Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Примеры вариационных задач

Примеры вариационных задач


Чтобы отчетливее выяснить круг вопросов, которые изучаются в вариационном исчислении, рассмотрим предварительно несколько отдельных задач.


Линия наискорейшего ската


Задача о брахистохроне, или линии наискорейшего ската, была исторически первой задачей, положившей начало развитию вариационного исчисления.


Среди всех линий, соединяющих точки [math]M_1[/math] и [math]M_2[/math], требуется найти ту, по которой материальная точка, двигаясь под влиянием силы тяжести из [math]M_1[/math] без начальной скорости, достигнет пункта [math]M_2[/math] в кратчайшее время.


Для решения этой задачи мы должны будем рассмотреть всевозможные линии, соединяющие [math]M_1[/math] и [math]M_2[/math]. Если взять какую-либо одну определенную линию [math]l[/math], то ей будет отвечать какое-то определенное значение [math]T[/math] времени ската по ней материальной точки. Время [math]T[/math] будет зависеть от выбора [math]l[/math], и из всех линий, соединяющих [math]M_1[/math] и [math]M_2[/math], нужно выбрать ту, которой отвечает наименьшее значение [math]T[/math].


Задаче о брахистохроне можно придать другую форму.


Проведем через точки [math]M_1[/math] и [math]M_2[/math] вертикальную плоскость. Линия наискорейшего ската должна, очевидно, лежать в ней, и для ее разыскания мы можем ограничиться только линиями, лежащими в этой плоскости. Примем точку [math]M_1[/math] за начало координат, ось [math]Ox[/math] направим горизонтально, ось [math]Oy[/math] — вертикально вниз (рис. 1). Координаты точки [math]M_1[/math] будут [math](0;0)[/math]; координаты же точки [math]M_2[/math] назовем [math](x_2,y_2)[/math]. Возьмем любую линию, которая может быть задана уравнением


[math]y=f(x),\quad 0\leqslant x \leqslant x_2,~~~~~~~~~(1)[/math]

где [math]f[/math] — непрерывно дифференцируемая функция. Так как линия проходит через [math]M_1[/math] и [math]M_2[/math], функция [math]f[/math] на концах отрезка [math][0;x_2][/math] должна удовлетворять условиям

[math]f(0)=0,\quad f(x_2)=y_2.~~~~~~~~~(2)[/math]

Если взять на линии произвольную точку [math]M(x,y)[/math], то скорость движения [math]v[/math] материальной точки в этом месте линии будет связана с координатой [math]y[/math] точки известным из физики соотношением


[math]\frac{1}{2}\,v^2=gy[/math], или [math]v=\sqrt{2gy}.[/math]

Время, необходимое для того, чтобы материальная точка прошла элемент [math]ds[/math] дуги линии, имеет значение


[math]\frac{ds}{v}=\frac{\sqrt{1+y'^2}}{\sqrt{2gy}}\,dx,[/math]

и поэтому полное время ската точки вдоль линии от [math]M_1[/math] до [math]M_2[/math], равно

[math]T=\frac{1}{\sqrt{2g}}\int\limits_{0}^{x_2}\frac{\sqrt{1+y'^2}}{\sqrt{y}}\,dx.~~~~~~~~(3)[/math]

Разыскание брахистохроны равносильно решению следующей минимальной задачи: среди всевозможных функций (1), удовлетворяющих условиям (2), нужно найти ту, которой соответствует наименьшее значение интеграла (3).




Поверхность вращения наименьшей площади


Среди линий, соединяющих две точки плоскости, нужно найти ту, дуга которой при вращении около оси [math]Ox[/math] образует поверхность с наименьшей площадью.


Обозначим заданные точки [math]M_1(x_1,y_1)[/math] и [math]M_2(x_2,y_2)[/math] и рассмотрим любую линию, которая может быть задана уравнением


[math]y=f(x).~~~~~~~~~~(4)[/math]

Если линия проходит через [math]M_1[/math] и [math]M_2[/math], то функция [math]f[/math] будет удовлетворять условиям


[math]f(x_1)=y_1,\quad f(x_2)=y_2.~~~~~~~~(5)[/math]

Вращаясь около оси [math]Ox[/math], эта линия опишет поверхность, площадь которой будет численно равна интегралу


[math]S=2\pi\int\limits_{x_1}^{x_2}y\sqrt{1+y'^2}\,dx.~~~~~~~~(6)[/math]

Значение интеграла зависит от выбора линии, или, что равносильно, функции [math]y=f(x)[/math]. Среди всех функций (4), удовлетворяющих условиям (5), мы должны найти такую функцию, которой отвечает наименьшее значение интеграла (6).




Равновесие деформированной мембраны


Под мембраной принято понимать упругую поверхность, плоскую в состоянии покоя, свободно изгибающуюся и работающую только на растяжение. Считается, что потенциальная энергия деформированной мембраны пропорциональна увеличению площади ее поверхности.


Пусть в состоянии покоя мембрана занимает область [math]B[/math] плоскости [math]Oxy[/math] (рис. 2). Деформируем край [math]l[/math] мембраны в направлении, перпендикулярном к плоскости [math]Oxy[/math], и обозначим через [math]\varphi(M)[/math] смещение точки [math]M[/math] края. При этом деформируется и средняя часть мембраны. Требуется найти положение равновесия мембраны при заданной деформации ее края.


С большой степенью точности можно считать, что все точки мембраны при указанной деформации совершат перемещения, перпендикулярные к плоскости [math]Oxy[/math]. Обозначим через [math]u(x,y)[/math] перемещение точки [math](x,y)[/math]. Площадь мембраны в деформированном состоянии будет


[math]\iint\limits_{B}\!\sqrt{1+u'_x^2+u'_y^2}\,dx\,dy.[/math]

Если деформации элементов мембраны считать настолько малыми, что мы вправе пренебрегать высшими степенями [math]u'_x[/math] и [math]u'_y[/math] сравнительно с низшими степенями, указанное выражение площади можно заменить другим, более простым


[math]\iint\limits_{B}\!\left(1+\frac{u'_x^2+u'_y^2}{2}\right)\!dx\,dy.[/math]

Изменение площади мембраны равно

[math]\frac{1}{2}\iint\limits_{B}\Bigl(u'_x^2+u'_y^2\Bigl)dx\,dy.[/math]

потенциальная же энергия деформации будет иметь значение

[math]\frac{\mu}{2}\iint\limits_{B}\Bigl(u'_x^2+u'_y^2\Bigl)dx\,dy,~~~~~~~~(7)[/math]

где [math]\mu[/math] — постоянная, зависящая от упругих свойств мембраны.

Так как смещения точек края мембраны мы считаем заданными, функция [math]u(x,y)[/math] будет на границе области [math]B[/math] удовлетворять условию


[math]u\,\vline\,_l=\varphi(M).~~~~~~~~~~(8)[/math]

В положении равновесия потенциальная энергия деформации должна иметь наименьшее возможное значение, и поэтому функция [math]u(x,y)[/math], определяющая отклонения точек мембраны, должна быть найдена из следующей минимальной задачи: среди всех функций [math]u(x,y)[/math], непрерывно дифференцируемых в области [math]B[/math] и удовлетворяющих на границе условию (8), найти ту, которая дает наименьшее значение интегралу (7).




Экстремумы функционалов


Приведенные примеры дают возможность составить представление о круге задач, которые рассматриваются в вариационном исчислении. Но чтобы точно определить положение вариационного исчисления в математике, мы должны ознакомиться с несколькими новыми понятиями. Напомним, что одним из основных понятий математического анализа является понятие функции. В простейшем случае понятие о функциональной зависимости может быть высказано так. Пусть [math]M[/math] какое-либо множество действительных чисел. Если каждому числу [math]x[/math] из множества [math]M[/math] соответствует некоторое число [math]y[/math], то говорят, что на множестве [math]M[/math] определена функция [math]y=f(x)[/math]. Множество [math]M[/math] часто называют областью определения функции.


Понятие функционала является прямым и естественным обобщением понятия функции и содержит его как частный случай.


Пусть [math]M[/math] есть множество каких угодно объектов. Природа этих объектов для нас сейчас безразлична. Это могут быть числа, точки пространства, линии, функции, поверхности, состояния или даже движения механической системы и т. д. Для краткости мы будем их называть в дальнейшем элементами множества [math]M[/math] и обозначать буквой [math]x[/math].


Если каждому элементу [math]x[/math] из [math]M[/math] соответствует некоторое число [math]y[/math], то говорят, что на множестве [math]M[/math] определен функционал [math]y=F(x)[/math].


Если множество [math]M[/math] есть множество чисел [math]x[/math], то функционал [math]y=F(X)[/math] будет функцией одного аргумента. Когда [math]M[/math] есть множество пар чисел [math](x_1,x_2)[/math] или множество точек плоскости, функционал будет функцией [math]y=F(x_1,x_2)[/math] двух аргументов и т. д.


Для функционала [math]y=F(x)[/math] мы поставим следующую задачу:


Среди всех элементов [math]x[/math] из [math]M[/math] нужно найти тот элемент, для которого функционал [math]y=F(x)[/math] имеет минимальное значение.


Аналогично формулируется задача о максимуме этого функционала.


Заметим, что если мы у функционала [math]F(x)[/math] изменим знак и будем рассматривать функционал [math]-F(x)[/math], то максимумы (минимумы) [math]F(x)[/math] перейдут в минимумы (максимумы) [math]-F(x)[/math]. Поэтому отдельно изучать максимумы и минимумы не имеет смысла, так как теория их является весьма сходной, и в последующем мы будем говорить преимущественно о минимумах функционалов.


В задаче о линии наискорейшего ската функционалом, минимум которого ищется, был интеграл (3) — время ската материальной точки вдоль линии. Этот функционал был определен на всевозможных функциях (1), удовлетворяющих условию (2).


В задаче о положении равновесия мембраны функционалом являлась потенциальная энергия (7) деформированной мембраны, и мы должны были найти ее минимум на множестве функций [math]u(x,y)[/math], удовлетворяющих граничному условию (8).


Каждый функционал определяется двумя факторами: множеством [math]M[/math] элементов [math]x[/math], на котором он задан, и тем законом, по которому каждому элементу [math]x[/math] ставится в соответствие число (значение функционала). Методы разыскания наибольших и наименьших значений функционалов несомненно должны зависеть от свойств множества [math]M[/math].




Вариационное исчисление является частной главой теории функционалов. В нем рассматриваются функционалы, заданные на множествах функций, и задачей вариационного исчисления является построение теории экстремумов таких функционалов.


Особенно большое значение эта ветвь математики приобрела после того, как была установлена ее связь со многими отделами физики и механики. Причину этого можно видеть в следующем. Как будет выяснено ниже, для того чтобы функция давала экстремум функционалу, необходимо, чтобы она удовлетворяла некоторому дифференциальному уравнению. С другой стороны, как уже говорилось в главах, посвященных дифференциальным уравнениям, весьма часто количественные законы механики и физики также записываются в форме дифференциальных уравнений. Как оказалось, многие уравнения такого рода являются вместе с тем и дифференциальными уравнениями вариационного исчисления. Это дало возможность уравнения механики и физики рассматривать как условия экстремумов соответствующих функционалов и физические законы, высказывать в форме требования экстремума, в частности минимума, некоторых величин. Последнее позволило ввести в механику и физику новые точки зрения путем замены тех или иных физических законов равносильными им "минимальными принципами". Вместе с тем это открыло также новые пути решения, точного или приближенного, физических задач при помощи разыскания минимумов соответствующих функционалов.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved