Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме
Теореме 7.18 об обратимости системы импликаций можно придать следующий предикатный вид.
Теорема 24.20. Пусть справедливы все следующие прямые теоремы 
Причем для посылок известно, что истинно утверждение , а следствия попарно исключают друг друга, т.е. истинны все высказывания
Тогда справедливы и все обратные импликации:
(Предполагается, конечно, что все предикаты заданы над одним и тем же множеством .)
Доказательство. Покажем сначала, что истинна первая обратная импликация: . Пусть . Если высказывание ложно, то импликация истинна. Предположим, что высказывание истинно. Покажем, что тогда все высказывания ложны. Допустим противное: например, пусть истинно. В силу истинности (по условию) универсального высказывания будет истинна и импликация , что вместе с истинностью ее посылки приводит к истинности следствия . Итак, высказывания и истинны. Значит, истинна конъюнкция , а вместе с ней истинно экзистенциальное высказывание , что противоречит условию, согласно которому истинно отрицание этого высказывания. Таким образом, все высказывания ложны. Тогда высказывание должно быть истинно, ибо если и оно будет ложным, то ложной будет и дизъюнкция , a вместе с ней и универсальное высказывание , что противоречит условию. Итак, высказывания и истинны. Следовательно, истинна импликация .
Итак, мы доказали, что, каким бы ни был элемент (превращающим предикат в ложное высказывание или превращающим его в истинное высказывание), импликация будет истинной. Следовательно, будет истинно и высказывание .
Совершенно аналогично устанавливается истинность и остальных обратных импликаций:
Частным видом рассмотренной теоремы об обратимости системы импликаций при является следующая теорема.
Теорема 24.21. Пусть справедливы следующие две прямые теоремы:
 и  .
причем следствия и взаимно исключают друг друга, т.е. истинно высказывание . Тогда справедливы обратные теоремы:
 и  .
Для того чтобы доказать, что данная теорема действительно является частным видом теоремы предыдущего пункта, заметим, что ее условие удовлетворяет требованиям условия предыдущей теоремы. Следствия здесь действительно исключают одно другое, а для посылок и ясно, что верно утверждение , чего и требует условие предыдущей теоремы.
Приведем пример двух теорем из геометрии, истинность обратных утверждений для которых может быть установлена с помощью рассмотренного частного случая теоремы об обратимости системы импликаций.
Пример 24.22. Рассмотрим теоремы:
1) "Если две плоскости параллельны, то всякая плоскость при пересечении с ними дает две прямые линии, которые также параллельны. Символически:
2) "Если две плоскости не параллельны, то существует плоскость, которая при пересечении с ними дает две пересекающиеся прямые линии. Символически:
Ясно, что следствия этих утверждений
 и 
взаимно исключают друг друга. Тогда можно сделать вывод о справедливости двух обратных утверждений:
1') "Если при пересечении любых двух данных плоскостей всякой третьей плоскостью получаются две параллельные прямые, то и сами данные плоскости также параллельны";
2') "Если при пересечении любых двух данных плоскостей некоторой третьей плоскостью получаются две пересекающиеся прямые, то и сами данные плоскости также пересекаются".
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
|