Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Применение векторной алгебры в механике

Применение векторной алгебры в механике


Опишем применение векторной алгебры в механике для решения задачи приведения системы сил. Будем использовать элементарные механические понятия, опираясь на их физический смысл, не придерживаясь формального изложения теории. В частности, силы будем рассматривать как скользящие векторы, не определяя их свойства аксиомами, как это принято в теоретической механике.


Положение точки [math]A[/math] твердого тела будем задавать ее радиус-вектором [math]\vec{r}=\overrightarrow{OA}[/math] с началом в некоторой заданной точке [math]O[/math] пространства. Силы, действующие на тело, будем обозначать прописными буквами (например, сила [math]\overrightarrow{F}[/math]). Напомним, что сила является не свободным, а скользящим вектором (см. пункт 5 замечаний 1.1). Силу можно переносить, не изменяя длины и направления, только вдоль содержащей ее прямой (вдоль линии действия силы), при этом механическое воздействие силы на тело остается неизменным. Поэтому, задавая силу [math]\overrightarrow{F}[/math], указывают точку ее приложения (либо линию её действия).


Моментом силы [math]\overrightarrow{F}[/math], приложенной в точке [math]A[/math], относительно центра [math]O[/math] называется векторное произведение [math]\bigl[\vec{r},\overrightarrow{F}\bigl][/math] радиус-вектора [math]\vec{r}=\overrightarrow{OA}[/math] насилу [math]\overrightarrow{F}[/math] (рис.1.62,а) и обозначается [math]\vec{m}_0(\overrightarrow{F})=\,\bigl[\vec{r},\overrightarrow{F}\bigl][/math]. Из определения векторного произведения следует, что модуль момента силы равен произведению модуля силы на расстояние [math]OP[/math] от точки [math]O[/math] до линии действия этой силы, называемое плечом (рис.1.62,а):


[math]\left|m_0(\overrightarrow{F})\right|=\left|\bigl[\vec{r},\overrightarrow{F}\bigl]\right|=|\vec{r}|\cdot\bigr|\overrightarrow{F}\bigr|\cdot\sin\varphi=OP\cdot\bigr|\overrightarrow{F}\bigr|.[/math]

Система сил [math]\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\ldots,\overrightarrow{F_n}[/math], приложенных к твердому телу, характеризуется главным вектором:


[math]\overrightarrow{F}= \overrightarrow{F_1}+ \overrightarrow{F_2}+\cdots+\overrightarrow{F_n},[/math]
(1.24)

и главным моментом относительно точки [math]O[/math]:

[math]\overrightarrow{M_O}= \vec{m}_O \overrightarrow{F_1}+ \vec{m}_O\overrightarrow{F_2}+\cdots+\vec{m}_O\overrightarrow{F_n}=[\vec{r}_1,\overrightarrow{F_1}]+[\vec{r}_2,\overrightarrow{F_2}]+\cdots+[\vec{r}_n,\overrightarrow{F_n}],[/math]
(1.25)

где [math]\vec{r}_1= \overrightarrow{OA_1}, \ldots, \vec{r}_n=\overrightarrow{OA_n}[/math] — радиус-векторы точек [math]A_1,A_2,\ldots,A_n[/math] приложения сил [math]\overrightarrow{F_1}, \overrightarrow{F_2}, \ldots, \overrightarrow{F_n}[/math] (1.24) сложение сил выполняется как сложение свободных векторов.


Парой сил (рис. 1.62,6) называется система двух параллельных сил [math]\overrightarrow{F}[/math] и [math]-\overrightarrow{F}[/math] (линии действия которых параллельны). Главный вектор пары сил, разумеется, нулевой. Найдем главный момент. По формуле (1.2S), учитывая свойства векторного произведения, получаем


[math]\overrightarrow{M}= \left[\vec{r}_1, \overrightarrow{F}\right]+\left[\vec{r}_2,-\overrightarrow{F}\right]= \left[\vec{r}_1,\overrightarrow{F}\right]-\left[\vec{r}_2, \overrightarrow{F} \right]=\left[\vec{a},\overrightarrow{F}\right].[/math]
(1.26)

где [math]\vec{a}=\vec{r}_1-\vec{r}_2=\overrightarrow{AA_1}[/math]. Как видим, главный момент пары сил не зависит от точки [math]O[/math] (поэтому она и не указана в (1.26)). Следовательно, момент пары сил — свободный вектор, который может быть приложен к любой точке. Механическое воздействие на тело различных пар сил с одинаковым главным моментом одно и то же.




Приведение системы сил, приложенных к твердому телу


Рассмотрим задачу приведения системы сил, которая формулируется следующим образом. Пусть к твердому телу в точках [math]A_1,A_2,\ldots,A_n[/math], определяемых радиус-векторами [math]\vec{r}_1=\overrightarrow{OA_1},\ldots,\vec{r}_n=\overrightarrow{OA_n}[/math], приложены силы [math]\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\ldots,\overrightarrow{F_n}[/math] соответственно. Требуется упростить эту систему сил, т.е. заменить её минимальным количеством сил так, чтобы их механическое воздействие на тело совпадало бы с действием заданной системы сил.


Замечания 1.15


1. С точки зрения векторной алгебры задачу приведения системы сил можно рассматривать как задачу нахождения "суммы" заданных скользящих векторов. Если бы речь шла о свободных векторах, то их можно было бы приложить к любой точке пространства и сложить по правилу параллелограмма (в случае двух векторов) или по правилу ломаной. Для скользящих векторов так делать нельзя.


2. Для решения задачи приведения системы сил используется операция "переноса" силы в точку вне линии ее действия. Пусть в точке [math]A[/math] приложена сила [math]\overrightarrow{F}[/math] (рис.1.63,а). Приложим к произвольной точке [math]O[/math] две противоположные силы [math]\overrightarrow{F}[/math] и [math]-\overrightarrow{F}[/math], воздействия которых на твердое тело, разумеется, компенсируются (рис. 1.63,б). При этом получим пару сил [math]\overrightarrow{F}[/math] и [math]-\overrightarrow{F}[/math], приложенных к точкам [math]A[/math] и [math]O[/math] соответственно. Пара сил характеризуется моментом (1.26): [math]\overrightarrow{M}=\left[\vec{a},\overrightarrow{F}\right][/math]. Таким образом, силу можно перенести в любую точку, добавив при этом соответствующую пару сил (рис.1.63,в).


Изображение



Решение задачи приведения системы сил содержит два этапа.


Первый этап. Силы [math]\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\ldots,\overrightarrow{F_n}[/math], приложенные к твердому телу в точках [math]A_1,A_2,\ldots,\A_n[/math], "переносятся" в одну точку (см. п.2 замечаний 1.15). "Перенесем" все силы в точку [math]O[/math] и сложим их. Получим главный вектор (1.24), приложенный к точке [math]O[/math], и главный момент (1.25) заданной системы сил. Таким образом, исходная система сил приводится к главному вектору [math]\overrightarrow{F}[/math], приложенному в точке [math]O[/math], и свободному главному моменту [math]\overrightarrow{M}_O[/math]. Главный вектор [math]\overrightarrow{F}[/math] называют первым инвариантом системы сил, так как его величина и направление не зависят от выбора точки [math]O[/math].


Второй этап. Упрощение системы сил посредством выбора точки [math]O[/math]. Пусть известны: главный вектор [math]\overrightarrow{F}[/math] системы сил и главный момент [math]\overrightarrow{M}_O[/math] относительно точки [math]O[/math]. Найдем главный момент [math]\overrightarrow{M}'_{O'}[/math] той же системы сил относительно другой точки [math]O'[/math]. Поскольку для всякой точки [math]A_i,~i=\overline{1,n}[/math]: [math]\vec{r}_i=\vec{a}+\vec{r}\,\,\!'_i[/math], где [math]\vec{r}_i=\overrightarrow{OA_i},\vec{r}\,\,\!'_i=\overrightarrow{O'A_i},\vec{a}=\overrightarrow{OO'}[/math] (рис.1.64,а),то


[math]\overrightarrow{M}_O=\sum_{n}^{i=1}\left[\vec{r}_i,\overrightarrow{F_i}\right]=\sum_{i=1}^{n}\left[\vec{r}\,\,\!'_i+\vec{a},\overrightarrow{F_i}\right]=\sum_{i=1}^{n}\left[\vec{r}\,\,\!'_i,\overrightarrow{F_i}\right]+\left[\vec{a},\sum_{i=1}^{n}\overrightarrow{F_i}\right]=\overrightarrow{M}'_{O'}+\left[\vec{a},\overrightarrow{F}\right].[/math]

Значит, главные моменты связаны следующим образом



[math]\overrightarrow{M}_O= \overrightarrow{M}'_{O'}+ \left[\vec{a}, \overrightarrow{F}\right].[/math]
(1.27)

Рассмотрим частные случаи.


1. Если главный вектор сил нулевой [math](\overrightarrow{F}=\vec{o})[/math], то из формулы (1.27) следует равенство моментов [math](\overrightarrow{M}_O=\overrightarrow{M}'_{O'})[/math], т.е. главный момент не зависит от центра [math]O[/math], а система сил эквивалентна паре. В этом случае говорят, что система сил приводится к паре сил с моментом [math]\overrightarrow{M}[/math] (рис. 1.64,6). Если [math]\overrightarrow{F}=\vec{o}[/math] и [math]\overrightarrow{M}_O=\vec{o}[/math], то механические воздействия всех сил взаимно уничтожаются (случай уравновешенной системы сил).


2. Если главный вектор сил ненулевой [math](\overrightarrow{F}\ne\vec{o})[/math], то можно найти ортогональную проекцию главного момента на линию действия главного вектора:


[math]\overrightarrow{\operatorname{pr}}_{\overrightarrow{F}}\overrightarrow{M}_O=\frac{\left\langle\right\overrightaarow{M}_O,\overrightarrow{F}\rangle}{\left|\overrightarrow{F}\right|^2}\cdot\overrightarrow{F}.[/math]

Найдем проекции векторов в левой и правой частях (1.27) на линию действия главного вектора [math]\overrightarrow{F}[/math]. Поскольку скалярное произведение векторов [math]\overrightarrow{F}[/math] и [math][\vec{a},\overrightarrow{F}][/math] равняется нулю, так как эти векторы ортогональны, то


[math]\overrightarrow{\operatorname{pr}}_{\overrightarrow{F}}\overrightarrow{M}_O=\overrightarrow{\operatorname{pr}}_{\overrightarrow{F}}\overrightarrow{M}'_{O'},[/math]

т.е. ортогональная проекция главного момента на линию действия главного вектора системы сил не зависит от точки [math]O[/math] (проекцию [math]\overrightarrow{\operatorname{pr}}_{\overrightarrow{F}} \overrightarrow{M}_O[/math] называют вторым инвариантом системы сил). Выберем теперь точку [math]O'[/math] (т.е. вектор [math]\vec{a}=\overrightarrow{OO'}[/math] ) так, чтобы ортогональная составляющая [math]\overrightarrow{M}_{\perp}=\overrightarrow{M}_O-\overrightarrow{\operatorname{pr}}_{\overrightarrow{F}}\overrightarrow{M}_O[/math] равнялась нулевому вектору (рис.1.65,а). Для этого от точки [math]O[/math] отложим вектор [math]\vec{a}[/math] перпендикулярно плоскости, содержащей векторы [math]\overrightarrow{F}[/math] и [math]\overrightarrow{M}_O[/math], так, чтобы выполнялось равенство [math][\vec{a},\overrightarrow{F}]=\overrightarrow{M}_{\perp}[/math]. Найденную точку [math]O'[/math] можно переносить параллельно прямой, содержащей вектор [math]\overrightarrow{F}[/math], при этом равенство [math][\vec{a},\overrightarrow{F}]=\overrightarrow{M}_{\perp}[/math] будет выполняться, так как не изменяется плечо для [math]\overrightarrow{F}[/math].


Таким образом, любая система сил приводится к главному вектору [math]\overrightarrow{F}[/math] и паре сил с моментом [math]\overrightarrow{M}'_{O'}[/math], коллинеарным главному вектору (так называемому динамическому винту (рис. 1.65,6)).


Если второй инвариант системы сил равен нулевому вектору [math](\overrightarrow{\operatorname{pr}}_{\overrightarrow{F}}\overrightarrow{M}_O=\vec{o})[/math], то система сил сводится к одной силе [math]\overrightarrow{F}[/math], называемой равнодействующей, механическое воздействие которой эквивалентно воздействию исходной системы сил. Равнодействующая системы сил совпадает с главным вектором: [math]\overrightarrow{F}=\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\cdots+\overrightarrow{F_n}[/math].


Далее рассмотрим задачи приведения систем сходящихся и систем параллельных сил к равнодействующей силе.




Системы сходящихся и системы параллельных сил


Система сил [math]\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\cdots+\overrightarrow{F_n}[/math], линии действия которых пересекаются в одной точке, называется системой сходящихся сил.


Пусть задана система сходящихся сил [math]\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\cdots+\overrightarrow{F_n}[/math] с главным вектором [math]\overrightarrow{F}=\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\cdots+\overrightarrow{F_n}[/math]. Поскольку линии действия всех сил проходят через одну точку [math]A[/math], то главный момент относительно этой точки равен нулевому вектору: [math]\overrightarrow{M}_A=\vec{o}[/math]. Тогда второй инвариант [math]\overrightarrow{\operatorname{pr}}_{\overrightarrow{F}}\overrightarrow{M}_A=\vec{o}[/math]. Такая система приводится к равнодействующей [math]\overrightarrow{F}=\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\cdots+\overrightarrow{F_n}[/math]. Требуется определить точку [math]A[/math] (ее радиус-вектор [math]\vec{r}[/math]) приложения равнодействующей силы.


Если все силы принадлежат одной прямой, то и равнодействующая лежит на этой прямой (любую точку прямой можно считать точкой [math]A[/math] приложения равнодействующей). Если не все силы коллинеарны и линии действия пересекаются в точке [math]A[/math], то эта точка является точкой приложения равнодействующей (1.66,а). Например, в системе [math]\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3}[/math] (рис. 1.66,6) силы [math]\overrightarrow{F_1}[/math] и [math]\overrightarrow{F_2}[/math] не коллинеарны, поэтому точку [math]A[/math] (точнее ее радиус-вектор [math]\vec{r}=\overrightarrow{OA}[/math]) можно найти из системы уравнений:


[math]\begin{cases}\vec{r}=\vec{r}_1+x_1\cdot\overrightarrow{F_1},\\\vec{r}=\vec{r}_2+x_2\cdot\overrightarrow{F_2}\end{cases}[/math]

которая выражает условия коллинеарности векторов: [math](\vec{r}-\vec{r}_1)\parallel\overrightarrow{F_1}[/math] и [math](\vec{r}_2-\vec{r})\parallel\overrightarrow{F_2}[/math], т.е. [math]\frac{\vec{r}-\vec{r}_1}{\overrightarrow{F_1}}=x_1[/math] и [math]\frac{\vec{r}_2-\vec{r}}{\overrightarrow{F_2}}=x_2[/math]. Вычитая из первого уравнения системы второе, приходим к равенству [math]\vec{r}_1-\vec{r}_2+x_1\cdot\overrightarrow{F_1}+x_2\cdot\overrightarrow{F_2}=\vec{o}[/math], которое можно представить в виде


[math]\Delta\vec{r}= x_1\cdot \overrightarrow{F_1}+ x_2\cdot\overrightarrow{F_2}[/math]

где [math]\Delta\vec{r}=\vec{r}_2-\vec{r}_1[/math]. Таким образом, неизвестные [math]x_1,x_2[/math] (достаточно найти одну неизвестную, например, [math]x_1[/math]) можно найти как коэффициенты разложения вектора [math]\Delta\vec{r}=\vec{r}_2-\vec{r}_1[/math] по базису [math]\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2}[/math], а затем получить искомый радиус-вектор:


[math]\vec{r}=\vec{r}_1+x_1\cdot\overrightarrow{F_1}.[/math]

Он определяет точку [math]A[/math] равнодействующей силы [math]\overrightarrow{F}=\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}[/math].




Пример 1.30. В стандартном базисе на плоскости заданы координатные столбцы системы трех сходящихся сил [math]\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3}[/math] и точек (радиус-векторов [math]\vec{r}_1,\vec{r}_2,\vec{r}_3[/math]) их приложения (рис. 1.66,б):


[math]f_1=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix};~~f_2=\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix};~~f_3=\begin{pmatrix}-2\\-2\end{pmatrix};~~r_1=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix};~~r_2=\begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix};~~r_3=\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}.[/math]

Требуется найти:


а) равнодействующую [math]\overrightarrow{F}[/math] и точку [math]A[/math] (радиус-вектор [math]\vec{r}[/math]) её приложения;


б) моменты каждой силы [math]\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3}[/math], момент равнодействующей [math]\overrightarrow{F}[/math], а также главный момент [math]\overrightarrow{M}_O[/math] заданной системы сил относительно точки [math]O[/math].


Решение. а) Находим координатный столбец [math]f[/math] равнодействующей всех сил:


[math]f=f_1+f_2+f_3=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-2\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-3\end{pmatrix}[/math]. Следовательно, [math]\overrightarrow{F}=\vec{i}-3\,\vec{j}[/math].

Поскольку силы [math]\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2}[/math] не коллинеарны, то задача сводится к разложению вектора [math]\Delta\vec{r}=\vec{r}_2-\vec{r}_1[/math]; по векторам [math]\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2}[/math]: [math]\Delta\vec{r}=x_1\overrightarrow{F_1}+x_2\overrightarrow{F_2}[/math]. Находим координатный столбец [math]\Delta r[/math] вектора [math]\Delta\vec{r}=\vec{r}_2-\vec{r}_1[/math]:


[math]\Delta r=\begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}.[/math]

По формулам (1.19) получаем


[math]x_1=\frac{\Delta\vec{r}\land\overrightarrow{F_2}}{\overrightarrow{F_1}\land\overrightarrow{F_2}}=\frac{\begin{vmatrix}-2&2\\1&0\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&2\\-1&0\end{vmatrix}}=\frac{-2}{2}=-1.[/math]

Следовательно, [math]r=r_1+x_1\cdot f_1=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}+(-1){\cdot}\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}[/math], т.е. [math]\vec{r}=\vec{i}+2\,\vec{j}[/math].


Заметим, что линия действия силы [math]\overrightarrow{F_3}[/math], проходит через найденную точку [math]A[/math], так как векторы [math](\vec{r}-\vec{r}_3)[/math] и [math]\overrightarrow{F_3}[/math] коллинеарны: [math]r-r_3=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}[/math], т.е. заданная система сил является системой сходящихся сил.


б) Найдем по определению моменты сил [math]\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3},\overrightarrow{F}[/math] относительно точки [math]O[/math]:


[math]\begin{array}{*{20}{l}} \overrightarrow{m}_{{}_O}\!\left(\overrightarrow{F_1}\right)=\left[\vec{r}_1,\overrightarrow{F_1}\right]=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\2&1&0\\1&-1&0\end{vmatrix}=-3\vec{k};&\quad \overrightarrow{m}_{{}_O}\!\left(\overrightarrow{F_3}\right)=\left[\vec{r}_3,\overrightarrow{F_3}\right]=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\-1&0&0\\-2&-2&0\end{vmatrix}=2\vec{k};\\[20pt] \overrightarrow{m}_{{}_O}\!\left(\overrightarrow{F_2}\right)=\left[\vec{r}_2,\overrightarrow{F_2}\right]=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\0&2&0\\2&0&0\end{vmatrix}=-4\vec{k};&\quad \overrightarrow{m}_{{}_O}\!\left(\overrightarrow{F}\right)=\left[\vec{r},\overrightarrow{F}\right]=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\1&2&0\\1&-3&0\end{vmatrix}=-5\vec{k}. \end{array}[/math]

Главный момент [math]\overrightarrow{M}_O[/math] системы сил находим по формуле (1.25)

[math]\overrightarrow{M}_O=-3\,\vec{k}-4\,\vec{k}+2\,\vec{k}=-5\,\vec{k}.[/math]


Главный момент [math]\overrightarrow{M}_O[/math] можно найти по формуле (1.27): [math]\overrightarrow{M}_O=\overrightarrow{M}_A+[\vec{r},\overrightarrow{F}][/math], где [math]\vec{r}=\overrightarrow{OA}[/math]. Поскольку главный момент [math]\overrightarrow{M}_A[/math] системы сил относительно точки [math]A[/math] нулевой [math](\overrightarrow{M}_A=\vec{o})[/math], то [math]\overrightarrow{M}_O=[\vec{r},\overrightarrow{F}]=\overrightarrow{m}_{{}_O}\!\left(\overrightarrow{F}\right)=-5\,\vec{k}[/math]. Результаты вычислений совпадают.




Система сил [math]\overrightarrow{F_1}, \overrightarrow{F_2}, \ldots, \overrightarrow{F_n}[/math] называется системой параллельных сил, если векторы [math]\overrightarrow{F_1}, \overrightarrow{F_2}, \ldots, \overrightarrow{F_n}[/math] коллинеарны.


Пусть задана система параллельных сил [math]\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\ldots,\overrightarrow{F_n}[/math] с главным вектором [math]\overrightarrow{F}=\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\cdots+\overrightarrow{F_n}[/math], отличным от нулевого вектора. Поскольку момент каждой силы перпендикулярен линии ее действия, то и главный момент [math]\overrightarrow{M}_O[/math] системы параллельных сил перпендикулярен главному вектору [math]\overrightarrow{F}[/math]. Тогда второй инвариант [math]\vec{\operatorname{pr}}_{\overrightarrow{F}}\overrightarrow{M}_O\ne\vec{o}[/math]. Такая система сил приводится к равнодействующей [math]\overrightarrow{F}=\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\cdots+\overrightarrow{F_n}[/math]. Требуется определить точку [math]A[/math] (ее радиус- вектор [math]\vec{r}[/math]) приложения равнодействующей силы.


Разберем сначала случай системы двух параллельных сил (рис.1.67,а). Поскольку векторы [math]\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2}[/math] коллинеарны, то точка [math]A[/math] (отмеченная треугольником на рис.1.67,а) приложения равнодействующей [math]\overrightarrow{F}=\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}[/math] делит отрезок [math]A_1A_2[/math] обратно пропорционально силам (правило Архимеда): [math]\overrightarrow{A_1A}:\overrightarrow{AA_2}=\overrightarrow{F_2}:\overrightarrow{F_1}[/math]. Поэтому согласно свойству 2 аффинных и выпуклых комбинаций:


[math]\vec{r}=\frac{\overrightarrow{F_1}}{\overrightarrow{F}}\cdot\vec{r}_1+\frac{\overrightarrow{F_2}}{\overrightarrow{F}}\cdot\vec{r}_2.[/math]

Точку приложения равнодействующей [math]\overrightarrow{F}=\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}[/math] системы трех параллельных сил (рис. 1.67,6) можно найти последовательно: сначала равнодействующую [math]\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}[/math] и точку [math]N[/math] ее приложения (радиус-вектор [math]\vec{r}_{{}_N}[/math]):


[math]\vec{r}_{{}_N}=\frac{\overrightarrow{F_1}}{\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_1}}\cdot\vec{r}_1+\frac{\overrightarrow{F_1}}{\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}}\cdot\vec{r}_2,[/math]

а затем — искомую точку [math]A[/math] (отмеченную треугольником на рис. 1.67,б):

[math]\begin{aligned}\vec{r}&=\frac{\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}}{(\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2})+\overrightarrow{F_3}}\cdot\vec{r}_{{}_N}+\frac{\overrightarrow{F_3}}{(\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2})+\overrightarrow{F_3}}\cdot\vec{r}_3=\\[3pt]&=\frac{\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}}{(\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2})+\overrightarrow{F_3}}\cdot\left(\frac{\overrightarrow{F_1}}{\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}}\cdot\vec{r}_1+\frac{\overrightarrow{F_2}}{\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}}\cdot\vec{r}_2\right)+\frac{\overrightarrow{F_3}}{(\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2})+\overrightarrow{F_3}}\cdot\vec{r}_3=\\[3pt]&=\frac{\overrightarrow{F_1}}{\overrightarrow{F}}\cdot\vec{r}_1+\frac{\overrightarrow{F_2}}{\overrightarrow{F}}\cdot\vec{r}_2+\frac{\overrightarrow{F_3}}{\overrightarrow{F}}\cdot\vec{r}_3.\end{aligned}[/math]

По индукции заключаем, что точка приложения равнодействующей системы п параллельных сил находится по формуле


[math]\vec{r}=\frac{\overrightarrow{F_1}}{\overrightarrow{F}}\cdot\vec{r}_1+\frac{\overrightarrow{F_2}}{\overrightarrow{F}}\cdot\vec{r}_2+\cdots+\frac{\overrightarrow{F}_n}{\overrightarrow{F}}\cdot\vec{r}_n.[/math]



Центр масс и барицентрические координаты


Под материальной точкой понимается тело, размерами которого можно пренебречь при описании его движения. Такое тело рассматривается как геометрическая точка (считается, что вся масса тела сосредоточена в одной точке). Если в точке [math]A[/math] сосредоточена масса [math]m[/math], то эту материальную точку будем обозначать [math]mA[/math]. Положение материальной точки [math]A[/math] задается ее радиус-вектором г [math]\vec{r}=\overrightarrow{OA}[/math], приложенным к некоторой заданной точке [math]O[/math].


Любая совокупность материальных точек называется системой материальных точек. Например, систему образуют [math]n[/math] материальных точек [math]m_1A_1,m_2A_2,\ldots,m_nA_n[/math] с массами [math]m_1,m_2,\ldots,m_n[/math], положение которых определяется радиус-векторами [math]\vec{r}_1=\overrightarrow{OA_1},\vec{r}_2=\overrightarrow{OA_2},\ldots,\vec{r}_n=\overrightarrow{OA_n}[/math] соответственно. Предполагаем, что любые две материальные точки соединены жестким "невесомым" стержнем. Любая часть системы материальных точек называется подсистемой.


В поле силы тяжести на каждую материальную точку из системы [math]m_1A_1,m_2A_2,\ldots,m_nA_n[/math] действует сила [math]\overrightarrow{F_i}=m_i\cdot\vec{g},~i=1,\ldots,n[/math], где [math]\vec{g}[/math] –ускорение свободного падения. Эта система параллельных сил, согласно предыдущему разделу, может быть заменена равнодействующей [math]\overrightarrow{F}=m\cdot\vec{g}[/math], где [math]m=m_1+m_2+\cdots+m_n[/math] — масса всей системы. Точка [math]Z[/math] (ее радиус-вектор [math]\vec{r}=\overrightarrow{OZ}[/math]) приложения равнодействующей находится по формуле


[math]\vec{r}=\frac{m_1}{m}\cdot\vec{r}_1+\frac{m_2}{m}\cdot\vec{r}_2+\cdots+\frac{m_n}{m}\cdot\vec{r}_n[/math]

и называется центром масс (или барицентром) системы материальных точек. Если во всех точках сосредоточены одинаковые массы, центр масс системы называется геометрическим.

Эта формула применима и в случае, когда некоторые (или все) силы противоположны силе тяжести, например, [math]\overrightarrow{F_1}=-m\cdot\vec{g}[/math]. В этом случае будем считать, что масса, сосредоточенная в точке [math]A_1[/math], отрицательная [math](-m_1)[/math].


Перечислим основные свойства центра масс.


1. Каждая система материальных точек с ненулевой суммарной массой имеет однозначно определенный центр масс


[math]\overrightarrow{OZ}= \frac{m_1}{m}\cdot \overrightarrow{OA_1}+ \frac{m_2}{m}\cdot \overrightarrow{OA_2}+\cdots+\frac{m_n}{m}\cdot\overrightarrow{OA_n}.[/math]
(1.28)

2. Положение центра масс системы [math]m_1A_1,m_2A_2,\ldots,m_nA_n[/math] (с ненулевой суммарной массой, т.е. [math]m_1+\cdots+m_n\ne0[/math]) не изменится, если суммарную массу подсистемы [math]m_1A_1,m_2A_2,\ldots,m_kA_k,~k<n[/math] (с ненулевой суммарной массой, т.е. [math]m_1+\cdots+m_k\ne0[/math]) перенести в её центр масс.


Замечание 1.16. Учитывая свойство 6 аффинных и выпуклых комбинаций, положение центра масс [math]Z[/math] не зависит от точки [math]O[/math] приложения радиус-векторов. Поэтому формулу (1.28) можно использовать в виде


[math]Z=\frac{m_1}{m}\cdot A_1+\frac{m_2}{m}\cdot A_2+\cdots+\frac{m_n}{m}\cdot A_n[/math]

не указывая точку приложения радиус-векторов.



Пример 1.31. В трех вершинах [math]A,B,C[/math] параллелограмма [math]ABCD[/math] сосредоточены массы [math]m,(-m),m[/math] соответственно. Найти центр масс этой системы.


Решение. На рис. 1.68 изображена система сил, отвечающая условиям задачи (сила [math]\overrightarrow{F}_B[/math], соответствующая "отрицательной" массе, направлена вверх). Суммарная масса всех точек равна [math]m[/math] (отлична от нуля). По свойству 1 для произвольной точки [math]O[/math] имеем


[math]\overrightarrow{OZ}=\frac{m}{m}\cdot\overrightarrow{OA}+\frac{-m}{m}\cdot\overrightarrow{OB}+\frac{m}{m}\cdot\overrightarrow{OC}=\underbrace{\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}}_{\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OD},[/math]

т.е. центр масс совпадает с вершиной [math]D[/math] параллелограмма.



Пусть в вершинах треугольника [math]A_aA_2A_3[/math] сосредоточены массы [math]m_1,m_2,m_3[/math].


Для любой тройки чисел [math]m_1,m_2,m_3[/math] (с отличной от нуля суммой) существует единственная точка [math]Z[/math] (центр масс системы)


[math]\overrightarrow{OZ}=m_1\cdot\overrightarrow{OA_1}+\m_2\cdot\overrightarrow{OA_2}+\m_3\cdot\overrightarrow{OA_3},[/math]

и наоборот, для любой точки [math]Z[/math] в плоскости треугольника [math]A_1A_2A_3[/math] существует единственная тройка чисел [math]m_1,m_2,m_3[/math] [math](m_1+m_2+m_3=1)[/math] такая, что точка [math]Z[/math] является центром масс системы.

Тройка чисел [math]m_1,m_2,m_3[/math] называется барицентрическими координатами точки [math]Z[/math] относительно треугольника [math]A_1A_2A_3[/math].


Аналогично определяются барицентрические координаты в пространстве.




Пример 13.2. Найти барицентрические координаты центра вписанной в треугольник [math]ABC[/math] окружности.


Решение. По условию задачи требуется найти массы [math]m_{{}_A},m_{{}_B},m_{{}_C}[/math], которые нужно сосредоточить в соответствующих вершинах треугольника [math]ABC[/math], чтобы центр масс трех материальных точек [math]m_{{}_A}A,m_{{}_B}B,m_{{}_C}C[/math] совпал с центром вписанной в треугольник окружности. Учитывая свойство 4 аффинных и выпуклых комбинаций векторов, получаем (рис. 1.69):


[math]\begin{aligned}\overrightarrow{OZ}&=\frac{S_{{}_{ZBC}}}{S}\cdot\overrightarrow{OA}+\frac{S_{{}_{ZCA}}}{S}\cdot\overrightarrow{OB}+\frac{S_{{}_{ZAB}}}{S}\cdot\overrightarrow{OC}=\\[3pt]
&=\frac{\frac{1}{2}\cdot r\cdot a}{p\cdot r}\cdot\overrightarrow{OA}+\frac{\frac{1}{2}\cdot r\cdot b}{p\cdot r}\cdot\overrightarrow{OB}+\frac{\frac{1}{2}\cdot r\cdot c}{p\cdot r}\cdot\overrightarrow{OC}=\\[3pt]&=\frac{a}{2p}\cdot\overrightarrow{OA}+\frac{b}{2p}\cdot\overrightarrow{OB}+\frac{c}{2p}\cdot\overrightarrow{OC},\end{aligned}[/math]

где [math]S[/math] — площадь треугольника [math]ABC[/math], [math]r[/math] — радиус вписанной окружности, а [math]p[/math] — полупериметр.


Таким образом, барицентрические координаты центра вписанной окружности


[math]m_{{}_A}=\frac{a}{a+b+c};\qquad m_{{}_B}=\frac{b}{a+b+c};\qquad m_{{}_C}=\frac{c}{a+b+c}[/math]

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved