrt{-\frac{\Delta}{\tau^3}}=\sqrt{-\frac{-4\,826\,809}{169^3}}=1.[/math] Следовательно, каноническое уравнение заданной линии имеет вид: [math](y')^2=2\cdot1\cdot x'.[/math]


8. На координатной плоскости [math]Oxy[/math] изображаем каноническую систему координат [math]O'x'y'[/math] с началом в точке [math]O'(3;-2),[/math] с базисными векторами [math]\vec{s}_1=-\frac{12}{13}\,\vec{i}-\frac{5}{13}\,\vec{j},[/math] [math]\vec{s}_2=\frac{5}{13}\,\vec{i}-\frac{12}{13}\,\vec{j}[/math] (рис.3.63).


9. В канонической системе координат строим параболу [math](y')^2=2\cdot1\cdot x'.[/math]


Поворот эллипса, гиперболы и параболы в прямоугольной системе координат

Пример 3.27. В прямоугольной системе координат Оху линии второго порядка заданы уравнениями:[/indent]
а) [math]52\cdot x^2+72\cdot x\cdot y+73\cdot y^2-280\cdot x-290\cdot y+325=0[/math];
б) [math]-7\cdot x^2+52\cdot x\cdot y+32\cdot y^2-180\cdot x-360\cdot y+720=0[/math];
в) [math]25\cdot x^2-120\cdot x\cdot y+144\cdot y^2-78\cdot x+1066\cdot y+845=0[/math].
Определить расположение начала координат [math]O(0;0)[/math] относительно заданных линий.

▼ Решение

а) Вычисляем инварианты (см. пример 3.24): [math]\tau=125,[/math] [math]\delta=2500,[/math] [math]\Delta=-250000[/math] и находим по таблице 3.2, что заданное уравнение определяет эллипс. Вычисляем значение квадратичной функции


[math]p(x,y)=52\cdot x^2+72\cdot x\cdot y+73\cdot y^2-280\cdot x-290\cdot y+325[/math]

в точке [math]O(0;0)\colon p(0;0)=325[/math]. Так как [math]\tau\cdot p(0;0)125\cdot325>0[/math], то делаем вывод, что точка [math]O(0;0)[/math] лежит вне эллипса, т.е. является внешней для заданного эллипса (см. пункт 1. теоремы 3.5).


б) Вычисляем инварианты (см. пример 3.25): [math]\tau=25,~\delta=-900,~\Delta=162000[/math] и находим по таблице 3.2, что заданное уравнение определяет гиперболу. Вычисляем значение квадратичной функции


[math]p(x,y)=-7\cdot x^2+52\cdot x\cdot y+32\cdot y^2-180\cdot x-360\cdot y+720[/math]

в точке [math]O(0;0)\colon p(0;0)=720[/math]. Так как [math]\Delta\cdot p(0;0)=162000\cdot325>0[/math], то делаем вывод, что точка [math]O(0;0)[/math] внешняя точка гиперболы (см. пункт 2. теоремы 3.5).


в) Вычисляем инварианты (см. пример 3.26): [math]\tau=169,~\delta=0,~\Delta=-4\,826\,809[/math] и находим по таблице 3.2, что заданное уравнение определяет параболу. Вычисляем значение квадратичной функции


[math]p(x,y)=25\cdot x^2-120\cdot x\cdot y+144\cdot y^2-78\cdot x+1066\cdot y+845[/math]

в точке [math]O(0;0)\colon p(0;0)=845[/math]. Так как [math]\tau\cdot p(0;0)=169\cdot845>0[/math], то делаем вывод, что точка [math]O(0;0)[/math] лежит вне параболы (см. пункт 1 теоремы 3.5).


Полученные выводы подтверждаются рис.3.61, 3.62,3.63.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved