Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Применение булевых функций к релейно-контактным схемам

Применение булевых функций к релейно-контактным схемам


Булевы функции широко применяются при описании работы дискретных управляющих систем (контактных схем, схем из функциональных элементов, логических сетей и т.д.), при исследовании некоторых электрических цепей, так называемых релейно-контактных схем.


Идея применения. Под релейно-контактной схемой понимается Устройство из проводников и двухпозиционных контактов. Оно может быть предназначено, например, для соединения (или разъединения) полюсов источника тока с некоторым потребителем. Контакты релейно-контактной схемы могут быть двух типов: замыкающие и размыкающие. Каждый контакт подключен к некоторому реле (переключателю). К одному реле может быть подключено несколько контактов — как замыкающих, так и размыкающих. Технически реле представляет собой катушку с металлическим сердечником (магнитопроводом), вблизи которого находится соответствующий контакт.


Когда через катушку пропускается электрический ток, металлический сердечник намагничивается и замыкает все находящиеся при нем замыкающие контакты. Одновременно все размыкающие контакты, относящиеся к данному реле, размыкаются. Поскольку замыкающие контакты при отсутствии в реле электрического тока разомкнуты, то они называются также нормально разомкнутыми. Аналогично, размыкающие контакты называются также нормально замкнутыми. При обесточивании обмоток реле (т.е. когда реле отключается) все замыкающие контакты снова размыкаются, а все размыкающие, замыкаются.


Каждому реле ставится в соответствие своя булева переменная [math]x_1[/math] или [math]x_2,\ldots[/math], или [math]x_n[/math], которая принимает значение 1, когда реле срабатывает, и принимает значение 0 при отключении реле. На чертеже все замыкающие контакты, подключенные к реле [math]x[/math], обозначаются тем же символом [math]x[/math], а все размыкающие контакты, подключенные к этому реле, обозначаются отрицанием [math]x'[/math]. Это означает, что при срабатывании реле [math]x[/math] все его замыкающие контакты х проводят ток и им сопоставляется значение 1, а все размыкающие контакты [math]x'[/math] не проводят электрический ток и им сопоставляется значение 0. При отключенном реле [math]x[/math] создается противоположная ситуация: все его замыкающие контакты [math]x[/math] разомкнуты, т. е. в этот момент им сопоставляется (переменная [math]x[/math] принимает) значение 0, а все его размыкающие контакты [math]x'[/math] замкнуты, т. е. в этот момент им сопоставляется (другими словами, переменная [math]x'[/math] принимает) значение 1.


Всей релейно-контактной схеме тогда ставится в соответствие булева переменная [math]y[/math], зависящая от булевых переменных [math]x_1,x_2,\ldots,x_n[/math], сопоставленным тем реле, которые участвуют в схеме. Если при данном наборе состояний реле [math]x_1,x_2,\ldots,x_n[/math] (некоторые из этих реле находятся в рабочем состоянии под током, остальные отключены, т.е. "обесточены") вся релейно-контактная схема проводит электрический ток, то переменной [math]y[/math] ставится в соответствие (другими словами, переменная [math]y[/math] принимает) значение 1. Если же при этом наборе состояний реле [math]x_1,x_2,\ldots,x_n[/math] схема не проводит электрический ток, то считаем, что переменная у принимает значение 0. Поскольку каждый набор состояний реле [math]x_1,x_2,\ldots,x_n[/math] характеризуется набором, составленным из нулей и единиц и имеющим длину [math]n[/math], то данная релейно-контактная схема определяет некоторое правило, по которому каждому такому набору длины [math]n[/math], составленному из нулей и единиц, сопоставляется либо 0, либо 1. Таким образом, каждая релейно-контактная схема, в которой занято [math]n[/math] независимых реле (контактов в ней может быть [math]n[/math] или больше), определяет некоторую булеву функцию [math]y[/math] от [math]n[/math] аргументов. Она принимает значение 1 на тех и только тех наборах значений аргументов [math]x_1,x_2,\ldots,x_n[/math], которые соответствуют тем состояниям реле [math]x_1,x_2,\ldots,x_n[/math], при которых данная схема проводит электрический ток. Такая булева функция [math]y=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)[/math] называется функцией проводимости данной релейно-контактной схемы.


Таким образом, теория булевых функций предоставляет математические модели реальных физических релейно-контактных схем.


Рассмотрим некоторые релейно-контактные схемы и найдем их функции проводимости. Первая схема состоит из двух последовательно соединенных контактов [math]x[/math] и [math]y[/math], т. е. контактов, связанных с двумя независимыми реле [math]x[/math] и [math]y[/math], каждое из которых срабатывает независимо от другого:




Ясно, что данная схема проводит электрический ток тогда и только тогда, когда оба контакта [math]x[/math] и [math]y[/math] замкнуты, т. е. только тогда, когда оба переменных [math]x[/math] и [math]y[/math] принимают значение 1. Булева функция от двух аргументов [math]x,y[/math], удовлетворяющая такому условию, нам хорошо известна. Это конъюнкция [math]x\cdot y[/math]. Таким образом, функцией проводимости релейно-контактной схемы, состоящей из двух последовательно соединенных контактов [math]x[/math] и [math]y[/math], является конъюнкция [math]x\cdot y[/math]. Говорят, что последовательное соединение двух контактов реализует конъюнкцию соответствующих этим контактам булевых переменных.


Вторая релейно-контактная схема состоит из двух параллельно соединенных контактов [math]x[/math] и [math]y:[/math]




Ясно, что эта схема проводит электрический ток в том и только в том случае, когда по меньшей мере один из контактов ([math]x[/math] или [math]y[/math]) замкнут, т.е. лишь в случае, когда хотя бы одна из булевых переменных ([math]x[/math] или [math]y[/math]) принимает значение 1. Булева функция от двух аргументов [math]x[/math] и [math]y[/math], удовлетворяющая этому условию, также хорошо нам известна. Это, дизъюнкция [math]x\lor y[/math]. Таким образом, функцией проводимости релейно-контактной схемы, состоящей из двух параллельно соединенных контактов [math]x[/math] и [math]y[/math], является дизъюнкция [math]x\lor y[/math]. Говорят, что параллельное соединение двух контактов реализует дизъюнкцию соответствующих этим контактам булевых переменных.


Итак, с помощью релейно-контактных схем можно реализовывать булевы функции: конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание. Возможна ли аналогичная реализация и других булевых функций? Ответ на поставленный вопрос позволяет дать теорема 10.5. Поскольку всякая булева функция на основании этой теоремы может быть выражена через конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание, причем отрицание стоит лишь непосредственно около переменных и не стоит ни около каких внутренних скобок, а конъюнкция, дизъюнкция и отрицание, как показано только что, реализуются на релейно-контактных схемах, то и всякая булева функция может быть реализована с помощью релейно-контактной схемы, т. е. может быть построена такая схема, для которой данная булева функция служит функцией проводимости.


Реализуем, например, в виде релейно-контактных схем булевы функции — импликацию и эквивалентность. Для этого выразим их через конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание. Такие выражения известны (см. теорему 9.5):


[math]x\to y=x'\lor y,\quad x\leftrightarrow y=(x\to y)\cdot (y\to x)= (x'\lor y)\cdot (y'\lor x).[/math]

Предлагается самостоятельно нарисовать схему, реализующую функцию [math]x\to y[/math]. Релейно-контактная схема, реализующая функцию [math]x\leftrightarrow y[/math], будет состоять из двух последовательно соединенных ветвей, первая из которых реализует булеву функцию [math]x'\lor y[/math], а вторая — булеву функцию [math]y'\lor x[/math]. В свою очередь, первая из ветвей будет состоять из двух параллельных участков, один из которых содержит контакт [math]x'[/math], а второй — контакт [math]y[/math]. Аналогично, вторая ветвь также будет состоять из двух параллельных участков, один из которых содержит контакт [math]x[/math], а другой — контакт [math]y'[/math]. Изображаем полученную релейно-контактную схему (чтобы упростить рисунки, не будем изображать сами контакты, а ограничимся символом булевой переменной, соответствующей данному контакту):






Две основные задачи теории релейно-контактных схем


Составление релейно-контактных схем с заданными условиями работы называется задачей синтеза релейно-контактных схем и является первой важной задачей, состоящей в том, что требуется построить схему, которая проводила бы электрический ток лишь при вполне определенных задаваемых условиях.


Естественно было бы выбирать для каждой булевой функции самую простую или одну из самых простых реализующих ее релейно-контактных схем. Поэтому упрощение релейно-контактных схем называется задачей анализа таких схем и является второй важной задачей теории релейно-контактных схем. Две релейно-контактные схемы, составленные из одних и тех же реле, называются равносильными, если одна из них проводит ток тогда и только тогда, когда другая схема проводит ток. Другими словами, две схемы, составленные из одних и тех же реле, равносильны, если они обладают одинаковыми функциями проводимости, зависящими от одних и тех же переменных. Из двух равносильных схем более простой считается та, которая содержит меньшее число контактов. Задача упрощения релейно-контактной схемы состоит в нахождении более простой равносильной ей схемы. Обычно она решается следующим образом. Для данной релейно-контактной схемы записывается ее функция проводимости. Затем эта функция с помощью тождественных преобразований, использующих известные свойства булевых функций, упрощается, т.е. сводится к функции, имеющей меньшее число вхождений переменных, нежели исходная функция. Наконец строится релейно-контактная схема, отвечающая упрощенной булевой функции.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved