Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]

Приведение квадратичной формы к каноническому виду
Онлайн-сервисы Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики Онлайн число, сумма и дата прописью Алгоритмы JavaScript Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки Уникальные элементы массива Объединение, пересечение и разность массивов НОД и НОК Операции над матрицами Дата прописью Введение в анализ Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика Теория множеств Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия Математическая логика Алгебра высказываний Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции Булевы функции Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций Теория формального Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний Логика предикатов Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов Неформальные и формаль- ные аксиоматические теории Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории Теория алгоритмов Интуитивное представление об алгоритмах Машины Тьюринга и тезис Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики Математическая логика и компьютеры Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект Дискретная математика Множества и отношения Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций Группы и кольца Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов Полукольца и булевы алгебры Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки Алгебраические системы Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры Теория графов Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов Булева алгебра и функции Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов Конечные автоматы и регулярные языки Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга Контекстно-свободные языки Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов Интегральное исчисление Неопределённый и определённый Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции Приложения интегралов Вычисление площадей плоских фигур Площади фигур в различных координатах Вычисление объемов тел с помощью интегралов Объём тела вращения Вычисление длин дуг кривых Формулы длины дуги регулярной кривой Кривизна плоской кривой Площадь поверхности вращения тела Интегралы в физике Статические моменты и координаты центра тяжести Теоремы Гульдина–Паппа Вычисление моментов инерции Другие приложения интегралов в физике Основные интегралы Интеграл Ньютона-Лейбница Интеграл Римана Интеграл Лебега Вариационное исчисление Примеры вариационных задач Дифференциальное уравнение Эйлера Функционалы, зависящие от нескольких функций Задача о минимуме кратного интеграла Финансовый анализ Анализ эффективности Критерии и показатели эффективности предприятия Методы анализа эффективности деятельности Факторный анализ прибыли от операционной деятельности Анализ безубыточности предприятия Операционный рычаг и эффект финансового рычага Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала Анализ распределения прибыли предприятия Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности Анализ устойчивости Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность Характеристика типов финансовой устойчивости Рыночная активность Финансовый анализ рыночной активности Методика анализа рыночной активности Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию Инвестиционная деятельность Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование Анализ инвестиций Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия Задачи финансового анализа инвестиций предприятия Учет фактора времени в инвестиционной деятельности Аннуитет и финансовая рента в инвестициях Учет фактора инфляции при инвестировании Оценка фактора риска инвестиционного проекта Методы оценки эффективности инвестиций Показатели эффективности инвестиционного проекта Стоимость компании Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций Форвардные контракты Форвардный контракт и цена Форвардная цена акции на бирже Цена форвардного контракта инвестора Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда Форвардная цена валюты на рынке форекс Форвардный валютный курс и инфляция на рынке Форвардная цена товара и спотовый рынок Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам Синтетический форвардный контракт на акции и валюту Теория вероятностей Основные понятия теории вероятностей Зависимые и независимые случайные события Повторные независимые испытания Формула Бернулли Одномерные случайные величины Многомерные случайные величины Функции случайных величин Законы распределения целочисленных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и предельные теоремы Вероятностные закономерности Математическая статистика Элементы математической статистики Выборочный метод Оценки параметров генеральной совокупности Статистические гипотезы Критерии согласия Теоретические и эмпирические частоты Теория очередей (СМО) Определение системы массового обслуживания Уравнения Колмогорова Предельные вероятности состояний Определение СМО с отказами Определение СМО с ожиданием (очередью) Аналитическая геометрия Векторная алгебра Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике Системы координат Прямоугольные координаты Преобразования прямоугольных координат Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферические координаты Аффинные координаты Аффинные преобразования координат Аффинные преобразования плоскости Примеры аффинных преобразований плоскости Аффинные преобразования пространства Многомерное координатное пространство Линейные и аффинные подпространства Скалярное произведение n-мерных векторов Преобразования систем координат Геометрия на плоскости Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными Линии 2-го порядка Канонические уравнения линий второго порядка Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду Эллипс Гипербола Парабола Квадратичные неравенства с двумя неизвестными Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций Инварианты линий Классификация линий 2-го порядка по инвариантам Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам Геометрия в пространстве Способы задания ГМТ в пространстве Алгебраические уравнения поверхностей Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам Уравнения плоскости, проходящей через три точки Взаимное расположение плоскостей Типовые задачи с плоскостями Уравнения прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Типовые задачи с прямыми в пространстве Поверхности 2-го порядка Канонические уравнения поверхностей Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду Поверхности второго порядка Эллипсоиды Гиперболоиды Конусы Параболоиды Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций Инварианты поверхностей Классификация поверхностей 2-го порядка по инвариантам Квадратичные неравенства с тремя неизвестными Приведение уравнения поверхности к канониче-скому виду по инвариантам Линейная алгебра Матрицы и операции Линейные операции над матрицами Умножение матриц Возведение матриц в степень Многочлены от матриц Транспонирование и сопряжение матриц Блочные матрицы Произведение и сумма матриц Кронекера Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду Элементарные преобразования матриц Определители Определители матриц и их основные свойства Формула полного разложения определителя Формула Лапласа полного разложения определителя Определитель произведения матриц Методы вычисления определителей Ранг матрицы Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы Ранг матрицы и базисный минор матрицы Методы вычисления ранга матрицы Ранг системы столбцов (строк) Обратная матрица Обратные матрицы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы Способы нахождения обратной матрицы Матричные уравнения Односторонние обратные матрицы Скелетное разложение матрицы Полуобратная матрица Псевдообратная матрица Системы уравнений Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Структура общего решения системы уравнений Решение систем с помощью полуобратных матриц Псевдорешения системы линейных уравнений Функциональные матрицы Функциональные матрицы скалярного аргумента Производные матриц по векторному аргументу Линейные и квадратичные формы и их преобразования Приведение форм к каноническому виду Закон инерции вещественных квадратичных форм Знакоопределенность форм вещественных квадратичных Формы и исследование функций на экстремум Многочленные матрицы Многочленные матрицы (лямбда-матрицы) Операции над лямбда-матрицами Простые преобразования многочленных матриц Инвариантные множители многочленной матрицы Функции от матриц Собственные векторы и значения матрицы Подобие числовых матриц Характеристический многочлен матрицы Минимальный многочлен матрицы Теорема Гамильтона-Кэли Жорданова форма матрицы Приведение матрицы к жордановой форме Многочлены от матриц Применение многочленов от матриц Функции от матриц Линейные пространства Линейные пространства: определение и примеры Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов Размерность и базис линейного пространства Преобразования координат в линейном пространстве Изоморфизм линейных пространств Подпространства Подпространства линейного пространства Пересечение и сумма подпространств Способы описания подпространств Нахождение дополнения и суммы подпространств Нахождение пересечения подпространств Линейные отображения Линейные многообразия Линейные отображения Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения Линейные операторы Линейные операторы (преобразования) Инвариантные подпространства Собственные векторы и значения оператора Свойства собственных векторов операторов Канонический вид линейного оператора Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду Евклидовы пространства Евклидовы пространства Ортогональные векторы евклидова пространства Ортогональный базис евклидова пространства Ортонормированный базис евклидова пространства Ортогональные дополнения в евклидовом пространстве Задача о перпендикуляре Матрица и определитель Грама и его свойства Линейные преобразования евклидовых пространств Канонический вид ортогонального оператора евклидова пространства Сопряженные операторы евклидова пространства Самосопряженные операторы евклидова пространства Приведение квадратичной формы к главным осям Унитарные пространства и их линейные преобразования Комплексный анализ Комплексные числа Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Множества на комплексной плоскости Последовательности и ряды комплексных чисел Комплексные функции Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная Элементарные функции комплексного переменного Дифференцирование функций комплексного переменного Аналитические функции и их свойства Конформные отображения и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного Функциональные ряды в комплексной области Функциональные ряды и последовательности Степенные ряды и их свойства Разложение функций в степенные ряды Нули аналитических функций Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням Особые точки, Вычеты Изолированные особые точки функций и полюсы Вычеты и их применение Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычеты и расположение нулей многочлена Операционное исчисление Преобразование Лапласа и его свойства Решение ДУ операционным методом Анализ выходных процессов линейных стационарных систем Z-преобразование и его свойства Дифференциальные уравнения ДУ первого порядка Основные понятия и определения ДУ Метод изоклин для ДУ 1-го порядка Метод последовательных приближений ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ 1-го порядка Дифференциальное уравнение Бернулли ДУ в полных дифференциалах Интегрирующий множитель ДУ, не разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение Риккати Составление ДУ семейств линий Задачи на траектории Особые решения ДУ ДУ высших порядков Понятия и определения ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка Линейная независимость функций Определители Вронского и Грама Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения Задача Коши и Уравнение Эйлера Линейные ДУ с переменными коэффициентами Метод Лагранжа решения ДУ Краевые задачи для ДУ высших порядков Разложение решения ДУ в степенной ряд Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд Нахождение периодических решений ДУ Асимптотическое интегрирование ДУ Системы ДУ Системы ДУ: понятия и определения Сведение системы ДУ к одному уравнению Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование однородных линейных систем ДУ Методы интегрирования неоднородных систем ДУ Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем Теория устойчивости Устойчивость решений ДУ по Ляпунову Простейшие типы точек покоя Метод функций Ляпунова Устойчивость решений ДУ по первому приближению Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова ДУ с малым параметром при производной Численные методы Методы алгебры Численные методы линейной алгебры Численные методы решения СЛАУ Итерационный метод Шульца обратной матрицы Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы Методы решения нелинейных уравнений Методы решения систем нелинейных уравнений Методы теории приближений Методы приближения сеточных функций Методы функциональной интерполяции Методы интегрально-дифференциальной интерполяции Методы интегрального сглаживания Методы интерполяции и сглаживания сплайнами Методы численного дифференцирования и интегрирования Методы численного дифференцирования Методы численного интегрирования Методы решения обыкновенных ДУ Численные методы решения задачи Коши Разностные схемы для решения задачи Коши Составные схемы для решения задачи Коши Экстраполяционные методы решения задачи Коши Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши Численные методы решения краевых задач Методы решения ДУ в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Численные методы решения уравнений в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными	Приведение квадратичной формы к каноническому виду Говорят, что квадратичная форма имеет канонический вид, если ее матрица диагональная, другими словами, в квадратичной форме имеются только члены с квадратами переменных, а все попарные произведения различных переменных отсутствуют (соответствующие коэффициенты равны нулю): $\widetilde{q}(y)= \lambda_1y_1^2+ \lambda_2y_2^2+\ldots+\lambda_ny_n^2= y^T\Lambda y,$ (6.11) где $\Lambda=\operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n)$ — диагональная матрица, для которой условие симметричности $(a_{ij}=a_{ji})$ матрицы квадратичной формы, разумеется, выполняется. Задача приведения квадратичной формы к каноническому виду формулируется следующим образом. Для данной квадратичной формы (6.5) требуется найти такую линейную невырожденную замену переменных (6.8), при которой квадратичная форма принимает канонический вид (6.11). Как показывает следующая теорема, эта задача всегда разрешима. Заметим, что на практике нередко бывает достаточно определить только канонический вид квадратичной формы, не указывая замены переменных. Теорема 6.1 о приведении квадратичной формы к каноническому виду. Любая квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду при помощи некоторой линейной невырожденной замены переменных. Конструктивное доказательство этой теоремы составляет содержание метода Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду. Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду Для приведения квадратичной формы $n$ переменных $q(x)=a_{11}x_1^2+2a_{12}x_1x_2+\ldots+2a_{1n}x_1x_n+a_{22}x_2^2+2a_{23}x_2x_3+\ldots+a_{nn}x_n^2$ к каноническому виду нужно выполнить следующие действия. 1. Выбрать такую переменную (ведущую), которая входит в квадратичную форму во второй и в первой степени одновременно (если в квадратичной форме есть член с квадратом переменной и с произведением этой переменной на другую переменную), и перейти к пункту 2. Если в квадратичной форме нет ведущих переменных, то выбрать пару переменных, произведение которых входит в квадратичную форму с отличным от нуля коэффициентом, и перейти к п.3. Если в квадратичной форме отсутствуют произведения различных переменных, то никаких преобразований делать не надо, так как она уже имеет канонический вид. 2. По ведущей переменной выделить полный квадрат: собрать в квадратичной форме все члены с ведущей переменной, дополнить сумму этих членов до полного квадрата (разумеется, добавленные члены нужно также и вычесть, чтобы не изменилась сумма). Получим сумму полного квадрата некоторой линейной формы (в которую входит ведущая переменная) и квадратичной формы, в которую ведущая переменная не входит. Сделать замену переменных: линейную форму, содержащую ведущую переменную, принять за одну из новых переменных, а все старые переменные, за исключением ведущей, принять за соответствующие новые. Продолжить преобразования с пункта 1. 3. Выбранную пару переменных заменить на разность и сумму двух новых переменных, а остальные старые переменные принять за соответствующие новые переменные. При этом произведение пары выбранных переменных преобразуется к разности квадратов двух новых переменных, т.е. в новой квадратичной форме $q(y)$ будут квадраты переменных с отличными от нуля коэффициентами. Продолжить преобразования новой квадратичной формы с пункта 1. Идея метода Лагранжа состоит в том, что прием, используемый в п.2 (выделение полного квадрата), исключает одну переменную из числа ведущих. Например, если переменная $x_1$ — ведущая (т.е. $a_{11}\ne0$ и хотя бы один из коэффициентов $a_{12},a_{13},\ldots, a_{1n}$ отличен от нуля), то выделяем полный квадрат по переменной $x_1$ (собираем все члены с $x_1$ и дополняем их сумму до полного квадрата): $\begin{gathered}q(x)= a_{11}\cdot\!\left[x_1^2+2x_1\cdot\! \left(\frac{a_{12}}{a_{11}}\,x_2+ \ldots+\frac{a_{1n}}{a_{11}}\,x_n\right)+ \left(\frac{a_{12}}{a_{11}}\,x_2+\ldots+\frac{a_{1n}}{a_{11}}\,x_n\right)^2\right]-\\ -a_{11}\cdot\!\left(\frac{a_{12}}{a_{11}}\,x_2+\ldots+\frac{a_{1n}}{a_{11}}\,x_n\right)^2+ a_{22}x_2^2+2a_{23}x_2x_3+\ldots+a_{nn}x_n^2. \end{gathered}$ Выражение, стоящее в квадратных скобках, есть полный квадрат. Поэтому $q(x_1,x_2,\ldots,x_n)= a_{11}\cdot\! \left(x_1+\frac{a_{12}}{a_{11}}\,x_2+\ldots+ \frac{a_{1n}}{a_{11}}\,x_n \right)^2+q_1(x_2,\ldots,x_n),$ где $q_1(x_2,\ldots,x_n)= a_{22}x_2^2+2a_{23}x_2x_3+\ldots+a_{nn}x_n^2- a_{11}\cdot\!\left(\frac{a_{12}}{a_{11}}\,x_2+\ldots+\frac{a_{1n}}{a_{11}}\,x_n\right)^2$ — квадратичная форма, в которую не входит ведущая переменная $x_1+\frac{a_{12}}{a_{11}}\, x_2+\ldots+ \frac{a_{1n}}{a_{11}}\,x_n$ — линейная форма, содержащая ведущую переменную $x_1$ . Обозначим $y_1= x_1+\frac{a_{12}}{a_{11}}\,x_2+\ldots+ \frac{a_{1n}}{a_{11}}\,x_n,$ $y_2=x_2,\ldots,y_n=x_n$ , или, что то же самое, сделаем линейную замену переменных: $\begin{cases}x_1=y_1-\dfrac{a_{12}}{a_{11}}\,y_2-\ldots-\dfrac{a_{1n}}{a_{11}}\,y_n,\\ x_2=y_2,\\ \vdots,\\ x_n=y_n.\end{cases}$ (6.12) Тогда данная квадратичная форма преобразуется к виду $\widetilde{q}(y_1,y_2,\ldots,y_n)= a_{11}y_1^2+q_1(y_2,\ldots,y_n)$ . Заметим, что в результате этого преобразования все члены, содержащие ведущую переменную $x_1$ в первой и второй степени, заменены квадратом одной новой переменной $y_1$ . В дальнейших преобразованиях переменная ух уже никогда не будет ведущей. Многократно применяя этот прием, исключаем одну за другой все ведущие переменные, получая тем самым канонический вид квадратичной формы. Однако выделение полного квадрата невозможно, если в квадратичной форме вообще отсутствуют члены с квадратами переменных. В этом случае применяется способ, описанный в п.3, который порождает члены с квадратами переменных. Например, в п. 1 выделена пара переменных $x_1$ и $x_2$ , произведение которых входит в квадратичную форму с отличным от нуля коэффициентом $(a_{12}\ne0)$ . Тогда нужно сделать замену переменных $\begin{cases}x_1=y_1-y_2,\\ x_2=y_1+y_2,\\x_3=y_3,\\\vdots,\\x_n=y_n.\end{cases}$ (6.13) При этом получим новую квадратичную форму $\widetilde{q}(y)$ , в которой появятся квадраты новых переменных с отличными от нуля коэффициентами, так как в результате замены член $2a_{12}x_1x_2$ преобразуется к виду $2a_{12}x_1x_2= 2a_{12}(y_1-y_2)(y_1+y_2)= 2a_{12}y_1^2-2a_{12}y_2^2,$ а других членов с $y_1^2$ в новой квадратичной форме не будет. Заметим, что при помощи метода Лагранжа не только находится канонический вид, но и определяется искомая невырожденная замена переменных. В самом деле, замены переменных (6.12), (6.13), которые производятся в п.2, 3 алгоритма, это линейные замены с матрицами $S_1=\begin{pmatrix}1&-\dfrac{a_{12}}{a_{11}}&\cdots&-\dfrac{a_{1n}}{a_{11}}\\ 0&1&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&1 \end{pmatrix}\!,\quad S_2=\begin{pmatrix}1&-1&0&\cdots&0\\ 1&1&0&\cdots&0\\ 0&0&1&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&1 \end{pmatrix}\!.$ (6.14) Определители матриц отличны от нуля $(\det{S_1}=1,~\det{S_2}=2)$ . Следовательно, эти замены переменных невырожденные. Выполняя п.2, 3 алгоритма, можно определить матрицы используемых замен переменных. В результате их перемножения (в порядке нахождения) получается матрица искомой замены (согласно свойству 2 линейных замен переменных). Пример 6.8. Привести квадратичную форму $q(x)=x_1^2+2x_1x_2-2x_1x_3+x_2^2-x_2x_3+x_3^2$ к каноническому виду. Решение 1(1). В данную квадратичную форму переменная $x_1$ входит в первой и второй степенях одновременно. Выбираем ее в качестве ведущей. 2(1). По ведущей переменной $(x_1)$ выделяем полный квадрат: $\begin{gathered}q(x)=x_1^2+2x_1x_2-2x_1x_3+x_2^2-x_2x_3+x_3^2= \Bigl[x_1^2+ 2x_1(x_2-x_3)+(x_2-x_3)^2\Bigr]-\\ -(x_2-x_3)^2+x_2^2-x_2x_3+x_3^2= (x_1+x_2-x_3)^2+x_2x_3. \end{gathered}$ Обозначим $y_1=x_1+x_2-x_3,~y_2=x_2,~y_3=x_3$ , тогда получим новую квадратичную форму $\widetilde{q}(y_1,y_2,y_3)=y_1^2+y_2y_3$ . Продолжим преобразования, переходя к п. 1 алгоритма. 1(2). В квадратичной форме $\widetilde{q}(y_1,y_2,y_3)=y_1^2+y_2y_3$ нет ведущих переменных, поскольку каждая переменная входит в форму либо во второй степени, либо в первой, но не в первой и второй степенях одновременно. Однако имеется произведение $y_2y_3$ разных переменных. Переходим к п.3 алгоритма. 3(1). Заменяем выбранную пару переменных $y_2=z_2-z_3,~y_3=z_2+z_3$ . Оставшуюся старую переменную $y_1$ принимаем за соответствующую новую $y_1=z_1$ . Получаем квадратичную форму $\widetilde{\widetilde{q}}(z_1,z_2,z_3)= z_1^2+(z_2-z_3)(z_2+z_3)=z_1^2+z_2^2-z_3^2.$ Переходим к пункту 1 алгоритма. 1(3). В квадратичной форме $\widetilde{\widetilde{q}}(z_1,z_2,z_3)= z_1^2+z_2^2-z_3^2$ нет ведущих переменных (все переменные входят в форму во второй степени), кроме того, нет произведений различных переменных. Следовательно, квадратичная форма имеет канонический вид диагональной матрицей $\Lambda= \operatorname{diag}(1,1,-1).$ . Найдем теперь невырожденную линейную замену переменных, приводящую данную форму к каноническому виду. В пунктах 2(1) и 3(1) решения выполнялись замены $x=S_1y$ и $y=S_2z$ с матрицами $S_1=\begin{pmatrix}1&-1&1\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\!,\qquad S_2=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&-1\\0&1&1\end{pmatrix}\!.$ Следовательно, матрица $S$ искомой замены $x=Sz$ находится как произведение $S=S_1\cdot S_2= \begin{pmatrix}1&-1&1\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&-1\\0&1&1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&0&2\\ 0&1&-1\\ 0&1&1 \end{pmatrix}\!.$ Получим матрицу $\Lambda$ квадратичной формы, приведенной к каноническому виду по формуле (6.10): $\Lambda=S^TAS$ , где $A$ — матрица заданной квадратичной формы (см. примеры 6.4, 6.5). Имеем $\Lambda=S^TAS= \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&1\\2&-1&1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&1&-1\\1&1&-1/2\\ -1&-1/2&1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&0&2\\ 0&1&-1\\ 0&1&1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}\!,$ то есть $\Lambda=\operatorname{diag}(1,1,-1)$ что соответствует найденному каноническому виду. Замечания 6.4 1. Канонический вид квадратичной формы определен неоднозначно, так как зависит от последовательности выбора ведущих переменных. Сделав, например, замену переменных $y_i=\alpha_iz_i~(i=1,\ldots,n)$ в (6.11), получим другую квадратичную форму, которая тоже имеет канонический вид. 2. Элементы матрицы невырожденной линейной замены переменных, приводящей квадратичную форму к каноническому виду, вычисляются при помощи арифметических операций по коэффициентам квадратичной формы. Поэтому, если коэффициенты квадратичной формы рациональные, действительные, комплексные, то и коэффициенты линейной замены рациональные, действительные, комплексные соответственно. Метод Якоби приведения квадратичной формы к каноническому виду Рассмотрим еще один метод приведения квадратичной формы к каноническому виду, который учитывает особенности преобразования (6.10) матрицы квадратичной формы при линейной замене переменных. Две квадратные матрицы $A$ и $A'$ одного и того же порядка называются конгруэнтными, если существует такая невырожденная матрица $S$ , что $A'=S^TAS$ . Конгруэнтными, например, являются матрицы квадратичных форм, получающиеся при невырожденной замене переменных (6.8), так как они связаны равенством (6.10). Напомним, что главными минорами квадратной матрицы называются миноры, составленные из ее элементов, стоящих на пересечении строк и столбцов с одинаковыми номерами. Например, $M_{i_1i_2\ldots i_k}^{i_1i_2\ldots i_k}$ — главный минор k-го порядка $(1\leqslant i_1<i_2<\ldots<i_k\leqslant n,~1\leqslant k\leqslant n)$ квадратной матрицы n-го порядка. Угловыми минорами квадратной матрицы $A$ (n-го порядка) называются следующие главные миноры $\Delta_1=M_1^1=a_{11},~ \Delta_2= M_{1\,2}^{1\,2}= \begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22} \end{vmatrix},~\ldots,~ \Delta_k=M_{1\,2\,\ldots\,k}^{1\,2\,\ldots\,k},~ \ldots,~ \Delta_n= M_{1\,2\,\ldots\,n}^{1\,2\,\ldots\,n}=\det{A}\,,$ где угловой минор $\Delta_k= M_{1\,2\,\ldots\,k}^{1\,2\,\ldots\,k}$ k-го порядка составлен из элементов матрицы $A$ , стоящих на пересечении первых $k$ строк и первых $k$ столбцов матрицы $A$ , т.е. $\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix}\!.$ Свойства конгруэнтных матриц 1. Конгруэнтные матрицы имеют равные ранги. В самом деле, ранг произведения матрицы $A$ на невырожденную матрицу $S$ и $S^T$ равен рангу матрицы $A$ (см. следствие теоремы 3.5). 2. Матрица, конгруэнтная симметрической матрице, также является симметрической. Действительно, если $A=A^T$ и $A'=S^TAS$ , то $(A')^T= (S^T\cdot A\cdot S)^T= S^T\cdot A^T\cdot (S^T)^T= S^T\cdot A\cdot S=A'.$ 3. Определители действительных конгруэнтных матриц имеют одинаковые знаки. В частности, если $A'=S^TAS$ и $\det{S}=1$ , то $\det{A'}=\det{A}$ . В самом деле, из равенства $A'=S^TAS$ и свойства 1 определителя следует, что $\det{A'}=\det{S^T}\det{A}\det{S}= \det{A}(\det{S})^2$ , т.е. знаки величин $\det{A'}$ и $\det{A}$ совпадают. Если же $\det{S}=1$ , тo $\det{A'}=\det{A}$ . 4. Если квадратные матрицы $A$ и $A'$ связаны соотношением $A'=S^TAS$ , где матрица $S$ — верхняя треугольная с единицами на главной диагонали $S=\begin{pmatrix}1&\ast&\cdots&\ast\\ 0&1&\cdots&\ast\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&1\end{pmatrix}\!,$ (6.15) то все угловые миноры матриц $A$ и $A'$ равны, где в (6.15) звездочкой $(\ast)$ обозначаются любые числа. Действительно, разобьем квадратные матрицы $A,\,S$ и $A'$ на блоки, выделив в каждой квадратный блок в первых $k$ строках и первых $k$ столбцах: $A'=S^TAS= \begin{pmatrix}S_k^T\!\!&\vline\!\!&O\\\hline \ast\!\!&\vline\!\!&\ast\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}A_k\!\!&\vline\!\!&\ast\\\hline \ast\!\!&\vline\!\!&\ast \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix} S_k\!\!&\vline\!\!&\ast\\\hline \ast\!\!&\vline\!\!&\ast \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} S_k^TA_kS_k\!\!&\vline\!\!&\ast\\\hline \ast\!\!&\vline\!\!&\ast \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}A'_k\!\!&\vline\!\!&\ast\\\hline \ast\!\!&\vline\!\!&\ast \end{pmatrix}\!.$ Здесь $O$ — нулевые матрицы соответствующих размеров, а звездочкой $(\ast)$ обозначаются блоки соответствующих размеров, значения элементов которых для доказательства не существенны и могут быть любыми. Получили, что $A'_k=S_k^TA_kS_k$ . Учитывая, что $\det{S_k}=1$ для любого $k=1,\ldots,n$ , по свойству 3 имеем $\Delta'_k=\det{A'_k}= \det{S_k^T}\cdot\det{A_k}\cdot\det{S_k}= \det{A_k}=\Delta_k$ т.е. угловые миноры $\Delta'_k$ и $\Delta_k$ матриц $A'$ и $A$ равны для любого $k=1,2,\ldots,n$ . Замечания 6.5 1. Линейная невырожденная замена переменных не изменяет ранга квадратичной формы. Это следует из свойства 1 конгруэнтных матриц. 2. Ранг квадратичной формы равен количеству отличных от нуля коэффициентов $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n$ в ее каноническом виде (6.11). Действительно, согласно предыдущему пункту $\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}\Lambda$ , но ранг диагональной матрицы $\Lambda=\operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2,\ldots, \lambda_n)$ равен количеству ненулевых ее элементов. Теорема 6.2 Якоби о каноническом виде квадратичной формы. Если квадратичная форма $q(x)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j=x^TAx$ имеет ранг $r=\operatorname{rg}A$ и ее угловые миноры отличны от нуля: $\Delta_1=a_{11}\ne0,\quad \Delta_2=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}\ne0,\quad \ldots,\quad \Delta_r=M_{1\,2\ldots r}^{1\,2\ldots r}\ne0,$ (6.16) то ее можно привести к каноническому виду $\widetilde{q}(y)= \lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\ldots+\lambda_ry_r^2\quad \left(\lambda_i= \frac{\Delta_i}{\Delta_{i-1}},~i=1,\ldots,r,~ \Delta_0=1\right)$ (6.17) при помощи линейной замены переменных $x=Sy$ с верхней треугольной матрицей $S$ вида (6.15). Действительно, применяя метод Лагранжа, выбираем первую переменную $x_1$ в качестве ведущей $(\Delta_1=a_{11}\ne0)$ и выделяем по ней полный квадрат. Другими словами, делаем линейную замену переменных (6.12). Этой замене соответствует матрица $S_1$ в (6.14), которая является верхней треугольной вида (6.15). Получим квадратичную форму с матрицей $A'=S_1^TAS_1= \begin{pmatrix}a_{11}\!\!&\vline\!\!&0&0&\cdots\\ 0\!\!& \vline\!\!&a'_{22}&\ast&\cdots\\ 0\!\!&\vline\!\!&\ast&\ast&\cdots\\ \vdots\!\!&\vline\!\!& \vdots&\vdots&\ddots \end{pmatrix}\!,$ где звездочкой $(\ast)$ обозначены некоторые элементы матрицы $A'$ . Заметим, что матрица $S_1$ — верхняя треугольная с единицами на главной диагонали. Тогда по свойству 4 конгруэнтных матриц, получаем $\Delta_2=\Delta'_2$ , следовательно $\Delta_2=a_{11}a'_{22}=\Delta_1a'_{22}$ . Отсюда $a'_{22}= \frac{\Delta_2}{\Delta_1} \ne0$ . Значит, вторую переменную можно взять в качестве ведущей и выделить по ней полный квадрат. Для этого делаем линейную замену переменных с матрицей вида (6.15) и т.д. Условия (6.16) обеспечивают возможность применения пункта 2 метода Лагранжа $r$ раз. В результате описанных действий получается канонический вид (6.17). Формулы (6.17) для вычисления $\Lambda_i$ следуют из свойства 4 конгруэнтных матриц. Так как угловые миноры матриц $A$ и $\Lambda= \operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n)$ соответственно равны (по свойству 4 конгруэнтных матриц), то $\Delta_1=\lambda_1,~\Delta_2=\lambda_1\lambda_2,~ \ldots,~ \Delta_r=\lambda_1\cdot\ldots\cdot\lambda_r$ . Отсюда $\lambda_1=\Delta_1,~ \lambda_2=\frac{\Delta_2}{\Delta_1},~\ldots~ \lambda_r= \frac{\Delta_r}{\Delta_{r-1}}$ . Остальные угловые миноры равны нулю $\Delta_{r+1}=\ldots=\Delta_n$ , так как $\operatorname{rg}A=r$ . Таким образом, для нахождения канонического вида квадратичной формы методом Якоби необходимо выполнить следующие действия. 1. Составить матрицу $A$ (n-го порядка) квадратичной формы. 2. Найти первые $r$ отличных от нуля угловых миноров матрицы квадратичной формы. Если $\Delta_1\ne0,\Delta_2\ne0,\ldots,\Delta_n\ne0$ , то перейти к пункту 3, положив $r=n$ . Если $\Delta_{11}=a_{11}=0$ , то процесс закончить, так как метод Якоби неприменим. Если $\Delta_1\ne0,\Delta_2\ne0,\ldots,\Delta_r\ne0$ и $\Delta_{r+1}=0$ , где $0\leqslant r\leqslant n-1$ , то найти отличный от нуля минор (r+l)-порядка, окаймляющий минор $\Delta_r\ne0$ . Если такого минора нет, то перейти к пункту 3, иначе процесс закончить, так как метод Якоби неприменим. 3. Записать искомый канонический вид (6.17) квадратичной формы $\widetilde{q}(y_1,y_2,\ldots,y_r)= \frac{\Delta_1}{\Delta_0}\,y_1^2+ \frac{\Delta_2}{\Delta_1}\,y_2^2+ \ldots+ \frac{\Delta_r}{\Delta_{r-1}}\,y_r^2\quad(\Delta_0=1).$ Замечания 6.6 1. Алгоритм метода Якоби можно модифицировать, дополнив его перенумерацией переменных. Например, замена $x_i$ на $x_j$ и, одновременно, $x_j$ на $x_i$ (короче, перенумерация $x_i\leftrightarrow x_j$ ) приводит к перестановке i-й и j-й строк, а также i-го и j-го столбцов матрицы квадратичной формы. Такая замена является линейной невырожденной и не нарушает симметричности матрицы квадратичной формы. При помощи таких двойных перестановок можно любой главный минор симметрической матрицы переместить в левый верхний угол, т.е. сделать его угловым. Например, для матрицы $A=\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}$ квадратичной формы метод Якоби неприменим, так как $\Delta_1=a_{11}=0$ . Перенумеровав переменные $x_1\leftrightarrow x_2$ , получаем матрицу $A'=\begin{pmatrix}1&1\\1&0 \end{pmatrix}$ , для которой условия (6.16) применимости метода Якоби выполняются. 2. При выполнении условий теоремы 6.2 метод Лагранжа (последовательного выделения полных квадратов) соответствует методу Гаусса приведения матрицы $A$ к ступенчатому виду. 3. При выполнении условий теоремы 6.2 для нахождения матрицы $S$ линейной замены переменных, приводящей квадратичную форму к каноническому виду, нужно выполнить следующие действия: 1) Составить блочную матрицу $(A\mid E)$ , приписав к матрице $A$ квадратичной формы единичную матрицу тех же размеров. 2) Привести левый блок $A$ к ступенчатому виду $A'$ при помощи элементарных преобразований III типа строк блочной матрицы $(A\mid E)$ . В результате получить блочную матрицу $(A'\mid S^T)$ , где $S$ — искомая матрица замены переменных. Элементы главной диагонали матрицы $A'$ равны коэффициентам в квадратичной форме (6.17): $\lambda_1=a'_{11},\quad \lambda_2=a'_{22},\quad \ldots,\quad \lambda_r=a'_{rr}.$ Пример 6.9. Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Якоби $q(x)=x_1^2+2x_1x_2-2x_1x_3+x_2^2-x_2x_3+x_3^2.$ Решение 1. Составляем матрицу квадратичной формы (см. пример 6.8): $A=\begin{pmatrix}1&1&-1\\ 1&1&-1/2\\-1&-1/2&1\end{pmatrix}$ . 2. Вычисляем угловые миноры $\Delta_1=1\ne0,~\Delta_2=\begin{vmatrix}1&1\\1&1 \end{vmatrix}=0$ . Получили $r=1<n$ . Ищем отличный от нуля минор 2-го порядка, окаймляющий минор $\Delta_1$ . Например, $M_{{}_{1\,2}}^{{}^{1\,3}}= \begin{pmatrix}1&1\\-1&-1/2\end{pmatrix}=\frac{1}{2}\ne0$ . Следовательно, метод Якоби для рассматриваемой формы применить нельзя. Воспользуемся перенумерацией переменных (см. пункт 1 замечаний 6.6). Сделаем замену $x_1\leftrightarrow x_3$ , т.е. меняем местами 1-ю и 3-ю строки и 1-й и 3-й столбцы матрицы $A$ . Получим матрицу $A'=\begin{pmatrix}1&-1/2&-1\\ -1/2&1&1\\ -1&1&1\end{pmatrix}$ . Применяем для нее метод Якоби. 2(1). Вычисляем угловые миноры $\Delta'_1=1\ne0,~ \Delta'_2=\begin{vmatrix}1&-1/2\\ -1/2&1 \end{vmatrix}=\frac{3}{4}\ne0,~ \Delta'_3=\det{A'}=-\frac{1}{4}\ne0$ . Найдено $r=3=n$ отличных от нуля угловых миноров. 3(1). Записываем искомый канонический вид $\widetilde{q}(y)=y_1^2+\frac{3}{4}y_2^2-\frac{1}{3}y_3^2$ , так как $\lambda_1=\frac{\Delta'_1}{\Delta'_0}=1,~ \Lambda'_2=\frac{\Delta'_2}{\Delta'_1}=\frac{3}{4},~ \lambda_3=\frac{\Delta'_3}{\Delta'_2}=-\frac{1}{3}$ . Этот вид отличается от полученного в примере 6.8, что соответствует п.1 замечаний 6.4. Пример 6.10. Найти матрицу линейной замены переменных, приводящей квадратичную форму к каноническому виду $q(x)=x_1^2-x_1x_2-2x_1x_3+x_2^2+2x_2x_3+x_3^2.$ Решение Составим матрицу квадратичной формы $A=\begin{pmatrix} 1&-1/2&-1\\ -1/2&1&1\\ -1&1&1\end{pmatrix}$ (см. пример 6.9 после перенумерации переменных $x_1\leftrightarrow x_3$ ). Применяем к этой матрице алгоритм, описанный в пункте 3 замечаний 6.6. 1. Составляем блочную матрицу $(A\mid E)= \begin{pmatrix}1&-1/2&-1\!\!&\vline\!\!&1&0&0\\ -1/2&1&1\!\!&\vline\!\!&0&1&0\\ -1&1&1\!\!&\vline\!\!&0&0&1 \end{pmatrix}$ . 2. Элементарными преобразованиями III типа, выполняемыми над строками блочной матрицы, приводим ее левый блок к ступенчатому виду: $(A\mid E)\sim \begin{pmatrix}1&-1/2&-1\!\!&\vline\!\!&1&0&0\\ 0&3/4&1/2\!\!& \vline\!\!&1/2&1&0\\ 0&1/2&0\!\!&\vline\!\!&1&0&1 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&-1/2&-1\!\!&\vline\!\!&1&0&0\\ 0&3/4&1/2\!\!&\vline\!\!&1/2&1&0\\ 0&0&-1/3\!\!&\vline\!\!&2/3&-2/3&1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}A'\mid S^T\end{pmatrix}\!.$ Следовательно, искомая матрица $S=\begin{pmatrix}1&1/2&2/3\\ 0&1&-2/3\\ 0&0&1 \end{pmatrix}$ , а коэффициенты квадратичной формы $\widetilde{q}(y)=y_1^2+ \frac{3}{4}y_2^2-\frac{1}{3}y_3^2$ имеющей канонический вид, являются элементами главной диагонали матрицы $A'=\begin{pmatrix}1&-1/2&-1\\ 0&3/4&1/2\\ 0&0&-1/3\end{pmatrix}$ , что совпадает с результатом примера 6.9. Нетрудно проверить равенство $S^TAS=\Lambda=\operatorname{diag}\!\left(1,\,\frac{3}{4},-\frac{1}{3}\right)$ . Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике). Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Приведение квадратичной формы к каноническому виду

Онлайн-сервисы

Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики Онлайн число, сумма и дата прописью

Алгоритмы JavaScript

Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки Уникальные элементы массива Объединение, пересечение и разность массивов НОД и НОК Операции над матрицами Дата прописью

Введение в анализ

Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика

Теория множеств

Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия

Математическая логика

Алгебра высказываний

Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции

Булевы функции

Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций

Теория формального

Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний

Логика предикатов

Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов

Неформальные и формаль-
ные аксиоматические теории

Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории

Теория алгоритмов

Интуитивное представление об алгоритмах Машины Тьюринга и тезис Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики

Математическая логика и компьютеры

Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект

Дискретная математика

Множества и отношения

Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций

Группы и кольца

Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов

Полукольца и булевы алгебры

Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки

Алгебраические системы

Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры

Теория графов

Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов

Булева алгебра и функции

Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов

Конечные автоматы и регулярные языки

Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга

Контекстно-свободные языки

Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов

Интегральное исчисление

Неопределённый и определённый

Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции

Приложения интегралов

Вычисление площадей плоских фигур Площади фигур в различных координатах Вычисление объемов тел с помощью интегралов Объём тела вращения Вычисление длин дуг кривых Формулы длины дуги регулярной кривой Кривизна плоской кривой Площадь поверхности вращения тела

Интегралы в физике

Статические моменты и координаты центра тяжести Теоремы Гульдина–Паппа Вычисление моментов инерции Другие приложения интегралов в физике

Основные интегралы

Интеграл Ньютона-Лейбница Интеграл Римана Интеграл Лебега

Вариационное исчисление

Примеры вариационных задач Дифференциальное уравнение Эйлера Функционалы, зависящие от нескольких функций Задача о минимуме кратного интеграла

Финансовый анализ

Анализ эффективности

Критерии и показатели эффективности предприятия Методы анализа эффективности деятельности Факторный анализ прибыли от операционной деятельности Анализ безубыточности предприятия Операционный рычаг и эффект финансового рычага Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала Анализ распределения прибыли предприятия Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности

Анализ устойчивости

Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность Характеристика типов финансовой устойчивости

Рыночная активность

Финансовый анализ рыночной активности Методика анализа рыночной активности Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию

Инвестиционная деятельность

Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование

Анализ инвестиций

Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия Задачи финансового анализа инвестиций предприятия Учет фактора времени в инвестиционной деятельности Аннуитет и финансовая рента в инвестициях Учет фактора инфляции при инвестировании Оценка фактора риска инвестиционного проекта Методы оценки эффективности инвестиций Показатели эффективности инвестиционного проекта

Стоимость компании

Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций

Форвардные контракты

Форвардный контракт и цена Форвардная цена акции на бирже Цена форвардного контракта инвестора Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда Форвардная цена валюты на рынке форекс Форвардный валютный курс и инфляция на рынке Форвардная цена товара и спотовый рынок Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам Синтетический форвардный контракт на акции и валюту

Теория вероятностей

Основные понятия теории вероятностей Зависимые и независимые случайные события Повторные независимые испытания Формула Бернулли Одномерные случайные величины Многомерные случайные величины Функции случайных величин Законы распределения целочисленных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и предельные теоремы Вероятностные закономерности

Математическая статистика

Элементы математической статистики Выборочный метод Оценки параметров генеральной совокупности Статистические гипотезы Критерии согласия Теоретические и эмпирические частоты

Теория очередей (СМО)

Определение системы массового обслуживания Уравнения Колмогорова Предельные вероятности состояний Определение СМО с отказами Определение СМО с ожиданием (очередью)

Аналитическая геометрия

Векторная алгебра

Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике

Системы координат

Прямоугольные координаты Преобразования прямоугольных координат Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферические координаты Аффинные координаты Аффинные преобразования координат Аффинные преобразования плоскости Примеры аффинных преобразований плоскости Аффинные преобразования пространства Многомерное координатное пространство Линейные и аффинные подпространства Скалярное произведение n-мерных векторов Преобразования систем координат

Геометрия на плоскости

Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными

Линии 2-го порядка

Канонические уравнения линий второго порядка Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду Эллипс Гипербола Парабола Квадратичные неравенства с двумя неизвестными Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций

Инварианты линий

Классификация линий 2-го порядка по инвариантам Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам

Геометрия в пространстве

Способы задания ГМТ в пространстве Алгебраические уравнения поверхностей Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам Уравнения плоскости, проходящей через три точки Взаимное расположение плоскостей Типовые задачи с плоскостями Уравнения прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Типовые задачи с прямыми в пространстве

Поверхности 2-го порядка

Канонические уравнения поверхностей Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду Поверхности второго порядка Эллипсоиды Гиперболоиды Конусы Параболоиды Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций

Инварианты поверхностей

Классификация поверхностей 2-го порядка по инвариантам Квадратичные неравенства с тремя неизвестными Приведение уравнения поверхности к канониче-скому виду по инвариантам

Линейная алгебра

Матрицы и операции

Линейные операции над матрицами Умножение матриц Возведение матриц в степень Многочлены от матриц Транспонирование и сопряжение матриц Блочные матрицы Произведение и сумма матриц Кронекера Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду Элементарные преобразования матриц

Определители

Определители матриц и их основные свойства Формула полного разложения определителя Формула Лапласа полного разложения определителя Определитель произведения матриц Методы вычисления определителей

Ранг матрицы

Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы Ранг матрицы и базисный минор матрицы Методы вычисления ранга матрицы Ранг системы столбцов (строк)

Обратная матрица

Обратные матрицы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы Способы нахождения обратной матрицы Матричные уравнения Односторонние обратные матрицы Скелетное разложение матрицы Полуобратная матрица Псевдообратная матрица

Системы уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Структура общего решения системы уравнений Решение систем с помощью полуобратных матриц Псевдорешения системы линейных уравнений

Функциональные матрицы

Функциональные матрицы скалярного аргумента Производные матриц по векторному аргументу Линейные и квадратичные формы и их преобразования Приведение форм к каноническому виду Закон инерции вещественных квадратичных форм Знакоопределенность форм вещественных квадратичных Формы и исследование функций на экстремум

Многочленные матрицы

Многочленные матрицы (лямбда-матрицы) Операции над лямбда-матрицами Простые преобразования многочленных матриц Инвариантные множители многочленной матрицы

Функции от матриц

Собственные векторы и значения матрицы Подобие числовых матриц Характеристический многочлен матрицы Минимальный многочлен матрицы Теорема Гамильтона-Кэли Жорданова форма матрицы Приведение матрицы к жордановой форме Многочлены от матриц Применение многочленов от матриц Функции от матриц

Линейные пространства

Линейные пространства: определение и примеры Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов Размерность и базис линейного пространства Преобразования координат в линейном пространстве Изоморфизм линейных пространств

Подпространства

Подпространства линейного пространства Пересечение и сумма подпространств Способы описания подпространств Нахождение дополнения и суммы подпространств Нахождение пересечения подпространств

Линейные отображения

Линейные многообразия Линейные отображения Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения

Линейные операторы

Линейные операторы (преобразования) Инвариантные подпространства Собственные векторы и значения оператора Свойства собственных векторов операторов Канонический вид линейного оператора Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду

Евклидовы пространства

Комплексный анализ

Комплексные числа

Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Множества на комплексной плоскости Последовательности и ряды комплексных чисел

Комплексные функции

Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная Элементарные функции комплексного переменного Дифференцирование функций комплексного переменного Аналитические функции и их свойства Конформные отображения
и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного

Функциональные ряды в комплексной области

Функциональные ряды и последовательности Степенные ряды и их свойства Разложение функций в степенные ряды Нули аналитических функций Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням

Особые точки, Вычеты

Изолированные особые точки функций и полюсы Вычеты и их применение Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычеты и расположение нулей многочлена

Операционное исчисление

Преобразование Лапласа и его свойства Решение ДУ операционным методом Анализ выходных процессов линейных стационарных систем Z-преобразование и его свойства

Дифференциальные уравнения

ДУ первого порядка

Основные понятия и определения ДУ Метод изоклин для ДУ 1-го порядка Метод последовательных приближений ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ 1-го порядка Дифференциальное уравнение Бернулли ДУ в полных дифференциалах Интегрирующий множитель ДУ, не разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение Риккати Составление ДУ семейств линий Задачи на траектории Особые решения ДУ

ДУ высших порядков

Понятия и определения ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка Линейная независимость функций Определители Вронского и Грама Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения Задача Коши и Уравнение Эйлера Линейные ДУ с переменными коэффициентами Метод Лагранжа решения ДУ Краевые задачи для ДУ высших порядков Разложение решения ДУ в степенной ряд Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд Нахождение периодических решений ДУ Асимптотическое интегрирование ДУ

Системы ДУ

Системы ДУ: понятия и определения Сведение системы ДУ к одному уравнению Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование однородных линейных систем ДУ Методы интегрирования неоднородных систем ДУ Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем

Теория устойчивости

Устойчивость решений ДУ по Ляпунову Простейшие типы точек покоя Метод функций Ляпунова Устойчивость решений ДУ по первому приближению Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова ДУ с малым параметром при производной

Численные методы

Методы алгебры

Численные методы линейной алгебры Численные методы решения СЛАУ Итерационный метод Шульца обратной матрицы Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы Методы решения нелинейных уравнений Методы решения систем нелинейных уравнений

Методы теории приближений

Методы приближения сеточных функций Методы функциональной интерполяции Методы интегрально-дифференциальной интерполяции Методы интегрального сглаживания Методы интерполяции и сглаживания сплайнами Методы численного дифференцирования и интегрирования Методы численного дифференцирования Методы численного интегрирования

Методы решения обыкновенных ДУ

Численные методы решения задачи Коши Разностные схемы для решения задачи Коши Составные схемы для решения задачи Коши Экстраполяционные методы решения задачи Коши Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши Численные методы решения краевых задач

Методы решения ДУ в частных производных

Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Численные методы решения уравнений в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными

Приведение квадратичной формы к каноническому виду

Говорят, что квадратичная форма имеет канонический вид, если ее матрица диагональная, другими словами, в квадратичной форме имеются только члены с квадратами переменных, а все попарные произведения различных переменных отсутствуют (соответствующие коэффициенты равны нулю):

$\widetilde{q}(y)= \lambda_1y_1^2+ \lambda_2y_2^2+\ldots+\lambda_ny_n^2= y^T\Lambda y,$

(6.11)

где $\Lambda=\operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n)$ — диагональная матрица, для которой условие симметричности $(a_{ij}=a_{ji})$ матрицы квадратичной формы, разумеется, выполняется.

Задача приведения квадратичной формы к каноническому виду формулируется следующим образом. Для данной квадратичной формы (6.5) требуется найти такую линейную невырожденную замену переменных (6.8), при которой квадратичная форма принимает канонический вид (6.11). Как показывает следующая теорема, эта задача всегда разрешима. Заметим, что на практике нередко бывает достаточно определить только канонический вид квадратичной формы, не указывая замены переменных.

Теорема 6.1 о приведении квадратичной формы к каноническому виду. Любая квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду при помощи некоторой линейной невырожденной замены переменных.

Конструктивное доказательство этой теоремы составляет содержание метода Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду.

Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду

Для приведения квадратичной формы $n$ переменных

$q(x)=a_{11}x_1^2+2a_{12}x_1x_2+\ldots+2a_{1n}x_1x_n+a_{22}x_2^2+2a_{23}x_2x_3+\ldots+a_{nn}x_n^2$

к каноническому виду нужно выполнить следующие действия.

1. Выбрать такую переменную (ведущую), которая входит в квадратичную форму во второй и в первой степени одновременно (если в квадратичной форме есть член с квадратом переменной и с произведением этой переменной на другую переменную), и перейти к пункту 2.

Если в квадратичной форме нет ведущих переменных, то выбрать пару переменных, произведение которых входит в квадратичную форму с отличным от нуля коэффициентом, и перейти к п.3.

Если в квадратичной форме отсутствуют произведения различных переменных, то никаких преобразований делать не надо, так как она уже имеет канонический вид.

2. По ведущей переменной выделить полный квадрат: собрать в квадратичной форме все члены с ведущей переменной, дополнить сумму этих членов до полного квадрата (разумеется, добавленные члены нужно также и вычесть, чтобы не изменилась сумма). Получим сумму полного квадрата некоторой линейной формы (в которую входит ведущая переменная) и квадратичной формы, в которую ведущая переменная не входит. Сделать замену переменных: линейную форму, содержащую ведущую переменную, принять за одну из новых переменных, а все старые переменные, за исключением ведущей, принять за соответствующие новые. Продолжить преобразования с пункта 1.

3. Выбранную пару переменных заменить на разность и сумму двух новых переменных, а остальные старые переменные принять за соответствующие новые переменные. При этом произведение пары выбранных переменных преобразуется к разности квадратов двух новых переменных, т.е. в новой квадратичной форме $q(y)$ будут квадраты переменных с отличными от нуля коэффициентами. Продолжить преобразования новой квадратичной формы с пункта 1.

Идея метода Лагранжа состоит в том, что прием, используемый в п.2 (выделение полного квадрата), исключает одну переменную из числа ведущих. Например, если переменная $x_1$ — ведущая (т.е. $a_{11}\ne0$ и хотя бы один из коэффициентов $a_{12},a_{13},\ldots, a_{1n}$ отличен от нуля), то выделяем полный квадрат по переменной $x_1$ (собираем все члены с $x_1$ и дополняем их сумму до полного квадрата):

$\begin{gathered}q(x)= a_{11}\cdot\!\left[x_1^2+2x_1\cdot\! \left(\frac{a_{12}}{a_{11}}\,x_2+ \ldots+\frac{a_{1n}}{a_{11}}\,x_n\right)+ \left(\frac{a_{12}}{a_{11}}\,x_2+\ldots+\frac{a_{1n}}{a_{11}}\,x_n\right)^2\right]-\\ -a_{11}\cdot\!\left(\frac{a_{12}}{a_{11}}\,x_2+\ldots+\frac{a_{1n}}{a_{11}}\,x_n\right)^2+ a_{22}x_2^2+2a_{23}x_2x_3+\ldots+a_{nn}x_n^2. \end{gathered}$

Выражение, стоящее в квадратных скобках, есть полный квадрат. Поэтому

$q(x_1,x_2,\ldots,x_n)= a_{11}\cdot\! \left(x_1+\frac{a_{12}}{a_{11}}\,x_2+\ldots+ \frac{a_{1n}}{a_{11}}\,x_n \right)^2+q_1(x_2,\ldots,x_n),$

где $q_1(x_2,\ldots,x_n)= a_{22}x_2^2+2a_{23}x_2x_3+\ldots+a_{nn}x_n^2- a_{11}\cdot\!\left(\frac{a_{12}}{a_{11}}\,x_2+\ldots+\frac{a_{1n}}{a_{11}}\,x_n\right)^2$ — квадратичная форма, в которую не входит ведущая переменная $x_1+\frac{a_{12}}{a_{11}}\, x_2+\ldots+ \frac{a_{1n}}{a_{11}}\,x_n$ — линейная форма, содержащая ведущую переменную $x_1$ . Обозначим $y_1= x_1+\frac{a_{12}}{a_{11}}\,x_2+\ldots+ \frac{a_{1n}}{a_{11}}\,x_n,$ $y_2=x_2,\ldots,y_n=x_n$ , или, что то же самое, сделаем линейную замену переменных:

$\begin{cases}x_1=y_1-\dfrac{a_{12}}{a_{11}}\,y_2-\ldots-\dfrac{a_{1n}}{a_{11}}\,y_n,\\ x_2=y_2,\\ \vdots,\\ x_n=y_n.\end{cases}$

(6.12)

Тогда данная квадратичная форма преобразуется к виду $\widetilde{q}(y_1,y_2,\ldots,y_n)= a_{11}y_1^2+q_1(y_2,\ldots,y_n)$ .

Заметим, что в результате этого преобразования все члены, содержащие ведущую переменную $x_1$ в первой и второй степени, заменены квадратом одной новой переменной $y_1$ . В дальнейших преобразованиях переменная ух уже никогда не будет ведущей.

Многократно применяя этот прием, исключаем одну за другой все ведущие переменные, получая тем самым канонический вид квадратичной формы. Однако выделение полного квадрата невозможно, если в квадратичной форме вообще отсутствуют члены с квадратами переменных. В этом случае применяется способ, описанный в п.3, который порождает члены с квадратами переменных.

Например, в п. 1 выделена пара переменных $x_1$ и $x_2$ , произведение которых входит в квадратичную форму с отличным от нуля коэффициентом $(a_{12}\ne0)$ . Тогда нужно сделать замену переменных

$\begin{cases}x_1=y_1-y_2,\\ x_2=y_1+y_2,\\x_3=y_3,\\\vdots,\\x_n=y_n.\end{cases}$

(6.13)

При этом получим новую квадратичную форму $\widetilde{q}(y)$ , в которой появятся квадраты новых переменных с отличными от нуля коэффициентами, так как в результате замены член $2a_{12}x_1x_2$ преобразуется к виду

$2a_{12}x_1x_2= 2a_{12}(y_1-y_2)(y_1+y_2)= 2a_{12}y_1^2-2a_{12}y_2^2,$

а других членов с $y_1^2$ в новой квадратичной форме не будет.

Заметим, что при помощи метода Лагранжа не только находится канонический вид, но и определяется искомая невырожденная замена переменных. В самом деле, замены переменных (6.12), (6.13), которые производятся в п.2, 3 алгоритма, это линейные замены с матрицами

$S_1=\begin{pmatrix}1&-\dfrac{a_{12}}{a_{11}}&\cdots&-\dfrac{a_{1n}}{a_{11}}\\ 0&1&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&1 \end{pmatrix}\!,\quad S_2=\begin{pmatrix}1&-1&0&\cdots&0\\ 1&1&0&\cdots&0\\ 0&0&1&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&1 \end{pmatrix}\!.$

(6.14)

Определители матриц отличны от нуля $(\det{S_1}=1,~\det{S_2}=2)$ . Следовательно, эти замены переменных невырожденные. Выполняя п.2, 3 алгоритма, можно определить матрицы используемых замен переменных. В результате их перемножения (в порядке нахождения) получается матрица искомой замены (согласно свойству 2 линейных замен переменных).

Пример 6.8. Привести квадратичную форму $q(x)=x_1^2+2x_1x_2-2x_1x_3+x_2^2-x_2x_3+x_3^2$ к каноническому виду.

Решение

1(1). В данную квадратичную форму переменная $x_1$ входит в первой и второй степенях одновременно. Выбираем ее в качестве ведущей.

2(1). По ведущей переменной $(x_1)$ выделяем полный квадрат:

$\begin{gathered}q(x)=x_1^2+2x_1x_2-2x_1x_3+x_2^2-x_2x_3+x_3^2= \Bigl[x_1^2+ 2x_1(x_2-x_3)+(x_2-x_3)^2\Bigr]-\\ -(x_2-x_3)^2+x_2^2-x_2x_3+x_3^2= (x_1+x_2-x_3)^2+x_2x_3. \end{gathered}$

Обозначим $y_1=x_1+x_2-x_3,~y_2=x_2,~y_3=x_3$ , тогда получим новую квадратичную форму $\widetilde{q}(y_1,y_2,y_3)=y_1^2+y_2y_3$ . Продолжим преобразования, переходя к п. 1 алгоритма.

1(2). В квадратичной форме $\widetilde{q}(y_1,y_2,y_3)=y_1^2+y_2y_3$ нет ведущих переменных, поскольку каждая переменная входит в форму либо во второй степени, либо в первой, но не в первой и второй степенях одновременно. Однако имеется произведение $y_2y_3$ разных переменных. Переходим к п.3 алгоритма.

3(1). Заменяем выбранную пару переменных $y_2=z_2-z_3,~y_3=z_2+z_3$ . Оставшуюся старую переменную $y_1$ принимаем за соответствующую новую $y_1=z_1$ . Получаем квадратичную форму

$\widetilde{\widetilde{q}}(z_1,z_2,z_3)= z_1^2+(z_2-z_3)(z_2+z_3)=z_1^2+z_2^2-z_3^2.$

Переходим к пункту 1 алгоритма.

1(3). В квадратичной форме $\widetilde{\widetilde{q}}(z_1,z_2,z_3)= z_1^2+z_2^2-z_3^2$ нет ведущих переменных (все переменные входят в форму во второй степени), кроме того, нет произведений различных переменных. Следовательно, квадратичная форма имеет канонический вид диагональной матрицей $\Lambda= \operatorname{diag}(1,1,-1).$ .

Найдем теперь невырожденную линейную замену переменных, приводящую данную форму к каноническому виду. В пунктах 2(1) и 3(1) решения выполнялись замены $x=S_1y$ и $y=S_2z$ с матрицами

$S_1=\begin{pmatrix}1&-1&1\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\!,\qquad S_2=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&-1\\0&1&1\end{pmatrix}\!.$

Следовательно, матрица $S$ искомой замены $x=Sz$ находится как произведение

$S=S_1\cdot S_2= \begin{pmatrix}1&-1&1\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&-1\\0&1&1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&0&2\\ 0&1&-1\\ 0&1&1 \end{pmatrix}\!.$

Получим матрицу $\Lambda$ квадратичной формы, приведенной к каноническому виду по формуле (6.10): $\Lambda=S^TAS$ , где $A$ — матрица заданной квадратичной формы (см. примеры 6.4, 6.5). Имеем

$\Lambda=S^TAS= \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&1\\2&-1&1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&1&-1\\1&1&-1/2\\ -1&-1/2&1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&0&2\\ 0&1&-1\\ 0&1&1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}\!,$

то есть $\Lambda=\operatorname{diag}(1,1,-1)$ что соответствует найденному каноническому виду.

Замечания 6.4

1. Канонический вид квадратичной формы определен неоднозначно, так как зависит от последовательности выбора ведущих переменных. Сделав, например, замену переменных $y_i=\alpha_iz_i~(i=1,\ldots,n)$ в (6.11), получим другую квадратичную форму, которая тоже имеет канонический вид.

2. Элементы матрицы невырожденной линейной замены переменных, приводящей квадратичную форму к каноническому виду, вычисляются при помощи арифметических операций по коэффициентам квадратичной формы. Поэтому, если коэффициенты квадратичной формы рациональные, действительные, комплексные, то и коэффициенты линейной замены рациональные, действительные, комплексные соответственно.

Метод Якоби приведения квадратичной формы к каноническому виду

Рассмотрим еще один метод приведения квадратичной формы к каноническому виду, который учитывает особенности преобразования (6.10) матрицы квадратичной формы при линейной замене переменных.

Две квадратные матрицы $A$ и $A'$ одного и того же порядка называются конгруэнтными, если существует такая невырожденная матрица $S$ , что $A'=S^TAS$ . Конгруэнтными, например, являются матрицы квадратичных форм, получающиеся при невырожденной замене переменных (6.8), так как они связаны равенством (6.10).

Напомним, что главными минорами квадратной матрицы называются миноры, составленные из ее элементов, стоящих на пересечении строк и столбцов с одинаковыми номерами. Например, $M_{i_1i_2\ldots i_k}^{i_1i_2\ldots i_k}$ — главный минор k-го порядка $(1\leqslant i_1<i_2<\ldots<i_k\leqslant n,~1\leqslant k\leqslant n)$ квадратной матрицы n-го порядка. Угловыми минорами квадратной матрицы $A$ (n-го порядка) называются следующие главные миноры

$\Delta_1=M_1^1=a_{11},~ \Delta_2= M_{1\,2}^{1\,2}= \begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22} \end{vmatrix},~\ldots,~ \Delta_k=M_{1\,2\,\ldots\,k}^{1\,2\,\ldots\,k},~ \ldots,~ \Delta_n= M_{1\,2\,\ldots\,n}^{1\,2\,\ldots\,n}=\det{A}\,,$

где угловой минор $\Delta_k= M_{1\,2\,\ldots\,k}^{1\,2\,\ldots\,k}$ k-го порядка составлен из элементов матрицы $A$ , стоящих на пересечении первых $k$ строк и первых $k$ столбцов матрицы $A$ , т.е.

$\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix}\!.$

Свойства конгруэнтных матриц

1. Конгруэнтные матрицы имеют равные ранги. В самом деле, ранг произведения матрицы $A$ на невырожденную матрицу $S$ и $S^T$ равен рангу матрицы $A$ (см. следствие теоремы 3.5).

2. Матрица, конгруэнтная симметрической матрице, также является симметрической. Действительно, если $A=A^T$ и $A'=S^TAS$ , то

$(A')^T= (S^T\cdot A\cdot S)^T= S^T\cdot A^T\cdot (S^T)^T= S^T\cdot A\cdot S=A'.$

3. Определители действительных конгруэнтных матриц имеют одинаковые знаки. В частности, если $A'=S^TAS$ и $\det{S}=1$ , то $\det{A'}=\det{A}$ . В самом деле, из равенства $A'=S^TAS$ и свойства 1 определителя следует, что $\det{A'}=\det{S^T}\det{A}\det{S}= \det{A}(\det{S})^2$ , т.е. знаки величин $\det{A'}$ и $\det{A}$ совпадают. Если же $\det{S}=1$ , тo $\det{A'}=\det{A}$ .

4. Если квадратные матрицы $A$ и $A'$ связаны соотношением $A'=S^TAS$ , где матрица $S$ — верхняя треугольная с единицами на главной диагонали

$S=\begin{pmatrix}1&\ast&\cdots&\ast\\ 0&1&\cdots&\ast\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&1\end{pmatrix}\!,$

(6.15)

то все угловые миноры матриц $A$ и $A'$ равны, где в (6.15) звездочкой $(\ast)$ обозначаются любые числа.

Действительно, разобьем квадратные матрицы $A,\,S$ и $A'$ на блоки, выделив в каждой квадратный блок в первых $k$ строках и первых $k$ столбцах:

$A'=S^TAS= \begin{pmatrix}S_k^T\!\!&\vline\!\!&O\\\hline \ast\!\!&\vline\!\!&\ast\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}A_k\!\!&\vline\!\!&\ast\\\hline \ast\!\!&\vline\!\!&\ast \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix} S_k\!\!&\vline\!\!&\ast\\\hline \ast\!\!&\vline\!\!&\ast \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} S_k^TA_kS_k\!\!&\vline\!\!&\ast\\\hline \ast\!\!&\vline\!\!&\ast \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}A'_k\!\!&\vline\!\!&\ast\\\hline \ast\!\!&\vline\!\!&\ast \end{pmatrix}\!.$

Здесь $O$ — нулевые матрицы соответствующих размеров, а звездочкой $(\ast)$ обозначаются блоки соответствующих размеров, значения элементов которых для доказательства не существенны и могут быть любыми. Получили, что $A'_k=S_k^TA_kS_k$ . Учитывая, что $\det{S_k}=1$ для любого $k=1,\ldots,n$ , по свойству 3 имеем

$\Delta'_k=\det{A'_k}= \det{S_k^T}\cdot\det{A_k}\cdot\det{S_k}= \det{A_k}=\Delta_k$

т.е. угловые миноры $\Delta'_k$ и $\Delta_k$ матриц $A'$ и $A$ равны для любого $k=1,2,\ldots,n$ .

Замечания 6.5

1. Линейная невырожденная замена переменных не изменяет ранга квадратичной формы. Это следует из свойства 1 конгруэнтных матриц.

2. Ранг квадратичной формы равен количеству отличных от нуля коэффициентов $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n$ в ее каноническом виде (6.11). Действительно, согласно предыдущему пункту $\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}\Lambda$ , но ранг диагональной матрицы $\Lambda=\operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2,\ldots, \lambda_n)$ равен количеству ненулевых ее элементов.

Теорема 6.2 Якоби о каноническом виде квадратичной формы. Если квадратичная форма $q(x)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j=x^TAx$ имеет ранг $r=\operatorname{rg}A$ и ее угловые миноры отличны от нуля:

$\Delta_1=a_{11}\ne0,\quad \Delta_2=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}\ne0,\quad \ldots,\quad \Delta_r=M_{1\,2\ldots r}^{1\,2\ldots r}\ne0,$

(6.16)

то ее можно привести к каноническому виду

$\widetilde{q}(y)= \lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\ldots+\lambda_ry_r^2\quad \left(\lambda_i= \frac{\Delta_i}{\Delta_{i-1}},~i=1,\ldots,r,~ \Delta_0=1\right)$

(6.17)

при помощи линейной замены переменных $x=Sy$ с верхней треугольной матрицей $S$ вида (6.15).

Действительно, применяя метод Лагранжа, выбираем первую переменную $x_1$ в качестве ведущей $(\Delta_1=a_{11}\ne0)$ и выделяем по ней полный квадрат. Другими словами, делаем линейную замену переменных (6.12). Этой замене соответствует матрица $S_1$ в (6.14), которая является верхней треугольной вида (6.15). Получим квадратичную форму с матрицей

$A'=S_1^TAS_1= \begin{pmatrix}a_{11}\!\!&\vline\!\!&0&0&\cdots\\ 0\!\!& \vline\!\!&a'_{22}&\ast&\cdots\\ 0\!\!&\vline\!\!&\ast&\ast&\cdots\\ \vdots\!\!&\vline\!\!& \vdots&\vdots&\ddots \end{pmatrix}\!,$

где звездочкой $(\ast)$ обозначены некоторые элементы матрицы $A'$ . Заметим, что матрица $S_1$ — верхняя треугольная с единицами на главной диагонали. Тогда по свойству 4 конгруэнтных матриц, получаем $\Delta_2=\Delta'_2$ , следовательно $\Delta_2=a_{11}a'_{22}=\Delta_1a'_{22}$ . Отсюда $a'_{22}= \frac{\Delta_2}{\Delta_1} \ne0$ . Значит, вторую переменную можно взять в качестве ведущей и выделить по ней полный квадрат. Для этого делаем линейную замену переменных с матрицей вида (6.15) и т.д. Условия (6.16) обеспечивают возможность применения пункта 2 метода Лагранжа $r$ раз. В результате описанных действий получается канонический вид (6.17). Формулы (6.17) для вычисления $\Lambda_i$ следуют из свойства 4 конгруэнтных матриц. Так как угловые миноры матриц $A$ и $\Lambda= \operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n)$ соответственно равны (по свойству 4 конгруэнтных матриц), то

$\Delta_1=\lambda_1,~\Delta_2=\lambda_1\lambda_2,~ \ldots,~ \Delta_r=\lambda_1\cdot\ldots\cdot\lambda_r$ . Отсюда $\lambda_1=\Delta_1,~ \lambda_2=\frac{\Delta_2}{\Delta_1},~\ldots~ \lambda_r= \frac{\Delta_r}{\Delta_{r-1}}$ .

Остальные угловые миноры равны нулю $\Delta_{r+1}=\ldots=\Delta_n$ , так как $\operatorname{rg}A=r$ .

Таким образом, для нахождения канонического вида квадратичной формы методом Якоби необходимо выполнить следующие действия.

1. Составить матрицу $A$ (n-го порядка) квадратичной формы.

2. Найти первые $r$ отличных от нуля угловых миноров матрицы квадратичной формы. Если $\Delta_1\ne0,\Delta_2\ne0,\ldots,\Delta_n\ne0$ , то перейти к пункту 3, положив $r=n$ . Если $\Delta_{11}=a_{11}=0$ , то процесс закончить, так как метод Якоби неприменим. Если $\Delta_1\ne0,\Delta_2\ne0,\ldots,\Delta_r\ne0$ и $\Delta_{r+1}=0$ , где $0\leqslant r\leqslant n-1$ , то найти отличный от нуля минор (r+l)-порядка, окаймляющий минор $\Delta_r\ne0$ . Если такого минора нет, то перейти к пункту 3, иначе процесс закончить, так как метод Якоби неприменим.

3. Записать искомый канонический вид (6.17) квадратичной формы

$\widetilde{q}(y_1,y_2,\ldots,y_r)= \frac{\Delta_1}{\Delta_0}\,y_1^2+ \frac{\Delta_2}{\Delta_1}\,y_2^2+ \ldots+ \frac{\Delta_r}{\Delta_{r-1}}\,y_r^2\quad(\Delta_0=1).$

Замечания 6.6

1. Алгоритм метода Якоби можно модифицировать, дополнив его перенумерацией переменных. Например, замена $x_i$ на $x_j$ и, одновременно, $x_j$ на $x_i$ (короче, перенумерация $x_i\leftrightarrow x_j$ ) приводит к перестановке i-й и j-й строк, а также i-го и j-го столбцов матрицы квадратичной формы. Такая замена является линейной невырожденной и не нарушает симметричности матрицы квадратичной формы. При помощи таких двойных перестановок можно любой главный минор симметрической матрицы переместить в левый верхний угол, т.е. сделать его угловым. Например, для матрицы $A=\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}$ квадратичной формы метод Якоби неприменим, так как $\Delta_1=a_{11}=0$ . Перенумеровав переменные $x_1\leftrightarrow x_2$ , получаем матрицу $A'=\begin{pmatrix}1&1\\1&0 \end{pmatrix}$ , для которой условия (6.16) применимости метода Якоби выполняются.

2. При выполнении условий теоремы 6.2 метод Лагранжа (последовательного выделения полных квадратов) соответствует методу Гаусса приведения матрицы $A$ к ступенчатому виду.

3. При выполнении условий теоремы 6.2 для нахождения матрицы $S$ линейной замены переменных, приводящей квадратичную форму к каноническому виду, нужно выполнить следующие действия:

1) Составить блочную матрицу $(A\mid E)$ , приписав к матрице $A$ квадратичной формы единичную матрицу тех же размеров.

2) Привести левый блок $A$ к ступенчатому виду $A'$ при помощи элементарных преобразований III типа строк блочной матрицы $(A\mid E)$ . В результате получить блочную матрицу $(A'\mid S^T)$ , где $S$ — искомая матрица замены переменных. Элементы главной диагонали матрицы $A'$ равны коэффициентам в квадратичной форме (6.17):

$\lambda_1=a'_{11},\quad \lambda_2=a'_{22},\quad \ldots,\quad \lambda_r=a'_{rr}.$

Пример 6.9. Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Якоби

$q(x)=x_1^2+2x_1x_2-2x_1x_3+x_2^2-x_2x_3+x_3^2.$

Решение

1. Составляем матрицу квадратичной формы (см. пример 6.8): $A=\begin{pmatrix}1&1&-1\\ 1&1&-1/2\\-1&-1/2&1\end{pmatrix}$ .

2. Вычисляем угловые миноры $\Delta_1=1\ne0,~\Delta_2=\begin{vmatrix}1&1\\1&1 \end{vmatrix}=0$ . Получили $r=1<n$ . Ищем отличный от нуля минор 2-го порядка, окаймляющий минор $\Delta_1$ . Например, $M_{{}_{1\,2}}^{{}^{1\,3}}= \begin{pmatrix}1&1\\-1&-1/2\end{pmatrix}=\frac{1}{2}\ne0$ . Следовательно, метод Якоби для рассматриваемой формы применить нельзя.

Воспользуемся перенумерацией переменных (см. пункт 1 замечаний 6.6). Сделаем замену $x_1\leftrightarrow x_3$ , т.е. меняем местами 1-ю и 3-ю строки и 1-й и 3-й столбцы матрицы $A$ . Получим матрицу $A'=\begin{pmatrix}1&-1/2&-1\\ -1/2&1&1\\ -1&1&1\end{pmatrix}$ . Применяем для нее метод Якоби.

2(1). Вычисляем угловые миноры $\Delta'_1=1\ne0,~ \Delta'_2=\begin{vmatrix}1&-1/2\\ -1/2&1 \end{vmatrix}=\frac{3}{4}\ne0,~ \Delta'_3=\det{A'}=-\frac{1}{4}\ne0$ . Найдено $r=3=n$ отличных от нуля угловых миноров.

3(1). Записываем искомый канонический вид

$\widetilde{q}(y)=y_1^2+\frac{3}{4}y_2^2-\frac{1}{3}y_3^2$ , так как $\lambda_1=\frac{\Delta'_1}{\Delta'_0}=1,~ \Lambda'_2=\frac{\Delta'_2}{\Delta'_1}=\frac{3}{4},~ \lambda_3=\frac{\Delta'_3}{\Delta'_2}=-\frac{1}{3}$ .

Этот вид отличается от полученного в примере 6.8, что соответствует п.1 замечаний 6.4.

Пример 6.10. Найти матрицу линейной замены переменных, приводящей квадратичную форму к каноническому виду

$q(x)=x_1^2-x_1x_2-2x_1x_3+x_2^2+2x_2x_3+x_3^2.$

Решение

Составим матрицу квадратичной формы $A=\begin{pmatrix} 1&-1/2&-1\\ -1/2&1&1\\ -1&1&1\end{pmatrix}$ (см. пример 6.9 после перенумерации переменных $x_1\leftrightarrow x_3$ ). Применяем к этой матрице алгоритм, описанный в пункте 3 замечаний 6.6.

1. Составляем блочную матрицу $(A\mid E)= \begin{pmatrix}1&-1/2&-1\!\!&\vline\!\!&1&0&0\\ -1/2&1&1\!\!&\vline\!\!&0&1&0\\ -1&1&1\!\!&\vline\!\!&0&0&1 \end{pmatrix}$ .

2. Элементарными преобразованиями III типа, выполняемыми над строками блочной матрицы, приводим ее левый блок к ступенчатому виду:

$(A\mid E)\sim \begin{pmatrix}1&-1/2&-1\!\!&\vline\!\!&1&0&0\\ 0&3/4&1/2\!\!& \vline\!\!&1/2&1&0\\ 0&1/2&0\!\!&\vline\!\!&1&0&1 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&-1/2&-1\!\!&\vline\!\!&1&0&0\\ 0&3/4&1/2\!\!&\vline\!\!&1/2&1&0\\ 0&0&-1/3\!\!&\vline\!\!&2/3&-2/3&1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}A'\mid S^T\end{pmatrix}\!.$

Следовательно, искомая матрица $S=\begin{pmatrix}1&1/2&2/3\\ 0&1&-2/3\\ 0&0&1 \end{pmatrix}$ , а коэффициенты квадратичной формы $\widetilde{q}(y)=y_1^2+ \frac{3}{4}y_2^2-\frac{1}{3}y_3^2$ имеющей канонический вид, являются элементами главной диагонали матрицы $A'=\begin{pmatrix}1&-1/2&-1\\ 0&3/4&1/2\\ 0&0&-1/3\end{pmatrix}$ , что совпадает с результатом примера 6.9. Нетрудно проверить равенство $S^TAS=\Lambda=\operatorname{diag}\!\left(1,\,\frac{3}{4},-\frac{1}{3}\right)$ .

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Список статей » Список форумов

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]