Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Примеры задач с прямыми на плоскости

Примеры задач с прямыми на плоскости


Составление уравнений прямых


Разнообразие видов уравнений прямых на плоскости порождается многообразием геометрических способов задания прямых. По любому набору геометрических данных, однозначно определяющих прямую на плоскости, можно составить уравнение этой прямой, причем геометрические данные будут отражены в коэффициентах уравнения. И наоборот, коэффициенты любого уравнения прямой имеют геометрический смысл, соответствующий способу задания прямой на плоскости.


Для удобства решения типовых задач, связанных с прямыми на плоскости, все основные типы уравнений прямых и соответствующие геометрические способы задания этих прямых отражены в таблице 3.1.


Примеры составления прямых по геометрическим данным, указанным в таблице 3.1, разбирались в предыдущих разделах. Рассмотрим примеры нахождения уравнений прямых, заданных как геометрические места точек.




Равнобедренный треугольник в аффинной системе координат

Пример 3.14. По сторонам [math]OA[/math] и [math]OB[/math] равнобедренного треугольника [math]OAB[/math] [math](OA=OB)[/math] перемещаются точки [math]A_1[/math] и [math]B_1[/math] так, [math]OA_1=OB_1[/math] (рис.3.28). Найти геометрическое место точек [math]M[/math] — середин отрезков [math]A_1B_1[/math].


Решение. Введем аффинную систему координат [math]O\vec{e}_1\vec{e}_2[/math] с базисными векторами [math]\mathop{\vec{e}_1=\overrightarrow{OA}}\limits_{.}[/math] и [math]\mathop{\vec{e}_2=\overrightarrow{OB}}\limits_{.}[/math] (рис.3.28). Вершины [math]A[/math] и [math]B[/math] треугольника имеют координаты [math]A(1;0)[/math] и [math]B(0;1)[/math], а точки [math]A_1[/math] и [math]B_1[/math] – координаты [math]A_1(t;0)[/math] и [math]B_1(0;1-t)[/math], где [math]t[/math] — параметр, принимающий значения [math]0\leqslant t\leqslant1~\bigl(t=\overrightarrow{OA_1}\slash \vec{e}_1\bigr)[/math].


Середина [math]M[/math] отрезка [math]A_1B_1[/math] имеет координаты [math]M\!\left(\frac{t+0}{2};\,\frac{0+1-t}{2}\right)[/math], т.е. [math]M\!\left(\frac{t}{2};\,\frac{1-t}{2}\right)[/math]. Это означает, что при изменении параметра [math]t[/math] координаты точки [math]M[/math] изменяются по закону


[math]\left\{\!\begin{aligned}x_1&=\frac{1}{2}\cdot t,\\x_2&=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cdot t.\end{aligned}\right.[/math]

Получили параметрическое уравнение прямой. Поскольку параметр [math]t[/math] изменяется в пределах [math]0\leqslant t\leqslant1[/math], то при [math]t=0[/math] имеем [math]{ x_1= 0}[/math] и [math]x_2=\frac{1}{2}[/math], точка [math]M\!\left(0;\frac{1}{2}\right)[/math] совпадает с серединой [math]C[/math] стороны [math]OB[/math]; при [math]t=1[/math] имеем [math]x_1=\frac{1}{2}[/math] и [math]x_2=0[/math], точка [math]M\!\left(\frac{1}{2};0\right)[/math] совпадает с серединой [math]D[/math] стороны [math]OA[/math]. Поэтому искомое геометрическое место точек — отрезок [math]CD[/math], а именно средняя линия треугольника [math]OAB[/math], параллельная стороне [math]AB[/math].


Таблица 3.1. Основные типы уравнений прямых на плоскости


Виды (типы) уравнений прямых на плоскости



Пример 3.15. Найти геометрическое место точек плоскости, разность квадратов расстояний от каждой из которых до двух заданных точек плоскости постоянна (равна [math]c[/math]).


Геометрическое место точек плоскости в прямоугольной системе координат

Решение. Пусть [math]A[/math] и [math]B[/math] — заданные точки. Введем прямоугольную систему координат [math]Oxy[/math] (рис.3.29): начало координат [math]O[/math] совпадает с серединой отрезка [math]AB[/math], ось абсцисс совпадает с прямой [math]AB[/math] (направление на оси абсцисс выберем от точки [math]A[/math] к точке [math]B[/math], т.е. [math]\mathop{\vec{i} \upuparrows \overrightarrow{AB}}\limits_{.}[/math]), тогда ось ординат совпадает с серединным перпендикуляром к отрезку [math]AB[/math] (направление на оси ординат выбирается так, чтобы система координат была правой, хотя для решения задачи это не важно). Обозначим через [math]2a>0[/math] длину отрезка [math]AB[/math], тогда точки [math]A[/math] и [math]B[/math] имеют координаты [math]A(-a,0)[/math] и [math]B(a,0)[/math]. Пусть [math]M(x,y)[/math] произвольная точка искомого множества. По условию задачи [math]MA^2-MB^2=c[/math] или [math]MB^2-MA^2=c[/math]. Запишем равенство [math]MA^2-MB^2=\pm c[/math] в координатной форме:


[math](x-(-a))^2+(y-0)^2-(x-a)^2-(y-0)^2=\pm c.[/math]

Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получаем [math]4ax=\pm c \quad \Leftrightarrow \quad x=\pm\frac{c}{4a}[/math], это уравнение определяет пару прямых, перпендикулярных оси абсцисс (или ось ординат при [math]c=0[/math]). Следовательно, искомое геометрическое место точек – серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему заданные точки (при [math]c=0[/math]), или два перпендикуляра [math]x=\frac{c}{4a}[/math] и [math]x=-\frac{c}{4a}[/math] к прямой, проходящей через заданные точки.




Метрические приложения уравнений прямых на плоскости


Перечислим формулы для вычисления длин отрезков (расстояний) и величин углов по уравнениям образующих их прямых.


1. Расстояние [math]d[/math] от точки [math]M^{\ast}(x^{\ast},y^{\ast})[/math] до прямой [math]Ax+By+C=0[/math] вычисляется по формуле:


[math]d=\frac{|A\cdot x^{\ast}+B\cdot y^{\ast}+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}.[/math]

2. Расстояние между параллельными прямыми [math]A_1x+B_1y+C_1=0[/math] и [math]A_2x+B_2y+C_2=0[/math] находится как расстояние [math]d_1[/math] отточки [math]M_2(x_2,y_2)[/math], координаты которой удовлетворяют уравнению [math]A_2x_2+B_2y_2+C_2=0[/math], до прямой [math]A_1x+B_1y+C_1=0[/math] no формуле:


[math]d=\frac{|A_1\cdot x_2+B_1\cdot y_2+C_1|}{\sqrt{A_1^2+B_1^2}}.[/math]

3. Острый угол [math]\varphi[/math] между двумя прямыми [math]l_1[/math] и [math]l_2[/math] находится по формулам:


а) [math]\cos\varphi=\frac{|a_1a_2+b_1b_2|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}\sqrt{a_2^2+b_2^2}}[/math], если [math]\vec{p}_1=a_1\vec{i}+b_1\vec{j}[/math] и [math]\vec{p}_2=a_2\vec{i}+b_2\vec{j}[/math] — направляющие векторы прямых [math]l_1[/math] и [math]l_2[/math] соответственно (в случае задания прямых каноническими или параметрическими уравнениями);


б) [math]\cos\varphi=\frac{|A_1A_2+B_1B_2|}{\sqrt{A_1^2+B_1^2}\sqrt{A_2^2+B_2^2}}[/math], если [math]\vec{n}_1=A_1\vec{i}+B_1\vec{j}[/math] и [math]\vec{n}_2=A_2\vec{i}+B_2\vec{j}[/math] — нормали к прямым [math]l_1[/math] и [math]l_2[/math] соответственно (в случае задания прямых общими уравнениями);


в) [math]\operatorname{tg}\varphi=\left|\frac{k_1-k_2}{1+k_1k_2}\right|[/math], если [math]k_1=\operatorname{tg}\alpha_1[/math] и [math]k_2=\operatorname{tg}\alpha_2[/math] — угловые коэффициенты прямых [math]l_1[/math] и [math]l_2[/math] соответственно (в случае задания прямых уравнениями с угловыми коэффициентами).


При решении задач свойства 1-3 используются наряду с метрическими приложениями векторной алгебры (см. [url]p[/url]).




Пример 3.16. Катеты прямоугольного треугольника равны 9 см и 12 см. Найти расстояние от точки пересечения медиан до центра вписанной в треугольник окружности.


Прямоугольный треугольник на плоскости с точкой пересечения медиан

Решение. Пусть [math]ABC[/math] — заданный треугольник с катетами [math]AC=9[/math] см и [math]BC=12[/math] см. Введем прямоугольную систему координат [math]Cxy[/math] (рис.3.30): начало координат совпадает с вершиной прямого угла треугольника [math]ABC[/math]; ось абсцисс содержит катет [math]AC~(\vec{i}\uparrow\uparrow\overrightarrow{CA})[/math], ось ординат — катет [math]BC~(\vec{j}\uparrow\uparrow\overrightarrow{CB})[/math]. Тогда вершины треугольника имеют координаты [math]A(9;0),~B(0;12)[/math] и [math]C(0;0)[/math]. По координатам вершин треугольника находим координаты точки [math]M[/math] пересечения его медиан: [math]M\!\left(\frac{9+0+0}{3};\,\frac{0+12+0}{3}\right)[/math], т.е. [math]M(3;4)[/math] (см. [url]разд.2.1.1[/url]). Найдем координаты центра [math]O[/math] вписанной окружности. Поскольку центр принадлежит биссектрисе [math]l[/math] прямого угла, уравнение которой [math]y=x[/math], то абсцисса и ордината точки [math]O[/math] равны, т.е. [math]O(r,r)[/math], где [math]r[/math] — радиус вписанной окружности. Выразим радиус [math]r[/math] как расстояние от точки [math]O[/math] до гипотенузы [math]AB[/math]. Уравнение прямой, содержащей гипотенузу, имеет вид


[math]\frac{x}{9}+\frac{y}{12}=1.[/math]

Это уравнение прямой "в отрезках". Запишем его как общее уравнение прямой [math]\frac{x}{9}+\frac{y}{12}-10.[/math], и по свойству 1 выразим расстояние от точки [math]O[/math] до гипотенузы:


[math]r=\frac{\left|\frac{r}{9}+\frac{r}{12}-1\right|}{\sqrt{{\left(\frac{1}{9}\right)\!}^2+{\left(\frac{1}{12}\right)\!}^2}}[/math]. Отсюда [math]r=\frac{|21r-108|}{15}~\Leftrightarrow~15r=|21r-108|[/math],

то есть [math]r=3[/math] (радиус вписанной окружности) или [math]r=18[/math] (радиус вневписанной окружности с центром [math]O_c[/math], касающейся гипотенузы). Следовательно, точка [math]O[/math] имеет координаты [math](3;3)[/math]. Осталось найти искомое расстояние


[math]OM=\sqrt{(3-3)^2+(4-3)^2}=1.[/math]

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved