Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Приведение квадратичной формы к главным осям

Приведение квадратичной формы к главным осям


Ранее была рассмотрена задача приведения вещественной квадратичной формы


q(x)= \sum_{n=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij}x_ix_j=x^TAx
(9.23)

n переменных x_1,x_2,\ldots,x_n к каноническому виду (6.18)


\widetilde{q}(y)=\lambda_1y_1^2+ \lambda_2y_2^2+ \ldots+ \lambda_ny_n^2
(9.24)

при помощи невырожденной линейной замены переменных x=Sy. Для решения этой задачи использовался метод Лагранжа.


Рассмотрим другой подход к решению. Линейную невырожденную замену переменных x=Sy с ортогональной матрицей S~(S^{-1}=S^T) будем называть ортогональной заменой переменных (или ортогональным преобразованием переменных).


Сформулируем задачу приведения квадратичной формы к главным осям: требуется найти ортогональную замену переменных x=Sy (S^{-1}=S^T), приводящую квадратичную форму (9.23) к каноническому виду (9.24).


Для решения используем следующий геометрический смысл задачи. Будем считать переменные x_1,x_2,\ldots,x_n координатами вектора \boldsymbol{x} n-мерного евклидова пространства \mathbb{E} в ортонормированном базисе (\boldsymbol{e})= (\boldsymbol{e}_1,\ldots,\boldsymbol{e}_n), а матрицу A квадратичной формы (9.23) — матрицей некоторого линейного преобразования \mathcal{A}\colon \mathbb{E}\to \mathbb{E} в том же базисе. Причем это преобразование самосопряженное, так как его матрица симметрическая: A^T=A. Квадратичную форму (9.23) можно представить в виде скалярного произведения


q(\boldsymbol{x})= \bigl\langle \mathcal{A}(\boldsymbol{x}), \boldsymbol{x}\bigr\rangle= \bigl\langle \boldsymbol{x}, \mathcal{A}(\boldsymbol{x})\bigr\rangle.

Ортогональной замене переменных x=Sy соответствует переход от одного ортонормированного базиса к другому. Действительно, пусть S — матрица перехода от ортонормированного базиса (\boldsymbol{e}) к ортонормированному базису (\boldsymbol{s})= (\boldsymbol{s}_1,\ldots,\boldsymbol{s}_n), т.е. (\boldsymbol{s})= (\boldsymbol{e})S и S^{-1}=S^T. Тогда координаты x вектора \boldsymbol{x} в базисе (\boldsymbol{e}) и координаты y того же вектора в базисе (\boldsymbol{s}) связаны формулой (8.11): x=Sy.


Таким образом, задача приведения квадратичной формы к главным осям может быть сформулирована так: требуется найти в пространстве \mathbb{E} такой базис, в котором матрица самосопряженного преобразования \mathcal{A} имеет диагональный вид. По теореме 9.10 нужно выбрать ортонормированный базис из собственных векторов самосопряженного преобразования. При этом матрица перехода S к каноническому базису оказывается ортогональной: S^T=S^{-1}.


Сформулируем этот результат для квадратичной формы.




Теорема (9.12) о приведении квадратичной формы к главным осям


Вещественная квадратичная форма (9.23) при помощи ортогонального преобразования переменных x=Sy может быть приведена к каноническому виду (9.24), где \lambda_1, \lambda_2,\ldots,\lambda_m — собственные значения матрицы A.


Следствие. Квадратичная форма (9.23) является положительно определенной (неотрицательно определенной) тогда и только тогда, когда все собственные значения ее матрицы положительны (неотрицательны).


Замечания 9.10


1. При линейной невырожденной замене переменных матрица квадратичной формы изменяется по формуле (6.10): A'=S^TAS. Для ортогональной матрицы S эта формула принимает вид A'=S^{-1}AS, который совпадает с формулой (9.4) изменения матрицы линейного преобразования при замене базиса.


2. Для нахождения канонического вида (9.24) достаточно определить все корни \lambda_1, \lambda_2,\ldots,\lambda_m (среди которых могут быть равные) характеристического многочлена (уравнения) \det(A-\lambda E)=0, где E — единичная матрица.


3. Следствие теоремы 9.12 можно использовать для анализа знакоопределенности квадратичной формы:


– если все собственные значения положительные (отрицательные), то квадратичная форма положительно (отрицательно) определенная;


– если все собственные значения неотрицательные (неположительные), то квадратичная форма неотрицательно (неположительно) определенная;


– если имеются собственные значения разных знаков, то квадратичная форма неопределенная (знакопеременная).


4. Результаты, сформулированные в пункте 3 замечаний, могут быть использованы для проверки достаточных и необходимых условий второго порядка в задаче поиска безусловного экстремума функций. Для этого следует найти собственные значения \lambda_1, \lambda_2,\ldots,\lambda_m матрицы Гессе \dfrac{d^2f(x)}{dx^Tdx} в каждой из стационарных точек x^{\ast} функции f(x)=f(x_1,\ldots,x_n).


Если все собственные значения положительные: \lambda_i>0,~ i=1,\ldots,n, то в точке x^{\ast} локальный минимум;


– если все собственные значения отрицательные: \lambda_i<0,~ i=1,\ldots,n, то в точке x^{\ast} локальный максимум;


– если все собственные значения неотрицательные: \lambda_i\geqslant0,~ i=1,\ldots,n, то в точке x^{\ast} может быть локальный минимум;


– если все собственные значения неположительные: \lambda_i\leqslant0,~ i=1,\ldots,n, то в точке x^{\ast} может быть локальный максимум;


– если собственные значения \lambda_i,~ i=1,\ldots,n, разных знаков, то в точке x^{\ast} нет экстремума;


– если все собственные значения нулевые: \lambda_i=0,~ i=1,\ldots,n, то требуется дополнительное исследование.


5. Задача приведения квадратичной формы к главным осям решается при помощи алгоритма приведения самосопряженного преобразования к диагональному виду. При этом находится диагональный вид матрицы квадратичной формы и ортогональная матрица S замены переменных x=Sy, приводящей квадратичную форму к каноническому виду (к главным осям).




Пример 9.7. Выяснить знакоопределенность квадратичной формы трёх переменных


q(x)= x_1^2+2x_1x_2+2x_1x_3+x_2^2+2x_2x_3+x_3^2

и найти ортогональную замену переменных x=Sy, приводящую квадратичную форму к каноническому виду (к главным осям).


Решение. Составляем матрицу квадратичной формы: A=\begin{pmatrix} 1&1&1\\ 1&1&1\\ 1&1&1 \end{pmatrix}. В примере 9.6 были найдены собственные значения этой матрицы: \lambda_{1,2}=0, \lambda_3=3. Все собственные значения неотрицательные, поэтому квадратичная форма является неотрицательно определенной (см. пункт 4 замечаний 9.10).


В примере 9.6 была найдена ортогональная матрица


S=\begin{pmatrix} \dfrac{\sqrt{2}}{2}& \dfrac{\sqrt{6}}{6}& \dfrac{\sqrt{3}}{3}\\[9pt] 0&-\dfrac{\sqrt{6}}{3}& \dfrac{\sqrt{3}}{3}\\[9pt] -\dfrac{\sqrt{2}}{2}& \dfrac{\sqrt{6}}{6}& \dfrac{\sqrt{3}}{3} \end{pmatrix}\!,

приводящая матрицу A к диагональному виду \Lambda= \operatorname{diag} (0,0,3). Записываем искомую ортогональную замену переменных x=Sy:


x_1= \frac{\sqrt{2}}{2}\,y_1+ \frac{\sqrt{6}}{6}\,y_2+ \frac{\sqrt{3}}{3}\,y_3;\quad x_2= -\frac{\sqrt{6}}{3}\,y_2+ \frac{\sqrt{3}}{3}\,y_3;\quad x_3= -\frac{\sqrt{2}}{2}\,y_1+ \frac{\sqrt{6}}{6}\,y_2+ \frac{\sqrt{3}}{3}\,y_3.

и квадратичную форму в каноническом виде: \widetilde{q}(y)= 3y_3^2.




Пример 9.8. Найти точки локального экстремума функции двух переменных с помощью матриц


f(x)=3x_1^5+x_1^4-5x_1^3-2x_1^2x_2+x_2^2.

Решение. В пункте 1 примера 6.13 найден градиент функции, а из необходимого условия экстремума первого порядка три стационарные точки:


x^0= \begin{pmatrix}0&0 \end{pmatrix}^T,\qquad x^1=\begin{pmatrix} 1&1 \end{pmatrix}^T,\qquad x^2=\begin{pmatrix} -1&1\end{pmatrix}^T.

Матрица Гессе имеет вид
\frac{df(x)}{dx^Tdx}= \begin{pmatrix} 60x_1^3+12x_1^2-30x_1-4x_2&-4x_1\\-4x_1&2 \end{pmatrix}\!.

Найдем собственные значения матрицы Гессе в каждой стационарной точке:


\frac{df(x^0)}{dx^Tdx}= \begin{pmatrix}0&0\\ 0&2 \end{pmatrix}\!;\quad \frac{df(x^1)}{dx^Tdx }= \begin{pmatrix}38&-4\\ -4&2 \end{pmatrix}\!,\quad \frac{df(x^2)}{dx^Tdx}= \begin{pmatrix} -22&4\\4&2\end{pmatrix}

и воспользуемся пунктом 4 замечаний 9.10.


В точке x^0=\begin{pmatrix}0\\0 \end{pmatrix} матрица Гессе имеет вид \begin{pmatrix} 0&0\\ 0&2\end{pmatrix}. Из уравнения \begin{vmatrix} -\lambda&0\\ 0&2-\lambda\end{vmatrix}=0 находим \lambda_1=0, \lambda_2=2. Так как все собственные значения неотрицательные, то в точке x^0 может быть локальный минимум и для окончательного вывода требуется дополнительное исследование (см. пример 6.13).


В точке x^1=\begin{pmatrix}1\\1 \end{pmatrix} матрица Гессе имеет вид \begin{pmatrix} 38&-4\\ -4&2 \end{pmatrix}. Из уравнения \begin{vmatrix} 38-\lambda&-4\\ -4&2-\lambda\end{vmatrix}=0, или \lambda^2-40 \lambda+60=0 получаем \lambda_{1,2}= 20\pm2\sqrt{85}. Поскольку все собственные значения положительные, то в точке x^1 локальный минимум функции.


В точке x^2=\begin{pmatrix}-1\\1 \end{pmatrix} матрица Гессе имеет вид \begin{pmatrix} -22&4\\ 4&2 \end{pmatrix}. Из уравнения \begin{vmatrix} -22-\lambda&4\\ 4&2-\lambda\end{vmatrix}=0, или \lambda^2+40 \lambda-60=0 получаем \lambda_{1,2}=-10\pm4\sqrt{10}. Поскольку собственные значения имеют разные знаки, то в точке x^2 нет экстремума.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved