Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Приведение матрицы к жордановой форме
ОглавлениеЛинейная алгебра

Приведение матрицы к жордановой форме


Задача приведения матрицы к жордановой форме формулируется следующим образом. Требуется привести квадратную матрицу [math]A[/math] к жордановой форме [math]J_A[/math] при помощи преобразования подобия: [math]J_A=S^{-1}AS[/math], т.е.


найти жорданову форму [math]J_A[/math] квадратной матрицы [math]A[/math] {первый этап);

найти преобразующую матрицу [math]S[/math] (второй этап), для которой


[math]J_A=S^{-1}\cdot A\cdot S.[/math]
(7.39)

В некоторых прикладных и теоретических задачах достаточно определить только жорданову форму матрицы, т.е. ограничиться первым этапом. Однако чаще кроме жордановой формы [math]J_A[/math] матрицы [math]A[/math] требуется также найти и преобразующую матрицу [math]S[/math], т.е. выполнить оба этапа.




Нахождение жордановой формы матрицы


Для нахождения жордановой формы [math]J_A[/math] квадратной матрицы [math]A[/math] нужно выполнить следующие действия.


1. Составить характеристическую матрицу [math](A-\lambda E)[/math].

2. Найти ее инвариантные множители (7.33) одним из способов, рассмотренных ранее.

3. По инвариантным множителям (7.33) составить таблицу (7.34) элементарных делителей.

4. По элементарным делителям составить жорданову форму [math]J_A[/math].




Нахождение преобразующей матрицы


Рассмотрим два способа нахождения преобразующей матрицы.


Первый способ. Если жорданова форма [math]J_A[/math] матрицы [math]A[/math] известна, то для нахождения преобразующей матрицы [math]S[/math] нужно выполнить следующие действия.


1. Составить матричное уравнение [math]SJ_A=AS[/math] относительно неизвестной матрицы [math]S[/math], которое равносильно однородной системе [math]n^2[/math] линейных уравнении с [math]n^2[/math] неизвестными элементами [math]s_{ij}[/math] матрицы [math]S[/math].


2. Найти такое частное решение этой системы уравнений, для которого [math]\det{S}\ne0[/math].


Второй способ. Для нахождения преобразующей матрицы [math]S[/math] можно использовать следствие теоремы 7.7.


1. Составить блочную λ-матрицу [math](A-\lambda E\mid E)[/math], приписав к характеристической матрице [math](A-\lambda E)[/math] единичную матрицу того же порядка. При помощи элементарных преобразований, выполняемых над строками и столбцами блочной матрицы, привести ее левый блок к нормальному диагональному виду (7.9). При этом блочная матрица преобразуется к виду [math]\begin{pmatrix}\Lambda(\lambda)\!\!&\vline\!\!&S_A(\lambda)\end{pmatrix}[/math], где [math]\Lambda(\lambda)=\operatorname{diag}(e_1(\lambda),\ldots,e_n(\lambda))[/math] — матрица нормального диагонального вида, эквивалентная матрице [math](A-\lambda E)[/math], a [math]S_A(\lambda)[/math] — некоторая элементарная λ-матрица.


2. Составить блочную λ-матрицу [math](J_A-\lambda E\mid E)[/math], приписав к характеристической матрице [math](J_A-\lambda E)[/math] единичную матрицу того же порядка. При помощи элементарных преобразований, выполняемых над строками и столбцами блочной матрицы, привести ее левый блок к нормальному диагональному виду (7.9). При этом блочная матрица преобразуется к виду [math]\begin{pmatrix}\Lambda(\lambda)\!\!&\vline\!\!&S_J(\lambda)\end{pmatrix}[/math], где [math]\Lambda(\lambda)=\operatorname{diag}(e_1(\lambda),\ldots,e_n(\lambda))[/math] -такая же матрица, что и в пункте 1, а [math]S_J(\lambda)[/math] — некоторая элементарная λ-матрица.


3. Найти λ-матрицу [math]S(\lambda)=S_J^{-1}(\lambda)\cdot S_A(\lambda)[/math].


4. Вычислить левое значение [math]S_{\text{left}}(J_A)[/math] при замене переменной [math]\lambda[/math] матрицей [math]J_A[/math].


5. Найти преобразующую матрицу [math]S[/math], обращая матрицу [math]S_{\text{left}}(J_A)\colon~ S=[S_{\text{left}}(J_A)]^{-1}[/math].


Действительно, при помощи элементарных преобразований характеристические матрицы [math](A-\lambda E)[/math] и [math](J_A-\lambda E)[/math] приводятся к одному и тому же нормальному диагональному виду [math]\Lambda(\lambda):[/math]


[math]S_J(\lambda)\cdot (J_1-\lambda E)\cdot T_J(\lambda)= \Lambda(\lambda)= S_A(\lambda)\cdot (A-\lambda E)\cdot T_A(\lambda).[/math]

Отсюда [math]J_A-\lambda E=S_J^{-1}(\lambda)S_A(\lambda)(A-\lambda E)T_A(\lambda)T_J^{-1}(\lambda)[/math], то есть


[math]J_A-\lambda E=S(\lambda)\cdot (A-\lambda E)\cdot T(\lambda),[/math] где [math]S(\lambda)=S_J^{-1}(\lambda) S_A(\lambda),~ T(\lambda)=T_A(\lambda)T_J^{-1}(\lambda).[/math]

Согласно следствию теоремы j? 7.6, преобразующая числовая матрица [math]S=[S_{\text{left}}(J_A)]^{-1}[/math], т.е. [math]S[/math] — это матрица, /Обратная к левому значению λ-матрицы [math]S_{\text{left}}(J_A)[/math] при подстановке вместо [math]\lambda[/math] матрицы [math]J_A[/math].




Замечания 7.7.


1. Несмотря на простоту, первый способ мало пригоден из-за большого Объема вычислений. Количество решаемых уравнений [math]n^2[/math].


2.Второй способ позволяет полностью решить задачу приведения матрицы к жордановой форме. Выполняя пункт 1, находим нормальный диагональный вид [math]\Delta(\lambda)= \operatorname{diag}(e_1(\lambda),\ldots,e_n(\lambda))[/math] характеристической матрицы [math](A-\lambda E)[/math], и, как следствие, ее инвариантные множители [math]e_1(\lambda),\ldots,e_n(\lambda)[/math]. Тогда выполняя пункты 3, 4 алгоритма нахождения жордановой формы, получим жорданову форму [math]J_A[/math] матрицы [math]A[/math]. Далее выполняем пункты 2, 3 второго способа и находим преобразующую матрицу.


3. В пунктах 1,2 второго способа λ-матрицы, стоящие в левых блоках матриц [math](A-\lambda E\mid E)[/math] и [math](J_A-\lambda E\mid E)[/math], приводятся к нормальному диагональному виду при помощи элементарных преобразований над строками и над столбцами. При этом правые блоки этих матриц "учитывают" только преобразования строк, в отличие от алгоритма, описанного в пункте 5 замечаний 7.4.


4. Преобразующая матрица [math]S[/math] в (7.39) определяется неоднозначно. В самом деле, если [math]S[/math] — преобразующая матрица, а [math]M[/math] — невырожденная матрица, перестановочная с [math]A[/math] [math](AM=MA)[/math] , то матрица [math]T=MS[/math] будет также преобразующей. Действительно, матрица [math]T[/math] — обратимая и


[math]T^{-1}\cdot A\cdot T= S^{-1}\cdot M^{-1}\cdot A\cdot M\cdot S= S^{-1}\cdot M^{-1}\cdot M\cdot A\cdot S=S^{-1}\cdot A\cdot S=J_A.[/math]

Первый способ нахождения преобразующей матрицы, вообще говоря, позволяет найти все такие матрицы, перебирая в пункте 2 подходящие частные решения однородной системы. Второй способ позволяет найти одну преобразующую матрицу из этого множества. Как правило, на практике достаточно найти хотя бы одну преобразующую матрицу.


5. Задачу приведения матрицы к диагональному виду можно считать частным случаем задачи приведения матрицы к жордановой форме. Если квадратная матрица [math]A[/math] n-го порядка имеет [math]n[/math] линейно независимых собственных векторов, то, как это следует из теоремы 7.5, ее жорданова форма [math]J_A[/math] является диагональной матрицей (с собственными значениями на главной диагонали), а преобразующая матрица [math]S[/math] может быть составлена из [math]n[/math] линейно независимых собственных векторов матрицы [math]A[/math].




Пример 7.15. Привести к жордановой форме следующие матрицы:


[math]A=\begin{pmatrix}4&4\\ -1&0 \end{pmatrix}\!;\quad B=\begin{pmatrix} 1&0&1\\ 0&1&-1 \end{pmatrix}\!;\quad C=\begin{pmatrix} 1&1&1\\ 1&1&1\\ 1&1&1 \end{pmatrix}\!;\quad D=\begin{pmatrix} -2&5&-3\\ -2&5&-3\\ 1&-1&0 \end{pmatrix}\!.[/math]

Решение. Матрица [math]A[/math]. Первый этап — нахождение жордановой формы матрицы [math]A[/math].


1. Составляем характеристическую матрицу [math]A-\lambda E= \begin{pmatrix}4-\lambda&4\\ -1&-\lambda\end{pmatrix}[/math].


2. Инвариантные множители будем искать по формуле (7.11). Записываем миноры 1-го порядка: [math]M_{{}_1}^{{}^1}=4-\lambda,[/math] [math]M_{{}_2}^{{}^1}=4,[/math] [math]M_{{}_1}^{{}^2}=-1,[/math] [math]M_{{}_2}^{{}^2}=-\lambda[/math]. Находим наибольший общий делитель этих многочленов: [math]d_1(\lambda)=1[/math]. Минор второго порядка равен определителю характеристической матрицы [math]M_{{}_{1\,2}}^{{}^{1\,2}}= \begin{vmatrix}4-\lambda&4\\ -1&-\lambda \end{vmatrix}=(\lambda-2)^2[/math]. Следовательно, [math]d_2(\lambda)=(\lambda-2)^2[/math]. Таким образом, по формуле (7.11) получаем


[math]e_1(\lambda)=d_1(\lambda)=1,\qquad e_2(\lambda)=\frac{d_2(\lambda)}{d_1(\lambda)}= (\lambda-2)^2.[/math]

3. По инвариантным множителям составляем таблицу (7.34) элемен тарных делителей. Так как собственное значение матрицы единственное [math](\lambda_1=2)[/math], то таблица (7.34) состоит из одной строки (и одного столбца): [math](\lambda-2)^2[/math].


4. Единственному элементарному делителю [math](\lambda-2)^2[/math] соответствует од на жорданова клетка 2-го порядка, образующая жорданову форму матрицы [math]A\colon~ J_A= \begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}[/math].


Второй этап — нахождение преобразующей матрицы. Воспользуемся первым способом.


1. Составляем матричное уравнение [math]SJ_A=AS~\Rightarrow\, \begin{pmatrix}x&y\\z&w \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}4&4\\-1&0\end{pmatrix} \!\cdot\! \begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix}[/math]. Перемножая матрицы, получаем однородную систему уравнений относительно элементов искомой матрицы [math]S=\begin{pmatrix}x&y\\ z&w\end{pmatrix}\colon[/math]


[math]\begin{cases} 2x=4x+4z,\\ 2z=-x,\\x+2y=4y+4w,\\ z+2w=-y,\end{cases}\Leftrightarrow\quad \begin{cases} 2x+4z=0,\\ x+2z=0,\\ x-2y-4w=0,\\ y+z+2w=0.\end{cases}[/math]

2. Решаем эту систему. Расширенную матрицу системы приводим к ступенчатому, а затем к упрощенному виду:


[math]\begin{pmatrix}2&0&4&0\!\!&\vline\!\!&0\\ 1&0&2&0\!\!&\vline\!\!&0\\ 1&-2&0&-4\!\!&\vline\!\!&0\\ 0&1&1&2\!\!&\vline\!\!&0 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&0&2& 0\!\!&\vline\!\!&0\\ 0&0&0&0\!\!&\vline\!\!&0\\ 0&-2&-2&-4\!\!&\vline\!\!&0\\ 0&1&1& 2\!\!&\vline\!\!&0 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&0&2&0\!\!&\vline\!\!&0\\ 0&1&1&2\!\!& \vline\!\!&0\\ 0&0&0&0\!\!&\vline\!\!&0\\ 0&0&0&0\!\!&\vline\!\!&0 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} E_2\!\!&\vline\!\!&A'\!\!&\vline\!\!&o\\\hline O\!\!&\vline\!\!&O\!\!&\vline\!\!&o \end{pmatrix}\!,[/math]

где [math]A'=\begin{pmatrix}2&0\\1&2\end{pmatrix}[/math]. Находим фундаментальную матрицу [math]\Phi[/math] и общее решение:


[math]\Phi=\begin{pmatrix}\dfrac{-A'}{E_2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&0\\-1&-2\\\hline 1&0\\0&1\end{pmatrix}\!,\quad \begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}=C_1\cdot\! \begin{pmatrix}-2\\-1\\1\\0\end{pmatrix}+ C_2\cdot\! \begin{pmatrix}0\\-2\\0\\1\end{pmatrix}\!,[/math] где [math]C_1,\,C_2[/math] — произвольные постоянные.

Следовательно, любая преобразующая матрица имеет вид


[math]S=\begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-2C_1&-C_1-2C_2\\ C_1&C_2 \end{pmatrix}\!,[/math]

где [math]C_1,\,C_2[/math] — произвольные постоянные, но [math]C_1\ne0[/math], так как матрица [math]S[/math] невырожденная:


[math]\det{S}=-2C_1\cdot C_2+C_1^2+2C_1\cdot C_2=C_1^2\ne0.[/math]

Например, при [math]C_1=-1,~ C_2=0[/math] получаем [math]S=\begin{pmatrix}2&1\\-1&0 \end{pmatrix}[/math].


Используем второй способ нахождения преобразующей матрицы.


Составляем блочную матрицу: [math](A-\lambda E\mid E)= \begin{pmatrix}4-\lambda&4\!\!&\vline\!\!&1&0\\ -1&-\lambda\!\!& \vline\!\!&0&1\end{pmatrix}[/math]. При помощи элементарных преобразований, выполняемых над строками и над столбцами этой блочной матрицы, приводим левый блок к нормальному диагональному виду. Меняем местами строки и умножаем первую строку на (-l). Выбрав ведущий элемент, равный единице, делаем равными нулю остальные элементы в первом столбце и в первой строке левого блока:


[math]\begin{pmatrix}4-\lambda&4\!\!&\vline\!\!&1&0\\ -1&-\lambda\!\!& \vline\!\!&0&1 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&\lambda \!\!&\vline\!\!&0&-1\\ 4-\lambda&4\!\!& \vline\!\!&1&0 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&0 \!\!&\vline\!\!&0&-1\\ 0&(\lambda-2)^2\!\!& \vline\!\!&1&4-\lambda\end{pmatrix}\!.[/math] Следовательно, [math]S_{A}(\lambda)=\begin{pmatrix}0&-1\\ 1&4-\lambda\end{pmatrix}\!.[/math]

2. Составляем блочную матрицу и приводим левый блок этой матрицы к нормальному диагональному виду


[math]\begin{pmatrix}J_A-\lambda E\!\!&\vline\!\!&E\end{pmatrix}\!=\! \begin{pmatrix}2-\lambda&1\!\!&\vline\!\!&1&0\\ 0&2-\lambda\!\!& \vline\!\!&0&1\end{pmatrix}\!\sim\! \begin{pmatrix} 1&2-\lambda\!\!&\vline\!\!&1&0\\ 2-\lambda&0\!\!& \vline\!\!&0&1\end{pmatrix}\!\sim\! \begin{pmatrix} 1&\lambda-2\!\!&\vline\!\!&1&0\\ 2-\lambda&0\!\!& \vline\!\!&0&1\end{pmatrix}\!\sim\! \begin{pmatrix} 1&0\!\!&\vline\!\!&1&0\\ 0&(\lambda-2)^2\!\!& \vline\!\! \lambda-20&1\end{pmatrix}\!.[/math]

Следовательно, [math]S_J(\lambda)=\begin{pmatrix}1&0\\ \lambda-2&1\end{pmatrix}[/math].


3. Обращаем матрицу [math]S_J^{-1}(\lambda)=\frac{1}{\det{S_J(\lambda)}}\cdot S_J^{+}(\lambda)= \frac{1}{1}\cdot\! \begin{pmatrix}1&0\\2-\lambda&1\end{pmatrix}[/math]. Находим λ-матрицу, которая оказалась не зависящей от [math]\lambda:[/math]


[math]S(\lambda)=S_J^{-1}(\lambda)\cdot S_A(\lambda)= \begin{pmatrix}1&0\\ 2-\lambda&1 \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}0&-1\\1&4-\lambda \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0&-1\\1&2 \end{pmatrix}\!.[/math]

4. Так как λ-матрица [math]S(\lambda)[/math] оказалась числовой, то [math]S_{\text{left}}(J_A)=\begin{pmatrix} 0&-1\\1&2\end{pmatrix}[/math].


5. Находим преобразующую матрицу [math]S=[ S_{\text{left}}(J_A)]^{-1}= \begin{pmatrix}0&-1\\1&2\end{pmatrix}^{-1}= \begin{pmatrix} 2&1\\-1&0 \end{pmatrix}[/math]. Такой же результат, как частный случай, был получен первым способом.




Матрица [math]B[/math]. Будем искать преобразующую матрицу [math]S[/math] вторым способом. При этом попутно найдем и жорданову форму [math]J_B[/math] матрицы [math]B[/math] (см. пункт 2 замечаний 7.7).


1. Составляем блочную матрицу: [math](B-\lambda E\mid E)= \begin{pmatrix} 1-\lambda&0&1\!\!&\vline\!\!&1&0&0\\ 0&1-\lambda&-1\!\!&\vline\!\!&0&1&0\\ -1&-1&1-\lambda\!\!&\vline\!\!&0&0&1 \end{pmatrix}\!.[/math]


Выполняя элементарные преобразования над строками и над столбцами этой блочной матрицы, приводим левый блок к нормальному диагональному виду. Меняем местами первую и третью строки и умножаем первую строку на (-1). Выбрав ведущий элемент, равный единице, делаем равными нулю остальные элементы в первом столбце и в первой строке левого блока:


[math]\begin{gathered}\begin{pmatrix}1-\lambda&0&1\!\!&\vline\!\!&1&0&0\\ 0&1-\lambda&-1\!\!&\vline\!\!&0&1&0\\ -1&-1&1-\lambda\!\!&\vline\!\!&0&0&1\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}-1&-1&1-\lambda\!\!&\vline\!\!&0&0&1\\ 0&1-\lambda&-1\!\!&\vline\!\!&0&1&0\\ 1-\lambda&0&1\!\!& \vline\!\!&1&0&0\end{pmatrix}\sim\\[2pt] \sim\begin{pmatrix} 1&1&\lambda-1\!\!&\vline\!\!&0&0&-1\\ 0&1-\lambda&-1\!\!&\vline\!\!&0&1&0\\ 1-\lambda&0&1\!\!&\vline\!\!&1&0&0\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&0&0\!\!& \vline\!\!&0&0&-1\\ 0&1-\lambda&-1\!\!&\vline\!\!&0&1&0\\ 0&\lambda-1&(\lambda-1)^2+1\!\!&\vline\!\!&1&0&1-\lambda\end{pmatrix}\!.\end{gathered}[/math]

Меняем местами второй и третий столбцы и умножаем вторую строку на (-1). Выбрав ведущий элемент, равный единице, делаем равными нулю остальные элементы во втором столбце и во второй строке левого блока:


[math]\begin{gathered} \begin{pmatrix} 1&0&0\!\!& \vline\!\!&0&0&-1\\ 0&1-\lambda&-1\!\!& \vline\!\!&0&1&0\\ 0&\lambda-1&(\lambda-1)^2+1\!\!&\vline\!\!&1&0&1-\lambda\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&0&0\!\!& \vline\!\!&0&0&-1\\ 0&-1&1-\lambda\!\!&\vline\!\!&0&1&0\\ 0&(\lambda-1)^2+1&\lambda-1\!\!&\vline\!\!&1&0&1-\lambda\end{pmatrix}\sim\\[2pt] \begin{pmatrix} 1&0&0\!\!& \vline\!\!&0&0&-1\\ 0&1&\lambda-1\!\!&\vline\!\!&0&-1&0\\ 0&(\lambda-1)^2+1&\lambda-1\!\!&\vline\!\!&1&0&1-\lambda\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&0&0\!\!& \vline\!\!&0&0&-1\\ 0&1&0\!\!&\vline\!\!&0&-1&0\\ 0&0&(\lambda-1)^3\!\!&\vline\!\!&1&(\lambda-1)^2+1&1-\lambda\end{pmatrix}\!.\end{gathered}[/math]

Умножая третий столбец на (-1), получаем нормальную диагональную форму характеристической матрицы и матрицу [math]S_B(\lambda):[/math]


[math]B-\lambda E\sim \begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&(\lambda-1)^3\end{pmatrix}= \Lambda(\lambda),\quad S_B(\lambda)=\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&-1&0\\ 1&\lambda^2-2 \lambda+2& 1-\lambda\end{pmatrix}\!.[/math]

Находим жорданову форму [math]J_B[/math] матрицы [math]B[/math] (см. пункт 2 замечаний 7.7). По инвариантным множителям [math]e_1(\lambda)=e_2(\lambda)=1,[/math] [math]e_3(\lambda)= (\lambda-1)^3[/math] составляем таблицу элементарных делителей. Таблица состоит из одного делителя [math](\lambda-1)^3[/math], которому соответствует одна жорданова клетка 3-го порядка (для собственного значения [math]\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3[/math]):


[math]J_B=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}\!.[/math]

2. Составляем блочную матрицу


[math](J_B-\lambda E\mid E)= \begin{pmatrix}1-\lambda&1&0\!\!&\vline\!\!&1&0&0\\ 0&1-\lambda&1\!\!&\vline\!\!&0&1&0\\ 0&0&1-\lambda\!\!&\vline\!\!&0&0&1 \end{pmatrix}\!.[/math]

Приводим левый блок этой матрицы к нормальному диагональному виду. Меняем местами столбцы левого блока

[math]\begin{pmatrix}1-\lambda&1&0\!\!&\vline\!\!&1&0&0\\ 0&1-\lambda&1\!\!& \vline\!\!& 0&1&0\\ 0&0&1-\lambda\!\!&\vline\!\!&0&0&1 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&0&1-\lambda\!\!& \vline\!\!&1&0&0\\ 1-\lambda&1&0\!\!&\vline\!\!&0&1&0\\ 0&1-\lambda&0\!\!&\vline\!\!&0&0&1 \end{pmatrix}\!.[/math]

Выбираем ведущий элемент, равный единице, в левом верхнем углу. Делаем в левом блоке равными нулю все элементы ведущей (первой) строки и ведущего (первого) столбца, за исключением ведущего элемента:

[math]\begin{pmatrix} 1&0&1-\lambda\!\!& \vline\!\!&1&0&0\\ 1-\lambda&1&0\!\!&\vline\!\!& 0&1&0\\ 0&1-\lambda&0\!\!&\vline\!\!&0&0&1 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1&0&0\!\!& \vline\!\!&1&0&0\\ 0&1&-(\lambda-1)^2\!\!&\vline\!\!&\lambda-1&1&0\\ 0&1-\lambda& 0\!\!&\vline\!\!& 0&0&1 \end{pmatrix}\!.[/math]

Выбираем ведущий элемент, равный единице, на пересечении второго столбца и второй строки. К третьей строке прибавляем вторую, умноженную на [math](\lambda-1)[/math], а затем к третьему столбцу прибавляем второй, умноженный на [math](\lambda-1)^2[/math], и, наконец, умножаем третий столбец на (-1). В результате получим



[math]\begin{pmatrix} 1&0&0\!\!& \vline\!\!&1&0&0\\ 0&1&-(\lambda-1)^2\!\!&\vline\!\!& \lambda-1&1&0\\ 0&1-\lambda&0\!\!&\vline\!\!&0&0&1 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&0&0\!\!& \vline\!\!&1&0&0\\ 0&1&0\!\!&\vline\!\!&\lambda-1&1&0\\ 0&0&(\lambda-1)^3\!\!&\vline\!\!&(\lambda-1)^2&\lambda-1&1 \end{pmatrix}\!.[/math]

Следовательно, [math]S_J(\lambda)=\begin{pmatrix}1&0&0\\ \lambda-1&1&0\\ (\lambda-1)^2&\lambda-1&1 \end{pmatrix}\!,~ \Lambda(\lambda)= \operatorname{diag}\Bigl(1,1,(\lambda-1)^3\Bigr)[/math]


3. Обращаем матрицу [math]S_J^{-1}(\lambda)= \frac{1}{\det{S_J(\lambda)}}\cdot S_J^{+}(\lambda)= \begin{pmatrix}1&0&0\\ 1-\lambda&1&0\\ 0&1-\lambda&1\end{pmatrix}[/math].


Находим λ-матрицу [math]S(\lambda)=S_J^{-1}(\lambda)\cdot S_B(\lambda):[/math]


[math]S(\lambda)= \begin{pmatrix}1&0&0\\ 1-\lambda&1&0\\ 0&1-\lambda&1 \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}0&0&-1\\ 0&-1&-1\\ 1&(\lambda-1)^2+1&1-\lambda \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0&0&-1\\ 0&-1&\lambda-1\\ 1&\lambda^2-\lambda+1&1-\lambda \end{pmatrix}\!.[/math]

Представляем λ-матрицу [math]S(\lambda)[/math] в виде многочлена с матричными коэффициентами, ставя переменную [math]\lambda[/math] перед коэффициентами:


[math]S(\lambda)= \lambda^2\cdot\! \begin{pmatrix}0&0&0\\ 0&0&0\\ 0&1&0\end{pmatrix}+ \lambda\cdot\! \begin{pmatrix}0&0&0\\ 0&0&1\\ 0&-1&-1\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}0&0&-1\\ 0&-1&-1\\ 1&1&1 \end{pmatrix}\!.[/math]

Подставляем вместо аргумента [math]\lambda[/math] матрицу [math]J_B:[/math]


[math]\begin{aligned}S_{\text{left}}(J_B)&= \begin{pmatrix}1&1&0\\ 0&1&1\\ 0&0&1 \end{pmatrix}^2\!\cdot\! \begin{pmatrix}0&0&0\\ 0&0&0\\ 0&1&0\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 1&1&0\\ 0&1&1\\ 0&0&1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&-1&-1 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}0&0&-1\\0&-1&-1\\1&1&1\end{pmatrix}=\\[2pt] &=\begin{pmatrix} 1&2&1\\ 0&1&2\\ 0&0&1 \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}0&0&0\\ 0&0&0\\ 0&1&0 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}0&0&1\\ 0&-1&0\\ 0&-1&-1\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}0&0&-1\\ 0&-1&-1\\ 1&1&1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&-1\\ 1&1&0 \end{pmatrix}\!. \end{aligned}[/math]

5. Обращая полученную матрицу, находим преобразующую


[math]S=\Bigl[S_{\text{left}}(J_B)\Bigr]^{-1}= \begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&-1\\ 1&1&0\end{pmatrix}^{-1}= \begin{pmatrix}-1&0&1\\ 1&0&0\\ 0&-1&0\end{pmatrix}\!.[/math]

Сделаем проверку, сравнивая левую и правую части равенства [math]SJ_B=BS:[/math]


[math]\begin{aligned}S\cdot J_B&= \begin{pmatrix}-1&0&1\\ 1&0&0\\ 0&-1&0 \end{pmatrix} \!\cdot\! \begin{pmatrix}1&1&0\\ 0&1&1\\ 0&0&1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-1&-1&1\\ 1&1&0\\ 0&-1&-1 \end{pmatrix}\!;\\[5pt] B\cdot S&= \begin{pmatrix}1&0&1\\ 0&1&-1\\ -1&-1&1 \end{pmatrix} \!\cdot\! \begin{pmatrix}-1&0&1\\ 1&0&0\\ 0&-1&0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-1&-1&1\\ 1&1&0\\ 0&-1&-1 \end{pmatrix}\!. \end{aligned}[/math]

Следовательно, равенство верное.




Матрица [math]C[/math]. Применяем второй способ нахождения преобразующей матрицы, попутно определяя жорданову форму [math]J_C[/math] матрицы [math]C[/math] (см. пункт 2 замечаний 7.7).


1. Составляем блочную матрицу:


[math](C-\lambda E\mid E)= \begin{pmatrix}1-\lambda&1&1\!\!&\vline\!\!&1&0&0\\ 1&1-\lambda&1\!\!&\vline\!\!&0&1&0\\ 1&1&1-\lambda\!\!&\vline\!\!&0&0&1 \end{pmatrix}\!.[/math]

Элементарными преобразованиями приводим левый ее блок к нормальному диагональному виду (см. пример 7.12). Меняем местами первый и третий столбцы, выбираем первую строку и первый столбец в качестве ведущих и делаем равными нулю все элементы выбранной строки (в пределах левого блока) и выбранного столбца, за исключением ведущего элемента:


[math]\begin{pmatrix}1&1&1-\lambda\!\!&\vline\!\!&1&0&0\\ 1&1-\lambda&1\!\!& \vline\!\!& 0&1&0\\ 1-\lambda&1&1\!\!&\vline\!\!&0&0&1 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&0&0\!\!& \vline\!\!&1&0&0\\ 0&-\lambda&\lambda\!\!& \vline\!\!&-1&1&0\\ 0&\lambda&2 \lambda-\lambda^2\!\!& \vline\!\!&\lambda-1&0&1 \end{pmatrix}\!.[/math]

Умножаем второй столбец на (-l), выбираем ведущими вторую строку и второй столбец, делаем равными нулю соответствующие элементы этой строки и столбца:


[math]\begin{pmatrix} 1&0&0\!\!& \vline\!\!&1&0&0\\ 0&\lambda&\lambda\!\!& \vline\!\!&-1&1&0\\ 0&-\lambda&2 \lambda-\lambda^2\!\!& \vline\!\!&\lambda-1&0&1 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&0&0\!\!& \vline\!\!&1&0&0\\ 0&\lambda&0\!\!& \vline\!\!&-1&1&0\\ 0&0&3 \lambda-\lambda^2\!\!& \vline\!\!&\lambda-2&1&1 \end{pmatrix}\!.[/math]

Умножим третий столбец на (-1), чтобы старший коэффициент многочлена был равен единице. Итак, получили матрицу [math]S_C(\lambda)= \begin{pmatrix} 1&0&0\\-1&1&0\\ \lambda-2&1&1 \end{pmatrix}[/math] и нормальный диагональный вид характеристической матрицы [math](C-\lambda E)\sim \operatorname{diag}(1,\lambda,\lambda(\lambda-3))[/math]. Составляем таблицу (7.33) инвариантных множителей:


[math]e_1(\lambda)=1;\qquad e_2(\lambda)=\lambda;\qquad e_3(\lambda)=\lambda(\lambda-3).[/math]

Составляем таблицу (7.34) элементарных делителей: [math]\begin{vmatrix}\lambda,&\quad \lambda,\\ \lambda-3.&\quad {}\end{vmatrix}[/math]. Каждому из трех делителей соответствует жорданова клетка 1-го порядка (для собственных значений [math]\lambda_1=\lambda_2=0,[/math] [math]\lambda_3=3[/math]), т.е. жорданова форма матрицы [math]C[/math] — диагональная матрица:


[math]J_C=\operatorname{diag}\Bigl(J_1(0),\,J_1(0),\,J_1(3)\Bigr)= \begin{pmatrix}0&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&3 \end{pmatrix}\!.[/math]

2. Составляем блочную матрицу

[math]\Bigl(J_C-\lambda E\mid E\Bigr)= \begin{pmatrix} -\lambda&0&0\!\!& \vline\!\!&1&0&0\\ 0&-\lambda&0\!\!& \vline\!\!&0&1&0\\ 0&0&3-\lambda\!\!& \vline\!\!&0&0&1 \end{pmatrix}\!.[/math]


Левый блок этой матрицы имеет диагональный вид, который не является нормальным, так как [math](3-\lambda)[/math] не делится на [math](-\lambda)[/math]. Прибавляем к первому столбцу третий, к третьей строке прибавляем первую, умноженную на (-1), меняем местами первую и третью строки:


[math]\Bigl(J_C-\lambda E\mid E\Bigr)\sim\! \begin{pmatrix} -\lambda&0&0\!\!& \vline\!\!&1&0&0\\ 0&-\lambda&0\!\!& \vline\!\!&0&1&0\\ 3-\lambda&0&3-\lambda\!\!& \vline\!\!&0&0&1 \end{pmatrix}\!\sim\! \begin{pmatrix} -\lambda&0&0\!\!& \vline\!\!&1&0&0\\ 0&-\lambda&0\!\!& \vline\!\!&0&1&0\\ 3&0&3-\lambda\!\!& \vline\!\!&-1&0&1 \end{pmatrix}\!\sim\! \begin{pmatrix} 3&0&3-\lambda\!\!& \vline\!\!&-1&0&1\\ 0&-\lambda&0\!\!& \vline\!\!&0&1&0\\ -\lambda&0&0\!\!& \vline\!\!&1&0&0 \end{pmatrix}\!.[/math]

Разделим первый столбец на 3, возьмем ведущий элемент, стоящий в левом верхнем углу, и сделаем равными нулю соответствующие элементы:


[math]\begin{pmatrix} 1&0&3-\lambda\!\!& \vline\!\!&-1&0&1\\ 0&-\lambda&0\!\!& \vline\!\!&0&1&0\\ -\lambda/3&0&0\!\!& \vline\!\!&1&0&0 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&0&0\!\!& \vline\!\!&-1&0&1\\ 0&-\lambda&0\!\!& \vline\!\!&0&1&0\\ 0&0&\lambda-\lambda^2/3\!\!& \vline\!\!&1-\lambda/3&0&\lambda/3 \end{pmatrix}\!.[/math]

Умножив второй столбец на (-1), а третью строку на (-3), получим в левом блоке нормальный диагональный вид [math]\Lambda(\lambda)= \operatorname{diag}(1,\lambda,\lambda^2-3 \lambda)[/math], а в правом блоке матрицу


[math]S_J(\lambda)= \begin{pmatrix} -1&0&1\\0&1&0\\ \lambda-3&0&-\lambda\end{pmatrix}\!.[/math]

3. Обращаем матрицу [math]S_J(\lambda):[/math]

[math]S_J^{+}(\lambda)= \frac{1}{\det{S_J(\lambda)}}\cdot S_J^{+}(\lambda)= \frac{1}{3}\cdot\! \begin{pmatrix}-\lambda&0&-1\\ 0&3&0\\ 3-\lambda&0&-1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -\lambda/3&0&-1/3\\ 0&1&0\\ 1-\lambda/3&0&-1/3\end{pmatrix}\!.[/math]

Находим λ-матрицу S(\lambda)=S_J^{-1}(\lambda)\cdot S_C(\lambda):


[math]S(\lambda)= \begin{pmatrix}-\lambda/3&0&-1/3\\ 0&1&0\\ 1-\lambda/3&0&-1/3 \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&0&0\\ -1&1&0\\ \lambda-2&1&1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}2/3-2 \lambda/3&-1/3&-1/3\\ -1&1&0\\ 5/2-2 \lambda/3&-1/3&-1/3 \end{pmatrix}\!.[/math]

4. Представляем λ-матрицу [math]S(\lambda)[/math] в виде многочлена с матричными коэффициентами, помещая переменную [math]A[/math] перед коэффициентами:


[math]S(\lambda)= \lambda\cdot\! \begin{pmatrix} -2/3&0&0\\ 0&0&0\\ -2/3&0&0\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}2/3&-1/3&-1/3\\ -1&1&0\\ 5/3&-1/3&-1/3\end{pmatrix}\!.[/math]

Подставляем вместо аргумента [math]\lambda[/math] матрицу [math]J_C:[/math]


[math]S_{\text{left}}(J_C)= \begin{pmatrix} 0&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&3 \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}-2/3&0&0\\ 0&0&0\\ -2/3&0&0\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}2/3&-1/3&-1/3\\ -1&1&0\\ 5/3&-1/3&-1/3\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}2/3&-1/3&-1/3\\ -1&1&0\\ -1/3&-1/3&-1/3 \end{pmatrix}\!.[/math]

5. Обращая полученную матрицу, находим преобразующую


[math]S=\begin{pmatrix}2/3&-1/3&-1/3\\ -1&1&0\\ -1/3&-1/3&-1/3\end{pmatrix}^{-1}= \begin{pmatrix}1&0&-1\\ 1&1&-1\\ -2&-1&-1 \end{pmatrix}\!.[/math]

Сделаем проверку, вычислив матрицу [math]C=SJ_CS^{-1}:[/math]


[math]\begin{aligned}C&= \begin{pmatrix}1&0&-1\\ 1&1&-1\\ -2&-1&-1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}0&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&3 \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}2/3&-1/3&-1/3\\ -1&1&0\\ -1/3&-1/3&-1/3\end{pmatrix}=\\[2pt] &= \begin{pmatrix}1&0&-1\\ 1&1&-1\\ -2&-1&-1 \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}0&0&0\\ 0&0&0\\ -1&-1&-1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}\!.\end{aligned}[/math]

Заметим, что в примере 7.10 эта матрица была приведена к диагональному виду. Поэтому, согласно пункта 5 замечаний 7.7, ее жорданова форма является диагональной, а преобразующая матрица составляется из линейно независимых собственных векторов:


[math]J_C= \begin{pmatrix}0&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&3\end{pmatrix}\!,\qquad S=\begin{pmatrix} 1&1&1\\ 0&-1&1\\ -1&0&1 \end{pmatrix}\!.[/math]

Эта матрица [math]S[/math] отличается от найденной вторым способом. Но она тоже является преобразующей (проверка равенства [math]J_A=S^{-1}AS[/math] была фактически выполнена в примере 7.10).


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved