Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур

Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур


В данном разделе рассматривается применение векторной алгебры для решения задач аффинной геометрии. В этих задачах, как правило, требуется искать отношения длин отрезков, площадей фигур или объемов тел. Наряду со свободными векторами будем использовать радиус-векторы, т.е. векторы, приложенные к одной (произвольной) точке O пространства.


Линейные и неотрицательные комбинации радиус-векторов


Множество линейных комбинаций радиус-вектора \overrightarrow{OA} называется его линейной оболочкой и обозначается


Линейная и коническая оболочка вектора
\operatorname{Lin}\bigl(\overrightarrow{OA}\bigl)\,=\Bigl\{\overrightarrow{OM}\colon\overrightarrow{OM}=\alpha\cdot\overrightarrow{OA};~\alpha\in\mathbb{R}\Bigr\}

Линейная оболочка \operatorname{Lin}\bigl(\overrightarrow{OA}\bigl) ненулевого радиус-вектора \overrightarrow{OA} представляет собой множество радиус-векторов, концы которых принадлежат прямой OA (рис.1.50,а).


В самом деле, ненулевой вектор \overrightarrow{OA} образует базис на прямой OA. Поэтому вектор \overrightarrow{OM} можно разложить по этому базису, т.е. представить в виде \overrightarrow{OM}= \alpha\cdot \overrightarrow{OA}, где \alpha — координата вектора \overrightarrow{OM}.


Линейная комбинация \alpha\cdot\overrightarrow{OA} радиус-вектора \overrightarrow{OA} называется неотрицательной, если ее коэффициент — неотрицательное число: \alpha\geqslant0. Множество неотрицательных линейных комбинаций вектора \overrightarrow{OA} называется его конической оболочкой и обозначается:


\operatorname{Con}\bigl(\overrightarrow{OA}\bigl)\,=\Bigl\{\overrightarrow{OM}\colon\overrightarrow{OM}=\alpha\cdot\overrightarrow{OA};~\alpha\geqslant0,~\alpha\in\mathbb{R}\Bigr\}

Линейная и коническая оболочка вектора на плоскости

Коническая оболочка \operatorname{Con}\bigl(\overrightarrow{OA}\bigl) ненулевого радиус-вектора \overrightarrow{OA} представляет собой множество всех радиус-векторов, концы которых принадлежат лучу OA (рис. 1.50,6). Действительно, учитывая, что неотрицательная комбинация является линейной, приходим к равенству \overrightarrow{OM}= \alpha\cdot \overrightarrow{OA}, где \alpha\geqslant0. При \alpha>0 векторы \overrightarrow{OM} и \overrightarrow{OA} одинаково направлены, т.е. точка M принадлежит лучу OA. Если \alpha=0, радиус-вектор \overrightarrow{OM} нулевой, т.е. точка M совпадает с точкой O (с началом луча OA).


Множество линейных комбинаций радиус-векторов \overrightarrow{OA} и OB называется их линейной оболочкой и обозначается


\operatorname{Lin}\bigl(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\bigl)\,=\Bigl\{\overrightarrow{OM}\colon\overrightarrow{OM}=\alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB};~\alpha\in\mathbb{R},~\beta\in\mathbb{R}\Bigr\}.

Покажем, что линейная оболочка \operatorname{Lin}\bigl(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\bigl) двух неколлинеарных радиус-векторов представляет собой множество таких радиус-векторов, концы которых (и сами векторы) принадлежат плоскости, проходящей через точки O,A,B (рис.1.51,а).


Действительно, неколлинеарные векторы \overrightarrow{OA} и \overrightarrow{OB} образуют базис на плоскости, проходящей через точки O,A,B. Поэтому для любой точки M этой плоскости радиус-вектор \overrightarrow{OM} можно разложить по базису, т.е. представить в виде \overrightarrow{OM}=\alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB}, где \alpha,\beta — координаты вектора \overrightarrow{OM}. И наоборот, для любых чисел \alpha,\beta радиус-вектор \overrightarrow{OM}=\alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB}, а следовательно, и точка M, принадлежат указанной плоскости.


Если векторы \overrightarrow{OA} и \overrightarrow{OB} коллинеарны, то любая их линейная комбинация принадлежит прямой AB (рис.1.51,б).


Линейная комбинация \alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB} радиус-векторов \overrightarrow{OA} и \overrightarrow{OB} называется неотрицательной, если ее коэффициенты — неотрицательные числа: \alpha\geqslant0,\beta\geqslant0. Множество неотрицательных линейных комбинаций векторов \overrightarrow{OA} и \overrightarrow{OB} называется их конической оболочкой и обозначается:


\operatorname{Con}\bigl(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\bigl)\,=\Bigl\{\overrightarrow{OM}\colon\overrightarrow{OM}=\alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB};~\alpha\geqslant0,~\beta\geqslant0,~\alpha\in\mathbb{R},~\beta\in\mathbb{R}\Bigr\}.

Линейная и коническая оболочка трёх некомпланарных радиус-векторов

Коническая оболочка \operatorname{Con}\bigl(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\bigl) представляет собой множество всех радиус-векторов, концы которых принадлежат плоскому углу AOB (заштрихованное множество на рис. 1.51,в).


Множество линейных комбинаций радиус-векторов \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC} называется их линейной оболочкой и обозначается


\operatorname{Lin}\bigl(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}\bigl)\,=\Bigl\{\overrightarrow{OM}\colon\overrightarrow{OM}=\alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB}+\gamma\cdot\overrightarrow{OC}; \alpha\in\mathbb{R},~\beta\in\mathbb{R},~\gamma\in\mathbb{R}\Bigr\}.

Любой радиус-вектор \overrightarrow{OM} принадлежит линейной оболочке \operatorname{Lin}\bigl(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}\bigl) трех некомпланарных радиус-векторов \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}. В самом деле, векторы \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC} (рис.1.52,а) образуют базис в пространстве. Поэтому любой радиус- вектор \overrightarrow{OM} можно разложить по этому базису, т.е. представить в виде \overrightarrow{OM}=\alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB}+\gamma\cdot\overrightarrow{OC}, где \alpha,\beta,\gamma — координаты вектора \overrightarrow{OM}.


Линейная комбинация \alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB}+\gamma\cdot\overrightarrow{OC} радиус-векторов \overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, { \overrightarrow{OC}} называется неотрицательной, если ее коэффициенты – неотрицательные числа: \alpha\geqslant0,\beta\geqslant0,\gamma\geqslant0. Множество неотрицательных линейных комбинаций векторов \overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, { \overrightarrow{OC}} называется их конической оболочкой и обозначается:


\operatorname{Con}\bigl(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}\bigl)\,=\Bigl\{\overrightarrow{OM}\colon\overrightarrow{OM}=\alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB}+\gamma\cdot\overrightarrow{OC};~\alpha\geqslant0,\beta\geqslant0,\gamma\geqslant0,~\alpha\in\mathbb{R},~\beta\in\mathbb{R},~\gamma\in\mathbb{R}\Bigr\}.

Коническая оболочка \operatorname{Con}\bigl(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}\bigl) трех некомпланарных векторов представляет собой множество всех радиус-векторов, концы которых принадлежат трехгранному углу OABC (рис. 1.52,б).


Понятия линейной или неотрицательной комбинаций векторов распространяются на любое конечное число векторов.


Векторы \overrightarrow{OA_1},\overrightarrow{OA_2},\ldots,\overrightarrow{OA_k} называются образующими линейной оболочки \operatorname{Lin}\bigl(\overrightarrow{OA_1},\overrightarrow{OA_2},\ldots,\overrightarrow{OA_k}\bigl) и, соответственно, конической оболочки \operatorname{Con}\bigl(\overrightarrow{OA_1},\overrightarrow{OA_2},\ldots,\overrightarrow{OA_k}\bigl).




Аффинные и выпуклые комбинации радиус-векторов


Линейная комбинация \alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB} радиус-векторов \overrightarrow{OA} и \overrightarrow{OB} называется аффинной, если сумма ее коэффициентов равна единице: \alpha+\beta=1. Множество аффинных комбинаций векторов \overrightarrow{OA} и \overrightarrow{OB} называется их аффинной оболочкой и обозначается:


\operatorname{Aff}\bigl(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\bigl)\,=\Bigl\{\overrightarrow{OM}\colon\overrightarrow{OM}=\alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB};~\alpha+\beta=1~\alpha\in\mathbb{R},~\beta\in\mathbb{R}\Bigr\}.
Аффинная и коническая оболочка векторов

Покажем, что аффинная оболочка \operatorname{Aff}\bigl(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\bigl) представляет собой множество всех радиус-векторов, концы которых принадлежат прямой AB. Действительно, равенство \overrightarrow{OM}=\alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB} при \alpha+\beta=1 можно представить в виде \overrightarrow{OM}=(1-\beta)\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\bigl(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\bigl). Отсюда следует, что \overrightarrow{AM}=\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OA}=\beta\cdot\overrightarrow{AB}, т.е. векторы \overrightarrow{AM} и \overrightarrow{AB} коллинеарны (рис.1.53,а). Следовательно, точка M принадлежит прямой AB. Проводя рассуждения в обратном порядке, заключаем, что для любой точки M, принадлежащей прямой AB, найдутся такие числа \alpha и \beta, что


\overrightarrow{OM}= \alpha\cdot \overrightarrow{OA}+ \beta\cdot \overrightarrow{OB} и \alpha+\beta=1.

Линейная комбинация \alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB} радиус-векторов \overrightarrow{OA} и \overrightarrow{OB} называется выпуклой, если все ее коэффициенты — неотрицательные числа, а их сумма равна единице: \alpha+\beta=1,\alpha\geqslant0,\beta\geqslant0. Множество выпуклых комбинаций векторов \overrightarrow{OA} и \overrightarrow{OB} называется их выпуклой оболочкой и обозначается:


\operatorname{Conv}\bigl(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\bigl)\,=\Bigl\{\overrightarrow{OM}\colon\overrightarrow{OM}=\alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB};~\alpha+\beta=1,~\alpha\geqslant0,\beta\geqslant0,~\alpha\in\mathbb{R},~\beta\in\mathbb{R}\Bigr\}.

Покажем, что выпуклая оболочка \operatorname{Conv}\bigl(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\bigl) представляет собой множество всех радиус-векторов, концы которых принадлежат отрезку AB (рис.1.53,б). Действительно, учитывая, что выпуклая комбинация является аффинной, приходим к равенству \overrightarrow{AM}=\beta\cdot\overrightarrow{AB}, где 0\leqslant\beta\leqslant1. Это равенство означает, что точка M принадлежит отрезку AB (включая его концы: M совпадает с точкой B при \beta=1 и с точкой A при \beta=0). Поскольку \overrightarrow{MB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}-\beta\cdot\overrightarrow{AB}=(1-\beta)\cdot\overrightarrow{AB}=\alpha\cdot\overrightarrow{AB}, то \frac{\overrightarrow{AM}}{\overrightarrow{MB}}=\frac{\beta\cdot\overrightarrow{AB}}{\alpha\cdot\overrightarrow{AB}}=\frac{\beta}{\alpha}. При этом говорят, что точка M делит отрезок AB в отношении AM:MB=\beta:\alpha~(\alpha>0,\beta>0,\alpha+\beta=1).


Рассмотрим аффинные и выпуклые комбинации трех радиус-векторов.


Линейная комбинация \alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB}+\gamma\cdot\overrightarrow{OC} радиус-векторов \overrightarrow{OC},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC} называется аффинной, если сумма ее коэффициентов равна единице: \alpha+\beta+\gamma=1. Множество аффинных комбинаций векторов { \overrightarrow{OC}}, \overrightarrow{OB}, { \overrightarrow{OC}} называется их аффинной оболочкой и обозначается:


\operatorname{Aff}\bigl(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}\bigl)\,=\Bigl\{\overrightarrow{OM}\colon\overrightarrow{OM}=\alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB}+\gamma\cdot\overrightarrow{OC};~\alpha+\beta+\gamma=1,~\alpha\in\mathbb{R},~\beta\in\mathbb{R},~\gamma\in\mathbb{R}\Bigr\}.

Покажем, что аффинная оболочка \operatorname{Aff}\bigl(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}\bigl) представляет собой множество всех радиус-векторов, концы которых принадлежат плоскости, проходящей через точки A,B,C (рис. 1.54,а). Действительно, исключая в равенстве \overrightarrow{OM}=\alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB}+\gamma\cdot\overrightarrow{OC} коэффициент \alpha=1-\beta-\gamma, получаем


Аффинная и коническая оболочка векторов на плоскости
\overrightarrow{OM}=(1-\beta-\gamma)\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB}+\gamma\cdot\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\bigl(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\bigl)\,+\gamma\cdot\bigl(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}\bigl)

Отсюда следует, что \overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OA}=\beta\cdot\bigl(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}\bigl)\,+\gamma\cdot\beta\cdot\bigl(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}\bigl), т.е. \overrightarrow{AM}=\beta\cdot\overrightarrow{AB}+\gamma\cdot\overrightarrow{AC}. Если векторы \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} коллинеарны (точки A,B,C принадлежат одной прямой), то и точка M принадлежит той же прямой, а также любой плоскости, проходящей через точки A,B,C. Если же векторы \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} не коллинеарные (точки A,B,C не принадлежат одной прямой), то точка M принадлежит плоскости, проходящей через точки A,B,C, так как вектор \overrightarrow{AM} разлагается по векторам \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, принадлежащим этой плоскости.


Проводя рассуждения в обратном порядке, приходим к выводу, что для любой точки M, принадлежащей плоскости, проходящей через точки A,B,C, найдутся числа \alpha,\beta,\gamma такие, что


\overrightarrow{OM}=\alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB}+\gamma\cdot\overrightarrow{OC},~\alpha+\beta+\gamma=1.

Линейная комбинация а \alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB}+\gamma\cdot\overrightarrow{OC} радиус-векторов \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC} называется выпуклой, если все ее коэффициенты – неотрицательные числа, а их сумма равна единице: \alpha+\beta+\gamma=1. Множество выпуклых комбинаций векторов \overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, { \overrightarrow{OC}} называется их выпуклой оболочкой и обозначается:


\operatorname{Conv}\bigl(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}\bigl)\,=\Bigl\{\overrightarrow{OM}\colon\overrightarrow{OM}=\alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB}+\gamma\cdot\overrightarrow{OC};~\alpha+\beta+\gamma=1,~\alpha\geqslant0,\beta\geqslant0,\gamma\geqslant0\}.

Покажем, что выпуклая оболочка \operatorname{Conv}\bigl(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}\bigl) представляет собой множество всех радиус-векторов, концы которых принадлежат плоскому треугольнику ABC (предполагаем, что точки A,B,C не лежат на одной прямой). Действительно, если \gamma>1, то \alpha=0,\beta=0 и


\overrightarrow{OM}=\alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB}+\gamma\cdot\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OC},

т.е. точка M совпадает с вершиной C треугольника ABC. Пусть 0\leqslant \gamma \leqslant1, тогда \alpha+ \beta= 1-\gamma и


\overrightarrow{OM}=\alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB}+\gamma\cdot\overrightarrow{OC}=(1-\gamma)\cdot\left(\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\cdot\overrightarrow{OA}+\frac{\beta}{\alpha+\beta}\cdot\overrightarrow{OB}\right)+\gamma\cdot\overrightarrow{OB}=(1-\gamma)\cdot\overrightarrow{ON}+\gamma\cdot\overrightarrow{OC}.

Здесь \overrightarrow{ON}=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\cdot\overrightarrow{OA}+\frac{\beta}{\alpha+\beta}\cdot\overrightarrow{OB} — выпуклая комбинация векторов \overrightarrow{OA} и \overrightarrow{OB}, поскольку ее коэффициенты — неотрицательные числа, а их сумма равна единице. Следовательно, точка N принадлежит стороне AB треугольника ABC и делит ее в отношении AN:NB=\beta:\alpha (рис. 1.54,6). В свою очередь, точка M принадлежит отрезку CN, так как \overrightarrow{OM}=(1-\gamma)\cdot\overrightarrow{ON}+\gamma\cdot\overrightarrow{OC} — выпуклая оболочка векторов \overrightarrow{ON} и { \overrightarrow{OC}}. Поэтому точка M принадлежит плоскому треугольнику ABC (включая его внутренность). Заметим, что точка M делит отрезок CN в отношении MN:CM=\gamma:(1-\gamma). Тогда MN-\gamma\cdot MN=\gamma\cdot CM , т.е. MN=\gamma\cdot(CM+MN)=\gamma\cdot CN. Отсюда CN:MN=1:\gamma. Это отношение равно отношению площадей треугольников ABC и MAB (поскольку у них общее основание AB, а высоты, опущенные на это основание относятся как CM:MN). Следовательно, CN:MN=1:\gamma=S_{ABC}:S_{MAB}. Аналогично можно показать, что 1:\alpha=S_{ABC}:S_{MBC} и 1:\beta=S_{ABC}:S_{MCA}. Таким образом, коэффициенты \alpha,\beta,\gamma выпуклой комбинации равны отношениям площадей соответствующих треугольников:


\alpha=\frac{S_{MBC}}{S_{ABC}};~~~\beta=\frac{S_{MCA}}{S_{ABC}};~~~\gamma=\frac{S_{MAB}}{S_{ABC}}.

Говорят, что точка M "делит" площадь треугольника ABC в отношении S_{MBC}:S_{MCA}:S_{MAB}=\alpha:\beta:\gamma.


Понятия аффинной и выпуклой комбинаций векторов распространяются на любое конечное число векторов.


Векторы \overrightarrow{OA_1},\overrightarrow{OA_2},\ldots,\overrightarrow{OA_k} называются образующими аффинной оболочки \operatorname{Aff}\bigl(\overrightarrow{OA_1},\overrightarrow{OA_2},\ldots,\overrightarrow{OA_k}\bigl) и, соответственно, выпуклой оболочки \operatorname{Conv}\bigl(\overrightarrow{OA_1},\overrightarrow{OA_2},\ldots,\overrightarrow{OA_k}\bigl).




Свойства аффинных и выпуклых комбинаций радиус-векторов


Сформулируем полученные результаты в виде свойств.


1. Точка M, удовлетворяющая равенству


\overrightarrow{OM}=t\cdot\overrightarrow{OA}+(1-t)\cdot \overrightarrow{OB},\quad t\in\mathbb{R}\,,
(1.22)

принадлежит прямой AB, и наоборот, для любой точки M, принадлежащей прямой M, найдется единственное действительное значение параметра t, при котором справедливо разложение (1.22). Другими словами: геометрическим местом точек M, удовлетворяющим условию (1.22), является прямая AB.


2. Геометрическим местом точек M, удовлетворяющим условию \overrightarrow{OM}= t\cdot\overrightarrow{OA}+(1-t)\cdot\overrightarrow{OB},~0\leqslant t\leqslant1, является отрезок AB. При t=0 точка M совпадает с точкой B, при t=1 — с точкой A, при 0<t<1 точка M делит отрезок AB в отношении (рис.1.55,а): AM:MB=(1-t):t.


Треугольник и пирамида, построенные на векторах

И наоборот, если точка M делит отрезок AB в отношении \frac{AM}{MB}=\frac{\beta}{\alpha}~(\alpha>0,\,\beta>0), то


\overrightarrow{OM}=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\cdot\overrightarrow{OA}+\frac{\beta}{\alpha+\beta}\cdot\overrightarrow{OB}.

В частности, точка M является серединой отрезка AB~\left(\frac{AM}{MB}=\frac{\beta}{\alpha}=1\right) тогда и только тогда, когда \overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\cdot\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\cdot\overrightarrow{OB}.


3. Точка M, удовлетворяющая равенству


\overrightarrow{OM}= t\cdot\overrightarrow{OA}+ s\cdot\overrightarrow{OB}+(1-t-s)\cdot\overrightarrow{OC},~~ t\in\mathbb{R},\quad s\in\mathbb{R}\,,
(1.23)

принадлежит плоскости, проходящей через точки A,B,C, и наоборот, для любой точки M, принадлежащей плоскости, проходящей через точки A,B,C, не лежащие на одной прямой, найдутся единственные действительные значения параметров t и s, при которых справедливо разложение (1.23). Другими словами: геометрическим местом точек M, удовлетворяющим условию (1.23), является плоскость, проходящая через точки A,B,C, не лежащие на одной прямой.


4. Пусть A,B,C — точки не лежащие на одной прямой. Геометрическим местом точек M, удовлетворяющим условию


\overrightarrow{OM}= \alpha\cdot \overrightarrow{OA}+ \beta\cdot \overrightarrow{OB}+\gamma\cdot\overrightarrow{OC},

где все коэффициенты \alpha,\beta,\gamma — неотрицательные числа, сумма которых равна единице, является плоский треугольник ABC. Если коэффициенты \alpha,\beta,\gamma положительные и \alpha+\beta+\gamma=1, то точка M "делит" площадь треугольника ABC в отношении (рис.1.55,б):

S_{MBC}:S_{MCA}:S_{MAB}=\alpha:\beta:\gamma.

И наоборот, если точка M "делит" площадь треугольника ABC в отношении S_{MBC}:S_{MCA}:S_{MAB}=\alpha:\beta:\gamma~(\alpha>0,\beta>0,\gamma>0), то


\overrightarrow{OM}=\frac{\alpha}{\alpha+\beta+\gamma}\cdot\overrightarrow{OA}+\frac{\beta}{\alpha+\beta+\gamma}\cdot\overrightarrow{OB}+\frac{\gamma}{\alpha+\beta+\gamma}\cdot\overrightarrow{OC}.

В частности, точка M является точкой пересечения медиан треугольника ABC тогда и только тогда, когда


\overrightarrow{OM}=\frac{1}{3}\cdot\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}\cdot\overrightarrow{OB}+\frac{1}{3}\cdot\overrightarrow{OC}.

5. Пусть A,B,C,D — точки, не лежащие в одной плоскости. Геометрическим местом точек M, удовлетворяющим условию


\overrightarrow{OM}=\alpha\cdot\overrightarrow{OA}+\beta\cdot\overrightarrow{OB}+\gamma\cdot\overrightarrow{OC}+\delta\cdot\overrightarrow{OD},

где все коэффициенты \alpha,\beta,\gamma,\delta — неотрицательные числа, сумма которых равна единице, является треугольная пирамида (тетраэдр) ABCD, включая внутренние ее точки. Если коэффициенты \alpha,\beta,\gamma,\delta положительные и \alpha+\beta+\gamma+\delta=1, то точка M "делит" объем тетраэдра ABCD в отношении:


V_{MBCD}: V_{MCDA}: V_{MDAB}: V_{MABC}=\alpha:\beta:\gamma:\delta.

6. В свойствах 1-5 точка O приложения радиус-векторов произвольная.




Треугольник, построенный на векторах

Пример 1.25. На сторонах AB и AC треугольника ABC взяты соответственно точки M и N так, что AM:MB=2:3 и AN:NC=3:6. В каком отношении делится каждый из отрезков BN и CM точкой K их пересечения?


Решение. Поскольку векторы \overrightarrow{AB} и \overrightarrow{AC} неколлинеарные, выберем их в качестве базиса на плоскости. С одной стороны, точка K принадлежит прямой BN (рис.1.56), поэтому существует такое значение t, при котором \overrightarrow{AK}=t\cdot\overrightarrow{AN}+(1-t)\cdot\overrightarrow{AB}. С другой стороны, точка K принадлежит прямой CM, поэтому найдется такое значение s, при котором \overrightarrow{AK}=s\cdot\overrightarrow{AM}+(1-s)\cdot\overrightarrow{AC}. Учитывая, что \overrightarrow{AN}=\frac{3}{8}\overrightarrow{AC} и \overrightarrow{AM}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}, получаем:


\overrightarrow{AK}=t\cdot\frac{3}{8}\cdot\overrightarrow{AC}+(1-t)\cdot\overrightarrow{AB}=s\cdot\frac{2}{5}\cdot\overrightarrow{AB}+(1-s)\cdot\overrightarrow{AC}.

В силу единственности разложения вектора \overrightarrow{AK} по базису на плоскости, приравниваем соответствующие координаты:


\left\{\!\begin{gathered}\frac{3}{8}t=1-s,\\1-t=\frac{2}{5}s;\end{gathered}\right.~\Leftrightarrow~ \left\{\!\begin{gathered}3t=8-8s,\\5-5t=2s;\end{gathered}\right.~\Leftrightarrow~ \left\{\!\begin{gathered}t=\frac{12}{17},\\s=\frac{25}{34}.\end{gathered}\right.

Таким образом, \overrightarrow{AK}=t\cdot\overrightarrow{AN}+(1-t)\cdot\overrightarrow{AB}\,\vline\,_{t=\frac{12}{17}}=\frac{12}{17}\cdot\overrightarrow{AN}+\frac{5}{17}\cdot\overrightarrow{AB}, т.е. точка K, делит отрезок BN в отношении BK:KN=12:5. Из равенства \overrightarrow{AK}=s\cdot\overrightarrow{AM}+(1-s)\cdot\overrightarrow{AC}\,\vline\,_{s=\frac{25}{34}}=\frac{25}{34}\cdot\overrightarrow{AM}+\frac{9}{34}\cdot\overrightarrow{AC} делаем вывод, что CK:KM=25:9.




Треугольная пирамида, построенная на векторах

Пример 1.26. В треугольной пирамиде OABCD найти сумму векторов, соединяющих каждую из вершин с точкой пересечения медиан противоположной грани.


Решение. Пусть A_1,B_1,C_1,O_1 — точки пересечения медиан граней OBC,OAC,OAB,ABC соответственно. Требуется найти сумму \overrightarrow{OO_1}+\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{BB_1}+\overrightarrow{CC_1}. Возьмем некомпланарные векторы \vec{a}=\overrightarrow{OA}, \vec{b}=\overrightarrow{OB}, \vec{c}=\overrightarrow{OC} в качестве базисных и разложим все слагаемые искомой суммы по этому базису. Пусть M — середина ребра BC (рис. 1.57). Применяя свойство медиан (AO_1:O_1M=2:1) и свойство 2 аффинных и выпуклых комбинаций при \alpha=1,\beta=2 находим:


\begin{gathered} \overrightarrow{OO_1}=\frac{1}{3}\cdot\overrightarrow{OA}+\frac{2}{3}\cdot\overrightarrow{OM}=\frac{1}{3}\cdot\vec{a}+\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}(\vec{b}+\vec{c})=\frac{1}{3}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})\\[2pt] \overrightarrow{AA_1}=\overrightarrow{OA_1}-\overrightarrow{OA}=\frac{2}{3}\cdot\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OA}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}(\vec{b}+\vec{c})-\vec{a}=\frac{1}{3}(\vec{b}+\vec{c})-\vec{a}. \end{gathered}

Аналогично (меняя циклически буквы) получаем \overrightarrow{BB_1}=\frac{1}{3}\cdot(\vec{a}+\vec{c})-\vec{b};~\overrightarrow{CC_1}=\frac{1}{3}\cdot(\vec{a}+\vec{c})-\vec{c}.


Складывая все разложения, приходим к равенству


\overrightarrow{OO_1}+\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{BB_1}+\overrightarrow{CC_1}=\underbrace{\frac{1}{3}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})}_{\overrightarrow{OO_1}}+\underbrace{\frac{1}{3}(\vec{b}+\vec{c})-\vec{a}}_{\overrightarrow{AA_1}}+\underbrace{\frac{1}{3}(\vec{a}+\vec{c})-\vec{b}}_{\overrightarrow{BB_1}}+\underbrace{\frac{1}{3}(\vec{a}+\vec{b})-\vec{c}}_{CC_1}=\vec{o},

т.е. искомая сумма равна нулевому вектору.



Пример 1.27. Основанием четырехугольной пирамиды SABCD служит параллелограмм ABCD. На боковых ребрах SB и SC взяты соответственно точки B_1 и C_1 так, что SB_1:B_1B=5:2 и SC_1:C_1C=4:3. В каком отношении делит ребро SD плоскость \rho проходящая через точки A,B_1,C_1?


Решение.Пусть D_1 точка пересечения плоскости с ребром SD (рис.1.58). Найдем отношение \frac{\overrightarrow{SD_1}}{\overrightarrow{SD}}=\lambda. Для этого разложим векторы \overrightarrow{SD_1} и \overrightarrow{SD} по базису \overrightarrow{SA},\overrightarrow{SB},\overrightarrow{SC}. Так как точка D_1 принадлежит плоскости \rho, то по формуле (1.23)


Четырехугольная пирамида, построенная на векторах
\begin{aligned} \overrightarrow{SD_1}&= t\cdot\overrightarrow{SA}+ s\cdot\overrightarrow{SB_1}+(1-t-s)\cdot\overrightarrow{SC_1}=t\cdot\overrightarrow{SA}+s\cdot\frac{5}{7}\cdot\overrightarrow{SB}+(1-t-s)\cdot\frac{4}{7}\cdot\overrightarrow{SC};\\[3pt]\overrightarrow{SD}&=\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SB}.\end{aligned}

Подставляя в равенство \overrightarrow{SD_1}=\lambda\cdot\overrightarrow{SD} полученные разложения, находим


t\cdot\overrightarrow{SA}+s\cdot\frac{5}{7}\cdot\overrightarrow{SB}+(1-t-s)\cdot\frac{4}{7}\overrightarrow{SC}=\lambda\cdot\overrightarrow{SA}-\lambda\cdot\overrightarrow{SB}+\lambda\cdot\overrightarrow{SC}.

Записываем равенства соответствующих координат равных векторов:


\left\{\!\begin{gathered}t=\lambda,\\\frac{5}{7}s=-\lambda,\\\frac{4}{7}(1-t-s)=\lambda.\end{gathered}\right.

Подставляя t=\lambda и s=-\frac{7}{5}\lambda в последнее уравнение системы, получаем \frac{4}{7}\!\left(1-\lambda+\frac{7}{5}\lambda\right)=\lambda. Отсюда \lambda=\frac{20}{27}, т.е. \frac{\overrightarrow{SD_1}}{\overrightarrow{SD}}=\frac{20}{27}. Следовательно, плоскость делит ребро в отношении 20:7 (считая от вершины пирамиды).

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved