Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Принцип полной дизъюнкции

Принцип полной дизъюнкции


Этот принцип носит также название "теоремы об обратимости системы импликаций", или "закона замкнутой системы утверждений", или "закона Гаубера". Обратим внимание на то, что этот принцип представляет собой обобщение ситуации, связанной с отношениями между истинностными значениями прямой, обратной, противоположной и обратной противоположной теорем. В самом деле, для утверждений [math]A\to B[/math] (прямая теорема), [math]\lnot A\to\lnot B[/math] (противоположная теорема), [math]B\to A[/math] (обратная теорема), [math]\lnot B\to\lnot A[/math] (теорема, обратная противоположной) справедливо следующее: если первые два из них ([math]A\to B[/math] и [math]\lnot A\to\lnot B[/math]) верны, то верны оба вторых утверждения ([math]B\to A[/math] и [math]\lnot B\to\lnot A[/math]). Если исходных утверждений будет не два, а больше, то этот случай и рассматривается в теореме об обратимости системы импликаций. Она позволяет делать вывод о справедливости обратных теорем, если посылки и следствия прямых теорем удовлетворяют некоторым условиям.


Теорема 7.18 (об обратимости системы импликаций, или принцип полной дизъюнкции). Пусть справедливы все следующие прямые теоремы [math](m \geqslant 2):[/math]


[math]A_1\to B_1,\quad A_2\to B_2,\quad \ldots,\quad A_m\to B_m\,.[/math]

Причем из посылок [math]A_1,A_2,\ldots,A_m[/math] по меньшей мере одна выполняется (т.е. истинна), а следствия [math]B_1,B_2,\ldots,B_m[/math] попарно исключают друг друга (т. е. никакие два различных следствия не могут быть истинны одновременно, а значит истинны все следующие утверждения [math]\lnot(B_i\land B_j)[/math], для [math]1\leqslant i,~ j \leqslant m,~ i\ne j[/math]). Тогда справедливы и все обратные импликации:


[math]B_1\to A_1,\quad B_2\to A_2,\quad \ldots,\quad B_m\to A_m\,.[/math]

Доказательство. Покажем сначала истинность первой обратной импликации: [math]B_1\to A_1[/math]. Если высказывание [math]B_1[/math] ложно, то импликация [math]B_1\to A_1[/math] истинна в силу определения 1.7 импликации. Предположим теперь, что высказывание [math]B_1[/math] истинно. Покажем, что тогда все высказывания [math]A_2,A_3,\ldots,A_m[/math] ложны. Допустим противное: например, пусть [math]A_2[/math] истинно. Тогда из истинности высказываний [math]A_2[/math] и [math]A_2\to B_2[/math] заключаем, что исходя из определения импликации высказывание [math]B_2[/math] истинно. Таким образом, два различных следствия [math]B_1[/math] и [math]B_2[/math] прямых теорем истинны, но это противоречит условию. Следовательно, высказывание [math]A_2[/math] не может быть истинным. Аналогично, не могут быть истинными высказывания [math]A_3,A_4,\ldots,A_m[/math].


Итак, все высказывания [math]A_2,A_3,\ldots,A_m[/math] ложны. Но по условию по меньшей мере одна из посылок [math]A_1,A_2,\ldots,A_m[/math] истинна. Следовательно, истинной должна быть посылка [math]A_1[/math]. Таким образом, высказывания [math]B_1[/math] и [math]A_1[/math] истинны. Тогда (по определению 1.7 импликации) истинна импликация [math]B_1\to A_1[/math].


Совершенно аналогично устанавливается истинность и остальных обратных импликаций [math]B_2\to A_2,\ldots, B_m\to A_m[/math]. Рекомендуется провести эти рассуждения, например, для следующей импликации: [math]B_2\to A_2[/math].


Увидим теперь, что ситуация с прямой, обратной, противоположной и обратной противоположной теоремами есть частный случай принципа дизъюнкции. В самом деле, эта ситуация полностью укладывается в условия данной теоремы: у двух данных утверждений [math]A\to B[/math] и [math]\lnot A\to\lnot B[/math] из посылок [math]A[/math] и [math]\lnot A[/math] по меньшей мере одна (в данном случае точно одна) истинна, а следствия [math]B[/math] и [math]\lnot B[/math] исключают друг друга (т. е. не могут быть истинными одновременно). Тогда справедливы и обратные импликации [math]B\to A[/math] и [math]\lnot B\to\lnot A[/math].


Суть принципа полной дизъюнкции состоит в том, что он на основе законов логики гарантирует истинность обратных утверждений для специального набора прямых утверждений той или иной теории и позволяет тем самым эти обратные утверждения в этой теории не доказывать, после того как доказаны прямые утверждения. Но сам принцип полной дизъюнкции, конечно, требует доказательства. Это — теорема логики, и после того как она доказана в логике, она может быть применена в самых разных областях математики, она принимает как бы универсальный, всеобщий характер.


Принцип полной дизъюнкции представляет собой фактически утверждение о логическом следовании одного утверждения из каких-то других, т. е. это есть еще одно правило логического умозаключения в дополнение к тем, которые были рассмотрены ранее. Сформулируем, например, в виде такого правила данный принцип в случае, когда [math]n=2:[/math]


[math]\frac{P_1\to Q_1, P_2\to Q_2, P_1\lor P_2, \lnot(Q_1\land Q_2)}{(Q_1\to P_1)\land (Q_2\to P_2)}[/math]

Принцип полной дизъюнкции имеет весьма широкое применение во всех дисциплинах школьного курса математики. Рассмотрим один такой пример.




Пример 7.19. В школьном курсе геометрии доказываются следующие три теоремы: "Квадрат длины стороны, лежащей против острого угла треугольника, меньше суммы квадратов длин двух других сторон этого треугольника"; "Квадрат длины стороны, лежащей против прямого угла треугольника, равен сумме квадратов длин двух других сторон этого треугольника" (теорема Пифагора); "Квадрат длины стороны, лежащей против тупого угла треугольника, больше суммы квадратов длин двух других сторон этого треугольника". Проанализируем данные утверждения в аспекте применимости к ним теоремы 7.18. Введем следующие обозначения для высказываний:


[math]A_1\colon[/math] "В треугольнике угол [math]\alpha[/math] острый";
[math]A_2\colon[/math] "В треугольнике угол [math]\alpha[/math] прямой";
[math]A_3\colon[/math]"В треугольнике угол [math]\alpha[/math] тупой";
[math]B_1\colon[/math] "[math]a^2<b^2+c^2[/math]";
[math]B_2\colon[/math] "[math]a^2=b^2+c^2[/math]";
[math]B_3\colon[/math] "[math]a^2>b^2+c^2[/math]",

где [math]a,b,c[/math] — длины сторон треугольника; [math]\alpha[/math]— его угол, лежащий против стороны длины а. Тогда сформулированные три теоремы можно записать символически:


[math]A_1\to B_1,\qquad A_2\to B_2,\qquad A_3\to B_3\,.[/math]

Ясно, что из трех посылок [math]A_1,A_2,A_3[/math] этих утверждений по меньшей мере одна истинна (угол [math]\alpha[/math] в треугольнике непременно должен быть либо острым, либо прямым, либо тупым), а следствия [math]B_1,B_2,B_3[/math] попарно исключают друг друга (в силу закона трихотомии для действительных чисел). Поэтому на основе теоремы 7.4 заключаем, что истинны и все три обратные импликации:


[math]B_1\to A_1,\qquad B_2\to A_2,\qquad B_3\to A_3\,.[/math]

Например, теорема [math]B_2\to A_2[/math], обратная теореме Пифагора, читается так: "Если в треугольнике квадрат длины некоторой стороны равен сумме квадратов длин двух других его сторон, то этот треугольник прямоугольный, причем прямым углом является угол, лежащий против первой стороны".




Обобщение принципа полной дизъюнкции


Теорема 7.20. Пусть справедливы все следующие прямые теоремы [math](m \geqslant 2)\colon[/math]


[math](A_1\land C)\to B_1,\quad (A_2\land C)\to B_2,\quad \ldots,\quad (A_m\land C)\to B_m\,,[/math]

причем из посылок [math]A_1,A_2,\ldots,A_m[/math] по меньшей мере одна выполняется {истинна), а следствия [math]B_1,B_2,\ldots,B_m[/math] попарно исключают друг друга (т. е. никакие два различных следствия не могут быть истинны одновременно). Тогда справедливы и все следующие обратные импликации:


[math](B_1\land C)\to A_1,\quad (B_2\land C)\to A_2,\quad \ldots,\quad (B_m\land C)\to A_m\,.[/math]

Доказательство. Покажем сначала истинность первой обратной импликации: [math](B_1\land C)\to A_1[/math].


Если высказывание [math]B_1[/math] ложно, то посылка [math]B_1\land C[/math] ложна и, значит, импликация [math](B_1\land C)\to A_1[/math] истинна. Предположим теперь, что высказывание [math]B_1[/math] истинно. Тогда, если при этом высказывание [math]C[/math] ложно, то снова посылка [math]B_1\land C[/math] ложна, следовательно, импликация [math](B_1\land C)\to A_1[/math], истинна. Предположим теперь, что и высказывание [math]C[/math] истинно. Покажем, что тогда все высказывания [math]A_1,A_2,\ldots,A_m[/math] ложны. Допустим противное: например, пусть [math]A_2[/math] истинно. Тогда из истинности высказываний [math]A_2,\,C[/math] (а значит, и истинности их конъюнкции [math]A_2\land C[/math]) и [math](A_2\land C)\to B_2[/math], очевидно, вытекает истинность высказывания [math]B_2[/math]. Таким образом, два различных следствия [math]B_1[/math] и [math]B_2[/math] прямых теорем истинны. Это противоречит условию. Следовательно, высказывание [math]A_2[/math] не может быть истинным. Аналогично не могут быть истинными высказывания [math]A_3,\ldots,A_m[/math]. Итак, все высказывания [math]A_2,A_3,\ldots,A_m[/math] ложны. Но по условию, по меньшей мере одна из посылок [math]A_1,A_2,\ldots,A_m[/math] истинна. Следовательно, истинной должна быть посылка [math]A_1[/math]. Итак, высказывания [math]B_2,\,C[/math] и [math]A_1[/math] истинны. Тогда истинна конъюнкция [math]B_1\land C[/math] и истинна импликация [math](B_1\land C)\to A_1[/math], являющаяся обратной по отношению к первой данной импликации [math](A_1\land C)\to B_1[/math].


Совершенно аналогично устанавливается истинность и остальных обратных импликаций


[math](B_2\land C)\to A_2,\quad (B_3\land C)\to A_3,\quad \ldots,\quad (B_m\land C)\to A_m\,.[/math]



Пример 7.21. Примером применения данной общелогической теоремы могут служить следующие три утверждения 1), 2), 3), выражающие свойство монотонности операции умножения в кольце целых чисел или в поле рациональных чисел (в правом столбце помещены обратные для них теоремы 1'), 2'), 3'), справедливые на основании доказанной теоремы 7.20):


[math]\begin{array}{ll}\mathsf{1)}~~ x<y,~ z>0~ \Rightarrow~ xz< yz\,; &\quad \mathsf{1')}~~ xz<yz,~ z>0~ \Rightarrow~x<y\,;\\[2pt] \mathsf{2)}~~ x>y,~ z>0~ \Rightarrow~ xz> yz\,; &\quad \mathsf{2')}~~ xz>yz,~ z>0~ \Rightarrow~x>y\,;\\[2pt] \mathsf{3)}~~ x=y,~ z>0~ \Rightarrow~ xz= yz\,; &\quad \mathsf{3')}~~ xz=yz,~ z>0~ \Rightarrow~x=y\,.\end{array}[/math]

Аналогично для следующих трех утверждений 4), 5), 6) относительно целых чисел:


[math]\begin{array}{ll}\mathsf{4)}~~ x<y,~ z<0~ \Rightarrow~ xz> yz\,; &\quad \mathsf{4')}~~ xz>yz,~ z<0~ \Rightarrow~x<y\,;\\[2pt] \mathsf{5)}~~ x>y,~ z<0~ \Rightarrow~ xz< yz\,; &\quad \mathsf{5')}~~ xz<yz,~ z<0~ \Rightarrow~x>y\,;\\[2pt] \mathsf{6)}~~ x=y,~ z<0~ \Rightarrow~ xz= yz\,; &\quad \mathsf{6')}~~ xz=yz,~ z<0~ \Rightarrow~x=y\,.\end{array}[/math]

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved