Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме

Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме


Теореме 7.18 об обратимости системы импликаций можно придать следующий предикатный вид.


Теорема 24.20. Пусть справедливы все следующие прямые теоремы [math](m \geqslant 2)\colon[/math]


[math](\forall x)\bigl(P_1(x)\to Q_1(x)\bigr),\quad (\forall x)\bigl(P_2(x)\to Q_2(x)\bigr),\quad \ldots,\quad (\forall x)\bigl(P_m(x)\to Q_m(x)\bigr).[/math]

Причем для посылок известно, что истинно утверждение [math](\forall x)\bigl(P_1(x)\lor P_2(x)\lor \ldots\lor P_m(x)\bigr)[/math], а следствия попарно исключают друг друга, т.е. истинны все высказывания


[math]\lnot (\exists x)\bigl(Q_i(x)\land Q_j(x)\bigr)\quad (i,j=1,2,\ldots,m,~ i\ne j).[/math]

Тогда справедливы и все обратные импликации:


[math](\forall x)\bigl(Q_1(x)\to P_1(x)\bigr),\quad (\forall x)\bigl(Q_2(x)\to P_2(x)\bigr),\quad \ldots,\quad (\forall x)\bigl(Q_m(x)\to P_m(x)\bigr).[/math]

(Предполагается, конечно, что все предикаты заданы над одним и тем же множеством [math]M[/math].)

Доказательство. Покажем сначала, что истинна первая обратная импликация: [math](\forall x)\bigl(Q_1(x)\to P_1(x)\bigr)[/math]. Пусть [math]a\in M[/math]. Если высказывание [math]Q_1(a)[/math] ложно, то импликация [math]Q_1(a)\to P_1(a)[/math] истинна. Предположим, что высказывание [math]Q_1(a)[/math] истинно. Покажем, что тогда все высказывания [math]P_2(a),\ldots,P_m(a)[/math] ложны. Допустим противное: например, пусть [math]P_2(a)[/math] истинно. В силу истинности (по условию) универсального высказывания [math](\forall x)(P_2(x)\to Q_2(x))[/math] будет истинна и импликация [math]P_2(a)\to Q_2(a)[/math], что вместе с истинностью ее посылки [math]P_2(a)[/math] приводит к истинности следствия [math]Q_2(a)[/math]. Итак, высказывания [math]Q_1(a)[/math] и [math]Q_2(a)[/math] истинны. Значит, истинна конъюнкция [math]Q_1(a)\land Q_2(a)[/math], а вместе с ней истинно экзистенциальное высказывание [math](\exists x)(Q_1(x)\land Q_2(x))[/math], что противоречит условию, согласно которому истинно отрицание этого высказывания. Таким образом, все высказывания [math]P_2(a),\ldots,P_m(a)[/math] ложны. Тогда высказывание [math]P_1(a)[/math] должно быть истинно, ибо если и оно будет ложным, то ложной будет и дизъюнкция [math]P_1(a)\lor\ldots\lor P_m(a)[/math], a вместе с ней и универсальное высказывание [math](\forall x)(P_1(x)\lor\ldots\lor P_m(x))[/math], что противоречит условию. Итак, высказывания [math]Q_1(a)[/math] и [math]P_1(a)[/math] истинны. Следовательно, истинна импликация [math]Q_1(a)\to P_1(a)[/math].


Итак, мы доказали, что, каким бы ни был элемент [math]a\in M[/math] (превращающим предикат [math]Q_1(x)[/math] в ложное высказывание или превращающим его в истинное высказывание), импликация [math]Q_1(a)\to P_1(a)[/math] будет истинной. Следовательно, будет истинно и высказывание [math](\forall x)(Q_1(x)\to P_1(x))[/math].


Совершенно аналогично устанавливается истинность и остальных обратных импликаций:


[math](\forall x)\bigl(Q_2(x)\to P_2(x)\bigr),\quad \ldots,\quad (\forall x)\bigl(Q_m(x)\to P_m(x)\bigr).[/math]

Частным видом рассмотренной теоремы об обратимости системы импликаций при [math]m=2[/math] является следующая теорема.




Теорема 24.21. Пусть справедливы следующие две прямые теоремы:


[math](\forall x)\bigl(P(x)\to Q_1(x)\bigr)[/math] и [math](\forall x)\bigl(\lnot P(x)\to Q_2(x)\bigr)[/math].

причем следствия [math]Q_1(x)[/math] и [math]Q_2(x)[/math] взаимно исключают друг друга, т.е. истинно высказывание [math]\lnot (\exists x)(Q_1(x)\land Q_2(x))[/math]. Тогда справедливы обратные теоремы:


[math](\forall x)\bigl(Q_1(x)\to P(x)\bigr)[/math] и [math](\forall x)\bigl(Q_2(x)\to\lnot P(x)\bigr)[/math].

Для того чтобы доказать, что данная теорема действительно является частным видом теоремы предыдущего пункта, заметим, что ее условие удовлетворяет требованиям условия предыдущей теоремы. Следствия здесь действительно исключают одно другое, а для посылок [math]P(x)[/math] и [math]\lnot P(x)[/math] ясно, что верно утверждение [math](\forall x)(P(x)\lor\lnot P(x))[/math], чего и требует условие предыдущей теоремы.


Приведем пример двух теорем из геометрии, истинность обратных утверждений для которых может быть установлена с помощью рассмотренного частного случая теоремы об обратимости системы импликаций.




Пример 24.22. Рассмотрим теоремы:


1) "Если две плоскости параллельны, то всякая плоскость при пересечении с ними дает две прямые линии, которые также параллельны. Символически:


[math](\forall\rho_1,\rho_2) \bigl[\rho_1\parallel \rho_2\to (\forall\rho) (\rho_1\cap \rho \parallel \rho_2\cap \rho)\bigr];[/math]

2) "Если две плоскости не параллельны, то существует плоскость, которая при пересечении с ними дает две пересекающиеся прямые линии. Символически:


[math](\forall\rho_1,\rho_2) \bigl[\rho_1\nparallel \rho_2\to (\exists\rho) \bigl((\rho_1\cap \rho)\cap (\rho_2\cap \rho)\ne \varnothing\bigr)\bigr];[/math]

Ясно, что следствия этих утверждений


[math](\forall\rho) (\rho_1\cap \rho \parallel \rho_2\cap \rho)[/math] и [math](\exists\rho) \bigl((\rho_1\cap \rho)\cap (\rho_2\cap \rho)\ne \varnothing\bigr)[/math]

взаимно исключают друг друга. Тогда можно сделать вывод о справедливости двух обратных утверждений:

1') "Если при пересечении любых двух данных плоскостей всякой третьей плоскостью получаются две параллельные прямые, то и сами данные плоскости также параллельны";


2') "Если при пересечении любых двух данных плоскостей некоторой третьей плоскостью получаются две пересекающиеся прямые, то и сами данные плоскости также пересекаются".


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved