Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Применение векторов при решении геометрических задач

Применение векторов при решении геометрических задач


Перечислим свойства скалярного, векторного и смешанного произведений, применяемые при решении геометрических задач.


Предполагается, что координаты векторов \vec{a},\vec{b},\vec{c}, указанные в формулах, найдены относительно стандартного базиса \vec{i},\vec{j},\vec{k} в пространстве:


\vec{a}=x_a\,\vec{i}+y_a\,\vec{j}+z_a\,\vec{k},\qquad \vec{b}=x_b\,\vec{i}+y_b\,\vec{j}+z_b\,\vec{k},\qquad \vec{c}=x_c\,\vec{i}+y_c\,\vec{j}+z_c\,\vec{k}.

Напомним, что в стандартном базисе скалярное, векторное, смешанное произведения векторов вычисляются по формулам (1.10),(1.16),(1.17):


\bigl\langle\vec{a},\vec{b}\bigr\rangle\,=x_a\cdot x_b+y_a \cdot y_b+z_a\cdot z_b;\qquad \bigl[\vec{a},\vec{b}\bigr]\,=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\x_a&y_a&z_a\\x_b&y_b&z_b\end{vmatrix};\qquad \bigl(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\bigr)\,=\begin{vmatrix}x_a&y_a&z_a\\x_b&y_b&z_b\\x_c&y_c&z_c\end{vmatrix}

1. Вектор \vec{a}=\vec{o} тогда и только тогда, когда


\bigl\langle\vec{a},\vec{a}\bigr\rangle\,=0~~\Leftrightarrow~~x_a^2+y_a^2+z_a^2=0~~\Leftrightarrow~~x_a=y_a=z_a=0.

2. Ненулевые векторы \vec{a} и \vec{b} ортогональны тогда и только тогда, когда


\bigl\langle\vec{a},\vec{b}\bigr\rangle\,=0~~\Leftrightarrow~~x_a\cdot x_b+y_a\cdot y_b+z_a\cdot z_b=0.

3. Векторы \vec{a} и \vec{b} коллинеарны тогда и только тогда, когда


\bigl[\vec{a},\vec{b}\bigr]\,=\vec{o}~~\Leftrightarrow~~\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\x_a&y_a&z_a\\x_b&y_b&z_b\end{vmatrix}=\vec{o}~~\Leftrightarrow~~\frac{x_a}{x_b}=\frac{y_a}{y_b}=\frac{z_a}{z_b}.

4. Векторы \vec{a},\vec{b},\vec{c} компланарны тогда и только тогда, когда


\bigl(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\bigr)~~\Leftrightarrow~~\begin{vmatrix}x_a&y_a&z_a\\x_b&y_b&z_b\\x_c&y_c&z_c\end{vmatrix}=0.

5. Длина вектора \vec{a} вычисляется по формуле:


|\vec{a}|=\sqrt{\langle\vec{a},\vec{a}\rangle}=\sqrt{x_a^2+y_a^2+z_a^2}.

6. Угол \varphi между ненулевыми векторами \vec{a} и \vec{b} вычисляется по формуле:


\cos\varphi=\frac{\langle\vec{a},\vec{b}\rangle}{\sqrt{\langle\vec{a},\vec{a}\rangle}\cdot\sqrt{\langle\vec{b},\vec{b}\rangle}}=\frac{x_a\cdot x_b+y_a \cdot y_b+z_a\cdot z_b}{\sqrt{x_a^2+y_a^2+z_a^2}\cdot\sqrt{x_b^2+y_b^2+z_b^2}}.

7. Алгебраическое значение длины ортогональной проекции вектора \vec{a} на ось, задаваемую вектором \vec{b}\ne\vec{o} , находится по формуле:


\operatorname{pr}_{\vec{b}}\vec{a}=\frac{\langle\vec{a},\vec{b}\rangle}{|\vec{b}|}=\frac{x_a\cdot x_b+y_a \cdot y_b+z_a\cdot z_b}{\sqrt{x_b^2+y_b^2+z_b^2}}

8. Ортогональная проекция вектора \vec{a} на ось, задаваемую вектором \vec{b}\ne\vec{o}:


\overrightarrow{\operatorname{pr}}_{\vec{b}}\vec{a}=\frac{\langle\vec{a},\vec{b}\rangle}{\langle\vec{b},\vec{b}\rangle}\cdot\vec{b}=\frac{x_a\cdot x_b+y_a \cdot y_b+z_a\cdot z_b}{x_b^2+y_b^2+z_b^2}\cdot\bigl(x_b\cdot\vec{i}+y_b\cdot\vec{j}+z_b\cdot\vec{k}\bigr).

9. Направляющие косинусы вектора \vec{a} находятся по формулам:


\cos\alpha=\frac{\langle\vec{a},\vec{i}\rangle}{|\vec{a}|}=\frac{x_a}{\sqrt{x_a^2+y_a^2+z_a^2}};~~~ \cos\beta=\frac{\langle\vec{a},\vec{j}\rangle}{|\vec{a}|}=\frac{y_a}{\sqrt{x_a^2+y_a^2+z_a^2}};~~~ \cos\gamma=\frac{\langle\vec{a},\vec{k}\rangle}{|\vec{a}|}=\frac{z_a}{\sqrt{x_a^2+y_a^2+z_a^2}}.

10. Единичный вектор \vec{e}, одинаково направленный с вектором \vec{a}, находится по формуле:


\vec{e}=\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}=\vec{i}\cdot\cos\alpha+\vec{j}\cdot\cos\beta+\vec{k}\cdot\cos\gamma.

11. Площадь S_{\ast\vec{a},\vec{b}} параллелограмма, построенного на векторах \vec{a} и \vec{b}, вычисляется по формуле:


S_{\ast\vec{a},\vec{b}}=\,\vline\,[\vec{a},\vec{b}\bigr]\,\vline\,.

12. Объём V_{\ast\vec{a},\vec{b},\vec{c}} параллелепипеда, построенного на векторах \vec{a},\vec{b},\vec{c}, вычисляется по формуле: V_{\ast\vec{a},\vec{b},\vec{c}}=\,\bigr|(\vec{a},\vec{b},\vec{c})\bigr|.


13. Тройка некомпланарных векторов \vec{a},\vec{b},\vec{c} — правая (левая) тогда и только тогда, когда (\vec{a},\vec{b},\vec{c})>0 (соответственно, (\vec{a},\vec{b},\vec{c})<0).


14. Высота h параллелограмма, построенного на векторах \vec{a},\vec{b}, вычисляется по формуле (см. рис. 1.42,6):


h=\frac{S_{\ast\vec{a},\vec{b}}}{|\vec{a}|}=\frac{\bigr|[\vec{a},\vec{b}]\bigr|}{\sqrt{\langle\vec{a},\vec{a}\rangle}}.

Угол между вектором и плоскостью

15. Высота h параллелепипеда, построенного на векторах \vec{a},\vec{b},\vec{c}, находится по формуле (см. рис. 1.47):


h=\frac{V_{\ast\vec{a},\vec{b},\vec{b}}}{S_{\ast\vec{b},\vec{c}}}=\frac{\bigr|[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]\bigr|}{\bigr|[\vec{b},\vec{c}]\bigr|}.

16. Угол \psi между вектором \vec{a} и плоскостью, содержащей векторы \vec{b} и \vec{c}, дополняет до прямого угла угол \varphi между вектором \vec{a} и вектором \vec{n}=[\vec{b},\vec{c}], перпендикулярным плоскости (рис.1.59,а), и вычисляется по формуле:


\sin\psi=|\cos\varphi|=\frac{\bigr|(\vec{a},\vec{b},\vec{c})\bigr|}{|\vec{a}|\cdot\bigr|[\vec{b},\vec{c}]\bigr|}.

17. Угол \delta между плоскостями, содержащими векторы \vec{a},\vec{b} и \vec{c},\vec{d} соответственно, вычисляется как угол между векторами \vec{m}=[\vec{a},\vec{b}], \vec{n}=[\vec{c},\vec{d}] перпендикулярными данным плоскостям, по формуле (рис. 1.59,6):


\cos\delta=\frac{\bigr|\bigl([\vec{a},\vec{b}],[\vec{c},\vec{d}]\bigr)\bigr|}{\bigr|[\vec{a},\vec{b}]\bigr|\cdot\bigr|[\vec{c},\vec{d}]\bigr|}.



Замечания 1.14


1. Указанные формулы применяются также для векторов на плоскости, полагая, что их аппликаты равны нулю.


2. Площадь S_{ABC} треугольника ABC можно найти как половину площади S_{\ast\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}} параллелограмма, построенного на векторах \overrightarrow{AB} и \overrightarrow{AC}, т.е. S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot S_{\ast\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}}.


3. Объем V_{ABCD} треугольной пирамиды ABCD можно найти как одну шестую объема V_{\ast\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}} параллелепипеда, построенного на векторах \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}, т.e. V_{ABCD}=\frac{1}{6}\cdot V_{\ast\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}} поскольку объем треугольной пирамиды равен одной трети произведения площади ее основания на высоту, а площадь треугольника (основания пирамиды) в два раза меньше площади параллелограмма (основания параллелепипеда).




Пример 1.28. На векторах \overrightarrow{OA}=4\vec{i}+3\vec{j} и \overrightarrow{OB}=12\vec{i}-5\vec{j} построен треугольник OAB (рис. 1.60). Требуется найти:


Треугольник построен на векторах

а) длины сторон треугольника;

б) длину медианы OM;

в) длину биссектрисы OL;

г) величину угла OAB;

д) площадь треугольника;

е) координаты вектора \overrightarrow{BH} (в стандартном базисе), где отрезок BH — высота треугольника.


Решение. Для решения поставленной задачи используем приведенные в данном разделе свойства с учетом п.1 замечаний 1.14.


а) Длины сторон OA и OB находим по свойству 5:


\bigr|\overrightarrow{OA}\bigr|\,=\sqrt{\bigl\langle\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OA}\bigr\rangle}=\sqrt{4^2+3^2}=5;\qquad \bigr|\overrightarrow{OB}\bigr|\,= \sqrt{\bigl\langle\overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OB}\bigr\rangle}= \sqrt{12^2+(-5)^2}=13.

Чтобы найти длину стороны AB, определим сначала координаты вектора \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=12\vec{i}-5\vec{j}-(4\vec{i}+2\vec{j})=8\vec{i}-8\vec{j}, а затем — его длину \bigr|\overrightarrow{AB}\bigr|\,=\sqrt{\bigl\langle\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AB}\bigr\rangle}=\sqrt{8^2+(-6)^2}=2\sqrt{2}.


б) Найдем координаты вектора \overrightarrow{OM}, учитывая, что точка M — середина отрезка AB (по свойству 2 аффинных и выпуклых комбинаций):


\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}=\frac{1}{2}(4\vec{i}+3\vec{j})+\frac{1}{2}(12\vec{i}-5\vec{j})=8\vec{i}-\vec{j},

а затем его длину \bigr|\overrightarrow{OM}\bigr|\,=\sqrt{8^2+(-1)^2}=\sqrt{65}.


в) По свойству биссектрисы точка L делит отрезок AB в отношении AL:LB=OA:OB=5:13. Поэтому для вектора \overrightarrow{OL} справедливы разложения


\overrightarrow{OL}=\frac{5}{18}\overrightarrow{OB}+\frac{13}{18}\overrightarrow{OA}=\frac{5}{18}(12\vec{i}-5\vec{j})+\frac{13}{18}(4\vec{i}+3\vec{j})=\frac{56}{9}\vec{i}+\frac{7}{9}\vec{j}.

Теперь находим длину этого вектора \overrightarrow{OL}=\sqrt{{\!\left(\frac{56}{9}\right)\!}^2+{\!\left(\frac{7}{9}\right)\!}^2}=\frac{\sqrt{3185}}{9}.


г) Величину \varphi угла AOB находим по формуле пункта 6:


\cos\varphi= \frac{\bigl\langle\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}\bigr\rangle}{\sqrt{\bigl\langle\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OA}\bigr\rangle\cdot\bigl\langle \overrightarrow{OB},\overrightarrow{OB}\bigr\rangle}}=\frac{4\cdot12+3\cdot(-5)}{5\cdot13}=\frac{33}{65}. Следовательно, \varphi=\arccos\frac{33}{65}.

д) Площадь S треугольника OAB равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах \overrightarrow{OA} и \overrightarrow{OB}\colon S=\frac{1}{2}S_{\ast\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}} (см. пункт 2 замечаний 1.14). Чтобы найти площадь параллелограмма, воспользуемся формулой пункта 11. Добавляя к векторам \overrightarrow{OA} и \overrightarrow{OB} нулевые аппликаты: \overrightarrow{OA}=4\vec{i}+3\vec{j}+0{\cdot}\vec{k}; \overrightarrow{OB}=12\vec{i}-5\vec{j}+0{\cdot}\vec{k}, вычисляем их векторное произведение:


\bigl[\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\bigr]\,=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\4&3&0\\12&-5&0\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}3&0\\-5&0\end{vmatrix}\vec{i}-\begin{vmatrix}4&0\\12&0\end{vmatrix}\vec{j}+\begin{vmatrix}4&3\\12&-5\end{vmatrix}\vec{k}=0\cdot\vec{i}-0\cdot\vec{j}+(-56)\cdot\vec{k}.

Отсюда получаем


S_{\ast\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}}=\,\bigr|[\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}]\bigr|\,=\,\bigr|0\cdot\vec{i}-0\cdot\vec{j}+(-56)\cdot\vec{k}\bigr|\,=\sqrt{0^2+0^2+(-56)^2}=56.

Значит, площадь треугольника S=\frac{1}{2}\cdot56=28.


е) Найдем вектор \overrightarrow{BH}=\overrightarrow{OH}-\overrightarrow{OB}. Проекцию \overrightarrow{OH} вектора \overrightarrow{OB} на ось, задаваемую вектором \overrightarrow{OA} , находим по формуле пункта 8:


\overrightarrow{OH}=\frac{\bigl\langle\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OA}\bigr\rangle}{\bigl\langle\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OA}\bigr\rangle}\cdot\overrightarrow{OA}=\frac{12\cdot4+(-5)\cdot3}{25}\cdot\bigl(4\vec{i}+3\vec{j}\bigr)\,=\frac{132}{25}\cdot\vec{i}+\frac{99}{25}\cdot\vec{j}.

Отсюда \overrightarrow{BH}=\frac{132}{25}\cdot\vec{i}+\frac{99}{25}\cdot\vec{j}-\,\bigl(12\vec{i}-5\vec{j}\bigr)\,=-\frac{168}{25}\cdot\vec{i}+\frac{224}{25}\cdot\vec{j}, следовательно, его координаты -\frac{168}{25},\,\frac{224}{25}. Вычислим длину этого вектора, т.е. высоту треугольника: \bigr|\overrightarrow{BH}\bigr|\,=\sqrt{{\!\left(-\frac{168}{25}\right)\!}^2+{\!\left(\frac{224}{25}\right)\!}^2}=\frac{56}{5}. Заметим, что площадь треугольника S=28, поэтому высоту можно вычислить по формуле BH=\frac{2S}{OA}=\frac{2\cdot28}{5}=\frac{56}{5}. Результаты совпадают.




Пример 1.29. На векторах \overrightarrow{OA}=\vec{i}+3\vec{j}-\vec{k},~\overrightarrow{OB}=2\vec{i}+\vec{j}-2\vec{k},~\overrightarrow{OC}=3\vec{i}-2\vec{j}+4\vec{k} построена треугольная пирамида OABC (рис.1.61). Требуется найти:


Треугольная пирамида построена на векторах

а) длины ребер OA,~OB,~OC;

б) величину \varphi угла AOC;

в) площадь S_{OAC} треугольника OAC;

г) объем пирамиды OABC;

д) высоту пирамиды h_B, опущенную из вершины B;

е) высоту h_A треугольника OAC, опущенную из вервершины A;

ж) угол \psi между ребром OA и плоскостью грани OBC;

з) величину \delta угла между плоскостями граней OAC и OBC;

и) радиус-вектор \overrightarrow{OM}, где M — точка пересечения медиан треугольника ABC;

к) радиус-вектор \overrightarrow{ON}, где точка N делит отрезок AM в отношении AN:NM=3:4;

л) направляющие косинусы вектора OB;

м) алгебраическое значение ортогональной проекции вектора OA на направление вектора OB;

н) ортогональную проекцию вектора OA на прямую, перпендикулярную грани OBC;

о) единичный вектор \vec{e} (орт), имеющий направление вектора \overrightarrow{AB};

п) вектор \vec{a}, имеющий длину вектора \overrightarrow{AB} и направление вектора \overrightarrow{AC}.


Решение. а) Длины ребер OA,OB и OC находим по формуле пункта 5:


\begin{aligned} &\bigr|\overrightarrow{OA}\bigr|\,=\sqrt{\bigl\langle\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OA}\bigr\rangle}=\sqrt{1^2+3^2+(-1)^2}=\sqrt{11};\\[2pt] &\bigr|\overrightarrow{OB}\bigr|\,=\sqrt{\bigl\langle\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OB}\bigr\rangle}=\sqrt{2^2+1^2+(-2)^2}=3;\\[2pt] &\bigr|\overrightarrow{OC}\bigr|\,=\sqrt{\bigl\langle\overrightarrow{OC},\overrightarrow{OC}\bigr\rangle}=\sqrt{3^2+(-2)^2+4^2}=\sqrt{29}. \end{aligned}

б) Величину \varphi угла AOC находим как угол между векторами \overrightarrow{OA} и OC по формуле пункта 6:


\cos\varphi=\frac{\bigl\langle\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC}\bigr\rangle}{\bigr|\overrightarrow{OA}\bigr|\cdot\bigr|\overrightarrow{OC}\bigr|}=\frac{1\cdot3+3\cdot(-2)+(-1)\cdot4}{\sqrt{11}\cdot\sqrt{29}}=-\frac{7}{\sqrt{319}}, т.е. \varphi=\pi-\arccos\frac{7}{\sqrt{319}}.

в) Сначала вычислим площадь параллелограмма, построенного на векторах \overrightarrow{OA} и { \overrightarrow{OC}} по формуле пункта 11. Для этого найдем векторное произведение


\bigl[\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC}\bigr]\,=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\1&3&-1\\3&-2&4\end{vmatrix}=10\cdot\vec{i}-7\cdot\vec{j}-11\cdot\vec{k},

а затем его модуль: S_{\ast\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OC}}=\bigr|[\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OC}]\bigr|= \sqrt{10^2+(-7)^2+(-11)^2}=\sqrt{270}.


Искомая площадь треугольника в 2 раза меньше: S_{OAC}=\frac{1}{2}S_{\ast\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC}}=\frac{3\sqrt{30}}{2} (см. пункт 2 замечаний 1.14).


г) пло формуле пункта 12 найдем объем V_{\ast\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}} параллелепипеда, построенного на векторах \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}:


\bigl(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}\bigr)\,=\begin{vmatrix}1&3&-1\\2&1&-2\\3&-2&4\end{vmatrix}=-35~\Rightarrow~V_{\ast\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}}=\,\bigr|\bigl(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC},\overrightarrow{OC}\bigr)\bigr|\,=|-35|=35.

Искомый объем пирамиды в 6 раз меньше: V_{OABC}=\frac{1}{6}V_{\ast\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}}=\frac{35}{6} (см. пункт 3 замечаний 1.14).


д) Высоту пирамиды h_B находим по формуле пункта 15: h_B=\frac{V_{\ast\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}}}{S_{\ast\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC}}}=\frac{35}{3\sqrt{30}}.


е) Высоту h_a треугольника OAC, опущенную из вершины A, находим по формуле пункта 14:


h_a=\frac{S_{\ast\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC}}}{\bigr|\overrightarrow{OC}\bigr|}=\frac{3\sqrt{30}}{\sqrt{29}}=3\sqrt{\frac{30}{29}}.

ж) Сначала найдем вектор \vec{n}, перпендикулярный грани OBC:


\vec{n}=\,\bigl[\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}\bigr]\,=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\2&1&-2\\3&-2&4\end{vmatrix}=0\cdot\vec{i}-14\cdot\vec{j}-7\cdot\vec{k}.

Затем вычислим угол \psi между вектором \overrightarrow{OA} и плоскостью грани OBC по формуле пункта 16:


\sin\psi=\frac{\bigr|\bigl(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}\bigr)\bigr|}{\bigr|\overrightarrow{OA}\bigr|\cdot\bigr|\bigl[\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}\bigr]\bigr|}=\frac{\bigr|\bigl[\overrightarrow{OA},\vec{n}\bigr]\bigr|}{\bigr|\overrightarrow{OA}\bigr|\cdot\bigr|\vec{n}\bigr|}=\frac{|1\cdot0+3\cdot(-14)+(-1)\cdot(-7)|}{\sqrt{11}\cdot\sqrt{(-14)^2+(-7)^2}}=\frac{35}{\sqrt{11}\cdot7\cdot\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{55}}{11}.

то есть \psi=\arcsin\frac{\sqrt{55}}{11}.


з) Найдем вектор \vec{m}, перпендикулярный плоскости грани OAC:


\vec{m}=\,\bigl[\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC}\bigr]\,=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\1&3&-1\\3&-2&4\end{vmatrix}=10\cdot\vec{i}-7\cdot\vec{j}-11\cdot\vec{k}.

Вектор \vec{n}, перпендикулярный грани OBC, найден в пункте "ж". Искомый угол \delta вычисляем по формуле пункта 17:


\cos\delta=\frac{\bigr|\bigl([\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC}],[\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}]\bigr)\bigr|}{\bigr|[\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC}]\bigr|\cdot\bigr|[\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}]\bigr|}=\frac{|(\vec{m},\vec{n})|}{|\vec{m}|{\cdot}|\vec{n}|}=\frac{|10{\cdot}0+(-7){\cdot}(-14)+(-11){\cdot}(-7)|}{\sqrt{10^2+(-7)^2+(-11)^2}\cdot7\sqrt{5}}=\frac{5\sqrt{6}}{18},

то есть \delta=\arccos\frac{5\sqrt{6}}{18}.


и) Радиус-вектор \overrightarrow{OM} находим по свойству 4 аффинных и выпуклых комбинаций:


\overrightarrow{OM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OC}=\frac{1}{3}(\vec{i}+3\vec{j}-\vec{k})+\frac{1}{3}(2\vec{i}+\vec{j}-2\vec{k})+\frac{1}{3}(3\vec{i}-2\vec{j}+4\vec{k})=2\vec{i}+\frac{2}{3}\vec{j}+\frac{1}{3}\vec{k}.

к) Радиус-вектор \overrightarrow{ON} находим по свойству 2 аффинных и выпуклых комбинаций:


\overrightarrow{ON}=\frac{4}{7}\overrightarrow{OA}+\frac{3}{7}\overrightarrow{OM}=\frac{4}{7}(\vec{i}+3\vec{j}-\vec{k})+\frac{3}{7}\!\left(2\vec{i}+\frac{2}{3}\vec{j}+\frac{1}{3}\vec{k}\right)=\frac{10}{7}\vec{i}+2\vec{j}-\frac{3}{7}\vec{k}.

л) Направляющие косинусы вектора \overrightarrow{OB} находим по формулам пункта 9:


\cos\alpha=\frac{\bigl\langle\overrightarrow{OB},\vec{i}\bigr\rangle}{\bigr|\overrightarrow{OB}\bigr|}=\frac{2}{3};\qquad \cos\beta=\frac{\bigl\langle\overrightarrow{OB},\vec{j}\bigr\rangle}{\bigr|\overrightarrow{OB}\bigr|}=\frac{1}{3};\qquad \cos\gamma=\frac{\bigl\langle\overrightarrow{OB},\vec{k}\bigr\rangle}{\bigr|\overrightarrow{OB}\bigr|}=-\frac{2}{3}.

Заметим, что \cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma={\left(\frac{2}{3}\right)\!}^2+{\left(\frac{1}{3}\right)\!}^2+{\left(-\frac{2}{3}\right)\!}^2=1.


м) Алгебраическое значение \operatorname{pr}_{\overrightarrow{OB}}\overrightarrow{OB} длины проекции находим по формуле пункта 7 \left(\vec{a}=\overrightarrow{OA},~\vec{b}=\overrightarrow{OB}\right):


\operatorname{pr}_{\overrightarrow{OB}}\overrightarrow{OB}=\frac{\bigl\langle\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\bigr\rangle}{\left|\overrightarrow{OB}\right|}=\frac{1\cdot2+3\cdot1+(-1)\cdot(-2)}{3}=\frac{7}{3}.

н) Искомую ортогональную проекцию \operatorname{pr}_{\vec{n}}\overrightarrow{OA} найдем по формуле пункта 8 (\vec{a}=\overrightarrow{OA},~\vec{b}=\vec{n}), используя вектор \vec{n}, найденный в пункте "ж":


\overrightarrow{\operatorname{pr}}_{\vec{n}}\,\overrightarrow{OA}= \frac{\bigl\langle\overrightarrow{OA}, \vec{n}\bigr\rangle}{\left\langle\vec{n},\vec{n}\right\rangle}\cdot\vec{n}= \frac{1\cdot0+3\cdot(-14)+(-1)\cdot(-7)}{0^2+(-14)^2+(-7)^2}\!\left(0\cdot\vec{i}+(-14)\cdot\vec{j}+(-7)\cdot\vec{k}\right)=2\,\vec{j}\,+\,\vec{k}.

о) Найдем координаты вектора \overrightarrow{AB} и его длину:


\begin{gathered}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\,\bigl(2\vec{i}+\vec{j}-2\vec{k}\bigr)\,-\,\bigl(\vec{i}+3\vec{j}-\vec{k}\bigr)\,=\vec{i}+4\vec{j}-\vec{k};\\[3pt] \bigl|\overrightarrow{AB}\bigr|=\sqrt{1^2+4^2+(-1)^2}=3\sqrt{2}\,,\end{gathered}

а затем искомый вектор \vec{e}=\frac{\overrightarrow{AB}}{\left|\overrightarrow{AB}\right|}=\frac{\sqrt{2}}{6}\,\vec{i}+\frac{4\sqrt{2}}{6}\,\vec{j}-\frac{\sqrt{2}}{6}\,\vec{k}.


п) Найдем координаты вектора \overrightarrow{AC} и его длину


\begin{gathered}\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}=\,\bigl(3\vec{i}-2\vec{j}+4\vec{k}\bigr)\,-\,\bigl(\vec{i}+3\vec{j}-\vec{k}\bigr)\,=2\vec{i}-5\vec{j}+5\vec{k};\\[3pt] \bigl|\overrightarrow{AC}\bigr|=\sqrt{2^2+(-5)^2+5^2}= 3\sqrt{6},\end{gathered}

а затем искомый вектор \vec{a}=\frac{|\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{AC}|}\cdot\overrightarrow{AC}=\frac{3\sqrt{2}}{3\sqrt{6}}\left(2\vec{i}-5\vec{j}+5\vec{k}\right)=\frac{2\sqrt{3}}{3}\,\vec{i}-\frac{5\sqrt{3}}{3}\,\vec{j}+\frac{5\sqrt{3}}{3}\,\vec{k}.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved