Приведение уравнения линии второго порядка к каноническому виду
Пусть в прямоугольной системе координат алгебраическая линия второго порядка задана уравнением (3.34):
Чтобы привести уравнение к каноническому виду, нужно выполнить следующие действия.
1. Если в уравнении имеется член с произведением неизвестных , то делаем поворот системы координат:
на угол , удовлетворяющий равенству . При этом получим "почти" приведенное уравнение линии второго порядка:
Если , переходим к пункту 2, поворот системы координат делать не нужно, так как исходное уравнение имеет "почти" приведенный вид.
2. Выполняем параллельный перенос системы координат:
а) если в уравнении нет линейных членов, то переходим к пункту 3;
б) если в уравнении имеется линейный член с какой-либо неизвестной и квадратичный член с этой же неизвестной, то, дополняя эти члены до полного квадрата, делаем замену, чтобы в уравнении не стало линейного члена с этой неизвестной. Например, если в уравнении и ,то выполняем преобразования:
а затем замену неизвестных , после которой в уравнении не будет линейного члена с неизвестной ;
в) если в уравнении имеется только один линейный член с какой-либо неизвестной, а квадрат этой неизвестной отсутствует, то при помощи замены этой переменной надо сделать равным нулю свободный член уравнения. Например, если уравнение имеет вид
то, выполняя замену неизвестных , получаем уравнение без свободного члена:
3. Полученное в результате упрощений (пункт 2) уравнение имеет "почти" канонический вид. Для окончательного упрощения "почти" канонического уравнения при необходимости применяются следующие преобразования:
а) переименование координатных осей: ; б) изменение направления координатной оси, например оси абсцисс: ; в) умножение обеих частей уравнения на отличный от нуля множитель; г) перенос членов из одной части уравнения в другую.
В результате этих преобразований уравнение приводится к каноническому виду. Замену неизвестных, приводящую уравнение поверхности к каноническому виду, определяем как композицию всех замен, применяемых в ходе решения.
Пример 3.19. В прямоугольной системе координат заданы уравнения алгебраических линий второго порядка:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
Каждое уравнение привести к каноническому виду. Указать связь между исходной и канонической системами координат.
Решение а)
Решение б)
Решение в)
Решение г)
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
|