Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]

Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур
Онлайн-сервисы Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики Онлайн число, сумма и дата прописью Алгоритмы JavaScript Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки Уникальные элементы массива Объединение, пересечение и разность массивов НОД и НОК Операции над матрицами Дата прописью Введение в анализ Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика Теория множеств Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия Математическая логика Алгебра высказываний Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции Булевы функции Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций Теория формального Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний Логика предикатов Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов Неформальные и формаль- ные аксиоматические теории Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории Теория алгоритмов Интуитивное представление об алгоритмах Машины Тьюринга и тезис Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики Математическая логика и компьютеры Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект Дискретная математика Множества и отношения Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций Группы и кольца Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов Полукольца и булевы алгебры Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки Алгебраические системы Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры Теория графов Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов Булева алгебра и функции Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов Конечные автоматы и регулярные языки Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга Контекстно-свободные языки Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов Интегральное исчисление Неопределённый и определённый Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции Приложения интегралов Вычисление площадей плоских фигур Площади фигур в различных координатах Вычисление объемов тел с помощью интегралов Объём тела вращения Вычисление длин дуг кривых Формулы длины дуги регулярной кривой Кривизна плоской кривой Площадь поверхности вращения тела Интегралы в физике Статические моменты и координаты центра тяжести Теоремы Гульдина–Паппа Вычисление моментов инерции Другие приложения интегралов в физике Основные интегралы Интеграл Ньютона-Лейбница Интеграл Римана Интеграл Лебега Вариационное исчисление Примеры вариационных задач Дифференциальное уравнение Эйлера Функционалы, зависящие от нескольких функций Задача о минимуме кратного интеграла Финансовый анализ Анализ эффективности Критерии и показатели эффективности предприятия Методы анализа эффективности деятельности Факторный анализ прибыли от операционной деятельности Анализ безубыточности предприятия Операционный рычаг и эффект финансового рычага Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала Анализ распределения прибыли предприятия Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности Анализ устойчивости Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность Характеристика типов финансовой устойчивости Рыночная активность Финансовый анализ рыночной активности Методика анализа рыночной активности Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию Инвестиционная деятельность Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование Анализ инвестиций Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия Задачи финансового анализа инвестиций предприятия Учет фактора времени в инвестиционной деятельности Аннуитет и финансовая рента в инвестициях Учет фактора инфляции при инвестировании Оценка фактора риска инвестиционного проекта Методы оценки эффективности инвестиций Показатели эффективности инвестиционного проекта Стоимость компании Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций Форвардные контракты Форвардный контракт и цена Форвардная цена акции на бирже Цена форвардного контракта инвестора Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда Форвардная цена валюты на рынке форекс Форвардный валютный курс и инфляция на рынке Форвардная цена товара и спотовый рынок Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам Синтетический форвардный контракт на акции и валюту Теория вероятностей Основные понятия теории вероятностей Зависимые и независимые случайные события Повторные независимые испытания Формула Бернулли Одномерные случайные величины Многомерные случайные величины Функции случайных величин Законы распределения целочисленных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и предельные теоремы Вероятностные закономерности Математическая статистика Элементы математической статистики Выборочный метод Оценки параметров генеральной совокупности Статистические гипотезы Критерии согласия Теоретические и эмпирические частоты Теория очередей (СМО) Определение системы массового обслуживания Уравнения Колмогорова Предельные вероятности состояний Определение СМО с отказами Определение СМО с ожиданием (очередью) Аналитическая геометрия Векторная алгебра Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике Системы координат Прямоугольные координаты Преобразования прямоугольных координат Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферические координаты Аффинные координаты Аффинные преобразования координат Аффинные преобразования плоскости Примеры аффинных преобразований плоскости Аффинные преобразования пространства Многомерное координатное пространство Линейные и аффинные подпространства Скалярное произведение n-мерных векторов Преобразования систем координат Геометрия на плоскости Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными Линии 2-го порядка Канонические уравнения линий второго порядка Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду Эллипс Гипербола Парабола Квадратичные неравенства с двумя неизвестными Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций Инварианты линий Классификация линий 2-го порядка по инвариантам Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам Геометрия в пространстве Способы задания ГМТ в пространстве Алгебраические уравнения поверхностей Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам Уравнения плоскости, проходящей через три точки Взаимное расположение плоскостей Типовые задачи с плоскостями Уравнения прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Типовые задачи с прямыми в пространстве Поверхности 2-го порядка Канонические уравнения поверхностей Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду Поверхности второго порядка Эллипсоиды Гиперболоиды Конусы Параболоиды Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций Инварианты поверхностей Классификация поверхностей 2-го порядка по инвариантам Квадратичные неравенства с тремя неизвестными Приведение уравнения поверхности к канониче-скому виду по инвариантам Линейная алгебра Матрицы и операции Линейные операции над матрицами Умножение матриц Возведение матриц в степень Многочлены от матриц Транспонирование и сопряжение матриц Блочные матрицы Произведение и сумма матриц Кронекера Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду Элементарные преобразования матриц Определители Определители матриц и их основные свойства Формула полного разложения определителя Формула Лапласа полного разложения определителя Определитель произведения матриц Методы вычисления определителей Ранг матрицы Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы Ранг матрицы и базисный минор матрицы Методы вычисления ранга матрицы Ранг системы столбцов (строк) Обратная матрица Обратные матрицы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы Способы нахождения обратной матрицы Матричные уравнения Односторонние обратные матрицы Скелетное разложение матрицы Полуобратная матрица Псевдообратная матрица Системы уравнений Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Структура общего решения системы уравнений Решение систем с помощью полуобратных матриц Псевдорешения системы линейных уравнений Функциональные матрицы Функциональные матрицы скалярного аргумента Производные матриц по векторному аргументу Линейные и квадратичные формы и их преобразования Приведение форм к каноническому виду Закон инерции вещественных квадратичных форм Знакоопределенность форм вещественных квадратичных Формы и исследование функций на экстремум Многочленные матрицы Многочленные матрицы (лямбда-матрицы) Операции над лямбда-матрицами Простые преобразования многочленных матриц Инвариантные множители многочленной матрицы Функции от матриц Собственные векторы и значения матрицы Подобие числовых матриц Характеристический многочлен матрицы Минимальный многочлен матрицы Теорема Гамильтона-Кэли Жорданова форма матрицы Приведение матрицы к жордановой форме Многочлены от матриц Применение многочленов от матриц Функции от матриц Линейные пространства Линейные пространства: определение и примеры Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов Размерность и базис линейного пространства Преобразования координат в линейном пространстве Изоморфизм линейных пространств Подпространства Подпространства линейного пространства Пересечение и сумма подпространств Способы описания подпространств Нахождение дополнения и суммы подпространств Нахождение пересечения подпространств Линейные отображения Линейные многообразия Линейные отображения Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения Линейные операторы Линейные операторы (преобразования) Инвариантные подпространства Собственные векторы и значения оператора Свойства собственных векторов операторов Канонический вид линейного оператора Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду Евклидовы пространства Евклидовы пространства Ортогональные векторы евклидова пространства Ортогональный базис евклидова пространства Ортонормированный базис евклидова пространства Ортогональные дополнения в евклидовом пространстве Задача о перпендикуляре Матрица и определитель Грама и его свойства Линейные преобразования евклидовых пространств Канонический вид ортогонального оператора евклидова пространства Сопряженные операторы евклидова пространства Самосопряженные операторы евклидова пространства Приведение квадратичной формы к главным осям Унитарные пространства и их линейные преобразования Комплексный анализ Комплексные числа Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Множества на комплексной плоскости Последовательности и ряды комплексных чисел Комплексные функции Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная Элементарные функции комплексного переменного Дифференцирование функций комплексного переменного Аналитические функции и их свойства Конформные отображения и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного Функциональные ряды в комплексной области Функциональные ряды и последовательности Степенные ряды и их свойства Разложение функций в степенные ряды Нули аналитических функций Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням Особые точки, Вычеты Изолированные особые точки функций и полюсы Вычеты и их применение Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычеты и расположение нулей многочлена Операционное исчисление Преобразование Лапласа и его свойства Решение ДУ операционным методом Анализ выходных процессов линейных стационарных систем Z-преобразование и его свойства Дифференциальные уравнения ДУ первого порядка Основные понятия и определения ДУ Метод изоклин для ДУ 1-го порядка Метод последовательных приближений ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ 1-го порядка Дифференциальное уравнение Бернулли ДУ в полных дифференциалах Интегрирующий множитель ДУ, не разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение Риккати Составление ДУ семейств линий Задачи на траектории Особые решения ДУ ДУ высших порядков Понятия и определения ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка Линейная независимость функций Определители Вронского и Грама Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения Задача Коши и Уравнение Эйлера Линейные ДУ с переменными коэффициентами Метод Лагранжа решения ДУ Краевые задачи для ДУ высших порядков Разложение решения ДУ в степенной ряд Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд Нахождение периодических решений ДУ Асимптотическое интегрирование ДУ Системы ДУ Системы ДУ: понятия и определения Сведение системы ДУ к одному уравнению Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование однородных линейных систем ДУ Методы интегрирования неоднородных систем ДУ Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем Теория устойчивости Устойчивость решений ДУ по Ляпунову Простейшие типы точек покоя Метод функций Ляпунова Устойчивость решений ДУ по первому приближению Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова ДУ с малым параметром при производной Численные методы Методы алгебры Численные методы линейной алгебры Численные методы решения СЛАУ Итерационный метод Шульца обратной матрицы Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы Методы решения нелинейных уравнений Методы решения систем нелинейных уравнений Методы теории приближений Методы приближения сеточных функций Методы функциональной интерполяции Методы интегрально-дифференциальной интерполяции Методы интегрального сглаживания Методы интерполяции и сглаживания сплайнами Методы численного дифференцирования и интегрирования Методы численного дифференцирования Методы численного интегрирования Методы решения обыкновенных ДУ Численные методы решения задачи Коши Разностные схемы для решения задачи Коши Составные схемы для решения задачи Коши Экстраполяционные методы решения задачи Коши Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши Численные методы решения краевых задач Методы решения ДУ в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Численные методы решения уравнений в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными	Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур В данном разделе рассматривается применение векторной алгебры для решения задач аффинной геометрии. В этих задачах, как правило, требуется искать отношения длин отрезков, площадей фигур или объемов тел. Наряду со свободными векторами будем использовать радиус-векторы, т.е. векторы, приложенные к одной (произвольной) точке $O$ пространства. Линейные и неотрицательные комбинации радиус-векторов Множество линейных комбинаций радиус-вектора $\overrightarrow{OA}$ называется его линейной оболочкой и обозначается $\operatorname{Lin}\bigl(\overrightarrow{OA}\bigl)\,=\Bigl\{\overrightarrow{OM}\colon\overrightarrow{OM}=\alpha\cdot\overrightarrow{OA};~\alpha\in\mathbb{R}\Bigr\}$ Линейная оболочка $\operatorname{Lin}\bigl(\overrightarrow{OA}\bigl)$ ненулевого радиус-вектора $\overrightarrow{OA}$ представляет собой множество радиус-векторов, концы которых принадлежат прямой $OA$ (рис.1.50,а). В самом деле, ненулевой вектор $\overrightarrow{OA}$ образует базис на прямой $OA$ . Поэтому вектор $\overrightarrow{OM}$ можно разложить по этому базису, т.е. представить в виде $\overrightarrow{OM}= \alpha\cdot \overrightarrow{OA}$ , где $\alpha$ — координата вектора $\overrightarrow{OM}$ . Линейная комбинация $\alpha\cdot\overrightarrow{OA}$ радиус-вектора $\overrightarrow{OA}$ называется неотрицательной, если ее коэффициент — неотрицательное число: $\alpha\geqslant0$ . Множество неотрицательных линейных комбинаций вектора $\overrightarrow{OA}$ называется его конической оболочкой и обозначается: $\operatorname{Con}\bigl(\overrightarrow{OA}\bigl)\,=\Bigl\{\overrightarrow{OM}\colon\overrightarrow{OM}=\alpha\cdot\overrightarrow{OA};~\alpha\geqslant0,~\alpha\in\mathbb{R}\Bigr\}$ Коническая оболочка $\operatorname{Con}\bigl(\overrightarrow{OA}\bigl)$ ненулевого радиус-вектора $\overrightarrow{OA}$ представляет собой множество всех радиус-векторов, концы которых принадлежат лучу $OA$ (рис. 1.50,6). Действительно, учитывая, что неотрицательная комбинация является линейной, приходим к равенству $\overrightarrow{OM}= \alpha\cdot \overrightarrow{OA}$ , где $\alpha\geqslant0$ . При $\alpha>0$ векторы $\overrightarrow{OM}$ и $\overrightarrow{OA}$ одинаково направлены, т.е. точка $M$ принадлежит лучу $OA$ . Если $\alpha=0$ , радиус-вектор $\overrightarrow{OM}$ нулевой, т.е. точка $M$ совпадает с точкой $O$ (с началом луча $OA$ ). Множество линейных комбинаций радиус-векторов $\overrightarrow{OA}$ и $OB$ называется их линейной оболочкой и обозначается $\operatorname{Lin}\bigl(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\bigl)\,=\Bigl\{\overrightarrow{OM}\colon\overrightarrow{OM}=\alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB};~\alpha\in\mathbb{R},~\beta\in\mathbb{R}\Bigr\}.$ Покажем, что линейная оболочка $\operatorname{Lin}\bigl(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\bigl)$ двух неколлинеарных радиус-векторов представляет собой множество таких радиус-векторов, концы которых (и сами векторы) принадлежат плоскости, проходящей через точки $O,A,B$ (рис.1.51,а). Действительно, неколлинеарные векторы $\overrightarrow{OA}$ и $\overrightarrow{OB}$ образуют базис на плоскости, проходящей через точки $O,A,B$ . Поэтому для любой точки $M$ этой плоскости радиус-вектор $\overrightarrow{OM}$ можно разложить по базису, т.е. представить в виде $\overrightarrow{OM}=\alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB}$ , где $\alpha,\beta$ — координаты вектора $\overrightarrow{OM}$ . И наоборот, для любых чисел $\alpha,\beta$ радиус-вектор $\overrightarrow{OM}=\alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB}$ , а следовательно, и точка $M$ , принадлежат указанной плоскости. Если векторы $\overrightarrow{OA}$ и $\overrightarrow{OB}$ коллинеарны, то любая их линейная комбинация принадлежит прямой $AB$ (рис.1.51,б). Линейная комбинация $\alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB}$ радиус-векторов $\overrightarrow{OA}$ и $\overrightarrow{OB}$ называется неотрицательной, если ее коэффициенты — неотрицательные числа: $\alpha\geqslant0,\beta\geqslant0$ . Множество неотрицательных линейных комбинаций векторов $\overrightarrow{OA}$ и $\overrightarrow{OB}$ называется их конической оболочкой и обозначается: $\operatorname{Con}\bigl(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\bigl)\,=\Bigl\{\overrightarrow{OM}\colon\overrightarrow{OM}=\alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB};~\alpha\geqslant0,~\beta\geqslant0,~\alpha\in\mathbb{R},~\beta\in\mathbb{R}\Bigr\}.$ Коническая оболочка $\operatorname{Con}\bigl(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\bigl)$ представляет собой множество всех радиус-векторов, концы которых принадлежат плоскому углу $AOB$ (заштрихованное множество на рис. 1.51,в). Множество линейных комбинаций радиус-векторов $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ называется их линейной оболочкой и обозначается $\operatorname{Lin}\bigl(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}\bigl)\,=\Bigl\{\overrightarrow{OM}\colon\overrightarrow{OM}=\alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB}+\gamma\cdot\overrightarrow{OC}; \alpha\in\mathbb{R},~\beta\in\mathbb{R},~\gamma\in\mathbb{R}\Bigr\}.$ Любой радиус-вектор $\overrightarrow{OM}$ принадлежит линейной оболочке $\operatorname{Lin}\bigl(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}\bigl)$ трех некомпланарных радиус-векторов $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ . В самом деле, векторы $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ (рис.1.52,а) образуют базис в пространстве. Поэтому любой радиус- вектор $\overrightarrow{OM}$ можно разложить по этому базису, т.е. представить в виде $\overrightarrow{OM}=\alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB}+\gamma\cdot\overrightarrow{OC}$ , где $\alpha,\beta,\gamma$ — координаты вектора $\overrightarrow{OM}$ . Линейная комбинация $\alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB}+\gamma\cdot\overrightarrow{OC}$ радиус-векторов $\overrightarrow{OA}$ , $\overrightarrow{OB}$ , ${ \overrightarrow{OC}}$ называется неотрицательной, если ее коэффициенты – неотрицательные числа: $\alpha\geqslant0,\beta\geqslant0,\gamma\geqslant0$ . Множество неотрицательных линейных комбинаций векторов $\overrightarrow{OA}$ , $\overrightarrow{OB}$ , ${ \overrightarrow{OC}}$ называется их конической оболочкой и обозначается: $\operatorname{Con}\bigl(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}\bigl)\,=\Bigl\{\overrightarrow{OM}\colon\overrightarrow{OM}=\alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB}+\gamma\cdot\overrightarrow{OC};~\alpha\geqslant0,\beta\geqslant0,\gamma\geqslant0,~\alpha\in\mathbb{R},~\beta\in\mathbb{R},~\gamma\in\mathbb{R}\Bigr\}.$ Коническая оболочка $\operatorname{Con}\bigl(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}\bigl)$ трех некомпланарных векторов представляет собой множество всех радиус-векторов, концы которых принадлежат трехгранному углу $OABC$ (рис. 1.52,б). Понятия линейной или неотрицательной комбинаций векторов распространяются на любое конечное число векторов. Векторы $\overrightarrow{OA_1},\overrightarrow{OA_2},\ldots,\overrightarrow{OA_k}$ называются образующими линейной оболочки $\operatorname{Lin}\bigl(\overrightarrow{OA_1},\overrightarrow{OA_2},\ldots,\overrightarrow{OA_k}\bigl)$ и, соответственно, конической оболочки $\operatorname{Con}\bigl(\overrightarrow{OA_1},\overrightarrow{OA_2},\ldots,\overrightarrow{OA_k}\bigl)$ . Аффинные и выпуклые комбинации радиус-векторов Линейная комбинация $\alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB}$ радиус-векторов $\overrightarrow{OA}$ и $\overrightarrow{OB}$ называется аффинной, если сумма ее коэффициентов равна единице: $\alpha+\beta=1$ . Множество аффинных комбинаций векторов $\overrightarrow{OA}$ и $\overrightarrow{OB}$ называется их аффинной оболочкой и обозначается: $\operatorname{Aff}\bigl(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\bigl)\,=\Bigl\{\overrightarrow{OM}\colon\overrightarrow{OM}=\alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB};~\alpha+\beta=1~\alpha\in\mathbb{R},~\beta\in\mathbb{R}\Bigr\}.$ Покажем, что аффинная оболочка $\operatorname{Aff}\bigl(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\bigl)$ представляет собой множество всех радиус-векторов, концы которых принадлежат прямой $AB$ . Действительно, равенство $\overrightarrow{OM}=\alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB}$ при $\alpha+\beta=1$ можно представить в виде $\overrightarrow{OM}=(1-\beta)\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\bigl(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\bigl)$ . Отсюда следует, что $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OA}=\beta\cdot\overrightarrow{AB}$ , т.е. векторы $\overrightarrow{AM}$ и $\overrightarrow{AB}$ коллинеарны (рис.1.53,а). Следовательно, точка $M$ принадлежит прямой $AB$ . Проводя рассуждения в обратном порядке, заключаем, что для любой точки $M$ , принадлежащей прямой $AB$ , найдутся такие числа $\alpha$ и $\beta$ , что $\overrightarrow{OM}= \alpha\cdot \overrightarrow{OA}+ \beta\cdot \overrightarrow{OB}$ и $\alpha+\beta=1$ . Линейная комбинация $\alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB}$ радиус-векторов $\overrightarrow{OA}$ и $\overrightarrow{OB}$ называется выпуклой, если все ее коэффициенты — неотрицательные числа, а их сумма равна единице: $\alpha+\beta=1,\alpha\geqslant0,\beta\geqslant0$ . Множество выпуклых комбинаций векторов $\overrightarrow{OA}$ и $\overrightarrow{OB}$ называется их выпуклой оболочкой и обозначается: $\operatorname{Conv}\bigl(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\bigl)\,=\Bigl\{\overrightarrow{OM}\colon\overrightarrow{OM}=\alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB};~\alpha+\beta=1,~\alpha\geqslant0,\beta\geqslant0,~\alpha\in\mathbb{R},~\beta\in\mathbb{R}\Bigr\}.$ Покажем, что выпуклая оболочка $\operatorname{Conv}\bigl(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\bigl)$ представляет собой множество всех радиус-векторов, концы которых принадлежат отрезку $AB$ (рис.1.53,б). Действительно, учитывая, что выпуклая комбинация является аффинной, приходим к равенству $\overrightarrow{AM}=\beta\cdot\overrightarrow{AB}$ , где $0\leqslant\beta\leqslant1$ . Это равенство означает, что точка $M$ принадлежит отрезку $AB$ (включая его концы: $M$ совпадает с точкой $B$ при $\beta=1$ и с точкой $A$ при $\beta=0$ ). Поскольку $\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}-\beta\cdot\overrightarrow{AB}=(1-\beta)\cdot\overrightarrow{AB}=\alpha\cdot\overrightarrow{AB}$ , то $\frac{\overrightarrow{AM}}{\overrightarrow{MB}}=\frac{\beta\cdot\overrightarrow{AB}}{\alpha\cdot\overrightarrow{AB}}=\frac{\beta}{\alpha}$ . При этом говорят, что точка $M$ делит отрезок $AB$ в отношении $AM:MB=\beta:\alpha~(\alpha>0,\beta>0,\alpha+\beta=1)$ . Рассмотрим аффинные и выпуклые комбинации трех радиус-векторов. Линейная комбинация $\alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB}+\gamma\cdot\overrightarrow{OC}$ радиус-векторов $\overrightarrow{OC},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ называется аффинной, если сумма ее коэффициентов равна единице: $\alpha+\beta+\gamma=1$ . Множество аффинных комбинаций векторов ${ \overrightarrow{OC}}$ , $\overrightarrow{OB}$ , ${ \overrightarrow{OC}}$ называется их аффинной оболочкой и обозначается: $\operatorname{Aff}\bigl(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}\bigl)\,=\Bigl\{\overrightarrow{OM}\colon\overrightarrow{OM}=\alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB}+\gamma\cdot\overrightarrow{OC};~\alpha+\beta+\gamma=1,~\alpha\in\mathbb{R},~\beta\in\mathbb{R},~\gamma\in\mathbb{R}\Bigr\}.$ Покажем, что аффинная оболочка $\operatorname{Aff}\bigl(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}\bigl)$ представляет собой множество всех радиус-векторов, концы которых принадлежат плоскости, проходящей через точки $A,B,C$ (рис. 1.54,а). Действительно, исключая в равенстве $\overrightarrow{OM}=\alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB}+\gamma\cdot\overrightarrow{OC}$ коэффициент $\alpha=1-\beta-\gamma$ , получаем $\overrightarrow{OM}=(1-\beta-\gamma)\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB}+\gamma\cdot\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\bigl(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\bigl)\,+\gamma\cdot\bigl(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}\bigl)$ Отсюда следует, что $\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OA}=\beta\cdot\bigl(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}\bigl)\,+\gamma\cdot\beta\cdot\bigl(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}\bigl)$ , т.е. $\overrightarrow{AM}=\beta\cdot\overrightarrow{AB}+\gamma\cdot\overrightarrow{AC}$ . Если векторы $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{AC}$ коллинеарны (точки $A,B,C$ принадлежат одной прямой), то и точка $M$ принадлежит той же прямой, а также любой плоскости, проходящей через точки $A,B,C$ . Если же векторы $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{AC}$ не коллинеарные (точки $A,B,C$ не принадлежат одной прямой), то точка $M$ принадлежит плоскости, проходящей через точки $A,B,C$ , так как вектор $\overrightarrow{AM}$ разлагается по векторам $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{AC}$ , принадлежащим этой плоскости. Проводя рассуждения в обратном порядке, приходим к выводу, что для любой точки $M$ , принадлежащей плоскости, проходящей через точки $A,B,C$ , найдутся числа $\alpha,\beta,\gamma$ такие, что $\overrightarrow{OM}=\alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB}+\gamma\cdot\overrightarrow{OC},~\alpha+\beta+\gamma=1.$ Линейная комбинация а $\alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB}+\gamma\cdot\overrightarrow{OC}$ радиус-векторов $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ называется выпуклой, если все ее коэффициенты – неотрицательные числа, а их сумма равна единице: $\alpha+\beta+\gamma=1$ . Множество выпуклых комбинаций векторов $\overrightarrow{OA}$ , $\overrightarrow{OB}$ , ${ \overrightarrow{OC}}$ называется их выпуклой оболочкой и обозначается: $\operatorname{Conv}\bigl(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}\bigl)\,=\Bigl\{\overrightarrow{OM}\colon\overrightarrow{OM}=\alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB}+\gamma\cdot\overrightarrow{OC};~\alpha+\beta+\gamma=1,~\alpha\geqslant0,\beta\geqslant0,\gamma\geqslant0\}.$ Покажем, что выпуклая оболочка $\operatorname{Conv}\bigl(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}\bigl)$ представляет собой множество всех радиус-векторов, концы которых принадлежат плоскому треугольнику $ABC$ (предполагаем, что точки $A,B,C$ не лежат на одной прямой). Действительно, если $\gamma>1$ , то $\alpha=0,\beta=0$ и $\overrightarrow{OM}=\alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB}+\gamma\cdot\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OC},$ т.е. точка $M$ совпадает с вершиной $C$ треугольника $ABC$ . Пусть $0\leqslant \gamma \leqslant1$ , тогда $\alpha+ \beta= 1-\gamma$ и $\overrightarrow{OM}=\alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB}+\gamma\cdot\overrightarrow{OC}=(1-\gamma)\cdot\left(\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\cdot\overrightarrow{OA}+\frac{\beta}{\alpha+\beta}\cdot\overrightarrow{OB}\right)+\gamma\cdot\overrightarrow{OB}=(1-\gamma)\cdot\overrightarrow{ON}+\gamma\cdot\overrightarrow{OC}.$ Здесь $\overrightarrow{ON}=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\cdot\overrightarrow{OA}+\frac{\beta}{\alpha+\beta}\cdot\overrightarrow{OB}$ — выпуклая комбинация векторов $\overrightarrow{OA}$ и $\overrightarrow{OB}$ , поскольку ее коэффициенты — неотрицательные числа, а их сумма равна единице. Следовательно, точка $N$ принадлежит стороне $AB$ треугольника $ABC$ и делит ее в отношении $AN:NB=\beta:\alpha$ (рис. 1.54,6). В свою очередь, точка $M$ принадлежит отрезку $CN$ , так как $\overrightarrow{OM}=(1-\gamma)\cdot\overrightarrow{ON}+\gamma\cdot\overrightarrow{OC}$ — выпуклая оболочка векторов $\overrightarrow{ON}$ и ${ \overrightarrow{OC}}$ . Поэтому точка $M$ принадлежит плоскому треугольнику $ABC$ (включая его внутренность). Заметим, что точка $M$ делит отрезок $CN$ в отношении $MN:CM=\gamma:(1-\gamma)$ . Тогда $MN-\gamma\cdot MN=\gamma\cdot CM$ , т.е. $MN=\gamma\cdot(CM+MN)=\gamma\cdot CN$ . Отсюда $CN:MN=1:\gamma$ . Это отношение равно отношению площадей треугольников $ABC$ и $MAB$ (поскольку у них общее основание $AB$ , а высоты, опущенные на это основание относятся как $CM:MN$ ). Следовательно, $CN:MN=1:\gamma=S_{ABC}:S_{MAB}$ . Аналогично можно показать, что $1:\alpha=S_{ABC}:S_{MBC}$ и $1:\beta=S_{ABC}:S_{MCA}$ . Таким образом, коэффициенты $\alpha,\beta,\gamma$ выпуклой комбинации равны отношениям площадей соответствующих треугольников: $\alpha=\frac{S_{MBC}}{S_{ABC}};~~~\beta=\frac{S_{MCA}}{S_{ABC}};~~~\gamma=\frac{S_{MAB}}{S_{ABC}}.$ Говорят, что точка $M$ "делит" площадь треугольника $ABC$ в отношении $S_{MBC}:S_{MCA}:S_{MAB}=\alpha:\beta:\gamma$ . Понятия аффинной и выпуклой комбинаций векторов распространяются на любое конечное число векторов. Векторы $\overrightarrow{OA_1},\overrightarrow{OA_2},\ldots,\overrightarrow{OA_k}$ называются образующими аффинной оболочки $\operatorname{Aff}\bigl(\overrightarrow{OA_1},\overrightarrow{OA_2},\ldots,\overrightarrow{OA_k}\bigl)$ и, соответственно, выпуклой оболочки $\operatorname{Conv}\bigl(\overrightarrow{OA_1},\overrightarrow{OA_2},\ldots,\overrightarrow{OA_k}\bigl)$ . Свойства аффинных и выпуклых комбинаций радиус-векторов Сформулируем полученные результаты в виде свойств. 1. Точка $M$ , удовлетворяющая равенству $\overrightarrow{OM}=t\cdot\overrightarrow{OA}+(1-t)\cdot \overrightarrow{OB},\quad t\in\mathbb{R}\,,$ (1.22) принадлежит прямой $AB$ , и наоборот, для любой точки $M$ , принадлежащей прямой $M$ , найдется единственное действительное значение параметра $t$ , при котором справедливо разложение (1.22). Другими словами: геометрическим местом точек $M$ , удовлетворяющим условию (1.22), является прямая $AB$ . 2. Геометрическим местом точек $M$ , удовлетворяющим условию $\overrightarrow{OM}= t\cdot\overrightarrow{OA}+(1-t)\cdot\overrightarrow{OB},~0\leqslant t\leqslant1$ , является отрезок $AB$ . При $t=0$ точка $M$ совпадает с точкой $B$ , при $t=1$ — с точкой $A$ , при $0<t<1$ точка $M$ делит отрезок $AB$ в отношении (рис.1.55,а): $AM:MB=(1-t):t$ . И наоборот, если точка $M$ делит отрезок $AB$ в отношении $\frac{AM}{MB}=\frac{\beta}{\alpha}~(\alpha>0,\,\beta>0)$ , то $\overrightarrow{OM}=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\cdot\overrightarrow{OA}+\frac{\beta}{\alpha+\beta}\cdot\overrightarrow{OB}.$ В частности, точка $M$ является серединой отрезка $AB~\left(\frac{AM}{MB}=\frac{\beta}{\alpha}=1\right)$ тогда и только тогда, когда $\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\cdot\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\cdot\overrightarrow{OB}$ . 3. Точка $M$ , удовлетворяющая равенству $\overrightarrow{OM}= t\cdot\overrightarrow{OA}+ s\cdot\overrightarrow{OB}+(1-t-s)\cdot\overrightarrow{OC},~~ t\in\mathbb{R},\quad s\in\mathbb{R}\,,$ (1.23) принадлежит плоскости, проходящей через точки $A,B,C$ , и наоборот, для любой точки $M$ , принадлежащей плоскости, проходящей через точки $A,B,C$ , не лежащие на одной прямой, найдутся единственные действительные значения параметров $t$ и $s$ , при которых справедливо разложение (1.23). Другими словами: геометрическим местом точек $M$ , удовлетворяющим условию (1.23), является плоскость, проходящая через точки $A,B,C$ , не лежащие на одной прямой. 4. Пусть $A,B,C$ — точки не лежащие на одной прямой. Геометрическим местом точек $M$ , удовлетворяющим условию $\overrightarrow{OM}= \alpha\cdot \overrightarrow{OA}+ \beta\cdot \overrightarrow{OB}+\gamma\cdot\overrightarrow{OC},$ где все коэффициенты $\alpha,\beta,\gamma$ — неотрицательные числа, сумма которых равна единице, является плоский треугольник $ABC$ . Если коэффициенты $\alpha,\beta,\gamma$ положительные и $\alpha+\beta+\gamma=1$ , то точка $M$ "делит" площадь треугольника $ABC$ в отношении (рис.1.55,б): $S_{MBC}:S_{MCA}:S_{MAB}=\alpha:\beta:\gamma.$ И наоборот, если точка $M$ "делит" площадь треугольника $ABC$ в отношении $S_{MBC}:S_{MCA}:S_{MAB}=\alpha:\beta:\gamma~(\alpha>0,\beta>0,\gamma>0)$ , то $\overrightarrow{OM}=\frac{\alpha}{\alpha+\beta+\gamma}\cdot\overrightarrow{OA}+\frac{\beta}{\alpha+\beta+\gamma}\cdot\overrightarrow{OB}+\frac{\gamma}{\alpha+\beta+\gamma}\cdot\overrightarrow{OC}.$ В частности, точка $M$ является точкой пересечения медиан треугольника $ABC$ тогда и только тогда, когда $\overrightarrow{OM}=\frac{1}{3}\cdot\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}\cdot\overrightarrow{OB}+\frac{1}{3}\cdot\overrightarrow{OC}.$ 5. Пусть $A,B,C,D$ — точки, не лежащие в одной плоскости. Геометрическим местом точек $M$ , удовлетворяющим условию $\overrightarrow{OM}=\alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB}+\gamma\cdot\overrightarrow{OC}+\delta\cdot\overrightarrow{OD},$ где все коэффициенты $\alpha,\beta,\gamma,\delta$ — неотрицательные числа, сумма которых равна единице, является треугольная пирамида (тетраэдр) $ABCD$ , включая внутренние ее точки. Если коэффициенты $\alpha,\beta,\gamma,\delta$ положительные и $\alpha+\beta+\gamma+\delta=1$ , то точка $M$ "делит" объем тетраэдра $ABCD$ в отношении: $V_{MBCD}: V_{MCDA}: V_{MDAB}: V_{MABC}=\alpha:\beta:\gamma:\delta.$ 6. В свойствах 1-5 точка $O$ приложения радиус-векторов произвольная. Пример 1.25. На сторонах $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ взяты соответственно точки $M$ и $N$ так, что $AM:MB=2:3$ и $AN:NC=3:6$ . В каком отношении делится каждый из отрезков $BN$ и $CM$ точкой $K$ их пересечения? Решение. Поскольку векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$ неколлинеарные, выберем их в качестве базиса на плоскости. С одной стороны, точка $K$ принадлежит прямой $BN$ (рис.1.56), поэтому существует такое значение $t$ , при котором $\overrightarrow{AK}=t\cdot\overrightarrow{AN}+(1-t)\cdot\overrightarrow{AB}$ . С другой стороны, точка $K$ принадлежит прямой $CM$ , поэтому найдется такое значение $s$ , при котором $\overrightarrow{AK}=s\cdot\overrightarrow{AM}+(1-s)\cdot\overrightarrow{AC}$ . Учитывая, что $\overrightarrow{AN}=\frac{3}{8}\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{AM}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}$ , получаем: $\overrightarrow{AK}=t\cdot\frac{3}{8}\cdot\overrightarrow{AC}+(1-t)\cdot\overrightarrow{AB}=s\cdot\frac{2}{5}\cdot\overrightarrow{AB}+(1-s)\cdot\overrightarrow{AC}.$ В силу единственности разложения вектора $\overrightarrow{AK}$ по базису на плоскости, приравниваем соответствующие координаты: $\left\{\!\begin{gathered}\frac{3}{8}t=1-s,\\1-t=\frac{2}{5}s;\end{gathered}\right.~\Leftrightarrow~ \left\{\!\begin{gathered}3t=8-8s,\\5-5t=2s;\end{gathered}\right.~\Leftrightarrow~ \left\{\!\begin{gathered}t=\frac{12}{17},\\s=\frac{25}{34}.\end{gathered}\right.$ Таким образом, $\overrightarrow{AK}=t\cdot\overrightarrow{AN}+(1-t)\cdot\overrightarrow{AB}\,\vline\,_{t=\frac{12}{17}}=\frac{12}{17}\cdot\overrightarrow{AN}+\frac{5}{17}\cdot\overrightarrow{AB}$ , т.е. точка $K$ , делит отрезок $BN$ в отношении $BK:KN=12:5$ . Из равенства $\overrightarrow{AK}=s\cdot\overrightarrow{AM}+(1-s)\cdot\overrightarrow{AC}\,\vline\,_{s=\frac{25}{34}}=\frac{25}{34}\cdot\overrightarrow{AM}+\frac{9}{34}\cdot\overrightarrow{AC}$ делаем вывод, что $CK:KM=25:9$ . Пример 1.26. В треугольной пирамиде $OABCD$ найти сумму векторов, соединяющих каждую из вершин с точкой пересечения медиан противоположной грани. Решение. Пусть $A_1,B_1,C_1,O_1$ — точки пересечения медиан граней $OBC,OAC,OAB,ABC$ соответственно. Требуется найти сумму $\overrightarrow{OO_1}+\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{BB_1}+\overrightarrow{CC_1}$ . Возьмем некомпланарные векторы $\vec{a}=\overrightarrow{OA}$ , $\vec{b}=\overrightarrow{OB}$ , $\vec{c}=\overrightarrow{OC}$ в качестве базисных и разложим все слагаемые искомой суммы по этому базису. Пусть $M$ — середина ребра $BC$ (рис. 1.57). Применяя свойство медиан $(AO_1:O_1M=2:1)$ и свойство 2 аффинных и выпуклых комбинаций при $\alpha=1,\beta=2$ находим: $\begin{gathered} \overrightarrow{OO_1}=\frac{1}{3}\cdot\overrightarrow{OA}+\frac{2}{3}\cdot\overrightarrow{OM}=\frac{1}{3}\cdot\vec{a}+\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}(\vec{b}+\vec{c})=\frac{1}{3}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})\\[2pt] \overrightarrow{AA_1}=\overrightarrow{OA_1}-\overrightarrow{OA}=\frac{2}{3}\cdot\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OA}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}(\vec{b}+\vec{c})-\vec{a}=\frac{1}{3}(\vec{b}+\vec{c})-\vec{a}. \end{gathered}$ Аналогично (меняя циклически буквы) получаем $\overrightarrow{BB_1}=\frac{1}{3}\cdot(\vec{a}+\vec{c})-\vec{b};~\overrightarrow{CC_1}=\frac{1}{3}\cdot(\vec{a}+\vec{c})-\vec{c}$ . Складывая все разложения, приходим к равенству $\overrightarrow{OO_1}+\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{BB_1}+\overrightarrow{CC_1}=\underbrace{\frac{1}{3}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})}_{\overrightarrow{OO_1}}+\underbrace{\frac{1}{3}(\vec{b}+\vec{c})-\vec{a}}_{\overrightarrow{AA_1}}+\underbrace{\frac{1}{3}(\vec{a}+\vec{c})-\vec{b}}_{\overrightarrow{BB_1}}+\underbrace{\frac{1}{3}(\vec{a}+\vec{b})-\vec{c}}_{CC_1}=\vec{o},$ т.е. искомая сумма равна нулевому вектору. Пример 1.27. Основанием четырехугольной пирамиды $SABCD$ служит параллелограмм $ABCD$ . На боковых ребрах $SB$ и $SC$ взяты соответственно точки $B_1$ и $C_1$ так, что $SB_1:B_1B=5:2$ и $SC_1:C_1C=4:3$ . В каком отношении делит ребро $SD$ плоскость $\rho$ проходящая через точки $A,B_1,C_1$ ? Решение.Пусть $D_1$ точка пересечения плоскости с ребром $SD$ (рис.1.58). Найдем отношение $\frac{\overrightarrow{SD_1}}{\overrightarrow{SD}}=\lambda$ . Для этого разложим векторы $\overrightarrow{SD_1}$ и $\overrightarrow{SD}$ по базису $\overrightarrow{SA},\overrightarrow{SB},\overrightarrow{SC}$ . Так как точка $D_1$ принадлежит плоскости $\rho$ , то по формуле (1.23) $\begin{aligned} \overrightarrow{SD_1}&= t\cdot\overrightarrow{SA}+ s\cdot\overrightarrow{SB_1}+(1-t-s)\cdot\overrightarrow{SC_1}=t\cdot\overrightarrow{SA}+s\cdot\frac{5}{7}\cdot\overrightarrow{SB}+(1-t-s)\cdot\frac{4}{7}\cdot\overrightarrow{SC};\\[3pt]\overrightarrow{SD}&=\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SB}.\end{aligned}$ Подставляя в равенство $\overrightarrow{SD_1}=\lambda\cdot\overrightarrow{SD}$ полученные разложения, находим $t\cdot\overrightarrow{SA}+s\cdot\frac{5}{7}\cdot\overrightarrow{SB}+(1-t-s)\cdot\frac{4}{7}\overrightarrow{SC}=\lambda\cdot\overrightarrow{SA}-\lambda\cdot\overrightarrow{SB}+\lambda\cdot\overrightarrow{SC}.$ Записываем равенства соответствующих координат равных векторов: $\left\{\!\begin{gathered}t=\lambda,\\\frac{5}{7}s=-\lambda,\\\frac{4}{7}(1-t-s)=\lambda.\end{gathered}\right.$ Подставляя $t=\lambda$ и $s=-\frac{7}{5}\lambda$ в последнее уравнение системы, получаем $\frac{4}{7}\!\left(1-\lambda+\frac{7}{5}\lambda\right)=\lambda$ . Отсюда $\lambda=\frac{20}{27}$ , т.е. $\frac{\overrightarrow{SD_1}}{\overrightarrow{SD}}=\frac{20}{27}$ . Следовательно, плоскость делит ребро в отношении $20:7$ (считая от вершины пирамиды). Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике). Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур

Онлайн-сервисы

Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики Онлайн число, сумма и дата прописью

Алгоритмы JavaScript

Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки Уникальные элементы массива Объединение, пересечение и разность массивов НОД и НОК Операции над матрицами Дата прописью

Введение в анализ

Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика

Теория множеств

Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия

Математическая логика

Алгебра высказываний

Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции

Булевы функции

Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций

Теория формального

Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний

Логика предикатов

Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов

Неформальные и формаль-
ные аксиоматические теории

Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории

Теория алгоритмов

Интуитивное представление об алгоритмах Машины Тьюринга и тезис Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики

Математическая логика и компьютеры

Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект

Дискретная математика

Множества и отношения

Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций

Группы и кольца

Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов

Полукольца и булевы алгебры

Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки

Алгебраические системы

Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры

Теория графов

Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов

Булева алгебра и функции

Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов

Конечные автоматы и регулярные языки

Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга

Контекстно-свободные языки

Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов

Интегральное исчисление

Неопределённый и определённый

Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции

Приложения интегралов

Вычисление площадей плоских фигур Площади фигур в различных координатах Вычисление объемов тел с помощью интегралов Объём тела вращения Вычисление длин дуг кривых Формулы длины дуги регулярной кривой Кривизна плоской кривой Площадь поверхности вращения тела

Интегралы в физике

Статические моменты и координаты центра тяжести Теоремы Гульдина–Паппа Вычисление моментов инерции Другие приложения интегралов в физике

Основные интегралы

Интеграл Ньютона-Лейбница Интеграл Римана Интеграл Лебега

Вариационное исчисление

Примеры вариационных задач Дифференциальное уравнение Эйлера Функционалы, зависящие от нескольких функций Задача о минимуме кратного интеграла

Финансовый анализ

Анализ эффективности

Критерии и показатели эффективности предприятия Методы анализа эффективности деятельности Факторный анализ прибыли от операционной деятельности Анализ безубыточности предприятия Операционный рычаг и эффект финансового рычага Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала Анализ распределения прибыли предприятия Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности

Анализ устойчивости

Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность Характеристика типов финансовой устойчивости

Рыночная активность

Финансовый анализ рыночной активности Методика анализа рыночной активности Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию

Инвестиционная деятельность

Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование

Анализ инвестиций

Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия Задачи финансового анализа инвестиций предприятия Учет фактора времени в инвестиционной деятельности Аннуитет и финансовая рента в инвестициях Учет фактора инфляции при инвестировании Оценка фактора риска инвестиционного проекта Методы оценки эффективности инвестиций Показатели эффективности инвестиционного проекта

Стоимость компании

Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций

Форвардные контракты

Форвардный контракт и цена Форвардная цена акции на бирже Цена форвардного контракта инвестора Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда Форвардная цена валюты на рынке форекс Форвардный валютный курс и инфляция на рынке Форвардная цена товара и спотовый рынок Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам Синтетический форвардный контракт на акции и валюту

Теория вероятностей

Основные понятия теории вероятностей Зависимые и независимые случайные события Повторные независимые испытания Формула Бернулли Одномерные случайные величины Многомерные случайные величины Функции случайных величин Законы распределения целочисленных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и предельные теоремы Вероятностные закономерности

Математическая статистика

Элементы математической статистики Выборочный метод Оценки параметров генеральной совокупности Статистические гипотезы Критерии согласия Теоретические и эмпирические частоты

Теория очередей (СМО)

Определение системы массового обслуживания Уравнения Колмогорова Предельные вероятности состояний Определение СМО с отказами Определение СМО с ожиданием (очередью)

Аналитическая геометрия

Векторная алгебра

Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике

Системы координат

Прямоугольные координаты Преобразования прямоугольных координат Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферические координаты Аффинные координаты Аффинные преобразования координат Аффинные преобразования плоскости Примеры аффинных преобразований плоскости Аффинные преобразования пространства Многомерное координатное пространство Линейные и аффинные подпространства Скалярное произведение n-мерных векторов Преобразования систем координат

Геометрия на плоскости

Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными

Линии 2-го порядка

Канонические уравнения линий второго порядка Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду Эллипс Гипербола Парабола Квадратичные неравенства с двумя неизвестными Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций

Инварианты линий

Классификация линий 2-го порядка по инвариантам Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам

Геометрия в пространстве

Способы задания ГМТ в пространстве Алгебраические уравнения поверхностей Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам Уравнения плоскости, проходящей через три точки Взаимное расположение плоскостей Типовые задачи с плоскостями Уравнения прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Типовые задачи с прямыми в пространстве

Поверхности 2-го порядка

Канонические уравнения поверхностей Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду Поверхности второго порядка Эллипсоиды Гиперболоиды Конусы Параболоиды Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций

Инварианты поверхностей

Классификация поверхностей 2-го порядка по инвариантам Квадратичные неравенства с тремя неизвестными Приведение уравнения поверхности к канониче-скому виду по инвариантам

Линейная алгебра

Матрицы и операции

Линейные операции над матрицами Умножение матриц Возведение матриц в степень Многочлены от матриц Транспонирование и сопряжение матриц Блочные матрицы Произведение и сумма матриц Кронекера Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду Элементарные преобразования матриц

Определители

Определители матриц и их основные свойства Формула полного разложения определителя Формула Лапласа полного разложения определителя Определитель произведения матриц Методы вычисления определителей

Ранг матрицы

Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы Ранг матрицы и базисный минор матрицы Методы вычисления ранга матрицы Ранг системы столбцов (строк)

Обратная матрица

Обратные матрицы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы Способы нахождения обратной матрицы Матричные уравнения Односторонние обратные матрицы Скелетное разложение матрицы Полуобратная матрица Псевдообратная матрица

Системы уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Структура общего решения системы уравнений Решение систем с помощью полуобратных матриц Псевдорешения системы линейных уравнений

Функциональные матрицы

Функциональные матрицы скалярного аргумента Производные матриц по векторному аргументу Линейные и квадратичные формы и их преобразования Приведение форм к каноническому виду Закон инерции вещественных квадратичных форм Знакоопределенность форм вещественных квадратичных Формы и исследование функций на экстремум

Многочленные матрицы

Многочленные матрицы (лямбда-матрицы) Операции над лямбда-матрицами Простые преобразования многочленных матриц Инвариантные множители многочленной матрицы

Функции от матриц

Собственные векторы и значения матрицы Подобие числовых матриц Характеристический многочлен матрицы Минимальный многочлен матрицы Теорема Гамильтона-Кэли Жорданова форма матрицы Приведение матрицы к жордановой форме Многочлены от матриц Применение многочленов от матриц Функции от матриц

Линейные пространства

Линейные пространства: определение и примеры Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов Размерность и базис линейного пространства Преобразования координат в линейном пространстве Изоморфизм линейных пространств

Подпространства

Подпространства линейного пространства Пересечение и сумма подпространств Способы описания подпространств Нахождение дополнения и суммы подпространств Нахождение пересечения подпространств

Линейные отображения

Линейные многообразия Линейные отображения Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения

Линейные операторы

Линейные операторы (преобразования) Инвариантные подпространства Собственные векторы и значения оператора Свойства собственных векторов операторов Канонический вид линейного оператора Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду

Евклидовы пространства

Комплексный анализ

Комплексные числа

Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Множества на комплексной плоскости Последовательности и ряды комплексных чисел

Комплексные функции

Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная Элементарные функции комплексного переменного Дифференцирование функций комплексного переменного Аналитические функции и их свойства Конформные отображения
и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного

Функциональные ряды в комплексной области

Функциональные ряды и последовательности Степенные ряды и их свойства Разложение функций в степенные ряды Нули аналитических функций Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням

Особые точки, Вычеты

Изолированные особые точки функций и полюсы Вычеты и их применение Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычеты и расположение нулей многочлена

Операционное исчисление

Преобразование Лапласа и его свойства Решение ДУ операционным методом Анализ выходных процессов линейных стационарных систем Z-преобразование и его свойства

Дифференциальные уравнения

ДУ первого порядка

Основные понятия и определения ДУ Метод изоклин для ДУ 1-го порядка Метод последовательных приближений ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ 1-го порядка Дифференциальное уравнение Бернулли ДУ в полных дифференциалах Интегрирующий множитель ДУ, не разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение Риккати Составление ДУ семейств линий Задачи на траектории Особые решения ДУ

ДУ высших порядков

Понятия и определения ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка Линейная независимость функций Определители Вронского и Грама Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения Задача Коши и Уравнение Эйлера Линейные ДУ с переменными коэффициентами Метод Лагранжа решения ДУ Краевые задачи для ДУ высших порядков Разложение решения ДУ в степенной ряд Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд Нахождение периодических решений ДУ Асимптотическое интегрирование ДУ

Системы ДУ

Системы ДУ: понятия и определения Сведение системы ДУ к одному уравнению Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование однородных линейных систем ДУ Методы интегрирования неоднородных систем ДУ Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем

Теория устойчивости

Устойчивость решений ДУ по Ляпунову Простейшие типы точек покоя Метод функций Ляпунова Устойчивость решений ДУ по первому приближению Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова ДУ с малым параметром при производной

Численные методы

Методы алгебры

Численные методы линейной алгебры Численные методы решения СЛАУ Итерационный метод Шульца обратной матрицы Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы Методы решения нелинейных уравнений Методы решения систем нелинейных уравнений

Методы теории приближений

Методы приближения сеточных функций Методы функциональной интерполяции Методы интегрально-дифференциальной интерполяции Методы интегрального сглаживания Методы интерполяции и сглаживания сплайнами Методы численного дифференцирования и интегрирования Методы численного дифференцирования Методы численного интегрирования

Методы решения обыкновенных ДУ

Численные методы решения задачи Коши Разностные схемы для решения задачи Коши Составные схемы для решения задачи Коши Экстраполяционные методы решения задачи Коши Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши Численные методы решения краевых задач

Методы решения ДУ в частных производных

Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Численные методы решения уравнений в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными

Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур

В данном разделе рассматривается применение векторной алгебры для решения задач аффинной геометрии. В этих задачах, как правило, требуется искать отношения длин отрезков, площадей фигур или объемов тел. Наряду со свободными векторами будем использовать радиус-векторы, т.е. векторы, приложенные к одной (произвольной) точке $O$ пространства.

Линейные и неотрицательные комбинации радиус-векторов

Множество линейных комбинаций радиус-вектора $\overrightarrow{OA}$ называется его линейной оболочкой и обозначается

$\operatorname{Lin}\bigl(\overrightarrow{OA}\bigl)\,=\Bigl\{\overrightarrow{OM}\colon\overrightarrow{OM}=\alpha\cdot\overrightarrow{OA};~\alpha\in\mathbb{R}\Bigr\}$

Линейная оболочка $\operatorname{Lin}\bigl(\overrightarrow{OA}\bigl)$ ненулевого радиус-вектора $\overrightarrow{OA}$ представляет собой множество радиус-векторов, концы которых принадлежат прямой $OA$ (рис.1.50,а).

В самом деле, ненулевой вектор $\overrightarrow{OA}$ образует базис на прямой $OA$ . Поэтому вектор $\overrightarrow{OM}$ можно разложить по этому базису, т.е. представить в виде $\overrightarrow{OM}= \alpha\cdot \overrightarrow{OA}$ , где $\alpha$ — координата вектора $\overrightarrow{OM}$ .

Линейная комбинация $\alpha\cdot\overrightarrow{OA}$ радиус-вектора $\overrightarrow{OA}$ называется неотрицательной, если ее коэффициент — неотрицательное число: $\alpha\geqslant0$ . Множество неотрицательных линейных комбинаций вектора $\overrightarrow{OA}$ называется его конической оболочкой и обозначается:

$\operatorname{Con}\bigl(\overrightarrow{OA}\bigl)\,=\Bigl\{\overrightarrow{OM}\colon\overrightarrow{OM}=\alpha\cdot\overrightarrow{OA};~\alpha\geqslant0,~\alpha\in\mathbb{R}\Bigr\}$

Линейная и коническая оболочка вектора на плоскости

Коническая оболочка $\operatorname{Con}\bigl(\overrightarrow{OA}\bigl)$ ненулевого радиус-вектора $\overrightarrow{OA}$ представляет собой множество всех радиус-векторов, концы которых принадлежат лучу $OA$ (рис. 1.50,6). Действительно, учитывая, что неотрицательная комбинация является линейной, приходим к равенству $\overrightarrow{OM}= \alpha\cdot \overrightarrow{OA}$ , где $\alpha\geqslant0$ . При $\alpha>0$ векторы $\overrightarrow{OM}$ и $\overrightarrow{OA}$ одинаково направлены, т.е. точка $M$ принадлежит лучу $OA$ . Если $\alpha=0$ , радиус-вектор $\overrightarrow{OM}$ нулевой, т.е. точка $M$ совпадает с точкой $O$ (с началом луча $OA$ ).

Множество линейных комбинаций радиус-векторов $\overrightarrow{OA}$ и $OB$ называется их линейной оболочкой и обозначается

$\operatorname{Lin}\bigl(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\bigl)\,=\Bigl\{\overrightarrow{OM}\colon\overrightarrow{OM}=\alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB};~\alpha\in\mathbb{R},~\beta\in\mathbb{R}\Bigr\}.$

Покажем, что линейная оболочка $\operatorname{Lin}\bigl(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\bigl)$ двух неколлинеарных радиус-векторов представляет собой множество таких радиус-векторов, концы которых (и сами векторы) принадлежат плоскости, проходящей через точки $O,A,B$ (рис.1.51,а).

Действительно, неколлинеарные векторы $\overrightarrow{OA}$ и $\overrightarrow{OB}$ образуют базис на плоскости, проходящей через точки $O,A,B$ . Поэтому для любой точки $M$ этой плоскости радиус-вектор $\overrightarrow{OM}$ можно разложить по базису, т.е. представить в виде $\overrightarrow{OM}=\alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB}$ , где $\alpha,\beta$ — координаты вектора $\overrightarrow{OM}$ . И наоборот, для любых чисел $\alpha,\beta$ радиус-вектор $\overrightarrow{OM}=\alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB}$ , а следовательно, и точка $M$ , принадлежат указанной плоскости.

Если векторы $\overrightarrow{OA}$ и $\overrightarrow{OB}$ коллинеарны, то любая их линейная комбинация принадлежит прямой $AB$ (рис.1.51,б).

Линейная комбинация $\alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB}$ радиус-векторов $\overrightarrow{OA}$ и $\overrightarrow{OB}$ называется неотрицательной, если ее коэффициенты — неотрицательные числа: $\alpha\geqslant0,\beta\geqslant0$ . Множество неотрицательных линейных комбинаций векторов $\overrightarrow{OA}$ и $\overrightarrow{OB}$ называется их конической оболочкой и обозначается:

$\operatorname{Con}\bigl(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\bigl)\,=\Bigl\{\overrightarrow{OM}\colon\overrightarrow{OM}=\alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB};~\alpha\geqslant0,~\beta\geqslant0,~\alpha\in\mathbb{R},~\beta\in\mathbb{R}\Bigr\}.$

Линейная и коническая оболочка трёх некомпланарных радиус-векторов

Коническая оболочка $\operatorname{Con}\bigl(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\bigl)$ представляет собой множество всех радиус-векторов, концы которых принадлежат плоскому углу $AOB$ (заштрихованное множество на рис. 1.51,в).

Множество линейных комбинаций радиус-векторов $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ называется их линейной оболочкой и обозначается

$\operatorname{Lin}\bigl(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}\bigl)\,=\Bigl\{\overrightarrow{OM}\colon\overrightarrow{OM}=\alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB}+\gamma\cdot\overrightarrow{OC}; \alpha\in\mathbb{R},~\beta\in\mathbb{R},~\gamma\in\mathbb{R}\Bigr\}.$

Любой радиус-вектор $\overrightarrow{OM}$ принадлежит линейной оболочке $\operatorname{Lin}\bigl(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}\bigl)$ трех некомпланарных радиус-векторов $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ . В самом деле, векторы $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ (рис.1.52,а) образуют базис в пространстве. Поэтому любой радиус- вектор $\overrightarrow{OM}$ можно разложить по этому базису, т.е. представить в виде $\overrightarrow{OM}=\alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB}+\gamma\cdot\overrightarrow{OC}$ , где $\alpha,\beta,\gamma$ — координаты вектора $\overrightarrow{OM}$ .

Линейная комбинация $\alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB}+\gamma\cdot\overrightarrow{OC}$ радиус-векторов $\overrightarrow{OA}$ , $\overrightarrow{OB}$ , ${ \overrightarrow{OC}}$ называется неотрицательной, если ее коэффициенты – неотрицательные числа: $\alpha\geqslant0,\beta\geqslant0,\gamma\geqslant0$ . Множество неотрицательных линейных комбинаций векторов $\overrightarrow{OA}$ , $\overrightarrow{OB}$ , ${ \overrightarrow{OC}}$ называется их конической оболочкой и обозначается:

$\operatorname{Con}\bigl(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}\bigl)\,=\Bigl\{\overrightarrow{OM}\colon\overrightarrow{OM}=\alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB}+\gamma\cdot\overrightarrow{OC};~\alpha\geqslant0,\beta\geqslant0,\gamma\geqslant0,~\alpha\in\mathbb{R},~\beta\in\mathbb{R},~\gamma\in\mathbb{R}\Bigr\}.$

Коническая оболочка $\operatorname{Con}\bigl(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}\bigl)$ трех некомпланарных векторов представляет собой множество всех радиус-векторов, концы которых принадлежат трехгранному углу $OABC$ (рис. 1.52,б).

Понятия линейной или неотрицательной комбинаций векторов распространяются на любое конечное число векторов.

Векторы $\overrightarrow{OA_1},\overrightarrow{OA_2},\ldots,\overrightarrow{OA_k}$ называются образующими линейной оболочки $\operatorname{Lin}\bigl(\overrightarrow{OA_1},\overrightarrow{OA_2},\ldots,\overrightarrow{OA_k}\bigl)$ и, соответственно, конической оболочки $\operatorname{Con}\bigl(\overrightarrow{OA_1},\overrightarrow{OA_2},\ldots,\overrightarrow{OA_k}\bigl)$ .

Аффинные и выпуклые комбинации радиус-векторов

Линейная комбинация $\alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB}$ радиус-векторов $\overrightarrow{OA}$ и $\overrightarrow{OB}$ называется аффинной, если сумма ее коэффициентов равна единице: $\alpha+\beta=1$ . Множество аффинных комбинаций векторов $\overrightarrow{OA}$ и $\overrightarrow{OB}$ называется их аффинной оболочкой и обозначается:

$\operatorname{Aff}\bigl(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\bigl)\,=\Bigl\{\overrightarrow{OM}\colon\overrightarrow{OM}=\alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB};~\alpha+\beta=1~\alpha\in\mathbb{R},~\beta\in\mathbb{R}\Bigr\}.$

Покажем, что аффинная оболочка $\operatorname{Aff}\bigl(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\bigl)$ представляет собой множество всех радиус-векторов, концы которых принадлежат прямой $AB$ . Действительно, равенство $\overrightarrow{OM}=\alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB}$ при $\alpha+\beta=1$ можно представить в виде $\overrightarrow{OM}=(1-\beta)\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\bigl(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\bigl)$ . Отсюда следует, что $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OA}=\beta\cdot\overrightarrow{AB}$ , т.е. векторы $\overrightarrow{AM}$ и $\overrightarrow{AB}$ коллинеарны (рис.1.53,а). Следовательно, точка $M$ принадлежит прямой $AB$ . Проводя рассуждения в обратном порядке, заключаем, что для любой точки $M$ , принадлежащей прямой $AB$ , найдутся такие числа $\alpha$ и $\beta$ , что

$\overrightarrow{OM}= \alpha\cdot \overrightarrow{OA}+ \beta\cdot \overrightarrow{OB}$ и $\alpha+\beta=1$ .

Линейная комбинация $\alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB}$ радиус-векторов $\overrightarrow{OA}$ и $\overrightarrow{OB}$ называется выпуклой, если все ее коэффициенты — неотрицательные числа, а их сумма равна единице: $\alpha+\beta=1,\alpha\geqslant0,\beta\geqslant0$ . Множество выпуклых комбинаций векторов $\overrightarrow{OA}$ и $\overrightarrow{OB}$ называется их выпуклой оболочкой и обозначается:

$\operatorname{Conv}\bigl(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\bigl)\,=\Bigl\{\overrightarrow{OM}\colon\overrightarrow{OM}=\alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB};~\alpha+\beta=1,~\alpha\geqslant0,\beta\geqslant0,~\alpha\in\mathbb{R},~\beta\in\mathbb{R}\Bigr\}.$

Покажем, что выпуклая оболочка $\operatorname{Conv}\bigl(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\bigl)$ представляет собой множество всех радиус-векторов, концы которых принадлежат отрезку $AB$ (рис.1.53,б). Действительно, учитывая, что выпуклая комбинация является аффинной, приходим к равенству $\overrightarrow{AM}=\beta\cdot\overrightarrow{AB}$ , где $0\leqslant\beta\leqslant1$ . Это равенство означает, что точка $M$ принадлежит отрезку $AB$ (включая его концы: $M$ совпадает с точкой $B$ при $\beta=1$ и с точкой $A$ при $\beta=0$ ). Поскольку $\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}-\beta\cdot\overrightarrow{AB}=(1-\beta)\cdot\overrightarrow{AB}=\alpha\cdot\overrightarrow{AB}$ , то $\frac{\overrightarrow{AM}}{\overrightarrow{MB}}=\frac{\beta\cdot\overrightarrow{AB}}{\alpha\cdot\overrightarrow{AB}}=\frac{\beta}{\alpha}$ . При этом говорят, что точка $M$ делит отрезок $AB$ в отношении $AM:MB=\beta:\alpha~(\alpha>0,\beta>0,\alpha+\beta=1)$ .

Рассмотрим аффинные и выпуклые комбинации трех радиус-векторов.

Линейная комбинация $\alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB}+\gamma\cdot\overrightarrow{OC}$ радиус-векторов $\overrightarrow{OC},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ называется аффинной, если сумма ее коэффициентов равна единице: $\alpha+\beta+\gamma=1$ . Множество аффинных комбинаций векторов ${ \overrightarrow{OC}}$ , $\overrightarrow{OB}$ , ${ \overrightarrow{OC}}$ называется их аффинной оболочкой и обозначается:

$\operatorname{Aff}\bigl(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}\bigl)\,=\Bigl\{\overrightarrow{OM}\colon\overrightarrow{OM}=\alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB}+\gamma\cdot\overrightarrow{OC};~\alpha+\beta+\gamma=1,~\alpha\in\mathbb{R},~\beta\in\mathbb{R},~\gamma\in\mathbb{R}\Bigr\}.$

Покажем, что аффинная оболочка $\operatorname{Aff}\bigl(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}\bigl)$ представляет собой множество всех радиус-векторов, концы которых принадлежат плоскости, проходящей через точки $A,B,C$ (рис. 1.54,а). Действительно, исключая в равенстве $\overrightarrow{OM}=\alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB}+\gamma\cdot\overrightarrow{OC}$ коэффициент $\alpha=1-\beta-\gamma$ , получаем

Аффинная и коническая оболочка векторов на плоскости

$\overrightarrow{OM}=(1-\beta-\gamma)\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB}+\gamma\cdot\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\bigl(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\bigl)\,+\gamma\cdot\bigl(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}\bigl)$

Отсюда следует, что $\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OA}=\beta\cdot\bigl(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}\bigl)\,+\gamma\cdot\beta\cdot\bigl(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}\bigl)$ , т.е. $\overrightarrow{AM}=\beta\cdot\overrightarrow{AB}+\gamma\cdot\overrightarrow{AC}$ . Если векторы $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{AC}$ коллинеарны (точки $A,B,C$ принадлежат одной прямой), то и точка $M$ принадлежит той же прямой, а также любой плоскости, проходящей через точки $A,B,C$ . Если же векторы $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{AC}$ не коллинеарные (точки $A,B,C$ не принадлежат одной прямой), то точка $M$ принадлежит плоскости, проходящей через точки $A,B,C$ , так как вектор $\overrightarrow{AM}$ разлагается по векторам $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{AC}$ , принадлежащим этой плоскости.

Проводя рассуждения в обратном порядке, приходим к выводу, что для любой точки $M$ , принадлежащей плоскости, проходящей через точки $A,B,C$ , найдутся числа $\alpha,\beta,\gamma$ такие, что

$\overrightarrow{OM}=\alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB}+\gamma\cdot\overrightarrow{OC},~\alpha+\beta+\gamma=1.$

Линейная комбинация а $\alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB}+\gamma\cdot\overrightarrow{OC}$ радиус-векторов $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ называется выпуклой, если все ее коэффициенты – неотрицательные числа, а их сумма равна единице: $\alpha+\beta+\gamma=1$ . Множество выпуклых комбинаций векторов $\overrightarrow{OA}$ , $\overrightarrow{OB}$ , ${ \overrightarrow{OC}}$ называется их выпуклой оболочкой и обозначается:

$\operatorname{Conv}\bigl(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}\bigl)\,=\Bigl\{\overrightarrow{OM}\colon\overrightarrow{OM}=\alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB}+\gamma\cdot\overrightarrow{OC};~\alpha+\beta+\gamma=1,~\alpha\geqslant0,\beta\geqslant0,\gamma\geqslant0\}.$

Покажем, что выпуклая оболочка $\operatorname{Conv}\bigl(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}\bigl)$ представляет собой множество всех радиус-векторов, концы которых принадлежат плоскому треугольнику $ABC$ (предполагаем, что точки $A,B,C$ не лежат на одной прямой). Действительно, если $\gamma>1$ , то $\alpha=0,\beta=0$ и

$\overrightarrow{OM}=\alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB}+\gamma\cdot\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OC},$

т.е. точка $M$ совпадает с вершиной $C$ треугольника $ABC$ . Пусть $0\leqslant \gamma \leqslant1$ , тогда $\alpha+ \beta= 1-\gamma$ и

$\overrightarrow{OM}=\alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB}+\gamma\cdot\overrightarrow{OC}=(1-\gamma)\cdot\left(\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\cdot\overrightarrow{OA}+\frac{\beta}{\alpha+\beta}\cdot\overrightarrow{OB}\right)+\gamma\cdot\overrightarrow{OB}=(1-\gamma)\cdot\overrightarrow{ON}+\gamma\cdot\overrightarrow{OC}.$

Здесь $\overrightarrow{ON}=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\cdot\overrightarrow{OA}+\frac{\beta}{\alpha+\beta}\cdot\overrightarrow{OB}$ — выпуклая комбинация векторов $\overrightarrow{OA}$ и $\overrightarrow{OB}$ , поскольку ее коэффициенты — неотрицательные числа, а их сумма равна единице. Следовательно, точка $N$ принадлежит стороне $AB$ треугольника $ABC$ и делит ее в отношении $AN:NB=\beta:\alpha$ (рис. 1.54,6). В свою очередь, точка $M$ принадлежит отрезку $CN$ , так как $\overrightarrow{OM}=(1-\gamma)\cdot\overrightarrow{ON}+\gamma\cdot\overrightarrow{OC}$ — выпуклая оболочка векторов $\overrightarrow{ON}$ и ${ \overrightarrow{OC}}$ . Поэтому точка $M$ принадлежит плоскому треугольнику $ABC$ (включая его внутренность). Заметим, что точка $M$ делит отрезок $CN$ в отношении $MN:CM=\gamma:(1-\gamma)$ . Тогда $MN-\gamma\cdot MN=\gamma\cdot CM$ , т.е. $MN=\gamma\cdot(CM+MN)=\gamma\cdot CN$ . Отсюда $CN:MN=1:\gamma$ . Это отношение равно отношению площадей треугольников $ABC$ и $MAB$ (поскольку у них общее основание $AB$ , а высоты, опущенные на это основание относятся как $CM:MN$ ). Следовательно, $CN:MN=1:\gamma=S_{ABC}:S_{MAB}$ . Аналогично можно показать, что $1:\alpha=S_{ABC}:S_{MBC}$ и $1:\beta=S_{ABC}:S_{MCA}$ . Таким образом, коэффициенты $\alpha,\beta,\gamma$ выпуклой комбинации равны отношениям площадей соответствующих треугольников:

$\alpha=\frac{S_{MBC}}{S_{ABC}};~~~\beta=\frac{S_{MCA}}{S_{ABC}};~~~\gamma=\frac{S_{MAB}}{S_{ABC}}.$

Говорят, что точка $M$ "делит" площадь треугольника $ABC$ в отношении $S_{MBC}:S_{MCA}:S_{MAB}=\alpha:\beta:\gamma$ .

Понятия аффинной и выпуклой комбинаций векторов распространяются на любое конечное число векторов.

Векторы $\overrightarrow{OA_1},\overrightarrow{OA_2},\ldots,\overrightarrow{OA_k}$ называются образующими аффинной оболочки $\operatorname{Aff}\bigl(\overrightarrow{OA_1},\overrightarrow{OA_2},\ldots,\overrightarrow{OA_k}\bigl)$ и, соответственно, выпуклой оболочки $\operatorname{Conv}\bigl(\overrightarrow{OA_1},\overrightarrow{OA_2},\ldots,\overrightarrow{OA_k}\bigl)$ .

Свойства аффинных и выпуклых комбинаций радиус-векторов

Сформулируем полученные результаты в виде свойств.

1. Точка $M$ , удовлетворяющая равенству

$\overrightarrow{OM}=t\cdot\overrightarrow{OA}+(1-t)\cdot \overrightarrow{OB},\quad t\in\mathbb{R}\,,$

(1.22)

принадлежит прямой $AB$ , и наоборот, для любой точки $M$ , принадлежащей прямой $M$ , найдется единственное действительное значение параметра $t$ , при котором справедливо разложение (1.22). Другими словами: геометрическим местом точек $M$ , удовлетворяющим условию (1.22), является прямая $AB$ .

2. Геометрическим местом точек $M$ , удовлетворяющим условию $\overrightarrow{OM}= t\cdot\overrightarrow{OA}+(1-t)\cdot\overrightarrow{OB},~0\leqslant t\leqslant1$ , является отрезок $AB$ . При $t=0$ точка $M$ совпадает с точкой $B$ , при $t=1$ — с точкой $A$ , при $0<t<1$ точка $M$ делит отрезок $AB$ в отношении (рис.1.55,а): $AM:MB=(1-t):t$ .

Треугольник и пирамида, построенные на векторах

И наоборот, если точка $M$ делит отрезок $AB$ в отношении $\frac{AM}{MB}=\frac{\beta}{\alpha}~(\alpha>0,\,\beta>0)$ , то

$\overrightarrow{OM}=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\cdot\overrightarrow{OA}+\frac{\beta}{\alpha+\beta}\cdot\overrightarrow{OB}.$

В частности, точка $M$ является серединой отрезка $AB~\left(\frac{AM}{MB}=\frac{\beta}{\alpha}=1\right)$ тогда и только тогда, когда $\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\cdot\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\cdot\overrightarrow{OB}$ .

3. Точка $M$ , удовлетворяющая равенству

$\overrightarrow{OM}= t\cdot\overrightarrow{OA}+ s\cdot\overrightarrow{OB}+(1-t-s)\cdot\overrightarrow{OC},~~ t\in\mathbb{R},\quad s\in\mathbb{R}\,,$

(1.23)

принадлежит плоскости, проходящей через точки $A,B,C$ , и наоборот, для любой точки $M$ , принадлежащей плоскости, проходящей через точки $A,B,C$ , не лежащие на одной прямой, найдутся единственные действительные значения параметров $t$ и $s$ , при которых справедливо разложение (1.23). Другими словами: геометрическим местом точек $M$ , удовлетворяющим условию (1.23), является плоскость, проходящая через точки $A,B,C$ , не лежащие на одной прямой.

4. Пусть $A,B,C$ — точки не лежащие на одной прямой. Геометрическим местом точек $M$ , удовлетворяющим условию

$\overrightarrow{OM}= \alpha\cdot \overrightarrow{OA}+ \beta\cdot \overrightarrow{OB}+\gamma\cdot\overrightarrow{OC},$

где все коэффициенты $\alpha,\beta,\gamma$ — неотрицательные числа, сумма которых равна единице, является плоский треугольник $ABC$ . Если коэффициенты $\alpha,\beta,\gamma$ положительные и $\alpha+\beta+\gamma=1$ , то точка $M$ "делит" площадь треугольника $ABC$ в отношении (рис.1.55,б):

$S_{MBC}:S_{MCA}:S_{MAB}=\alpha:\beta:\gamma.$

И наоборот, если точка $M$ "делит" площадь треугольника $ABC$ в отношении $S_{MBC}:S_{MCA}:S_{MAB}=\alpha:\beta:\gamma~(\alpha>0,\beta>0,\gamma>0)$ , то

$\overrightarrow{OM}=\frac{\alpha}{\alpha+\beta+\gamma}\cdot\overrightarrow{OA}+\frac{\beta}{\alpha+\beta+\gamma}\cdot\overrightarrow{OB}+\frac{\gamma}{\alpha+\beta+\gamma}\cdot\overrightarrow{OC}.$

В частности, точка $M$ является точкой пересечения медиан треугольника $ABC$ тогда и только тогда, когда

$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{3}\cdot\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}\cdot\overrightarrow{OB}+\frac{1}{3}\cdot\overrightarrow{OC}.$

5. Пусть $A,B,C,D$ — точки, не лежащие в одной плоскости. Геометрическим местом точек $M$ , удовлетворяющим условию

$\overrightarrow{OM}=\alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB}+\gamma\cdot\overrightarrow{OC}+\delta\cdot\overrightarrow{OD},$

где все коэффициенты $\alpha,\beta,\gamma,\delta$ — неотрицательные числа, сумма которых равна единице, является треугольная пирамида (тетраэдр) $ABCD$ , включая внутренние ее точки. Если коэффициенты $\alpha,\beta,\gamma,\delta$ положительные и $\alpha+\beta+\gamma+\delta=1$ , то точка $M$ "делит" объем тетраэдра $ABCD$ в отношении:

$V_{MBCD}: V_{MCDA}: V_{MDAB}: V_{MABC}=\alpha:\beta:\gamma:\delta.$

6. В свойствах 1-5 точка $O$ приложения радиус-векторов произвольная.

Пример 1.25. На сторонах $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ взяты соответственно точки $M$ и $N$ так, что $AM:MB=2:3$ и $AN:NC=3:6$ . В каком отношении делится каждый из отрезков $BN$ и $CM$ точкой $K$ их пересечения?

Решение. Поскольку векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$ неколлинеарные, выберем их в качестве базиса на плоскости. С одной стороны, точка $K$ принадлежит прямой $BN$ (рис.1.56), поэтому существует такое значение $t$ , при котором $\overrightarrow{AK}=t\cdot\overrightarrow{AN}+(1-t)\cdot\overrightarrow{AB}$ . С другой стороны, точка $K$ принадлежит прямой $CM$ , поэтому найдется такое значение $s$ , при котором $\overrightarrow{AK}=s\cdot\overrightarrow{AM}+(1-s)\cdot\overrightarrow{AC}$ . Учитывая, что $\overrightarrow{AN}=\frac{3}{8}\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{AM}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}$ , получаем:

$\overrightarrow{AK}=t\cdot\frac{3}{8}\cdot\overrightarrow{AC}+(1-t)\cdot\overrightarrow{AB}=s\cdot\frac{2}{5}\cdot\overrightarrow{AB}+(1-s)\cdot\overrightarrow{AC}.$

В силу единственности разложения вектора $\overrightarrow{AK}$ по базису на плоскости, приравниваем соответствующие координаты:

$\left\{\!\begin{gathered}\frac{3}{8}t=1-s,\\1-t=\frac{2}{5}s;\end{gathered}\right.~\Leftrightarrow~ \left\{\!\begin{gathered}3t=8-8s,\\5-5t=2s;\end{gathered}\right.~\Leftrightarrow~ \left\{\!\begin{gathered}t=\frac{12}{17},\\s=\frac{25}{34}.\end{gathered}\right.$

Таким образом, $\overrightarrow{AK}=t\cdot\overrightarrow{AN}+(1-t)\cdot\overrightarrow{AB}\,\vline\,_{t=\frac{12}{17}}=\frac{12}{17}\cdot\overrightarrow{AN}+\frac{5}{17}\cdot\overrightarrow{AB}$ , т.е. точка $K$ , делит отрезок $BN$ в отношении $BK:KN=12:5$ . Из равенства $\overrightarrow{AK}=s\cdot\overrightarrow{AM}+(1-s)\cdot\overrightarrow{AC}\,\vline\,_{s=\frac{25}{34}}=\frac{25}{34}\cdot\overrightarrow{AM}+\frac{9}{34}\cdot\overrightarrow{AC}$ делаем вывод, что $CK:KM=25:9$ .

Треугольная пирамида, построенная на векторах

Пример 1.26. В треугольной пирамиде $OABCD$ найти сумму векторов, соединяющих каждую из вершин с точкой пересечения медиан противоположной грани.

Решение. Пусть $A_1,B_1,C_1,O_1$ — точки пересечения медиан граней $OBC,OAC,OAB,ABC$ соответственно. Требуется найти сумму $\overrightarrow{OO_1}+\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{BB_1}+\overrightarrow{CC_1}$ . Возьмем некомпланарные векторы $\vec{a}=\overrightarrow{OA}$ , $\vec{b}=\overrightarrow{OB}$ , $\vec{c}=\overrightarrow{OC}$ в качестве базисных и разложим все слагаемые искомой суммы по этому базису. Пусть $M$ — середина ребра $BC$ (рис. 1.57). Применяя свойство медиан $(AO_1:O_1M=2:1)$ и свойство 2 аффинных и выпуклых комбинаций при $\alpha=1,\beta=2$ находим:

$\begin{gathered} \overrightarrow{OO_1}=\frac{1}{3}\cdot\overrightarrow{OA}+\frac{2}{3}\cdot\overrightarrow{OM}=\frac{1}{3}\cdot\vec{a}+\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}(\vec{b}+\vec{c})=\frac{1}{3}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})\\[2pt] \overrightarrow{AA_1}=\overrightarrow{OA_1}-\overrightarrow{OA}=\frac{2}{3}\cdot\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OA}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}(\vec{b}+\vec{c})-\vec{a}=\frac{1}{3}(\vec{b}+\vec{c})-\vec{a}. \end{gathered}$

Аналогично (меняя циклически буквы) получаем $\overrightarrow{BB_1}=\frac{1}{3}\cdot(\vec{a}+\vec{c})-\vec{b};~\overrightarrow{CC_1}=\frac{1}{3}\cdot(\vec{a}+\vec{c})-\vec{c}$ .

Складывая все разложения, приходим к равенству

$\overrightarrow{OO_1}+\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{BB_1}+\overrightarrow{CC_1}=\underbrace{\frac{1}{3}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})}_{\overrightarrow{OO_1}}+\underbrace{\frac{1}{3}(\vec{b}+\vec{c})-\vec{a}}_{\overrightarrow{AA_1}}+\underbrace{\frac{1}{3}(\vec{a}+\vec{c})-\vec{b}}_{\overrightarrow{BB_1}}+\underbrace{\frac{1}{3}(\vec{a}+\vec{b})-\vec{c}}_{CC_1}=\vec{o},$

т.е. искомая сумма равна нулевому вектору.

Пример 1.27. Основанием четырехугольной пирамиды $SABCD$ служит параллелограмм $ABCD$ . На боковых ребрах $SB$ и $SC$ взяты соответственно точки $B_1$ и $C_1$ так, что $SB_1:B_1B=5:2$ и $SC_1:C_1C=4:3$ . В каком отношении делит ребро $SD$ плоскость $\rho$ проходящая через точки $A,B_1,C_1$ ?

Решение.Пусть $D_1$ точка пересечения плоскости с ребром $SD$ (рис.1.58). Найдем отношение $\frac{\overrightarrow{SD_1}}{\overrightarrow{SD}}=\lambda$ . Для этого разложим векторы $\overrightarrow{SD_1}$ и $\overrightarrow{SD}$ по базису $\overrightarrow{SA},\overrightarrow{SB},\overrightarrow{SC}$ . Так как точка $D_1$ принадлежит плоскости $\rho$ , то по формуле (1.23)

Четырехугольная пирамида, построенная на векторах

$\begin{aligned} \overrightarrow{SD_1}&= t\cdot\overrightarrow{SA}+ s\cdot\overrightarrow{SB_1}+(1-t-s)\cdot\overrightarrow{SC_1}=t\cdot\overrightarrow{SA}+s\cdot\frac{5}{7}\cdot\overrightarrow{SB}+(1-t-s)\cdot\frac{4}{7}\cdot\overrightarrow{SC};\\[3pt]\overrightarrow{SD}&=\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SB}.\end{aligned}$

Подставляя в равенство $\overrightarrow{SD_1}=\lambda\cdot\overrightarrow{SD}$ полученные разложения, находим

$t\cdot\overrightarrow{SA}+s\cdot\frac{5}{7}\cdot\overrightarrow{SB}+(1-t-s)\cdot\frac{4}{7}\overrightarrow{SC}=\lambda\cdot\overrightarrow{SA}-\lambda\cdot\overrightarrow{SB}+\lambda\cdot\overrightarrow{SC}.$

Записываем равенства соответствующих координат равных векторов:

$\left\{\!\begin{gathered}t=\lambda,\\\frac{5}{7}s=-\lambda,\\\frac{4}{7}(1-t-s)=\lambda.\end{gathered}\right.$

Подставляя $t=\lambda$ и $s=-\frac{7}{5}\lambda$ в последнее уравнение системы, получаем $\frac{4}{7}\!\left(1-\lambda+\frac{7}{5}\lambda\right)=\lambda$ . Отсюда $\lambda=\frac{20}{27}$ , т.е. $\frac{\overrightarrow{SD_1}}{\overrightarrow{SD}}=\frac{20}{27}$ . Следовательно, плоскость делит ребро в отношении $20:7$ (считая от вершины пирамиды).

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Список статей » Список форумов

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]