Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Примеры аффинных преобразований плоскости

Примеры аффинных преобразований плоскости


1. Движением называется преобразование плоскости, при котором сохраняются расстояния между точками, т.е. расстояние между образами [math]X'[/math] и [math]Y'[/math] равно расстоянию между их прообразами [math]X[/math] и [math]Y[/math]: [math]X'Y'=XY[/math].


Из определения следует, что при движении сохраняются углы, так как из равенства треугольников [math]ABC[/math] и [math]A'B'C'[/math] (по трем сторонам) следует равенство соответствующих углов.


Таким образом, при движении прямоугольная система координат переходит в прямоугольную (рис.2.21,а). Учитывая (2.9), (2.10), а также пункт 3 замечаний 2.4, получим формулы, выражающие координаты образа через координаты прообраза:


[math]\begin{cases}x'=x_s+x\cdot\cos\varphi-y\cdot\sin\varphi,\\y'=y_s+x\cdot\sin\varphi+y\cdot\cos\varphi,\end{cases}[/math] (такое движение называется собственным);

[math]\begin{cases}x'=x_s+x\cdot\cos\varphi+y\cdot\sin\varphi,\\y'=y_s+x\cdot\sin\varphi-y\cdot\cos\varphi,\end{cases}[/math] (такое движение называется несобственным).

Движение прямоугольной системы координат

Сравнивая с (2.11), делаем вывод, что собственное движение является аффинным преобразованием с матрицей [math]A=\begin{pmatrix}\cos\varphi&-\sin\varphi\\\sin\varphi&\cos\varphi\end{pmatrix}[/math], а несобственное — с матрицей [math]A=\begin{pmatrix}\cos\varphi&\sin\varphi\\\sin\varphi&-\cos\varphi\end{pmatrix}[/math]. На рис.2.21 А изображены исходная система координат [math]O\vec{e}_1\vec{e}_2[/math] и новая система координат [math]O'\vec{e}\,'_1\vec{e}\,'_2[/math],в которой координаты образа [math]X'[/math] любой точки совпадают с координатами прообраза [math]X[/math] в старой системе координат [math]O\vec{e}_1\vec{e}_2[/math] (см. второй способ задания аффинного преобразования).


2. Гомотетией с центром в точке [math]O[/math] с коэффициентом [math]\lambda>0[/math] называется преобразование плоскости, при котором каждой точке [math]X[/math] ставится в соответствие такая точка [math]X'[/math], что [math]\overrightarrow{OX'}=\lambda\cdot\overrightarrow{OX}[/math] (рис.2.21,б).


Докажем, что гомотетия является аффинным преобразованием. Для этого выберем аффинную систему координат [math]O\vec{e}_1\vec{e}_2[/math], начало которой совпадает с центром гомотетии. Пусть точка [math]X[/math] имеет координаты [math]x_1,x_2[/math], тогда ее образ [math]X'[/math] при гомотетии имеет координаты [math]x'_1=\lambda\cdot x_1,~x'_2=\lambda\cdot x_2[/math].


Сравнивая эти формулы с (2.11) делаем вывод, что гомотетия есть аффинное преобразование с матрицей [math]A=\begin{pmatrix}\lambda&0\\0&\lambda\end{pmatrix}[/math] и нулевым столбцом [math]a[/math].


Определим гомотетию, используя второй способ задания аффинного преобразования. Для старой системы координат [math]O\vec{e}_1\vec{e}_2[/math] построим новую аффинную систему координат [math]O'\vec{e}\,'_1\vec{e}\,'_2[/math], в которой координаты образа [math]X'[/math] при гомотетии совпадают с координатами прообраза [math]X[/math] в старой системе координат. Примем точку [math]O[/math] за начало (точка [math]O'[/math] совпадает с точкой [math]O[/math]), а векторы [math]\vec{e}\,'_1=\lambda\cdot\vec{e}_1[/math], [math]\vec{e}\,'_2=\lambda\cdot\vec{e}-2[/math] в качестве нового базиса. Найдем координаты точки [math]X'[/math] в системе координат [math]O'\vec{e}\,'_1\vec{e}\,'_2[/math]:


[math]\overrightarrow{OX'}=x'_1\cdot\vec{e}_1+x'_2\cdot\vec{e}_2=x_1\cdot\underbrace{\lambda\cdot\vec{e}_1}_{\vec{e}\,'_1}+x_2\cdot\underbrace{\lambda\cdot\vec{e}_2}_{\vec{e}\,'_2}=x_1\cdot\vec{e}\,'_1+x_2\cdot\vec{e}\,'_2.[/math]

Поскольку [math]\overrightarrow{OX}=x_1\cdot\vec{e}_1+x_2\cdot\vec{e}_2[/math], то точки [math]X[/math] и [math]X'[/math] имеют равные координаты в аффинных системах координат [math]O\vec{e}_1\vec{e}_2[/math] и [math]O'\vec{e}\,'_1\vec{e}\,'_2[/math] соответственно.


Наоборот, если заданы аффинные системы координат [math]O\vec{e}_1\vec{e}_2[/math] и [math]O'\vec{e}\,'_1\vec{e}\,'_2[/math], то существует единственное аффинное преобразование, при котором координаты точки [math]X[/math] (в системе координат [math]O\vec{e}_1\vec{e}_2[/math]) совпадают с координатами образа [math]X'[/math] (в новой системе координат [math]O'\vec{e}\,'_1\vec{e}\,'_2[/math]), и это преобразование является гомотетией (см. второй способ задания аффинного преобразования).


3. Сжатием плоскости к прямой [math]l[/math] вдоль пересекающей ее прямой [math]m[/math] с коэффициентом [math]\lambda>0[/math] (косым сжатием) называется преобразование плоскости, при котором каждая точка [math]L[/math], принадлежащая прямой [math]l[/math], остается неподвижной (преобразуется в себя: [math]L'=L[/math]), а каждой точке [math]X[/math], не лежащей на прямой [math]l[/math], ставится в соответствие такая точка [math]X'[/math], что [math]\overrightarrow{X_lX'}=\lambda\cdot\overrightarrow{X_lX}[/math], где [math]X_l[/math] — проекция точки [math]X[/math] на прямую [math]l[/math] вдоль прямой [math]m[/math] (рис.2.22,а). При [math]\lambda>1[/math] это преобразование называют паске растяжением.


В частности, сжатием к прямой [math]l[/math] с коэффициентом [math]\lambda>0[/math] называют сжатие в направлении, перпендикулярном прямой [math]l[/math], то есть в случае, когда прямая [math]m[/math] перпендикулярна прямой [math]l[/math] (рис.2.21,6).


Покажем, что это аффинное преобразование. Выберем аффинную систему координат [math]O\vec{e}_1\vec{e}_2[/math] так, чтобы ее начало совпадало с точкой [math]O[/math] пересечения прямых [math]m[/math] и [math]l[/math], а векторы [math]\vec{e}_1[/math] и [math]\vec{e}_2[/math] принадлежали прямым [math]l[/math] и [math]m[/math] соответственно. Из формулы [math]\overrightarrow{X_lX'}=\lambda\cdot\overrightarrow{X_lX}[/math] следует, что при сжатии абсцисса точки [math]X[/math] не изменяется, а ордината умножается на коэффициент сжатия [math]\lambda[/math]:


[math]\begin{cases}x'_1=x_1,\\x'_2=\lambda\cdot x_2.\end{cases}[/math]

Сравнивая с (2.11), делаем вывод, что сжатие является аффинным преобразованием с матрицей [math]A=\begin{pmatrix}1&0\\0&\lambda\end{pmatrix}[/math] и нулевым столбцом [math]a[/math].


Сжатие плоскости к прямой вдоль пересекающей её прямой

4. Отражением плоскости в прямой [math]l[/math] параллельно пересекающей ее прямой [math]m[/math] (вдоль прямой [math]m[/math]) называется преобразование плоскости, при котором каждая точка [math]L[/math], принадлежащая прямой [math]l[/math], остается неподвижной (преобразуется в себя: [math]L'=L[/math]), а каждой точке [math]X[/math], не лежащей на прямой [math]l[/math], ставится в соответствие такая точка [math]X'[/math], что [math]\overrightarrow{X_lX'}=-\lambda\cdot\overrightarrow{X_lX}[/math], где [math]X_l[/math] — проекция точки [math]X[/math] на прямую [math]l[/math] вдоль прямой [math]m[/math] (рис.2.23,а).


Это преобразование является аффинным, поскольку оно не изменяет расстояний между точками, т.е. представляет собой движение. Выберем систему координат [math]O\vec{e}_1\vec{e}_2[/math] так, чтобы ее начало совпадало с точкой [math]O[/math] пересечения прямых [math]m[/math] и [math]l[/math], а векторы [math]\vec{e}_1[/math] и [math]\vec{e}_2[/math] принадлежали прямым [math]l[/math] и [math]m[/math] соответственно. Найдем матрицу [math]A[/math] преобразования, записывая по столбцам координаты образов базисных векторов. Поскольку [math]\vec{e}\,'=\vec{e}_1=1\cdot\vec{e}_1+0\cdot\vec{e}_2[/math] и [math]\vec{e}\,'_2=-\vec{e}_2=0\cdot\vec{e}_1+(-1)\cdot\vec{e}_2[/math], то [math]A=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}[/math].


5. Проекцией плоскости на прямую [math]l[/math] параллельно пересекающей ее прямой [math]m[/math] (вдоль прямой [math]m[/math]) называется преобразование плоскости, при котором каждая точка [math]L[/math], принадлежащая прямой [math]l[/math], остается неподвижной (преобразуется в себя: [math]L'=L[/math]), а каждой точке [math]X[/math], не лежащей на прямой [math]l[/math], ставится в соответствие ее проекция [math]X_l[/math] на прямую [math]l[/math] вдоль прямой [math]m[/math] (рис.2.23,б).


Это преобразование является линейным, но не является аффинным. В самом деле, выберем аффинную систему координат [math]O\vec{e}_1\vec{e}_2[/math] так, чтобы ее начало совпадало с точкой [math]O[/math] пересечения прямых [math]m[/math] и [math]l[/math], а векторы [math]\vec{e}_1[/math] и [math]\vec{e}_2[/math] принадлежали прямым [math]l[/math] и [math]m[/math] соответственно. Найдем матрицу [math]A[/math] преобразования, записывая по столбцам координаты образов базисных векторов. Поскольку [math]\vec{e}\,'_1=\vec{e}_1=1\cdot\vec{e}_1+0\cdot\vec{e}_2[/math] и [math]\vec{e}\,'_2=\vec{o}=0\cdot\vec{e}_1+0\cdot\vec{e}_1[/math], то [math]A=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}[/math]. Как видим, матрица [math]A[/math] преобразования вырожденная, поэтому преобразование не является аффинным, но является линейным (см. пункт 2 замечаний 2.5).


Проекция плоскости на прямую параллельно пересекающей её прямой

6. Инверсией плоскости относительно окружности радиуса [math]R[/math] с центром в точке [math]O[/math] называется преобразование плоскости, при котором точки, принадлежащие данной окружности, остаются неподвижными (преобразуются в себя), а каждой точке [math]X[/math], отличной от [math]O[/math], ставится в соответствие такая точка [math]X'[/math], что [math]\overrightarrow{OX'}=\frac{R^2}{\vert\overrightarrow{OX}\vert^2}\cdot\overrightarrow{OX}[/math] (рис.2.24), т.е. радиус-векторы [math]\overrightarrow{OX'}[/math] и [math]\overrightarrow{OX}[/math] образа и прообраза коллинеарны, а произведение их длин равно квадрату радиуса окружности (при [math]R=1[/math] длины радиус-векторов взаимно обратные: [math]\vert\overrightarrow{OX'}\vert=\frac{1}{\vert\overrightarrow{OX}\vert}[/math]). Для взаимной однозначности преобразования предполагают, что точка О отображается в некоторую "бесконечно удаленную точку" плоскости. Преобразование инверсии называется также зеркальным отражением в окружности.


Инверсия плоскости относительно окружности радиуса R

Это преобразование не является линейным (и, следовательно, аффинным). В самом деле, выберем прямоугольную систему координат [math]O\vec{i}\vec{j}[/math] , начало которой совпадает с центром данной окружности. Выразим прямоугольные координаты [math]x',y'[/math] образа [math]X'[/math] через координаты [math]x,y[/math] прообраза [math]X[/math]. Записывая равенство [math]\overrightarrow{OX'}=\frac{R^2}{\vert\overrightarrow{OX}\vert^2}\cdot\overrightarrow{OX}[/math] в \ох\ координатной форме, получаем:


[math]\begin{cases}x'=\dfrac{x\cdot R^2}{x^2+y^2},\\[10pt]y'=\dfrac{y\cdot R^2}{x^2+y^2},\end{cases}[/math] что отличается от (2.11), так как зависимость нелинейная.



Замечания 2.6

Поворот плоскости на угол вокруг начала системы координат

1. Справедливо утверждение: любое аффинное преобразование плоскости можно представить в виде композиции, движения и двух сжатий (во взаимно перпендикулярных направлениях).


2. В пункте 3 замечаний 2.4 показано, что изменение координат точки будет одно и то же, подвергаем ли мы плоскость аффинному преобразованию, оставляя систему координат неизменной, или же оставляем плоскость неизменной, подвергая систему координат обратному преобразованию. Например, при повороте плоскости на угол [math]\varphi[/math] вокруг начала системы координат [math]O\vec{i}\vec{j}[/math] (рис.2.25,а) координаты точек меняются так же, как при повороте системы координат [math]O\vec{i}\vec{j}[/math] на угол, равный [math](-\varphi)[/math], т.е. при переходе к системе координат [math]O\vec{i}\,'\vec{j}\,'[/math] (рис.2.25,б).




Пример 2.8. Пусть на плоскости задана окружность. В результате прямого сжатия плоскости к прямой [math]l[/math] с коэффициентом [math]0\leqslant\lambda\leqslant1[/math] в направлении, перпендикулярном [math]l[/math] (рис.2.26,а), окружность преобразуется в кривую, называемую эллипсом, а центр окружности — в центр эллипса- При этом образом каждого диаметра окружности служит диаметр эллипса, т.е. хорда, проходящая через центр эллипса.


Доказать, что:


а) для любого данного диаметра [math]A'B'[/math] эллипса существует единственный диаметр [math]A'_1B'_1[/math], который делит пополам все хорды, параллельные данному диаметру;

б) существуют два взаимно перпендикулярных диаметра эллипса, называемых его главными осями.


Преобразование окружности в эллипс

Решение. Для решения задачи используем два свойства аффинного преобразования: параллельные отрезки отображаются в параллельные отрезки (что следует из свойства 2); середина отрезка отображается в середину образа этого отрезка (см. свойство 3).


а) Сформулированное в пункте "а" свойство диаметров очевидно для окружности (рис.2.26,а), поскольку диаметр окружности, перпендикулярный хорде, делит ее пополам.


Рассмотрим эллипс (рис.2.26,б) как образ окружности при сжатии плоскости к прямой [math]l[/math], проходящей через центр [math]O[/math] окружности. Сжатие происходит вдоль прямой [math]m[/math], перпендикулярной [math]l[/math], при этом точка [math]O[/math] остается неподвижной. Пусть [math]A'B'[/math] — диаметр эллипса (центр [math]O[/math] эллипса — середина [math]A'B'[/math]), а [math]AB[/math] — его прообраз, который является диаметром окружности (поскольку центр [math]O[/math] окружности — середина [math]AB[/math]). Рассмотрим хорды окружности, параллельные диаметру [math]AB[/math]. Геометрическим местом середин этих хорд является диаметр [math]A_1B_1[/math] окружности (рис.2.26,а), поскольку диаметр окружности, перпендикулярный хорде, делит ее пополам. При сжатии параллельные хорды окружности преобразуются в параллельные хорды эллипса, а диаметр [math]A_1B_1[/math] окружности преобразуется в диаметр [math]A'_1B'_1[/math] эллипса. Поскольку середина любого отрезка при аффинном преобразовании переходит в середину образа этого отрезка, то диаметр [math]A'_1B'_1[/math] будет делить пополам все хорды эллипса, параллельные диаметру [math]A'B'[/math]. Существование диаметра с указанными свойствами доказано. Единственность следует из единственности перпендикулярного к [math]AB[/math] диаметра [math]A_1B_1[/math] окружности. Конечно, перпендикулярность диаметров [math]AB[/math] и [math]A_1B_1[/math] окружности, вообще говоря, не сохраняется для диаметров [math]A'B'[/math] и [math]A'_1B'_1[/math] эллипса, так как при сжатии плоскости углы, в общем случае, изменяются. Аналогично можно показать, что для данного диаметра [math]A'_1B'_1[/math] существует единственный диаметр [math]A'B'[/math], который делит пополам все хорды, параллельные [math]A'_1B'_1[/math]. Два диаметра, каждый из которых делит пополам хорды, параллельные другому диаметру, называются сопряженными. В данном случае сопряженными являются диаметры [math]A'B'[/math] и [math]A'_1B'_1[/math]. Заметим, что описанное свойство очевидно для взаимно перпендикулярных диаметров окружности: любые два взаимно перпендикулярных диаметра окружности являются сопряженными, например [math]AB[/math] и [math]A_1B_1[/math].


б) Выберем диаметр [math]A'B'[/math] эллипса, перпендикулярный прямой [math]l[/math] (рис.2.26,в). Этот диаметр является образом диаметра [math]AB[/math] окружности, который также перпендикулярен прямой [math]l[/math]. Диаметр [math]A_1B_1[/math] окружности, перпендикулярный, а значит, сопряженный (см. пункт "а"), диаметру [math]AB[/math], лежит на прямой [math]l[/math]. Поскольку все точки прямой [math]l[/math] при сжатии к ней отображаются в себя, то диаметр [math]A_1B_1[/math] окружности является также диаметром эллипса (см. пункт "а"), сопряженным для [math]A'B'[/math]. Таким образом, диаметры [math]A'B'[/math] и [math]A_1B_1[/math] эллипса взаимно перпендикулярны.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved