Применение векторной алгебры в механике
Опишем применение векторной алгебры в механике для решения задачи приведения системы сил. Будем использовать элементарные механические понятия, опираясь на их физический смысл, не придерживаясь формального изложения теории. В частности, силы будем рассматривать как скользящие векторы, не определяя их свойства аксиомами, как это принято в теоретической механике.
Положение точки твердого тела будем задавать ее радиус-вектором с началом в некоторой заданной точке пространства. Силы, действующие на тело, будем обозначать прописными буквами (например, сила ). Напомним, что сила является не свободным, а скользящим вектором (см. пункт 5 замечаний 1.1). Силу можно переносить, не изменяя длины и направления, только вдоль содержащей ее прямой (вдоль линии действия силы), при этом механическое воздействие силы на тело остается неизменным. Поэтому, задавая силу , указывают точку ее приложения (либо линию её действия).
Моментом силы , приложенной в точке , относительно центра называется векторное произведение радиус-вектора насилу (рис.1.62,а) и обозначается . Из определения векторного произведения следует, что модуль момента силы равен произведению модуля силы на расстояние от точки до линии действия этой силы, называемое плечом (рис.1.62,а):
Система сил , приложенных к твердому телу, характеризуется главным вектором:
(1.24)
и главным моментом относительно точки :
(1.25)
где — радиус-векторы точек приложения сил (1.24) сложение сил выполняется как сложение свободных векторов.
Парой сил (рис. 1.62,6) называется система двух параллельных сил и (линии действия которых параллельны). Главный вектор пары сил, разумеется, нулевой. Найдем главный момент. По формуле (1.2S), учитывая свойства векторного произведения, получаем
(1.26)
где . Как видим, главный момент пары сил не зависит от точки (поэтому она и не указана в (1.26)). Следовательно, момент пары сил — свободный вектор, который может быть приложен к любой точке. Механическое воздействие на тело различных пар сил с одинаковым главным моментом одно и то же.
Приведение системы сил, приложенных к твердому телу
Рассмотрим задачу приведения системы сил, которая формулируется следующим образом. Пусть к твердому телу в точках , определяемых радиус-векторами , приложены силы соответственно. Требуется упростить эту систему сил, т.е. заменить её минимальным количеством сил так, чтобы их механическое воздействие на тело совпадало бы с действием заданной системы сил.
Замечания 1.15
1. С точки зрения векторной алгебры задачу приведения системы сил можно рассматривать как задачу нахождения "суммы" заданных скользящих векторов. Если бы речь шла о свободных векторах, то их можно было бы приложить к любой точке пространства и сложить по правилу параллелограмма (в случае двух векторов) или по правилу ломаной. Для скользящих векторов так делать нельзя.
2. Для решения задачи приведения системы сил используется операция "переноса" силы в точку вне линии ее действия. Пусть в точке приложена сила (рис.1.63,а). Приложим к произвольной точке две противоположные силы и , воздействия которых на твердое тело, разумеется, компенсируются (рис. 1.63,б). При этом получим пару сил и , приложенных к точкам и соответственно. Пара сил характеризуется моментом (1.26): . Таким образом, силу можно перенести в любую точку, добавив при этом соответствующую пару сил (рис.1.63,в).
Решение задачи приведения системы сил содержит два этапа.
Первый этап. Силы , приложенные к твердому телу в точках , "переносятся" в одну точку (см. п.2 замечаний 1.15). "Перенесем" все силы в точку и сложим их. Получим главный вектор (1.24), приложенный к точке , и главный момент (1.25) заданной системы сил. Таким образом, исходная система сил приводится к главному вектору , приложенному в точке , и свободному главному моменту . Главный вектор называют первым инвариантом системы сил, так как его величина и направление не зависят от выбора точки .
Второй этап. Упрощение системы сил посредством выбора точки . Пусть известны: главный вектор системы сил и главный момент относительно точки . Найдем главный момент той же системы сил относительно другой точки . Поскольку для всякой точки : , где (рис.1.64,а),то
Значит, главные моменты связаны следующим образом
(1.27)
Рассмотрим частные случаи.
1. Если главный вектор сил нулевой , то из формулы (1.27) следует равенство моментов , т.е. главный момент не зависит от центра , а система сил эквивалентна паре. В этом случае говорят, что система сил приводится к паре сил с моментом (рис. 1.64,6). Если и , то механические воздействия всех сил взаимно уничтожаются (случай уравновешенной системы сил).
2. Если главный вектор сил ненулевой , то можно найти ортогональную проекцию главного момента на линию действия главного вектора:
Найдем проекции векторов в левой и правой частях (1.27) на линию действия главного вектора . Поскольку скалярное произведение векторов и равняется нулю, так как эти векторы ортогональны, то
т.е. ортогональная проекция главного момента на линию действия главного вектора системы сил не зависит от точки (проекцию называют вторым инвариантом системы сил). Выберем теперь точку (т.е. вектор ) так, чтобы ортогональная составляющая равнялась нулевому вектору (рис.1.65,а). Для этого от точки отложим вектор перпендикулярно плоскости, содержащей векторы и , так, чтобы выполнялось равенство . Найденную точку можно переносить параллельно прямой, содержащей вектор , при этом равенство будет выполняться, так как не изменяется плечо для .
Таким образом, любая система сил приводится к главному вектору и паре сил с моментом , коллинеарным главному вектору (так называемому динамическому винту (рис. 1.65,6)).
Если второй инвариант системы сил равен нулевому вектору , то система сил сводится к одной силе , называемой равнодействующей, механическое воздействие которой эквивалентно воздействию исходной системы сил. Равнодействующая системы сил совпадает с главным вектором: .
Далее рассмотрим задачи приведения систем сходящихся и систем параллельных сил к равнодействующей силе.
Системы сходящихся и системы параллельных сил
Система сил , линии действия которых пересекаются в одной точке, называется системой сходящихся сил.
Пусть задана система сходящихся сил с главным вектором . Поскольку линии действия всех сил проходят через одну точку , то главный момент относительно этой точки равен нулевому вектору: . Тогда второй инвариант . Такая система приводится к равнодействующей . Требуется определить точку (ее радиус-вектор ) приложения равнодействующей силы.
Если все силы принадлежат одной прямой, то и равнодействующая лежит на этой прямой (любую точку прямой можно считать точкой приложения равнодействующей). Если не все силы коллинеарны и линии действия пересекаются в точке , то эта точка является точкой приложения равнодействующей (1.66,а). Например, в системе (рис. 1.66,6) силы и не коллинеарны, поэтому точку (точнее ее радиус-вектор ) можно найти из системы уравнений:
которая выражает условия коллинеарности векторов: и , т.е. и . Вычитая из первого уравнения системы второе, приходим к равенству , которое можно представить в виде
где . Таким образом, неизвестные (достаточно найти одну неизвестную, например, ) можно найти как коэффициенты разложения вектора по базису , а затем получить искомый радиус-вектор:
Он определяет точку равнодействующей силы .
Пример 1.30. В стандартном базисе на плоскости заданы координатные столбцы системы трех сходящихся сил и точек (радиус-векторов ) их приложения (рис. 1.66,б):
Требуется найти:
а) равнодействующую и точку (радиус-вектор ) её приложения;
б) моменты каждой силы , момент равнодействующей , а также главный момент заданной системы сил относительно точки .
Решение. а) Находим координатный столбец равнодействующей всех сил:
. Следовательно, .
Поскольку силы не коллинеарны, то задача сводится к разложению вектора ; по векторам : . Находим координатный столбец вектора :
По формулам (1.19) получаем
Следовательно, , т.е. .
Заметим, что линия действия силы , проходит через найденную точку , так как векторы и коллинеарны: , т.е. заданная система сил является системой сходящихся сил.
б) Найдем по определению моменты сил относительно точки :
Главный момент системы сил находим по формуле (1.25)
Главный момент можно найти по формуле (1.27): , где . Поскольку главный момент системы сил относительно точки нулевой , то . Результаты вычислений совпадают.
Система сил называется системой параллельных сил, если векторы коллинеарны.
Пусть задана система параллельных сил с главным вектором , отличным от нулевого вектора. Поскольку момент каждой силы перпендикулярен линии ее действия, то и главный момент системы параллельных сил перпендикулярен главному вектору . Тогда второй инвариант . Такая система сил приводится к равнодействующей . Требуется определить точку (ее радиус- вектор ) приложения равнодействующей силы.
Разберем сначала случай системы двух параллельных сил (рис.1.67,а). Поскольку векторы коллинеарны, то точка (отмеченная треугольником на рис.1.67,а) приложения равнодействующей делит отрезок обратно пропорционально силам (правило Архимеда): . Поэтому согласно свойству 2 аффинных и выпуклых комбинаций:
Точку приложения равнодействующей системы трех параллельных сил (рис. 1.67,6) можно найти последовательно: сначала равнодействующую и точку ее приложения (радиус-вектор ):
а затем — искомую точку (отмеченную треугольником на рис. 1.67,б):
По индукции заключаем, что точка приложения равнодействующей системы п параллельных сил находится по формуле
Центр масс и барицентрические координаты
Под материальной точкой понимается тело, размерами которого можно пренебречь при описании его движения. Такое тело рассматривается как геометрическая точка (считается, что вся масса тела сосредоточена в одной точке). Если в точке сосредоточена масса , то эту материальную точку будем обозначать . Положение материальной точки задается ее радиус-вектором г , приложенным к некоторой заданной точке .
Любая совокупность материальных точек называется системой материальных точек. Например, систему образуют материальных точек с массами , положение которых определяется радиус-векторами соответственно. Предполагаем, что любые две материальные точки соединены жестким "невесомым" стержнем. Любая часть системы материальных точек называется подсистемой.
В поле силы тяжести на каждую материальную точку из системы действует сила , где –ускорение свободного падения. Эта система параллельных сил, согласно предыдущему разделу, может быть заменена равнодействующей , где — масса всей системы. Точка (ее радиус-вектор ) приложения равнодействующей находится по формуле
и называется центром масс (или барицентром) системы материальных точек. Если во всех точках сосредоточены одинаковые массы, центр масс системы называется геометрическим.
Эта формула применима и в случае, когда некоторые (или все) силы противоположны силе тяжести, например, . В этом случае будем считать, что масса, сосредоточенная в точке , отрицательная .
Перечислим основные свойства центра масс.
1. Каждая система материальных точек с ненулевой суммарной массой имеет однозначно определенный центр масс
(1.28)
2. Положение центра масс системы (с ненулевой суммарной массой, т.е. ) не изменится, если суммарную массу подсистемы (с ненулевой суммарной массой, т.е. ) перенести в её центр масс.
Замечание 1.16. Учитывая свойство 6 аффинных и выпуклых комбинаций, положение центра масс не зависит от точки приложения радиус-векторов. Поэтому формулу (1.28) можно использовать в виде
не указывая точку приложения радиус-векторов.
Пример 1.31. В трех вершинах параллелограмма сосредоточены массы соответственно. Найти центр масс этой системы.
Решение. На рис. 1.68 изображена система сил, отвечающая условиям задачи (сила , соответствующая "отрицательной" массе, направлена вверх). Суммарная масса всех точек равна (отлична от нуля). По свойству 1 для произвольной точки имеем
т.е. центр масс совпадает с вершиной параллелограмма.
Пусть в вершинах треугольника сосредоточены массы .
Для любой тройки чисел (с отличной от нуля суммой) существует единственная точка (центр масс системы)
и наоборот, для любой точки в плоскости треугольника существует единственная тройка чисел такая, что точка является центром масс системы.
Тройка чисел называется барицентрическими координатами точки относительно треугольника .
Аналогично определяются барицентрические координаты в пространстве.
Пример 13.2. Найти барицентрические координаты центра вписанной в треугольник окружности.
Решение. По условию задачи требуется найти массы , которые нужно сосредоточить в соответствующих вершинах треугольника , чтобы центр масс трех материальных точек совпал с центром вписанной в треугольник окружности. Учитывая свойство 4 аффинных и выпуклых комбинаций векторов, получаем (рис. 1.69):
где — площадь треугольника , — радиус вписанной окружности, а — полупериметр.
Таким образом, барицентрические координаты центра вписанной окружности
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
|