Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Примеры аффинных преобразований плоскости

Примеры аффинных преобразований плоскости


1. Движением называется преобразование плоскости, при котором сохраняются расстояния между точками, т.е. расстояние между образами X' и Y' равно расстоянию между их прообразами X и Y: X'Y'=XY.


Из определения следует, что при движении сохраняются углы, так как из равенства треугольников ABC и A'B'C' (по трем сторонам) следует равенство соответствующих углов.


Таким образом, при движении прямоугольная система координат переходит в прямоугольную (рис.2.21,а). Учитывая (2.9), (2.10), а также пункт 3 замечаний 2.4, получим формулы, выражающие координаты образа через координаты прообраза:


\begin{cases}x'=x_s+x\cdot\cos\varphi-y\cdot\sin\varphi,\\y'=y_s+x\cdot\sin\varphi+y\cdot\cos\varphi,\end{cases} (такое движение называется собственным);

\begin{cases}x'=x_s+x\cdot\cos\varphi+y\cdot\sin\varphi,\\y'=y_s+x\cdot\sin\varphi-y\cdot\cos\varphi,\end{cases} (такое движение называется несобственным).

Движение прямоугольной системы координат

Сравнивая с (2.11), делаем вывод, что собственное движение является аффинным преобразованием с матрицей A=\begin{pmatrix}\cos\varphi&-\sin\varphi\\\sin\varphi&\cos\varphi\end{pmatrix}, а несобственное — с матрицей A=\begin{pmatrix}\cos\varphi&\sin\varphi\\\sin\varphi&-\cos\varphi\end{pmatrix}. На рис.2.21 А изображены исходная система координат O\vec{e}_1\vec{e}_2 и новая система координат O'\vec{e}\,'_1\vec{e}\,'_2,в которой координаты образа X' любой точки совпадают с координатами прообраза X в старой системе координат O\vec{e}_1\vec{e}_2 (см. второй способ задания аффинного преобразования).


2. Гомотетией с центром в точке O с коэффициентом \lambda>0 называется преобразование плоскости, при котором каждой точке X ставится в соответствие такая точка X', что \overrightarrow{OX'}=\lambda\cdot\overrightarrow{OX} (рис.2.21,б).


Докажем, что гомотетия является аффинным преобразованием. Для этого выберем аффинную систему координат O\vec{e}_1\vec{e}_2, начало которой совпадает с центром гомотетии. Пусть точка X имеет координаты x_1,x_2, тогда ее образ X' при гомотетии имеет координаты x'_1=\lambda\cdot x_1,~x'_2=\lambda\cdot x_2.


Сравнивая эти формулы с (2.11) делаем вывод, что гомотетия есть аффинное преобразование с матрицей A=\begin{pmatrix}\lambda&0\\0&\lambda\end{pmatrix} и нулевым столбцом a.


Определим гомотетию, используя второй способ задания аффинного преобразования. Для старой системы координат O\vec{e}_1\vec{e}_2 построим новую аффинную систему координат O'\vec{e}\,'_1\vec{e}\,'_2, в которой координаты образа X' при гомотетии совпадают с координатами прообраза X в старой системе координат. Примем точку O за начало (точка O' совпадает с точкой O), а векторы \vec{e}\,'_1=\lambda\cdot\vec{e}_1, \vec{e}\,'_2=\lambda\cdot\vec{e}-2 в качестве нового базиса. Найдем координаты точки X' в системе координат O'\vec{e}\,'_1\vec{e}\,'_2:


\overrightarrow{OX'}=x'_1\cdot\vec{e}_1+x'_2\cdot\vec{e}_2=x_1\cdot\underbrace{\lambda\cdot\vec{e}_1}_{\vec{e}\,'_1}+x_2\cdot\underbrace{\lambda\cdot\vec{e}_2}_{\vec{e}\,'_2}=x_1\cdot\vec{e}\,'_1+x_2\cdot\vec{e}\,'_2.

Поскольку \overrightarrow{OX}=x_1\cdot\vec{e}_1+x_2\cdot\vec{e}_2, то точки X и X' имеют равные координаты в аффинных системах координат O\vec{e}_1\vec{e}_2 и O'\vec{e}\,'_1\vec{e}\,'_2 соответственно.


Наоборот, если заданы аффинные системы координат O\vec{e}_1\vec{e}_2 и O'\vec{e}\,'_1\vec{e}\,'_2, то существует единственное аффинное преобразование, при котором координаты точки X (в системе координат O\vec{e}_1\vec{e}_2) совпадают с координатами образа X' (в новой системе координат O'\vec{e}\,'_1\vec{e}\,'_2), и это преобразование является гомотетией (см. второй способ задания аффинного преобразования).


3. Сжатием плоскости к прямой l вдоль пересекающей ее прямой m с коэффициентом \lambda>0 (косым сжатием) называется преобразование плоскости, при котором каждая точка L, принадлежащая прямой l, остается неподвижной (преобразуется в себя: L'=L), а каждой точке X, не лежащей на прямой l, ставится в соответствие такая точка X', что \overrightarrow{X_lX'}=\lambda\cdot\overrightarrow{X_lX}, где X_l — проекция точки X на прямую l вдоль прямой m (рис.2.22,а). При \lambda>1 это преобразование называют паске растяжением.


В частности, сжатием к прямой l с коэффициентом \lambda>0 называют сжатие в направлении, перпендикулярном прямой l, то есть в случае, когда прямая m перпендикулярна прямой l (рис.2.21,6).


Покажем, что это аффинное преобразование. Выберем аффинную систему координат O\vec{e}_1\vec{e}_2 так, чтобы ее начало совпадало с точкой O пересечения прямых m и l, а векторы \vec{e}_1 и \vec{e}_2 принадлежали прямым l и m соответственно. Из формулы \overrightarrow{X_lX'}=\lambda\cdot\overrightarrow{X_lX} следует, что при сжатии абсцисса точки X не изменяется, а ордината умножается на коэффициент сжатия \lambda:


\begin{cases}x'_1=x_1,\\x'_2=\lambda\cdot x_2.\end{cases}

Сравнивая с (2.11), делаем вывод, что сжатие является аффинным преобразованием с матрицей A=\begin{pmatrix}1&0\\0&\lambda\end{pmatrix} и нулевым столбцом a.


Сжатие плоскости к прямой вдоль пересекающей её прямой

4. Отражением плоскости в прямой l параллельно пересекающей ее прямой m (вдоль прямой m) называется преобразование плоскости, при котором каждая точка L, принадлежащая прямой l, остается неподвижной (преобразуется в себя: L'=L), а каждой точке X, не лежащей на прямой l, ставится в соответствие такая точка X', что \overrightarrow{X_lX'}=-\lambda\cdot\overrightarrow{X_lX}, где X_l — проекция точки X на прямую l вдоль прямой m (рис.2.23,а).


Это преобразование является аффинным, поскольку оно не изменяет расстояний между точками, т.е. представляет собой движение. Выберем систему координат O\vec{e}_1\vec{e}_2 так, чтобы ее начало совпадало с точкой O пересечения прямых m и l, а векторы \vec{e}_1 и \vec{e}_2 принадлежали прямым l и m соответственно. Найдем матрицу A преобразования, записывая по столбцам координаты образов базисных векторов. Поскольку \vec{e}\,'=\vec{e}_1=1\cdot\vec{e}_1+0\cdot\vec{e}_2 и \vec{e}\,'_2=-\vec{e}_2=0\cdot\vec{e}_1+(-1)\cdot\vec{e}_2, то A=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}.


5. Проекцией плоскости на прямую l параллельно пересекающей ее прямой m (вдоль прямой m) называется преобразование плоскости, при котором каждая точка L, принадлежащая прямой l, остается неподвижной (преобразуется в себя: L'=L), а каждой точке X, не лежащей на прямой l, ставится в соответствие ее проекция X_l на прямую l вдоль прямой m (рис.2.23,б).


Это преобразование является линейным, но не является аффинным. В самом деле, выберем аффинную систему координат O\vec{e}_1\vec{e}_2 так, чтобы ее начало совпадало с точкой O пересечения прямых m и l, а векторы \vec{e}_1 и \vec{e}_2 принадлежали прямым l и m соответственно. Найдем матрицу A преобразования, записывая по столбцам координаты образов базисных векторов. Поскольку \vec{e}\,'_1=\vec{e}_1=1\cdot\vec{e}_1+0\cdot\vec{e}_2 и \vec{e}\,'_2=\vec{o}=0\cdot\vec{e}_1+0\cdot\vec{e}_1, то A=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}. Как видим, матрица A преобразования вырожденная, поэтому преобразование не является аффинным, но является линейным (см. пункт 2 замечаний 2.5).


Проекция плоскости на прямую параллельно пересекающей её прямой

6. Инверсией плоскости относительно окружности радиуса R с центром в точке O называется преобразование плоскости, при котором точки, принадлежащие данной окружности, остаются неподвижными (преобразуются в себя), а каждой точке X, отличной от O, ставится в соответствие такая точка X', что \overrightarrow{OX'}=\frac{R^2}{\vert\overrightarrow{OX}\vert^2}\cdot\overrightarrow{OX} (рис.2.24), т.е. радиус-векторы \overrightarrow{OX'} и \overrightarrow{OX} образа и прообраза коллинеарны, а произведение их длин равно квадрату радиуса окружности (при R=1 длины радиус-векторов взаимно обратные: \vert\overrightarrow{OX'}\vert=\frac{1}{\vert\overrightarrow{OX}\vert}). Для взаимной однозначности преобразования предполагают, что точка О отображается в некоторую "бесконечно удаленную точку" плоскости. Преобразование инверсии называется также зеркальным отражением в окружности.


Инверсия плоскости относительно окружности радиуса R

Это преобразование не является линейным (и, следовательно, аффинным). В самом деле, выберем прямоугольную систему координат O\vec{i}\vec{j} , начало которой совпадает с центром данной окружности. Выразим прямоугольные координаты x',y' образа X' через координаты x,y прообраза X. Записывая равенство \overrightarrow{OX'}=\frac{R^2}{\vert\overrightarrow{OX}\vert^2}\cdot\overrightarrow{OX} в \ох\ координатной форме, получаем:


\begin{cases}x'=\dfrac{x\cdot R^2}{x^2+y^2},\\[10pt]y'=\dfrac{y\cdot R^2}{x^2+y^2},\end{cases} что отличается от (2.11), так как зависимость нелинейная.



Замечания 2.6

Поворот плоскости на угол вокруг начала системы координат

1. Справедливо утверждение: любое аффинное преобразование плоскости можно представить в виде композиции, движения и двух сжатий (во взаимно перпендикулярных направлениях).


2. В пункте 3 замечаний 2.4 показано, что изменение координат точки будет одно и то же, подвергаем ли мы плоскость аффинному преобразованию, оставляя систему координат неизменной, или же оставляем плоскость неизменной, подвергая систему координат обратному преобразованию. Например, при повороте плоскости на угол \varphi вокруг начала системы координат O\vec{i}\vec{j} (рис.2.25,а) координаты точек меняются так же, как при повороте системы координат O\vec{i}\vec{j} на угол, равный (-\varphi), т.е. при переходе к системе координат O\vec{i}\,'\vec{j}\,' (рис.2.25,б).




Пример 2.8. Пусть на плоскости задана окружность. В результате прямого сжатия плоскости к прямой l с коэффициентом 0\leqslant\lambda\leqslant1 в направлении, перпендикулярном l (рис.2.26,а), окружность преобразуется в кривую, называемую эллипсом, а центр окружности — в центр эллипса- При этом образом каждого диаметра окружности служит диаметр эллипса, т.е. хорда, проходящая через центр эллипса.


Доказать, что:


а) для любого данного диаметра A'B' эллипса существует единственный диаметр A'_1B'_1, который делит пополам все хорды, параллельные данному диаметру;

б) существуют два взаимно перпендикулярных диаметра эллипса, называемых его главными осями.


Преобразование окружности в эллипс

Решение. Для решения задачи используем два свойства аффинного преобразования: параллельные отрезки отображаются в параллельные отрезки (что следует из свойства 2); середина отрезка отображается в середину образа этого отрезка (см. свойство 3).


а) Сформулированное в пункте "а" свойство диаметров очевидно для окружности (рис.2.26,а), поскольку диаметр окружности, перпендикулярный хорде, делит ее пополам.


Рассмотрим эллипс (рис.2.26,б) как образ окружности при сжатии плоскости к прямой l, проходящей через центр O окружности. Сжатие происходит вдоль прямой m, перпендикулярной l, при этом точка O остается неподвижной. Пусть A'B' — диаметр эллипса (центр O эллипса — середина A'B'), а AB — его прообраз, который является диаметром окружности (поскольку центр O окружности — середина AB). Рассмотрим хорды окружности, параллельные диаметру AB. Геометрическим местом середин этих хорд является диаметр A_1B_1 окружности (рис.2.26,а), поскольку диаметр окружности, перпендикулярный хорде, делит ее пополам. При сжатии параллельные хорды окружности преобразуются в параллельные хорды эллипса, а диаметр A_1B_1 окружности преобразуется в диаметр A'_1B'_1 эллипса. Поскольку середина любого отрезка при аффинном преобразовании переходит в середину образа этого отрезка, то диаметр A'_1B'_1 будет делить пополам все хорды эллипса, параллельные диаметру A'B'. Существование диаметра с указанными свойствами доказано. Единственность следует из единственности перпендикулярного к AB диаметра A_1B_1 окружности. Конечно, перпендикулярность диаметров AB и A_1B_1 окружности, вообще говоря, не сохраняется для диаметров A'B' и A'_1B'_1 эллипса, так как при сжатии плоскости углы, в общем случае, изменяются. Аналогично можно показать, что для данного диаметра A'_1B'_1 существует единственный диаметр A'B', который делит пополам все хорды, параллельные A'_1B'_1. Два диаметра, каждый из которых делит пополам хорды, параллельные другому диаметру, называются сопряженными. В данном случае сопряженными являются диаметры A'B' и A'_1B'_1. Заметим, что описанное свойство очевидно для взаимно перпендикулярных диаметров окружности: любые два взаимно перпендикулярных диаметра окружности являются сопряженными, например AB и A_1B_1.


б) Выберем диаметр A'B' эллипса, перпендикулярный прямой l (рис.2.26,в). Этот диаметр является образом диаметра AB окружности, который также перпендикулярен прямой l. Диаметр A_1B_1 окружности, перпендикулярный, а значит, сопряженный (см. пункт "а"), диаметру AB, лежит на прямой l. Поскольку все точки прямой l при сжатии к ней отображаются в себя, то диаметр A_1B_1 окружности является также диаметром эллипса (см. пункт "а"), сопряженным для A'B'. Таким образом, диаметры A'B' и A_1B_1 эллипса взаимно перпендикулярны.

Перейти на форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2018 MathHelpPlanet.com. All rights reserved