Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Применение форм к исследованию функций на экстремум

Применение форм к исследованию функций на экстремум


Рассмотрим скалярную (числовую) функцию f(x)=f(x_1,x_2,\ldots,x_n) векторного аргумента x=\begin{pmatrix}x_1&\cdots&x_n\end{pmatrix}^T, которая каждому действительному значению векторного аргумента x (т.е. каждому действительному числовому столбцу размеров n\times1) из области определения функции f(x), ставит в соответствие действительное число (значение скалярной функции). В этом разделе значение векторного аргумента x будем называть также точкой в области определения функции.


Напомним необходимые и достаточные условия локального безусловного экстремума функции. Точка x^{\ast} называется точкой локального минимума (максимума) функции f(x), если существует такая окрестность точки x^{\ast}, целиком лежащая в области определения функции, что для любой точки x из этой окрестности выполняется условие f(x^{\ast})\leqslant f(x) (соответственно f(x^{\ast})\geqslant f(x)). Точки минимума или максимума называются точками экстремума.


Необходимые условия первого порядка. Если x^{\ast} является точкой экстремума дифференцируемой функции f(x), то ее первый дифференциал, вычисленный в этой точке x^{\ast}, есть равная нулю линейная форма


df(x^{\ast})=0.
(6.23)

Точки, удовлетворяющие условию (6.23), называются стационарными точками дифференцируемой функции f(x).


Необходимые условия второго порядка. Если стационарная точка x^{\ast} является точкой минимума (максимума) дважды дифференцируемой функции f(x), то ее второй дифференциал есть неотрицательно (неположительно) определенная квадратичная форма:


d^2f(x^{\ast})\geqslant0\quad (d^2f(x^{\ast})\leqslant0).
(6.24)

Заметим, что порядок условий определяется порядком используемых производных, первый дифференциал df(x) является линейной формой, а второй дифференциал — квадратичной формой (см. п.1, 2 замечаний 6.3) относительно переменных dx_1,\ldots,dx_n. Матрицу-строку коэффициентов линейной формы (6.23) определяет градиент \left.{\frac{df(x)}{dx}}\right|_{x=x^{\ast}}=\frac{df(x^{\ast})}{dx}, а матрицу квадратичной формы (6.24) — матрица Гессе \left.{\frac{d^2f(x)}{dx^Tdx}}\right|_{x=x^{\ast}}=\frac{d^2f(x^{\ast})}{dx^Tdx} вычисленные в стационарной точке x^{\ast}.


Достаточные условия экстремума функции. Для того чтобы стационарная точка x^{\ast} дважды дифференцируемой функции f(x) была точкой минимума (максимума), достаточно, чтобы ее второй дифференциал был положительно (отрицательно) определенной квадратичной формой:


d^2f(x^{\ast})>0\quad(d^2f(x^{\ast})<0).
(6.25)

Используя матричные записи первого и второго дифференциалов скалярной функции, условия (6.23)–(6.25) Можно представить в виде равносильных соотношений:


df(x^{\ast})=0\quad \Leftrightarrow\quad \frac{df(x^{\ast})}{dx}=o^T;
(6.26)

d^2f(x^{\ast})\geqslant0\quad \Leftrightarrow\quad \frac{d^2f(x^{\ast})}{dx^Tdx}\geqslant0;
(6.27)

d^2f(x^{\ast})\leqslant0\quad \Leftrightarrow\quad \frac{d^2f(x^{\ast})}{dx^Tdx}\leqslant0;
(6.28)

d^2f(x^{\ast})>0\quad \Leftrightarrow\quad \frac{d^2f(x^{\ast})}{dx^Tdx}>0;
(6.29)

d^2f(x^{\ast})<0\quad \Leftrightarrow\quad \frac{d^2f(x^{\ast})}{dx^Tdx}<0;
(6.30)

где o^T — нулевая строка размеров 1\times n.


Для нахождения точек локального экстремума функции нужно выполнить следующие действия.


1. Записать необходимые условия первого порядка (6.26): \frac{df(x^{\ast})}{dx}=o^T и найти стационарные точки x^{\ast} в результате решения получающейся системы п уравнений, в общем случае нелинейной.


2. Для каждой найденной стационарной точки проверить выполнение достаточных условий (6.29) или (6.30) с помощью критерия Сильвестра (теорема 6.4). Если они выполняются, то на основании (6.29) или (6.30) сделать вывод о том, что в исследуемой точке достигается локальный минимум или максимум функции соответственно. Если достаточные условия не выполняются, проверить необходимые условия второго порядка (6.27) или (6.28) с помощью теоремы 6.5. В случае их невыполнения сделать заключение об отсутствии экстремума в рассматриваемой точке, а в случае выполнения (6.27) или (6.28) сделать вывод о том, что в рассматриваемой точке может быть минимум или максимум соответственно, однако, условия второго порядка этого не гарантируют. В этом случае требуется продолжение исследований, например, с учетом дифференциалов более высокого порядка.




Пример 6.13. Найти точки локального экстремума функции


f(x)=3x_1^5+x_1^4-5x_1^3-2x_1^2x_2+x_2^2.

Решение. 1. Найдем градиент функции и запишем необходимые условия экстремума первого порядка (6.26):


\frac{df(x)}{dx}= \begin{pmatrix}\frac{\partial f(x)}{\partial x_1}&\frac{\partial f(x)}{\partial x_2}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}15x_1^4+4x_1^3-15x_1^2-4x_1x_2& -2x_1^2+2x_2\end{pmatrix}= o^T.

Отсюда получаем систему уравнений \begin{cases}15x_1^4+4x_1^3-15x_1^2-4x_1x_2=0,\\ -2x_1^2+2x_2=0.\end{cases} Подставляя x_2=x_1^2 в первое уравнение, получаем 15x_1^4-15x_1^2=15x_1^2(x_1^2-1)=0. Следовательно, x_1=0, либо x_1=\pm1. Таким образом, найдены три стационарных точки x^0=\begin{pmatrix}0&0\end{pmatrix}^T x^1=\begin{pmatrix}1&1 \end{pmatrix}^T x^2=\begin{pmatrix}-1&1\end{pmatrix}^T, которые могут быть точками экстремума функции.


2. Для проверки условий (6.27)-(6.30) находим матрицу Гессе


\frac{d^2f(x)}{dx^Tdx}= \begin{pmatrix}\dfrac{\partial^2f(x)}{\partial x_1^2}&\dfrac{\partial^2f(x)}{\partial x_1\partial x_2}\\[9pt] \dfrac{\partial^2f(x)}{\partial x_1\partial x_2}&\dfrac{\partial^2f(x)}{\partial x_2^2} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}60x_1^3+12x_1^2-30x_1-4x_2&-4x_1\\-4x_1&2\end{pmatrix}

в каждой стационарной точке:


\frac{d^2f(x^0)}{dx^Tdx}=\begin{pmatrix}0&0\\0&2\end{pmatrix}\!,\quad \frac{d^2f(x^1)}{dx^Tdx}=\begin{pmatrix}38&-4\\-4&2\end{pmatrix}\!,\quad \frac{d^2f(x^2)}{dx^Tdx}=\begin{pmatrix}-22&4\\4&2\end{pmatrix}\!.

Исследуем точку x^0. Так как \Delta_1=0,~\Delta_2=0, согласно критерию Сильвестра (6.20), (6.21), достаточные условия не выполняются. Для проверки необходимых условий второго порядка вычислим главные миноры: первого порядка M_{1}^{1}=0,~M_{2}^{2}=2; второго порядка M_{1\,2}^{1\,2}=0. Так как все главные миноры неотрицательные, то квадратичная форма d^2f(x^0) и матрица \begin{pmatrix}0&0\\0&2\end{pmatrix} являются неотрицательно определенными (по теореме 6.5). Согласно (6.27) точка x^0 может быть точкой минимума. Поскольку один минор M_{2}^{2}=2 нечетного порядка положителен, то квадратичная форма согласно (6.22) не является неположительно определенной. Следовательно, необходимое условие (6.28) второго порядка не выполняется, поэтому точка x^0 не может быть точкой максимума. Продолжим исследование поведения функции в окрестности точки x^0. Покажем, что в любой сколь угодно малой окрестности точки x^0 найдется точка x, для которой f(x)<0=f(x^0), т.е. значение функции меньше, чем в исследуемой точке. Действительно, положив x_2=0, имеем


f(x_1,0)= 3x_1^5+x_1^4-5x_1^3=-x_1^3(5-x_1-3x_1^2).

При любых малых положительных значениях x_1 выражение в скобках положительно (примерно равно 5), поэтому f(x_1,0)<0. Следовательно, точка x^0 не является точкой минимума (по определению). Так как в точке x^0 нет ни минимума, ни максимума, то она не является точкой экстремума.


Исследуем точку x^1. Так как \Delta_1=38>0,~\Delta_2=60>0, т.е. угловые миноры матрицы Гессе положительные, то по критерию Сильвестра (6.20) квадратичная форма d^2f(x^1) и матрица \begin{pmatrix}38&-4\\-4&2\end{pmatrix} положительно определенные. Это означает, что достаточное условие минимума (6.29) выполняется. Следовательно, точка x^1 является точкой минимума.


Исследуем точку x^2. Так как \Delta_1=-22<0,~\Delta_2=-60<0, то критерий Сильвестра и, следовательно, достаточные условия экстремума не выполняются. Проверим необходимые условия второго порядка. Находим главные миноры матрицы Гессе. Главные миноры первого порядка: M_{1}^{1}=-22, M_{2}^{2}=2, главный минор второго порядка M_{1\,2}^{1\,2}=-60. Поскольку среди них есть отрицательные, то квадратичная форма d^2f(x^2) и матрица \begin{pmatrix}-22&4\\4&2\end{pmatrix} не могут быть неотрицательно определенными. Поэтому точка x^2 не является точкой минимума. Так как главный минор M_{1\,2}^{1\,2}=-60 четного порядка отрицательный, то квадратичная форма d2f\x2) и матрица Гессе не могут быть неположительно определенными. Поэтому точка x^2 не является точкой максимума. Следовательно, в точке x^2 нет экстремума.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2020 MathHelpPlanet.com. All rights reserved