Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Применение векторов при решении геометрических задач

Применение векторов при решении геометрических задач


Перечислим свойства скалярного, векторного и смешанного произведений, применяемые при решении геометрических задач.


Предполагается, что координаты векторов [math]\vec{a},\vec{b},\vec{c}[/math], указанные в формулах, найдены относительно стандартного базиса [math]\vec{i},\vec{j},\vec{k}[/math] в пространстве:


[math]\vec{a}=x_a\,\vec{i}+y_a\,\vec{j}+z_a\,\vec{k},\qquad \vec{b}=x_b\,\vec{i}+y_b\,\vec{j}+z_b\,\vec{k},\qquad \vec{c}=x_c\,\vec{i}+y_c\,\vec{j}+z_c\,\vec{k}.[/math]

Напомним, что в стандартном базисе скалярное, векторное, смешанное произведения векторов вычисляются по формулам (1.10),(1.16),(1.17):


[math]\bigl\langle\vec{a},\vec{b}\bigr\rangle\,=x_a\cdot x_b+y_a \cdot y_b+z_a\cdot z_b;\qquad \bigl[\vec{a},\vec{b}\bigr]\,=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\x_a&y_a&z_a\\x_b&y_b&z_b\end{vmatrix};\qquad \bigl(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\bigr)\,=\begin{vmatrix}x_a&y_a&z_a\\x_b&y_b&z_b\\x_c&y_c&z_c\end{vmatrix}[/math]

1. Вектор [math]\vec{a}=\vec{o}[/math] тогда и только тогда, когда


[math]\bigl\langle\vec{a},\vec{a}\bigr\rangle\,=0~~\Leftrightarrow~~x_a^2+y_a^2+z_a^2=0~~\Leftrightarrow~~x_a=y_a=z_a=0.[/math]

2. Ненулевые векторы [math]\vec{a}[/math] и [math]\vec{b}[/math] ортогональны тогда и только тогда, когда


[math]\bigl\langle\vec{a},\vec{b}\bigr\rangle\,=0~~\Leftrightarrow~~x_a\cdot x_b+y_a\cdot y_b+z_a\cdot z_b=0.[/math]

3. Векторы [math]\vec{a}[/math] и [math]\vec{b}[/math] коллинеарны тогда и только тогда, когда


[math]\bigl[\vec{a},\vec{b}\bigr]\,=\vec{o}~~\Leftrightarrow~~\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\x_a&y_a&z_a\\x_b&y_b&z_b\end{vmatrix}=\vec{o}~~\Leftrightarrow~~\frac{x_a}{x_b}=\frac{y_a}{y_b}=\frac{z_a}{z_b}.[/math]

4. Векторы [math]\vec{a},\vec{b},\vec{c}[/math] компланарны тогда и только тогда, когда


[math]\bigl(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\bigr)~~\Leftrightarrow~~\begin{vmatrix}x_a&y_a&z_a\\x_b&y_b&z_b\\x_c&y_c&z_c\end{vmatrix}=0.[/math]

5. Длина вектора [math]\vec{a}[/math] вычисляется по формуле:


[math]|\vec{a}|=\sqrt{\langle\vec{a},\vec{a}\rangle}=\sqrt{x_a^2+y_a^2+z_a^2}.[/math]

6. Угол [math]\varphi[/math] между ненулевыми векторами [math]\vec{a}[/math] и [math]\vec{b}[/math] вычисляется по формуле:


[math]\cos\varphi=\frac{\langle\vec{a},\vec{b}\rangle}{\sqrt{\langle\vec{a},\vec{a}\rangle}\cdot\sqrt{\langle\vec{b},\vec{b}\rangle}}=\frac{x_a\cdot x_b+y_a \cdot y_b+z_a\cdot z_b}{\sqrt{x_a^2+y_a^2+z_a^2}\cdot\sqrt{x_b^2+y_b^2+z_b^2}}.[/math]

7. Алгебраическое значение длины ортогональной проекции вектора [math]\vec{a}[/math] на ось, задаваемую вектором [math]\vec{b}\ne\vec{o}[/math] , находится по формуле:


[math]\operatorname{pr}_{\vec{b}}\vec{a}=\frac{\langle\vec{a},\vec{b}\rangle}{|\vec{b}|}=\frac{x_a\cdot x_b+y_a \cdot y_b+z_a\cdot z_b}{\sqrt{x_b^2+y_b^2+z_b^2}}[/math]

8. Ортогональная проекция вектора [math]\vec{a}[/math] на ось, задаваемую вектором [math]\vec{b}\ne\vec{o}[/math]:


[math]\overrightarrow{\operatorname{pr}}_{\vec{b}}\vec{a}=\frac{\langle\vec{a},\vec{b}\rangle}{\langle\vec{b},\vec{b}\rangle}\cdot\vec{b}=\frac{x_a\cdot x_b+y_a \cdot y_b+z_a\cdot z_b}{x_b^2+y_b^2+z_b^2}\cdot\bigl(x_b\cdot\vec{i}+y_b\cdot\vec{j}+z_b\cdot\vec{k}\bigr).[/math]

9. Направляющие косинусы вектора [math]\vec{a}[/math] находятся по формулам:


[math]\cos\alpha=\frac{\langle\vec{a},\vec{i}\rangle}{|\vec{a}|}=\frac{x_a}{\sqrt{x_a^2+y_a^2+z_a^2}};~~~ \cos\beta=\frac{\langle\vec{a},\vec{j}\rangle}{|\vec{a}|}=\frac{y_a}{\sqrt{x_a^2+y_a^2+z_a^2}};~~~ \cos\gamma=\frac{\langle\vec{a},\vec{k}\rangle}{|\vec{a}|}=\frac{z_a}{\sqrt{x_a^2+y_a^2+z_a^2}}.[/math]

10. Единичный вектор [math]\vec{e}[/math], одинаково направленный с вектором [math]\vec{a}[/math], находится по формуле:


[math]\vec{e}=\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}=\vec{i}\cdot\cos\alpha+\vec{j}\cdot\cos\beta+\vec{k}\cdot\cos\gamma.[/math]

11. Площадь [math]S_{\ast\vec{a},\vec{b}}[/math] параллелограмма, построенного на векторах [math]\vec{a}[/math] и [math]\vec{b}[/math], вычисляется по формуле:


[math]S_{\ast\vec{a},\vec{b}}=\,\vline\,[\vec{a},\vec{b}\bigr]\,\vline\,.[/math]

12. Объём [math]V_{\ast\vec{a},\vec{b},\vec{c}}[/math] параллелепипеда, построенного на векторах [math]\vec{a},\vec{b},\vec{c}[/math], вычисляется по формуле: [math]V_{\ast\vec{a},\vec{b},\vec{c}}=\,\bigr|(\vec{a},\vec{b},\vec{c})\bigr|[/math].


13. Тройка некомпланарных векторов [math]\vec{a},\vec{b},\vec{c}[/math] — правая (левая) тогда и только тогда, когда [math](\vec{a},\vec{b},\vec{c})>0[/math] (соответственно, [math](\vec{a},\vec{b},\vec{c})<0)[/math].


14. Высота [math]h[/math] параллелограмма, построенного на векторах [math]\vec{a},\vec{b}[/math], вычисляется по формуле (см. рис. 1.42,6):


[math]h=\frac{S_{\ast\vec{a},\vec{b}}}{|\vec{a}|}=\frac{\bigr|[\vec{a},\vec{b}]\bigr|}{\sqrt{\langle\vec{a},\vec{a}\rangle}}.[/math]

15. Высота [math]h[/math] параллелепипеда, построенного на векторах [math]\vec{a},\vec{b},\vec{c}[/math], находится по формуле (см. рис. 1.47):


[math]h=\frac{V_{\ast\vec{a},\vec{b},\vec{b}}}{S_{\ast\vec{b},\vec{c}}}=\frac{\bigr|[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]\bigr|}{\bigr|[\vec{b},\vec{c}]\bigr|}.[/math]

16. Угол [math]\psi[/math] между вектором [math]\vec{a}[/math] и плоскостью, содержащей векторы [math]\vec{b}[/math] и [math]\vec{c}[/math], дополняет до прямого угла угол [math]\varphi[/math] между вектором [math]\vec{a}[/math] и вектором [math]\vec{n}=[\vec{b},\vec{c}][/math], перпендикулярным плоскости (рис.1.59,а), и вычисляется по формуле:


[math]\sin\psi=|\cos\varphi|=\frac{\bigr|(\vec{a},\vec{b},\vec{c})\bigr|}{|\vec{a}|\cdot\bigr|[\vec{b},\vec{c}]\bigr|}.[/math]

17. Угол [math]\delta[/math] между плоскостями, содержащими векторы [math]\vec{a},\vec{b}[/math] и [math]\vec{c},\vec{d}[/math] соответственно, вычисляется как угол между векторами [math]\vec{m}=[\vec{a},\vec{b}],[/math] [math]\vec{n}=[\vec{c},\vec{d}][/math] перпендикулярными данным плоскостям, по формуле (рис. 1.59,6):


[math]\cos\delta=\frac{\bigr|\bigl([\vec{a},\vec{b}],[\vec{c},\vec{d}]\bigr)\bigr|}{\bigr|[\vec{a},\vec{b}]\bigr|\cdot\bigr|[\vec{c},\vec{d}]\bigr|}.[/math]



Замечания 1.14


1. Указанные формулы применяются также для векторов на плоскости, полагая, что их аппликаты равны нулю.


2. Площадь [math]S_{ABC}[/math] треугольника [math]ABC[/math] можно найти как половину площади [math]S_{\ast\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}}[/math] параллелограмма, построенного на векторах [math]\overrightarrow{AB}[/math] и [math]\overrightarrow{AC}[/math], т.е. [math]S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot S_{\ast\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}}[/math].


3. Объем [math]V_{ABCD}[/math] треугольной пирамиды [math]ABCD[/math] можно найти как одну шестую объема [math]V_{\ast\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}}[/math] параллелепипеда, построенного на векторах [math]\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}[/math], т.e. [math]V_{ABCD}=\frac{1}{6}\cdot V_{\ast\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}}[/math] поскольку объем треугольной пирамиды равен одной трети произведения площади ее основания на высоту, а площадь треугольника (основания пирамиды) в два раза меньше площади параллелограмма (основания параллелепипеда).




Пример 1.28. На векторах [math]\overrightarrow{OA}=4\vec{i}+3\vec{j}[/math] и [math]\overrightarrow{OB}=12\vec{i}-5\vec{j}[/math] построен треугольник [math]OAB[/math] (рис. 1.60). Требуется найти:


а) длины сторон треугольника;

б) длину медианы [math]OM[/math];

в) длину биссектрисы [math]OL[/math];

г) величину угла [math]OAB[/math];

д) площадь треугольника;

е) координаты вектора [math]\overrightarrow{BH}[/math] (в стандартном базисе), где отрезок [math]BH[/math] — высота треугольника.


Решение. Для решения поставленной задачи используем приведенные в данном разделе свойства с учетом п.1 замечаний 1.14.


а) Длины сторон [math]OA[/math] и [math]OB[/math] находим по свойству 5:


[math]\bigr|\overrightarrow{OA}\bigr|\,=\sqrt{\bigl\langle\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OA}\bigr\rangle}=\sqrt{4^2+3^2}=5;\qquad \bigr|\overrightarrow{OB}\bigr|\,= \sqrt{\bigl\langle\overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OB}\bigr\rangle}= \sqrt{12^2+(-5)^2}=13.[/math]

Чтобы найти длину стороны [math]AB[/math], определим сначала координаты вектора [math]\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=12\vec{i}-5\vec{j}-(4\vec{i}+2\vec{j})=8\vec{i}-8\vec{j}[/math], а затем — его длину [math]\bigr|\overrightarrow{AB}\bigr|\,=\sqrt{\bigl\langle\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AB}\bigr\rangle}=\sqrt{8^2+(-6)^2}=2\sqrt{2}[/math].


б) Найдем координаты вектора [math]\overrightarrow{OM}[/math], учитывая, что точка [math]M[/math] — середина отрезка [math]AB[/math] (по свойству 2 аффинных и выпуклых комбинаций):


[math]\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}=\frac{1}{2}(4\vec{i}+3\vec{j})+\frac{1}{2}(12\vec{i}-5\vec{j})=8\vec{i}-\vec{j},[/math]

а затем его длину [math]\bigr|\overrightarrow{OM}\bigr|\,=\sqrt{8^2+(-1)^2}=\sqrt{65}[/math].


в) По свойству биссектрисы точка [math]L[/math] делит отрезок [math]AB[/math] в отношении [math]AL:LB=OA:OB=5:13[/math]. Поэтому для вектора [math]\overrightarrow{OL}[/math] справедливы разложения


[math]\overrightarrow{OL}=\frac{5}{18}\overrightarrow{OB}+\frac{13}{18}\overrightarrow{OA}=\frac{5}{18}(12\vec{i}-5\vec{j})+\frac{13}{18}(4\vec{i}+3\vec{j})=\frac{56}{9}\vec{i}+\frac{7}{9}\vec{j}.[/math]

Теперь находим длину этого вектора [math]\overrightarrow{OL}=\sqrt{{\!\left(\frac{56}{9}\right)\!}^2+{\!\left(\frac{7}{9}\right)\!}^2}=\frac{\sqrt{3185}}{9}[/math].


г) Величину [math]\varphi[/math] угла [math]AOB[/math] находим по формуле пункта 6:


[math]\cos\varphi= \frac{\bigl\langle\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}\bigr\rangle}{\sqrt{\bigl\langle\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OA}\bigr\rangle\cdot\bigl\langle \overrightarrow{OB},\overrightarrow{OB}\bigr\rangle}}=\frac{4\cdot12+3\cdot(-5)}{5\cdot13}=\frac{33}{65}.[/math] Следовательно, [math]\varphi=\arccos\frac{33}{65}[/math].

д) Площадь [math]S[/math] треугольника [math]OAB[/math] равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах [math]\overrightarrow{OA}[/math] и [math]\overrightarrow{OB}\colon S=\frac{1}{2}S_{\ast\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}}[/math] (см. пункт 2 замечаний 1.14). Чтобы найти площадь параллелограмма, воспользуемся формулой пункта 11. Добавляя к векторам [math]\overrightarrow{OA}[/math] и [math]\overrightarrow{OB}[/math] нулевые аппликаты: [math]\overrightarrow{OA}=4\vec{i}+3\vec{j}+0{\cdot}\vec{k};[/math] [math]\overrightarrow{OB}=12\vec{i}-5\vec{j}+0{\cdot}\vec{k},[/math] вычисляем их векторное произведение:


[math]\bigl[\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\bigr]\,=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\4&3&0\\12&-5&0\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}3&0\\-5&0\end{vmatrix}\vec{i}-\begin{vmatrix}4&0\\12&0\end{vmatrix}\vec{j}+\begin{vmatrix}4&3\\12&-5\end{vmatrix}\vec{k}=0\cdot\vec{i}-0\cdot\vec{j}+(-56)\cdot\vec{k}.[/math]

Отсюда получаем


[math]S_{\ast\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}}=\,\bigr|[\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}]\bigr|\,=\,\bigr|0\cdot\vec{i}-0\cdot\vec{j}+(-56)\cdot\vec{k}\bigr|\,=\sqrt{0^2+0^2+(-56)^2}=56.[/math]

Значит, площадь треугольника [math]S=\frac{1}{2}\cdot56=28[/math].


е) Найдем вектор [math]\overrightarrow{BH}=\overrightarrow{OH}-\overrightarrow{OB}[/math]. Проекцию [math]\overrightarrow{OH}[/math] вектора [math]\overrightarrow{OB}[/math] на ось, задаваемую вектором [math]\overrightarrow{OA}[/math] , находим по формуле пункта 8:


[math]\overrightarrow{OH}=\frac{\bigl\langle\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OA}\bigr\rangle}{\bigl\langle\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OA}\bigr\rangle}\cdot\overrightarrow{OA}=\frac{12\cdot4+(-5)\cdot3}{25}\cdot\bigl(4\vec{i}+3\vec{j}\bigr)\,=\frac{132}{25}\cdot\vec{i}+\frac{99}{25}\cdot\vec{j}.[/math]

Отсюда [math]\overrightarrow{BH}=\frac{132}{25}\cdot\vec{i}+\frac{99}{25}\cdot\vec{j}-\,\bigl(12\vec{i}-5\vec{j}\bigr)\,=-\frac{168}{25}\cdot\vec{i}+\frac{224}{25}\cdot\vec{j}[/math], следовательно, его координаты [math]-\frac{168}{25},\,\frac{224}{25}[/math]. Вычислим длину этого вектора, т.е. высоту треугольника: [math]\bigr|\overrightarrow{BH}\bigr|\,=\sqrt{{\!\left(-\frac{168}{25}\right)\!}^2+{\!\left(\frac{224}{25}\right)\!}^2}=\frac{56}{5}[/math]. Заметим, что площадь треугольника [math]S=28[/math], поэтому высоту можно вычислить по формуле [math]BH=\frac{2S}{OA}=\frac{2\cdot28}{5}=\frac{56}{5}[/math]. Результаты совпадают.




Пример 1.29. На векторах [math]\overrightarrow{OA}=\vec{i}+3\vec{j}-\vec{k},~\overrightarrow{OB}=2\vec{i}+\vec{j}-2\vec{k},~\overrightarrow{OC}=3\vec{i}-2\vec{j}+4\vec{k}[/math] построена треугольная пирамида [math]OABC[/math] (рис.1.61). Требуется найти:


а) длины ребер [math]OA,~OB,~OC[/math];

б) величину [math]\varphi[/math] угла [math]AOC[/math];

в) площадь [math]S_{OAC}[/math] треугольника [math]OAC[/math];

г) объем пирамиды [math]OABC[/math];

д) высоту пирамиды [math]h_B[/math], опущенную из вершины [math]B[/math];

е) высоту [math]h_A[/math] треугольника [math]OAC[/math], опущенную из вервершины [math]A[/math];

ж) угол [math]\psi[/math] между ребром [math]OA[/math] и плоскостью грани [math]OBC[/math];

з) величину [math]\delta[/math] угла между плоскостями граней [math]OAC[/math] и [math]OBC[/math];

и) радиус-вектор [math]\overrightarrow{OM}[/math], где [math]M[/math] — точка пересечения медиан треугольника [math]ABC[/math];

к) радиус-вектор [math]\overrightarrow{ON}[/math], где точка [math]N[/math] делит отрезок [math]AM[/math] в отношении [math]AN:NM=3:4[/math];

л) направляющие косинусы вектора [math]OB[/math];

м) алгебраическое значение ортогональной проекции вектора [math]OA[/math] на направление вектора [math]OB[/math];

н) ортогональную проекцию вектора [math]OA[/math] на прямую, перпендикулярную грани [math]OBC[/math];

о) единичный вектор [math]\vec{e}[/math] (орт), имеющий направление вектора [math]\overrightarrow{AB}[/math];

п) вектор [math]\vec{a}[/math], имеющий длину вектора [math]\overrightarrow{AB}[/math] и направление вектора [math]\overrightarrow{AC}[/math].


Решение. а) Длины ребер [math]OA,OB[/math] и [math]OC[/math] находим по формуле пункта 5:


[math]\begin{aligned} &\bigr|\overrightarrow{OA}\bigr|\,=\sqrt{\bigl\langle\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OA}\bigr\rangle}=\sqrt{1^2+3^2+(-1)^2}=\sqrt{11};\\[2pt] &\bigr|\overrightarrow{OB}\bigr|\,=\sqrt{\bigl\langle\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OB}\bigr\rangle}=\sqrt{2^2+1^2+(-2)^2}=3;\\[2pt] &\bigr|\overrightarrow{OC}\bigr|\,=\sqrt{\bigl\langle\overrightarrow{OC},\overrightarrow{OC}\bigr\rangle}=\sqrt{3^2+(-2)^2+4^2}=\sqrt{29}. \end{aligned}[/math]

б) Величину [math]\varphi[/math] угла [math]AOC[/math] находим как угол между векторами [math]\overrightarrow{OA}[/math] и [math]OC[/math] по формуле пункта 6:


[math]\cos\varphi=\frac{\bigl\langle\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC}\bigr\rangle}{\bigr|\overrightarrow{OA}\bigr|\cdot\bigr|\overrightarrow{OC}\bigr|}=\frac{1\cdot3+3\cdot(-2)+(-1)\cdot4}{\sqrt{11}\cdot\sqrt{29}}=-\frac{7}{\sqrt{319}},[/math] т.е. [math]\varphi=\pi-\arccos\frac{7}{\sqrt{319}}.[/math]

в) Сначала вычислим площадь параллелограмма, построенного на векторах [math]\overrightarrow{OA}[/math] и [math]{ \overrightarrow{OC}}[/math] по формуле пункта 11. Для этого найдем векторное произведение


[math]\bigl[\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC}\bigr]\,=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\1&3&-1\\3&-2&4\end{vmatrix}=10\cdot\vec{i}-7\cdot\vec{j}-11\cdot\vec{k},[/math]

а затем его модуль: [math]S_{\ast\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OC}}=\bigr|[\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OC}]\bigr|= \sqrt{10^2+(-7)^2+(-11)^2}=\sqrt{270}[/math].


Искомая площадь треугольника в 2 раза меньше: [math]S_{OAC}=\frac{1}{2}S_{\ast\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC}}=\frac{3\sqrt{30}}{2}[/math] (см. пункт 2 замечаний 1.14).


г) пло формуле пункта 12 найдем объем [math]V_{\ast\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}}[/math] параллелепипеда, построенного на векторах [math]\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}[/math]:


[math]\bigl(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}\bigr)\,=\begin{vmatrix}1&3&-1\\2&1&-2\\3&-2&4\end{vmatrix}=-35~\Rightarrow~V_{\ast\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}}=\,\bigr|\bigl(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC},\overrightarrow{OC}\bigr)\bigr|\,=|-35|=35.[/math]

Искомый объем пирамиды в 6 раз меньше: [math]V_{OABC}=\frac{1}{6}V_{\ast\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}}=\frac{35}{6}[/math] (см. пункт 3 замечаний 1.14).


д) Высоту пирамиды [math]h_B[/math] находим по формуле пункта 15: [math]h_B=\frac{V_{\ast\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}}}{S_{\ast\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC}}}=\frac{35}{3\sqrt{30}}[/math].


е) Высоту [math]h_a[/math] треугольника [math]OAC[/math], опущенную из вершины [math]A[/math], находим по формуле пункта 14:


[math]h_a=\frac{S_{\ast\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC}}}{\bigr|\overrightarrow{OC}\bigr|}=\frac{3\sqrt{30}}{\sqrt{29}}=3\sqrt{\frac{30}{29}}.[/math]

ж) Сначала найдем вектор [math]\vec{n}[/math], перпендикулярный грани [math]OBC[/math]:


[math]\vec{n}=\,\bigl[\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}\bigr]\,=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\2&1&-2\\3&-2&4\end{vmatrix}=0\cdot\vec{i}-14\cdot\vec{j}-7\cdot\vec{k}.[/math]

Затем вычислим угол [math]\psi[/math] между вектором [math]\overrightarrow{OA}[/math] и плоскостью грани [math]OBC[/math] по формуле пункта 16:


[math]\sin\psi=\frac{\bigr|\bigl(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}\bigr)\bigr|}{\bigr|\overrightarrow{OA}\bigr|\cdot\bigr|\bigl[\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}\bigr]\bigr|}=\frac{\bigr|\bigl[\overrightarrow{OA},\vec{n}\bigr]\bigr|}{\bigr|\overrightarrow{OA}\bigr|\cdot\bigr|\vec{n}\bigr|}=\frac{|1\cdot0+3\cdot(-14)+(-1)\cdot(-7)|}{\sqrt{11}\cdot\sqrt{(-14)^2+(-7)^2}}=\frac{35}{\sqrt{11}\cdot7\cdot\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{55}}{11}.[/math]

то есть [math]\psi=\arcsin\frac{\sqrt{55}}{11}[/math].


з) Найдем вектор [math]\vec{m}[/math], перпендикулярный плоскости грани [math]OAC[/math]:


[math]\vec{m}=\,\bigl[\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC}\bigr]\,=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\1&3&-1\\3&-2&4\end{vmatrix}=10\cdot\vec{i}-7\cdot\vec{j}-11\cdot\vec{k}.[/math]

Вектор [math]\vec{n}[/math], перпендикулярный грани [math]OBC[/math], найден в пункте "ж". Искомый угол [math]\delta[/math] вычисляем по формуле пункта 17:


[math]\cos\delta=\frac{\bigr|\bigl([\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC}],[\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}]\bigr)\bigr|}{\bigr|[\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC}]\bigr|\cdot\bigr|[\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}]\bigr|}=\frac{|(\vec{m},\vec{n})|}{|\vec{m}|{\cdot}|\vec{n}|}=\frac{|10{\cdot}0+(-7){\cdot}(-14)+(-11){\cdot}(-7)|}{\sqrt{10^2+(-7)^2+(-11)^2}\cdot7\sqrt{5}}=\frac{5\sqrt{6}}{18},[/math]

то есть [math]\delta=\arccos\frac{5\sqrt{6}}{18}.[/math]


и) Радиус-вектор [math]\overrightarrow{OM}[/math] находим по свойству 4 аффинных и выпуклых комбинаций:


[math]\overrightarrow{OM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OC}=\frac{1}{3}(\vec{i}+3\vec{j}-\vec{k})+\frac{1}{3}(2\vec{i}+\vec{j}-2\vec{k})+\frac{1}{3}(3\vec{i}-2\vec{j}+4\vec{k})=2\vec{i}+\frac{2}{3}\vec{j}+\frac{1}{3}\vec{k}.[/math]

к) Радиус-вектор [math]\overrightarrow{ON}[/math] находим по свойству 2 аффинных и выпуклых комбинаций:


[math]\overrightarrow{ON}=\frac{4}{7}\overrightarrow{OA}+\frac{3}{7}\overrightarrow{OM}=\frac{4}{7}(\vec{i}+3\vec{j}-\vec{k})+\frac{3}{7}\!\left(2\vec{i}+\frac{2}{3}\vec{j}+\frac{1}{3}\vec{k}\right)=\frac{10}{7}\vec{i}+2\vec{j}-\frac{3}{7}\vec{k}.[/math]

л) Направляющие косинусы вектора [math]\overrightarrow{OB}[/math] находим по формулам пункта 9:


[math]\cos\alpha=\frac{\bigl\langle\overrightarrow{OB},\vec{i}\bigr\rangle}{\bigr|\overrightarrow{OB}\bigr|}=\frac{2}{3};\qquad \cos\beta=\frac{\bigl\langle\overrightarrow{OB},\vec{j}\bigr\rangle}{\bigr|\overrightarrow{OB}\bigr|}=\frac{1}{3};\qquad \cos\gamma=\frac{\bigl\langle\overrightarrow{OB},\vec{k}\bigr\rangle}{\bigr|\overrightarrow{OB}\bigr|}=-\frac{2}{3}.[/math]

Заметим, что [math]\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma={\left(\frac{2}{3}\right)\!}^2+{\left(\frac{1}{3}\right)\!}^2+{\left(-\frac{2}{3}\right)\!}^2=1[/math].


м) Алгебраическое значение [math]\operatorname{pr}_{\overrightarrow{OB}}\overrightarrow{OB}[/math] длины проекции находим по формуле пункта 7 [math]\left(\vec{a}=\overrightarrow{OA},~\vec{b}=\overrightarrow{OB}\right)[/math]:


[math]\operatorname{pr}_{\overrightarrow{OB}}\overrightarrow{OB}=\frac{\bigl\langle\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\bigr\rangle}{\left|\overrightarrow{OB}\right|}=\frac{1\cdot2+3\cdot1+(-1)\cdot(-2)}{3}=\frac{7}{3}.[/math]

н) Искомую ортогональную проекцию [math]\operatorname{pr}_{\vec{n}}\overrightarrow{OA}[/math] найдем по формуле пункта 8 [math](\vec{a}=\overrightarrow{OA},~\vec{b}=\vec{n})[/math], используя вектор [math]\vec{n}[/math], найденный в пункте "ж":


[math]\overrightarrow{\operatorname{pr}}_{\vec{n}}\,\overrightarrow{OA}= \frac{\bigl\langle\overrightarrow{OA}, \vec{n}\bigr\rangle}{\left\langle\vec{n},\vec{n}\right\rangle}\cdot\vec{n}= \frac{1\cdot0+3\cdot(-14)+(-1)\cdot(-7)}{0^2+(-14)^2+(-7)^2}\!\left(0\cdot\vec{i}+(-14)\cdot\vec{j}+(-7)\cdot\vec{k}\right)=2\,\vec{j}\,+\,\vec{k}.[/math]

о) Найдем координаты вектора [math]\overrightarrow{AB}[/math] и его длину:


[math]\begin{gathered}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\,\bigl(2\vec{i}+\vec{j}-2\vec{k}\bigr)\,-\,\bigl(\vec{i}+3\vec{j}-\vec{k}\bigr)\,=\vec{i}+4\vec{j}-\vec{k};\\[3pt] \bigl|\overrightarrow{AB}\bigr|=\sqrt{1^2+4^2+(-1)^2}=3\sqrt{2}\,,\end{gathered}[/math]

а затем искомый вектор [math]\vec{e}=\frac{\overrightarrow{AB}}{\left|\overrightarrow{AB}\right|}=\frac{\sqrt{2}}{6}\,\vec{i}+\frac{4\sqrt{2}}{6}\,\vec{j}-\frac{\sqrt{2}}{6}\,\vec{k}[/math].


п) Найдем координаты вектора [math]\overrightarrow{AC}[/math] и его длину


[math]\begin{gathered}\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}=\,\bigl(3\vec{i}-2\vec{j}+4\vec{k}\bigr)\,-\,\bigl(\vec{i}+3\vec{j}-\vec{k}\bigr)\,=2\vec{i}-5\vec{j}+5\vec{k};\\[3pt] \bigl|\overrightarrow{AC}\bigr|=\sqrt{2^2+(-5)^2+5^2}= 3\sqrt{6},\end{gathered}[/math]

а затем искомый вектор [math]\vec{a}=\frac{|\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{AC}|}\cdot\overrightarrow{AC}=\frac{3\sqrt{2}}{3\sqrt{6}}\left(2\vec{i}-5\vec{j}+5\vec{k}\right)=\frac{2\sqrt{3}}{3}\,\vec{i}-\frac{5\sqrt{3}}{3}\,\vec{j}+\frac{5\sqrt{3}}{3}\,\vec{k}[/math].


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved