Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме

Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме


Теореме 7.18 об обратимости системы импликаций можно придать следующий предикатный вид.


Теорема 24.20. Пусть справедливы все следующие прямые теоремы (m \geqslant 2)\colon


(\forall x)\bigl(P_1(x)\to Q_1(x)\bigr),\quad (\forall x)\bigl(P_2(x)\to Q_2(x)\bigr),\quad \ldots,\quad (\forall x)\bigl(P_m(x)\to Q_m(x)\bigr).

Причем для посылок известно, что истинно утверждение (\forall x)\bigl(P_1(x)\lor P_2(x)\lor \ldots\lor P_m(x)\bigr), а следствия попарно исключают друг друга, т.е. истинны все высказывания


\lnot (\exists x)\bigl(Q_i(x)\land Q_j(x)\bigr)\quad (i,j=1,2,\ldots,m,~ i\ne j).

Тогда справедливы и все обратные импликации:


(\forall x)\bigl(Q_1(x)\to P_1(x)\bigr),\quad (\forall x)\bigl(Q_2(x)\to P_2(x)\bigr),\quad \ldots,\quad (\forall x)\bigl(Q_m(x)\to P_m(x)\bigr).

(Предполагается, конечно, что все предикаты заданы над одним и тем же множеством M.)


Доказательство. Покажем сначала, что истинна первая обратная импликация: (\forall x)\bigl(Q_1(x)\to P_1(x)\bigr). Пусть a\in M. Если высказывание Q_1(a) ложно, то импликация Q_1(a)\to P_1(a) истинна. Предположим, что высказывание Q_1(a) истинно. Покажем, что тогда все высказывания P_2(a),\ldots,P_m(a) ложны. Допустим противное: например, пусть P_2(a) истинно. В силу истинности (по условию) универсального высказывания (\forall x)(P_2(x)\to Q_2(x)) будет истинна и импликация P_2(a)\to Q_2(a), что вместе с истинностью ее посылки P_2(a) приводит к истинности следствия Q_2(a). Итак, высказывания Q_1(a) и Q_2(a) истинны. Значит, истинна конъюнкция Q_1(a)\land Q_2(a), а вместе с ней истинно экзистенциальное высказывание (\exists x)(Q_1(x)\land Q_2(x)), что противоречит условию, согласно которому истинно отрицание этого высказывания. Таким образом, все высказывания P_2(a),\ldots,P_m(a) ложны. Тогда высказывание P_1(a) должно быть истинно, ибо если и оно будет ложным, то ложной будет и дизъюнкция P_1(a)\lor\ldots\lor P_m(a), a вместе с ней и универсальное высказывание (\forall x)(P_1(x)\lor\ldots\lor P_m(x)), что противоречит условию. Итак, высказывания Q_1(a) и P_1(a) истинны. Следовательно, истинна импликация Q_1(a)\to P_1(a).


Итак, мы доказали, что, каким бы ни был элемент a\in M (превращающим предикат Q_1(x) в ложное высказывание или превращающим его в истинное высказывание), импликация Q_1(a)\to P_1(a) будет истинной. Следовательно, будет истинно и высказывание (\forall x)(Q_1(x)\to P_1(x)).


Совершенно аналогично устанавливается истинность и остальных обратных импликаций:


(\forall x)\bigl(Q_2(x)\to P_2(x)\bigr),\quad \ldots,\quad (\forall x)\bigl(Q_m(x)\to P_m(x)\bigr).

Частным видом рассмотренной теоремы об обратимости системы импликаций при m=2 является следующая теорема.




Теорема 24.21. Пусть справедливы следующие две прямые теоремы:


(\forall x)\bigl(P(x)\to Q_1(x)\bigr) и (\forall x)\bigl(\lnot P(x)\to Q_2(x)\bigr).

причем следствия Q_1(x) и Q_2(x) взаимно исключают друг друга, т.е. истинно высказывание \lnot (\exists x)(Q_1(x)\land Q_2(x)). Тогда справедливы обратные теоремы:


(\forall x)\bigl(Q_1(x)\to P(x)\bigr) и (\forall x)\bigl(Q_2(x)\to\lnot P(x)\bigr).

Для того чтобы доказать, что данная теорема действительно является частным видом теоремы предыдущего пункта, заметим, что ее условие удовлетворяет требованиям условия предыдущей теоремы. Следствия здесь действительно исключают одно другое, а для посылок P(x) и \lnot P(x) ясно, что верно утверждение (\forall x)(P(x)\lor\lnot P(x)), чего и требует условие предыдущей теоремы.


Приведем пример двух теорем из геометрии, истинность обратных утверждений для которых может быть установлена с помощью рассмотренного частного случая теоремы об обратимости системы импликаций.




Пример 24.22. Рассмотрим теоремы:


1) "Если две плоскости параллельны, то всякая плоскость при пересечении с ними дает две прямые линии, которые также параллельны. Символически:


(\forall\rho_1,\rho_2) \bigl[\rho_1\parallel \rho_2\to (\forall\rho) (\rho_1\cap \rho \parallel \rho_2\cap \rho)\bigr];

2) "Если две плоскости не параллельны, то существует плоскость, которая при пересечении с ними дает две пересекающиеся прямые линии. Символически:


(\forall\rho_1,\rho_2) \bigl[\rho_1\nparallel \rho_2\to (\exists\rho) \bigl((\rho_1\cap \rho)\cap (\rho_2\cap \rho)\ne \varnothing\bigr)\bigr];

Ясно, что следствия этих утверждений


(\forall\rho) (\rho_1\cap \rho \parallel \rho_2\cap \rho) и (\exists\rho) \bigl((\rho_1\cap \rho)\cap (\rho_2\cap \rho)\ne \varnothing\bigr)

взаимно исключают друг друга. Тогда можно сделать вывод о справедливости двух обратных утверждений:


1') "Если при пересечении любых двух данных плоскостей всякой третьей плоскостью получаются две параллельные прямые, то и сами данные плоскости также параллельны";


2') "Если при пересечении любых двух данных плоскостей некоторой третьей плоскостью получаются две пересекающиеся прямые, то и сами данные плоскости также пересекаются".

Перейти на форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2018 MathHelpPlanet.com. All rights reserved