Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Приведение матрицы к жордановой форме

Приведение матрицы к жордановой форме


Задача приведения матрицы к жордановой форме формулируется следующим образом. Требуется привести квадратную матрицу A к жордановой форме J_A при помощи преобразования подобия: J_A=S^{-1}AS, т.е.


найти жорданову форму J_A квадратной матрицы A {первый этап);

найти преобразующую матрицу S (второй этап), для которой


J_A=S^{-1}\cdot A\cdot S.
(7.39)

В некоторых прикладных и теоретических задачах достаточно определить только жорданову форму матрицы, т.е. ограничиться первым этапом. Однако чаще кроме жордановой формы J_A матрицы A требуется также найти и преобразующую матрицу S, т.е. выполнить оба этапа.




Нахождение жордановой формы матрицы


Для нахождения жордановой формы J_A квадратной матрицы A нужно выполнить следующие действия (см. лекцию жордановой форме).


1. Составить характеристическую матрицу (A-\lambda E).

2. Найти ее инвариантные множители (7.33) одним из способов, рассмотренных в предыдущей лекции.

3. По инвариантным множителям (7.33) составить таблицу (7.34) элементарных делителей.

4. По элементарным делителям составить жорданову форму J_A.




Нахождение преобразующей матрицы


Рассмотрим два способа нахождения преобразующей матрицы.


Первый способ. Если жорданова форма J_A матрицы A известна, то для нахождения преобразующей матрицы S нужно выполнить следующие действия.


1. Составить матричное уравнение SJ_A=AS относительно неизвестной матрицы S, которое равносильно однородной системе n^2 линейных уравнении с n^2 неизвестными элементами s_{ij} матрицы S.


2. Найти такое частное решение этой системы уравнений, для которого \det{S}\ne0.


Второй способ. Для нахождения преобразующей матрицы S можно использовать следствие теоремы 7.7.


1. Составить блочную λ-матрицу (A-\lambda E\mid E), приписав к характеристической матрице (A-\lambda E) единичную матрицу того же порядка. При помощи элементарных преобразований, выполняемых над строками и столбцами блочной матрицы, привести ее левый блок к нормальному диагональному виду (7.9). При этом блочная матрица преобразуется к виду \begin{pmatrix}\Lambda(\lambda)\!\!&\vline\!\!&S_A(\lambda)\end{pmatrix}, где \Lambda(\lambda)=\operatorname{diag}(e_1(\lambda),\ldots,e_n(\lambda)) — матрица нормального диагонального вида, эквивалентная матрице (A-\lambda E), a S_A(\lambda) — некоторая элементарная λ-матрица.


2. Составить блочную λ-матрицу (J_A-\lambda E\mid E), приписав к характеристической матрице (J_A-\lambda E) единичную матрицу того же порядка. При помощи элементарных преобразований, выполняемых над строками и столбцами блочной матрицы, привести ее левый блок к нормальному диагональному виду (7.9). При этом блочная матрица преобразуется к виду \begin{pmatrix}\Lambda(\lambda)\!\!&\vline\!\!&S_J(\lambda)\end{pmatrix}, где \Lambda(\lambda)=\operatorname{diag}(e_1(\lambda),\ldots,e_n(\lambda)) -такая же матрица, что и в пункте 1, а S_J(\lambda) — некоторая элементарная λ-матрица.


3. Найти λ-матрицу S(\lambda)=S_J^{-1}(\lambda)\cdot S_A(\lambda).


4. Вычислить левое значение S_{\text{left}}(J_A) при замене переменной \lambda матрицей J_A.


5. Найти преобразующую матрицу S, обращая матрицу S_{\text{left}}(J_A)\colon~ S=[S_{\text{left}}(J_A)]^{-1}.


Действительно, при помощи элементарных преобразований характеристические матрицы (A-\lambda E) и (J_A-\lambda E) приводятся к одному и тому же нормальному диагональному виду \Lambda(\lambda):


S_J(\lambda)\cdot (J_1-\lambda E)\cdot T_J(\lambda)= \Lambda(\lambda)= S_A(\lambda)\cdot (A-\lambda E)\cdot T_A(\lambda).

Отсюда J_A-\lambda E=S_J^{-1}(\lambda)S_A(\lambda)(A-\lambda E)T_A(\lambda)T_J^{-1}(\lambda), то есть


J_A-\lambda E=S(\lambda)\cdot (A-\lambda E)\cdot T(\lambda), где S(\lambda)=S_J^{-1}(\lambda) S_A(\lambda),~ T(\lambda)=T_A(\lambda)T_J^{-1}(\lambda).

Согласно следствию теоремы j? 7.6, преобразующая числовая матрица S=[S_{\text{left}}(J_A)]^{-1}, т.е. S — это матрица, /Обратная к левому значению λ-матрицы S_{\text{left}}(J_A) при подстановке вместо \lambda матрицы J_A.




Замечания 7.7.


1. Несмотря на простоту, первый способ мало пригоден из-за большого Объема вычислений. Количество решаемых уравнений n^2.


2.Второй способ позволяет полностью решить задачу приведения матрицы к жордановой форме. Выполняя пункт 1, находим нормальный диагональный вид \Delta(\lambda)= \operatorname{diag}(e_1(\lambda),\ldots,e_n(\lambda)) характеристической матрицы (A-\lambda E), и, как следствие, ее инвариантные множители e_1(\lambda),\ldots,e_n(\lambda). Тогда выполняя пункты 3, 4 алгоритма нахождения жордановой формы, получим жорданову форму J_A матрицы A. Далее выполняем пункты 2, 3 второго способа и находим преобразующую матрицу.


3. В пунктах 1,2 второго способа λ-матрицы, стоящие в левых блоках матриц (A-\lambda E\mid E) и (J_A-\lambda E\mid E), приводятся к нормальному диагональному виду при помощи элементарных преобразований над строками и над столбцами. При этом правые блоки этих матриц "учитывают" только преобразования строк, в отличие от алгоритма, описанного в пункте 5 замечаний 7.4.


4. Преобразующая матрица S в (7.39) определяется неоднозначно. В самом деле, если S — преобразующая матрица, а M — невырожденная матрица, перестановочная с A (AM=MA) , то матрица T=MS будет также преобразующей. Действительно, матрица T — обратимая и


T^{-1}\cdot A\cdot T= S^{-1}\cdot M^{-1}\cdot A\cdot M\cdot S= S^{-1}\cdot M^{-1}\cdot M\cdot A\cdot S=S^{-1}\cdot A\cdot S=J_A.

Первый способ нахождения преобразующей матрицы, вообще говоря, позволяет найти все такие матрицы, перебирая в пункте 2 подходящие частные решения однородной системы. Второй способ позволяет найти одну преобразующую матрицу из этого множества. Как правило, на практике достаточно найти хотя бы одну преобразующую матрицу.


5. Задачу приведения матрицы к диагональному виду можно считать частным случаем задачи приведения матрицы к жордановой форме. Если квадратная матрица A n-го порядка имеет n линейно независимых собственных векторов, то, как это следует из теоремы 7.5, ее жорданова форма J_A является диагональной матрицей (с собственными значениями на главной диагонали), а преобразующая матрица S может быть составлена из n линейно независимых собственных векторов матрицы A.




Пример 7.15. Привести к жордановой форме следующие матрицы:


A=\begin{pmatrix}4&4\\ -1&0 \end{pmatrix}\!;\quad B=\begin{pmatrix} 1&0&1\\ 0&1&-1 \end{pmatrix}\!;\quad C=\begin{pmatrix} 1&1&1\\ 1&1&1\\ 1&1&1 \end{pmatrix}\!;\quad D=\begin{pmatrix} -2&5&-3\\ -2&5&-3\\ 1&-1&0 \end{pmatrix}\!.

Решение для матрицы A

Первый этап — нахождение жордановой формы матрицы A.


1. Составляем характеристическую матрицу A-\lambda E= \begin{pmatrix}4-\lambda&4\\ -1&-\lambda\end{pmatrix}.


2. Инвариантные множители будем искать по формуле (7.11). Записываем миноры 1-го порядка: M_{{}_1}^{{}^1}=4-\lambda, M_{{}_2}^{{}^1}=4, M_{{}_1}^{{}^2}=-1, M_{{}_2}^{{}^2}=-\lambda. Находим наибольший общий делитель этих многочленов: d_1(\lambda)=1. Минор второго порядка равен определителю характеристической матрицы M_{{}_{1\,2}}^{{}^{1\,2}}= \begin{vmatrix}4-\lambda&4\\ -1&-\lambda \end{vmatrix}=(\lambda-2)^2. Следовательно, d_2(\lambda)=(\lambda-2)^2. Таким образом, по формуле (7.11) получаем


e_1(\lambda)=d_1(\lambda)=1,\qquad e_2(\lambda)=\frac{d_2(\lambda)}{d_1(\lambda)}= (\lambda-2)^2.

3. По инвариантным множителям составляем таблицу (7.34) элемен тарных делителей. Так как собственное значение матрицы единственное (\lambda_1=2), то таблица (7.34) состоит из одной строки (и одного столбца): (\lambda-2)^2.


4. Единственному элементарному делителю (\lambda-2)^2 соответствует од на жорданова клетка 2-го порядка, образующая жорданову форму матрицы A\colon~ J_A= \begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}.


Второй этап — нахождение преобразующей матрицы. Воспользуемся первым способом.


1. Составляем матричное уравнение SJ_A=AS~\Rightarrow\, \begin{pmatrix}x&y\\z&w \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}4&4\\-1&0\end{pmatrix} \!\cdot\! \begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix}. Перемножая матрицы, получаем однородную систему уравнений относительно элементов искомой матрицы S=\begin{pmatrix}x&y\\ z&w\end{pmatrix}\colon


\begin{cases} 2x=4x+4z,\\ 2z=-x,\\x+2y=4y+4w,\\ z+2w=-y,\end{cases}\Leftrightarrow\quad \begin{cases} 2x+4z=0,\\ x+2z=0,\\ x-2y-4w=0,\\ y+z+2w=0.\end{cases}

2. Решаем эту систему. Расширенную матрицу системы приводим к ступенчатому, а затем к упрощенному виду:


\begin{pmatrix}2&0&4&0\!\!&\vline\!\!&0\\ 1&0&2&0\!\!&\vline\!\!&0\\ 1&-2&0&-4\!\!&\vline\!\!&0\\ 0&1&1&2\!\!&\vline\!\!&0 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&0&2& 0\!\!&\vline\!\!&0\\ 0&0&0&0\!\!&\vline\!\!&0\\ 0&-2&-2&-4\!\!&\vline\!\!&0\\ 0&1&1& 2\!\!&\vline\!\!&0 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&0&2&0\!\!&\vline\!\!&0\\ 0&1&1&2\!\!& \vline\!\!&0\\ 0&0&0&0\!\!&\vline\!\!&0\\ 0&0&0&0\!\!&\vline\!\!&0 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} E_2\!\!&\vline\!\!&A'\!\!&\vline\!\!&o\\\hline O\!\!&\vline\!\!&O\!\!&\vline\!\!&o \end{pmatrix}\!,

где A'=\begin{pmatrix}2&0\\1&2\end{pmatrix}. Находим фундаментальную матрицу \Phi и общее решение:


\Phi=\begin{pmatrix}\dfrac{-A'}{E_2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&0\\-1&-2\\\hline 1&0\\0&1\end{pmatrix}\!,\quad \begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}=C_1\cdot\! \begin{pmatrix}-2\\-1\\1\\0\end{pmatrix}+ C_2\cdot\! \begin{pmatrix}0\\-2\\0\\1\end{pmatrix}\!, где C_1,\,C_2 — произвольные постоянные.

Следовательно, любая преобразующая матрица имеет вид


S=\begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-2C_1&-C_1-2C_2\\ C_1&C_2 \end{pmatrix}\!,

где C_1,\,C_2 — произвольные постоянные, но C_1\ne0, так как матрица S невырожденная:


\det{S}=-2C_1\cdot C_2+C_1^2+2C_1\cdot C_2=C_1^2\ne0.

Например, при C_1=-1,~ C_2=0 получаем S=\begin{pmatrix}2&1\\-1&0 \end{pmatrix}.


Используем второй способ нахождения преобразующей матрицы.


Составляем блочную матрицу: (A-\lambda E\mid E)= \begin{pmatrix}4-\lambda&4\!\!&\vline\!\!&1&0\\ -1&-\lambda\!\!& \vline\!\!&0&1\end{pmatrix}. При помощи элементарных преобразований, выполняемых над строками и над столбцами этой блочной матрицы, приводим левый блок к нормальному диагональному виду. Меняем местами строки и умножаем первую строку на (-l). Выбрав ведущий элемент, равный единице, делаем равными нулю остальные элементы в первом столбце и в первой строке левого блока:


\begin{pmatrix}4-\lambda&4\!\!&\vline\!\!&1&0\\ -1&-\lambda\!\!& \vline\!\!&0&1 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&\lambda \!\!&\vline\!\!&0&-1\\ 4-\lambda&4\!\!& \vline\!\!&1&0 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&0 \!\!&\vline\!\!&0&-1\\ 0&(\lambda-2)^2\!\!& \vline\!\!&1&4-\lambda\end{pmatrix}\!. Следовательно, S_{A}(\lambda)=\begin{pmatrix}0&-1\\ 1&4-\lambda\end{pmatrix}\!.

2. Составляем блочную матрицу и приводим левый блок этой матрицы к нормальному диагональному виду


\begin{pmatrix}J_A-\lambda E\!\!&\vline\!\!&E\end{pmatrix}\!=\! \begin{pmatrix}2-\lambda&1\!\!&\vline\!\!&1&0\\ 0&2-\lambda\!\!& \vline\!\!&0&1\end{pmatrix}\!\sim\!  \begin{pmatrix} 1&2-\lambda\!\!&\vline\!\!&1&0\\ 2-\lambda&0\!\!& \vline\!\!&0&1\end{pmatrix}\!\sim\! \begin{pmatrix} 1&\lambda-2\!\!&\vline\!\!&1&0\\ 2-\lambda&0\!\!& \vline\!\!&0&1\end{pmatrix}\!\sim\! \begin{pmatrix} 1&0\!\!&\vline\!\!&1&0\\ 0&(\lambda-2)^2\!\!& \vline\!\! \lambda-20&1\end{pmatrix}\!.

Следовательно, S_J(\lambda)=\begin{pmatrix}1&0\\ \lambda-2&1\end{pmatrix}.


3. Обращаем матрицу S_J^{-1}(\lambda)=\frac{1}{\det{S_J(\lambda)}}\cdot S_J^{+}(\lambda)= \frac{1}{1}\cdot\! \begin{pmatrix}1&0\\2-\lambda&1\end{pmatrix}. Находим λ-матрицу, которая оказалась не зависящей от \lambda:


S(\lambda)=S_J^{-1}(\lambda)\cdot S_A(\lambda)= \begin{pmatrix}1&0\\ 2-\lambda&1 \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}0&-1\\1&4-\lambda \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0&-1\\1&2 \end{pmatrix}\!.

4. Так как λ-матрица S(\lambda) оказалась числовой, то S_{\text{left}}(J_A)=\begin{pmatrix} 0&-1\\1&2\end{pmatrix}.


5. Находим преобразующую матрицу S=[ S_{\text{left}}(J_A)]^{-1}= \begin{pmatrix}0&-1\\1&2\end{pmatrix}^{-1}= \begin{pmatrix} 2&1\\-1&0 \end{pmatrix}. Такой же результат, как частный случай, был получен первым способом.


Решение для матрицы B

Будем искать преобразующую матрицу S вторым способом. При этом попутно найдем и жорданову форму J_B матрицы B (см. пункт 2 замечаний 7.7).


1. Составляем блочную матрицу: (B-\lambda E\mid E)= \begin{pmatrix} 1-\lambda&0&1\!\!&\vline\!\!&1&0&0\\ 0&1-\lambda&-1\!\!&\vline\!\!&0&1&0\\ -1&-1&1-\lambda\!\!&\vline\!\!&0&0&1 \end{pmatrix}\!.


Выполняя элементарные преобразования над строками и над столбцами этой блочной матрицы, приводим левый блок к нормальному диагональному виду. Меняем местами первую и третью строки и умножаем первую строку на (-1). Выбрав ведущий элемент, равный единице, делаем равными нулю остальные элементы в первом столбце и в первой строке левого блока:


\begin{gathered}\begin{pmatrix}1-\lambda&0&1\!\!&\vline\!\!&1&0&0\\ 0&1-\lambda&-1\!\!&\vline\!\!&0&1&0\\ -1&-1&1-\lambda\!\!&\vline\!\!&0&0&1\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}-1&-1&1-\lambda\!\!&\vline\!\!&0&0&1\\ 0&1-\lambda&-1\!\!&\vline\!\!&0&1&0\\ 1-\lambda&0&1\!\!& \vline\!\!&1&0&0\end{pmatrix}\sim\\[2pt] \sim\begin{pmatrix} 1&1&\lambda-1\!\!&\vline\!\!&0&0&-1\\ 0&1-\lambda&-1\!\!&\vline\!\!&0&1&0\\ 1-\lambda&0&1\!\!&\vline\!\!&1&0&0\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&0&0\!\!& \vline\!\!&0&0&-1\\ 0&1-\lambda&-1\!\!&\vline\!\!&0&1&0\\ 0&\lambda-1&(\lambda-1)^2+1\!\!&\vline\!\!&1&0&1-\lambda\end{pmatrix}\!.\end{gathered}

Меняем местами второй и третий столбцы и умножаем вторую строку на (-1). Выбрав ведущий элемент, равный единице, делаем равными нулю остальные элементы во втором столбце и во второй строке левого блока:


\begin{gathered} \begin{pmatrix} 1&0&0\!\!& \vline\!\!&0&0&-1\\ 0&1-\lambda&-1\!\!& \vline\!\!&0&1&0\\ 0&\lambda-1&(\lambda-1)^2+1\!\!&\vline\!\!&1&0&1-\lambda\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&0&0\!\!& \vline\!\!&0&0&-1\\ 0&-1&1-\lambda\!\!&\vline\!\!&0&1&0\\ 0&(\lambda-1)^2+1&\lambda-1\!\!&\vline\!\!&1&0&1-\lambda\end{pmatrix}\sim\\[2pt] \begin{pmatrix} 1&0&0\!\!& \vline\!\!&0&0&-1\\ 0&1&\lambda-1\!\!&\vline\!\!&0&-1&0\\ 0&(\lambda-1)^2+1&\lambda-1\!\!&\vline\!\!&1&0&1-\lambda\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&0&0\!\!& \vline\!\!&0&0&-1\\ 0&1&0\!\!&\vline\!\!&0&-1&0\\ 0&0&(\lambda-1)^3\!\!&\vline\!\!&1&(\lambda-1)^2+1&1-\lambda\end{pmatrix}\!.\end{gathered}

Умножая третий столбец на (-1), получаем нормальную диагональную форму характеристической матрицы и матрицу S_B(\lambda):


B-\lambda E\sim \begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&(\lambda-1)^3\end{pmatrix}= \Lambda(\lambda),\quad S_B(\lambda)=\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&-1&0\\ 1&\lambda^2-2 \lambda+2& 1-\lambda\end{pmatrix}\!.

Находим жорданову форму J_B матрицы B (см. пункт 2 замечаний 7.7). По инвариантным множителям e_1(\lambda)=e_2(\lambda)=1, e_3(\lambda)= (\lambda-1)^3 составляем таблицу элементарных делителей. Таблица состоит из одного делителя (\lambda-1)^3, которому соответствует одна жорданова клетка 3-го порядка (для собственного значения \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3):


J_B=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}\!.

2. Составляем блочную матрицу


(J_B-\lambda E\mid E)= \begin{pmatrix}1-\lambda&1&0\!\!&\vline\!\!&1&0&0\\ 0&1-\lambda&1\!\!&\vline\!\!&0&1&0\\ 0&0&1-\lambda\!\!&\vline\!\!&0&0&1 \end{pmatrix}\!.

Приводим левый блок этой матрицы к нормальному диагональному виду. Меняем местами столбцы левого блока


\begin{pmatrix}1-\lambda&1&0\!\!&\vline\!\!&1&0&0\\ 0&1-\lambda&1\!\!& \vline\!\!& 0&1&0\\ 0&0&1-\lambda\!\!&\vline\!\!&0&0&1 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&0&1-\lambda\!\!& \vline\!\!&1&0&0\\ 1-\lambda&1&0\!\!&\vline\!\!&0&1&0\\ 0&1-\lambda&0\!\!&\vline\!\!&0&0&1 \end{pmatrix}\!.

Выбираем ведущий элемент, равный единице, в левом верхнем углу. Делаем в левом блоке равными нулю все элементы ведущей (первой) строки и ведущего (первого) столбца, за исключением ведущего элемента:


\begin{pmatrix} 1&0&1-\lambda\!\!& \vline\!\!&1&0&0\\ 1-\lambda&1&0\!\!&\vline\!\!& 0&1&0\\ 0&1-\lambda&0\!\!&\vline\!\!&0&0&1 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1&0&0\!\!& \vline\!\!&1&0&0\\ 0&1&-(\lambda-1)^2\!\!&\vline\!\!&\lambda-1&1&0\\ 0&1-\lambda& 0\!\!&\vline\!\!& 0&0&1 \end{pmatrix}\!.

Выбираем ведущий элемент, равный единице, на пересечении второго столбца и второй строки. К третьей строке прибавляем вторую, умноженную на (\lambda-1), а затем к третьему столбцу прибавляем второй, умноженный на (\lambda-1)^2, и, наконец, умножаем третий столбец на (-1). В результате получим


\begin{pmatrix} 1&0&0\!\!& \vline\!\!&1&0&0\\ 0&1&-(\lambda-1)^2\!\!&\vline\!\!& \lambda-1&1&0\\ 0&1-\lambda&0\!\!&\vline\!\!&0&0&1 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&0&0\!\!& \vline\!\!&1&0&0\\ 0&1&0\!\!&\vline\!\!&\lambda-1&1&0\\ 0&0&(\lambda-1)^3\!\!&\vline\!\!&(\lambda-1)^2&\lambda-1&1 \end{pmatrix}\!.

Следовательно, S_J(\lambda)=\begin{pmatrix}1&0&0\\ \lambda-1&1&0\\ (\lambda-1)^2&\lambda-1&1 \end{pmatrix}\!,~ \Lambda(\lambda)= \operatorname{diag}\Bigl(1,1,(\lambda-1)^3\Bigr)


3. Обращаем матрицу S_J^{-1}(\lambda)= \frac{1}{\det{S_J(\lambda)}}\cdot S_J^{+}(\lambda)= \begin{pmatrix}1&0&0\\ 1-\lambda&1&0\\ 0&1-\lambda&1\end{pmatrix}.


Находим λ-матрицу S(\lambda)=S_J^{-1}(\lambda)\cdot S_B(\lambda):


S(\lambda)= \begin{pmatrix}1&0&0\\ 1-\lambda&1&0\\ 0&1-\lambda&1 \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}0&0&-1\\ 0&-1&-1\\ 1&(\lambda-1)^2+1&1-\lambda \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0&0&-1\\ 0&-1&\lambda-1\\ 1&\lambda^2-\lambda+1&1-\lambda \end{pmatrix}\!.

Представляем λ-матрицу S(\lambda) в виде многочлена с матричными коэффициентами, ставя переменную \lambda перед коэффициентами:


S(\lambda)= \lambda^2\cdot\! \begin{pmatrix}0&0&0\\ 0&0&0\\ 0&1&0\end{pmatrix}+ \lambda\cdot\! \begin{pmatrix}0&0&0\\ 0&0&1\\ 0&-1&-1\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}0&0&-1\\ 0&-1&-1\\ 1&1&1 \end{pmatrix}\!.

Подставляем вместо аргумента \lambda матрицу J_B:


\begin{aligned}S_{\text{left}}(J_B)&= \begin{pmatrix}1&1&0\\ 0&1&1\\ 0&0&1 \end{pmatrix}^2\!\cdot\! \begin{pmatrix}0&0&0\\ 0&0&0\\ 0&1&0\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 1&1&0\\ 0&1&1\\ 0&0&1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&-1&-1 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}0&0&-1\\0&-1&-1\\1&1&1\end{pmatrix}=\\[2pt] &=\begin{pmatrix} 1&2&1\\ 0&1&2\\ 0&0&1 \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}0&0&0\\ 0&0&0\\ 0&1&0 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}0&0&1\\ 0&-1&0\\ 0&-1&-1\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}0&0&-1\\ 0&-1&-1\\ 1&1&1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&-1\\ 1&1&0 \end{pmatrix}\!. \end{aligned}

5. Обращая полученную матрицу, находим преобразующую


S=\Bigl[S_{\text{left}}(J_B)\Bigr]^{-1}= \begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&-1\\ 1&1&0\end{pmatrix}^{-1}= \begin{pmatrix}-1&0&1\\ 1&0&0\\ 0&-1&0\end{pmatrix}\!.

Сделаем проверку, сравнивая левую и правую части равенства SJ_B=BS:


\begin{aligned}S\cdot J_B&= \begin{pmatrix}-1&0&1\\ 1&0&0\\ 0&-1&0 \end{pmatrix} \!\cdot\! \begin{pmatrix}1&1&0\\ 0&1&1\\ 0&0&1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-1&-1&1\\ 1&1&0\\ 0&-1&-1 \end{pmatrix}\!;\\[5pt] B\cdot S&= \begin{pmatrix}1&0&1\\ 0&1&-1\\ -1&-1&1 \end{pmatrix} \!\cdot\! \begin{pmatrix}-1&0&1\\ 1&0&0\\ 0&-1&0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-1&-1&1\\ 1&1&0\\ 0&-1&-1 \end{pmatrix}\!. \end{aligned}

Следовательно, равенство верное.


Решение для матрицы C

Применяем второй способ нахождения преобразующей матрицы, попутно определяя жорданову форму J_C матрицы C (см. пункт 2 замечаний 7.7).


1. Составляем блочную матрицу:


(C-\lambda E\mid E)= \begin{pmatrix}1-\lambda&1&1\!\!&\vline\!\!&1&0&0\\ 1&1-\lambda&1\!\!&\vline\!\!&0&1&0\\ 1&1&1-\lambda\!\!&\vline\!\!&0&0&1 \end{pmatrix}\!.

Элементарными преобразованиями приводим левый ее блок к нормальному диагональному виду (см. пример 7.12). Меняем местами первый и третий столбцы, выбираем первую строку и первый столбец в качестве ведущих и делаем равными нулю все элементы выбранной строки (в пределах левого блока) и выбранного столбца, за исключением ведущего элемента:


\begin{pmatrix}1&1&1-\lambda\!\!&\vline\!\!&1&0&0\\ 1&1-\lambda&1\!\!& \vline\!\!& 0&1&0\\ 1-\lambda&1&1\!\!&\vline\!\!&0&0&1 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&0&0\!\!& \vline\!\!&1&0&0\\ 0&-\lambda&\lambda\!\!& \vline\!\!&-1&1&0\\ 0&\lambda&2 \lambda-\lambda^2\!\!& \vline\!\!&\lambda-1&0&1 \end{pmatrix}\!.

Умножаем второй столбец на (-l), выбираем ведущими вторую строку и второй столбец, делаем равными нулю соответствующие элементы этой строки и столбца:


\begin{pmatrix} 1&0&0\!\!& \vline\!\!&1&0&0\\ 0&\lambda&\lambda\!\!& \vline\!\!&-1&1&0\\ 0&-\lambda&2 \lambda-\lambda^2\!\!& \vline\!\!&\lambda-1&0&1 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&0&0\!\!& \vline\!\!&1&0&0\\ 0&\lambda&0\!\!& \vline\!\!&-1&1&0\\ 0&0&3 \lambda-\lambda^2\!\!& \vline\!\!&\lambda-2&1&1 \end{pmatrix}\!.

Умножим третий столбец на (-1), чтобы старший коэффициент многочлена был равен единице. Итак, получили матрицу S_C(\lambda)= \begin{pmatrix} 1&0&0\\-1&1&0\\ \lambda-2&1&1 \end{pmatrix} и нормальный диагональный вид характеристической матрицы (C-\lambda E)\sim \operatorname{diag}(1,\lambda,\lambda(\lambda-3)). Составляем таблицу (7.33) инвариантных множителей:


e_1(\lambda)=1;\qquad e_2(\lambda)=\lambda;\qquad e_3(\lambda)=\lambda(\lambda-3).

Составляем таблицу (7.34) элементарных делителей: \begin{vmatrix}\lambda,&\quad \lambda,\\ \lambda-3.&\quad {}\end{vmatrix}. Каждому из трех делителей соответствует жорданова клетка 1-го порядка (для собственных значений \lambda_1=\lambda_2=0, \lambda_3=3), т.е. жорданова форма матрицы C — диагональная матрица:


J_C=\operatorname{diag}\Bigl(J_1(0),\,J_1(0),\,J_1(3)\Bigr)= \begin{pmatrix}0&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&3 \end{pmatrix}\!.

2. Составляем блочную матрицу

\Bigl(J_C-\lambda E\mid E\Bigr)= \begin{pmatrix} -\lambda&0&0\!\!& \vline\!\!&1&0&0\\ 0&-\lambda&0\!\!& \vline\!\!&0&1&0\\ 0&0&3-\lambda\!\!& \vline\!\!&0&0&1 \end{pmatrix}\!.


Левый блок этой матрицы имеет диагональный вид, который не является нормальным, так как (3-\lambda) не делится на (-\lambda). Прибавляем к первому столбцу третий, к третьей строке прибавляем первую, умноженную на (-1), меняем местами первую и третью строки:


\Bigl(J_C-\lambda E\mid E\Bigr)\sim\! \begin{pmatrix} -\lambda&0&0\!\!& \vline\!\!&1&0&0\\ 0&-\lambda&0\!\!& \vline\!\!&0&1&0\\ 3-\lambda&0&3-\lambda\!\!& \vline\!\!&0&0&1 \end{pmatrix}\!\sim\! \begin{pmatrix} -\lambda&0&0\!\!& \vline\!\!&1&0&0\\ 0&-\lambda&0\!\!& \vline\!\!&0&1&0\\ 3&0&3-\lambda\!\!& \vline\!\!&-1&0&1 \end{pmatrix}\!\sim\! \begin{pmatrix} 3&0&3-\lambda\!\!& \vline\!\!&-1&0&1\\ 0&-\lambda&0\!\!& \vline\!\!&0&1&0\\ -\lambda&0&0\!\!& \vline\!\!&1&0&0 \end{pmatrix}\!.

Разделим первый столбец на 3, возьмем ведущий элемент, стоящий в левом верхнем углу, и сделаем равными нулю соответствующие элементы:


\begin{pmatrix} 1&0&3-\lambda\!\!& \vline\!\!&-1&0&1\\ 0&-\lambda&0\!\!& \vline\!\!&0&1&0\\ -\lambda/3&0&0\!\!& \vline\!\!&1&0&0 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&0&0\!\!& \vline\!\!&-1&0&1\\ 0&-\lambda&0\!\!& \vline\!\!&0&1&0\\ 0&0&\lambda-\lambda^2/3\!\!& \vline\!\!&1-\lambda/3&0&\lambda/3 \end{pmatrix}\!.

Умножив второй столбец на (-1), а третью строку на (-3), получим в левом блоке нормальный диагональный вид \Lambda(\lambda)= \operatorname{diag}(1,\lambda,\lambda^2-3 \lambda), а в правом блоке матрицу


S_J(\lambda)= \begin{pmatrix} -1&0&1\\0&1&0\\ \lambda-3&0&-\lambda\end{pmatrix}\!.

3. Обращаем матрицу S_J(\lambda):

S_J^{+}(\lambda)= \frac{1}{\det{S_J(\lambda)}}\cdot S_J^{+}(\lambda)= \frac{1}{3}\cdot\! \begin{pmatrix}-\lambda&0&-1\\ 0&3&0\\ 3-\lambda&0&-1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -\lambda/3&0&-1/3\\ 0&1&0\\ 1-\lambda/3&0&-1/3\end{pmatrix}\!.

Находим λ-матрицу S(\lambda)=S_J^{-1}(\lambda)\cdot S_C(\lambda):


S(\lambda)= \begin{pmatrix}-\lambda/3&0&-1/3\\ 0&1&0\\ 1-\lambda/3&0&-1/3 \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&0&0\\ -1&1&0\\ \lambda-2&1&1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}2/3-2 \lambda/3&-1/3&-1/3\\ -1&1&0\\ 5/2-2 \lambda/3&-1/3&-1/3 \end{pmatrix}\!.

4. Представляем λ-матрицу S(\lambda) в виде многочлена с матричными коэффициентами, помещая переменную A перед коэффициентами:


S(\lambda)= \lambda\cdot\! \begin{pmatrix} -2/3&0&0\\ 0&0&0\\ -2/3&0&0\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}2/3&-1/3&-1/3\\ -1&1&0\\ 5/3&-1/3&-1/3\end{pmatrix}\!.

Подставляем вместо аргумента \lambda матрицу J_C:


S_{\text{left}}(J_C)= \begin{pmatrix} 0&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&3 \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}-2/3&0&0\\ 0&0&0\\ -2/3&0&0\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}2/3&-1/3&-1/3\\ -1&1&0\\ 5/3&-1/3&-1/3\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}2/3&-1/3&-1/3\\ -1&1&0\\ -1/3&-1/3&-1/3 \end{pmatrix}\!.

5. Обращая полученную матрицу, находим преобразующую


S=\begin{pmatrix}2/3&-1/3&-1/3\\ -1&1&0\\ -1/3&-1/3&-1/3\end{pmatrix}^{-1}= \begin{pmatrix}1&0&-1\\ 1&1&-1\\ -2&-1&-1 \end{pmatrix}\!.

Сделаем проверку, вычислив матрицу C=SJ_CS^{-1}:


\begin{aligned}C&= \begin{pmatrix}1&0&-1\\ 1&1&-1\\ -2&-1&-1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}0&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&3 \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}2/3&-1/3&-1/3\\ -1&1&0\\ -1/3&-1/3&-1/3\end{pmatrix}=\\[2pt] &= \begin{pmatrix}1&0&-1\\ 1&1&-1\\ -2&-1&-1 \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}0&0&0\\ 0&0&0\\ -1&-1&-1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}\!.\end{aligned}

Заметим, что в примере 7.10 эта матрица была приведена к диагональному виду. Поэтому, согласно пункта 5 замечаний 7.7, ее жорданова форма является диагональной, а преобразующая матрица составляется из линейно независимых собственных векторов:


J_C= \begin{pmatrix}0&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&3\end{pmatrix}\!,\qquad S=\begin{pmatrix} 1&1&1\\ 0&-1&1\\ -1&0&1 \end{pmatrix}\!.

Эта матрица S отличается от найденной вторым способом. Но она тоже является преобразующей (проверка равенства J_A=S^{-1}AS была фактически выполнена в примере 7.10).


Решение для матрицы D

Применяем второй способ нахождения преобразующей матрицы S, попутно определяя жорданову форму J_D матрицы D (см. пункт 2 замечаний 7.7).


1. Составляем блочную матрицу:


\bigl(D-\lambda E~|~E\bigr)= \left(\!\!\begin{array}{ccc|ccc}-2-\lambda&5&-3&1&0&0\\-2&5-\lambda&-3&0&1&0\\1&-1&-\lambda&0&0&1\end{array}\!\!\right)\!.

Элементарными преобразованиями приводим левый ее блок к нормальному диагональному виду. Взяв элемент, равный единице, в качестве ведущего, делаем равными нулю все элементы ведущего (первого) столбца и ведущей (третьей) строки (в пределах левого блока):


\bigl(D-\lambda E~|~E\bigr)\sim \left(\!\! \begin{array}{ccc|ccc}0&3-\lambda&-3-2 \lambda-\lambda^2&1&0&\lambda+2\\ 0&3-\lambda&-3-2 \lambda&0&1&2\\ 1&0&0&0&0&1\end{array} \!\!\right)\!.

К первой строке прибавляем вторую, умноженную на (-1), затем к третьему столбцу прибавляем второй, умноженный на (-2)\colon


\left(\!\! \begin{array}{ccc|ccc}0&0&-\lambda^2&1&-1&\lambda\\ 0&3-\lambda&-3-2\lambda&0&1&2\\ 1&0&0&0&0&1 \end{array} \!\!\right)\sim \left(\!\! \begin{array}{ccc|ccc}0&0&-\lambda^2&1&-1&\lambda\\ 0&3-\lambda&-9&0&1&2\\ <br />1&0&0&0&0&1 \end{array} \!\!\right)\!.

Ко второму столбцу прибавляем третий, умноженный на \tfrac{3-\lambda}{9}, а затем к первой строке прибавляем вторую, умноженную на (-\lambda^2\slash9)\colon


\left(\!\! \begin{array}{ccc|ccc}0&\frac{\lambda^2(\lambda-3)}{9}&-\lambda^2&1&-1&\lambda\\ 0&0&-9&0&1&2\\ 1&0&0&0&0&1 \end{array} \!\!\right)\sim \left(\!\! \begin{array}{ccc|ccc}0&\frac{\lambda^2(\lambda-3)}{9}&0&1&-1-\frac{\lambda^2}{9}&\lambda-\frac{2\lambda^2}{9}\\ 0&0&-9&0&1&2\\ 1&0&0&0&0&1 \end{array} \!\!\right)\!.

Меняем местами второй и третий столбцы, затем умножим первую строку на 9, второй столбец разделим на (-9):


\left(\!\! \begin{array}{ccc|ccc}0&0&\frac{\lambda^2(\lambda-3)}{9}&1&\frac{-9-\lambda^2}{9}&\frac{9\lambda-2\lambda^2}{9}\\ 0&-9&0&0&1&2\\ 1&0&0&0&0&1 \end{array} \!\!\right)\sim \left(\!\! \begin{array}{ccc|ccc}0&0&\lambda^2(\lambda-3)&9&-9-\lambda^2&9\lambda-2\lambda^2\\ 0&1&0&0&1&2\\ 1&0&0&0&0&1 \end{array} \!\!\right)\!.

Меняем местами первую и третью строки, после чего получим в левом блоке нормальный диагональный вид характеристической матрицы (D-\lambda E), a в правом блоке - матрицу S_D(\lambda)\colon


(D-\lambda E)\sim \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&\lambda^2(\lambda-3)\end{pmatrix}\!,\quad S_D(\lambda)= \begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&2\\9&-9-\lambda^2&9 \lambda-2 \lambda^2\end{pmatrix}\!.

Составляем таблицу (7.33) инвариантных множителей:


\begin{gathered}e_1(\lambda)=1;\\ e_2(\lambda)=1;\\ e_3(\lambda)=\lambda^2(\lambda-3).\end{gathered}

Составляем таблицу (7.34) элементарных делителей:


\begin{gathered}\lambda^2,\\ \lambda-3.\end{gathered}

Делителю \lambda^2 соответствует жорданова клетка 2-го порядка, а делителю (\lambda-3) - жорданова клетка 1-го порядка, т.е. жорданова форма матрицы D имеет вид:


J_D=\operatorname{diag}\bigl(J_2(0),J_1(3)\bigr)= \begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&3\end{pmatrix}\!.

2. Составляем блочную матрицу:


\bigl(J_D-\lambda E~|~E\bigr)=\left(\!\! \begin{array}{ccc|ccc}-\lambda&1&0&1&0&0\\ 0&-\lambda&0&0&1&0\\ 0&0&3-\lambda&0&0&1 \end{array} \!\!\right)\!.

Приводим левый блок этой матрицы к нормальному диагональному виду. Выбираем единицу в качестве ведущего элемента и делаем равными нулю соответствующие элементы левого блока, а затем меняем местами первый и второй столбцы:


\bigl(J_D-\lambda E~|~E\bigr)\sim \left(\!\! \begin{array}{ccc|ccc}0&1&0&1&0&0\\-\lambda^2&0&0&\lambda&1&0\\ 0&0&3-\lambda&0&0&1 \end{array} \!\!\right)\sim \left(\!\! \begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&1&0&0\\ 0&-\lambda^2&0&\lambda&1&0\\ 0&0&3-\lambda&0&0&1 \end{array} \!\!\right)\!.

Полученный диагональный вид не является нормальным, так как (3-\lambda) не делится на (-\lambda^2). Поэтому прибавляем ко второму столбцу третий, умноженный на (-1), а затем ко второй строке прибавляем третью, умноженную на (\lambda+3)\colon


\left(\!\! \begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&1&0&0\\ 0&-\lambda^2&0&\lambda&1&0\\ 0&\lambda-3&3-\lambda&0&0&1 \end{array} \!\!\right)\sim \left(\!\! \begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&1&0&0\\ 0&-9&9-\lambda^2&\lambda&1&\lambda+3\\ 0&\lambda-3&3-\lambda&0&0&1 \end{array} \!\!\right)\!.

Разделив второй столбец на (-9), получим элемент, равный единице, который принимаем за ведущий, и делаем равными нулю соответствующие элементы второй строки и второго столбца:


\left(\!\! \begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&1&0&0\\ 0&1&9-\lambda^2&\lambda&1&\lambda+3\\ 0&\frac{3-\lambda}{9}&3-\lambda&0&0&1 \end{array} \!\!\right)\sim \left(\!\! \begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&1&0&0\\ 0&1&0&\lambda&1&\lambda+3\\ <br />0&0&\frac{\lambda^2(3-\lambda)}{9}&\frac{\lambda(\lambda-3)}{9}&\frac{\lambda-3}{9}&\frac{\lambda^2}{9}\end{array} \!\!\right)\!.

Умножив третью строку на (-9), получим в левом блоке нормальный диагональный вид характеристической матрицы (J_D-\lambda E)\sim \operatorname{diag}\bigl(1,1,\lambda^2 (\lambda-3)\bigr), а в правом блоке - матрицу


S_J(\lambda)=\begin{pmatrix}1&0&0\\ \lambda&1&\lambda+3\\ 3 \lambda-\lambda^2&3-\lambda&-\lambda^2 \end{pmatrix}\!.

3. Обращаем матрицу S_J(\lambda)\colon


S_{J}^{-1}(\lambda)= \frac{1}{\det S_{J}(\lambda)}\cdot S_{J}^{+}(\lambda)= \frac{1}{-9}\! \begin{pmatrix}-9&0&0\\ 9 \lambda&-\lambda^2&-\lambda-3\\ 0&\lambda-3&1 \end{pmatrix}\!.

Находим λ-матрицу S(\lambda)=S_{J}^{-1}(\lambda)\cdot S_{D}(\lambda)\colon


\begin{aligned}S(\lambda)&=\frac{1}{-9}\cdot\! \begin{pmatrix}-9&0&0\\ 9 \lambda&-\lambda^2&-\lambda-3\\ 0&\lambda-3&1 \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&2\\ 9&-9-\lambda^2&9\lambda-2\lambda^2\end{pmatrix}=\\ &=-\frac{1}{9}\cdot\! \begin{pmatrix}0&0&-9\\-9\lambda-27&\lambda^3+2\lambda^2+9\lambda+27&2\lambda^3-5\lambda^2-18\lambda\\ 9&-\lambda^2+\lambda-12&-2\lambda^2+11\lambda-6\end{pmatrix}\!.\end{aligned}

4. Представляем λ-матрицу S(\lambda) в виде многочлена с матричными коэффициентами, помещая переменную \lambda перед коэффициентами:


S(\lambda)=-\frac{\lambda^3}{9}\! \begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&2\\0&0&0 \end{pmatrix}\!-\frac{\lambda^2}{9}\! \begin{pmatrix}0&0&0\\0&2&-5\\0&-1&-2\end{pmatrix}\!-\frac{\lambda}{9}\! \begin{pmatrix}0&0&0\\-9&9&-18\\0&1&11\end{pmatrix}\!-\frac{1}{9}\! \begin{pmatrix}0&0&-9\\-27&27&0\\9&-12&-6\end{pmatrix}

Подставляем вместо аргумента \lambda матрицу J_D. Учитывая, что


J_D=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&3\end{pmatrix}\!,\quad J_{D}^{2}=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&9\end{pmatrix}\!,\quad J_{D}^{3}=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&27\end{pmatrix}\!,

получаем

S_{\text{left}}(J_D)=\frac{-1}{9}\cdot \left[\!\begin{pmatrix} 0&0&0\\0&0&0\\0&-9&-18 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-9&9&-18\\0&0&0\\0&3&33 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0&0&-9\\-27&27&0\\9&-12&-6 \end{pmatrix}\!\right]=\begin{pmatrix}1&-1&3\\3&-3&0\\-1&2&-1\end{pmatrix}\!.

5. Обращая полученную матрицу, находим преобразующую


S={\begin{pmatrix}1&-1&3\\3&-3&0\\-1&2&-1\end{pmatrix}\!\!}^{-1}=\frac{1}{9}\cdot\! \begin{pmatrix}3&5&9\\3&2&9\\3&-1&0\end{pmatrix}\!.

Сделаем проверку, вычислив матрицу D=S\,J_D\,S^{-1}\colon


\begin{aligned}D&=\frac{1}{9}\cdot\! \begin{pmatrix}3&5&9\\3&2&9\\3&-1&0\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&3\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&-1&3\\3&-3&0\\-1&2&-1\end{pmatrix}=\\&=\frac{1}{9}\cdot\! \begin{pmatrix}0&3&27\\0&3&27\\0&3&0\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&-1&3\\3&-3&0\\-1&2&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&5&-3\\-2&5&-3\\1&-1&0\end{pmatrix}\!.<br />\end{aligned}

Получили заданную матрицу D.
Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2021 MathHelpPlanet.com. All rights reserved