Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Применение векторной алгебры в механике

Применение векторной алгебры в механике


Опишем применение векторной алгебры в механике для решения задачи приведения системы сил. Будем использовать элементарные механические понятия, опираясь на их физический смысл, не придерживаясь формального изложения теории. В частности, силы будем рассматривать как скользящие векторы, не определяя их свойства аксиомами, как это принято в теоретической механике.


Момент силы, приложенной в точке относительно центра

Положение точки A твердого тела будем задавать ее радиус-вектором \vec{r}=\overrightarrow{OA} с началом в некоторой заданной точке O пространства. Силы, действующие на тело, будем обозначать прописными буквами (например, сила \overrightarrow{F}). Напомним, что сила является не свободным, а скользящим вектором (см. пункт 5 замечаний 1.1). Силу можно переносить, не изменяя длины и направления, только вдоль содержащей ее прямой (вдоль линии действия силы), при этом механическое воздействие силы на тело остается неизменным. Поэтому, задавая силу \overrightarrow{F}, указывают точку ее приложения (либо линию её действия).


Моментом силы \overrightarrow{F}, приложенной в точке A, относительно центра O называется векторное произведение \bigl[\vec{r},\overrightarrow{F}\bigl] радиус-вектора \vec{r}=\overrightarrow{OA} насилу \overrightarrow{F} (рис.1.62,а) и обозначается \vec{m}_0(\overrightarrow{F})=\,\bigl[\vec{r},\overrightarrow{F}\bigl]. Из определения векторного произведения следует, что модуль момента силы равен произведению модуля силы на расстояние OP от точки O до линии действия этой силы, называемое плечом (рис.1.62,а):


\left|m_0(\overrightarrow{F})\right|=\left|\bigl[\vec{r},\overrightarrow{F}\bigl]\right|=|\vec{r}|\cdot\bigr|\overrightarrow{F}\bigr|\cdot\sin\varphi=OP\cdot\bigr|\overrightarrow{F}\bigr|.

Система сил \overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\ldots,\overrightarrow{F_n}, приложенных к твердому телу, характеризуется главным вектором:


\overrightarrow{F}= \overrightarrow{F_1}+ \overrightarrow{F_2}+\cdots+\overrightarrow{F_n},
(1.24)

и главным моментом относительно точки O:


\overrightarrow{M_O}= \vec{m}_O \overrightarrow{F_1}+ \vec{m}_O\overrightarrow{F_2}+\cdots+\vec{m}_O\overrightarrow{F_n}=[\vec{r}_1,\overrightarrow{F_1}]+[\vec{r}_2,\overrightarrow{F_2}]+\cdots+[\vec{r}_n,\overrightarrow{F_n}],
(1.25)

где \vec{r}_1= \overrightarrow{OA_1}, \ldots, \vec{r}_n=\overrightarrow{OA_n} — радиус-векторы точек A_1,A_2,\ldots,A_n приложения сил \overrightarrow{F_1}, \overrightarrow{F_2}, \ldots, \overrightarrow{F_n} (1.24) сложение сил выполняется как сложение свободных векторов.


Парой сил (рис. 1.62,6) называется система двух параллельных сил \overrightarrow{F} и -\overrightarrow{F} (линии действия которых параллельны). Главный вектор пары сил, разумеется, нулевой. Найдем главный момент. По формуле (1.2S), учитывая свойства векторного произведения, получаем


\overrightarrow{M}= \left[\vec{r}_1, \overrightarrow{F}\right]+\left[\vec{r}_2,-\overrightarrow{F}\right]= \left[\vec{r}_1,\overrightarrow{F}\right]-\left[\vec{r}_2, \overrightarrow{F} \right]=\left[\vec{a},\overrightarrow{F}\right].
(1.26)

где \vec{a}=\vec{r}_1-\vec{r}_2=\overrightarrow{AA_1}. Как видим, главный момент пары сил не зависит от точки O (поэтому она и не указана в (1.26)). Следовательно, момент пары сил — свободный вектор, который может быть приложен к любой точке. Механическое воздействие на тело различных пар сил с одинаковым главным моментом одно и то же.




Приведение системы сил, приложенных к твердому телу


Рассмотрим задачу приведения системы сил, которая формулируется следующим образом. Пусть к твердому телу в точках A_1,A_2,\ldots,A_n, определяемых радиус-векторами \vec{r}_1=\overrightarrow{OA_1},\ldots,\vec{r}_n=\overrightarrow{OA_n}, приложены силы \overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\ldots,\overrightarrow{F_n} соответственно. Требуется упростить эту систему сил, т.е. заменить её минимальным количеством сил так, чтобы их механическое воздействие на тело совпадало бы с действием заданной системы сил.


Замечания 1.15


1. С точки зрения векторной алгебры задачу приведения системы сил можно рассматривать как задачу нахождения "суммы" заданных скользящих векторов. Если бы речь шла о свободных векторах, то их можно было бы приложить к любой точке пространства и сложить по правилу параллелограмма (в случае двух векторов) или по правилу ломаной. Для скользящих векторов так делать нельзя.


2. Для решения задачи приведения системы сил используется операция "переноса" силы в точку вне линии ее действия. Пусть в точке A приложена сила \overrightarrow{F} (рис.1.63,а). Приложим к произвольной точке O две противоположные силы \overrightarrow{F} и -\overrightarrow{F}, воздействия которых на твердое тело, разумеется, компенсируются (рис. 1.63,б). При этом получим пару сил \overrightarrow{F} и -\overrightarrow{F}, приложенных к точкам A и O соответственно. Пара сил характеризуется моментом (1.26): \overrightarrow{M}=\left[\vec{a},\overrightarrow{F}\right]. Таким образом, силу можно перенести в любую точку, добавив при этом соответствующую пару сил (рис.1.63,в).


Приложение силы в точке



Решение задачи приведения системы сил содержит два этапа.


Первый этап. Силы \overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\ldots,\overrightarrow{F_n}, приложенные к твердому телу в точках A_1,A_2,\ldots,A_n, "переносятся" в одну точку (см. п.2 замечаний 1.15). "Перенесем" все силы в точку O и сложим их. Получим главный вектор (1.24), приложенный к точке O, и главный момент (1.25) заданной системы сил. Таким образом, исходная система сил приводится к главному вектору \overrightarrow{F}, приложенному в точке O, и свободному главному моменту \overrightarrow{M}_O. Главный вектор \overrightarrow{F} называют первым инвариантом системы сил, так как его величина и направление не зависят от выбора точки O.


Второй этап. Упрощение системы сил посредством выбора точки O. Пусть известны: главный вектор \overrightarrow{F} системы сил и главный момент \overrightarrow{M}_O относительно точки O. Найдем главный момент \overrightarrow{M}'_{O'} той же системы сил относительно другой точки O'. Поскольку для всякой точки A_i,~i=\overline{1,n}: \vec{r}_i=\vec{a}+\vec{r}\,\,\!'_i, где \vec{r}_i=\overrightarrow{OA_i},\vec{r}\,\,\!'_i=\overrightarrow{O'A_i},\vec{a}=\overrightarrow{OO'} (рис.1.64,а),то


\overrightarrow{M}_O=\sum_{n}^{i=1}\left[\vec{r}_i,\overrightarrow{F_i}\right]=\sum_{i=1}^{n}\left[\vec{r}\,\,\!'_i+\vec{a},\overrightarrow{F_i}\right]=\sum_{i=1}^{n}\left[\vec{r}\,\,\!'_i,\overrightarrow{F_i}\right]+\left[\vec{a},\sum_{i=1}^{n}\overrightarrow{F_i}\right]=\overrightarrow{M}'_{O'}+\left[\vec{a},\overrightarrow{F}\right].

Значит, главные моменты связаны следующим образом


главный вектор системы сил и главный момент
\overrightarrow{M}_O= \overrightarrow{M}'_{O'}+ \left[\vec{a}, \overrightarrow{F}\right].
(1.27)

Рассмотрим частные случаи.


1. Если главный вектор сил нулевой (\overrightarrow{F}=\vec{o}), то из формулы (1.27) следует равенство моментов (\overrightarrow{M}_O=\overrightarrow{M}'_{O'}), т.е. главный момент не зависит от центра O, а система сил эквивалентна паре. В этом случае говорят, что система сил приводится к паре сил с моментом \overrightarrow{M} (рис. 1.64,6). Если \overrightarrow{F}=\vec{o} и \overrightarrow{M}_O=\vec{o}, то механические воздействия всех сил взаимно уничтожаются (случай уравновешенной системы сил).


2. Если главный вектор сил ненулевой (\overrightarrow{F}\ne\vec{o}), то можно найти ортогональную проекцию главного момента на линию действия главного вектора:


\overrightarrow{\operatorname{pr}}_{\overrightarrow{F}}\overrightarrow{M}_O=\frac{ \bigl\langle\overrightarrow{M}_O,\overrightarrow{F}\bigr\rangle } {\bigl|\overrightarrow{F}\bigr|^2}\cdot \overrightarrow{F}.

Найдем проекции векторов в левой и правой частях (1.27) на линию действия главного вектора \overrightarrow{F}. Поскольку скалярное произведение векторов \overrightarrow{F} и [\vec{a},\overrightarrow{F}] равняется нулю, так как эти векторы ортогональны, то


\overrightarrow{\operatorname{pr}}_{\overrightarrow{F}}\overrightarrow{M}_O=\overrightarrow{\operatorname{pr}}_{\overrightarrow{F}}\overrightarrow{M}'_{O'},

Динамический винт

т.е. ортогональная проекция главного момента на линию действия главного вектора системы сил не зависит от точки O (проекцию \overrightarrow{\operatorname{pr}}_{\overrightarrow{F}} \overrightarrow{M}_O называют вторым инвариантом системы сил). Выберем теперь точку O' (т.е. вектор \vec{a}=\overrightarrow{OO'} ) так, чтобы ортогональная составляющая \overrightarrow{M}_{\perp}=\overrightarrow{M}_O-\overrightarrow{\operatorname{pr}}_{\overrightarrow{F}}\overrightarrow{M}_O равнялась нулевому вектору (рис.1.65,а). Для этого от точки O отложим вектор \vec{a} перпендикулярно плоскости, содержащей векторы \overrightarrow{F} и \overrightarrow{M}_O, так, чтобы выполнялось равенство [\vec{a},\overrightarrow{F}]=\overrightarrow{M}_{\perp}. Найденную точку O' можно переносить параллельно прямой, содержащей вектор \overrightarrow{F}, при этом равенство [\vec{a},\overrightarrow{F}]=\overrightarrow{M}_{\perp} будет выполняться, так как не изменяется плечо для \overrightarrow{F}.


Таким образом, любая система сил приводится к главному вектору \overrightarrow{F} и паре сил с моментом \overrightarrow{M}'_{O'}, коллинеарным главному вектору (так называемому динамическому винту (рис. 1.65,6)).


Если второй инвариант системы сил равен нулевому вектору (\overrightarrow{\operatorname{pr}}_{\overrightarrow{F}}\overrightarrow{M}_O=\vec{o}), то система сил сводится к одной силе \overrightarrow{F}, называемой равнодействующей, механическое воздействие которой эквивалентно воздействию исходной системы сил. Равнодействующая системы сил совпадает с главным вектором: \overrightarrow{F}=\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\cdots+\overrightarrow{F_n}.


Далее рассмотрим задачи приведения систем сходящихся и систем параллельных сил к равнодействующей силе.




Системы сходящихся и системы параллельных сил


Система сил \overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\cdots+\overrightarrow{F_n}, линии действия которых пересекаются в одной точке, называется системой сходящихся сил.


Пусть задана система сходящихся сил \overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\cdots+\overrightarrow{F_n} с главным вектором \overrightarrow{F}=\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\cdots+\overrightarrow{F_n}. Поскольку линии действия всех сил проходят через одну точку A, то главный момент относительно этой точки равен нулевому вектору: \overrightarrow{M}_A=\vec{o}. Тогда второй инвариант \overrightarrow{\operatorname{pr}}_{\overrightarrow{F}}\overrightarrow{M}_A=\vec{o}. Такая система приводится к равнодействующей \overrightarrow{F}=\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\cdots+\overrightarrow{F_n}. Требуется определить точку A (ее радиус-вектор \vec{r}) приложения равнодействующей силы.


Системы сил

Если все силы принадлежат одной прямой, то и равнодействующая лежит на этой прямой (любую точку прямой можно считать точкой A приложения равнодействующей). Если не все силы коллинеарны и линии действия пересекаются в точке A, то эта точка является точкой приложения равнодействующей (1.66,а). Например, в системе \overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3} (рис. 1.66,6) силы \overrightarrow{F_1} и \overrightarrow{F_2} не коллинеарны, поэтому точку A (точнее ее радиус-вектор \vec{r}=\overrightarrow{OA}) можно найти из системы уравнений:


\begin{cases}\vec{r}=\vec{r}_1+x_1\cdot\overrightarrow{F_1},\\\vec{r}=\vec{r}_2+x_2\cdot\overrightarrow{F_2}\end{cases}

которая выражает условия коллинеарности векторов: (\vec{r}-\vec{r}_1)\parallel\overrightarrow{F_1} и (\vec{r}_2-\vec{r})\parallel\overrightarrow{F_2}, т.е. \frac{\vec{r}-\vec{r}_1}{\overrightarrow{F_1}}=x_1 и \frac{\vec{r}_2-\vec{r}}{\overrightarrow{F_2}}=x_2. Вычитая из первого уравнения системы второе, приходим к равенству \vec{r}_1-\vec{r}_2+x_1\cdot\overrightarrow{F_1}+x_2\cdot\overrightarrow{F_2}=\vec{o}, которое можно представить в виде


\Delta\vec{r}= x_1\cdot \overrightarrow{F_1}+ x_2\cdot\overrightarrow{F_2}

где \Delta\vec{r}=\vec{r}_2-\vec{r}_1. Таким образом, неизвестные x_1,x_2 (достаточно найти одну неизвестную, например, x_1) можно найти как коэффициенты разложения вектора \Delta\vec{r}=\vec{r}_2-\vec{r}_1 по базису \overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2}, а затем получить искомый радиус-вектор:


\vec{r}=\vec{r}_1+x_1\cdot\overrightarrow{F_1}.

Он определяет точку A равнодействующей силы \overrightarrow{F}=\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}.




Пример 1.30. В стандартном базисе на плоскости заданы координатные столбцы системы трех сходящихся сил \overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3} и точек (радиус-векторов \vec{r}_1,\vec{r}_2,\vec{r}_3) их приложения (рис. 1.66,б):


f_1=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix};~~f_2=\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix};~~f_3=\begin{pmatrix}-2\\-2\end{pmatrix};~~r_1=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix};~~r_2=\begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix};~~r_3=\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}.

Требуется найти:


а) равнодействующую \overrightarrow{F} и точку A (радиус-вектор \vec{r}) её приложения;


б) моменты каждой силы \overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3}, момент равнодействующей \overrightarrow{F}, а также главный момент \overrightarrow{M}_O заданной системы сил относительно точки O.


Решение. а) Находим координатный столбец f равнодействующей всех сил:


f=f_1+f_2+f_3=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-2\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-3\end{pmatrix}. Следовательно, \overrightarrow{F}=\vec{i}-3\,\vec{j}.

Поскольку силы \overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2} не коллинеарны, то задача сводится к разложению вектора \Delta\vec{r}=\vec{r}_2-\vec{r}_1; по векторам \overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2}: \Delta\vec{r}=x_1\overrightarrow{F_1}+x_2\overrightarrow{F_2}. Находим координатный столбец \Delta r вектора \Delta\vec{r}=\vec{r}_2-\vec{r}_1:


\Delta r=\begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}.

По формулам (1.19) получаем


x_1=\frac{\Delta\vec{r}\land\overrightarrow{F_2}}{\overrightarrow{F_1}\land\overrightarrow{F_2}}=\frac{\begin{vmatrix}-2&2\\1&0\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&2\\-1&0\end{vmatrix}}=\frac{-2}{2}=-1.

Следовательно, r=r_1+x_1\cdot f_1=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}+(-1){\cdot}\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}, т.е. \vec{r}=\vec{i}+2\,\vec{j}.


Заметим, что линия действия силы \overrightarrow{F_3}, проходит через найденную точку A, так как векторы (\vec{r}-\vec{r}_3) и \overrightarrow{F_3} коллинеарны: r-r_3=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}, т.е. заданная система сил является системой сходящихся сил.


б) Найдем по определению моменты сил \overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3},\overrightarrow{F} относительно точки O:


\begin{array}{*{20}{l}} \overrightarrow{m}_{O}\!\left(\overrightarrow{F_1}\right)=\left[\vec{r}_1,\overrightarrow{F_1}\right]=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\2&1&0\\1&-1&0\end{vmatrix}=-3\vec{k};&\quad \overrightarrow{m}_{O}\!\left(\overrightarrow{F_3}\right)=\left[\vec{r}_3,\overrightarrow{F_3}\right]=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\-1&0&0\\-2&-2&0\end{vmatrix}=2\vec{k};\\[20pt] \overrightarrow{m}_{O}\!\left(\overrightarrow{F_2}\right)=\left[\vec{r}_2,\overrightarrow{F_2}\right]=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\0&2&0\\2&0&0\end{vmatrix}=-4\vec{k};&\quad \overrightarrow{m}_{O}\!\left(\overrightarrow{F}\right)=\left[\vec{r},\overrightarrow{F}\right]=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\1&2&0\\1&-3&0\end{vmatrix}=-5\vec{k}. \end{array}

Главный момент \overrightarrow{M}_O системы сил находим по формуле (1.25)

\overrightarrow{M}_O=-3\,\vec{k}-4\,\vec{k}+2\,\vec{k}=-5\,\vec{k}.


Главный момент \overrightarrow{M}_O можно найти по формуле (1.27): \overrightarrow{M}_O=\overrightarrow{M}_A+[\vec{r},\overrightarrow{F}], где \vec{r}=\overrightarrow{OA}. Поскольку главный момент \overrightarrow{M}_A системы сил относительно точки A нулевой (\overrightarrow{M}_A=\vec{o}), то \overrightarrow{M}_O=[\vec{r},\overrightarrow{F}]=\overrightarrow{m}_{O}\!\left(\overrightarrow{F}\right)=-5\,\vec{k}. Результаты вычислений совпадают.




Система сил \overrightarrow{F_1}, \overrightarrow{F_2}, \ldots, \overrightarrow{F_n} называется системой параллельных сил, если векторы \overrightarrow{F_1}, \overrightarrow{F_2}, \ldots, \overrightarrow{F_n} коллинеарны.


Системы двух и трех параллельных сил

Пусть задана система параллельных сил \overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\ldots,\overrightarrow{F_n} с главным вектором \overrightarrow{F}=\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\cdots+\overrightarrow{F_n}, отличным от нулевого вектора. Поскольку момент каждой силы перпендикулярен линии ее действия, то и главный момент \overrightarrow{M}_O системы параллельных сил перпендикулярен главному вектору \overrightarrow{F}. Тогда второй инвариант \vec{\operatorname{pr}}_{\overrightarrow{F}}\overrightarrow{M}_O\ne\vec{o}. Такая система сил приводится к равнодействующей \overrightarrow{F}=\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\cdots+\overrightarrow{F_n}. Требуется определить точку A (ее радиус- вектор \vec{r}) приложения равнодействующей силы.


Разберем сначала случай системы двух параллельных сил (рис.1.67,а). Поскольку векторы \overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2} коллинеарны, то точка A (отмеченная треугольником на рис.1.67,а) приложения равнодействующей \overrightarrow{F}=\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2} делит отрезок A_1A_2 обратно пропорционально силам (правило Архимеда): \overrightarrow{A_1A}:\overrightarrow{AA_2}=\overrightarrow{F_2}:\overrightarrow{F_1}. Поэтому согласно свойству 2 аффинных и выпуклых комбинаций:


\vec{r}=\frac{\overrightarrow{F_1}}{\overrightarrow{F}}\cdot\vec{r}_1+\frac{\overrightarrow{F_2}}{\overrightarrow{F}}\cdot\vec{r}_2.

Точку приложения равнодействующей \overrightarrow{F}=\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3} системы трех параллельных сил (рис. 1.67,6) можно найти последовательно: сначала равнодействующую \overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2} и точку N ее приложения (радиус-вектор \vec{r}_{N}):


\vec{r}_{N}=\frac{\overrightarrow{F_1}}{\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_1}}\cdot\vec{r}_1+\frac{\overrightarrow{F_1}}{\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}}\cdot\vec{r}_2,

а затем — искомую точку A (отмеченную треугольником на рис. 1.67,б):


\begin{aligned}\vec{r}&=\frac{\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}}{(\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2})+\overrightarrow{F_3}}\cdot\vec{r}_{N}+\frac{\overrightarrow{F_3}}{(\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2})+\overrightarrow{F_3}}\cdot\vec{r}_3=\\[3pt]&=\frac{\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}}{(\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2})+\overrightarrow{F_3}}\cdot\left(\frac{\overrightarrow{F_1}}{\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}}\cdot\vec{r}_1+\frac{\overrightarrow{F_2}}{\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}}\cdot\vec{r}_2\right)+\frac{\overrightarrow{F_3}}{(\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2})+\overrightarrow{F_3}}\cdot\vec{r}_3=\\[3pt]&=\frac{\overrightarrow{F_1}}{\overrightarrow{F}}\cdot\vec{r}_1+\frac{\overrightarrow{F_2}}{\overrightarrow{F}}\cdot\vec{r}_2+\frac{\overrightarrow{F_3}}{\overrightarrow{F}}\cdot\vec{r}_3.\end{aligned}

По индукции заключаем, что точка приложения равнодействующей системы п параллельных сил находится по формуле


\vec{r}=\frac{\overrightarrow{F_1}}{\overrightarrow{F}}\cdot\vec{r}_1+\frac{\overrightarrow{F_2}}{\overrightarrow{F}}\cdot\vec{r}_2+\cdots+\frac{\overrightarrow{F}_n}{\overrightarrow{F}}\cdot\vec{r}_n.



Центр масс и барицентрические координаты


Под материальной точкой понимается тело, размерами которого можно пренебречь при описании его движения. Такое тело рассматривается как геометрическая точка (считается, что вся масса тела сосредоточена в одной точке). Если в точке A сосредоточена масса m, то эту материальную точку будем обозначать mA. Положение материальной точки A задается ее радиус-вектором г \vec{r}=\overrightarrow{OA}, приложенным к некоторой заданной точке O.


Любая совокупность материальных точек называется системой материальных точек. Например, систему образуют n материальных точек m_1A_1,m_2A_2,\ldots,m_nA_n с массами m_1,m_2,\ldots,m_n, положение которых определяется радиус-векторами \vec{r}_1=\overrightarrow{OA_1},\vec{r}_2=\overrightarrow{OA_2},\ldots,\vec{r}_n=\overrightarrow{OA_n} соответственно. Предполагаем, что любые две материальные точки соединены жестким "невесомым" стержнем. Любая часть системы материальных точек называется подсистемой.


В поле силы тяжести на каждую материальную точку из системы m_1A_1,m_2A_2,\ldots,m_nA_n действует сила \overrightarrow{F_i}=m_i\cdot\vec{g},~i=1,\ldots,n, где \vec{g} –ускорение свободного падения. Эта система параллельных сил, согласно предыдущему разделу, может быть заменена равнодействующей \overrightarrow{F}=m\cdot\vec{g}, где m=m_1+m_2+\cdots+m_n — масса всей системы. Точка Z (ее радиус-вектор \vec{r}=\overrightarrow{OZ}) приложения равнодействующей находится по формуле


\vec{r}=\frac{m_1}{m}\cdot\vec{r}_1+\frac{m_2}{m}\cdot\vec{r}_2+\cdots+\frac{m_n}{m}\cdot\vec{r}_n

и называется центром масс (или барицентром) системы материальных точек. Если во всех точках сосредоточены одинаковые массы, центр масс системы называется геометрическим.


Эта формула применима и в случае, когда некоторые (или все) силы противоположны силе тяжести, например, \overrightarrow{F_1}=-m\cdot\vec{g}. В этом случае будем считать, что масса, сосредоточенная в точке A_1, отрицательная (-m_1).


Перечислим основные свойства центра масс.


1. Каждая система материальных точек с ненулевой суммарной массой имеет однозначно определенный центр масс


\overrightarrow{OZ}= \frac{m_1}{m}\cdot \overrightarrow{OA_1}+ \frac{m_2}{m}\cdot \overrightarrow{OA_2}+\cdots+\frac{m_n}{m}\cdot\overrightarrow{OA_n}.
(1.28)

2. Положение центра масс системы m_1A_1,m_2A_2,\ldots,m_nA_n (с ненулевой суммарной массой, т.е. m_1+\cdots+m_n\ne0) не изменится, если суммарную массу подсистемы m_1A_1,m_2A_2,\ldots,m_kA_k,~k<n (с ненулевой суммарной массой, т.е. m_1+\cdots+m_k\ne0) перенести в её центр масс.


Замечание 1.16. Учитывая свойство 6 аффинных и выпуклых комбинаций, положение центра масс Z не зависит от точки O приложения радиус-векторов. Поэтому формулу (1.28) можно использовать в виде


Z=\frac{m_1}{m}\cdot A_1+\frac{m_2}{m}\cdot A_2+\cdots+\frac{m_n}{m}\cdot A_n

не указывая точку приложения радиус-векторов.




Сосредоточение массы в вершинах параллелограмма

Пример 1.31. В трех вершинах A,B,C параллелограмма ABCD сосредоточены массы m,(-m),m соответственно. Найти центр масс этой системы.


Решение. На рис. 1.68 изображена система сил, отвечающая условиям задачи (сила \overrightarrow{F}_B, соответствующая "отрицательной" массе, направлена вверх). Суммарная масса всех точек равна m (отлична от нуля). По свойству 1 для произвольной точки O имеем


\overrightarrow{OZ}=\frac{m}{m}\cdot\overrightarrow{OA}+\frac{-m}{m}\cdot\overrightarrow{OB}+\frac{m}{m}\cdot\overrightarrow{OC}=\underbrace{\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}}_{\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OD},

т.е. центр масс совпадает с вершиной D параллелограмма.




Пусть в вершинах треугольника A_aA_2A_3 сосредоточены массы m_1,m_2,m_3.


Для любой тройки чисел m_1,m_2,m_3 (с отличной от нуля суммой) существует единственная точка Z (центр масс системы)


\overrightarrow{OZ}=m_1\cdot\overrightarrow{OA_1}+m_2\cdot\overrightarrow{OA_2}+m_3\cdot\overrightarrow{OA_3},

и наоборот, для любой точки Z в плоскости треугольника A_1A_2A_3 существует единственная тройка чисел m_1,m_2,m_3 (m_1+m_2+m_3=1) такая, что точка Z является центром масс системы.


Тройка чисел m_1,m_2,m_3 называется барицентрическими координатами точки Z относительно треугольника A_1A_2A_3.


Аналогично определяются барицентрические координаты в пространстве.




Пример 13.2. Найти барицентрические координаты центра вписанной в треугольник ABC окружности.


Решение. По условию задачи требуется найти массы m_{A},m_{B},m_{C}, которые нужно сосредоточить в соответствующих вершинах треугольника ABC, чтобы центр масс трех материальных точек m_{A}A,m_{B}B,m_{C}C совпал с центром вписанной в треугольник окружности. Учитывая свойство 4 аффинных и выпуклых комбинаций векторов, получаем (рис. 1.69):


Барицентрические координаты центра вписанной окружности
\begin{aligned}\overrightarrow{OZ}&=\frac{S_{{ZBC}}}{S}\cdot\overrightarrow{OA}+\frac{S_{{ZCA}}}{S}\cdot\overrightarrow{OB}+\frac{S_{{ZAB}}}{S}\cdot\overrightarrow{OC}=\\[3pt]<br />&=\frac{\frac{1}{2}\cdot r\cdot a}{p\cdot r}\cdot\overrightarrow{OA}+\frac{\frac{1}{2}\cdot r\cdot b}{p\cdot r}\cdot\overrightarrow{OB}+\frac{\frac{1}{2}\cdot r\cdot c}{p\cdot r}\cdot\overrightarrow{OC}=\\[3pt]&=\frac{a}{2p}\cdot\overrightarrow{OA}+\frac{b}{2p}\cdot\overrightarrow{OB}+\frac{c}{2p}\cdot\overrightarrow{OC},\end{aligned}

где S — площадь треугольника ABC, r — радиус вписанной окружности, а p — полупериметр.


Таким образом, барицентрические координаты центра вписанной окружности


m_{A}=\frac{a}{a+b+c};\qquad m_{B}=\frac{b}{a+b+c};\qquad m_{C}=\frac{c}{a+b+c}
Перейти на форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved