Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Приведение квадратичной формы к каноническому виду

Приведение квадратичной формы к каноническому виду


Говорят, что квадратичная форма имеет канонический вид, если ее матрица диагональная, другими словами, в квадратичной форме имеются только члены с квадратами переменных, а все попарные произведения различных переменных отсутствуют (соответствующие коэффициенты равны нулю):


[math]\widetilde{q}(y)= \lambda_1y_1^2+ \lambda_2y_2^2+\ldots+\lambda_ny_n^2= y^T\Lambda y,[/math]
(6.11)

где [math]\Lambda=\operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n)[/math] — диагональная матрица, для которой условие симметричности [math](a_{ij}=a_{ji})[/math] матрицы квадратичной формы, разумеется, выполняется.


Задача приведения квадратичной формы к каноническому виду формулируется следующим образом. Для данной квадратичной формы (6.5) требуется найти такую линейную невырожденную замену переменных (6.8), при которой квадратичная форма принимает канонический вид (6.11). Как показывает следующая теорема, эта задача всегда разрешима. Заметим, что на практике нередко бывает достаточно определить только канонический вид квадратичной формы, не указывая замены переменных.


Теорема 6.1 о приведении квадратичной формы к каноническому виду. Любая квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду при помощи некоторой линейной невырожденной замены переменных.


Конструктивное доказательство этой теоремы составляет содержание метода Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду.




Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду


Для приведения квадратичной формы [math]n[/math] переменных


[math]q(x)=a_{11}x_1^2+2a_{12}x_1x_2+\ldots+2a_{1n}x_1x_n+a_{22}x_2^2+2a_{23}x_2x_3+\ldots+a_{nn}x_n^2[/math]

к каноническому виду нужно выполнить следующие действия.


1. Выбрать такую переменную (ведущую), которая входит в квадратичную форму во второй и в первой степени одновременно (если в квадратичной форме есть член с квадратом переменной и с произведением этой переменной на другую переменную), и перейти к пункту 2.


Если в квадратичной форме нет ведущих переменных, то выбрать пару переменных, произведение которых входит в квадратичную форму с отличным от нуля коэффициентом, и перейти к п.3.


Если в квадратичной форме отсутствуют произведения различных переменных, то никаких преобразований делать не надо, так как она уже имеет канонический вид.


2. По ведущей переменной выделить полный квадрат: собрать в квадратичной форме все члены с ведущей переменной, дополнить сумму этих членов до полного квадрата (разумеется, добавленные члены нужно также и вычесть, чтобы не изменилась сумма). Получим сумму полного квадрата некоторой линейной формы (в которую входит ведущая переменная) и квадратичной формы, в которую ведущая переменная не входит. Сделать замену переменных: линейную форму, содержащую ведущую переменную, принять за одну из новых переменных, а все старые переменные, за исключением ведущей, принять за соответствующие новые. Продолжить преобразования с пункта 1.


3. Выбранную пару переменных заменить на разность и сумму двух новых переменных, а остальные старые переменные принять за соответствующие новые переменные. При этом произведение пары выбранных переменных преобразуется к разности квадратов двух новых переменных, т.е. в новой квадратичной форме [math]q(y)[/math] будут квадраты переменных с отличными от нуля коэффициентами. Продолжить преобразования новой квадратичной формы с пункта 1.


Идея метода Лагранжа состоит в том, что прием, используемый в п.2 (выделение полного квадрата), исключает одну переменную из числа ведущих. Например, если переменная [math]x_1[/math] — ведущая (т.е. [math]a_{11}\ne0[/math] и хотя бы один из коэффициентов [math]a_{12},a_{13},\ldots, a_{1n}[/math] отличен от нуля), то выделяем полный квадрат по переменной [math]x_1[/math] (собираем все члены с [math]x_1[/math] и дополняем их сумму до полного квадрата):


[math]\begin{gathered}q(x)= a_{11}\cdot\!\left[x_1^2+2x_1\cdot\! \left(\frac{a_{12}}{a_{11}}\,x_2+ \ldots+\frac{a_{1n}}{a_{11}}\,x_n\right)+ \left(\frac{a_{12}}{a_{11}}\,x_2+\ldots+\frac{a_{1n}}{a_{11}}\,x_n\right)^2\right]-\\ -a_{11}\cdot\!\left(\frac{a_{12}}{a_{11}}\,x_2+\ldots+\frac{a_{1n}}{a_{11}}\,x_n\right)^2+ a_{22}x_2^2+2a_{23}x_2x_3+\ldots+a_{nn}x_n^2. \end{gathered}[/math]

Выражение, стоящее в квадратных скобках, есть полный квадрат. Поэтому


[math]q(x_1,x_2,\ldots,x_n)= a_{11}\cdot\! \left(x_1+\frac{a_{12}}{a_{11}}\,x_2+\ldots+ \frac{a_{1n}}{a_{11}}\,x_n \right)^2+q_1(x_2,\ldots,x_n),[/math]

где [math]q_1(x_2,\ldots,x_n)= a_{22}x_2^2+2a_{23}x_2x_3+\ldots+a_{nn}x_n^2- a_{11}\cdot\!\left(\frac{a_{12}}{a_{11}}\,x_2+\ldots+\frac{a_{1n}}{a_{11}}\,x_n\right)^2[/math] — квадратичная форма, в которую не входит ведущая переменная [math]x_1+\frac{a_{12}}{a_{11}}\, x_2+\ldots+ \frac{a_{1n}}{a_{11}}\,x_n[/math] — линейная форма, содержащая ведущую переменную [math]x_1[/math]. Обозначим [math]y_1= x_1+\frac{a_{12}}{a_{11}}\,x_2+\ldots+ \frac{a_{1n}}{a_{11}}\,x_n,[/math] [math]y_2=x_2,\ldots,y_n=x_n[/math], или, что то же самое, сделаем линейную замену переменных:


[math]\begin{cases}x_1=y_1-\dfrac{a_{12}}{a_{11}}\,y_2-\ldots-\dfrac{a_{1n}}{a_{11}}\,y_n,\\ x_2=y_2,\\ \vdots,\\ x_n=y_n.\end{cases}[/math]
(6.12)

Тогда данная квадратичная форма преобразуется к виду [math]\widetilde{q}(y_1,y_2,\ldots,y_n)= a_{11}y_1^2+q_1(y_2,\ldots,y_n)[/math].


Заметим, что в результате этого преобразования все члены, содержащие ведущую переменную [math]x_1[/math] в первой и второй степени, заменены квадратом одной новой переменной [math]y_1[/math]. В дальнейших преобразованиях переменная ух уже никогда не будет ведущей.


Многократно применяя этот прием, исключаем одну за другой все ведущие переменные, получая тем самым канонический вид квадратичной формы. Однако выделение полного квадрата невозможно, если в квадратичной форме вообще отсутствуют члены с квадратами переменных. В этом случае применяется способ, описанный в п.3, который порождает члены с квадратами переменных.


Например, в п. 1 выделена пара переменных [math]x_1[/math] и [math]x_2[/math], произведение которых входит в квадратичную форму с отличным от нуля коэффициентом [math](a_{12}\ne0)[/math]. Тогда нужно сделать замену переменных


[math]\begin{cases}x_1=y_1-y_2,\\ x_2=y_1+y_2,\\x_3=y_3,\\\vdots,\\x_n=y_n.\end{cases}[/math]
(6.13)

При этом получим новую квадратичную форму [math]\widetilde{q}(y)[/math], в которой появятся квадраты новых переменных с отличными от нуля коэффициентами, так как в результате замены член [math]2a_{12}x_1x_2[/math] преобразуется к виду


[math]2a_{12}x_1x_2= 2a_{12}(y_1-y_2)(y_1+y_2)= 2a_{12}y_1^2-2a_{12}y_2^2,[/math]

а других членов с [math]y_1^2[/math] в новой квадратичной форме не будет.


Заметим, что при помощи метода Лагранжа не только находится канонический вид, но и определяется искомая невырожденная замена переменных. В самом деле, замены переменных (6.12), (6.13), которые производятся в п.2, 3 алгоритма, это линейные замены с матрицами


[math]S_1=\begin{pmatrix}1&-\dfrac{a_{12}}{a_{11}}&\cdots&-\dfrac{a_{1n}}{a_{11}}\\ 0&1&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&1 \end{pmatrix}\!,\quad S_2=\begin{pmatrix}1&-1&0&\cdots&0\\ 1&1&0&\cdots&0\\ 0&0&1&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&1 \end{pmatrix}\!.[/math]
(6.14)

Определители матриц отличны от нуля [math](\det{S_1}=1,~\det{S_2}=2)[/math]. Следовательно, эти замены переменных невырожденные. Выполняя п.2, 3 алгоритма, можно определить матрицы используемых замен переменных. В результате их перемножения (в порядке нахождения) получается матрица искомой замены (согласно свойству 2 линейных замен переменных).


Пример 6.8. Привести квадратичную форму [math]q(x)=x_1^2+2x_1x_2-2x_1x_3+x_2^2-x_2x_3+x_3^2[/math] к каноническому виду.


▼ Решение

1(1). В данную квадратичную форму переменная [math]x_1[/math] входит в первой и второй степенях одновременно. Выбираем ее в качестве ведущей.


2(1). По ведущей переменной [math](x_1)[/math] выделяем полный квадрат:


[math]\begin{gathered}q(x)=x_1^2+2x_1x_2-2x_1x_3+x_2^2-x_2x_3+x_3^2= \Bigl[x_1^2+ 2x_1(x_2-x_3)+(x_2-x_3)^2\Bigr]-\\ -(x_2-x_3)^2+x_2^2-x_2x_3+x_3^2= (x_1+x_2-x_3)^2+x_2x_3. \end{gathered}[/math]

Обозначим [math]y_1=x_1+x_2-x_3,~y_2=x_2,~y_3=x_3[/math], тогда получим новую квадратичную форму [math]\widetilde{q}(y_1,y_2,y_3)=y_1^2+y_2y_3[/math]. Продолжим преобразования, переходя к п. 1 алгоритма.


1(2). В квадратичной форме [math]\widetilde{q}(y_1,y_2,y_3)=y_1^2+y_2y_3[/math] нет ведущих переменных, поскольку каждая переменная входит в форму либо во второй степени, либо в первой, но не в первой и второй степенях одновременно. Однако имеется произведение [math]y_2y_3[/math] разных переменных. Переходим к п.3 алгоритма.


3(1). Заменяем выбранную пару переменных [math]y_2=z_2-z_3,~y_3=z_2+z_3[/math]. Оставшуюся старую переменную [math]y_1[/math] принимаем за соответствующую новую [math]y_1=z_1[/math]. Получаем квадратичную форму


[math]\widetilde{\widetilde{q}}(z_1,z_2,z_3)= z_1^2+(z_2-z_3)(z_2+z_3)=z_1^2+z_2^2-z_3^2.[/math]

Переходим к пункту 1 алгоритма.


1(3). В квадратичной форме [math]\widetilde{\widetilde{q}}(z_1,z_2,z_3)= z_1^2+z_2^2-z_3^2[/math] нет ведущих переменных (все переменные входят в форму во второй степени), кроме того, нет произведений различных переменных. Следовательно, квадратичная форма имеет канонический вид диагональной матрицей [math]\Lambda= \operatorname{diag}(1,1,-1).[/math].


Найдем теперь невырожденную линейную замену переменных, приводящую данную форму к каноническому виду. В пунктах 2(1) и 3(1) решения выполнялись замены [math]x=S_1y[/math] и [math]y=S_2z[/math] с матрицами


[math]S_1=\begin{pmatrix}1&-1&1\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\!,\qquad S_2=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&-1\\0&1&1\end{pmatrix}\!.[/math]

Следовательно, матрица [math]S[/math] искомой замены [math]x=Sz[/math] находится как произведение


[math]S=S_1\cdot S_2= \begin{pmatrix}1&-1&1\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&-1\\0&1&1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&0&2\\ 0&1&-1\\ 0&1&1 \end{pmatrix}\!.[/math]

Получим матрицу [math]\Lambda[/math] квадратичной формы, приведенной к каноническому виду по формуле (6.10): [math]\Lambda=S^TAS[/math], где [math]A[/math] — матрица заданной квадратичной формы (см. примеры 6.4, 6.5). Имеем


[math]\Lambda=S^TAS= \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&1\\2&-1&1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&1&-1\\1&1&-1/2\\ -1&-1/2&1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&0&2\\ 0&1&-1\\ 0&1&1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}\!,[/math]

то есть [math]\Lambda=\operatorname{diag}(1,1,-1)[/math] что соответствует найденному каноническому виду.


Замечания 6.4


1. Канонический вид квадратичной формы определен неоднозначно, так как зависит от последовательности выбора ведущих переменных. Сделав, например, замену переменных [math]y_i=\alpha_iz_i~(i=1,\ldots,n)[/math] в (6.11), получим другую квадратичную форму, которая тоже имеет канонический вид.


2. Элементы матрицы невырожденной линейной замены переменных, приводящей квадратичную форму к каноническому виду, вычисляются при помощи арифметических операций по коэффициентам квадратичной формы. Поэтому, если коэффициенты квадратичной формы рациональные, действительные, комплексные, то и коэффициенты линейной замены рациональные, действительные, комплексные соответственно.




Метод Якоби приведения квадратичной формы к каноническому виду


Рассмотрим еще один метод приведения квадратичной формы к каноническому виду, который учитывает особенности преобразования (6.10) матрицы квадратичной формы при линейной замене переменных.


Две квадратные матрицы [math]A[/math] и [math]A'[/math] одного и того же порядка называются конгруэнтными, если существует такая невырожденная матрица [math]S[/math], что [math]A'=S^TAS[/math]. Конгруэнтными, например, являются матрицы квадратичных форм, получающиеся при невырожденной замене переменных (6.8), так как они связаны равенством (6.10).


Напомним, что главными минорами квадратной матрицы называются миноры, составленные из ее элементов, стоящих на пересечении строк и столбцов с одинаковыми номерами. Например, [math]M_{i_1i_2\ldots i_k}^{i_1i_2\ldots i_k}[/math] — главный минор k-го порядка [math](1\leqslant i_1<i_2<\ldots<i_k\leqslant n,~1\leqslant k\leqslant n)[/math] квадратной матрицы n-го порядка. Угловыми минорами квадратной матрицы [math]A[/math] (n-го порядка) называются следующие главные миноры


[math]\Delta_1=M_1^1=a_{11},~ \Delta_2= M_{1\,2}^{1\,2}= \begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22} \end{vmatrix},~\ldots,~ \Delta_k=M_{1\,2\,\ldots\,k}^{1\,2\,\ldots\,k},~ \ldots,~ \Delta_n= M_{1\,2\,\ldots\,n}^{1\,2\,\ldots\,n}=\det{A}\,,[/math]

где угловой минор [math]\Delta_k= M_{1\,2\,\ldots\,k}^{1\,2\,\ldots\,k}[/math] k-ro порядка составлен из элементов матрицы [math]A[/math], стоящих на пересечении первых [math]k[/math] строк и первых [math]k[/math] столбцов матрицы [math]A[/math], т.е.


[math]\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix}\!.[/math]



Свойства конгруэнтных матриц


1. Конгруэнтные матрицы имеют равные ранги. В самом деле, ранг произведения матрицы [math]A[/math] на невырожденную матрицу [math]S[/math] и [math]S^T[/math] равен рангу матрицы [math]A[/math] (см. следствие теоремы 3.5).


2. Матрица, конгруэнтная симметрической матрице, также является симметрической. Действительно, если [math]A=A^T[/math] и [math]A'=S^TAS[/math], то


[math](A')^T= (S^T\cdot A\cdot S)^T= S^T\cdot A^T\cdot (S^T)^T= S^T\cdot A\cdot S=A'.[/math]

3. Определители действительных конгруэнтных матриц имеют одинаковые знаки. В частности, если [math]A'=S^TAS[/math] и [math]\det{S}=1[/math], то [math]\det{A'}=\det{A}[/math]. В самом деле, из равенства [math]A'=S^TAS[/math] и свойства 1 определителя следует, что [math]\det{A'}=\det{S^T}\det{A}\det{S}= \det{A}(\det{S})^2[/math], т.е. знаки величин [math]\det{A'}[/math] и [math]\det{A}[/math] совпадают. Если же [math]\det{S}=1[/math], тo [math]\det{A'}=\det{A}[/math].


4. Если квадратные матрицы [math]A[/math] и [math]A'[/math] связаны соотношением [math]A'=S^TAS[/math], где матрица [math]S[/math] — верхняя треугольная с единицами на главной диагонали


[math]S=\begin{pmatrix}1&\ast&\cdots&\ast\\ 0&1&\cdots&\ast\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&1\end{pmatrix}\!,[/math]
(6.15)

то все угловые миноры матриц [math]A[/math] и [math]A'[/math] равны, где в (6.15) звездочкой [math](\ast)[/math] обозначаются любые числа.


Действительно, разобьем квадратные матрицы [math]A,\,S[/math] и [math]A'[/math] на блоки, выделив в каждой квадратный блок в первых [math]k[/math] строках и первых [math]k[/math] столбцах:


[math]A'=S^TAS= \begin{pmatrix}S_k^T\!\!&\vline\!\!&O\\\hline \ast\!\!&\vline\!\!&\ast\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}A_k\!\!&\vline\!\!&\ast\\\hline \ast\!\!&\vline\!\!&\ast \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix} S_k\!\!&\vline\!\!&\ast\\\hline \ast\!\!&\vline\!\!&\ast \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} S_k^TA_kS_k\!\!&\vline\!\!&\ast\\\hline \ast\!\!&\vline\!\!&\ast \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}A'_k\!\!&\vline\!\!&\ast\\\hline \ast\!\!&\vline\!\!&\ast \end{pmatrix}\!.[/math]

Здесь [math]O[/math] — нулевые матрицы соответствующих размеров, а звездочкой [math](\ast)[/math] обозначаются блоки соответствующих размеров, значения элементов которых для доказательства не существенны и могут быть любыми. Получили, что [math]A'_k=S_k^TA_kS_k[/math]. Учитывая, что [math]\det{S_k}=1[/math] для любого [math]k=1,\ldots,n[/math], по свойству 3 имеем


[math]\Delta'_k=\det{A'_k}= \det{S_k^T}\cdot\det{A_k}\cdot\det{S_k}= \det{A_k}=\Delta_k[/math]

т.е. угловые миноры [math]\Delta'_k[/math] и [math]\Delta_k[/math] матриц [math]A'[/math] и [math]A[/math] равны для любого [math]k=1,2,\ldots,n[/math].


Замечания 6.5


1. Линейная невырожденная замена переменных не изменяет ранга квадратичной формы. Это следует из свойства 1 конгруэнтных матриц.


2. Ранг квадратичной формы равен количеству отличных от нуля коэффициентов [math]\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n[/math] в ее каноническом виде (6.11). Действительно, согласно предыдущему пункту [math]\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}\Lambda[/math], но ранг диагональной матрицы [math]\Lambda=\operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2,\ldots, \lambda_n)[/math] равен количеству ненулевых ее элементов.




Теорема 6.2 Якоби о каноническом виде квадратичной формы. Если квадратичная форма [math]q(x)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j=x^TAx[/math] имеет ранг [math]r=\operatorname{rg}A[/math] и ее угловые миноры отличны от нуля:


[math]\Delta_1=a_{11}\ne0,\quad \Delta_2=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}\ne0,\quad \ldots,\quad \Delta_r=M_{1\,2\ldots r}^{1\,2\ldots r}\ne0,[/math]
(6.16)

то ее можно привести к каноническому виду


[math]\widetilde{q}(y)= \lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\ldots+\lambda_ry_r^2\quad \left(\lambda_i= \frac{\Delta_i}{\Delta_{i-1}},~i=1,\ldots,r,~ \Delta_0=1\right)[/math]
(6.17)

при помощи линейной замены переменных [math]x=Sy[/math] с верхней треугольной матрицей [math]S[/math] вида (6.15).


Действительно, применяя метод Лагранжа, выбираем первую переменную [math]x_1[/math] в качестве ведущей [math](\Delta_1=a_{11}\ne0)[/math] и выделяем по ней полный квадрат. Другими словами, делаем линейную замену переменных (6.12). Этой замене соответствует матрица [math]S_1[/math] в (6.14), которая является верхней треугольной вида (6.15). Получим квадратичную форму с матрицей


[math]A'=S_1^TAS_1= \begin{pmatrix}a_{11}\!\!&\vline\!\!&0&0&\cdots\\ 0\!\!& \vline\!\!&a'_{22}&\ast&\cdots\\ 0\!\!&\vline\!\!&\ast&\ast&\cdots\\ \vdots\!\!&\vline\!\!& \vdots&\vdots&\ddots \end{pmatrix}\!,[/math]

где звездочкой [math](\ast)[/math] обозначены некоторые элементы матрицы [math]A'[/math]. Заметим, что матрица [math]S_1[/math] — верхняя треугольная с единицами на главной диагонали. Тогда по свойству 4 конгруэнтных матриц, получаем [math]\Delta_2=\Delta'_2[/math], следовательно [math]\Delta_2=a_{11}a'_{22}=\Delta_1a'_{22}[/math]. Отсюда [math]a'_{22}= \frac{\Delta_2}{\Delta_1} \ne0[/math]. Значит, вторую переменную можно взять в качестве ведущей и выделить по ней полный квадрат. Для этого делаем линейную замену переменных с матрицей вида (6.15) и т.д. Условия (6.16) обеспечивают возможность применения пункта 2 метода Лагранжа [math]r[/math] раз. В результате описанных действий получается канонический вид (6.17). Формулы (6.17) для вычисления [math]\Lambda_i[/math] следуют из свойства 4 конгруэнтных матриц. Так как угловые миноры матриц [math]A[/math] и [math]\Lambda= \operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n)[/math] соответственно равны (по свойству 4 конгруэнтных матриц), то


[math]\Delta_1=\lambda_1,~\Delta_2=\lambda_1\lambda_2,~ \ldots,~ \Delta_r=\lambda_1\cdot\ldots\cdot\lambda_r[/math]. Отсюда [math]\lambda_1=\Delta_1,~ \lambda_2=\frac{\Delta_2}{\Delta_1},~\ldots~ \lambda_r= \frac{\Delta_r}{\Delta_{r-1}}[/math].

Остальные угловые миноры равны нулю [math]\Delta_{r+1}=\ldots=\Delta_n[/math], так как [math]\operatorname{rg}A=r[/math].


Таким образом, для нахождения канонического вида квадратичной формы методом Якоби необходимо выполнить следующие действия.


1. Составить матрицу [math]A[/math] (n-го порядка) квадратичной формы.


2. Найти первые [math]r[/math] отличных от нуля угловых миноров матрицы квадратичной формы. Если [math]\Delta_1\ne0,\Delta_2\ne0,\ldots,\Delta_n\ne0[/math], то перейти к пункту 3, положив [math]r=n[/math]. Если [math]\Delta_{11}=a_{11}=0[/math], то процесс закончить, так как метод Якоби неприменим. Если [math]\Delta_1\ne0,\Delta_2\ne0,\ldots,\Delta_r\ne0[/math] и [math]\Delta_{r+1}=0[/math], где [math]0\leqslant r\leqslant n-1[/math], то найти отличный от нуля минор (r+l)-порядка, окаймляющий минор [math]\Delta_r\ne0[/math]. Если такого минора нет, то перейти к пункту 3, иначе процесс закончить, так как метод Якоби неприменим.


3. Записать искомый канонический вид (6.17) квадратичной формы


[math]\widetilde{q}(y_1,y_2,\ldots,y_r)= \frac{\Delta_1}{\Delta_0}\,y_1^2+ \frac{\Delta_2}{\Delta_1}\,y_2^2+ \ldots+ \frac{\Delta_r}{\Delta_{r-1}}\,y_r^2\quad(\Delta_0=1).[/math]



Замечания 6.6


1. Алгоритм метода Якоби можно модифицировать, дополнив его перенумерацией переменных. Например, замена [math]x_i[/math] на [math]x_j[/math] и, одновременно, [math]x_j[/math] на [math]x_i[/math] (короче, перенумерация [math]x_i\leftrightarrow x_j[/math]) приводит к перестановке i-й и j-й строк, а также i-го и j-го столбцов матрицы квадратичной формы. Такая замена является линейной невырожденной и не нарушает симметричности матрицы квадратичной формы. При помощи таких двойных перестановок можно любой главный минор симметрической матрицы переместить в левый верхний угол, т.е. сделать его угловым. Например, для матрицы [math]A=\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}[/math] квадратичной формы метод Якоби неприменим, так как [math]\Delta_1=a_{11}=0[/math]. Перенумеровав переменные [math]x_1\leftrightarrow x_2[/math], получаем матрицу [math]A'=\begin{pmatrix}1&1\\1&0 \end{pmatrix}[/math], для которой условия (6.16) применимости метода Якоби выполняются.


2. При выполнении условий теоремы 6.2 метод Лагранжа (последовательного выделения полных квадратов) соответствует методу Гаусса приведения матрицы [math]A[/math] к ступенчатому виду.


3. При выполнении условий теоремы 6.2 для нахождения матрицы [math]S[/math] линейной замены переменных, приводящей квадратичную форму к каноническому виду, нужно выполнить следующие действия:


1) Составить блочную матрицу [math](A\mid E)[/math], приписав к матрице [math]A[/math] квадратичной формы единичную матрицу тех же размеров.


2) Привести левый блок [math]A[/math] к ступенчатому виду [math]A'[/math] при помощи элементарных преобразований III типа строк блочной матрицы [math](A\mid E)[/math]. В результате получить блочную матрицу [math](A'\mid S^T)[/math], где [math]S[/math] — искомая матрица замены переменных. Элементы главной диагонали матрицы [math]A'[/math] равны коэффициентам в квадратичной форме (6.17):


[math]\lambda_1=a'_{11},\quad \lambda_2=a'_{22},\quad \ldots,\quad \lambda_r=a'_{rr}.[/math]

Пример 6.9. Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Якоби


[math]q(x)=x_1^2+2x_1x_2-2x_1x_3+x_2^2-x_2x_3+x_3^2.[/math]

▼ Решение

1. Составляем матрицу квадратичной формы (см. пример 6.8): [math]A=\begin{pmatrix}1&1&-1\\ 1&1&-1/2\\-1&-1/2&1\end{pmatrix}[/math].


2. Вычисляем угловые миноры [math]\Delta_1=1\ne0,~\Delta_2=\begin{vmatrix}1&1\\1&1 \end{vmatrix}=0[/math]. Получили [math]r=1<n[/math]. Ищем отличный от нуля минор 2-го порядка, окаймляющий минор [math]\Delta_1[/math]. Например, [math]M_{{}_{1\,2}}^{{}^{1\,3}}= \begin{pmatrix}1&1\\-1&-1/2\end{pmatrix}=\frac{1}{2}\ne0[/math]. Следовательно, метод Якоби для рассматриваемой формы применить нельзя.


Воспользуемся перенумерацией переменных (см. пункт 1 замечаний 6.6). Сделаем замену [math]x_1\leftrightarrow x_3[/math], т.е. меняем местами 1-ю и 3-ю строки и 1-й и 3-й столбцы матрицы [math]A[/math]. Получим матрицу [math]A'=\begin{pmatrix}1&-1/2&-1\\ -1/2&1&1\\ -1&1&1\end{pmatrix}[/math]. Применяем для нее метод Якоби.


2(1). Вычисляем угловые миноры [math]\Delta'_1=1\ne0,~ \Delta'_2=\begin{vmatrix}1&-1/2\\ -1/2&1 \end{vmatrix}=\frac{3}{4}\ne0,~ \Delta'_3=\det{A'}=-\frac{1}{4}\ne0[/math]. Найдено [math]r=3=n[/math] отличных от нуля угловых миноров.


3(1). Записываем искомый канонический вид


[math]\widetilde{q}(y)=y_1^2+\frac{3}{4}y_2^2-\frac{1}{3}y_3^2[/math], так как [math]\lambda_1=\frac{\Delta'_1}{\Delta'_0}=1,~ \Lambda'_2=\frac{\Delta'_2}{\Delta'_1}=\frac{3}{4},~ \lambda_3=\frac{\Delta'_3}{\Delta'_2}=-\frac{1}{3}[/math].

Этот вид отличается от полученного в примере 6.8, что соответствует п.1 замечаний 6.4.


Пример 6.10. Найти матрицу линейной замены переменных, приводящей квадратичную форму к каноническому виду


[math]q(x)=x_1^2-x_1x_2-2x_1x_3+x_2^2+2x_2x_3+x_3^2.[/math]

▼ Решение

Составим матрицу квадратичной формы [math]A=\begin{pmatrix} 1&-1/2&-1\\ -1/2&1&1\\ -1&1&1\end{pmatrix}[/math] (см. пример 6.9 после перенумерации переменных [math]x_1\leftrightarrow x_3[/math]). Применяем к этой матрице алгоритм, описанный в пункте 3 замечаний 6.6.


1. Составляем блочную матрицу [math](A\mid E)= \begin{pmatrix}1&-1/2&-1\!\!&\vline\!\!&1&0&0\\ -1/2&1&1\!\!&\vline\!\!&0&1&0\\ -1&1&1\!\!&\vline\!\!&0&0&1 \end{pmatrix}[/math].


2. Элементарными преобразованиями III типа, выполняемыми над строками блочной матрицы, приводим ее левый блок к ступенчатому виду:


[math](A\mid E)\sim \begin{pmatrix}1&-1/2&-1\!\!&\vline\!\!&1&0&0\\ 0&3/4&1/2\!\!& \vline\!\!&1/2&1&0\\ 0&1/2&0\!\!&\vline\!\!&1&0&1 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&-1/2&-1\!\!&\vline\!\!&1&0&0\\ 0&3/4&1/2\!\!&\vline\!\!&1/2&1&0\\ 0&0&-1/3\!\!&\vline\!\!&2/3&-2/3&1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}A'\mid S^T\end{pmatrix}\!.[/math]

Следовательно, искомая матрица [math]S=\begin{pmatrix}1&1/2&2/3\\ 0&1&-2/3\\ 0&0&1 \end{pmatrix}[/math], а коэффициенты квадратичной формы [math]\widetilde{q}(y)=y_1^2+ \frac{3}{4}y_2^2-\frac{1}{3}y_3^2[/math] имеющей канонический вид, являются элементами главной диагонали матрицы [math]A'=\begin{pmatrix}1&-1/2&-1\\ 0&3/4&1/2\\ 0&0&-1/3\end{pmatrix}[/math], что совпадает с результатом примера 6.9. Нетрудно проверить равенство [math]S^TAS=\Lambda=\operatorname{diag}\!\left(1,\,\frac{3}{4},-\frac{1}{3}\right)[/math].


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved