Применение форм к исследованию функций на экстремум
Рассмотрим скалярную (числовую) функцию векторного аргумента , которая каждому действительному значению векторного аргумента (т.е. каждому действительному числовому столбцу размеров ) из области определения функции , ставит в соответствие действительное число (значение скалярной функции). В этом разделе значение векторного аргумента будем называть также точкой в области определения функции.
Напомним необходимые и достаточные условия локального безусловного экстремума функции. Точка называется точкой локального минимума (максимума) функции , если существует такая окрестность точки , целиком лежащая в области определения функции, что для любой точки из этой окрестности выполняется условие (соответственно ). Точки минимума или максимума называются точками экстремума.
Необходимые условия первого порядка. Если является точкой экстремума дифференцируемой функции , то ее первый дифференциал, вычисленный в этой точке , есть равная нулю линейная форма
 (6.23)
Точки, удовлетворяющие условию (6.23), называются стационарными точками дифференцируемой функции .
Необходимые условия второго порядка. Если стационарная точка является точкой минимума (максимума) дважды дифференцируемой функции , то ее второй дифференциал есть неотрицательно (неположительно) определенная квадратичная форма:
 (6.24)
Заметим, что порядок условий определяется порядком используемых производных, первый дифференциал является линейной формой, а второй дифференциал — квадратичной формой (см. п.1, 2 замечаний 6.3) относительно переменных . Матрицу-строку коэффициентов линейной формы (6.23) определяет градиент , а матрицу квадратичной формы (6.24) — матрица Гессе вычисленные в стационарной точке .
Достаточные условия экстремума функции. Для того чтобы стационарная точка дважды дифференцируемой функции была точкой минимума (максимума), достаточно, чтобы ее второй дифференциал был положительно (отрицательно) определенной квадратичной формой:
 (6.25)
Используя матричные записи первого и второго дифференциалов скалярной функции, условия (6.23)–(6.25) Можно представить в виде равносильных соотношений:
 (6.26)
 (6.27)
 (6.28)
 (6.29)
 (6.30)
где — нулевая строка размеров .
Для нахождения точек локального экстремума функции нужно выполнить следующие действия.
1. Записать необходимые условия первого порядка (6.26): и найти стационарные точки в результате решения получающейся системы п уравнений, в общем случае нелинейной.
2. Для каждой найденной стационарной точки проверить выполнение достаточных условий (6.29) или (6.30) с помощью критерия Сильвестра (теорема 6.4). Если они выполняются, то на основании (6.29) или (6.30) сделать вывод о том, что в исследуемой точке достигается локальный минимум или максимум функции соответственно. Если достаточные условия не выполняются, проверить необходимые условия второго порядка (6.27) или (6.28) с помощью теоремы 6.5. В случае их невыполнения сделать заключение об отсутствии экстремума в рассматриваемой точке, а в случае выполнения (6.27) или (6.28) сделать вывод о том, что в рассматриваемой точке может быть минимум или максимум соответственно, однако, условия второго порядка этого не гарантируют. В этом случае требуется продолжение исследований, например, с учетом дифференциалов более высокого порядка.
Пример 6.13. Найти точки локального экстремума функции
Решение. 1. Найдем градиент функции и запишем необходимые условия экстремума первого порядка (6.26):
Отсюда получаем систему уравнений Подставляя в первое уравнение, получаем . Следовательно, , либо . Таким образом, найдены три стационарных точки , которые могут быть точками экстремума функции.
2. Для проверки условий (6.27)-(6.30) находим матрицу Гессе
в каждой стационарной точке:
Исследуем точку . Так как , согласно критерию Сильвестра (6.20), (6.21), достаточные условия не выполняются. Для проверки необходимых условий второго порядка вычислим главные миноры: первого порядка ; второго порядка . Так как все главные миноры неотрицательные, то квадратичная форма и матрица являются неотрицательно определенными (по теореме 6.5). Согласно (6.27) точка может быть точкой минимума. Поскольку один минор нечетного порядка положителен, то квадратичная форма согласно (6.22) не является неположительно определенной. Следовательно, необходимое условие (6.28) второго порядка не выполняется, поэтому точка не может быть точкой максимума. Продолжим исследование поведения функции в окрестности точки . Покажем, что в любой сколь угодно малой окрестности точки найдется точка , для которой , т.е. значение функции меньше, чем в исследуемой точке. Действительно, положив , имеем

При любых малых положительных значениях выражение в скобках положительно (примерно равно 5), поэтому . Следовательно, точка не является точкой минимума (по определению). Так как в точке нет ни минимума, ни максимума, то она не является точкой экстремума.
Исследуем точку . Так как , т.е. угловые миноры матрицы Гессе положительные, то по критерию Сильвестра (6.20) квадратичная форма и матрица положительно определенные. Это означает, что достаточное условие минимума (6.29) выполняется. Следовательно, точка является точкой минимума.
Исследуем точку . Так как , то критерий Сильвестра и, следовательно, достаточные условия экстремума не выполняются. Проверим необходимые условия второго порядка. Находим главные миноры матрицы Гессе. Главные миноры первого порядка: главный минор второго порядка . Поскольку среди них есть отрицательные, то квадратичная форма и матрица не могут быть неотрицательно определенными. Поэтому точка не является точкой минимума. Так как главный минор четного порядка отрицательный, то квадратичная форма d2f\x2) и матрица Гессе не могут быть неположительно определенными. Поэтому точка не является точкой максимума. Следовательно, в точке нет экстремума.
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
|