Приведение квадратичной формы к главным осям
Ранее была рассмотрена задача приведения вещественной квадратичной формы
(9.23)
переменных к каноническому виду (6.18)
(9.24)
при помощи невырожденной линейной замены переменных . Для решения этой задачи использовался метод Лагранжа.
Рассмотрим другой подход к решению. Линейную невырожденную замену переменных с ортогональной матрицей будем называть ортогональной заменой переменных (или ортогональным преобразованием переменных).
Сформулируем задачу приведения квадратичной формы к главным осям: требуется найти ортогональную замену переменных , приводящую квадратичную форму (9.23) к каноническому виду (9.24).
Для решения используем следующий геометрический смысл задачи. Будем считать переменные координатами вектора n-мерного евклидова пространства в ортонормированном базисе , а матрицу квадратичной формы (9.23) — матрицей некоторого линейного преобразования в том же базисе. Причем это преобразование самосопряженное, так как его матрица симметрическая: . Квадратичную форму (9.23) можно представить в виде скалярного произведения
Ортогональной замене переменных соответствует переход от одного ортонормированного базиса к другому. Действительно, пусть — матрица перехода от ортонормированного базиса к ортонормированному базису , т.е. и . Тогда координаты вектора в базисе и координаты того же вектора в базисе связаны формулой (8.11): .
Таким образом, задача приведения квадратичной формы к главным осям может быть сформулирована так: требуется найти в пространстве такой базис, в котором матрица самосопряженного преобразования имеет диагональный вид. По теореме 9.10 нужно выбрать ортонормированный базис из собственных векторов самосопряженного преобразования. При этом матрица перехода к каноническому базису оказывается ортогональной: .
Сформулируем этот результат для квадратичной формы.
Теорема (9.12) о приведении квадратичной формы к главным осям
Вещественная квадратичная форма (9.23) при помощи ортогонального преобразования переменных может быть приведена к каноническому виду (9.24), где — собственные значения матрицы .
Следствие. Квадратичная форма (9.23) является положительно определенной (неотрицательно определенной) тогда и только тогда, когда все собственные значения ее матрицы положительны (неотрицательны).
Замечания 9.10
1. При линейной невырожденной замене переменных матрица квадратичной формы изменяется по формуле (6.10): . Для ортогональной матрицы эта формула принимает вид , который совпадает с формулой (9.4) изменения матрицы линейного преобразования при замене базиса.
2. Для нахождения канонического вида (9.24) достаточно определить все корни (среди которых могут быть равные) характеристического многочлена (уравнения) , где — единичная матрица.
3. Следствие теоремы 9.12 можно использовать для анализа знакоопределенности квадратичной формы:
– если все собственные значения положительные (отрицательные), то квадратичная форма положительно (отрицательно) определенная;
– если все собственные значения неотрицательные (неположительные), то квадратичная форма неотрицательно (неположительно) определенная;
– если имеются собственные значения разных знаков, то квадратичная форма неопределенная (знакопеременная).
4. Результаты, сформулированные в пункте 3 замечаний, могут быть использованы для проверки достаточных и необходимых условий второго порядка в задаче поиска безусловного экстремума функций. Для этого следует найти собственные значения матрицы Гессе в каждой из стационарных точек функции .
Если все собственные значения положительные: , то в точке локальный минимум;
– если все собственные значения отрицательные: , то в точке локальный максимум;
– если все собственные значения неотрицательные: , то в точке может быть локальный минимум;
– если все собственные значения неположительные: , то в точке может быть локальный максимум;
– если собственные значения , разных знаков, то в точке нет экстремума;
– если все собственные значения нулевые: , то требуется дополнительное исследование.
5. Задача приведения квадратичной формы к главным осям решается при помощи алгоритма приведения самосопряженного преобразования к диагональному виду. При этом находится диагональный вид матрицы квадратичной формы и ортогональная матрица замены переменных , приводящей квадратичную форму к каноническому виду (к главным осям).
Пример 9.7. Выяснить знакоопределенность квадратичной формы трёх переменных
и найти ортогональную замену переменных , приводящую квадратичную форму к каноническому виду (к главным осям).
Решение. Составляем матрицу квадратичной формы: . В примере 9.6 были найдены собственные значения этой матрицы: . Все собственные значения неотрицательные, поэтому квадратичная форма является неотрицательно определенной (см. пункт 4 замечаний 9.10).
В примере 9.6 была найдена ортогональная матрица
приводящая матрицу к диагональному виду . Записываем искомую ортогональную замену переменных
и квадратичную форму в каноническом виде: .
Пример 9.8. Найти точки локального экстремума функции двух переменных с помощью матриц
Решение. В пункте 1 примера 6.13 найден градиент функции, а из необходимого условия экстремума первого порядка три стационарные точки:
Матрица Гессе имеет вид
Найдем собственные значения матрицы Гессе в каждой стационарной точке:
и воспользуемся пунктом 4 замечаний 9.10.
В точке матрица Гессе имеет вид . Из уравнения находим . Так как все собственные значения неотрицательные, то в точке может быть локальный минимум и для окончательного вывода требуется дополнительное исследование (см. пример 6.13).
В точке матрица Гессе имеет вид . Из уравнения , или получаем . Поскольку все собственные значения положительные, то в точке локальный минимум функции.
В точке матрица Гессе имеет вид . Из уравнения , или получаем . Поскольку собственные значения имеют разные знаки, то в точке нет экстремума.
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
|