Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур

Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур


В данном разделе рассматривается применение векторной алгебры для решения задач аффинной геометрии. В этих задачах, как правило, требуется искать отношения длин отрезков, площадей фигур или объемов тел. Наряду со свободными векторами будем использовать радиус-векторы, т.е. векторы, приложенные к одной (произвольной) точке [math]O[/math] пространства.


Линейные и неотрицательные комбинации радиус-векторов


Множество линейных комбинаций радиус-вектора [math]\overrightarrow{OA}[/math] называется его линейной оболочкой и обозначается


[math]\operatorname{Lin}\bigl(\overrightarrow{OA}\bigl)\,=\Bigl\{\overrightarrow{OM}\colon\overrightarrow{OM}=\alpha\cdot\overrightarrow{OA};~\alpha\in\mathbb{R}\Bigr\}[/math]

Линейная оболочка [math]\operatorname{Lin}\bigl(\overrightarrow{OA}\bigl)[/math] ненулевого радиус-вектора [math]\overrightarrow{OA}[/math] представляет собой множество радиус-векторов, концы которых принадлежат прямой [math]OA[/math] (рис.1.50,а).


В самом деле, ненулевой вектор [math]\overrightarrow{OA}[/math] образует базис на прямой [math]OA[/math]. Поэтому вектор [math]\overrightarrow{OM}[/math] можно разложить по этому базису, т.е. представить в виде [math]\overrightarrow{OM}= \alpha\cdot \overrightarrow{OA}[/math], где [math]\alpha[/math] — координата вектора [math]\overrightarrow{OM}[/math].


Линейная комбинация [math]\alpha\cdot\overrightarrow{OA}[/math] радиус-вектора [math]\overrightarrow{OA}[/math] называется неотрицательной, если ее коэффициент — неотрицательное число: [math]\alpha\geqslant0[/math]. Множество неотрицательных линейных комбинаций вектора [math]\overrightarrow{OA}[/math] называется его конической оболочкой и обозначается:


[math]\operatorname{Con}\bigl(\overrightarrow{OA}\bigl)\,=\Bigl\{\overrightarrow{OM}\colon\overrightarrow{OM}=\alpha\cdot\overrightarrow{OA};~\alpha\geqslant0,~\alpha\in\mathbb{R}\Bigr\}[/math]

Коническая оболочка [math]\operatorname{Con}\bigl(\overrightarrow{OA}\bigl)[/math] ненулевого радиус-вектора [math]\overrightarrow{OA}[/math] представляет собой множество всех радиус-векторов, концы которых принадлежат лучу [math]OA[/math] (рис. 1.50,6). Действительно, учитывая, что неотрицательная комбинация является линейной, приходим к равенству [math]\overrightarrow{OM}= \alpha\cdot \overrightarrow{OA}[/math], где [math]\alpha\geqslant0[/math]. При [math]\alpha>0[/math] векторы [math]\overrightarrow{OM}[/math] и [math]\overrightarrow{OA}[/math] одинаково направлены, т.е. точка [math]M[/math] принадлежит лучу [math]OA[/math]. Если [math]\alpha=0[/math], радиус-вектор [math]\overrightarrow{OM}[/math] нулевой, т.е. точка [math]M[/math] совпадает с точкой [math]O[/math] (с началом луча [math]OA[/math]).


Множество линейных комбинаций радиус-векторов [math]\overrightarrow{OA}[/math] и [math]OB[/math] называется их линейной оболочкой и обозначается


[math]\operatorname{Lin}\bigl(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\bigl)\,=\Bigl\{\overrightarrow{OM}\colon\overrightarrow{OM}=\alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB};~\alpha\in\mathbb{R},~\beta\in\mathbb{R}\Bigr\}.[/math]

Покажем, что линейная оболочка [math]\operatorname{Lin}\bigl(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\bigl)[/math] двух неколлинеарных радиус-векторов представляет собой множество таких радиус-векторов, концы которых (и сами векторы) принадлежат плоскости, проходящей через точки [math]O,A,B[/math] (рис.1.51,а).


Действительно, неколлинеарные векторы [math]\overrightarrow{OA}[/math] и [math]\overrightarrow{OB}[/math] образуют базис на плоскости, проходящей через точки [math]O,A,B[/math]. Поэтому для любой точки [math]M[/math] этой плоскости радиус-вектор [math]\overrightarrow{OM}[/math] можно разложить по базису, т.е. представить в виде [math]\overrightarrow{OM}=\alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB}[/math], где [math]\alpha,\beta[/math] — координаты вектора [math]\overrightarrow{OM}[/math]. И наоборот, для любых чисел [math]\alpha,\beta[/math] радиус-вектор [math]\overrightarrow{OM}=\alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB}[/math], а следовательно, и точка [math]M[/math], принадлежат указанной плоскости.


Если векторы [math]\overrightarrow{OA}[/math] и [math]\overrightarrow{OB}[/math] коллинеарны, то любая их линейная комбинация принадлежит прямой [math]AB[/math] (рис.1.51,б).


Линейная комбинация [math]\alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB}[/math] радиус-векторов [math]\overrightarrow{OA}[/math] и [math]\overrightarrow{OB}[/math] называется неотрицательной, если ее коэффициенты — неотрицательные числа: [math]\alpha\geqslant0,\beta\geqslant0[/math]. Множество неотрицательных линейных комбинаций векторов [math]\overrightarrow{OA}[/math] и [math]\overrightarrow{OB}[/math] называется их конической оболочкой и обозначается:


[math]\operatorname{Con}\bigl(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\bigl)\,=\Bigl\{\overrightarrow{OM}\colon\overrightarrow{OM}=\alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB};~\alpha\geqslant0,~\beta\geqslant0,~\alpha\in\mathbb{R},~\beta\in\mathbb{R}\Bigr\}.[/math]

Коническая оболочка [math]\operatorname{Con}\bigl(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\bigl)[/math] представляет собой множество всех радиус-векторов, концы которых принадлежат плоскому углу [math]AOB[/math] (заштрихованное множество на рис. 1.51,в).


Множество линейных комбинаций радиус-векторов [math]\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}[/math] называется их линейной оболочкой и обозначается


[math]\operatorname{Lin}\bigl(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}\bigl)\,=\Bigl\{\overrightarrow{OM}\colon\overrightarrow{OM}=\alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB}+\gamma\cdot\overrightarrow{OC}; \alpha\in\mathbb{R},~\beta\in\mathbb{R},~\gamma\in\mathbb{R}\Bigr\}.[/math]

Любой радиус-вектор [math]\overrightarrow{OM}[/math] принадлежит линейной оболочке [math]\operatorname{Lin}\bigl(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}\bigl)[/math] трех некомпланарных радиус-векторов [math]\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}[/math]. В самом деле, векторы [math]\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}[/math] (рис.1.52,а) образуют базис в пространстве. Поэтому любой радиус- вектор [math]\overrightarrow{OM}[/math] можно разложить по этому базису, т.е. представить в виде [math]\overrightarrow{OM}=\alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB}+\gamma\cdot\overrightarrow{OC}[/math], где [math]\alpha,\beta,\gamma[/math] — координаты вектора [math]\overrightarrow{OM}[/math].


Линейная комбинация [math]\alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB}+\gamma\cdot\overrightarrow{OC}[/math] радиус-векторов [math]\overrightarrow{OA}[/math], [math]\overrightarrow{OB}[/math], [math]{ \overrightarrow{OC}}[/math] называется неотрицательной, если ее коэффициенты – неотрицательные числа: [math]\alpha\geqslant0,\beta\geqslant0,\gamma\geqslant0[/math]. Множество неотрицательных линейных комбинаций векторов [math]\overrightarrow{OA}[/math], [math]\overrightarrow{OB}[/math], [math]{ \overrightarrow{OC}}[/math] называется их конической оболочкой и обозначается:


[math]\operatorname{Con}\bigl(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}\bigl)\,=\Bigl\{\overrightarrow{OM}\colon\overrightarrow{OM}=\alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB}+\gamma\cdot\overrightarrow{OC};~\alpha\geqslant0,\beta\geqslant0,\gamma\geqslant0,~\alpha\in\mathbb{R},~\beta\in\mathbb{R},~\gamma\in\mathbb{R}\Bigr\}.[/math]

Коническая оболочка [math]\operatorname{Con}\bigl(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}\bigl)[/math] трех некомпланарных векторов представляет собой множество всех радиус-векторов, концы которых принадлежат трехгранному углу [math]OABC[/math] (рис. 1.52,б).


Понятия линейной или неотрицательной комбинаций векторов распространяются на любое конечное число векторов.


Векторы [math]\overrightarrow{OA_1},\overrightarrow{OA_2},\ldots,\overrightarrow{OA_k}[/math] называются образующими линейной оболочки [math]\operatorname{Lin}\bigl(\overrightarrow{OA_1},\overrightarrow{OA_2},\ldots,\overrightarrow{OA_k}\bigl)[/math] и, соответственно, конической оболочки [math]\operatorname{Con}\bigl(\overrightarrow{OA_1},\overrightarrow{OA_2},\ldots,\overrightarrow{OA_k}\bigl)[/math].




Аффинные и выпуклые комбинации радиус-векторов


Линейная комбинация [math]\alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB}[/math] радиус-векторов [math]\overrightarrow{OA}[/math] и [math]\overrightarrow{OB}[/math] называется аффинной, если сумма ее коэффициентов равна единице: [math]\alpha+\beta=1[/math]. Множество аффинных комбинаций векторов [math]\overrightarrow{OA}[/math] и [math]\overrightarrow{OB}[/math] называется их аффинной оболочкой и обозначается:


[math]\operatorname{Aff}\bigl(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\bigl)\,=\Bigl\{\overrightarrow{OM}\colon\overrightarrow{OM}=\alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB};~\alpha+\beta=1~\alpha\in\mathbb{R},~\beta\in\mathbb{R}\Bigr\}.[/math]

Покажем, что аффинная оболочка [math]\operatorname{Aff}\bigl(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\bigl)[/math] представляет собой множество всех радиус-векторов, концы которых принадлежат прямой [math]AB[/math]. Действительно, равенство [math]\overrightarrow{OM}=\alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB}[/math] при [math]\alpha+\beta=1[/math] можно представить в виде [math]\overrightarrow{OM}=(1-\beta)\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\bigl(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\bigl)[/math]. Отсюда следует, что [math]\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OA}=\beta\cdot\overrightarrow{AB}[/math], т.е. векторы [math]\overrightarrow{AM}[/math] и [math]\overrightarrow{AB}[/math] коллинеарны (рис.1.53,а). Следовательно, точка [math]M[/math] принадлежит прямой [math]AB[/math]. Проводя рассуждения в обратном порядке, заключаем, что для любой точки [math]M[/math], принадлежащей прямой [math]AB[/math], найдутся такие числа [math]\alpha[/math] и [math]\beta[/math], что


[math]\overrightarrow{OM}= \alpha\cdot \overrightarrow{OA}+ \beta\cdot \overrightarrow{OB}[/math] и [math]\alpha+\beta=1[/math].

Линейная комбинация [math]\alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB}[/math] радиус-векторов [math]\overrightarrow{OA}[/math] и [math]\overrightarrow{OB}[/math] называется выпуклой, если все ее коэффициенты — неотрицательные числа, а их сумма равна единице: [math]\alpha+\beta=1,\alpha\geqslant0,\beta\geqslant0[/math]. Множество выпуклых комбинаций векторов [math]\overrightarrow{OA}[/math] и [math]\overrightarrow{OB}[/math] называется их выпуклой оболочкой и обозначается:


[math]\operatorname{Conv}\bigl(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\bigl)\,=\Bigl\{\overrightarrow{OM}\colon\overrightarrow{OM}=\alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB};~\alpha+\beta=1,~\alpha\geqslant0,\beta\geqslant0,~\alpha\in\mathbb{R},~\beta\in\mathbb{R}\Bigr\}.[/math]

Покажем, что выпуклая оболочка [math]\operatorname{Conv}\bigl(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\bigl)[/math] представляет собой множество всех радиус-векторов, концы которых принадлежат отрезку [math]AB[/math] (рис.1.53,б). Действительно, учитывая, что выпуклая комбинация является аффинной, приходим к равенству [math]\overrightarrow{AM}=\beta\cdot\overrightarrow{AB}[/math], где [math]0\leqslant\beta\leqslant1[/math]. Это равенство означает, что точка [math]M[/math] принадлежит отрезку [math]AB[/math] (включая его концы: [math]M[/math] совпадает с точкой [math]B[/math] при [math]\beta=1[/math] и с точкой [math]A[/math] при [math]\beta=0[/math]). Поскольку [math]\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}-\beta\cdot\overrightarrow{AB}=(1-\beta)\cdot\overrightarrow{AB}=\alpha\cdot\overrightarrow{AB}[/math], то [math]\frac{\overrightarrow{AM}}{\overrightarrow{MB}}=\frac{\beta\cdot\overrightarrow{AB}}{\alpha\cdot\overrightarrow{AB}}=\frac{\beta}{\alpha}[/math]. При этом говорят, что точка [math]M[/math] делит отрезок [math]AB[/math] в отношении [math]AM:MB=\beta:\alpha~(\alpha>0,\beta>0,\alpha+\beta=1)[/math].


Рассмотрим аффинные и выпуклые комбинации трех радиус-векторов.


Линейная комбинация [math]\alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB}+\gamma\cdot\overrightarrow{OC}[/math] радиус-векторов [math]\overrightarrow{OC},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}[/math] называется аффинной, если сумма ее коэффициентов равна единице: [math]\alpha+\beta+\gamma=1[/math]. Множество аффинных комбинаций векторов [math]{ \overrightarrow{OC}}[/math], [math]\overrightarrow{OB}[/math], [math]{ \overrightarrow{OC}}[/math] называется их аффинной оболочкой и обозначается:


[math]\operatorname{Aff}\bigl(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}\bigl)\,=\Bigl\{\overrightarrow{OM}\colon\overrightarrow{OM}=\alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB}+\gamma\cdot\overrightarrow{OC};~\alpha+\beta+\gamma=1,~\alpha\in\mathbb{R},~\beta\in\mathbb{R},~\gamma\in\mathbb{R}\Bigr\}.[/math]

Покажем, что аффинная оболочка [math]\operatorname{Aff}\bigl(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}\bigl)[/math] представляет собой множество всех радиус-векторов, концы которых принадлежат плоскости, проходящей через точки [math]A,B,C[/math] (рис. 1.54,а). Действительно, исключая в равенстве [math]\overrightarrow{OM}=\alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB}+\gamma\cdot\overrightarrow{OC}[/math] коэффициент [math]\alpha=1-\beta-\gamma[/math], получаем


[math]\overrightarrow{OM}=(1-\beta-\gamma)\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB}+\gamma\cdot\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\bigl(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\bigl)\,+\gamma\cdot\bigl(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}\bigl)[/math]

Отсюда следует, что [math]\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OA}=\beta\cdot\bigl(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}\bigl)\,+\gamma\cdot\beta\cdot\bigl(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}\bigl)[/math], т.е. [math]\overrightarrow{AM}=\beta\cdot\overrightarrow{AB}+\gamma\cdot\overrightarrow{AC}[/math]. Если векторы [math]\overrightarrow{AB}[/math], [math]\overrightarrow{AC}[/math] коллинеарны (точки [math]A,B,C[/math] принадлежат одной прямой), то и точка [math]M[/math] принадлежит той же прямой, а также любой плоскости, проходящей через точки [math]A,B,C[/math]. Если же векторы [math]\overrightarrow{AB}[/math], [math]\overrightarrow{AC}[/math] не коллинеарные (точки [math]A,B,C[/math] не принадлежат одной прямой), то точка [math]M[/math] принадлежит плоскости, проходящей через точки [math]A,B,C[/math], так как вектор [math]\overrightarrow{AM}[/math] разлагается по векторам [math]\overrightarrow{AB}[/math], [math]\overrightarrow{AC}[/math], принадлежащим этой плоскости.


Проводя рассуждения в обратном порядке, приходим к выводу, что для любой точки [math]M[/math], принадлежащей плоскости, проходящей через точки [math]A,B,C[/math], найдутся числа [math]\alpha,\beta,\gamma[/math] такие, что


[math]\overrightarrow{OM}=\alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB}+\gamma\cdot\overrightarrow{OC},~\alpha+\beta+\gamma=1.[/math]

Линейная комбинация а [math]\alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB}+\gamma\cdot\overrightarrow{OC}[/math] радиус-векторов [math]\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}[/math] называется выпуклой, если все ее коэффициенты – неотрицательные числа, а их сумма равна единице: [math]\alpha+\beta+\gamma=1[/math]. Множество выпуклых комбинаций векторов [math]\overrightarrow{OA}[/math], [math]\overrightarrow{OB}[/math], [math]{ \overrightarrow{OC}}[/math] называется их выпуклой оболочкой и обозначается:


[math]\operatorname{Conv}\bigl(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}\bigl)\,=\Bigl\{\overrightarrow{OM}\colon\overrightarrow{OM}=\alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB}+\gamma\cdot\overrightarrow{OC};~\alpha+\beta+\gamma=1,~\alpha\geqslant0,\beta\geqslant0,\gamma\geqslant0\}.[/math]

Покажем, что выпуклая оболочка [math]\operatorname{Conv}\bigl(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}\bigl)[/math] представляет собой множество всех радиус-векторов, концы которых принадлежат плоскому треугольнику [math]ABC[/math] (предполагаем, что точки [math]A,B,C[/math] не лежат на одной прямой). Действительно, если [math]\gamma>1[/math], то [math]\alpha=0,\beta=0[/math] и


[math]\overrightarrow{OM}=\alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB}+\gamma\cdot\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OC},[/math]

т.е. точка [math]M[/math] совпадает с вершиной [math]C[/math] треугольника [math]ABC[/math]. Пусть [math]0\leqslant \gamma \leqslant1[/math], тогда [math]\alpha+ \beta= 1-\gamma[/math] и


[math]\overrightarrow{OM}=\alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB}+\gamma\cdot\overrightarrow{OC}=(1-\gamma)\cdot\left(\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\cdot\overrightarrow{OA}+\frac{\beta}{\alpha+\beta}\cdot\overrightarrow{OB}\right)+\gamma\cdot\overrightarrow{OB}=(1-\gamma)\cdot\overrightarrow{ON}+\gamma\cdot\overrightarrow{OC}.[/math]

Здесь [math]\overrightarrow{ON}=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\cdot\overrightarrow{OA}+\frac{\beta}{\alpha+\beta}\cdot\overrightarrow{OB}[/math] — выпуклая комбинация векторов [math]\overrightarrow{OA}[/math] и [math]\overrightarrow{OB}[/math], поскольку ее коэффициенты — неотрицательные числа, а их сумма равна единице. Следовательно, точка [math]N[/math] принадлежит стороне [math]AB[/math] треугольника [math]ABC[/math] и делит ее в отношении [math]AN:NB=\beta:\alpha[/math] (рис. 1.54,6). В свою очередь, точка [math]M[/math] принадлежит отрезку [math]CN[/math], так как [math]\overrightarrow{OM}=(1-\gamma)\cdot\overrightarrow{ON}+\gamma\cdot\overrightarrow{OC}[/math] — выпуклая оболочка векторов [math]\overrightarrow{ON}[/math] и [math]{ \overrightarrow{OC}}[/math]. Поэтому точка [math]M[/math] принадлежит плоскому треугольнику [math]ABC[/math] (включая его внутренность). Заметим, что точка [math]M[/math] делит отрезок [math]CN[/math] в отношении [math]MN:CM=\gamma:(1-\gamma)[/math]. Тогда [math]MN-\gamma\cdot MN=\gamma\cdot CM[/math] , т.е. [math]MN=\gamma\cdot(CM+MN)=\gamma\cdot CN[/math]. Отсюда [math]CN:MN=1:\gamma[/math]. Это отношение равно отношению площадей треугольников [math]ABC[/math] и [math]MAB[/math] (поскольку у них общее основание [math]AB[/math], а высоты, опущенные на это основание относятся как [math]CM:MN[/math]). Следовательно, [math]CN:MN=1:\gamma=S_{ABC}:S_{MAB}[/math]. Аналогично можно показать, что [math]1:\alpha=S_{ABC}:S_{MBC}[/math] и [math]1:\beta=S_{ABC}:S_{MCA}[/math]. Таким образом, коэффициенты [math]\alpha,\beta,\gamma[/math] выпуклой комбинации равны отношениям площадей соответствующих треугольников:


[math]\alpha=\frac{S_{MBC}}{S_{ABC}};~~~\beta=\frac{S_{MCA}}{S_{ABC}};~~~\gamma=\frac{S_{MAB}}{S_{ABC}}.[/math]

Говорят, что точка [math]M[/math] "делит" площадь треугольника [math]ABC[/math] в отношении [math]S_{MBC}:S_{MCA}:S_{MAB}=\alpha:\beta:\gamma[/math].


Понятия аффинной и выпуклой комбинаций векторов распространяются на любое конечное число векторов.


Векторы [math]\overrightarrow{OA_1},\overrightarrow{OA_2},\ldots,\overrightarrow{OA_k}[/math] называются образующими аффинной оболочки [math]\operatorname{Aff}\bigl(\overrightarrow{OA_1},\overrightarrow{OA_2},\ldots,\overrightarrow{OA_k}\bigl)[/math] и, соответственно, выпуклой оболочки [math]\operatorname{Conv}\bigl(\overrightarrow{OA_1},\overrightarrow{OA_2},\ldots,\overrightarrow{OA_k}\bigl)[/math].




Свойства аффинных и выпуклых комбинаций радиус-векторов


Сформулируем полученные результаты в виде свойств.


1. Точка [math]M[/math], удовлетворяющая равенству


[math]\overrightarrow{OM}=t\cdot\overrightarrow{OA}+(1-t)\cdot \overrightarrow{OB},\quad t\in\mathbb{R}\,,[/math]
(1.22)

принадлежит прямой [math]AB[/math], и наоборот, для любой точки [math]M[/math], принадлежащей прямой [math]M[/math], найдется единственное действительное значение параметра [math]t[/math], при котором справедливо разложение (1.22). Другими словами: геометрическим местом точек [math]M[/math], удовлетворяющим условию (1.22), является прямая [math]AB[/math].


2. Геометрическим местом точек [math]M[/math], удовлетворяющим условию [math]\overrightarrow{OM}= t\cdot\overrightarrow{OA}+(1-t)\cdot\overrightarrow{OB},~0\leqslant t\leqslant1[/math], является отрезок [math]AB[/math]. При [math]t=0[/math] точка [math]M[/math] совпадает с точкой [math]B[/math], при [math]t=1[/math] — с точкой [math]A[/math], при [math]0<t<1[/math] точка [math]M[/math] делит отрезок [math]AB[/math] в отношении (рис.1.55,а): [math]AM:MB=(1-t):t[/math].


И наоборот, если точка [math]M[/math] делит отрезок [math]AB[/math] в отношении [math]\frac{AM}{MB}=\frac{\beta}{\alpha}~(\alpha>0,\,\beta>0)[/math], то


[math]\overrightarrow{OM}=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\cdot\overrightarrow{OA}+\frac{\beta}{\alpha+\beta}\cdot\overrightarrow{OB}.[/math]

В частности, точка [math]M[/math] является серединой отрезка [math]AB~\left(\frac{AM}{MB}=\frac{\beta}{\alpha}=1\right)[/math] тогда и только тогда, когда [math]\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\cdot\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\cdot\overrightarrow{OB}[/math].


3. Точка [math]M[/math], удовлетворяющая равенству


[math]\overrightarrow{OM}= t\cdot\overrightarrow{OA}+ s\cdot\overrightarrow{OB}+(1-t-s)\cdot\overrightarrow{OC},~~ t\in\mathbb{R},\quad s\in\mathbb{R}\,,[/math]
(1.23)

принадлежит плоскости, проходящей через точки [math]A,B,C[/math], и наоборот, для любой точки [math]M[/math], принадлежащей плоскости, проходящей через точки [math]A,B,C[/math], не лежащие на одной прямой, найдутся единственные действительные значения параметров [math]t[/math] и [math]s[/math], при которых справедливо разложение (1.23). Другими словами: геометрическим местом точек [math]M[/math], удовлетворяющим условию (1.23), является плоскость, проходящая через точки [math]A,B,C[/math], не лежащие на одной прямой.


4. Пусть [math]A,B,C[/math] — точки не лежащие на одной прямой. Геометрическим местом точек [math]M[/math], удовлетворяющим условию


[math]\overrightarrow{OM}= \alpha\cdot \overrightarrow{OA}+ \beta\cdot \overrightarrow{OB}+\gamma\cdot\overrightarrow{OC},[/math]

где все коэффициенты [math]\alpha,\beta,\gamma[/math] — неотрицательные числа, сумма которых равна единице, является плоский треугольник [math]ABC[/math]. Если коэффициенты [math]\alpha,\beta,\gamma[/math] положительные и [math]\alpha+\beta+\gamma=1[/math], то точка [math]M[/math] "делит" площадь треугольника [math]ABC[/math] в отношении (рис.1.55,б):

[math]S_{MBC}:S_{MCA}:S_{MAB}=\alpha:\beta:\gamma.[/math]

И наоборот, если точка [math]M[/math] "делит" площадь треугольника [math]ABC[/math] в отношении [math]S_{MBC}:S_{MCA}:S_{MAB}=\alpha:\beta:\gamma~(\alpha>0,\beta>0,\gamma>0)[/math], то


[math]\overrightarrow{OM}=\frac{\alpha}{\alpha+\beta+\gamma}\cdot\overrightarrow{OA}+\frac{\beta}{\alpha+\beta+\gamma}\cdot\overrightarrow{OB}+\frac{\gamma}{\alpha+\beta+\gamma}\cdot\overrightarrow{OC}.[/math]

В частности, точка [math]M[/math] является точкой пересечения медиан треугольника [math]ABC[/math] тогда и только тогда, когда


[math]\overrightarrow{OM}=\frac{1}{3}\cdot\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}\cdot\overrightarrow{OB}+\frac{1}{3}\cdot\overrightarrow{OC}.[/math]

5. Пусть [math]A,B,C,D[/math] — точки, не лежащие в одной плоскости. Геометрическим местом точек [math]M[/math], удовлетворяющим условию


[math]\overrightarrow{OM}=\alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB}+\gamma\cdot\overrightarrow{OC}+\delta\cdot\overrightarrow{OD},[/math]

где все коэффициенты [math]\alpha,\beta,\gamma,\delta[/math] — неотрицательные числа, сумма которых равна единице, является треугольная пирамида (тетраэдр) [math]ABCD[/math], включая внутренние ее точки. Если коэффициенты [math]\alpha,\beta,\gamma,\delta[/math] положительные и [math]\alpha+\beta+\gamma+\delta=1[/math], то точка [math]M[/math] "делит" объем тетраэдра [math]ABCD[/math] в отношении:


[math]V_{MBCD}: V_{MCDA}: V_{MDAB}: V_{MABC}=\alpha:\beta:\gamma:\delta.[/math]

6. В свойствах 1-5 точка [math]O[/math] приложения радиус-векторов произвольная.




Пример 1.25. На сторонах [math]AB[/math] и [math]AC[/math] треугольника [math]ABC[/math] взяты соответственно точки [math]M[/math] и [math]N[/math] так, что [math]AM:MB=2:3[/math] и [math]AN:NC=3:6[/math]. В каком отношении делится каждый из отрезков [math]BN[/math] и [math]CM[/math] точкой [math]K[/math] их пересечения?


Решение. Поскольку векторы [math]\overrightarrow{AB}[/math] и [math]\overrightarrow{AC}[/math] неколлинеарные, выберем их в качестве базиса на плоскости. С одной стороны, точка [math]K[/math] принадлежит прямой [math]BN[/math] (рис.1.56), поэтому существует такое значение [math]t[/math], при котором [math]\overrightarrow{AK}=t\cdot\overrightarrow{AN}+(1-t)\cdot\overrightarrow{AB}[/math]. С другой стороны, точка [math]K[/math] принадлежит прямой [math]CM[/math], поэтому найдется такое значение [math]s[/math], при котором [math]\overrightarrow{AK}=s\cdot\overrightarrow{AM}+(1-s)\cdot\overrightarrow{AC}[/math]. Учитывая, что [math]\overrightarrow{AN}=\frac{3}{8}\overrightarrow{AC}[/math] и [math]\overrightarrow{AM}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}[/math], получаем:


[math]\overrightarrow{AK}=t\cdot\frac{3}{8}\cdot\overrightarrow{AC}+(1-t)\cdot\overrightarrow{AB}=s\cdot\frac{2}{5}\cdot\overrightarrow{AB}+(1-s)\cdot\overrightarrow{AC}.[/math]

В силу единственности разложения вектора [math]\overrightarrow{AK}[/math] по базису на плоскости, приравниваем соответствующие координаты:


[math]\left\{\!\begin{gathered}\frac{3}{8}t=1-s,\\1-t=\frac{2}{5}s;\end{gathered}\right.~\Leftrightarrow~ \left\{\!\begin{gathered}3t=8-8s,\\5-5t=2s;\end{gathered}\right.~\Leftrightarrow~ \left\{\!\begin{gathered}t=\frac{12}{17},\\s=\frac{25}{34}.\end{gathered}\right.[/math]

Таким образом, [math]\overrightarrow{AK}=t\cdot\overrightarrow{AN}+(1-t)\cdot\overrightarrow{AB}\,\vline\,_{t=\frac{12}{17}}=\frac{12}{17}\cdot\overrightarrow{AN}+\frac{5}{17}\cdot\overrightarrow{AB}[/math], т.е. точка [math]K[/math], делит отрезок [math]BN[/math] в отношении [math]BK:KN=12:5[/math]. Из равенства [math]\overrightarrow{AK}=s\cdot\overrightarrow{AM}+(1-s)\cdot\overrightarrow{AC}\,\vline\,_{s=\frac{25}{34}}=\frac{25}{34}\cdot\overrightarrow{AM}+\frac{9}{34}\cdot\overrightarrow{AC}[/math] делаем вывод, что [math]CK:KM=25:9[/math].




Пример 1.26. В треугольной пирамиде [math]OABCD[/math] найти сумму векторов, соединяющих каждую из вершин с точкой пересечения медиан противоположной грани.


Решение. Пусть [math]A_1,B_1,C_1,O_1[/math] — точки пересечения медиан граней [math]OBC,OAC,OAB,ABC[/math] соответственно. Требуется найти сумму [math]\overrightarrow{OO_1}+\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{BB_1}+\overrightarrow{CC_1}[/math]. Возьмем некомпланарные векторы [math]\vec{a}=\overrightarrow{OA}[/math], [math]\vec{b}=\overrightarrow{OB}[/math], [math]\vec{c}=\overrightarrow{OC}[/math] в качестве базисных и разложим все слагаемые искомой суммы по этому базису. Пусть [math]M[/math] — середина ребра [math]BC[/math] (рис. 1.57). Применяя свойство медиан [math](AO_1:O_1M=2:1)[/math] и свойство 2 аффинных и выпуклых комбинаций при [math]\alpha=1,\beta=2[/math] находим:


[math]\begin{gathered} \overrightarrow{OO_1}=\frac{1}{3}\cdot\overrightarrow{OA}+\frac{2}{3}\cdot\overrightarrow{OM}=\frac{1}{3}\cdot\vec{a}+\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}(\vec{b}+\vec{c})=\frac{1}{3}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})\\[2pt] \overrightarrow{AA_1}=\overrightarrow{OA_1}-\overrightarrow{OA}=\frac{2}{3}\cdot\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OA}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}(\vec{b}+\vec{c})-\vec{a}=\frac{1}{3}(\vec{b}+\vec{c})-\vec{a}. \end{gathered}[/math]

Аналогично (меняя циклически буквы) получаем [math]\overrightarrow{BB_1}=\frac{1}{3}\cdot(\vec{a}+\vec{c})-\vec{b};~\overrightarrow{CC_1}=\frac{1}{3}\cdot(\vec{a}+\vec{c})-\vec{c}[/math].


Складывая все разложения, приходим к равенству


[math]\overrightarrow{OO_1}+\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{BB_1}+\overrightarrow{CC_1}=\underbrace{\frac{1}{3}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})}_{\overrightarrow{OO_1}}+\underbrace{\frac{1}{3}(\vec{b}+\vec{c})-\vec{a}}_{\overrightarrow{AA_1}}+\underbrace{\frac{1}{3}(\vec{a}+\vec{c})-\vec{b}}_{\overrightarrow{BB_1}}+\underbrace{\frac{1}{3}(\vec{a}+\vec{b})-\vec{c}}_{CC_1}=\vec{o},[/math]

т.е. искомая сумма равна нулевому вектору.



Пример 1.27. Основанием четырехугольной пирамиды [math]SABCD[/math] служит параллелограмм [math]ABCD[/math]. На боковых ребрах [math]SB[/math] и [math]SC[/math] взяты соответственно точки [math]B_1[/math] и [math]C_1[/math] так, что [math]SB_1:B_1B=5:2[/math] и [math]SC_1:C_1C=4:3[/math]. В каком отношении делит ребро [math]SD[/math] плоскость [math]\rho[/math] проходящая через точки [math]A,B_1,C_1[/math]?


Решение.Пусть [math]D_1[/math] точка пересечения плоскости с ребром [math]SD[/math] (рис.1.58). Найдем отношение [math]\frac{\overrightarrow{SD_1}}{\overrightarrow{SD}}=\lambda[/math]. Для этого разложим векторы [math]\overrightarrow{SD_1}[/math] и [math]\overrightarrow{SD}[/math] по базису [math]\overrightarrow{SA},\overrightarrow{SB},\overrightarrow{SC}[/math]. Так как точка [math]D_1[/math] принадлежит плоскости [math]\rho[/math], то по формуле (1.23)


[math]\begin{aligned} \overrightarrow{SD_1}&= t\cdot\overrightarrow{SA}+ s\cdot\overrightarrow{SB_1}+(1-t-s)\cdot\overrightarrow{SC_1}=t\cdot\overrightarrow{SA}+s\cdot\frac{5}{7}\cdot\overrightarrow{SB}+(1-t-s)\cdot\frac{4}{7}\cdot\overrightarrow{SC};\\[3pt]\overrightarrow{SD}&=\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SB}.\end{aligned}[/math]

Подставляя в равенство [math]\overrightarrow{SD_1}=\lambda\cdot\overrightarrow{SD}[/math] полученные разложения, находим


[math]t\cdot\overrightarrow{SA}+s\cdot\frac{5}{7}\cdot\overrightarrow{SB}+(1-t-s)\cdot\frac{4}{7}\overrightarrow{SC}=\lambda\cdot\overrightarrow{SA}-\lambda\cdot\overrightarrow{SB}+\lambda\cdot\overrightarrow{SC}.[/math]

Записываем равенства соответствующих координат равных векторов:


[math]\left\{\!\begin{gathered}t=\lambda,\\\frac{5}{7}s=-\lambda,\\\frac{4}{7}(1-t-s)=\lambda.\end{gathered}\right.[/math]

Подставляя [math]t=\lambda[/math] и [math]s=-\frac{7}{5}\lambda[/math] в последнее уравнение системы, получаем [math]\frac{4}{7}\!\left(1-\lambda+\frac{7}{5}\lambda\right)=\lambda[/math]. Отсюда [math]\lambda=\frac{20}{27}[/math], т.е. [math]\frac{\overrightarrow{SD_1}}{\overrightarrow{SD}}=\frac{20}{27}[/math]. Следовательно, плоскость делит ребро в отношении [math]20:7[/math] (считая от вершины пирамиды).


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved